ĐA THỨC MA TRẬN_SỰ PHÂN BỐ GIÁ TRỊ RIÊNG, CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN DƯƠNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN.pdf

èấ ặ

è
ấổặ á

ầ



ẻ

ầè ầ

ẫ ặ ặ



èấ ặ ậ ẩ ặ
èấỹ
ỹặ
ờ ộặ
ặ ẻ
è ậ ẻ ặ ỗ ổặ ẫ ặ

ặ ặ èốặ ậợ èầ ặ

ỡặ ỹặ ạ ặ ắẳẵ


èấ ặ

è
ấổặ á

ầ



ẻ

ầè ầ

ẫ ặ ặ



èấ ặ ậ ẩ ặ
èấỹ
ỹặ
ờ ộặ
ặ ẻ
è ậ ẻ ặ ỗ ổặ ẫ ặ

íũề ề ề
ậ ỉ íụỉ ì
ì
ẳẵẳ
ẩ

ề

ữề ẵ

ẩ ậ èậ ẩ ẹ è ụề ậ ề
èệ

ẩ

ề

ữề ắ

ề

ề

ữề

ỉ

èậ ề èể ề
ẻ ữề èể ề

ẩ



èậ ũ
èệ

ề

ạ ẻ ữề ề é ẹ ể

è ể ề
ẩ

ũề

ỡặ ỹặ ạ ặ ắẳẵ



ề ề

ữ ẻ ữỉ ặ ẹ




ẹ ể ề

ề ề ề í
ể ề ỉ ề ỉ èệ ề
ẫí ặ ề
ì
ề
ề
èậ ũ
ề èệứề èậ ề èệề è ĩ ề
ẹ ể ề í é

ề ỉệứề ề ũề

ỉ
ụỉ ế ỉệểề ề ề é ỉệề ỉ
á


ề ỉ

ểễ ễì
ề
ỉ ề

ề
ỉệ


è è ễ ỉ ử

èậ ũ

ề

ề èệứề

ề

è

è

ứề




ẹ ề

ề ề ề í
ể ề ỉ ề ỉệểề ế ỉệứề
ỉ ễ ề ũề
ỉ ể èể ềá
èệ ề
ẫí ặ ề
ì
ề
ề
è ụề ìỳ ũ
ề èệứề è ụề ìỳ ề
èệề èệ
ỉ ũềá ỉ ĩ ề í ỉ é ề
ụỉ ề ì ì
ụề è ụề ìỳ ũ
ề èệứề
è í
ỷ ể ỉ ề ỉứề
ề
ềỉ ỉ ề ề
 é ẹ ề ũề
è í ỉ ể

ể ỉ ẹ ỉ ẹ ỉệ ề
ỉ ễ ề ũề

ẹ á ỉ ề ỉ ữề ề ề
ề ệ ỉ ề ũẹ
ỉ
è í é ề ề ũềá
ễ
ửỉ ỉ ề
ỉ ụề
ỉệểề ề ũề
ể


ỉ ễá é ẹ ữ
ỉ í é
ú ẹ í ẹ ề
ề ễ
ỉ
è ĩề íỉ é ề
ụỉ ề ì ì
ụề è ụề ìỳ ề èệề è í é ề ề ũềá
ự
éữá
ễ
ỉ ể ì ỉ ế ỉệứề ề ũề

ỉ
ỉ í
ề

ỉệểề
ề
á ề ề ỉ í ề ỉ
ề ĩíũề ỉệ ể
ể
ỉ

ỉ ể ể ỉ í ỉ

ễ ỉ ỉệ ề ỉ ề ệ ỉ ề ú
ú ể
é ề

ì ề
è ĩ ề
ẹ ề è ụề ìỳ ề èể ề
ẹ ề ề ứ ề
ự
ú

ề ú é ũề ế ề ụề ề é
ử ừề
ề

ề

ỉ ể é ề ệ ỉ
ỉể ề ẹ ẹ ề

è ĩề
é
ẹ ề
ề ỉ ề
ụề
ề
ẹ ữ èệ ề
ẫí ặ ềá
ẩ ề
ểỉ ểì

ỉ ể ú ữề ỉ ỉ ề ỉ ử ỉ
ỉ ễ ỉ ỉệ ề
ữỉá
ỉ ĩề
é
ẹ ề ụề
ề
ề ữẹ ể èể ề
ề

ỉ í
ểá
ể ỉệểề
ể
ỉ ể ệ ẹ ỉ ẹ ỉệ ề
ỉ ễ ỉ ề ỉ ữềá
ẹ ệ ỉ
íũề ề ữễ ú

ề í
ễỉ
ề é
ử ễ ỉ ỉệ ửề ề ỉ ề
è ĩề
é
ẹ ề ụề
ề
ẹ ữ èệ ề
ể ề ậ ễ ẹ è íá ẩ ề
è


ề
ỉ ể ú ữề ỉ ỉ ề ỉ
ể ỉ
è
ề ĩ ề
é
ẹ ề ụề
ề
ề ữẹ ể è ề ũề

ề
ề ề ữễ
é ề ề
á ề ũềá

ì

ề ữ
ử ỉ
ỉ
ề ỉ ễ ỉệề ề ũề
ỉ èệ ề
ẫí
ặ ề
è ĩ ề
ẹ ề

ề ề ũề
ì ề ỉ èệ ề
ũềá
ì
ễ
ỉ ỉệểề ế ỉệứề
ỉ ễ ề
è

ẫí ặ
ũề


ề

é ề

ề

ĩề
é
ụỉ ề ụề
ứề
ũề ề ề ể ặ ề ề
ỉ ề
é ề ề
á ề ũề ỉ é
ỉ ề ỉ ề ề

ử ỉ íũề ỉ ẹ
ỉ ễ ề ũề

ĩ ề
ữỉá ỉ ĩ ề
é
ụỉ ề ì ì
ụề ề
ẹủ ỉ ề íũ
ẹứề
ẹ ề ì í ì ề
ể

ề ề ỉứề íũ
ề
ẹủ ề
ể
ểề èứề ỉ
ề
ể é

ẹủ é ề
ẹ ỉệ ỉ ẹ
ểề


Ù

Ò ¸ Ø Ü Ò Ò ØøÒ
Ñ
Ñ Ò Ò Ú
ÓÒ
ôÒ òÒ
øÒ ÝòÒ
Ѻ

÷Ø ôÒ
Ò Ú
ÓÒ Ø
Ѹ
Ô ¸ Ò Ú òÒ Ñº

Ò ÝòÙ
ÑøÒ º
øÒ ÐÙ Ò Ð Ò



é
ề ẹ

ữ



ẵ

ẵ ỉ ì ụỉ ế
ề
ẵẵ

ậ ễ

ẵắ

ề

ỉể ề ỉ
ẵắẵ
ẵắắ

ẵ

ữẹ
ẵ

ỉì

ỉể ề ỉ

é

ỉể ề ỉ



é

ử

ỉ

ề é

ừề

ề
ể

ỉ

ẵ
ẵ



ẵ

ỉể ề ẹ ẹ ề

ắ

ề
ể

ỉ

ắ

ẵắ

ỉể ề ẹ ẹ ề

ắ

ẵ

èựề ĩ

ì ỉ
ề


ể
ề

ử





ỉ

ề é

ẵắ

ệỉ ề

ừề




ệỉ

ụề

ỉể ề ỉ

ứề

ỉ

ẹ ỉệ ề

ắ

ỉ

ắ

ẹ ỉệ ề ỉ ề ề

ỉ





ề

ề ẹ ỉệ ề

ắ ậ ễ ề

ỉệ ệ ũề

ỉ
ẹ ỉệ ề

ắẵ

ề ẹ ỉệ ề

ề é

ắắ



í
ể

ắ

ẹ ỉ

ệỉ ẹ ỉ ì

ẵ

ề é

ỉ

ẵẵ

ẵ

ẵ

ề

ẵắ

ề é

ậể ì ề



ề

ề ìỉệÔểẹạ
ỉ

í



ẹ ỉệ ề

ề








¿

Ò Ð

öÙ õÒ

Ò
Ó

Ø
Ñ ØÖ Ò

¿º½

Ò Ñ ØÖ Ò

Ò Ð ÈÙØ Ò Ö¹Î × Ð ×
Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º

¿º¾

Ò Ñ ØÖ Ò

Ò Ð

¿º¿

Ò Ñ ØÖ Ò

Ò Ð À Ò ÐÑ Ò

Ò×ÓÒ¹ÈÓÚ

º º º º º º º º º º º º º º º º º º

¼

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

¿

¿º¿º½

Ò Ñ ØÖ Ò

Ò Ð À Ò ÐÑ Ò ØÖòÒ n¹

¿º¿º¾

Ò Ñ ØÖ Ò

Ò Ð À Ò ÐÑ Ò ØÖòÒ


¿º¿º¿

Ò øÒ

Å Ø Ø Ù Ø ØÓ Ò ØøÑ öÙ õÒ
Ò
Ó

Ø
Ñ ØÖ Ò
Ò
ØÖòÒ Ñ Ø
÷Ò Ð
ÓÑÔ
Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ò Ñ



Ò ØÖøÒ
Ø
Ó

¿

÷Ò Ð ¸
ÓÑÔ
Ø

ÃèÌ ÄÍ Æ
Ì Ð ÷Ù Ø Ñ

º º º º º º º

Ð òÒ ÕÙ Ò ôÒ ÄÙ Ò Ò

½

Ò Ñ


R
R+
C
N
K
Rn
Cn
Mt (R)
Mt (C)
St (R)
X
Xα
C[z]
R[X]
R(X)
Mt (R[X])
St (R[X])
AT
A 0
A≻0
||A||
A2

ÌÖ

Ò

× Ø

Ì Ô



Ô

× Ø

ÌÖ

÷Ù

Ò

× Ô



Ò

Ñ



Ì Ô

× Ø Ò òÒ

R
Ã
Ã
Î
Î
Î

Ó
C
Ò

ÒØ

n
óÙ

Ò

ÒÔ

n
óÙ

Ò

Ñ ØÖ Ò ÚÙ Ò
Ô t Ú

Ô Ò Ø ØÖòÒ R

Ò

Ñ ØÖ Ò ÚÙ Ò
Ô t Ú


Ô Ò Ø ØÖòÒ C

Ò

Ñ ØÖ Ò

n

ôÒ (X1 , ..., Xn )

X1α1 ...Xnαn , α

Ü Ò
Ô t ØÖÓÒ Mt (R)

= (α1 , ..., αn ) ∈ Nn
Î Ò
Ø
Ñ Ø ôÒ z Ú
÷× Ô
Î Ò

Ø
n ôÒ X = (X1 , ..., Xn ) Ú
÷× Ø
ÌÖ Ò

Ø
Ò
Ú Ò
Ø
R[X]
Î Ò

Ñ ØÖ Ò
Ô t Ú

Ô Ò Ø ØÖòÒ R[X]
Î Ò

Ñ ØÖ Ò
Ü Ò
Ô t ØÖÓÒ Mt (R[X])
Å ØÖ Ò
ÙÝöÒ Ú
Ñ ØÖ Ò A ∈ Mt (R[X])
Å ØÖ Ò A Ò Ü
Ò
Ò
Å ØÖ Ò A Ü
Ò
Ò

Ù Ò ØÓ Ò Ø
Ñ ØÖ Ò A
Ì Ô Ô Ø Ø


Ø Ò øÒ Ô
Ò
Ù Ò
Ô Ò Ø ØÖÓÒ Ñ Ø Ú Ò
Ó Ó ÒA






ỉ
n

ữ K[X] := K[X1 , ã ã ã , Xn ] é ề

K
ữ Mt (K), Mt (K[X]) éề é ỉ é ề

ẹ ỉệ
ỉệểề K K[X] ẹ ỉệ ề A Mt (K[X])

é
ỉ
ẹ ỉệ ềá

ứ ề
ỉ ử ử ừề
ề ẹ
ữ ì ỉệũề Mt (K) ề ì

ụề X1 , ã ã ã , Xn
ữ ì ỉệểề
ề ề
ễ t

ễ ề ỉ
ẹ ỉ ẹ ỉệ ề
ỉ
ể
ẹ ỉ
ỉ
ỉ
n ề X1 , ã ã ã , Xn

d

A X ,

A=
||=0

ỉệểề
á = (1 , ã ã ã , n ) Nn á || := 1 + ã ã ã + n á X := X11 ã ã ã Xnn á A Mt (K)á
dé

ể ề ỉ


ề ỉ
ỉệểề A ể á ử ỉ ề ề ỉ

ỉệểề ỉể ề
ề ềá ẹ ẹ ỉệ ề ỉệểề Mt (K[X])

é ẹ ỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề
ỉ
ễ

ểề
ữỉ ề

ẵ

ề ề ũề

ựề
ề ề é

ỉ
ẹ ỉệ ềá
ẹ ỉệ ề
ì
ụềá

ề ỉ ế ề ỉ ẹ ụề

ỉể ề
ề ể á ử ỉ ề ỉ ữề
á
ề ỉ ỉ
ỉệứề
í

ỉể ề é ũề ế ề ỉệểề
ễ ề ệ ũề
ì



ỉ
ẹ ỉệ ề ẹ ỉ ụề

èệểề ễ ề ề í
ề ỉ
ụềá ỉ
é ĩ ỉ

ỉ

ỉệứề
í ẹ ỉ ì ề ú é ũề ế ề ụề


ẹ ỉệ ề

ề

ỉ

ẹ ỉệ ề ẹ ỉ

P (z) = Ad z d + ã ã ã + A1 z + A0 ,
ỉệểề
áz é
ụề ì Ai Mt (C), i = 0, ..., d
ẹ ệ ề ỉ ề ũề
ỉ

ỉệ ề It A
It é ẹ ỉệ ề ề ỉệểề Mt (C)

é ẹ ỉ
ặụ Ad = 0á ỉ ứ P (z)
é ẹ ỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề ẹểề
ặụ ỉ ề ỉ ẹ ỉ
ỉ

é ẹ ỉ
ỉệ ệ ũề
P (z)á

ỉệ ệ ũề

ỉ


ỉ
ẹ ỉệ ề ẹ ỉ ụề é ì
ẹ ỉ ẹ ỉệ ề A Mt (C)á ỉệểề

ẹ ỉệ ề

d

Ad = It á P (z)

ề x Ct C ì ể
ể P ()x = 0á ỉ ứ
x

é ẹ ỉ
ỉ ệ ũề
P (z) ỉ

ặ íá ẹ
ỉệ ệ ũề
P (z) é ẹ ỉ ề

ữ
è ễ ễ

ỉệ ệ ũề
P (z)

ỉ
ẹ ỉệ ề P (z)

ẵ

ữẹ
ỉ
(P (z))






ề

ề

ỉệ ề
ỉ(P (z))

é ễ


ỉ ũẹ ệ ề ỉệểề
A Mt (C)á ỉ ứ ẹ
ỉệ
ỉệ ề A ể
ỉ ửề
ỉệ ệ ũề

ẹ ỉ ẹ ỉệ

ỉệ ề
ễ P (z) = zIt Aá
ỉ

ỉệ ề
ẹ ỉệ ề
ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề P (z) é ẹ ỉ
ỉệ ệ ũề
ẹ
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề é ẹ ỉ
ề ữẹ ẹ ệ ề
ề

ỉể ề
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẩểéíềểẹ é
ề é ẩệể é ẹ ạ ẩ ẩà é ỉứẹ ẹ ỉ
t

ề x C ì ể
ể P ()x = 0 èệểề ỉệ ề
ễd=1
ỉệ ệ ũề ẹ ỉ

ỉ
ề ỉ
ỉể ề
ỉệ ệ ũề ỉ ề ế ỉ
Ax = Bx.
ềề

á ềụ A1 = It ỉ ứ

ỉể ề

ề ỉ

ỉệ ệ ũề
ề

Ax = x.

ỉể ề
ỉệ ệ ũề
ễ d = 2



ẫ

ệ ỉ

ề é ẩệể é ẹ ạ ẫ ẩà ỉ

ề

ề

ỉệ

ề

ỉ
ẹ ỉệ ề ẹ ỉ ụề
ề ú ề
ề ỉệểề

éỳề
ề ễ
ề ỉệứề
ễ ềá é ỉ íụỉ ữ ỉ ề á
ỉ ỉ ẽ ề ệạểễ á

é ỉ íụỉ ệề á
ỉự
ì á

ỉẹ ế ề ỉệ ề
ỉ
ẹ ỉệ ề é
ệ ệ ề ề ề

ỉ é ữ ú
ì ỉíụề ỉựề é ỉ íụỉ ẹ ỉệ ề ú

ễ ú ề
ề ề ú
ề ỉệứề
 ỉ ũề
ụỉ í
ề ỉ ú
ỉ
ẹ ỉệ ề é
ệ ị ệá ề
ề
ểéé ệ ẵ ề ẹ ẵ

ề
ìỉ ệ ắ ề ẹ ẵ
ú ễ ỉ ỉệ ửề é ỉ íụỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề ỉ ề ế é
ỉ íụỉ
ữ ệề
ề ỉ
ỉ ử ễ
ỉ
ẹ ỉệ ề
ề ũề
ữ ễ
ề ỉệứề
ễ ề

é ề ề ẵà
ữì

ề áỉ
é ữ
ề
d

Ai
i=0

i

d
dt

u(t) = 0.

ẻ ữ
ỉứẹ ề ữẹ
ể ữ ề u(t) = x0 e0 t á x0 , 0
ỉể ề
ỉệ ệ ũề ạ
ỉ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề

é ễ

tá ỉệ
ỉ ụễ

ề ụề

ũề
ề
á
ỉể ề
ỉệ ệ ũề ẫ ẩ
ề ú ề
ề ể ể

ỉ ỉ
ỉ ỉ ề ế ề ú ề ề ề
ề
ẫ ẩ
ỉệứề
í ỉệểề
ề ì

ể
ệ á
ề
ìỉ ệ ấể ẹ ề ẵ á ẹ ệé ề á ềệể è ìì ệ ẵ
ề ậ

ệ ề ề ỉ ỉ ỉể ề ử
ỉể ề ẫ ẩ

ỉể ề ẩ ẩá
ề ũề
ú
ề

ể
ỉệ ệ ũề


ỉ
ẹ ỉệ ề
ỉ ụỉ é ễ ỉ ể
ề


ữ ì
ỉ
ẹ ỉệ ề
ể
ề
ề ề
ề ỉệứề

ẹ è ìì ệ ắắ èí ề ũềá
ắ


ữ
ỉựề
ỉệ ệ ũề


ỉ
ẹ ỉệ ề ỉ ẹ
ự ỉựề

ỉệ ệ ũề
ẹ ỉệ ề

ề ỉứẹ ề ữẹ


ỉ
ẹ ỉ ụềà é ẹ ỉ
ỉể ề

ẹ ỉễ
ề
ễ ễ é ễ ử ỉựề

ỉệ ệ ũề ề í

ệ
ậ ẹểề
ề ẩ ệểỉỉ ắ ề ề á
ữ
ỉựề
ễ


ỉ
ẹ ỉệ ề ỉệểề ắẵ
ề
ễ ỉ ề ỉ ề ú ễ á ỉ
é á
ỷệ

ề
ỉ ử ửĩ
ề
ề ẹ ỉ ẹ úề
ẹ ỉ ễ ề ễ



ỉệ
ệ ũề
ẻứ ỉ ụ ữ
ỉứẹ
ề
ể
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề ẹ ỉ ụề é ẹ ỉ ữ
é ẹệ ỉ
ề ỳ
ỉể ề  ỉ ũề ẹ
ề ỉ ỉ ễ ỉệề ề ũề
ỉệểề ề ề ề ì
ể P (z) = Ad z d + ã ã ã + A1 z + A0 é ẹ ỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề
ỷệ

ì m

ỉ ỉ ì ể
ể
m || M, (P (z)),

ỉể ề ẵ

M

ỉ
é
ỷệ



ề

ỉ ỉ
ể

ỉệ ệ ũề

P (z)

èệểề ỉệ ề
ễ t = 1á ỉ
é ỉệ ề
ễ


ỉ

ẹ ỉ ụề
ữ ì ễ
á
ỉể ề ề í
ề ũề

ề ú ề ỉể ề
á
ỉ ử ử ệ
í

ụỉ ế

í ẵá á ề ìỉệÔ
ểẹ í ẵá á ểí éá
éé ấ ẹ ề ắ á
ỉỉ

ể é á

1
ẹ ỉ
ỉệ ệ ũề
z
ỉệ ệ ũề
P (z) ể á ỉệểề
ề ẳá ềụ A0 é ẹ ỉ ẹ ỉệ ề ìí ụề ỉ ứ ẳ é ẹ ỉ
ề ề ề í
ề ỉ é ề ĩ ỉ ề ề
ỉ

ẹ ỉệ ề

ữ ì Ad A0
ề ìí
ụềá ử ỉ
ỉứẹ ẹ ỉ
ề ỉệũề ẹ ỉ
ề
ể
ỉệ ệ ũề
ử

ệ ề ềụ Ad é ẹ ỉ ẹ ỉệ ề ìí

ụềá ỉ ứ

ỉ

zdP

ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề P (z)
èệểề ỉệ ề
ễ t > 1á ữ
ỉứẹ


ề
ể

ỉ ể
ề ỉể ề ỉ à


ẹ ỉệ ề ữ ì
ỉ
ữề ỉệứề
í ỉệểề
ể

ẹ è ìì ệ ắắ
ự

ựề  ỉ ũề

ề ỉ ỉệểề ề ề é
ếíụỉ
ỉể ề ẵá
ệ


ềẹ
ỉ ỉ
ể
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ềá ỉ
ìể ì ề

ề

ệ

ẹ è ìì ệ

ắ



ỉ
ẹ ỉệ ề ề ú ụề

èệểề ễ ề ề í
ề ỉ ỉệứề
í ẹ ỉ ì ề ú é ũề ế ề ụề

ỉ
ẹ ỉệ ề
ì
ụề é ề ề ẵ èệ
ỉ ũềá ĩ ỉ ỉệ ề
ễ t = 1á ỉ
é ĩ ỉ

ỉ

ì
ụề é ề
ề ẹ ỉ

ể f R[X] := R[X1 , ..., Xn ], G = {g1 , ..., gm } R[X]
n

R[X]2 =
i=1

fi2 |fi R[X], n N ,


ữ


ễ

ỉ ề

ỉ ễ

ứề ễ

ề



ỉ

ỉệểề R[X]

KG = {x Rn |g1(x) 0, ..., gm(x) 0},

ỉ ễề

ì

ề

ề ỉệểề Rn ĩ

ề

G

m

MG = {t0 +

ẹ ề



ề

ề

ỉ ề

ề

i=1

ỉ ỉệũề R[X]

TG = {

ỉ úề ỉ

ti gi |ti
G

=(1 ,...,m ){0,1}m

ỉ ỉệũề R[X]

MG TG á

R[X]2 , i = 0, ..., m},

m
t g11 ...gm
|t

G

G = ỉ
K = Rn , M = T =

ừ ỉ í ềụ f TG í MG ) ỉ ứ f 0 ỉệũề KG ể
é
ú ề
é

ú ề í
ề
ề è
é á

f 0 ỉệũề KG = f TG
ặụ
ỉệ é é
ề á
ề
í ề é
ử ừề
ề
ềá ắàá

ỉ
ì
ề
é ề ề
ề ỉ ỉ ề
ề à
èệểề ỉệ

ề

ễ



ề

áẹ ỉ


ỉ ề ũề

ỉệ

í MG )?

ữỉá G = á ỉ





ể

ề í
ỉệ ề
ễ

ỉ ẩ ệìề ẹ
ì
á
ỉể ề

R[X]

ữ

k
2

R(X) =
i=1

R[X]2 ?


ệ
é ệỉ ẵ àá
ỷ ệ ệ ề

ỉệũề
ỷ
èể ề
ữỉ
ì
ụề

f ậ á ỉ
ẵ ẳẳá é ệỉ
ệ ẹ ỉ ề ì
ẹ ắ
ỉể ề
ỉ ẵ ỉệểề
ề ì
ề í
ễ ỉ ử ề ì

ỉể ề ỉ ẵ
é ệỉ
ỉ

R[X]2 .

ỉ

ẹ ỉ ề é
ử ừề
ề ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉịàá
ẹ ặ
ỉề ỉ ìỉ éé ềì ỉịà èệểề ẹ ỉ ì ỉ é ữ
ề
ỉ ỉ ề
ề é ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ể á ỉệểề ỉể ề
ề ỉ
ề ỉ ỉ ề ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ề é
ử ừề

f 0 ỉệũề Rn = f
ỉệ é
ề ỉệểề
ỉ ụ
ỉ
ỉ ụ
á ỉệểề

R[X]2 },

fi
gi

ể f R[X]

ữ R(X) é ỉệ

ề

ỉ

2

|k N, fi , gi R[X], gi = 0, i = 1, ã ã ã , k .

ề


ặụ f 0 ỉệũề Rn á
ìí ệ



í

ề f

R(X)2

ỉ

ỉ ì ề ú é ũề ế ề ụề ữ
ử ừề ỉ ề ỉ ề ứề ễ
ề
ỉ
á ễ
à
ỉể ề ỉ ẵ
é ệỉ

ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề
ẵắẵ

ỉ

ẻ ữ
ề ũề


ề é
ử

ỉ
ỉể ề ẹ ẹ ề

ừề
ỉ ử

ề
ềá

ề ỉệ ế ề ỉệ ề ỉệểề
ỉể ề
ỉể ề ỉ

ỉ
é
ỉể ề ỉứẹ
ẳẵà

f = inf f (x),
xKG

f R[X]á G KG ĩ
ề ề
ỉệũề

é
ỉể ề ỉ

ỉ
ỉể ề ỉ


ỉ

ề ề
ì ỉ

á ếí ể
 ỉ ũề ễ ề ẹ ỉ
ỉ ỉỉ

ặ ìỉ ệể
ỷệ

ỉệểề ỉệ ề
ễ

ễ ề ỉ

ỉ ề ỉ ề

ứề ễ
ề
ìì ệệ ắ é ề
 ỉ ũề
ử ỉ ụỉ é ễ ẹ ỉ í

ề é
ỉ
ậ í
ề ỉ ẹ ề
ỉệểề ữ
ếíụỉ
ỉể ề ỉ
ử ỉ

ề

ỉệũề èệểề ỉệ ề

ề ệ ề

ễ G = , KG = Rn á

ỉể ề

ề ú ề ề ũề
ế ề ỉ ẹ ỉ

éỳề

ề ĩ
ề é ỉ íụỉ ỉể ề ỉ ậ ểệ ẵ é ề
é
ử

ỉ ử ẹ ỉ
ỉ
ề ú ụề
ề ệ ề
ỉựề
ề ề ẹ ẹ ề

ệ ề
ề ĩ
ề
ề ề ỉ ề ề é

ỉ
ề ẹ
ỉ ử ụỉ
ỉ
èệểề ề é
ẹ ỉ
ỉ
ề ú ụềá
ễ ề

ụỉ ế
ì ỉ
ề í
ẩỉ ề ệ
ề
ỉ ụề
ỉệ ỉ
ẹ ỉ
ỉể ề ỉ

ệ
ề ú ề
ề


ề é
ử ừề
ề

ỉ
ĩ ẹá
ề
ềá ắ à

ẳẵà
ỉ ử ụỉ é

ề

f = inf f (x) = sup{| f (x), x KG }
xKG

= sup{|f (x) 0, x KG }

= sup{|f (x) > 0, x KG }.

ặ ỉ ụá ữ
ỉứẹ f

íửề ì ề ỉứẹ ìễệ ẹẹ


ì ì ể
ể f
ề
ẹ ể
ề à ỉệũề KG ử
ếíụỉ
ỉể ề

ề íá ẹ ỉ ỉệểề ề ề
ỉ ề é
ỉ í ỉ ụ ú ữề
ề ẹ
ẹ ỉ ú ữề ề ể
ề
ề ềá ỉệểề



ỉ ề ứề ễ
ề á ử
ỉ ử ỉ ụễ
ề ề

ì
ề ẫí ể
ề ĩ
ề ậ ẩà
ẻ
ỉ ề
á ẹ ỉ ỉệểề ề ề

ử ề é ề
ú ữề f 0 ỉệũề KG é ĩ ỉ
ề
ử ừề f
m

f = t0 +

ỉệểề

ti

R[X] è
é á ề
2

é ề

ú

ti gi ,
i=1

ữề f 0 ỉệũề KG ỉ

ề

f MG


óÙ Ò Ý

Ò ôÒ Ú ÷
Ü Ø

ØÓ Ò
´¼º¾µ

f sos,G = sup{λ|f − λ ∈ MG }.
Ê Ö Ò ¸ ÒôÙ f − λ ∈ MG Ø ø f − λ ≥ 0 ØÖòÒ KG º Ó
f sos,G ≤ f ∗ º À Ò Ò
Ñ Ø Ò Ð
öÙ õÒ
Ò
Ó
Ø
f − λ ØÖòÒ KG Ø ø f sos,G = f ∗ º

¸ ÒôÙ Ø

Ò
Ò ôÒ Ñ Ø ÉÙÝ Ó
Ò Ü
Ò ¸
Úø
Ò
ÌÙÝ Ò òÒ Ú ÷
ØøÑ f sos,G
öÙ õÒ
f − λº ö Ò Ò
Ñ Ø
Ø
Ò
Ò

Ø
ti ØÖÓÒ
ÉÙÝ Ó
Ò Ü
Ò ¸
Ò Ø Ü Ø

× Ò ÙÝòÒ k Ú

2k ≥ max{deg(f ), deg(g1 ), . . . , deg(gm )}.
Ø

ØÓ Ò
m

fksos,G = sup{λ|f − λ = t0 +
fksos,G

Ã

i=1

ti gi , ti ∈

ØùÒ ÕÙ Ñ Ø ÉÙÝ Ó
Ò

´¼º¿µ

R[X]2 , deg(t0 ), deg(ti gi ) ≤ 2k}.

Ü

Ò ºÀ ÒÒ

¸

sos,G
≤ f sos,G ≤ f ∗
fksos,G ≤ fk+1

Ú

lim fksos,G = f sos,G º

k→∞

Ì ôÔ Ø Ó
Ò Ø
ÕÙÝôØ
ØÓ Ò Ñ Ñ Òº

Ø ÷Ù Ú ØÖ


Ò Ð
öÙ õÒ
Ò ØÖÓÒ Ú ÷
Ò Ø Ò Ø
ØÓ Ò Ñ Ñ Ò
Ô Ø öÙ Ò × Ùº

n
Ó K Ð Ñ Ø Ø Ô
ÓÒ Ò ØÖÓÒ R º Ó L : R[X1 , ..., Xn ] →
R Ð Ñ Ø Ô ôÑ Ñ ØÙÝôÒ ØùÒ º À Ð ÷Ù
Ø Ò Ø Ñ Ø
Ó ÓÖ Ð
Ò µÚ

ØÖÓÒ K × Ó
Ó Ú Ñ f ∈ R[X1 , ..., Xn ]¸

ØÓ Ò Ñ Ñ Ò ´ Ò ½µ

L(f ) =

f dµ?
K

À Ú Ð Ò ´½ ¿ ¸ ¾¼℄µ
µ¸
Ø ö Ò × Ùº

Ò Ð ½ ´À Ú Ð Ò


Ö Ñ Ø

º

¸ ¾¼℄µ

ØÖÓÒ K × Ó
Ó Ú

óÙ

÷Ò
Ò Ú

óÙ ÷Ò
Ò Ú
öØ ÒØ
Ñ f ∈ R[X1 , ..., Xn ] Ø
L(f ) =

f dµ
K

Ð L(f ) ≥ 0 Ú

Ñ

f ≥ 0 ØÖòÒ K º

Ó× Ø ÒØ

Ñ Ø

Ó

Ó

Ò

ÓÖ Ð

Ò µÚ



ềề ể
ề ì


ỉ ễ ỉ ễ
ểề
ỉệểề ề
ỉ

ề ỉệểề Rn

R[X]á ẹ ỉ ề

ề K = KG á G é ẹ ỉ ỉ ễ
ểề

ỉể ề ẹ ẹ ề
ễ ỉ

ỉể ề ẹ ẹ ề ề ắà

ể G = {g1 , ..., gm } R[X] KG , TG

ể ểệ é
ề à
ỉệũề ặụ L(f ) 0, f TG ỉ ứ
ỉ ề ỉ ẹ ỉ
KG ì ể
ể
L(f ) =


ử

ề ề ỳ ề

ỉệểề

f dà
KG



ẹ

f R[X]

í

ề

ệ ề f TG ỉ ứ f 0 ỉệũề KG ể
ỉể ề ẹ ẹ ề ề ắ íụ ề
ỉể ề ẹ ẹ ề ề ẵ èí ề ũềá ềụ
ề ỉ
ẹ ỉ ề é
ử ừề
ề ỉệũề
KG ỉ ứ
ỉể ề ỉệũề ỉ ề
ề ề ế
ề é é ề à ặ

ỉ ử
ĩ ẹ ỉ ũẹ ú ề
ề


ề é
ử ừề
ề ử
ếíụỉ

ỉể ề ẹ ẹ ề
ỉệểề

ỉ é ữ ắ á ẵ
ề

ì

ề é
ử ừề
ề
ể
ỉ
ề ề
ề ú ì ế ề ỉ ẹ
ỉể ề
ệ ề ẵ à ậỉ ề é ẵ à ắ á
ệ
ử ừề
ẹ
ể

ỉ
ề ỉ ề ề á
ề ẹá ề
ề à ỉệũề ẹ ỉ ỉ ễ ề
ề ẻ ữ
ỉứẹ

ề é
ử ừề
ề
ề ẹ ỉ
ữề ề ề
ế ề ỉ ẹ

ề ú ề


ặ ẹ ẵ ẵá
ậ
ẹÔ
ề

ậ
ẹÔ
ề
ề



ỉ
ì
ề
ỉ ỉ

ữ
ỉứẹ é
ể
ỉể ề ẹ ẹ ề ề
ề
ỉự
ẹá
ệ ẹ ỉ
ề é
ử ừề

ề ỉệũề ỉ ễ
ểẹễ
ỉ
ỉ ửá
ề ệ ề ặụ f > 0 ỉệũề KG KG é ỉ ễ
ểẹễ
ỉ ỉ ứ f TG

ỉ ỉệ ề
ễ
ẵ á ử ừề


ữỉ
ề é ậ
ẹÔ
ề

ệ ỉệ
ỉ
ề ỉệũề ẹ ỉ
ữề é á
ểẹễ
ỉ

ẻ ữ
ệ ẹ ỉ
ề ìể ỉ
ể
ú ữề

ì ẹ ỉ
ỉ
R[X]

é

ú ữề ử ẹ ể

ỉ
ề ỉệũề KG ỉ
ể MG
TG ỉ ú ữề ề ỉ ụ
ẩỉ ề ệ
ệ ề ẹ ẵ á
MG ặ
é á ẹ ỉ ẹ ề
M ỉệểề ề
ẹ ề

ì ẹ ỉ ềụ ỉ ề ỉ ì ỉ ề ũề k N ì ể
ể k(X12 +...+Xn2) M

ề é
ử ừề
ề
ẩỉ ề ệ
á ềụ f > 0 ỉệũề KG ỉ ứ f MG

ễ

ỉ

ử ề

ì



ề éẹ ề

ì MG
ì ẹ ỉ

ề KG
ệ ề á MG
ì ẹ ỉ ỉ ứ TG
ì ẹ ỉ ề ề á TG
ì ẹ ỉ ỉ ề
ểẹễ
ỉ ề ề á ềụ f
ề ữẹ ỉệểề KG ỉ ứ

ề é
ậ
ẹÔ
ề ẩỉ ề ệ
ỉ ử
ề
ề ề ể á ậ
ệ ệ ắá

ệ ẹ ỉ ỉ ũ
ề ìì ề ử


ẹ ể
ể

ỉ
ề ẹ ỉ
é
ề ữẹà ỉệũề KG ỉ
ể TG ỉ
MG à
ú ữề KG
ểẹễ
ỉ ỉ ề ề á MG
ì ẹ ỉà

ề

ề á

ử ừề

ỉ
ề
ề ẹà ỉệũề ẹ ỉ ỉ ễ
ểề
ề
ểẹễ

ỉ ỉệểề Rn
ề ề ú èệểề ỉệ ề
ễ KG
ề
ểẹễ
ỉá ậ

ể ệ ắẳẳ á ẳà
ề
ề
ỉệ ỉ ữẹ
ề ỉệểề
ề ệ ề
ì f R[X]
ề ỉệũề KG á f
ỷ
KG ỉể ề
ú
ề
á ềụ f > 0 ỉệũề KG ỉ ứ f TG
ặ

é

ệ ề áỉ ễ

ễ

R (f, KG ) := {y R|xk KG , xk (k ), f (xk ) y}
é ỉ ễ

ỉệ ỉ ữẹ
ề

f

ẩ éí
ụỉ ế ì íá ử ừề

ỉ
ề ỉệũề Rn+ \ {0}á ỉệểề
Rn+ = {(x1 , ã ã ã , xn ) Rn : xi 0}
ỉ
ỉ ề ề ỉ ặụ f > 0 ỉệũề Rn+ \ {0} ỉ ứ ỉ ề ỉ ẹ ỉ ì ỉ ề ũề N
ểf é ẹ ỉ

é ềì ể
ể

ỉ



N

n

Xi

f
ỉ ỉ


ữì



ề

ú

ề

i=1

ặ ẹ ẵ á ấ ịề
ệ ẹ ỉ ề é
ử ừề
ề
ử ừề ỉ ề ỉ ề

ứề ễ
ề
ể

ỉ
ỉ ề ề ỉ
ề ỉệũề Rn \ {0} ề é ấ ịề
ề ệ ề

ểf é ẹ ỉ
ỉ
ỉ ề ề ỉ

ề f (x) > 0, x Rn \ {0}
áỉ ềỉ

ẹ ỉ ì ỉ ề ũề N

é ềì ể
ể

n

i=1

è ề ế ỉ
ể ụỉ ế
é
ử ừề
ề ỉệũề ẹ
ềìểề ẩể ẵẳ
ẹ ỉ ề é
ử ừề
ể
n
ỉ ụỉ
ể

ỉệểề R

ẵắắ
ề ề

N

Xi2

R[X]2

f

ấ ịề
á ẩỉ ề ệ ẻ ì é ì
ẳ
ệ ẹ ỉ ề
n
ỉỉ ễề
ì
ề
ề ỉệểề R ề íá ề ẹ ắẳẵ á
ụỉ ễ ề é ẩ éí
ề é ẩỉ ề ệạẻ ì é ì
ử
ệ

ỉ
ề ỉệũề ẹ ỉ ỉ ễ
ểề ề
ì

ề
ề
ề é
ử ừề
ề ề í

ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề

ậ í
ề ỉ
ú
ễ ẹ ỉ ì ề ú é ũề ế ề ụề ỉệ ề
ễ t > 1á ĩ ỉ ử
ừề


ỉ
ẹ ỉệ ề ĩ
ề
ề ỉ ề ề á ề ĩ
ề
ề à ỉệũề ẹ ỉ
n
ữ St (R[X]) é ỉ ễ ễ

ỉ
ẹ ỉệ ề
ĩ ề
ễ t ỉệểề

ỉ ễ
ểề
R
Mt (R[X]) ẻ ẹ F St (R[X]) G = {G1 , ..., Gm } St (R[X])á
ữ

KG := {x Rn |Gi (x)
ỉ ễề

ì

ề

ề ỉệểề Rn ĩ

ề

0, i = 1, ..., m},
G




íá ẹ
ỉ
ẹ ỉệ ề G St (R[X]) ẹ x Rn á G(x) 0
ề
t T
ề á ỉ
é ẹ v R , v G(x)v 0

ử
ữ
ể ẹ ỉệ ề G(x) é ề ĩ
ề

ữ G(x) 0
ử é ẹ ỉệ ề G(x) é ĩ
ề
ề á ỉ
é ẹ v
t
T
R \ {0}, v G(x)v > 0.

ữ
MG := {
ATij Gi Aij |Gi G {It }, Aij Mt (R[X])},
i,j

ẹ

ề



ề

ề

ỉ ỉệũề Mt (R[X])

G

è úề ỉ
ỉ ề
ề ỉ
G ì

ữ
TG èệểề ỉệ ề
ễ G = á
ễ

ỉ ề
ề
ề ề ễ ề ỉ
ề AT Aá
t R[X] := M = T é ỉ ễ
A Mt (R[X])á ề é ẹ ề
ề ề ỉ ỉệểề Mt (R[X])
ỉệểề
ấ ệ ề á ềụ F TG ể
MG ỉ ứ F 0 ỉệũề KG ẻ ề ú
ựề ỉ ụễ ỉ ể
ề ỉ
ế ề ỉ ẹ ỉệểề ề ề ề ì
ì F 0 ỉệũề KG
ể F St (R[X]), G = {G1 , ..., Gm } St (R[X])
ẻ
ú ữề ề ể ỉ ứ F TG ể

F MG .

ỉể ề ắ

ũề ế ề ụề
ỉể ề ề íá ậ
ệ ệ ểé

ệ ẹ ỉ ề ẹ ỉệ ề ử

ỉ
ẹ ỉệ ề ĩ
ừề

ỉ
ẹ ỉệ ề ĩ
ề
ề ỉệũề n
ề ề
ề
ề ỉệũề KG ẹ MG
ì ẹ ỉ
ể ề é ẩ éí
ề é ẩỉ ề ệ ỉệểề

n = {(x1 , ..., xn ) Rn |xi 0,

n

xi = 1}

i=1

ẹễệ Đ

ệ
ề ẹ ỉệ ề
ể ề é ệ ề ạậỉ ề é
ẹễệ Đ

é ệ
ề ũề

ỉể ề ẹ ẹ ề
ể

ỉ
ỉể ề ỉ
ệ ẹ ỉ ề ẹ ỉệ ề
ể ề é ậ
ẹÔ
ề ũ
ề èệứề ắ
ệ ẹ ỉ ề ẹ ỉệ ề
ể ề é
ử
ừề
ề
ệ ề ạậỉ ề é á ậ

ể ệá ậ
ệ ệá
ỉ ụỉ
ể

ụỉ ế ề í

ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề
ẵ
ề ẵ
ề ẹ ỉệ ề
ể ề é
ử ừề
ề
ẩ éí ề ẹ ỉ ỉệ ế
ỉệểề é ỉ íụỉ ú
ửề  ụỉ

ỉể ề ú
ửề ỉíụề ỉựề ú ề
ỉ ề ỉ
ẹ ỉệ ề ấ ỉ ề ú ỉệểề ì

ỉể ề ề í
ỉ ử

ề ỉ
ẹ ỉệ ề é ỉíụề ỉựề ấ
ềá ẹ ỉ ỉ ề ỉ

ẹ ỉệ ề ỉíụề ỉựề
ỉệ ĩ ề ế é ỉí ạ à
ề

L(X) := A0 + A1 X1 + ... + An Xn 0,
ỉệểề
ể ỉệ

ề ỉệ ề
ụề



ỉ
ề ệ

ẳ à

X = (X1 , ..., Xn ) é n ụề ỉ
A0 , A1 , ..., An Sn (R) é

ẹ ỉệ ề
ĩ ề
T

ỉ ề ỉ
ẳ à
ỷ ệ L(x) ĩ
ề
ề á ỉ

é á v L(x)v > 0, v


Rn \ {0}

á ẹ úề ĩ

ề

é

G := {x Rn |L(x) 0}.
ề é
ử ừề
ề
ẩ éí
ể
ỉ
ẹ ỉệ ề

ề
ề ệ ề
é ẹ ỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề
ĩ ề ỉ ề ề ỉ
d ặụ F 0 ỉệũề n ỉ ứ ỉ ề ỉ
ề ũề N ì ể
ể
(X1 + ã ã ã + Xn )N F =

A X ,

ì F
ì ỉ

||N +d

ỉệểề
á A é

ẹ ỉệ ề ề ĩ
ề ề íá
ỉ ử ĩ ẹ
ỉ ụỉ ỉệểề

ự

ựề ỉ ụễ ỉ ể
ề ẹ ỉệ ề
ể

ề é
ề éẹ ề

ề ỉ
ử ừề

ặ ể
é
á

ề ẹ


é ũề ế ề ụề ề ềá è é ữ ỉ

ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề

èệểề
ề ẵ
ỉệểề ề ề ẹ ậ
é ệỉ ẹ ỉ ì
ề
ề ẹ ỉệ ề
ể ẹ ỉ
ẹ ú ẹ é ũề ữ

ề

ề á X = X11 ...Xnn ử ệ
ể
ậ
ệ ệ ểé

ỉệểề ề ề é
ếíụỉ
ề
ẩỉ ề ệạẻ ì é ì
á

ề ú

ề
ỉể ề ắá
ệ
ềìểềạẩể

ữá ẹ á
ề ì



ề ỉệứề
ỉ
ẹ
ể ụỉ é ềá ề
ề
ựề
ề ề
ề

ề ỉ
ề
ễ ề ề
ề ữẹ ụỉ ế
ề
ì
ề
ễ ề
ề ữẹ

ỉ
ẹ ỉ ụềá
ỉể ề ỉ ẵ
é
ử ừề
ề á
ỉể ề ẹ ẹ ề
ỉể ề ỉ

ỉ
á
ì
ề é
ử ừề
ề
ề
ề ỉ
ệ ụỉ ế
ỉựề
ề
ỉ
ẹ ỉệ ề ỉ ề ề ỉ
ề

èệểề
ề ắ
ề ỉ
ệ ẹ ỉì

ề
ể
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề
ỉ ửá
ề ỉ
ệ ẹ ỉì
ề ẹ ỉệ ề
ể ề é ề ìỉệÔ
ểẹạ í

ề
é ắẵắá ắẵá ắẵ à ỉ ì
ề ẹ ỉệ ề
ể

ề é
ề
í
ề

ề
ỉ
ệ ỉệểề

ề é ắắắá ắắ á ắắ á ắắ á ắắẵẳá ắắẵắá ắắẵ á ắắẵ á ắắẵ

ề á ỉệểề
ắá

ề ỉ ỉệứề
í ề ìể ì ề


ề
ỉ
ỉệểề

ề ề í


ề

ệ

ẹ è ìì ệ ắắ ỉệũề
ề ự
ễ ề
ẹúẹ ỉựề ỉể ề
èệểề
ề
ề ỉ ề ũề


ề é
ử ừề
ẹ ỉệ ề
ỉ ửá
ề ỉ
ệ

ề ẹ ỉệ ề
ể

ề é
ẩỉ ề ệạẻ ì é ì
á ấ ịề
á
ềìểềạẩể ề éẹ ề ấ ũề
ể ề é ề éẹ ềá
ề ỉ
ệ ẹ ỉ ỉ ỉ
ử ỉứẹ ử
ẹ ỉệ ề ĩ
ề
ề ỉệũề ẹ ỉ
ữề
ểẹễ
ỉá é ỉệểề Rn
ẵẳ

ề
ể

ử ừề
ề

ề ẹ
ừề
ể ẹ ỉ

ỉ




ỉệ ề
ỉ


ụỉ ế
ựề
ề ề
ề ễ ẹ ẵ
ể
ểỉ





ề ỉ

ề

ỉệểề


ỉ ể èể ề
úề èệề ạè í ặ íũề éề á èệ
ề á ẵắạẵ ằẳ ằắẳẵ

ề

ể ẵắá ẳá ỉ úề

ẫí ặ

ềá ứề

ỉ ể ế
ỉụ è
ỉ ềỉ ệề ỉ ểề é ểề ệ ề
ểề ỉệ ĩ ề éíì ì ề
ỉ ểềì à á èệ ề
í è ềá
ặ ề á ẵ ạẵ ằẳ ằắẳẵ
ỉ ể ế
ỉụ ậỉệ ề ạ ỉ ắẳẵ á èệ
ẵ ạắắằẳ ằắẳẵ

ề

èể ể á ậ ề

áặ

ễễé ạ
ỉ

ềá

ỉ ể ế
ỉụ è
ỉ ềỉ ệề ỉ ểề é ểề ệ ề
ểề ỉệ ĩ ề éíì ì ề
ễễé
ạ
ỉ ểềì
ắẳẵ à á èệ ề
ậ ềì á ặ ềểá ặ ỉ
ềá ắắạắ ằẳ ằắẳẵ
ậ ẹ ề ệ ể èể ềá èệ


èể ề
ẵ ằẳ ằắẳẵ

ề

ẻ ữỉ ặ ẹ éề ỉ

ẫí ặ

ềá

á èệ

ề

ứề

ề
è

ứề

ề áỉ

ề ỉ ề ũề é
á ẵ ạ

ề ẵẵ ề ẹ ắẳẵ
è

è

ẵẵ



ứề


ề ẵ
ỉ ì ụỉ ế
ề
èệểề
ề ề í
ề ỉ ỉệứề
í ẹ ỉ ì ụỉ ế

ề
ể


ề
ề
é
ề ề ậ ễ ề
ề ữẹ
ỉ
ẹ ỉ ụề ề
ề é
í ẵá
ẹ ỉì
ề é
ề
íá ề é
ề ìỉệÔ
ểẹạ í
á ểệểéé ệí
ỉệứề
í ỉệểề
ẵẵ
ề ỉ ì ỉệứề
íẹ ỉì
ề ề ỳ
ề ỉệểề ứề

ì ỉ
á

ỉệự
ề ỉ


ề ỉệứề
ậ
ẹÔ
ề
á á á ẹễệ Đ
á
ệì éé ắ ỉệểề
ẵắ  í
ề ỉ
ề ỉệứề
íẹ ỉì
ề é
ử ừề
ề
ể
ỉ
ỉ ì
ề é
ử ừề
ề
ể
ỉ
ẹ ỉệ ề

ề ỉ
ỉệứề

í ỉệểề
ẵ ề
ề


ề é
ử ừề
ề ỉệểề
ỉể ề ỉ

ỉ
ỉể ề ẹ ẹ ề ì

ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề
ẵ
ề
ề ỉ
ệ ẹ ỉ ì ụỉ ế ẹ ú ẹ é ũề ữ
ỉựề
ề
ỉ
ẹ ỉệ ề
ỉ ề ề ỉ
ề

ẵẵ ậ ễ

ề

ề

ữẹ



ỉ

ẹ ỉ

ụề

ỉể ề ỉứẹ ề ữẹ


ỉ
ẹ ỉ ụề é ẹ ỉ ỉệểề ề ề
ỉể ề
ề

ì èí ề ũề ữ
ỉứẹ
ựề ĩ
ề ữẹ
ỉ
ẹ ỉ ụề
ề ễ
é
ề ể
ề ừ ề ể á ỉ í ứ ỉứẹ ề ữẹ

ỉ
á
ề ỉ ỉứẹ ẹ úề


ề ữẹ
ề


ỉ
ữ ì ỉ
á ỉ


ề ỉ ề
ề ì í
ề é
ề ìỉệÔ
ểẹạ í

ề é ẵẵẵ

ề ìỉệÔểẹạ

í á

ề ẵá

d

á

ểệểéé ệí à



ể f (z) é ẹ ỉ

f (z) = ad z d + ad1 z d1 + ã ã ã + a1 z + a0 , ai R, i = 0, ..., d.
ẵắ

ỉ




ì ệ ề
ad ad1 ã ã ã a0 0, ad > 0.
a0
|z| 1
ữẹ
f (z) ỉ ứ
2ad

ặụ z C é ẹ ỉ ề


ế
í

ú

ữề ì ễ ỉ

ỉ


ữì áỉ

ề é ẵẵắ

é ẹ ỉ

ỉ

ề ìỉệÔ
ểẹạ



0id1

áẹ

ề é

ề ìỉệÔểẹạ í á ề ắá à
ể f (z) = ad z d +ad1 z d1 +ã ã ã+a1 z +a0
ỉ
ai , i = 0, ..., d, é

ì ỉ
ề
ữ

:= min



ề ắì

ề

ữẹ z C

ai
ai+1

f (z) ỉ

ai
ai+1

, := max

0id1

.

ẹ ề

|z| .


ỉ ửề


ì

ỉ

ề é ẵẵ


áẹ

ề



M = max



èệểề ỉệ ề
ề ỉ ề ề

ữ ế ẵẵ

ễ
íá

ữẹ

á

ề é

ề ẵá ẵá à

ỉ

d



d

ể f (z) =

ai z i é ẹ ỉ



d

ễ
ỉ
f (z)
|ad | > |ai |, i = 0, ..., d 1á ỉ ứ M < 1
ẹ ỉ ữ ế ì

á è ểệ ẹ ắắà



íá

ề

ề

ữẹ

ữẹ

ai z i é ẹ ỉ

ỉ

i=0

ỉ

ề ắá ẵá ậ
ỉ ểề ắ à

ề é ề

d

ể f (z) =



ề

f (z) ề ẹ ỉệểề
ể f (z) =



ỉ



d

ữẹ

i=0

g(z) = |ad |z d |ad1 |z d1 ã ã ã |a1 |z |a0 |.

ỉ

f (z) ỉ

ẹ ề

r |z| R.
ẵ

ễ



á

d ặụ

ỳ {z C| |z| < 2}

ai z i é ẹ ỉ


ề

ễ

ề á

aj
, j = 0, 1, ..., d 1 .
ad

r Rỉ

áẹ

ỉ

ữẹ

i=0

h(z) = |ad |z d + |ad1 |z d1 + ã ã ã + |a1 |z |a0 |,




ề

f (z) ề ẹ ỉệểề ỳ
{z C| |z| 1 + M},

|ad | > |ai |, i = 0, ..., d1, ỉ ứ ẹ

ề é ẵẵ

í
ỷ ệ ẹ ỉ ỳ ỉệ ề

ỉ

ễ

Ì
Ô Ò

Ò Ø
Ø Ò ØÖòÒ
Ò ÷Ñ
Ø
Ò

Ò Ð ½º½º

Ù
ݸ
× Ùº

º

Ò Ø
Ñ Ø×
d

Ó f (z) =

´ ¸ Ì ÓÖ Ñ ¿º¾℄µ

0≤i≤d−1

¸Ñ

Ò

ք

Ø

ai z i Ð Ñ Ø

Ø

Ò

Ô



Ù
Ý Úó ×

dº Ã

÷Ù

i=0

M := max

Ã

ôØ ÕÙ

f (z) Ò Ñ ØÖÓÒ

ai
.
ad

ú

K(0, r1 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r1 },

ØÖÓÒ

¸ r1 Ð Ò

ք

Ò Ð ÒÒ

Ø

Ô

Ò ØÖøÒ

z d+1 − (1 + M)z d + M = 0.
Ô

Ò

Ò Ð ½º½º
Ó

À÷ ÕÙ ½º½º

Ø

º

(1 − z)f (z)¸

M := max

¸Ñ

Ò

ք

Ø

ai z i Ð Ñ Ø

Ò



÷ ÕÙ × Ùº

Ø

Ô



dº Ã

÷Ù

Ø

Ô



dº Ã

¸

ÔÐ Ø Ø

Ò

i=0

i=0,...,d

Ã

d

Ó f (z) =

´ ¸ Ì ÓÖ Ñ ¿º¿℄µ

Ò Ø Ò

ad−i − ad−i−1
, a−1 := 0.
ad

f (z) Ò Ñ ØÖÓÒ

ú

K(0, r2 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r2 },

ØÖÓÒ

¸ r2 Ð Ò

ք

Ò Ð ÒÒ

Ø

Ô

Ò ØÖøÒ

z d+2 − (1 + M )z d+1 + M = 0.
À÷ ÕÙ × Ù

À÷ ÕÙ ½º½º
Ñ

Ò

ք

Ý Ð Ñ Ø ôØ ÕÙ Ø

º

´ ¸ Ì ÓÖ Ñ ¿º ℄µ

Ø

Ò Ø

Ò Ð ½º½º¿º

Ó f (z) =

f (z) Ò Ñ ØÖÓÒ

d

ai z i Ð Ñ Ø

i=0

ú

K(0, r3 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r3 },

ØÖÓÒ

×Ó Ú

¸ r3 = 1 + M Ú M
Ò ØÖòÒ × Ù Ý



Ò
Ù
ݺ

Ü

ÂÓÝ Ð¹Ä

Ò Ò
ÐÐ ¹Ê

ØÖÓÒ À÷ ÕÙ ½º½º º
Ñ Ò ¾ ℄ ØÖÓÒ Ò óÙ ØÖ

½

Ò


Ò Ð ½º½º
dº Ã

´ÂÓÝ Ð¸ Ä

ÐÐ ¸ Ê

Ñ Ò¸ ¾ ℄µ

¸Ñ

Ò

À÷ ÕÙ ½º½º½¼ ´ ¾ ℄µº
a0 = 0º Ã

÷Ù

1−

Ò

ք

f (z) Ø

Ò Ð ½º½º
Ó

À÷ ÕÙ ½º½º½½ ´ ¾ ℄µº
dº Ã

÷Ù

a1
+
a0

Ø



Ì
Ò

Ò



.

Ø

Ñ Ø

Ò

Ø

Ô



Ø

Ô



ai
.
a0

1−

a1
a0

(1 − z)f (z) Ø

.

2

+ 4β

÷ ÕÙ × Ùº

Ó f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø
i=1,...,d

¸Ñ

Ò Ø ×

2

γ := max

Ã



Ñ Ò

1+

Ò

+ 4α




Ó f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø

|z| ≥

Ô

2

ad−1
ad

g(z) = z d f ( z1 )¸

i=2,...,d

¸Ñ

Ô

ai
.
ad

i=0,...,d−2

β := max

Ã

Ø

ք

Ô Ò
Ò Ð ½º½º
Ó
Ø
Ó Ò ÷Ñ
Ø
Ò × Ùº

dÚ

ai z i Ð Ñ Ø

i=0

max

f (z) Ø
Ñ Ò

1
ad−1
|z| ≤
+
1+

2
ad

d

Ó f (z) =

÷Ù
α :=

Ã

º

ad−i − ad−i−1
, a−1 := 0.
ad

ք

f (z) Ø
Ñ Ò

1
ad − ad−1
|z| ≤
+
1+
2
ad

Ò Ø ¸ Ô Ò À÷ ÕÙ ½º½º½½
Ó

Ó
Ø
Ò × Ùº

1−
Ø

½

ad − ad−1
ad

2

+ 4γ

g(z) = z d f ( 1z )¸





.

Ò Ø Ò

Ò

Ñ Ø

À÷ ÕÙ ½º½º½¾º
a0 = 0º Ã

÷Ù

Ó f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø
γ ′ := max

i=1,...,d

Ã

¸Ñ

Ò

ք

f (z) Ø

Ô

Ò

Ò Ð ½º½º
Ó

À÷ ÕÙ ½º½º½¿ ´ ¾ ℄µº
dº Ã

δ :=

Ã

¸Ñ

Ò

ք

d

Ø

1−

a0 − a1
a0

(z − ad−1 )f (z) Ø

.

2

+ 4γ ′
÷ ÕÙ × Ùº

Ó f (z) = z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø

÷Ù



Ñ Ò
a0 − a1
+
a0

1+

Ô

ai − ai+1
, ad+1 := 0.
a0
2

|z| ≥

Ø

Ø

Ô

max |ad−1 ai − ai−1 |, a−1 := 0.

i=0,...,d−1

f (z) Ø

Ñ Ò
√
1
|z| ≤ (1 + 1 + 4δ).
2

Ú
Ò

Ñ Ø
× Ùº

À÷ ÕÙ ½º½º½
dº Ã

Ø



Ø

º

δ ′ :=

Ã

¸Ñ

Ò

ք

Ò

Ü Ø

Ø

ÑÓÒ
Ø

Ò

Ò ¸Ø Ò

Ó f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø

´ ¾ ℄µ

÷Ù

¸

max

i=0,...,d−1

f (z) Ø

Ø

Ò



Ô



ad−1 ai − ai−1 ad
, a−1 := 0.
a2d

Ñ Ò
√
1
|z| ≤ (1 + 1 + 4δ ′ ).
2



Ì

Ò

Ò Ø ¸ Ô Ò À÷ ÕÙ ½º½º½
Ó
Ó
Ø
Ò × Ùº

À÷ ÕÙ ½º½º½ º
a0 = 0º Ã

ÓÑ Ø

Ø

Ô

÷Ù

δ” := max

i=1,...,d

Ã

¸Ñ

Ò

ք

f (z) Ø

Ø

g(z) = z d f ( 1z )¸

Ò Ø Ò

Ò

f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0
a1 ai − a0 ai+1
, ad+1 := 0.
a20

Ñ Ò
|z| ≥

1+

√

½

2
.
1 + 4δ”

Ñ Ø

d


Ò Ð × Ù
Ù
Ý ØÖÓÒ



ØØ Ú
ÓÚ Ð
Ò Ð ½º½º¿º

℄
Ó

Ò Ø Ñ Ø

Ò Ð ½º½º½

´ Øع ÓÚ Ð¸ ¸ Ì ÓÖ Ñ ½℄µ
d−1
ad−1 z
+ · · · + a1 z + a0
dº Ã
÷Ù

A :=

Ã

¸Ñ

Ò

ք

f (z) Ø

º

max

i=0,...,d−1

Ò ØÖòÒ Ø Ø

Ó Ñ Ø

Ø

Ô

Ò ×Ó Ú



Ò ØÖòÒ

f (z) = ad z d +

ai
.
ad

Ñ Ò

|a0 |
≤ |z| ≤ 1 + x0 A,
2|ad |(1 + A)d−1 (Ad + 1)

ØÖÓÒ

¸ x0 Ð Ñ Ø Ò

ÌÖÓÒ ØÖ Ò
Ø
Ø ö Ò

ք

Ô

Ô
ØøÑ Ò
Ò × Ù Ýº

Ò ØÖøÒ x = 1 −
÷Ñ x0 ∈ (0, 1)

Ò Ð ½º½º½

´ Øع ÓÚ Ð¸ ¸ Ì ÓÖ Ñ ¾℄µ
d−1
÷Ù
ad−1 z
+ · · · + a1 z + a0
dº Ã

A :=

Ã

¸Ñ

Ò

ք

f (z) Ø

º

max

i=0,...,d−1

1
(Ax+1)d

Ô

Ò Ñ ØÖÓÒ (0, 1)º

1
Ò ØÖøÒ x = 1 − (Ax+1)
d¸

Ó Ñ Ø

Ø

Ô

Ò

f (z) = ad z d +

ai
.
ad

Ñ Ò

|a0 |
1
A.
≤ |z| < 1 + 1 −
d−1

2|ad |(1 + A) (Ad + 1)
(1 + A)d
Ì

Ò Ø


Ò Ð ½º½º½
· · · + a1 z + a0

Ò Ð

Ù
ݸ

º

¸Ñ

Ò

Ó Ñ Ø

´ ¿ ¸ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾℄µ
dº Ã
÷Ù

M :=

Ã

Ò Ø




ք

f (z) Ø

Ò× Ù

Ø

Ô

i=1,...,d

Ñ Ò

Ò Ð ½º½º½ Ø

ôØ ÕÙ × Ùº
½

ք

Ø

º

f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 +

max |ai |, M ′ := max |ai |.

i=0,...,d−1

|a0 |
M
< |z| < 1 +
.
′
|a0 | + M
|ad |
Ì Ò ÕÙ Ø
Ó

Ý
ÓÒ