Chuong 1 dao dong co hoc

+

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................................... 3

Chuyên đề 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA .................................... 5
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ..................................................................................................... 5
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN ................................................................................ 11
Dạng 1. Xác định các đặc trưng trong dao động điều hòa ...................................................... 11
Dạng 2. Thành lập phương trình dao động dao động điều hoà .............................................. 16
Dạng 3. Tổng hợp dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Bài toán hai vật dao động.
................................................................................................................................................... 23
Dạng 4. Năng lượng trong dao động điều hoà ....................................................................... 33
Dạng 5. Tìm thời gian ngắn nhất ............................................................................................ 37
Dạng 6. Tìm quãng đường đi được trong dao động điều hòa ................................................ 42
Dạng 7. Tìm quãng đường lớn nhất, nhỏ nhât; thời gian lớn nhất, nhỏ nhất .......................... 46
Dạng 8. Xác định thời điểm vật qua vị trí bất kì ...................................................................... 51
Dạng 9. Xác định số lần vật qua vị trí bất kì ........................................................................... 54
Dạng 10. Xác định trạng thái dao động của vật sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian t.
................................................................................................................................................... 55

Chuyên đề 2. CON LẮC LÒ XO ........................................................................ 58
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ................................................................................................... 58
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN ................................................................................ 62
Dạng 1. Các đại lượng đặc trưng của con lắc lò xo................................................................ 62
Dạng 2. Độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng ................................................................... 63
Dạng 3. Thành lập phương trình dao động của con lắc lò xo ................................................. 65
Dạng 4. Lực đàn hồi, Lực hồi phục ........................................................................................ 68
Dạng 5. Hệ lò xo và vật nặng, cắt – ghép lò xo ...................................................................... 73
Dạng 6. Các điều kiện biên độ ............................................................................................... 81
Dạng 7. Bài toán va chạm ...................................................................................................... 90

Dạng 8*. Con lắc lò xo có vật ép lên giá đỡ chuyển động với gia tốc a. ................................. 97
Dạng 9*. Dao động của hai vật xung quanh khối tâm. .......................................................... 100
Dạng 10*. Con lắc lò xo trong hệ qui chiếu phi quán tính ..................................................... 103
Dạng 11*. Một số hệ dao động khác – Bài toán giả dao động .............................................. 105
Dạng 12*. Chứng minh dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng ........................ 108
Dạng 13*. Dao động của con lắc chịu tác dụng của ngoại lực không đổi trong thời gian t .... 111

Chuyên đề 3. CON LẮC ĐƠN VÀ CON LẮC VẬT LÍ ...................................... 114
1


A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ................................................................................................. 114
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN .............................................................................. 118
Dạng 1. Các đại lượng đặc trưng. Cơ năng của con lắc đơn ............................................... 118
Dạng 2. Vận tốc, gia tốc và sức căng của dây khi con lắc đơn dao động với biên độ góc lớn 
> 100 ......................................................................................................................................... 123
Dạng 3. Sự thay đổi chu kì do nhiệt độ hoặc độ cao. Ứng dụng khảo sát độ nhanh chậm của
đồng hồ .................................................................................................................................... 127
Dạng 4. Con lắc đơn chịu thêm tác dụng của lực phụ không đổi.......................................... 130
Dạng 5. Khảo sát dao động của con lắc vướng đinh ............................................................ 137
Dạng 6. Con lắc trùng phùng ............................................................................................... 140
Dạng 7. Bài toán va chạm .................................................................................................... 142
Dạng 8. Khảo sát chuyển động của vật sau khi con lắc đơn đứt dây ................................... 144
Dạng 9. Con lắc vật lí ........................................................................................................... 146

CHUYÊN ĐỀ 4. DAO ĐỘNG TẮT DẦN, DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC – CỘNG
HƯỞNG ............................................................................................................... 149
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ................................................................................................. 149
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN .............................................................................. 151
Dạng 1. Dao động tắt dần .................................................................................................... 151

Dạng 2. Dao động cưỡng bức – cộng hưởng ...................................................................... 162

2


LỜI NÓI ĐẦU
Được học tập và nghiên cứu ở giảng đường đại học là nguyện vọng chính đáng của các
em học sinh, đặc biệt là các em học sinh lớp 12. Để làm được điều này các em phải hết sức
nỗ lực phấn đấu trong suốt quá trình ngồi trên ghế nhà trường và lớp 12 là giai đoạn nước
rút trước khi về đích.
Chính vì vậy, trong năm cuối cấp này các em cần tập trung tối đa thời gian và công sức
của mình vào công việc học tập.
Nhằm giúp các em học sinh lớp 12 có một tài liệu ôn thi vào Đại học, Cao đẳng tôi đã
biên soạn cuốn Các chuyên đề luyện thi đại học với mục đích hệ thống lại các kiến
thức cơ bản và nâng cao để làm hành trang cho các em bước vào cổng trường đại học.
Nội dung cuốn sách gồm:
- Tóm tắt lí thuyết cơ bản, có mở rộng và nâng cao.
- Phân loại các dạng bài tập cơ bản thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ
và một số vấn đề nâng cao trong luyện thi học sinh giỏi.
- Bài tập mẫu theo chủ đề.
- Bài tập tự luyện theo dạng.
- Bài tập trắc nghiệm theo dạng.
- Bài tập trắc nghiệm ôn tập tổng hợp theo chương.
Với mục đích hết sức đơn giản là giúp các em bước chân vào trường Đại học, hi vọng tập
tài liệu này thực sự bổ ích đối với các em và là tài liệu tham khảo đối với các thầy cô giáo
trong quá trình luyện thi.
Trong quá trình biên soạn, chắc chắn không tránh khỏi các sơ suất và thiếu sót, mong
nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các em.
TÁC GIẢ

3


4


CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG CƠ
Chuyên đề 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Dao động cơ, dao động điều hoà
1. Dao động cơ (Dao động). Dao động tuần hoàn
1.1. Dao động cơ
Ví dụ: Quan sát chiếc lá trên cành cây khi có gió, quan sát chuyển động của con lắc đồng
hồ, chuyển động của con lắc lò xo, chuyển động của con lắc đơn.....
Ta thấy, các các vật trên đều có những đặc điểm chung sau:
Thứ nhất, chúng có một vị trí cân bằng (vị trí mà hợp lực theo phương tiếp tuyến bằng 0).
Thứ hai, các chuyển động trên đều lặp đi lặp lại xung quanh vị trí cân bằng trong một
không gian hẹp.
Khi đó, ta nói rằng các vật trên (chiếc lá, con lắc đồng hồ, con lắc lò xo, con lắc đơn…)
thực hiện dao động cơ học (dao động).
Định nghĩa: Dao động là chuyển động lặp đi lặp lại trong một không gian hẹp, xung
quanh một vị trí cân bằng.
1.2. Dao động tuần hoàn
Quan sát chuyển động của con lắc đơn như hình vẽ: Nếu thả
vật từ vị trí A thì vật sẽ chuyển động sang trái qua M, O rồi đến
B thì dừng lại, sau đó vật lại về phía phải qua O, M rồi lại về A.
Chuyển động được lặp lại như thế liên tiếp và mãi mãi. Chuyển
động như vậy gọi là dao động tuần hoàn.
Giai đoạn chuyển động AOBOA được lặp lại như trước. Ta
gọi đó là một dao động toàn phần hay một chu trình.

Thời gian thực hiện một dao động toàn phần gọi là chu kì (Kí
hiệu là T) của dao động tuần hoàn. Đơn vị của T là giây (s).
Tần số dao động f, là số dao động toàn phần thực hiện trong một giây: 𝑓 = . Đơn vị của
f là Héc (Hz).
Định nghĩa: Dao động tuần hoàn là dao động mà sau mỗi khoảng thời gian bằng nhau,
gọi là chu kì, vật trở lại vị trí cũ và đi theo hướng cũ (trạng thái dao động lặp lại như cũ).
Dao động tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều hoà.
5


1.3. Dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dao động cơ có li độ phụ thuộc và thời gian theo định luật dạng sin
hoặc cos.
2. Phương trình của dao động điều hòa
Giả sử có một điểm M chuyển động tròn đều theo chiều
dương (ngược chiều kim đồng hồ) trên đường tròn tâm O,
bán kính R với tốc độ góc ω (hình vẽ).
Gọi P là hình chiếu của điểm M lên trục Ox trùng với
một đường kính của đường tròn và có gốc trùng với tâm
O của đường tròn.
Ta thấy, khi điểm M chuyển động tròn đều trên đường
tròn thì hình chiếu của nó (tức là điểm P) dao động trên trục Ox xung quanh gốc tọa độ O,
đóng vai trò là vị trí cân bằng.
Vị trí của P so với vị trí cân bằng O gọi là li độ của điểm P.

Tại thời điểm ban đầu (t = 0), điểm M ở vị trí M0, được xác định bởi góc POM
1
0   (rad )



 t    (rad )
Sau t (s) nó chuyển động đến vị trí M được xác định bởi góc POM
1

Khi đó tọa độ của điểm P được xác định bởi OP  x
x  OM cos t   

Đặt OM = A, ta được phương trình:
x  A cos t   

Trong đó A, ω và φ là các hằng số.
Như vậy, dao động của điểm P có li độ phụ thuộc vào thời gian theo định luật hàm số
cos. Ta nói rằng P dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng O.
Phương trình x  A cos t    được gọi là phương trình dao động của điểm P.
Nếu một vật nhỏ chịu tác dụng của các lực và chuyển động giống hệt điểm P. Khi ấy, ta
nói vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng O.
Dạng khác của phương trình dao động điều hoà.
Bằng các phép biến đổi toán học, ta có các phương trình dạng khác của dao động điều
hoà như sau :
𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑)
6


𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) + 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 )
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑎
3. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà
Xét phương trình dao động điều hoà có dạng 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
Trong đó:
𝑥 là li độ dao động - là khoảng cách từ VTCB đến

Biên âm
N

vị trí của vật tại thời điểm t đang xét.
Li độ x có giá trị :  A  x  A

VT Biên
M x
O

= 0: Vị trí cân bằng.
𝑥 = +𝐴 ∶ 𝐿𝑖 độ 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 𝑑ươ𝑛𝑔 (𝐵𝑖ê𝑛 𝑑ươ𝑛𝑔)
|𝑥
| = 𝐴: Vị trí biên.
𝑥 = −𝐴 ∶ 𝐿𝑖 độ 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 â𝑚 (𝐵𝑖ê𝑛 â𝑚)
𝐴 là biên độ, đó là li độ cực đại của li độ x ứng với lúc 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = ±1. Biên độ luôn
𝑥

luôn dương.
Chiều dài quĩ đạo: L = MN = 2A
(𝑡 + ) là pha của dao động tại thời điểm t. Pha của dao động có thể dương, âm hoặc
bằng 0. Nó cho phép ta xác định trạng thái dao động tại thời điểm t nào đó.
 là pha ban đầu của dao động, tức là pha (𝑡 + ) vào thời điểm t = 0.
𝜔 là tần số góc của dao động (rad/s), là hằng số dương. Đặc trưng cho sự biến thiên nhanh
hay chậm của các trạng thái dao động điều hoà. Biết  ta có thể tính được chu kì T và tần
số f.
4. Chu kì và tần số của dao động điều hoà
Từ công thức liên hệ

𝜔 = 2𝜋𝑓 =

Chu kì của con lắc:

𝑇=

Tần số:

𝑓=

= 2𝜋
=

=

5. Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hoà
Xét phương trình dao động điều hoà có dạng 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
5.1. Vận tốc
Vận tốc bằng đạo hàm của li độ theo thời gian:
𝑣 = 𝑥 = −𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑)
𝜋
= 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 + )
2
Như vậy, vận tốc cũng là một hàm điều hoà theo thời gian và có cùng chu kì với li độ.
Chú ý:
Tại biên 𝑥 = ±𝐴 thì vận tốc có giá trị cực tiểu: 𝑣

=0
7

Tại vị trí cân bằng 𝑥 = 0 thì vận tốc có giá trị cực đại: |𝑣
qua O theo chiều dương; 𝑣

| = 𝜔𝐴 (𝑣

= 𝜔𝐴 khi vật

= −𝜔𝐴 khi vật qua O theo chiều âm của trục toạ độ).

Nếu xét về pha, pha của vận tốc v lớn hơn pha của li độ x một lượng . Ta nói rằng v và
x vuông pha hay v sớm pha hơn x một lượng
Hệ thức độc lập thời gian:
Dạng khác :

+

= 1 ℎ𝑎𝑦 𝑥 +
+

=𝐴

=1

Tổng quát, nếu có hai đại lượng biến thiên điều hoà theo thời gian và có pha vuông góc
với nhau, dạng :
𝑥 =𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
và

𝑥 =𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 +

Thì ta luôn có hệ thức độc lập thời gian như sau:
+

=1

Trong đó x1 và x2 có thể là hai đại lượng riêng biệt biến thiên điều hoà theo thời gian có
pha vuông góc với nhau (ví dụ vận tốc v và li độ x, …) hoặc có thể là hai giá trị của một đại
lượng ở hai thời điểm khác nhau nhưng có pha vuông góc với nhau (hai giá trị của li độ ở
hai thời điểm 𝑡 và 𝑡 + ).
5.2. Gia tốc
Gia tốc a bằng đạo hàm của vận tốc theo thời gian:
𝑎=𝑣 =𝑥
= −𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 + 𝜋)
= −𝜔 𝑥
Như vậy, gia tốc cũng là một hàm điều hoà theo thời gian và có cùng chu kì với li độ và
vận tốc.
Chú ý:
|=𝜔 𝐴
Tại biên 𝑥 = ±𝐴 thì gia tốc có giá trị cực đại:|𝑎
Tại vị trí cân bằng 𝑥 = 0 thì gia tốc có giá trị cực tiểu: 𝑣

=0

Từ phương trình 𝑎 = −𝜔 𝑥 cho thấy gia tốc a và li độ x luôn trái dấu và gia tốc 𝑎⃗ luôn
hướng về vị trí cân bằng.
Nếu xét về pha, pha của gia tốc a khác pha của li độ x một lượng 𝜋. Ta nói rằng a và x

ngược pha.
Dễ dàng nhận ra gia tốc a và vận tốc v vuông pha.
Hệ thức độc lập thời gian:
Hay
8

+

=1
+

=𝐴


6. Các loại đồ thị
Đồ thị của li độ theo vận tốc:

= 1: Đường Elip

+

Đồ thị của li độ theo gia tốc: 𝑎 = −𝜔 𝑥: Đoạn thẳng
Đồ thị của vận tốc theo gia tốc:

+

= 1: Đường Elip

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
Đồ thị theo thời gian: 𝑣 = 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 +

đều có dạng hình sin

𝑎 = 𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

7. Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Từ phần phương trình của dao động điều hòa ta thấy, giữa dao động điều hòa và chuyển
động tròn đều có mối liên hệ với nhau, điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn
luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều lên đường kính là
đoạn thẳng đó.
Từ mối liên hệ đó ta thấy, thời gian để chất điểm dao động điều
hoà đi từ P đến Q bằng thời gian vật chuyển động tròn đều trên cung
P0Q0.
Ta có:
tPQ 

 

.T
 2

8. Phương pháp giản đồ Frexnen – Biểu diễn dao động điều hoà bằng vectơ quay
Nội dung của phương pháp giản đồ Frexnen là biểu diễn một dao động điều hòa dạng
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) bằng một vectơ 𝑂𝑀⃗ có độ dài là A (biên độ) quay
đều quanh điểm O trong mặt phẳng chứa trục Ox với tốc độ góc ω. Ở
thời điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục Ox và 𝑂𝑀⃗ là φ (pha ban đầu).
9


𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) ⇒ 𝑂𝑀⃗

𝐺ố𝑐 𝑡ạ𝑖 𝑂
𝑂𝑀⃗ ~ 𝐴 (𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑡ỉ 𝑙ệ 𝑡ℎí𝑐ℎ ℎợ𝑝)
𝑂𝑀⃗ , 𝑂𝑥 = 𝜑

Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và 𝑂𝑀⃗ sẽ là 𝜔𝑡 + 𝜑, góc đó chính là pha của dao động.
Ứng dụng: Phương pháp vectơ quay.
II. Năng lượng trong dao động điều hòa
Trong các con lắc mà ta đã xét thì vật nặng chịu tác dụng của lực đàn hồi hoặc trọng lực.
Các lực này là lực thế. Ở chương trình vật lí 10, ta đã biết rằng cơ năng (động năng + thế
năng) của một vật được bảo toàn.
Như vậy, cơ năng của một vật dao động được bảo toàn.
Xét một chất điểm có khối lượng m dao động điều hòa theo phương trình:
 x  Acos  t   

 v   Asin  t   

1. Động năng
1
1
Wđ  mv 2  m 2 A2 sin 2 t   
2
2

2. Thế năng
1
m 2 x 2
2
1
 m 2 kA2 cos 2 t   

2
1
 m 2 A2 cos 2 t   
2

Wt 

3. Cơ năng
W Wđ  Wt 
1
2

1
1
m 2 A2  m 2 kA2  const
2
2
1
2

1
2

2
 m 2 A2  kA2  const
Nhận xét: W Wđmax  Wtmax  mvmax

III. Tổng hợp dao động điều hòa
Một vật tham gia vào hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số cho bởi hai phương
trình sau:

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚
Tìm dao động tổng hợp của hai dao động trên.
Dao động tổng hợp của hai dao động trên có dạng: 𝑥 = 𝑥 + 𝑥

10

Trường hợp 1: 𝐴 = 𝐴 Ta dùng phương pháp lượng giác
𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) + 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 )


Hay 𝑥 = 2𝐴 cos

cos(ωt +

)

Với Δφ = φ − φ (hay Δφ = φ − φ ) là độ lệch pha giữa x1 và x2.
Đặt 𝐴 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠

là biên độ của dao động tổng hợp.

Nếu Δ𝜑 = 𝑘2𝜋 (𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎ𝑎): thì 𝐴

= 2𝐴

Nếu Δ𝜑 = (2𝑘 + 1)𝜋 (𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑝ℎ𝑎): thì 𝐴


=0

Trường hợp 2: 𝐴 ≠ 𝐴 Ta dùng phương pháp giản đồ vectơ
𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) + 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 )

Phương trình dao động tổng hợp có dạng: 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑐𝑚
Biểu diễn các phương trình dao động bằng vectơ quay:
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚 ⇒ 𝑂𝑀⃗
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚 ⇒ 𝑂𝑀⃗
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑐𝑚 ⇒ 𝑂𝑀⃗
Khi đó 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 ⇔ 𝑂𝑀⃗ = 𝑂𝑀⃗ + 𝑂𝑀⃗
Dựa vào giản đồ ta tìm được:
𝐴=

𝐴 + 𝐴 + 2𝐴 𝐴 𝑐𝑜𝑠Δ𝜑

𝑡𝑎𝑛𝜑 =
Biện luận: Từ biểu thức 𝐴 =

𝐴 + 𝐴 + 2𝐴 𝐴 𝑐𝑜𝑠Δ𝜑 ta thấy biên độ của dao động

tổng hợp phụ thuộc vào độ lệch pha giữa 2 dao động thành phần.
Nếu Δ𝜑 = 𝑘2𝜋 (𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎ𝑎): thì 𝐴

=𝐴 +𝐴
Nếu Δ𝜑 = (2𝑘 + 1)𝜋 (𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑝ℎ𝑎) thì 𝐴
= |𝐴 − 𝐴 |
Nếu Δ𝜑 = (2𝑘 + 1)

(𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 𝑝ℎ𝑎) thì 𝐴 =

𝐴 +𝐴

Trong mọi trường hợp ta luôn có: |𝐴 − 𝐴 | ≤ 𝐴 ≤ 𝐴 + 𝐴

B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Xác định các đặc trưng trong dao động điều hòa
1. Phương trình li độ
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
Liên hệ:

𝜔 = 2𝜋𝑓 =
𝑇=

Chiều dài quĩ đạo:

;𝑓=

=

𝐿 = 2𝐴

Với chú ý là biên độ A và tần số góc ω luôn dương, nếu bài toán có dấu “ – “ phía trước
ta phải biến đổi lại phương trình để làm cho A và ω là những số dương.
11


Nhiều khi đầu bài cho ta phương trình dạng khác, ta có thể chuyển về dạng kinh điển như
trên dựa vào một số công thức lượng giác sau:
Công thức chuyển dạng sin sang cos và ngược lại:
−𝑐𝑜𝑠𝛼 = cos(𝛼 + 𝜋)

𝜋
±𝑠𝑖𝑛𝛼 = cos(𝛼 ∓ )
2
𝜋
±𝑐𝑜𝑠𝛼 = sin(𝛼 ± )
2
−𝑠𝑖𝑛𝛼 = sin(𝛼 + 𝜋)
2. Vận tốc
𝑣 = 𝑥 = −𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑)
= 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 + )
Về độ lớn:
Tại vị trí biên:

v0

vmax   A

Tại vị trí cân bằng:

vCĐ   A : Khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

Về giá trị:

vCT   A : Khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.


Về pha: vận tốc v sớm pha hơn li độ x một lượng (v và x vuông pha):
2

Hệ thức độc lập thời gian:

x2 

Dạng khác :

v2



2

 A2 (Elip)

+

=1

Tổng quát, nếu có hai đại lượng biến thiên điều hoà theo thời gian và có pha vuông góc
với nhau, dạng :
𝑥 =𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
và

𝑥 =𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 +

Thì ta luôn có hệ thức độc lập thời gian như sau:
+

=1

Trong đó x1 và x2 có thể là hai đại lượng riêng biệt biến thiên điều hoà theo thời gian có
pha vuông góc với nhau (ví dụ vận tốc v và li độ x, …) hoặc có thể là hai giá trị của một đại
lượng ở hai thời điểm khác nhau nhưng có pha vuông góc với nhau (hai giá trị của li độ ở
hai thời điểm 𝑡 và 𝑡 + ).
Từ x 
2

12

v2



2

 A2 ta rút ra hệ quả:



v2
2
x


A


2



2
2
v   A  x

2
 A  x2  v

2


Hệ quả:

1
2
 3

(1) Cho thấy ứng với 1 giá trị của vận tốc luôn có 2 giá trị của li độ x đối xứng với
nhau qua vị trí cân bằng. Như vậy, với cùng một tốc độ, trong một chu kì sẽ phải có 4 thời
điểm thoả mãn đầu bài.
(2) Cho thấy ứng với 1 giá trị của x luôn có 2 giá trị của vận tốc v. Hay qua mỗi điểm
có li độ x bất kì, trong một chu kì, vật đi qua đó 2 lần, một lần theo chiều dương (ứng với
𝑣 > 0) và một lần theo chiều âm (ứng với 𝑣 < 0).
(3) Cần chú ý, hai đại lượng 𝑥 và 𝑣 phải cùng một thời điểm, A luôn dương.
3. Gia tốc
𝑎 = 𝑣 = 𝑥 = −𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
= 𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 + 𝜋)
= −𝜔 𝑥
Về độ lớn:
Tại vị trí cân bằng:

Tại vị trí biên:
Về giá trị:

 aCĐ   2 A :

2
 aCT   A :

a0

amax   2 A
Biên ( )
Biên (  )

Về pha: Gia tốc a ngược pha với li độ x, gia tốc a vuông pha với vận tốc v.
Hệ thức độc lập thời gian:
v2



Hệ quả:

2



a2



4

 A2 (Elip)


a2
2
v



A


4


v2

2
2
a   A  2



v2 a2
A

2 4


1'
 2'
 3'

Từ những hệ quả trên đây, ta cũng có một số nhận xét như trên.
Chú ý: Với hai thời điểm t1, t2 vật có các cặp giá trị x1, v1 và x2, v2 thì ta có hệ thức tính
13


A & T như sau:
2

2

2

2

x2  x2 v2  v2
 x1   v1   x 2   v 2 
  
    
  1 2 2  2 2 21 →
A
A
 A   A   A   A 



v 22  v12
x12  x 22

T

2

x12  x 22
v 22  v12
2

x 2 v 2  x 22 v12
v 
A  x12   1   1 22
v 2  v12


4. Lực hồi phục
Là lực hay hợp lực gây ra dao động của vật, có xu hướng đưa vật trở về vị trí cân bằng.
Biểu thức: 𝐹

= 𝑚𝑎 = −𝑚𝜔 𝑥

Đặc điểm của 𝐹⃗

⎧− 𝑃ℎươ𝑛𝑔: 𝐶ù𝑛𝑔 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑣ậ𝑡 (𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑎⃗)
⎪− 𝐶ℎ𝑖ề𝑢: 𝐶ù𝑛𝑔 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑎⃗ (𝑛𝑔ượ𝑐 ℎướ𝑛𝑔 𝑏𝑖ế𝑛 𝑑ạ𝑛𝑔)
⎨ − Đ𝑖ể𝑚 đặ𝑡: 𝑇ạ𝑖 𝑣ậ𝑡 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 đ𝑖ề𝑢 ℎò𝑎
⎪ − Độ 𝑙ớ𝑛: 𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑚𝜔 𝑥
⎩

𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 = −𝑚𝜔 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

Tại vị trí cân bằng:

𝐹

Tại vị trí biên:

=0

𝐹

= 𝑚𝜔 𝐴 = 𝑘𝐴

Dấu “-“ thể hiện lực hồi phục luôn hướng về vị trí cân bằng của vật (ngược chiều li độ x).
Lực hồi phục là đại lượng biến thiên điều hoà theo thời gian.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho các phương trình dao động điều hoà như sau :
1. 𝑥 = 5 cos 4𝜋𝑡 +

(𝑐𝑚);

3. 𝑥 = −5𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡 (𝑐𝑚);

2. 𝑥 = −5 cos 2𝜋𝑡 +
4. 𝑥 = 10 sin 5𝜋𝑡 +

(𝑐𝑚);
(𝑐𝑚).

Xác định biên độ, tần số góc, pha ban đầu, chu kỳ, tần số của các dao động điều hoà đó?
Đáp số:

1. A = 5cm

ω = 4π rad/s φ = π/6

2. A = 5 cm

ω = 2π rad/s φ = 5π/4 T = 1 s

f = 1 Hz

3. A = 5 cm

ω = π rad/s

f = 0,5 Hz

φ = π/2

4. A = 10 cm ω = 5π rad/s φ = -π/6
Bài 2. Cho các chuyển động được mô tả bởi các phương trình sau:
1. 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠𝜋𝑡 + 1 (𝑐𝑚);
2. 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛

2𝜋𝑡 +

(𝑐𝑚);

3. 𝑥 = 3𝑠𝑖𝑛4𝜋𝑡 + 3𝑐𝑜𝑠4𝜋𝑡 (𝑐𝑚).

14

T = 0,5 s f = 2 Hz

T=2s

T = 0,4 s f = 2,5 Hz


4. 𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠

2𝜋𝑡 +

(𝑐𝑚);

Chứng minh rằng những chuyển động trên đều là những dao động điều hoà. Xác định
biên độ, tần số, pha ban đầu, và vị trí cân bằng của các dao động đó.
Đáp số:

1. A = 5 cm

φ=π

VTCB: x = 1 cm

2. A = 1 cm

φ = 4π/3

VTCB: x = 1 cm

3. A = 3√2 cm

φ = - π/4

VTCB: x = 0

4. A = 2 cm

φ = 2π/3

VTCB: x = 2 cm

Bài 3. Một chất điểm có khối lượng m = 100 g dao động điều hoà theo phương trình: 𝑥 =
5 cos 2𝜋𝑡 +

(𝑐𝑚). Lấy 𝜋 = 10. Xác định li độ, vận tốc, gia tốc, lực hồi phục trong các

trường hợp sau :
1. Ở thời điểm t = 5 (s).
2. Khi pha dao động là 1200.
Đáp số:

1. 𝑥 = 5 √ 𝑐𝑚

𝑣 = −5𝜋 𝑐𝑚/𝑠

𝑎 =-100√3 𝑐𝑚/𝑠

𝐹ℎ𝑝 = −0,1√3 𝑁

2. 𝑥 = −2,5𝑐𝑚

𝑣 = −5𝜋√3 𝑐𝑚/𝑠

𝑎 = 100 𝑐𝑚/𝑠

𝐹ℎ𝑝 = 0,1 𝑁

Bài 4. Toạ độ của một vật biến thiên theo thời gian theo định luật : 𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠4𝜋𝑡 (𝑐𝑚).
Tính tần số dao động, li độ và vận tốc của vật sau khi nó bắt đầu dao động được 5 (s).
Đáp số:

f = 2 Hz

x = 4 cm

v=0

Bài 5. Một vật dao động điều hoà theo phương trình: 𝑥 = 4 cos 10𝜋𝑡 +

(𝑐𝑚).

1. Tìm chiều dài của quỹ đạo, chu kỳ, tần số.
2. Vào thời điểm t = 0, vật đang ở đâu và đang đi theo chiều nào? Vận tốc bằng bao
nhiêu?
Đáp số:

1. s = 8 cm

T = 0,2 s

2. 𝑥 = 2√2 𝑐𝑚
Bài 6. Một dao động điều hòa có phương trình 𝑥 = −4 cos 5𝜋𝑡 −

f = 5 Hz

𝑣 = −20√2𝜋 𝑐𝑚/𝑠
𝑐𝑚. Hãy xác định:

1. Biên độ dao động.
2. Tần số f và chu kì T.
15


3. Pha ban đầu φ.
4. Li độ ban đầu x0.
5. Chiều dài quĩ đạo L.
Đáp số:

1. A = 4 cm

2. f = 2,5 Hz; T = 0,4 s

3. 𝜑 =

4. 𝑥 = −2 𝑐𝑚

5. L = 8 cm

Bài 7. Một vật dao động điều hòa với phương trình 𝑥 = 5 cos 3𝜋𝑡 +

𝑐𝑚. Hãy xác

định:
1.
2.
3.
4.

Biểu thức vận tốc và gia tốc của vật theo thời gian?
Giá trị cực đại và cực tiểu của vận tốc và độ lớn của vận tốc (tốc độ)?
Giá trị cực đại và cực tiểu của gia tốc và độ lớn của gia tốc?
Vận tốc v tại thời điểm t = 1 s và vận tốc khi vật có li độ x = 4 cm?
Đáp số:

1.

𝜋
⎧ 𝑥 = 5 cos 3𝜋𝑡 + 6 𝑐𝑚
⎪
𝜋
𝑣 = −15𝜋 sin 3𝜋𝑡 +
𝑐𝑚/𝑠
6
⎨
⎪ 𝑎 = −45𝜋 cos 3𝜋𝑡 + 𝜋 𝑐𝑚/𝑠
⎩

6

2. |𝑣

| = 15𝜋

3. |𝑎

| = 45𝜋

4. 𝑣 = 7,5𝜋

;𝑣
;𝑎

=0
=0

; 𝑣 = ±9𝜋 𝑐𝑚/𝑠

Dạng 2. Thành lập phương trình dao động dao động điều hoà
2.1. Gốc toạ độ O trùng vị trí cân bằng của vật – phương trình li độ
Thành lập phương trình dao động từ những điều kiện đã biết
Chọn hệ qui chiếu: Gốc O trùng với vị trí cân bằng, mốc thời gian t = 0 nên chọn lúc vật
bắt đầu dao động.
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
Viết phương trình dạng tổng quát:
𝑣 = −𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
Tính , và A
Tìm :  = 2𝑓 =



=

|

|

=

=

Nếu trong khoảng thời gian t vật thực hiện được n dao động thì chu kì dao động là:
16


𝑡
𝑛

𝑇=
Tìm A : 𝐴 =

𝑥 +( ) =

|

|

=

|

|

ề

=

à

Tìm φ dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t0 (thường t0 = 0):

ĩ đạ

=

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑣 = −𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)

Lưu ý: v0 chỉ cần xác định dấu:
- Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0.
- Vật chuyển động ngược chiều dương v < 0.
- Vật đổi chiểu tại biên (tại biên): v0 = 0.
Ngoài ra trong các bài toán ta còn gặp các từ như “li độ đang tăng” (bản chất là đạo
hàm của nó dương, tức là x’ = v > 0) hay “li độ đang giảm” (bản chất là đạo hàm của nó
âm, tức là x’ = v < 0). Tuy nhiên cần xác định rõ ràng là ban đầu li độ x > 0 hay x < 0.
Trước khi tính  cần xác định rõ  thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác.
Trong các bài tập trắc nghiệm ta nên dựa vào vòng tròn để tìm pha ban đầu φ được nhanh
nhất.

Chẳng hạn, tại t = 0 vật qua vị trí có li độ 𝑥 =

theo

chiều dương, ta dùng đường tròn và dễ dàng tìm được khi đó
pha ban đầu 𝜑 = − .
Hoặc tại t = 0 vật qua vị trí có li độ 𝑥 = −

√

theo chiều

âm, ta cũng dễ dàng tìm được 𝜑 =
Ta nhớ qui tắc sau:
Nếu tại t = 0 vật qua vị trí nào đó theo chiều dương thì φ luôn âm (v dương, φ âm).
Nếu tại t = 0 vật qua vị trí nào đó theo chiều âm thì φ luôn dương (v âm, φ dương.
Phương pháp viết phương trình bằng máy tính cầm tay Fx-570 ES Plus
Áp dụng khi biết trạng thái ban đầu của vật (biết x0 và v0)
Một dao động điều hòa có phương trình dạng x  Acos t    có thể được biểu diễn bằng
một số phức:
x  A  Aei  A cos   A sin  .i

Ta lại có:

 Acos  x0
 x  Acos t   
 x0  Acos

t 0
 



v0
 v   Asin  t   
 v0   Asin
 Asin   


Suy ra:

17


 v 
x  A cos   A sin  .i  x0    0  i  A  x  A cos( t   )
 

Thao tác bấm máy:
Bước 1. Chuyển máy tính sang dạng phức: Bấm Mode_2màn hình hiện: CMPLX
Bước 2. Chọn chế độ nhập góc: Bấm Shift_Mode_3
màn hình hiện: D
Hoặc Shift_Mode_4
màn hình hiện: R
Bước 3. Nhập: x0   

v0 
 i (kí tự i nhập bằng nhấn phím ENG)
 

màn hình hiện: A

Bước 4. Kết quả: Nhấn shift_2_3
Thành lập phương trình dựa vào đồ thị dao động
 x  Acos t   
 v   Asin t   

- Viết phương trình dạng tổng quát: 

- Quan sát đồ thị để xác định biên độ A, chu kì T của dao động.
𝑥=𝑥
- Dựa vào đồ thị, xác định thời điểm ban đầu, giải hệ phương trình 𝑣 = 𝑣 để tìm φ.
2.2. Gốc toạ độ O cách vị trí cân bằng của vật một đoạn a (Phương trình
dao động dạng đặc biệt) – phương trình tọa độ
Nếu bài toán yêu cầu lập phương trình dao động mà gốc toạ độ O cách vị trí cân bằng một
đoạn a thì ta sử dụng phương pháp đổi trục toạ độ.
Trước hết ta viết phương trình dao động với gốc O1 trùng vị trí cân bằng, phương trình có
dạng 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) (phương trình li độ).
Sau đó, ta xét điểm P bất kì trên quĩ đạo, ta luôn
có 𝑂𝑃 = 𝑂𝑂 + 𝑂 𝑃
Với chú ý
𝑂𝑃 = 𝑥 là toạ độ của điểm P so với gốc O.
𝑂𝑂 = 𝑎 là toạ độ của vị trí cân bằng O1 đối với gốc O
𝑂 𝑃 = 𝑥 là li độ của vật so với vị trí cân bằng O1.
Như vậy, ta được phương trình dao động dạng đặc biệt như sau:
Hay

𝑥 =𝑥 +𝑎
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑎

Qui tắc: Tọa độ = li độ + tọa độ của vị trí cân bằng.

Như vậy, dao động điều hòa có gốc tọa độ O không phải là vị trí cân bằng của vật, khi
thành lập phương trình dao động thì phương trình có dạng 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑡 + ) + 𝑎 với
𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Trong phương trình dao động đó thì biên độ là A, tần số góc là , pha ban đầu .
x là toạ độ, 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑡 + ) là li độ.
Vì −1 ≤ cos(𝜔𝑡 + 𝜑) ≤ 1
nên
𝑎 − 𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝐴.
18


Suy ra :

- Tọa độ các biên N và M của dao động là 𝑥 = 𝑎 − 𝐴 và 𝑥 = 𝑎 + 𝐴 ;
- Tọa độ của VTCB là : 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑎

Vận tốc 𝑣 = 𝑥′ = 𝑥 , gia tốc 𝑎 = 𝑣′ = 𝑥′′ = 𝑥
Hệ thức độc lập: 𝑎 = − 𝜔 𝑥
𝐴 =𝑥 +
Nếu phương trình có dạng 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝑡 + ) hoặc 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝑡 + )….ta dùng
phương pháp hạ bậc thì cũng thu được phương trình dao động dạng đặc biệt như trên.
Khi đó, biên độ dao động là A/2; tần số góc 2.
BÀI TẬP
Bài 1. Một vật dao động điều hoà với tần số 4 Hz và biên độ 5 cm. Lập phương trình dao
động nếu:
1. Tại thời điểm gốc thời gian vật có li độ 2,5 cm và li độ đang giảm.
2. Tại thời điểm gốc thời gian vật có li độ - 2,5 cm và li độ đang tăng
Đáp số:

1. 𝑥 = 5 cos 8𝜋𝑡 +

𝑐𝑚.

2. 𝑥 = 5 cos 8𝜋𝑡 +

𝑐𝑚.

Bài 2. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Lúc vật qua vị trí có li độ 𝑥 =
−√2 (𝑐𝑚) thì có vận tốc 𝑣 = −𝜋√2 (𝑐𝑚/𝑠) và gia tốc 𝑎 = 𝜋 √2 (𝑐𝑚/𝑠 ). Chọn gốc toạ
độ ở vị trí cân bằng, gốc thời gian ở thời điểm trên. Viết phương trình dao động của vật.
Đáp số:

𝑥 = 2 cos 𝜋𝑡 +

3𝜋
𝑐𝑚
4

Bài 3. Một vật dao động điều hòa với phương trình 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(4𝜋𝑡 + 𝜑). Xác định 𝐴 và

. Biết rằng tại thời điểm ban đầu 𝑡 = 0 vật có li độ 𝑥 = 1 𝑐𝑚 và tại thời điểm 𝑡 =
𝑠 vật có li độ 𝑥 = √3 𝑐𝑚.
Đáp số:

𝑥 = 2 cos 4𝜋𝑡 −

𝑐𝑚.

Bài 4. Một vật dao động điều hòa với tần số f = 2 Hz và biên độ A = 20 cm. Lập phương
trình dao động của vật trong mỗi trường hợp sau:

1. Chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
2. Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ + 10 cm ngược chiều dương.
3. Chọn gốc thời gian lúc vật ở vị trí biên dương.

19


Đáp số:

1. 𝑥 = 20 cos 4𝜋𝑡 −

𝑐𝑚.

2. 𝑥 = 20 cos 4𝜋𝑡 +

𝑐𝑚.

3. 𝑥 = 20 cos(4𝜋𝑡 ) 𝑐𝑚.
Bài 5. Một vật chuyển động được mô tả bởi phương trình : 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1 (cm)
1. Chứng tỏ vật dao động điều hoà.
2. Tìm vị trí cân bằng, biên độ, pha ban đầu và chu kỳ của dao động.
3. Biểu thức vận tốc, gia tốc của vật? Xác định giá trị cực đại, cực tiểu của vận tốc và gia
tốc?
4. Vẽ đồ thị tọa độ - thời gian của dao động?
Đáp số:

VTCB: x = 1 cm

A = 5 cm
|𝑣

𝑣 = −5𝜋𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡 𝑐𝑚/𝑠
𝑎 = −5𝜋 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑡 𝑐𝑚/𝑠

|𝑎

φ=0

| = 5𝜋 𝑐𝑚/𝑠

𝑣

=0

| = 5𝜋 𝑐𝑚/𝑠

𝑎

=0

Bài 6. Một vật dao động điều hoà với biên độ 4 cm, tần số 20 Hz. Chọn gốc thời gian là
lúc vật có li độ 2√3 cm và chuyển động ngược chiều với chiều dương đã chọn. Viết phương
trình dao động của vật nếu chọn gốc tọa độ O cách vị trí cân bằng 1cm theo chiều dương.
Đáp số:

𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 40𝑡 +

− 1 (𝑐𝑚)

Bài 7. Một chất điểm dao động điều hoà trên một đoạn thẳng. Chọn trục Ox có phương

trùng với đoạn thẳng đó. Toạ độ x của chất điểm nhỏ nhất bằng 15 cm và lớn nhất bằng 25
cm. Thời gian ngắn nhất để chất điểm đi từ vị trí cân bằng đến qua vị trí có toạ độ nhỏ nhất
là 0,125 s. Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí cân bằng và chuyển động theo chiều âm
của trục toạ độ. Viết phương trình dao động điều hòa của chất điểm?
Đáp số:

𝑥 = 5 cos 4𝜋𝑡 +

+ 20 𝑐𝑚

Bài 8. Một vật dao động theo phương trình 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠(5𝑡 + ) + 1 (𝑐𝑚).
Trong giây đầu tiên kể từ lúc vật bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có li độ x = 2 cm theo
chiều dương được mấy lần?
Đáp số:
20

5 lần (3 lần theo chiều âm, 2 lần theo chiều dương).


Bài 9. Đồ thị li độ của một vật dao động điều
hoà có dạng như hình vẽ.
Xác định phương trình dao động của vật?

Đáp số:

𝑥 = 4 cos

5𝜋
𝜋
𝑡−

𝑐𝑚
7
3

Bài 10. Đồ thị biểu diễn li độ x của một dao động điều hòa theo thời gian như sau :

Xác định biểu thức li độ?
Đáp số:

𝑥 = 4 cos

𝜋
𝜋
𝑡+
𝑐𝑚
3
2

Bài 11. Tìm phương trình dao động của vật dao động điều hòa có khối lượng m = 2 kg.
Biết rằng thế năng của vật cho bởi đồ thị như hình vẽ:

Đáp số:

𝑥 = 2,4 cos

5𝜋 𝜋
−
𝑚
6
6

Bài 12 . Một vật dao động điều hòa có quĩ đạo là một đoạn thẳng dài 10 cm. Thời gian để
vật đi từ đầu đến cuối quĩ đạo là 2 s. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo
chiều âm của trục Ox.
1. Viết phương trình dao động? Vẽ đồ thị (𝑥, 𝑡)?
2. Xác định li độ của vật tại thời điểm t1 = 2,5 s và quãng đường s1 vật đi được tính từ
thời điểm ban đầu đến lúc đó?
21


3. Tìm thời điểm t2 để vật có li độ x2 = - 2,5 cm lần đầu tiên và các thời điểm t2k vật qua
x2 lần thứ k?
Đáp số:

1. 𝑥 = 5 cos
2. 𝑥 =
𝑡=

5
√2

𝜋
𝜋
𝑡+
𝑐𝑚
2
2

𝑐𝑚; 𝑠 = 10 + 2,5√2 𝑐𝑚.

𝑠 – vật qua x = -2,5 cm lần 1

𝑡 = + 4𝑘 (𝑣ớ𝑖 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … ) – vật qua
3. x = -2,5 lần lẻ.
𝑡 = − + 4𝑘′ (𝑣ớ𝑖 𝑘 = 1, 2, 3, … ) – vật
qua x = -2,5 lần chẵn.
Bài 13. Một vật dao động với biên độ A = 5 cm, chu kỳ T = 0,5 s. Viết phương trình dao
động của vật trong các trường hợp sau:
1. t = 0, vật qua VTCB theo chiều dương.
2. t = 0, vật cách VTCB 5 cm, theo chiều dương.
3. t = 0, vật cách VTCB 2,5 cm, đang chuyển động theo chiều dương.
Đáp số:

1. 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠 4𝑡 −

𝜋
𝑐𝑚
2

2. 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠4𝑡 𝑐𝑚
3. 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠 4𝑡 −

𝜋
𝑐𝑚
3

Bài 14. Một vật dao động điều hòa đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương ở thời điểm
ban đầu. Khi vật có li độ bằng 3 cm thì vận tốc của vật bằng 8π cm/s và khi vật có li độ bằng
4 cm thì vận tốc cuả vật bằng 6π cm/s. Viết phương trình dao động của vật.
Đáp số:

𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑡 −

𝑐𝑚

Bài 15. Một vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có phương trình 𝑎 =
5 cos 10𝑡 −

𝑚/𝑠 . Tìm phương trình dao động của vật?
Đáp số:

22

𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠 10𝑡 −

𝑐𝑚


Dạng 3. Tổng hợp dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Bài
toán hai vật dao động.
1. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) (𝑐𝑚);
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) (𝑐𝑚);
Là một dao động điều hòa có dạng: 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) (𝑐𝑚).
Phương pháp 1. Phương pháp lượng giác
Áp dụng khi 𝐴 = 𝐴
Ta có:
𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) + 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 )
Hay 𝑥 = 2𝐴 cos

cos(ωt +

)

Với Δφ = φ − φ (hay Δφ = φ − φ ) là độ lệch pha giữa x1 và x2.
Đặt 𝐴 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠

là biên độ của dao động tổng hợp.

Nếu Δ𝜑 = 𝑘2𝜋 (𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎ𝑎): thì 𝐴

= 2𝐴

Nếu Δ𝜑 = (2𝑘 + 1)𝜋 (𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑝ℎ𝑎): thì 𝐴

=0

Phương pháp 2. Phương pháp số phức
Phương pháp số phức tỏ ra rất hiệu quả khi ta tìm phương trình dao động tổng hợp của
2 hay nhiều dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. Hoặc giải bài toán ngược khi biết
x và x1 tìm x2.
Nội dung của phương pháp này là ta biểu diễn một dao động điều hoà dưới dạng số phức
Phương trình 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) biểu diễn ở dạng phức là 𝐴∠𝜑
Như vậy:

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) → 𝐴 ∠𝜑 ;
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) → 𝐴 ∠𝜑 ;
Và 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
Hay 𝐴 ∠𝜑 + 𝐴 ∠𝜑 = 𝐴∠𝜑

Hướng dẫn thao tác với máy tính CASIO fx – 570 ES Plus
Bước

Mục đích

Thao tác

Màn hình hiện

1

Chuyển máy tính về dạng phức

MODE _ 2

CMPLX
D

2

Chọn chế độ nhập góc pha

SHIFT _ MODE _ 3
Hoặc
SHIFT _ MODE _ 4

3

Nhập 𝐴 ∠𝜑 + 𝐴 ∠𝜑

A1_SHIFT_(-)_φ1 +
A2_SHIFT_(-)_φ2 =

R
𝒂 + 𝒃𝒊

23


4

Chuyển kết quả về dạng 𝐴∠𝜑

𝑨∠𝝋

SHIFT_2_3_=

Nếu bài toán cho x và x1, tìm x2 ta sử dụng phương trình: x2 = x – x1
Số phức sẽ là: 𝐴∠𝜑 − 𝐴 ∠𝜑 = 𝐴 ∠𝜑 .
Thao tác máy như trên, thay dấu “ + “ bởi dấu “ – “
Phương pháp 3. Phương pháp dùng giản đồ vectơ
Phương pháp dùng giản đồ tỏ ra rất hiệu quả đối với các bài toán liên quan đến các cực
trị (min hay max)
𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) + 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 )
Phương trình dao động tổng hợp có dạng: 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) (𝑐𝑚).
Biểu diễn các phương trình dao động bằng vectơ quay:
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚 ⇒ 𝑂𝑀⃗
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 ) 𝑐𝑚 ⇒ 𝑂𝑀⃗
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑐𝑚 ⇒ 𝑂𝑀⃗
Khi đó 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 ⇔ 𝑂𝑀⃗ = 𝑂𝑀⃗ + 𝑂𝑀⃗

Dựa vào giản đồ ta tìm được:
𝐴=

𝐴 + 𝐴 + 2𝐴 𝐴 𝑐𝑜𝑠Δ𝜑

𝑡𝑎𝑛𝜑 =
Biện luận: Từ biểu thức 𝐴 =

𝐴 + 𝐴 + 2𝐴 𝐴 𝑐𝑜𝑠Δ𝜑 ta thấy biên độ của dao động

tổng hợp phụ thuộc vào độ lệch pha giữa 2 dao động thành phần.
Nếu Δ𝜑 = 𝑘2𝜋 (𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎ𝑎): thì 𝐴

=𝐴 +𝐴
Nếu Δ𝜑 = (2𝑘 + 1)𝜋 (𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑝ℎ𝑎) thì 𝐴
= |𝐴 − 𝐴 |
Nếu Δ𝜑 = (2𝑘 + 1)

(𝐻𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 𝑝ℎ𝑎) thì

𝐴=

𝐴 +𝐴

( ) +( ) =1

Trong mọi trường hợp ta luôn có: |𝐴 − 𝐴 | ≤ 𝐴 ≤ 𝐴 + 𝐴
Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hoà cùng phương cùng tần số 𝑥 =
𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑡 + 𝜑 ); 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑡 + 𝜑 ) … thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều
hoà cùng phương cùng tần số 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑡 + ).

Chiếu lên trục Ox và trục Oy  Ox .
Ta được:

𝐴 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜑 + ⋯
𝐴 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑 + ⋯

Khi đó ta được:
𝐴=
24

𝐴 +𝐴


𝑣ớ𝑖 𝜑𝜖 [𝜑

𝑡𝑎𝑛 𝜑 =

]

,𝜑

Một số trường hợp khác:
1. Ba con lắc lò xo 1, 2, 3 đặt thẳng đứng cách đều nhau, biết phương trình dao động của
con lắc 1 và 2, tìm phương trình dao động của con lắc thứ 3 để trong quá trình dao động cả
ba vật luôn thẳng hàng. Điều kiện: x 2 

x1  x 3
 x 3  2x 2  x1
2

Nhập máy: 2(A2  2) – A1  1 SHIFT 2 3 = hiển thị A3  3
2. Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa có phương trình là x1, x2, x3. Biết
phương trình của x12, x23, x13. Tìm phương trình của x1, x2, x3 và x
x1 

x1  x1 x1  x 2  x1  x 3  ( x 2  x 3 ) x12  x13  x 23


2
2
2

* Tương tự: x 2 

x12  x 23  x13
và
2

x3 

x13  x 23  x12
x12  x 23  x13
và x 
2
2

3. Cực trị
A
A
Điều kiện của A1 để A2max: A 2 max  sin(   ) ; A1  tan(   )

2
1
2
1

Nếu cho A2, thay đổi A1 để Amin: Amin = A2|sin(φ2-φ1)| = A1|tan(φ2-φ1)|
Các dạng toán khác ta vẽ giản đồ vectơ kết hợp định lý hàm số sin hoặc hàm số cosin.

2. Bài toán 2 vật dao động điều hoà
Bài toán: Hai vật dao động điều hoà trên hai đường thẳng SONG SONG (mở rộng cho
2 đường thẳng không song song), CẠNH NHAU (mở rộng cho 2 đường thẳng cách nhau
khoảng d), có gốc O TRÙNG NHAU (mở rộng cho gốc tọa độ không trùng nhau) với phương
trình dao động lần lượt là:
x1  A1 cos  1t   
x2  A2 cos 2t   

Khảo sát dao động của hai vật trong quá trình chuyển động.
Trường hợp 1: Hai vật dao động cùng tần số góc:

1  2  

a. Khi biết rõ phương trình dao động của hai vật (Biết rõ A, φ): Dùng phương pháp số
phức.
- Khoảng cách hai vật:
x  x1  x2 Caculator
 A1

Các câu hỏi liên quan:
- Khoảng cách cực đại giữa hai vật:
- Xác định thời điểm hai vật cách xa nhau nhất:

25