Bộ đề thi học kì 2 lớp 9 môn toán năm 2018 có đáp án chi tiết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BỘ PHẬN TRUNG HỌC CƠ SỞ CHUYÊN NGHIỆP

TỔNG HỢP ĐỀ KIỂM HỌC KỲ 2
MÔN TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN


1/5

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

PHÒNG GD&ĐT QUẬN BẮC TỪ LIÊM

Bài I (2,0 điểm): Cho hai biểu thức A 

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
MÔN TOÁN 9
Năm học: 2017 - 2018
Thời gian làm bài: 120 phút

4 x
1
x
2
và B 
với x  0;x  1


x 1

x 1
x 1 x 1

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm các giá trị của x để A 

3
2

Bài II (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng thực tế
khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó,
tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi theo dự định mỗi ngày tổ làm được bao nhiêu
sản phẩm
Bài III (2,0 điểm): Cho phương trình x  mx  m  1  0 (1)
2

a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm m để hai nghiệm x1; x 2 của phương trình (1) thỏa mãn x1  x 2  3 x1x 2  1
Bài IV (3,5 điểm): Cho A là một điểm thuộc đường tròn (O; R). Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O).
Lấy điểm B thuộc tia Ax sao cho AB < 2R. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, đường thẳng
vuông góc với AB tại M cắt đường tròn (O) tại H và K (H nằm giữa M và K)
1) Chứng minh MKA  MAH. Từ đó chứng minh MKA và MAH đồng dạng
2) Kẻ HI  AK tại I. Chứng minh tứ giác AMHI nội tiếp một đường tròn
3) Kéo dài AH cắt BK tại D. Chứng minh AD  KB
4) Lấy C đối xứng với B qua AK. Chứng minh điểm C thuộc đường tròn (O; R)
Bài V (0,5 điểm): Giải phương trình

x  x  7  2 x 2  7x  2x  35

----- Hết -----

Nhóm Toán THCS:
/>

2/5

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

HDG:
Bài 1:
a) Với x  4 (TMĐK) thay vào biểu thức A ta có: A 

4 4 8

4 1 3

8
Vậy A  khi x  4
3

1
x
2
với x  0; x  1


x 1

x 1 x 1

B

b)

B



B
B

B
B

x 1



x 1





 

x 1

x





x 1



x 1



 

x 1

2



x 1

x 1  x  x  2





x 1

x 1

x  2 x 1





x 1









x 1



x 1

x 1

2



x 1

x 1
x 1

Vậy B 
c) Để A 

x 1
với x  0; x  1
x 1

3 4 x
3
thì 
2 x 1
2

 3  x  1  8 x
 3x  8 x  3  0





 3 x 1



x 3  0

3 x  1  0
3 x  1


 x  3  x  9 TM 
x
x

3

0

3


Vậy x  9 thì A 



x 1

3
2

Nhóm Toán THCS:
/>

3/5

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

Bài 2:
Gọi số sản phẩm tổ công nhân dự định làm trong một ngày là: x (sản phẩm) x 



Do tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm nên số ngày tổ công nhân dự định phải làm là:

240
x

(ngày)
Tuy nhiên khi thực hiện, mỗi ngày họ làm thêm được 10 sản phẩm nên số sản phầm làm được là:
x  10 (sản phẩm)
Khi đó, số ngày mà tổ công nhân đã làm là:

240
(ngày)
x  10

Theo đề bài, do cải tiến kĩ thuật, đội công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày nên ta
240 240
có phương trình:

2

x
x  10
 240(x  10)  240x  2x(x  10)
 2x 2  20x  2400  0
 x 2  10x  1200  0
 x  40 (KTM)

 x  30 (TM)

Vậy mỗi ngày tổ dự định làm được 30 sản phầm
Bài 3:
a)Ta có:   m2  4(m  1)  m2  4m  4  (m  4)2  0m  R
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm với mọi m.
b)
Để phương trình có hai nghiệm sao cho x1.x2 không âm thì
 m  2 2  0
  0

 m 1

 x1 x 2  0
m  1  0

Xét x1  x2  3 x1 x2  1

Nhóm Toán THCS:
/>

4/5

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

 x1  x2  3 x1 x2  1
 m  3 m 1  1
 3 m 1  m 1
 9(m  1)  m 2  2m  1
 m 2  11m  10  0
 (m  1)(m  10)  0
 m  1(TMDK )

 m  10(TMDK )

Vậy m  1 hoặc m  10 thì hai nghiệm x1 ; x2 của phương trình (1) thỏa mãn : x1  x2  3 x1 x2  1
Bài 4:

B

D
K

M

A

H
I

O

C
a)Xét  O; R  có MKA  MAH (Tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Xét MKA và MAH có:
Nhóm Toán THCS:
/>

5/5

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

AMKchung 
  MKA
MKA  MAH 

MAH ( g.g )

b)Tứ giác AMHI có: AMH  AIH  1800 mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác AMHI là tứ giác
nội tiếp.
c) KMB  KMA (cạnh góc vuông-cạnh góc vuông) nên MKA  MKB
Mà MKA  MAH nên MAH  MKB  MKD
Do đó tứ giác MAKD nội tiếp.

 AMK  ADK  90o  AD  BK .
d)
Dễ thấy H là trực tâm ABK nên BH  KA . Lại có IH  KA( gt ) nên B,H,I thẳng hàng.
Tứ giác BMHD nội tiếp nên ABK  MHD  1800
Mà ABK  ACK (Do C đối xứng với B qua AK), MHD  AHK (đối đỉnh) nên

ACK  AHK  1800 do đó tứ giác AHCK nội tiếp.
Lại có A, H, K cùng thuộc  O; R  nên C thuộc  O; R  .
Bài 5:
Điều kiện: x  0 *





Đặt t  x  x  7 t  7  t 2  2 x  7  2 x 2  7 x  2 x  2 x 2  7 x  t 2  7



PT  t 2  t  42  0   t  7  t  6   0  t  6 do t  7



Với t  6  x  x  7  6  2 x  7  2 x 2  7 x  36
29  2 x  0
 2 x 2  7 x  29  2 x  
2
2
4  x  7 x    29  2 x 
29

x 

2
2

4 x  28 x  841  116 x  4 x 2

29

841
841
x 

x
TM *  S   
2
144
144 
144 x  841

Nhóm Toán THCS:
/>


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: TOÁN - Lớp 9
Hướng dẫn chấm gồm 03 trang

Bài 1 (2,0 đ) Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm.

Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
A
B
A
B
C, D
D
C
D
Lưu ý: Đối với câu 5, thí sinh chọn phương án trả lời là C hoặc D, hoặc chọn cả C và D đều cho điểm
tối đa.
Bài

Ý

Nội dung
1− x
1+ x
x2 + 2
Với x ≥ 0, x ≠ 1 tính được P =
+

−
2 (1 − x ) 2 (1 − x ) (1 − x ) ( x 2 + x + 1)

x2 + x + 1
x2 + 2
=
−
(1 − x ) ( x 2 + x + 1) (1 − x ) ( x 2 + x + 1)
1.
(1,0đ)
x −1
=
2.
(1 − x ) ( x 2 + x + 1)
(1,5đ)
−1
= 2
x + x +1
2
1 3
−1

2
Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có x + x + 1=  x −  + > 0 , suy ra 2
<0
2.
2 4
x + x +1

(0,5đ)

−1
Suy ra 2
< 0 tức là P < 0.
x + x +1
x 2 − ( m + 6 ) x + 3m + 9 = 0 ⇔ ( x − 3)( x − m − 3) = 0
1.
(0,5đ) Với m = 1, tìm được tất cả các nghiệm của phương trình là: 3; 4 .

2.
(0,5đ)
3.
(1,5đ)

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Phương trình (1) nhận 1 + 2 là một nghiệm khi và chỉ khi m + 3 =1 + 2.

0,25

Tìm được tất cả các giá trị của m thỏa mãn là:

0,25

2 − 2.

Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 . Theo hệ thức Viét ta được x1 + x2 = m + 6
x1 là nghiệm của (1), suy ra x12 = ( m + 6 ) x1 − 3m − 9
3.
(0,5đ) Do đó x 2 + m + 6 x − m 2 − 9m = m + 6 x − 3m − 9 + m + 6 x − m 2 − 9m
(
) 2
(
) 1
(
) 2
1

=

( m + 6)

2

− 12m − m 2 − 9 = 27.

1/3

0,25

0,25

Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
 x2 − y 2 5
=
 xy = 6

6⇔ 2
 xy
2
5
x − y =
 x2 − y 2 =
5.


4.
(1,0đ)

Tìm được tất cả các nghiệm ( x, y ) của hệ đã cho là:

0,5

( 3, 2 ) ; ( −3, −2 ) .

0,5

B

H

M
I

A

1.
(1,0đ)
5.
(3,0đ)

D

C

N

Ta có 
AMH = 90O (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra 
ABH = 
AHM (hai góc cùng nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

0,5
0,5

Hoặc hai góc cùng phụ với góc 
MAH .
Ta có 
ANM = 
AHM (góc nội tiếp cùng chắn một cung)

ABH = 
AHM , suy ra 
Theo câu 1. ta có 
MNA = 
MBH
2.
(1,0đ)
Suy ra 
MBC + 
MNC =
180O

0,25
0,25
0,25

Do đó tứ giác BMNC nội tiếp, hay bốn điểm B,C,N,M nằm trên một đường tròn.

0,25

DI là đường trung bình của tam giác AHC, suy ra DI vuông góc với AB.

0,5

3.
I là trực tâm tam giác ABD.
(1,0đ)

0,25

Từ đó ta được BI vuông góc với AD

0,25

1
=  . x2 + 4 +
x2 + 4  4
1.
6.
1 3 5
5
(1,0 đ) (0,5đ) Suy ra P ≥ + = . Với x = 0 thì P =
2 2 2
2
5
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là .
2

Đặt P=

x2 + 5

=
x2 + 4

x2 + 4 +

1

2/3

 3
2
+ . x +4
2
x +4 4
1

0,25

0,25


Xét phương trình ax 2 + bx + c =
0 (1)
Từ giả thiết ta suy ra b > a + c
2
Nếu a + c ≥ 0 thì b 2 > ( a + c ) ≥ 4.ac ⇒ b 2 − 4.ac > 0 , phương trình (1) có hai
2.
nghiệm phân biệt.
(0,5đ) Nếu a + c < 0 , kết hợp với c > 0 suy ra a < 0 . Khi đó a và c trái dấu, phương
trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy trong mọi trường hợp phương trình ax 2 + bx + c =
0 luôn có hai nghiêm
phân biệt.
------HẾT-----

3/3

0,25

0,25


PHÒNG GD&ĐT QUẬN BA ĐÌNH

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
MÔN TOÁN 9
Năm học 2017 - 2018
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

2 x
1 
3

với x  0; x  9
 :
x 3 x 3
 x 9

Bài I (2,0 điểm). Cho biểu thức A  
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm x để A 

5

6

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 8 giờ. Nếu mỗi đội
làm một mình xong công việc đó, đội thứ nhất cần ít thời gian hơn so với đội thứ hai là 12
giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc đó trong bao lâu?
Bài III (2,0 điểm).
2

 x5  y 2  4

1) Giải hệ phương trình 
 x5  1 3

y 2

2) Cho phương trình x 2  2  m  1 x  m2  0
a) Giải phương trình khi m = 4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x12  x22  4 x1.x2
Bài IV (3,5điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính
R và AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AB,
AC
1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh ABC ANM
3) Chứng minh OA vuông góc với MN
4) Cho biết AH  R 2 . Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Bài V (0,5điểm). Cho a, b > 0 thỏa mãn a  b  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  a  b  1  b  a  1

------ Hết------


PHÒNG GD&ĐT QUẬN BA ĐÌNH

Thứ tự
Bài I
(2 điểm)

Đáp án
1) Rút gọn: với
2√

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC KỲ II
MÔN TOÁN 9
Năm học 2017 - 2018

0;

1

9

3

:

9 √
3 √
3

2√
3
√
3 √
3
3 √
√
√
2√
3 √
3
√
.
3
3 √
3
√
1
√

3

.

3

0,25
0,25

0,25

2) Tìm x để

0,75

5
3 6
√
⇔6 √
1
5 √
9
⇔√
⇔
81
đ
1

0,25

3

0,25
0,25

3) Tìm GTNN của A

Do

3

√

3

√

√

Điểm
0,75

√

1

√

3
0⇔

1

0,5

2
3
√
ớ ọ ỏ ã đ

Dấu “=” xảy ra ⇔ x= 0

đ

0,25

đ

Vậy GTNN của A: minA= ⇔ x= 0

0,25


Bài II
(2 điểm)

Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong việc là x ( đv: giờ, x >8)
Vậy thời gian đội thứ hai làm một mình xong việc là x+12 (giờ)
Mỗi giờ đội thứ nhất làm được (công việc)

0,25

Mỗi giờ đội thứ hai làm được

0,75

(công việc)

Theo bài ra, mỗi giờ cả hai đội làm được công việc nên ta có phương trình :
1

1
1
12 8

0,25
0,5

Giải phương trình ta được x=-8(ktmđk); x=12 (TMĐK)
Vậy thời gian đội thứ nhất làm một mình xong việc là 12 giờ;
thời gian đội thứ hai làm một mình xong việc là 24 giờ.

0,25

Bài III
(2điểm)
2

 x5  y 2  4

Giải Hệ PT 
 x5  1 3

y 2

1) 1 điểm

Đk:
0;
4
Đặt a=|

5|;
Giải HPT:

2

0,25
√

, Đk:
4
được
3

0
0,5

;

Giải được ∈
;
; và do
1 nên không có y thỏa mãn
KL: Hệ phương trình vô nghiệm
(Nếu HS nhận thấy không có y t/m nên HPT vô nghiệm mà không cần tìm x vẫn
cho 0,25)
2) 1 điểm
Cho phương trình x 2  2  m  1 x  m2  0
a)
b)

Giải PT khi m=4
Với m=4, giải PT:
10
16 được ∈ 2; 8
PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ 0 ⇔
Theo Vi-et có
2
1 ; .
4√ . ⇔
2 .
4√ .
Xét
4
1
2
4√
⇔2
8
4 4| | 0
TH1:
0⇒
6
2 0
TH2:
Vậy

⇔
3 √7 ạ
3 √7
đ ;

2
2 0 ⇔ ô ó ỏ ã
0⇒
3 √7 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

0,25

0,5
0,25

đ
0,25


Bài IV
(3,5
điểm)

x

A

y

0,25

N
M

B

O
C

H

D

1)

2)

3)

4)
(0,5
điểm)

90
- Giải thích
-Tính tổng
180
- KL : AMHN là tứ giác nội tiếp
Cách 1:
cm
( do tg AMHN nội tiếp)
⇒
(cùng phụ với
)
⇒

Cách 2: Cm AM.AB = AN.AC (= AH2)
⇒∆
∼∆

⇒
(cho điểm tương ứng như cách 1)
Cách 1: Kẻ đường kính AD
(góc nt chắn cung DC)
(cmt)
Có
90 (góc nt chắn nửa đtr)
⇒
90 ⇒
Cách 2: Kẻ tiếp tuyến xAy của (O)
c/m:
(góc nt, góc tạo bởi tt và dây cùng chắn cung AC)
(cmt)
Vậy
, ở vị trí slt
⇒
// xy mà AO xy (do xAy là TT của (O)) ⇒
(cho điểm tương ứng như cách 1)
.
2
.
Có
⇒
.
.
⇒∆

∼∆

⇒
90
CMTT :
90
Vậy
180 ⇒ O, M, N thẳng hàng.

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

0,5
0,25
0,25

0,25
0,25


Bài V
(0,5
điểm)

2
1

2
1
Có √2
Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm
2
1
2
1
; 2
1
2
3
2 3.2 2
4
⇒ √2
2
2
⇒
2√2
2
1
Dấu “=” xảy ra ⇔
⇔
2
1
1
Vậy P có GTLN là 2√2 khi

2

1
2
0,25

1
0,25

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng hoặc có hướng đúng thì giáo viên dựa vào
hướng dẫn chấm chia biểu điểm tương ứng!
----------Hết-----------










1/7

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN CẦU GIẤY
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

KIỂM TRA HỌC KỲ II
NĂM HỌC: 2017-2018
-------------------Môn: TOÁN 9
Ngày kiểm tra: 18/04/2018
Thời gian làm bài: 90 phút

Câu I. (2 điểm)
Cho hai biểu thức A =

x+3
2
1
x
+
−
và B =
với x  0, x  9.
x −9
x +3 3− x
1+ 3 x

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

4
9

2) Rút gọn biểu thức B
3) Cho P = B : A. Tìm x để P  3.
Câu II. (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ xong việc. Nếu mỗi

người làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần nhiều hơn người
thứ hai là 12 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để
xong công việc đó?
Câu III. (2,5 điểm)
4
 1
 2x −1 + y + 5 = 3

1) Giải hệ phương trình 
 3 − 2 = −5
 2 x − 1 y + 5

2) Cho phương trình: x 2 − 2 ( m + 1) x + 2m = 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số)
a. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b. Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 , x2 . Tìm giá trị của m để x1 , x2 là độ dài hai
cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 12 .
Câu IV. (3,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa O và
B . Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC , lấy điểm E bất kỳ ( E khác
A và C ). Kẻ CK vuông góc với AE tại K . Đường thẳng DE cắt CK tại F.

Nhóm Toán THCS:
/>

2/7

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

1) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh KH song song với ED và tam giác ACF là tam giác cân.
3) Tìm vị trí của điểm E để diện tích tam giác ADF lớn nhất.
Câu V. (0,5 điểm) Giải phương trình 5 x 2 + 4 x − x 2 − 3x − 18 = 5 x .
-------------Hết-----------Lưu ý: Cán bộ kiểm tra không giải thích gì thêm.

Nhóm Toán THCS:
/>