Nhóm lie tuyến tính và biểu diễn (tt)

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH DIỆU

NHÓM LIE TUYẾN TÍNH VÀ BIỂU DIỄN

Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
Mã số

: 8460105

Demo Version - Select.Pdf SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Thừa Thiên Huế, năm 2018
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu
trong luận văn là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố
trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.

Nguyễn Thị Thanh Diệu

Demo Version - Select.Pdf SDK

iii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG. Thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Ngoài ra, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa Toán
học và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế; gia
đình cùng các bạn học viên Cao học khóa 25, bạn bè đã động viên, góp ý, giúp
đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2018

Demo Version - Select.Pdf SDK

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Diệu

v


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1 NHÓM LIE TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1

Định nghĩa nhóm Lie tuyến tính và ví dụ . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Ví dụ về nhóm Lie tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . .

4

Đại số Lie của nhóm Lie tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1

Phép toán exponent của ma trận . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Đại số Lie của nhóm Lie tuyến tính . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3

Ví dụ về đại số Lie của nhóm Lie tuyến tính . . . . . . .

17

Chương 2 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM LIE TUYẾN TÍNH . .

22

2.1

Biểu diễn của nhóm Lie tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.1

Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.2

Biểu diễn unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.3

Biểu diễn bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.4

Biểu diễn liên hợp và đối liên hợp . . . . . . . . . . . . .

36

2.2

Biểu diễn của nhóm SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3

Liên hệ giữa nhóm Lie tuyến tính và nhóm Lie . . . . . . . . . .

51

1.2

Demo Version - Select.Pdf SDK

KẾT LUẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

1


LỜI MỞ ĐẦU
Cho nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, C) là tập con gồm các phần tử khả
nghịch của M (n, C). Khi đó, mỗi nhóm đẳng cấu với một nhóm con đóng của
GL(n, C) được gọi là nhóm Lie tuyến tính. Các nhóm Lie tuyến tính và đặc
trưng của chúng được khảo sát bởi Ben Said vào năm 2007. Trước đó, các nhóm
loại này đã được Baker A. trình bày trong [3] và Hall B.C. trình bày trong [6].
Cho G là một nhóm Lie tuyến tính và V là không gian vectơ phức hữu hạn
chiều. Một biểu diễn hữu hạn chiều của G trong V là một đồng cấu nhóm liên
tục từ G vào nhóm GL(V ) tập hợp các tự đẳng cấu trên V . Việc khảo sát và
phân lớp các biểu diễn của nhóm Lie tuyến tính là một bài toán thú vị và thu
hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Trần Đạo Dõng, và với
mong muốn tìm hiểu thêm về nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie tương ứng và biểu
diễn của chúng, tôi đã chọn đề tài "Nhóm Lie tuyến tính và biểu diễn" để

Demo Version - Select.Pdf SDK

làm đề tài nghiên cứu cho luận văn.
Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu về nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie
của nhóm Lie tuyến tính và các biểu diễn của chúng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
hai chương.
Chương 1 trình bày về nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie của nhóm Lie tuyến tính
và thể hiện qua một số ví dụ minh họa cụ thể.

Chương 2 trình bày về biểu diễn của nhóm Lie tuyến tính, biểu diễn của đại
số Lie tương ứng. Thể hiện mối quan hệ giữa biểu diễn bất khả quy, biểu diễn
unita, biểu diễn liên hợp và đối liên hợp của nhóm Lie tuyến tính. Từ đó, minh
họa cụ thể cho nhóm unita đặc biệt SU (2).

2


Chương 1
NHÓM LIE TUYẾN TÍNH
Trong chương này, chúng tôi trình bày về nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie của
nhóm Lie tuyến tính và thể hiện qua một số ví dụ minh họa cụ thể. Các kiến
thức trình bày dưới đây được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [5], [6], [7], [9].

1.1

Định nghĩa nhóm Lie tuyến tính và ví dụ

1.1.1

Định nghĩa

Xét không gian vectơ M (n, C) các ma trận vuông phức cấp n, mỗi ma trận
X ∈ M (n, C) ứng với n2 số phức a11 , a12 , ..., a1n , a21 , ..., a2n , ..., an1 , ..., ann nên
2

ta có thể đồng nhất M (n, C) với Cn . Qua đó, M (n, C) trở thành một không
2

gian tôpô với tôpô cảm sinh từ Cn . Trong không gian tôpô này, ta có các khái

niệm sau.

Demo Version - Select.Pdf SDK
Định nghĩa 1.1.1. Cho (Am )m∈N là một dãy các phần tử của M (n, C), Am hội
tụ tới ma trận A nếu lim |(Am )kl − Akl | = 0, ∀ 1 ≤ k, l ≤ n.
m→∞

Trong không gian vectơ M (n, C), tập hợp các ma trận vuông phức cấp n
khả nghịch là một nhóm với phép nhân ma trận (xem [1, p.82]), gọi là nhóm
tuyến tính tổng quát, kí hiệu là GL(n, C).
Định nghĩa 1.1.2. Một nhóm G được gọi là nhóm Lie tuyến tính nếu tồn tại
n ∈ N sao cho G đẳng cấu với một nhóm con đóng của GL(n, C).
Nhận xét 1.1.1. Cho một nhóm con bất kì G của GL(n, C) thỏa mãn tính
chất: Nếu (Am )m∈N là một dãy ma trận trong G và Am hội tụ tới một ma trận
A nào đó của M (n, C) thì A ∈ G hoặc A không khả nghịch. Khi đó, G là một
nhóm con đóng của GL(n, C).

3