Dáng điệu của các đạo hàm và nguyên hàm của hàm khả vi vô hạn

MẢU 14/KHCN
(Ban hành kèm theo Quyết định sổ 3839 /QĐ-ĐHQGIĨN ngày 24 thángìO năm 2014
cùa Giám đốc Đợi học Quốc gia H à Nội)

Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À N Ộ I

BÁO CÁO TÒNG KẾT
K É T Q U Ả T H ự C H IỆ N Đ Ê T À I K H & C N
C Ẳ P Đ Ạ I H Ọ C Q U Ó C G IA

T ên đề tàiĩD áng điệu cúa các đạo hàm và nguyên hàm của hàm khả vi vô hạn
M ã số đề tà i: QG. 16.08
C hủ nhiệm đề tài: TS. Vũ Nhật I luy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HA NỘI
ÍRUNG ĨẦM THÔNG TIN THƯ VIỆN

OOOGcOOG^CT

H à N ội, 2018


PHẢN I. THÔ NG TIN CHUNG
1.1. Tên đề tài: Dáne điệu của các đạo hàm và nguyên hàm của hàm khả vi vô hạn
1.2. m

số: QG. 16.08

1.3. D anh sách chủ trì, (hành viên tham gia thực hiện đề tài
TT Chức danh, học vị, họ và ten

Đơn vị công tác

Vai trò thực hiện đề tài

1

TS. Vũ Nhật Huy

Trường ĐH Khoa học
Tự nhicn

Chủ nhiệm dê lài

2

TS. Phạm Trọng Ticn

Trường ĐI I Khoa học
Tự nhiên

lliư ký đè tài

1.4. Đơn vj chủ trì: Trường ĐII Khoa học Tự nhicn, ĐHQG HN.
1.5. Thời gian thực hiện:
1.5.1. Theo hợp đồng: lừ tháng 01 năm 2016 dén tháng 12 năm 2017
1.5.2. Gia hạn (nếu cỏ): đến tháng..... năm.......
1.5.3. T hự c h iộ n th ự c tế:

tử th án g 01 n ăm 2 0 1 6 d ể n ih ả n g I I năm 2017

1.6. Những thay đỗi so vói thuyết minh ban đầu (nếu cỏ):
(Vẻ m ục tiêu, nội dung, phương pháp, kết quà nghiên cứu và tổ chức thực hiện; Nguyên
nhân; Ý kiến của Cơ quan quản lý)
1.7. Tồng kinh phí được phê duyệt của đề tàỉ: Ba trăm Iriệu đồng chẵn.

PHÀN n . TỎNG QUAN KẾT QUẢ NGHIÊN c ứ u
1. Đặt vấn để:
Ngày nay, những chuyên gia về xử lý tín hiệu sổ (trcn cá hai lĩnh vực âm thanh và hinh
ảnh) là nhOìig người hiểu hơn ai hết vai trò quan trọng của lý thuyết Pourỉer. Có thể nói rằng
hầu hét các thiết bị điện tử liên quan dển hinh ánh và âm thanh mà chúng ta dùng hôm nay
đều cỏ chứa con ‘chíp" làm nhiệm vụ chuyển đoi các hệ số Fourier thành hàm số (tín hiệu
số), và dôí khi cùng kiêm luôn cà chức năng “khử nhiễu' hay “hiệu chinh lín hiệu” dựa trên
các phép biến đổi Pourier.
Một phương pháp nghicn cứu dáng điệu của các đạo hàm và nguyên hàm của hàm
khả vi vô hạn là thông qua biến dồi Fourier. Phép biến đồi Fourier mang lên nhà toán học và
vật lý người Pháp Joseph ĩouricr (1768-1830). Năm 1807, Pouricr dưa ra phưưng pháp bicu
diẽn hàm số liên tục bàng tổng của chuỗi lượng giác và sử dụng vào viộc giải phương trinh
truyền nhiẹt trong vật thế răn. Năm 1822, ỏng cho công bổ công trinh “Lý thuyết giải tích
của nhiệt’*và mở ra một thời kỳ mới vẻ ứng dụng loán học trong các khoa hục khác.

I


Nghiên cứu các tính chất của hàm sổ thông qua biển đổi Fourier mà trường họp riêng
là qua phổ của hàm số là vấn đề luôn được các nhà toán học quan tâm vì vấn đề này có ý
nghĩa rất lớn đối với ứng dụng vào giải quyết những bài toán khó khác nhau trong giải tích
hàm, phương trình vi phân đạo hàm riêng, lý thuyết hàm suy rộng, lý thuyết nhúng, lý
thuyết xấp xỉ, lý thuyết sóng nhỏ... Có thể kể đến rất nhiều công trình nghiên cứu trong lĩnh
vực này của các nhà toán học lớn như S.N. Bemstein, L. Hormander, s .v . Vladimirov, S.M.
Nikol'skii, L. Schwartz, E. Stein,...

Một câu hỏi được đặt ra là hàm số có các tính chất gì khi chúng ta biết về phổ của
hàm số? Để trả lời câu hỏi này thì vào năm 1990, Hà Huy Bảng [2] đã đưa ra được nhiều kết
quả đặc trưng được dáng điệu của dãy chuẩn Lp(R) của các đạo hàm của một hàm sổ qua
giá của biến đổi Fourier của chính hàm số đó, đồng thời Hà Huy Bảng cũng xây dựng kết
quả trên cho hàm tuần hoàn với chu kỳ 271. Đây là các kết quả hoàn toàn mới và đã được
nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và phát triển lên các không
gian khác hay cho các toán tử tổng quát hơn biến đổi Fourier như Vũ Kim Tuấn, A. Zayed,
J.J. Betancor, J.D. Betancor, N.B. Andersen,...Sau đó đến năm 2001, trong [18] Vũ Kim
Tuấn đã xem xét vấn đề trên khi thay toán tử đạo hàm bằng toán tử tích phân. Cụ thể, Vũ
Kim Tuấn đặc trưng được dáng điệu của dãy chuẩn L2(R) của các nguyên hàm cũa một hàm
số qua giá của biến đổi Fourier của chính hàm số đó. Trong thời gian gần đây bằng cách tiếp
cận mới, H.H.Bang và V.N.Huy đã thu được một số kết quả tổng quát về dáng điệu của dãy
các đạo hàm và nguyên hàm thông qua phổ của hàm số ([4,5]).
Ngoài ra, lóp không gian có trọng các hàm khả vi vô hạn và hàm chỉnh hình đóng vai
trò quan trọng trong giải tích phức, giải tích Fourier, trong phương trình tích chập và
phương trình đạo hàm riêng. Vì vậy chúng được nghiên cứu bởi nhiều nhà Toán học và theo
nhiều hướng nghiên cứu khác nhau. Một số nhà Toán học tiêu biểu cho hướng nghiên cứu
này là K. D. Bierstedt, w . Lusky, J. Bonet, J. Taskinen, p. Domanski, M. Lindstrom, A .v.
Abanin...Một trong những vấn đề quan trọng đối với lóp không gian này là đặc trưng những
tính chất của không gian và của các toán tử xác định trên không gian đó theo những điều
kiện của hàm trọng. Ví dụ có rất nhiều công bố đã trình bày những nghiên cứu về toán tử
kết hợp trên các lớp không gian có trọng các hàm chỉnh hình (xem [6,7,8,17]).
Chú ý rằng, những nghiên cứu đầu tiên về toán tử đạo hàm trong không gian các hàm
chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng c đã được nhà Toán học MacLane trình bày từ những
năm 1950 (xem [12]). Nhưng toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên không gian Banach
có trọng các hàm chỉnh hình mới bắt đầu được nghiên cứu từ năm 2008 và 2009 bởi w .
Lusky và J. Bonet (xem [9,10]). Những nghiên cứu này chủ yếu tập trưng cho một vài lớp
không gian cụ thể. Trong thời gian gần đây bằng cách tiếp cận mới, P.T.Tien và A.v.
Abanin đã thu được một số kết quả tổng quát cho tính liên tục của toán tử đạo hàm và toán
tử tích phân trên không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình trên c (xem [16]).

Các tài liệu tham khảo:

2


[1]- N.B. Andersen and M. de Jeu, Reaỉ Paley-Wiener theorems and local spectral radius
/ormulas, Trans. Amer. Math. Soc, 362(2010), pp. 3613-3640.
[2]. H.H. Bang, A property o f infmitely differentiable /unctions, Proc. Amer. Math. Soc.
108(1990), ppT 73-76.
[3]. H.H. Bang, Theorems o f the Paley-Wiener-Schwartz type, Trudy Mat. Inst. Steklov,
214(1996), pp. 298-319.
[4]. H.H. Bang, V.N. Huy, Behavior o f the sequence o f norm o f primitives o f a/unction, J.
Approximation Theory 162 (2010), pp. 1178-1186.
[5]. H.H. Bang, V.N. Huy, The Paley-Wiener theorem in the language ofTaylor expansion
coefficients, Doklady Akad. Nauk 446 (2012), pp. 497 - 500.
[6]. J. Bonet, p. Domanski, and M. Lindstrom, Essential norm and weak compactness o f
composỉtion operators on weighted Banach spaces o f analytic/unctions, Canad. Math. Bull.
42(1999), 139- 148.
[7]. J. Bonet, p. Domanski, M. Lindstrom, and J. Taskinen, Composition operators behveen
yveighted Banach spaces o f analyticýunctions, J. Austral. Math. Soc. 64(1998), 101 - 118.
[8]. J. Bonet, M. Friz, and E. Jorda, Compositỉon operators between weighted inductive
limits o f spaces o f holomorphic/unctions, Publ. Math. Debrecen 67 (2005), 333 - 348.
[9]. J. Bonet, Dynamics o f the differentiatỉon operator on weighted spaces o f entire
/unctions, Math. z. 261 (2009), 649-657.
[10]. A. Harutyunyan and w . Lusky, On the boundedness o f the differentiation operator
between weightedspaces o f holomorphic/unctions. Studia Math. 184 (2008), 233-247.
[11]. L. Hormander, The Analysis o f Lỉnear Partial Differential Operators I, SpringerVerlag, Berlin, (1983).
[12]. G. R. MacLane, Sequences o f derivatives and normal/amiỉies, J. Analyse Math. 2
(1952/1953), 7 2 -8 7 .
[13]. E. Lifly and s. Tikhonov, Weighted Paley-Wiener theorem on the Hỉlbert transform,

Comptes Rendus Mathematique, 348(2010), pp. 1253-1258.
[14]. R. Paley, N. Wiener, Fourier transform in the complex domain, Amer. Math. Soc.
Coll Publ. XIX, New York, (1934).
[15]. E.M. Stein, Functions o f exponential type, Ann. Math, 65(1957), pp. 582-592.
[16]. P.T. Tien and A. V. Abanin, The differentiation and integration operators on
weìghted Banach spaces o f holomorphỉc j\'unctions. (prepriní).
[17]. P.T. Tien, Composition operators in weighted Banach spaces o f holomorphic
/unctions, Izvestija vussh. Uchebn. Zaved. Severo-Kavk. Region Estestv. Nauki (in Russia),
6(2012), 34-39.
[18]. V.K. Tuan, Spectrum o f signals, J. Fourier Anal. Appl. 7 (2001), pp. 319-323.
[19]. v .s . Vladimirov, Methods of the theory of Generalized Functions, Taylor & Francis,
London, New York, 2002.
2. Mục tiêu:

Mục tiêu của đê tài tiêp tục nghiên cứu, mở rộng các kêt quả của các hướng nghiên cứu
tính chất của hàm thông qua phổ của hàm số cho toán tử đạo hàm, đồng thời xây dựng các
kết quả tương ứng khi thay toán tử đạo hàm bởi toán tử tích phân. Trong đề tài này, tác giả
sẽ mghiên cứu nghiên cứu tính chất của hàm số trực tiếp qua phổ của chính hàm số đó bằng
cách nghiên cứu dáng điệu của dãy chuẩn của các đạo hàm và cả nguyên hàm của một hàm
3


số, các tính chất của hàm số qua hình học phổ khi phổ chứa trong tập khônơ lồi nghiên
cứu các tính chất chung của cả lóp hàm với phổ nằm trong một tập compact cho trước, đây
là các vấn đề rất hấp dẫn và hứa hẹn cho nhiều kết quả hoàn toàn mới Cụ thể đề tài là
nghiên cứu tính chất của hàm số trực tiếp qua phổ của chính hàm số đó bằng cách nghiên
cứu dáng điệu của dãy chuẩn Lp(T) của các nguyên hàm của một hàni số của hàm tuần hoàn
với chu kỳ 2k . Đồng thời, mục tiêu của đề tài còn nhằm đưa ra đặc trưng chung của lớp các
hàm với phổ nằm trong một tập compact cho trước.
Ngoài ra trong đề tài này, chúng tôi còn nghiên cứu dáng điêu của đao hàm và

nguyên hàm của hàm khả vi vô hạn thông qua việc nghiên cứu tính compact của toán tử đạo
hàm và tích phân trên không gian Bach có trong các hàm chỉnh hình và tìm hiểu những tính
chất của toán tử đạo hàm và tích phân trong một số lóp không gian hàm có trong. Cụ thể,
chúng tôi sẽ đưa ra một phân tích tổng quan về không gian có trọng các hàm chỉnh hình và
các kết quả về tính bị chăn của toán tử đạo hàm, toán tử tích phân trèn lớp không gian này.
Từ phân tích tổng quan này, chúng tôi tiếp tục phát triển những kỳ thuât mới để nghiên cứu
tính compact cho hai toán tử này trên không gian có trọng trên miền tổng quát sau đó chúng
tôi sẽ xét trường hợp trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên hình cầu đơn vị và
trên toàn bộ mặt phẳng phức được cho bởi một hàm trọng cầu. Chú ý rằng hai trường hợp
này khác hẳn nhau và yêu cầu những kỹ thuật cũng khác nhau.
3. Phưong pháp nghiên cứu:
- Sử dụng tính chất của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi tích phân
- Sử dụng lý thuyết về hàm suy rộng
- Sử dụng các tính chất của không gian Lp, hay các không gian hàm có trọng
- Sử dụng các tính chất của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2ĩt
- Sử dụng các kỹ thuật của giải tích hàm, giải tích phức, giải tích lồi.
- Sử dụng các kiến thức cơ bản về lý thuyết không gian hàm có trọrig đăc biêt là các tính
chất của hàm trọng liên kết và hàm trọng thiết yếu. Ngoài ra các kể; quả về cầu trúc của
không gian có trọng các hàm chỉnh hình cũng đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu tính
compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân.
4. Tổng kết kết quả nghiên cứu
-Kết quả về dáng điệu của dãy chuẩn của các nguyên hàm của him tuần hoàn{ ||In íllpTỈn
thông qua phổ của chính hàm số đó
-Kết quả về dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho hàm trong không gian Lp(Rn) đối với
tập compact bất kì, tập sinh bởi dãy số, tập sinh bởi đa thức và cho iỊp loi
-Kất quả về dáng điệu của dãy chuẩn của các đạo hàm và nguyên him của hàm sổ thông
qua giá của biển đổi Laguerre
- Phân tích tổng quan cho hướng nghiên cứu toán tử đạo hàm và toín tử tích phân trên lóp
không gian có trọng các hàm chỉnh hình. Từ phân tích tổng quan rùy đề tài đưa ra đươc
cách tiêp cận mới cho nghiên cứu tính compact của toán tử đạo hàn và toán tử tích phân

thông qua tính chất của hàm trọng cầu, hàm trọng liên kết và hàm t:ọng thiết yếu trong lý
thuyêt không gian có trọng các hàm chỉnh hình.
- Điều kiện cần và đủ cho tính compact của toán tử đạo hàm và toáỉ tử tích phân trên không
gian có trọng các hàm chỉnh hình trên miền tổng quát và hàm trọng tổng quat
4


- Tiêu chuẩn cho tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên khône gian có
trọng các hàm chỉnh hình trên hình cầu đơn vị với hàm trọng cầu.
- Tiêu chuẩn cho tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên không gian có
trọng các hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức với hàm trọng cầu.
5. Đánh giá về các kết quả đã đạt được và kết luận:
Đề tài thu được nhiều kết quả đạt được là hay và hấp dẫn về việc nghiên cứu dáng điệu
của dãy các đạo hàm và nguyên hàm thông qua phổ của hàm số, hay tính compact cho toán
tử đạo hàm và toán tử tích phân. Các kết quả của đề tài đã được đăng trên các tạp chí uy tín
trong nước và quốc tế.
6. Tóm tắt kết quả (tiếng Việt và tiếng Anh):
-Đề tài dưa ra công thức phổ cho toán tử tích phân I trên Lp(T), cụ thể là nghiên cứu dáng
điệu của dãy chuẩn Lp(T) của các nguyên hàm của một hàm số của hàm tuần hoàn với chu
kỳ 2ĩt
-Đề tài :hiết lập điều kiện cần và đủ lên dãy các đạo hàm của hàm số không gian Lp(Rn) sao
cho phố của hàm số chứa trong một tập compact cho trước trong Rn
Đề tà: đưa ra một số tích chất của phép biến đổi Laguerre, cụ thể là nghiên cứu dáng điệu
của dãy chuẩn của các đạo hàm và nguyên hàm của hàm số thông qua giá của biến đổi
Laguerre
- Đe tài đưa ra một phân tích tổng quan cho hướng nghiên cứu toán tử đạo hàm và toán tử
tích phán trên lớp không gian có trọng các hàm chỉnh hình. Từ phân tích tổng quan này đưa
ra được cách tiệp cận mới cho vấn đề thông quan tính chất của hàm trọng cầu, hàm trọng
liên kểtvà hàm trọng thiết yếu.
- Dề tài trình bày điều kiện cần và đủ cho tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích

phân trén không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên miền tổng quát và hàm trọng tổng
quát.
- Đề tài thiết lập tiêu chuẩn cho tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên
không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên hình cầu đơn vị với hàm trọng cầu.
- Đề tài đưa ra tiêu chuẩn cho tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên
không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức với hàm trọng cầu.

-We gừe the local spectral formula for integral operators on Lp(T).
-We eximine necessary and suffícient conditions on the sequences of norm of the
derivatrves of íìinctions in Lp(Rn) such that their spectrum (the support of their Fourier
transfoTn) is contained in a given compact set in Rn.
-We give some operational properties o f the Laguerre transform
- We give a survey about recent results on the boundedness of differentiation and integration
operatcrs on weighted Banach spaces o f holomorphic íunctions. From this we also develop
a new tpproach to study the compactness o f these operators via the properties of radial
weights, associated weights and essential vveights.
- Nessecary and suffìcient conditions for the compactness of differentiation and integration
operatcrs on weighted Banach spaces o f general type are given.
5


- We prove criteria for the compactness of differentiation and integration operators on
weighted Banach spaces of holomorphic functions on the unit disc deíĩned by a given radial
vveight.
- We obtain criteria for the compactness of differentiation and integration operators on
weighted Banach spaces of entire íimctions defined by a given radial weight.

PHẦN III. SẢN PHẨM, CÔNG BÓ VÀ KÉT QUẢ ĐÀO TẠO CỦA ĐỀ TÀI
3.1. Kết quả nghiên cứu

TT

Tên sản phẩm

Yêu cầu khoa học hoặc/và chỉ tiêu kinh tế - kỹ
th u ât
•

Ghi chú

Đ ăng ký
1
-Dáng điệu của
dãy chuẩn của
các nguyên hàm
của hàm tuần
hoàn thông qua
phổ của chính
hàm số đó
-Tính chất chung
của cả lóp hàm
với phổ nằm
trong (hay ngoài)
một tập compact
cho trước
2
-Tính
compact
của toán tử đạo
hàm và toán tử

tích phân
-Tính chất cơ bản
của toán tử vi
phân và toán tử
Volterra

-Thiết lập được kết quả về
sự tồn tại các nguyên hàm
tuần hoàn
-Thiết lập được kết quả về
mỗi liên hệ giữa phổ của
các nguyên hàm với phổ
của hàm sổ ban đầu
-Thiết lập được kết quả về
sự tồn tại giới hạn của dãy
chuẩn của các nguyên hàm
-Thiết lập được kết quả
đặc trưng của lớp hàm với
phổ nằm trong (hay ngoài)
một tập compact cho trước

-Kết quả về sự tồn tại
các nguyên hàm tuần
hoàn
-Kết quả về mối liên hệ
giữa phổ của các nguyên
hàm với phổ của hàm số
ban đầu
-Kết quả về sự tồn tại
giới hạn của dãy chuẩn

của các nguyên hàm
-Kết quả đặc trưng của
lớp hàm với phổ nằm
trong (hay ngoài) một
tập compact cho trước

Kết quả
được thể
hiện trong
2 bài báo
thuộc
ISI/Scopus
của
V.N.Huy
(mục 3.2)

-Thiết lập được kết quả về
điều kiện cần và đủ theo
hàm
trọng
cho
tính
compact của toán tử đạo
hàm trong không gian có
trọng trên và D.
-Thiết lập được kết quả về
điều kiện cần và đủ theo
hàm
trọng
cho

tính
compact của toán tử tích
phân trong không gian có
trọng trên và D.
-Thiết lập được kết quả về
tính chất cơ bản của toán
tử vi phân và toán tử
Volterra trong không gian
chỉnh hình có trọng.

-Kết quả về điều kiện
cần và đủ theo hàm
trọng cho tính compact
của toán tử đạo hàm
trong không gian có
trọng trên và D.
-Kết quả về điều kiện
cần và đủ theo hàm
trọng cho tính compact
của toán tử tích phân
trong không gian có
trọng trên c và D.
-Kết quả về tính chất cơ
bản của toán tử vi phân
và toán tử Volterra trong
không gian chỉnh hình
có trọng.

Kết quả
được thể

hiện trong
2 bài báo
quốc tế
của
P.T.Tiến
(mục 3.2)

c

c

c

6


3.2. Hình thức, cấp độ công bố kết quả
Tình trạng
Ghi đia chỉ Đánh giá
(Đã in/ chấp nhận in/ đã
chung
và cảm 071
nộp đơn/ đã được chấp
(Đạt,
sư tài trơ
Sản phẩm
nhận đơn hợp lệ/ đã được
không
của
TT

cấp giấy xác nhận SHTT/ ĐHQGHN
đạt)
xác nhận sử dụng sản
đúng quy
phẩm)
đinh
1 Công trình công bô trên tạp chí khoa học quôc tê theo hệ thông ISI/Scopus
1.1
Đã in
Có
Đạt
Ha Huy Bang and Vu Nhat
Huy, Paley-Wiener theorem for
íiinctions in Lp(Rn). Integral
Transforms Spec.
Funct. 27 (2016), no. 9, 715730
(ISI)
1.2 Alexander V. Abanin & Pham
Có
Đạt
Châp nhận in
Trong Tien, Compactness of
classical operators on weighted
Banach spaces of holomorphic
íunctions, Collect. Math. DOI
10.1007/sl3348-016-0185-z
m
2 Sách chuyên khảo được xuât bản hoặc ký hợp đông xuât bản
2.1
2.2

3 Đăng ký sở hữu trí tuệ
3.1
3.1
4 Bài báo quôc tê không thuộc hệ thông ISI/Scopus
Đã in
Có
Đạt
4.1 A. B. AõaHHH, o . ^ĩ. TneH,
KJiaccHHecKHe onepaTơpbi B
B e c o B t ix õaHaxoBbix
npocTpaHCTBax ronoMopỘHHX
ộyHKựHỈÍ, PĨTorH HayKH H
•

r

r

r

r

\

r

r

TexHHKH. CoBpeMeHHaa
M aT eM aT H K a

H ee npHJiO)KeHỊw.

TeMaTHHecKHe o63opbi. Tom

142. KoMinieKCHbiH aHajĩH3.
BHHHTH. M. 2017. Orp. 3-13.
(Scopus)
5

Bài báo trên các tạp chí khoa học của ĐHQGHN, tạp chí khoa học chuyên
ngành quôc gia hoặc báo cáo khoa học đăng trong kỷ yêu hội nghị quôc tê
r

r

r

r

7


Có
5.1 Ha Huy Bang and Vu Nhat
Đã in
Đạt
Huy, Local spectral íbrmula for
the integral operator I on Lp(T),
Vietnam J. Math. 45(2017),

737-746. (Scopus)
5.2 M. M. Rodrigues , V. N. Huy , Đã in
Có
Đạt
and N. M. Tuan, Some
operational properties of the
Laguerre transíbrm: AIP
Conference Proceedings: Vol
1798, 020130-1-020130-10;
DOI: 10.1063/1.4972722
6 Báo cáo khoa học kiên nghị, tư vân chính sách theo đặt hàng của đơn vị sử
dụng
6.1
6.2
7 Kêt quả dự kiên được ứng dụng tại các cơ quan hoạch định chính sách hoặc
cơ sở ứng dụng KH&CN
.
7.1
7.2
3.3. Kết quả đào tạo
Thòi gian và kinh phí Công trình công bô liên quan
TT Ho và tên
(Sản phẩm KHCN, luận án, luận
tham gia đề tài
văn)
(số tháng/sổ tiền)
Nghiên cứu sinh
1
Học vién cao học
Luận văn

1 Nguyên Phi
10 ngày/2.300.000
Minh
2 Nguyên
Luận văn
Hương Liên
•

Đã bảo vệ

Đã bảo vệ
Đã bảo vệ

PHẦN IV. TỎNG HỢP KÉT QUẢ CÁC SẢN PHẨM KH&CN VÀ ĐÀO TẠO CỦA
ĐÈ TÀI
T
T
1
2
3
4
5

Sản phâm

Bà: báo công bô trên tạp chí khoa học quôc tê theo hệ
thcng ISI/Scopus
Sách chuyên khảo được xuât bản hoặc ký hợp đông
xuit bản
Đăig ký sở hữu trí tuệ

Bài báo quôc tê không thuộc hệ thông ISI/Scopus
Sô lượng bài báo trên các tạp chí khoa học của

Sô
lượng
đăng ký
02

Sô lượng
đã hoàn
thành
02

00

00

00
00
01

00
01
02
8


6
7
8

9

ĐHQGHN, tạp chí khoa học chuyên ngành quôc gia
hoặc báo cáo khoa học đăng trong kỷ yếu hội nghị quốc
tế
Báo cáo khoa học kiên nghị, tư vân chính sách theo đặt
hàng của đơn vị sử dụng
Ket quả dự kiến được ứng dụng tại các cơ quan hoạch
định chính sách hoặc cơ sở ứng dụng KH&CN
Đào tạo/hô trợ đào tạo NCS
Đào tạo thạc sĩ

00

00

00

00

00
01

00
02

PHẦN V. TÌNH HÌNH s ử DỤNG KINH PHÍ
T
T
A

1
2
3
4
5
6
7
8
B
1
2

Nội dung chi

Chi p h í trực tiêp
Thuê khoán chuyên môn
Nguyên, nhiên vật liệu, cây con..
Thiết bị, dụng cụ
Công tác phí
Dịch vụ thuê ngoài
Hội nghị, Hội thảo, kiêm tra tiên độ,
nghiệm thu
In ấn, Văn phòng phẩm
Chi phí khác
Chi phí gián tiếp
Quản lý phí
Chi phí điện, nước
Tông sô
r p

->
A

r
A

Kinh phí
đưọc
duyệt
(triệu
đồng)
275
243
00
00
00
00
32
00
00
15
15
00
300

Kinh phí
thực hiện
(triệu
đồng)

Ghi chú

275
243

32

15
15
00
300

PHẦN V. KIÉN NGHỊ (về phát triển các kết quả nghiên cứu của đề tài; về quản lý, tổ
chức thực hiện ở các cấp)
PHẦN VI. PHỤ LỤC (minh chứng các sản phẩm nêu ở Phần III)
1. Ha Huy Bang and Vu Nhat Huy, Paley-Wiener theorem for functions
in Lp(Rn). Integral Transforms Spec. Funct. 27 (2016), no. 9, 715-730. (ISI)
2. Ha Huy Bang and Vu Nhat Huy, Local spectral formula for the integral operator I
Lp(T), Vietnam l Math. 45(2017), 737-746. (Scopus)
3. Alexander V. Abanin & Pham Trong Tien, Compactness of classical operators on
weighted Banach spaces of holomorphic íìinctions, Collect. Math. 2017, DOI
10.1007/s 13348-016-0185-z (ISI)
4. A. B. AõaHHH, í>. H. TneH, KJiaccHHecKHe onepaTopti B BecoBbix ốaHaxoBbix
npocTpaHCTBax ronoMopỘHbix ộyHKiỊHỈĩ, HTorH HayKH H xexHHKH. CơBpeMeHHaa
MaTeMaTHKa H ee npHJio>KeHHíĩ. TeMaTHHecKHe 0Õ30pbi. Tom 142. KoMnjieKCHtrà

aH3JiH3. BHHHTH, M. 2017, Cĩp. 3-13. (Scopus)


5. M. M. Rodrieues, V. N. Huy, and N. M. Tuan, Some operational properties of the

Laguerre transíbrm: AIP Conference Proceedings: 2017, Vol 1798, 020130-1020130-10; DOI: 10.1063/1.4972722
6. Nguyễn Phi Minh, Toán tử đạo hàm trên không gian Banach có trọng các hàm chỉnh
hình, luận văn thạc sĩ, 2017
7. Nguyễn Hương Liên, Một số kết quả về tích phân dao động với hàm pha là đa thức,
luận văn thạc sĩ, 2017

Đon vị chủ trì đề tài lOg
(Thủ trưởng đơn vị ký tên, đóng dấu)
■%_

10


PHỤ LỤC
I. Báo cáo sản phẩm khoa bọc

TT

Tên sản phẩm (dự kiến)

Yêu cầu khoa học hoặc/và chỉ tiêu kinh tế
- kỹ thuật cần đạt

Ghi chú

1

-Dáng điệu của dãy chuẩn
của các nguyên hàm của
hàm tuần hoàn thông qua

phổ của chính hàm số đó
-Tính chất chung của cả
lớp hàm với phổ nằm
trong (hay ngoài) một tập
compact cho trước

-Thiết lập được kết quả về sự tồn tại các
nguyên hàm tuần hoàn
-Thiết lập được kết quả về mối liên hệ
giữa phổ của các nguyên hàm với phổ
của hàm số ban đầu
-Thiết lập được kết quả về sự tồn tại giới
hạn của dãy chuẩn của các nguyên hàm
-Thiết lập được kết quả đặc trưng của lớp
hàm với phổ nằm trong (hay ngoài) một
tập compact cho trước

Ket quả được
thể hiện trong
2 bài báo thuộc
ISI/Scopus của
V.N.Huy

2

-Tính compact của toán
tử đạo hàm và toán tử tích
phân
-Tính chất cơ bản của
toán tử vi phân và toán tử

Volterra

-Thiết lập được kết quả về điều kiện cần
và đủ theo hàm trọng cho tính compact
của toán từ đạo hàm trong không gian có
trọng trên c và D.
-Thiết lập được kết quả về điều kiện cần

Ket quả được
thể hiện trong
2 bài báo
quốc tế của
P.T.Tiến

và đủ theo hàm trọng cho tính compact

của toán tử tích phân trong không gian có
trọng trên c và D.
-Thiết lập được kết quả về tính chất cơ
bàn của toán tử vi phân và toán tử
Volterra trong không gian chỉnh hình có
trọng.
II. Báo cáo hình thức và cấp độ công bổ kết quả nghiên cứu

1. Số lượng bài báo công bố trên tạp chí khoa học quốc tế theo hệ thống ISI/Scopus:02, trong
đó có 02 bài thuộc ISI.
2. Số lượng sách chuyên khảo được xuất bản hoặc ký hợp đồng xuất bản:00
3. Đăng ký sở hữu trí tuệ:00
4. Số lượng bài báo quốc tế không thuộc hệ thống ISI/Scopus: 01
5. Số lượng bài báo trên các tạp chí khoa học của ĐHQGHN, tạp chí khoa học chuyên ngành

quốc gia hoặc báo cáo khoa học đăng trong kỷ yếu hội nghị quốc tế (có phản biện):02
6. Báo cáo khoa học kiến nghị, tư vấn chính sách theo đặt hàng của đơn vị sử dụng:00
7. Kết quả dự kiến được ứng dụng tại các cơ quan hoạch định chính sách hoặc cơ sở ứng dụng
KH&CN: oỏ
8. Kết quả khác: 00
III. Báo cáo sản phẩm đào tạo

-Đào tạo được 02 thạc sĩ
IV. Minh chứng kết quả công bố:


1. Ha Huy Bang and Vu Nhat Huy, Paley-Wiener theorem for functions
in Lp(Rn). Integral Transỷorms Spec. Funct. 2J_ (^Olổ), no. 9. 715-730. (ISI)
2. Ha Huy Bang and Vu Nhat Huy, Local spectral íbrmula for the integral operator I on
Lp(T), VietnamJ. Math. 45(2017), 737-746. (Scopus)
3. Alexander V. Abanin & Pham Trong Tien, Compactness of classical operators on
weighted Banach spaces of holomorphic íunctions, Collect. Math. 2017, DOI
10.1007/sl 3348-016-0185-z (ISI)
4. A. B. AốaHHH, np0CTpaHCTBax ronoMopỘHLix ộyHKiíHỈí, HTora HayKH H TexHHKH. CoBpeMeHHaa
MaTeMaTHKa H ee npnnoaceHHH. TeMaTHHecKHe 0ổ30pbi. Tom 142. KoMnneKCHbiH

aHaj!H3. BHHHTH, M. 2017, Grp. 3-13. (Scopus)
5. M. M. Rodrigues, V. N. Huy, and N. M. Tuan, Some operational properties of the
Laguerre transforai: AIP Conference Proceedings: 2017, Vol 1798, 020130-1020130-10; DOI: 10.1063/1.4972722
V. Minh chứng kết quả đào tạo:

1. Nguyễn Phi Minh, Toán tử đạo hàm trên không gian Banach có trọng các hàm chỉnh
hình, luận văn thạc sĩ, 2017, (Giảng viên hướng dẫn: TS. Phạm Trọng Tiến)
2. Nguyễn Hương Liên, Một số kết quả về tích phân dao động với hàm pha là đa thức,

luận văn thạc sĩ, 2017, (Giảng viên hướng dẫn: TS. Vũ Nhật Huy)


Integra! Transíorm s and Specia! Functions

ISSN: 1065-2469 (Print) 1476-8291 (Onlineì ỉournal homepạge: httũ://www.tandfonline.com/loi/gitr20

Paley-Wiener theorem for functions in Lp(Rn)
Ha Huy Bang & Vu N hat Huy
To cite th is article: Ha Huy Bang & Vu Nhat Huy (2016) Paley-W iener theorem for
functions in Lp(#n), Integral Transíorm s and Special Functions, 27:9, 715-730, DOI:
10.1080/10652469.2016 1190964
To link to this article: http://dx.d 0 i.0 rg/1 0.1080/10652469.2016.1190964

Published Online: 06Jun 2016.

Submityourarticle to this journal

IM

Article views: 22

View related articles c

\* J

View Crossmark data c

Ful! Terms & Conditions of access and use can be found at
http://'wv'A/.tandfonline.com/action/]ournallnform ation?journalCode=gitr20

:ed by: [E:PFL Eibliothèque]

Date: 04 November 2016, At: 01:54^


INTEGRAL TRANSFORMS ANDSPECIAL FUNCTIONS, 2016
VOL. 27, NO. 9,715-730
/>
Paley-W iener theorem for íunctio ns in L p ( R n)
Ha Huy Bang3 and Vu Nhat Huyb
aVietnamese Academy of Science and Technology, Hanoi, Vietnam; bDepartment of Mathematics, College of
Science, Vietnam National University, Hanoi, Vietnam
ABSTRACT

ARTICLE HISTORY

In th is p a p e r w e exam in e n ece ssa ry a n d sufficient c o n d itio n s o n th e
se q u e n c e s of n o rm o fth e d e riv a tiv e s o ffu n c tio n s in L p ( R n) su c h th a t

Received 6 January2016
Accepted 13 May 2016

their spectrum (the support of their Fourier transíorm) is contained
in a given compact set in R n.

K cy iy o D r.c
Real Paley-Wienertheorem;
Lp-spaces; Fourier transíorm

AMS SUBJECT
CLASSIFICATION
46F12

1. Introduction

Let 1 < p < oo,f € Lp(R),cr > 0 and supp/ c Ị- ơ .ơ ] , w here/is the Fourier transíorm
of/. Then we have the following Bernstein inequality:

Note that Bernstein inequality was proved in [1] for p = co and in [2] for 1 < p < oo.
The Bernstein inequality allơvvs us to estimate the norm of ứie derivatives of the íunction
/ based on its spectrum (ứie support of its Foụrier transíorm). It was proved in [3] the
fol]owing result complementing the Bernstein inequality:
Theorem A: Let 1 < p < oo a n d f
thefolỉowing limit:

e Lp(W), m — 0 ,1 ,2 ,__ Then there alwaỵs exists

Um \ự M \ịỵ
m
r

i—

and
lim \\f{m)\\ị/m = ơf = sup{|^| : ệ e supp/}.
rJ

í—VrĩCi
m-±

00

For the n-dimensional case, we have in [4]:

CONTACT Ha Huy Bang ©



© 201 ó Iníorma UK Limited, trading as Taylor & Francis Group


716

@

H. H . BAN G A N D V. N. H U Y

TheoremB: Let 1 < p < c o ,/ e

andsupp/

/5

boundeả. Then

Tkeorem A, which describes behaviour of the sequences of norm ofthe derivatives offunctions based on their spectrum, has been studied anả deveỉopeả ìn various directions such ŨS
extenảing it to other/unction spaces, to more general differential operators, to n-dimensionaỉ
case, as well ŨS replacing Fourier transýorm by other integral operators (see [5-30]). In particular,it follows from Theorems A and B that i f f e Lp(R") and ơj > 0, j — l , . , n then
supp/ c [Ệ e M” : \Ệj\ < ơj, j — 1, . . . , n} i/aìid onỉy if

In this paper, we exainine the following problem: For 1 < p < 00 and a íìxed compact
set K c R”, we find the necessary and suíĩìcient conditions on the sequences of norm of the
derivatives of functions in Lp(R.n) such that their spectrum is contained in K. It should be
noticed that various relations betvveen the norms of the derivatives of íunctions and their
spectrum were studied in [3,4,14-16,21,31 ], but the necessaiy and suổìcient conditions on
the norms of the derivatives of functions such that their spectrum is contained in a given
compact are íìrst obtained in this paper. The layout of this paper is as follows: In Section 2
we find the necessary and suổìcient conditions for any compact case. For tliis general case,
we have to take the sụpremum of ứie absolute value of polynomials on neighbourhoods in
c» of K. In Sections 3-5 we give some special kinds of compacts K so that in the necessary and suíBcient conditions we have to take the supremum only on neighbourhoods in
R" of K. Moreover, the obtained conditions in these cases are much simpler than ones in
Section 2. Note that real Paley-Wiener theorem in recent years is intensively developed by
manyauthors. [3-18,22-29]
2. Paley-Wiener theorem for arbitrary compact K
Let/ e Ii(R n) a n d / — Ff be its Fourier transíorm
f(ệ) = (2jĩ) rt/2 Ị

e bc^f(x)dx.

The Fourier transform of a tempeređ generalized function/ is defined via the íormula
(Ff,

Let p(x) be a pclynomial of degree q: p(x) — Ỵ2ịa'n i i xj J■The difíerential operator P(D) is deủned by

= Yl)z=\ap :^ —

P(D)f = y ] aaDaf ,

kl where D = (D U. . . , Dn),Da = D“l ... Dữ
nn,Dj
= -id /d xp j = 1 ,2 ,..., n.
n
>V ị —


INTEGRAL TRANSFORMS A N D SPECIAL FU N C TIO N S

(V )

717

Let K be a com pact set in R n and ế > 0. D enote by Kự)
[Ệ e c n : 3x € K : \x —
£ I < e} the €-neighbourhood in c n o f K, and Ke the é-neighbourhood in M” o f K, z + =

{0, 1, 2,...}.
We State our theorem:

Theorem 2.1: LetKbe an arbitrary compactset in R '\ 1 < p < oo a n ả f € Lp(R ”). Then
su p p / c X i f and only if fo r any s > 0 í/ỉere exisís í3 constant Cs K < 00 independent o f
f,P (x),p such that
\\P(D)f\\p < CyrllAI, sụp \P(X)\

(2.1)

/or all polỵnomials with real coefficỉents P(x).
Proof: Necessity. We choose a fanction /z(ệ) € Cq°(M”) such that h(Ệ) = ì iỉ Ệ

€ K s /4

and h(%) = 0 if Ệ ặKs/ 2- Since P(D)f = P(Ệ)f and supp/ c K> it follows that P(D)f =
h(Ệ)P(Ệ)f, and then
P (D )/ = (271 r n' 2f * F - l m ) P ( Ệ ) ) .

Thereíore, by the Young inequality, we have
l|í>(D)/llp < ( 2 j r ) '”/2 r i l p l|F - 1(/1(|)ỉ> (ệ ))||,

= (2 ^ )-”^]l/|!p||F(/i(í)P(ậ))||i = (2jr)_ "/2|ị/[|p|| 'ỉ' II1,

(2.2)

where
V (x):= (F (h(ặ)P {Ệ m x).
P < ( 2 , 2 , , 2), we get the following estimate:

Hence, for /3 €

sup \x ^ ( x ) \ = ( 2 ĩ iy n/1 sup ị
xéRn

e -l^D p(h(Ệ)P(Ệ)) dỆ

x e ủ n IJ R n

í

= (2 jt)“ ”/2 sup

xeE"

J

< { 2 n )-n/2 Ị

e-^D^(h(Ệ)P(Ệ))dặ

ệ £ K s ,2

\D ^m )P (Ệ ))\dỆ .

J'ặeKs
ẽ € K ẵ/2
/7

Then it follows from the Leibniz rule tìiat
sup

< (In )-"'2 [
T
heK n

< (2 * r”/2 V

- p - —

(

y

< ( 2 7T)~n/2

max

Drh(Ệ)D?-vp(Ị) dị

Y W - yysup ID?-rp(x)l [
\Dyh(Ệ)\ dệ 1
JỆ€Ks/2
/

y ) - xeKs/2

sup ID9P(x)\ Ỵ ] 1

e < lb :..,2 )x€Ks/2

^

/ '

■- [

\ y \ ( p - ỵ y . JỆeKs/2

|Dy/7(£)| dM . (2.3)
)

718

@

H. H. BANG AMD V. N. H U Y

Because the đerivatives of the anaỉytic runction P(x) can be estimaỉed in Kg/1 by the maxirautn o f the modulus in ÍC(5), there exists a constant A$ K independent ũ f f , P (x ),p such
that (see [17,18]):
sup \D6P( x ) \ < A 8iK sup \P(x)\,

xeXỉ/2

Vớ G Z ” ,ớ < ( 2, 2, . . . , 2) .

(2.4)

*€%)

From (2.3) and (2.4), we have

sụp \ x ^ ( x ) \ < ( 2 * r n/2 £

( V i , / 1 -;mấ ^

su.p lp(x)i í

\D Y h ^ ) \

< ( 2 n r n/222nAs,KC(8,K) sụp \-P(x)\,

(2.5)

x e K (ỉ)

where
C (8 ,K ) :=

max

1

\Dy h(Ệ)\dệ.

y < ( 2 ,2,....2) j Ệ e K s/2

Let 0 < k < n and (í'i, i2, . . . , !„) be a permutation o f ( 1 , 2 , , n). We deíìne A ( i[ , . . . , in,

k) = ịx = (x i,... yXn) € K” : |x/j I,. . . , \xjkI > 1, \xik,!

, \xinI < 1}. Then it follows

from (2.5) and
í

I^ (x) I dx <

jR "

T

ị

Iy (x) Idx

(h,.Jn,k)J M h ' - ’Ì'”k)
<

Ỵ]

sụp \xị . . . xfk^ ( x ) I 1

<2n

- y --- ■ d-c

sup \xfì . . . x j k^ (x )\

(ìi,...,in,k) X€K"
< (2(n + 1 ) ) ”

sup

sụp 1*? . . . x ị ^ ( x )I
xeR”

th a t

[

J K”

\ ^ ( x ) \ ả x < C 5,K sụp |P (*)|,

(2 .6)

xzK(S)

where Cs,K is independent o f / , P(x),p. From (2.2) and (2.6) we obtain (2.1).

Sựfficiency. Assume (2.1) is true, we need to prove supp/ c K. Lndeeđ, assume the
co ntrary that there exists ơ e supp/ and ơ ị K. We construct a polynomial G{x) = t —
\x — ơ | 2, w h e r e í = supxe^ \x — ơ ị 2. Then applying (2.1)for P(x) = Gm(x), we getfor ali

me z +
\\Gm(D)f\\p < Cs,K \\f\\p sụp |Gm(x)|,
xeK(S)

w hich gives
J ^ J \ \ G m( D ) f \ ự / m < sup |G(*)|.


IN TE G R A LTR A N S FO R M S A N D SPECIAL FU N C TIO N S

0

71 9

Letting 8 —» 0, we obtain

lim (\\Gm(D)f\\p)l/m < sup|ơ(x)|.

1_•>oc
*
m—

(2.7)

xeẰ'

Since |G(ơ)| = t > 0, for suíRciently small 6 > 0, we have G(ệ) ^ 0 VỆ £ B[ơ, e]. Since
ơ G supp/, there exists

c jB(ơ,ế) such that {/, Ạ3) 7^ 0. We deíìne
H m := F(cp(Ệ)/Gm(Ệ)).

Clearly, Hm is weU deíìned and (Gm(D)f,Hm) = (F(Gm(D)f),F-'íHm) = {Gm(Ệ)Ff,
F~]Hm) = (Ff,Gm(Ệ)F~ỉHm) — ự, \\Gm(D)f\\p\\Hm\\q > |(G m( D ) / ,f ỉ m}| = |(f,ự>)| > 0,

where l/p + l/g = l. Thereícre,

ỊỊm ||G"í(D)/HỈ/m > ( ĩ m ĩ ||Hw||ỵ m)~ l .
m-+DQ

\m -> 0 o

( 2 .8)

/

Then for /5 e Z” , ệ < (2, 2, , 2), we have the following estimate:

sụp |*^Hm(x)| < (27i)~n/1 sụp I í
xeỂ"

) dệ

xeẼ n U e »

1 ? )/

/ p (j) '
VGm(ệ).

= (2j r ) - ”/2 supp I /

I" UệeB(£7,€)
ựf
xe®'1
xe]

< (2n)~n,/2 [
h

I

VGw(ệ )/

dệ.

Then it follows from the Leibniz rule that
sụp \x^Hm(x)\

xeRn

< (2jt)
' /í
— —----- DY(p(Ệ)D^-y (
(2n)-n/2
Y2 ^ ----hm *,e)
Y W - y)ỉ v
w & )
sup
ắ í

< (2jr)~n/2

max

- ỵ )!

\G

xeB(ỡ,ế)

(x) /

J t €B(ơ,€)

ị

sup

ớ <(2,2,...,2) x e B ( ơ , e )

(2.9)
By inf{|G(je)| : X € B(ơ,e)} > 0, there exists a constant c independent of m such that
sup
xeB(ơ,e)

D

< Cmln

sup
x eB (ơ ,e)

Gm(x)

,

Vớ € Z ị , 6 < (2 , 2 , . . . , 2). (2 .10)


720

( 0

H. H. BANG A N D V .N . HUY

From (2.9) and (2 .10), we have
sụp \x^Hm(x)\
xeú”

< (2 n r " /2

pr 2« sup
--------Cm
1
)ỉ
xeB(a.f) Gm (x)
£
v<$p \\ yy !w( P- -yy v

IDỵ ỆsB (ơ ,f)

( 2 . 11)

— Q m 2'1 f in f |G (x )|ì
\xeB(a,e)
)

where
c i : = ( 2 x y n ,2 T , ( - í ĩ i r r ^ C í

^ v y !(£ -ỵ )!

Jỉmcr,ỉ)

ID ^tD ldỉ).

)

We see that Ci independent o f m. Then it follows from (2 .1 1 ) and

/JT \ «

l|Hm||9 < ( ^ y sup l(xỉ + l ) . . . ( x ?1 + l)H m(x)l
v 2 '

AreỂ"

that
l/m

11Q1

rn—
>00

< l / ( in f \G ( x ) \) .
\x e B(ơ,€)
)

(2 . 1 2 )

Since (2 .8) and (2 .1 2 ), we obtain
Ịịm \\Gm(D )f\\lp / m >

m—*oo

inf |G(X)|.

xeB{ơ,()

Letting e —>■ 0, we have
(2.13)
m-± 00
Then it follows from (2.7) that
|G (ơ )| < sup |G(x)|
xsK
and then
t = IG (ơ ) I .< s u p (f - | | x - ơ | | 2).
xeK
A

1 his is a contradictìon. So, s u p p /

c

K. The proof is compỉete.

From the proof of Theorem 2.1 we have
Remark 2 .1 : Theorem 2.1 still holds if the consỉdered P(x) are polynomials with com plex
coeíììđents.


INTEGRAL TR ANSFORM S A N D SPEƠAL FU N C TIO N S

(í)

721

The following resuỉt was proved in [19]: Let 1 < p < o o , / e Lp(M.n) and the spectrum
o f / be compact. Then
lim ị\PmW ) f i ị ị /m =

ỵ

m-»oo

sup

|P(X)|.

xesupp/

So, for any 8 > 0 there exists a constant Cy p J < oo dependent o n /, p and ổ such that
\\ỉ^ {P )f\\p < Cfj>'S\ự\\p

sup^

|Pw (x)|

VmeN.

(2.14)

xesupp/ự,

By Theorem 2.1, we have the stronger result that for any 8 > 0 there exists a constant Q <
00 independent o f p,m such that
\\PmW \ \ p

sup^ \Pm(x)\.

(2.15)

xesupp/(Ẵ)

We give now a result for directional derivatives. To do this we recall the following result
in [2 1 ]:

Theorem C:Let 1 < p < q < oo, ơj > 0, j = 1, . . . , n, f e Lp(R.n) and supp/ c n j= i
[—ơj, ơj]. Thenthere exists a constant c independent off, a, ơ such that
IID 7II, < c

Yị

11/11p

Va £

Z ị,

• .

1< 7<«, ctj =5^0

where
í = - — - > 0,
p
q

<T = (0-1.Ơ2, . . .,ơ„),a — (ữ1>a2, . .. ,a n).

Suppose that a — (dị, . . . , an) is an arbitrary real unit vector. Then
n

Daf( x ) =fá(x) =

j=1

3f
;

iò' í/ie d e r ỉv a tiv e o f f a t th e p o i n t X in th e d irectio n a, a n d

D Zf = Da(D ?-lf ) ,

m = 1 ,2 ...

is í/ỉe derivative o/order m o ffa t the pointx in the direction a. Then we have thefolỉowing
resuỉt.
Theorem 2.2: Leí K be an arbitrarỵ compact set in R", 1 < p < q < oo a n d f e Lp(Rn).
Assume that s u p p / c K. Then there exists a constant c independent off,m such that
K f \ ị q < C m -,ịịf\ịt [hK<,a)r+l,
where t = 1/p — 1/q > 0, %(ữ) = sup£giC \aặ\.

(2.16)


722

@

H. H. BAN G AMD V. N. HUY

Prooỷ. We intrcduce the transíormation
X — ( x j , . . . , x n)

> ( ệ l >• • • >Ệri)

Ệ>

w here Ệ i , . . ệ n are the coordinates of X in the new rectangular system o í coordinates,
w hich is chosen in such a way that the increase o f ệi for íìxed Ệ2 , . . . , ện will lead to a
m otion o f the point X in the đirection a. The coordinate transformation
n

VkAsi

Xk =

fc = 1, ---,3

5=1

is deíìned by a real orthogonal matrũí A = (ữ ^ ). Hence, evidenđy we have
ữj = ữj i ,

j —

and

|d e tA | = l.

P u t£ (ệ ) = f ( x ) . Then

dm
= D a f ( x) ’

«1 = 1 , 2 , . . .

N ote that ịệi I < hx(a) for each point Ệ £ supp g. Hence, using Theorem

c, we have

om

\m \\q =

II
g
(ệ)
I
< Cm Í||^ ||p [^ (íỉ)]" í+Í = Cm t \\f\\p[hK(a )]m+t
^7

ƠS\

'1q

The prooí is complete.
The following corollary foliows from Theorem 2.2
C orollary 2.3: X e ự € Lp(M), l < p < q < o o . ơ > 0 and s u p p /
Ằ

c [—ơ,ơ]. Thenýor aỉl

-< 1 /p — 1/q, we have
lim m x [hK ( a ) ] - m\\D^f\\q = 0 .
1

m-+OQ

Note that by using the Bernstein inequality for directional derivatives in [31], w e get
that the sequence {[% (íĩ)]_m \\Dmf\\q }n = i isbounded whiỉe by Corollary 2.3, we have the
fo!lowing stronger result: lim „A co m X[hK(à)]~m\\D™f\\q = OíbranyO < Ằ < ì / p — ì / q.
Pnt
\\D'anf \ \ q
Vm : = --------

,

1 < p < a < co.

Th en ỵm > ỵ,„+ 1 and
lim Ym — 0, lim Ym
7ĩĩ—
>cc
m-¥ oc

= 1-


INTEGRAL TRANSFORMS A N D SPECIAL PU NC TIO N S

(Q

723

3. Paley-W iener theorem for sets generated by number sequences
We recall som e notations and results in [17,18]: Let 0 < Ằa < oo,Gí e
G{Ằa } the set o f points Ệ 6 M” such that

\Ệa\ < Ằ a

D enote by

V a e Z n+,

i.e.,

aẽZị

Then G{Àữ} is called the set generated by the number sequence {Ằ.Q,}.
Clearly, G{ẰƠ} is close, ( r ỵ ệ i , r „ ệ „ ) € G{Ằa } i f ệ e G{Ằa } and Inl < l , j = 1
and

G{Xa } — G

. SUP

ệsG{Àữ}

The set G{Ằa } is compact if, for instance, Ảa < oo, Va e Z ị.
N ote that GỊXq,} can be non convex: Let n = 2 and Ằ(Ụ) =

6

z +. T hen

Gp-tt} = {(x,ỵ) € M2 : \xy\ < 1, |x| < 2, \y\ < 2},
w hich is called the hyperbolic cross.
Let K be a set in R ”. Put

g(K) = G s u p i n
Ả'

.
J

Then K c g(K). We call^CK) the g-hull of K and say that K has g-property if K = g(K).
• Every set generated by a number sequence G{Ằff} has g- property and, obviously, the
inverse side hoỉds.
• Let I be a íamily o f indexes and K j = g ( K j ) , j € I. Then P) -€J K j also has £-property.

• Every symmetric compact convex set has £-property.
Let us State our tneorem:

Theorem3.1: Assume K is a compact in R ” and has g-propertỵ, 1 < p < oo and f £
Lp(Kn). Then supp/ c K if and only iffor any 8 > 0 there exists a coĩistant Q K < c°
(independent o f f , p , a ) such that

\\Daf\\p < Cs>K\ự\\p sụp \ f \
xeks

fo r alỉct e Z ị.

(3.1)


724

@

H. H. B A N G A N D V. N. HUY

Proof: Necessity. Since su p p /
Q K < oo such that

c K aiid Theoreir. 2 .1 , fcr any 8

> 0 there exists 2. constant

|*a| V a e Z ' ị .

im-ịịp < Cs,K\ự\\p su?

(3.2)

xe.'
For each X € K ( 8/ 2 n) there
re is qặ € K such that

1/2

< <5/2/1.

ỉ*-£l =
So,
\xj\ < \ặj\ + ( S / 2 n )

for all; — 1 , 2 , . . . , 71.

(3.3)

Because iv has £-property so we have (|ệ i|, 1^2 1>■• • >l£«!) € K. Hence, it follows

from m

I + (5/(2«)), \Ệ2\ + (8/(2 n ) ) , \ ặ „ \ + ( 8/(2 »))) - (ĩlil, 1*21, • • ■>\Ệ«\)\ = s /

V i n < 8 tliat V = (\Ệl \ + (8/(2n)),\Ệ2\ + ( 8 / ( 2 n ) ) , . . . , \ Ện\ + ( 8 / ( 2 n ) ) ) e K s . Therefore, using (3.3), we obtain for all a 6 Z'ị
ự \ < \ T ì a l,

X € K (8/2» ), tì € K S.

So,
sup

|*“ | < sup l*"!

X€Kạ/2n)

Va e Z ” .

xeKs

(3.4)
,

Hence, com bining (3.2) and (3.4), we get

\\Đaf\\p < Csjc\ự\\p sup l^ l

Va € z ; .

xeKs

Sufficiencỵ. Assurae the contrary that there exists ơ € supp/ and ơ g K. Because ơ ị K
and JC has g-property, there is y £

such that

|ơ ỵị > sup \xY\.
xở.
Applying (3.1) for a = m y , m € z + , we cbtain
rn

l|Dm7 l|p < Cs,K\ư\\p

sup \x-Y\
\xeks

which gives

j— /
lim

m íỉo

I

ịựfV jp_

— ------ .
IX™.'

Applying (2.13) for G(x) = x y , we have

,5 .1

k ” 1'! )

s l/"
*

—

(3.5)ỵ


INTEGRAL TR ANSFORM S A N D SPECIAL FU N C TIO N S

0

725

C om bining (3.5) and (3.6), we get

lim

m->00
So,
sup \xY \ > \ơ y \.
xeKs

Letting s - * 0, we obtain
sup \xY \ > \ơ v \.
xeK

This is a contradiction. So, s u p p /
The proof is complete.

c

K.

■

R em ark 3.1: I n Theorem 3.1 \ve can replace X e K$ by X e K(S).
U sing Theorem 3.1, we get the following corollary:
C orollary 3.2: L e tK b e a symmetric convex compact s e ti n W ', 1 < p < oo a n ã j 6 Lp(MLn).

Then s u p p /

c

K if and only iffor any 8 > 0 there exists a constant c$ K < oo such that
\\Daf \ \ p <

sup l*a |

xeKỉ

•

fo r a ỉ ỉ a e Z ị .
R em ark 3.2: ForcomparisonwithTheorem2.1,tohavesupp/

c

j'C(wherei'Cisacompact

having g-property) w e n e e d to ch eck th e estimates: IIP(D)f\\p < Q jcl|/l[p suPa:-ằ' ị l^(*)l
only for P (x ) = / , a e Z Ị .
From Theorem 3.1, we have the following corollary:
C orollary 3.3: Assume K is a compact in M” and has g-property, 1 < p < oo and f €
Lp(R ”). Then s u p p /

c

K if and only if

4. Paley-W iener theorem for the sets generated by polynomials
Let P(x) be a polynom ial with real coefficients and r > 0. We put
p% (.X) := p™ (x)

form €

z +, a

Q(P)r-.= { x e R n :\P(.x)\Q(P)r is called the set generateđ by P(x).

€ Z" ,