Lý thuyết và xác suất thống kê toán

Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
BÀI GIẢNG
Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Trần Anh Tuấn, email:
Bộ môn Kinh tế lượng - Đại học Thương mại
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
Lí thuyết xác suất thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên
cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế.
Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói
trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát.
Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng
ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta có thể rút ra được
những kết luận khoa học về hiện tượng này.
Lí thuyết xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê – môn học
nghiên cứu các các phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử
lí thông tin, nhằm rút ra các kết luận hoặc quyết định cần thiết.
Ngày nay, với sự hỗ trợ tích cực của máy tính điện tử và công nghệ
thông tin, lí thuyết xác suất thống kê ngày càng được ứng dụng
rộng rãi và hiệu quả trong mọi lĩnh vực khoa học tự nhiên và xã
hội. Chính vì vậy lí thuyết xác suất thống kê được giảng dạy cho
hầu hết các nhóm ngành ở đại học.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
Tài liệu tham khảo
Mai Kim Chi, Trần Doãn Phú, Lý thuyết xác suất và thống kê toán,
Nhà xuất bản Thống kê, 2008.
Nguyễn Thọ Liễn, Trần Doãn Phú, Hướng dẫn giải bài tập Xác
suất và Thống kê Toán, Nhà xuất bản Thống kê, 2010.
Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Lý thuyết xác suất và thống kê
toán, Nhà xuất bản đại học kinh tế quốc dân, 2008.

Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Bài tập xác suất và thống kê
toán, Nhà xuất bản đại học kinh tế quốc dân, 2008.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
Nội dung chính
PHẦN I. LÍ THUYẾT XÁC SUẤT
Chương 1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
Chương 2. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Chương 3. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
PHẦN II. THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Chương 4. LÍ THUYẾT MẪU
Chương 5. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ CỦA ĐLNN
Chương 6. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
PHẦN I. LÍ THUYẾT XÁC SUẤT
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
Chương 1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
1
Bổ túc về giải tích kết hợp
Quy tắc nhân
Quy tắc cộng
Hoán vị
Chỉnh hợp
Tổ hợp
2
Phép thử và biến cố
Khái niệm phép thử và biến cố
Quan hệ các biến cố

3
Xác suất của biến cố
Khái niệm xác suất của biến cố
Định nghĩa cổ điển về xác suất
Định nghĩa thống kê về xác suất
NL xác suất bé, NL xác suất lớn
4
Các định lí về xác suất
Định lí nhân xác suất
Định lí cộng xác suất
5
CT đầy đủ - Bayes
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
§1. BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH KẾT HỢP
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
1.1. Quy tắc nhân
Định nghĩa
Một công việc nào đó được thực hiện theo 2 công đoạn A và B. Công
đoạn A có m cách thực hiện, với mỗi cách thực hiện công đoạn A có n
cách thực hiện công đoạn B. Khi đó có m.n cách thực hiện công việc
đó.
Quy tắc nhân có thể mở rộng cho một công việc thực hiện theo nhiều
công đoạn.
Ví dụ 1.1
Giả sử để đi từ A đến C bắt buộc phải đi qua B. Có 3 con đường khác
nhau để đi từ A đến B và có 2 con đường khác nhau để đi từ B đến C.

Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ A đến C ?
Lời giải
Số cách đi từ A đến C là 3.2 = 6.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
1.2. Quy tắc cộng
Định nghĩa
Một công việc nào đó được thực hiện theo phương án A hoặc phương
án B. Có m cách thực hiện phương án A và n cách thực hiện phương
án B. Khi đó có m + n cách thực hiện công việc đó.
Quy tắc nhân có thể mở rộng cho một công việc thực hiện theo nhiều
phương án.
Ví dụ 1.2
Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công
bố danh sách các đề tài bao gồm : 8 đề tài lịch sử, 7 đề tài thiên nhiên,
10 đề tài văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền lựa chọn một đề tài. Hỏi
mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng chọn đề tài ?
Lời giải
Mỗi thí có 8 + 7 + 10 = 25 khả năng chọn đề tài.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
1.3. Hoán vị
Định nghĩa
Cho tập A có n (n ≥ 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một
thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A.
Số các hoán vị, kí hiệu P
n
= n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 1.
Ví dụ 1.3
Mỗi cách sắp xếp 4 bạn sinh viên vào bàn dài 4 chỗ ngồi là một hoán

vị của tập gồm 4 bạn sinh viên. Vì vậy có 4! = 24 cách sắp xếp 4 bạn
ngồi vào bàn.
Trong 4 bạn, có bạn Bình và bạn Tú. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 4
bạn vào bàn trong đó hai bạn Bình và Tú ngồi cạnh nhau.
Lời giải
Có tất cả 2.3! = 12 cách xếp.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
1.4. Chỉnh hợp
Định nghĩa
Cho tập A có n (n ≥ 1) phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi
lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một
chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu A
k
n
=
n!
(n − k)!
.
Ví dụ 1.4
Trong trận trung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân
lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh
sách sắp thứ tự trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét.
Mỗi một danh sách đó là một chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử.
Khi đó huấn luyện viên của mỗi đội có A
5
11
= 55440 cách lập danh sách
5 cầu thủ.

Chú ý : A
n
n
= P
n
; 0! = 1; A
0
n
= 1.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
1.5. Tổ hợp
Định nghĩa
Cho tập A có n (n ≥ 1) phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi
tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần
tử của A.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu C
k
n
=
n!
k!(n − k)!
.
Ví dụ 1.5
Một phòng làm việc của một công ti có 30 nhân viên.
1
Có bao nhiêu cách giám đốc chọn ra một BLĐ phòng gồm 3 người.
2
BLĐ phòng gồm : trưởng phòng, phó phòng, thư kí. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn BLĐ phòng.

Lời giải
1
Số cách chọn là C
3
30
.
2
Số cách chọn là A
3
30
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
§2. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
2.1. Khái niệm phép thử và biến cố
2.1.1. Khái niệm
Việc thực hiện các điều kiện cơ bản để quan sát xem một hiện tượng
có xảy ra hay không được gọi là một phép thử. Còn hiện tượng xảy
ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố.
Ví dụ 1.6
Một lô hàng có 50 chính phẩm và 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản
phẩm để kiểm tra. Khi đó :
Việc lấy ra 3 sản phẩm được gọi là phép thử.
Kết quả của phép thử, chẳng hạn lấy được 2 chính phẩm và 1 phế
phẩm là một biến cố.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
2.1.2. Phân loại biến cố

Biến cố được phân làm 3 loại :
Biến cố ngẫu nhiên :
là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra
khi thực hiện phép thử. Kí hiệu là A, B, C, . . . , A
1
, A
2
, . . .
Biến cố không thể có :
là biến cố chắc chắn không xảy ra khi thực
hiện phép thử. Kí hiệu V hoặc ∅.
Biến cố chắc chắn :
là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện phép
thử. Kí hiệu U hoặc Ω.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
Ví dụ 1.7
1
Gieo một con súc sắc (cân đối, đồng chất).
- Gọi A
i
: "xuất hiện mặt i chấm", thì A
i
là
các biến cố ngẫu nhiên.
- Các biến cố A
c
, A
l
: "xuất hiện mặt có số chấm

là chẵn (lẻ)" cũng là các biến cố ngẫu nhiên.
- Biến cố V : "xuất hiện mặt có số chấm là 7"
là biến cố không thể có.
- Biến cố U : "xuất hiện mặt có số chấm là ≤ 6" là biến cố chắc
chắn.
2
Gieo một đồng tiền xu (cân đối, đồng chất). Gọi N, S :
"xuất hiện mặt ngửa, sấp", là các biến cố ngẫu nhiên.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
2.2. Quan hệ các biến cố
2.2.1. Biến cố đồng khả năng
Các biến cố A
1
, A
2
, . . . , A
n
gọi là đồng khả năng nếu có cơ sở để nói
rằng khả năng xảy ra hay không xảy ra của các biến cố là như nhau.
Ví dụ 1.8
Trong ví dụ 1.2, các biến cố : {A
1
, A
2
, . . . , A
6
} và {A
c
, A

l
} là đồng khả
năng.
2.2.2. Biến cố kéo theo
Biến cố A kéo theo biến cố B nếu như khi phép thử được thực hiện mà
biến cố A xảy ra thì biến cố B chắc chắn xảy ra. Kí hiệu A ⊂ B.
Ví dụ 1.9
Trong ví dụ 1.2, có A
2
⊂ A
c
và A
5
⊂ A
l
, . . .
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
2.2.3. Tổng các biến cố
Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu C = A+B =
A ∪ B nếu C chỉ xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy
ra.
A B
A + B
Tổng quát
Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố A
1
, A
2
, . . . , A

n
nếu A xảy ra
khi có ít nhất một trong n biến cố ấy xảy ra.
Kí hiệu A =
n

i=1
A
i
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
Ví dụ 1.10
1
Trong ví dụ 1.2, có A
2
+ A
4
+ A
6
= A
c
; A
1
+ A
3
+ A
5
= A
l

.
2
Hai người cùng bắn vào một bia. Gọi A là biến cố "người thứ nhất
bắn trúng", B là biến cố "người thứ hai bắn trúng", C là biến cố
"bia trúng đạn".
Khi đó C = A + B.
Chú ý
1
A + A =
A;
2
Nếu A ⊂ B thì A + B =
B; A + V = A; A + U = U.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
2.2.4. Tích các biến cố
Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B, kí hiệu C = AB =
A ∩ B nếu C xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.
A B
A.B
Tổng quát
Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A
1
, A
2
, . . . , A
n
nếu A xảy ra
khi cả n biến cố ấy cùng xảy ra. Kí hiệu A =
n


i=1
A
i
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
Ví dụ 1.11
1
Trong ví dụ 1.5, gọi D là biến cố "cả hai người cùng bắn trúng
mục tiêu".
Khi đó D = AB.
2
Một kì thi tuyển viên chức của một cơ quan, mỗi thí sinh cần trải
qua 3 vòng thi : sơ tuyển, thi viết, thi vấn đáp. Gọi A
i
: "thí sinh
thi qua vòng thứ i", A : "trúng tuyển".
Khi đó A = A
1
A
2
A
3
.
3
Có hai lô sản phẩm. Lô I : có 10 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lô
II : có 8 chính phẩm và 5 phế phẩm. Từ mỗi lô lấy ra 2 sản phẩm
để kiểm tra. Gọi A
i

: "Có i chính lấy ra từ lô I", B
j
: "Có j chính
lấy ra từ lô II" (i, j = 0, 2) ; A : "4 sản phẩm lấy ra cùng loại" và
B : "4 sản phẩm lấy ra có không quá 1 chính phẩm".
Khi đó :
A =
A
2
B
2
+ A
0
B
0
và B = A
0
B
0
+ A
1
B
0
+ A
0
B
1
.
Chú ý
1

A.A =
A;
2
Nếu A ⊂ B thì AB =
A; A.V = V ; A.U = A.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
2.2.5. Biến cố xung khắc
Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể
đồng thời xảy ra trong một phép thử, tức là AB = V .
Tổng quát
Nhóm n biến cố A
1
, A
2
, . . . , A
n
được gọi là xung khắc từng đôi (gọi tắt
là xung khắc) nếu bất kì hai biến cố nào trong nhóm này cũng xung
khắc với nhau, tức là A
i
A
j
= V với mọi i = j.
Ví dụ 1.12
Trong ví dụ 1.2, hệ các biến cố A
c
, A
l
xung khắc và A

1
, A
2
, . . . , A
6
cũng
xung khắc.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
2.2.6. Hệ đầy đủ
Các biến cố A
1
, A
2
, . . . , A
n
được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu
chúng xung khắc từng đôi và khi phép thử được thực hiện thì nhất
thiết phải xảy ra một trong n biến cố trên. Tức là :



A
i
A
j
= V (i = j; i, j = 1, n)
n

i=1

A
i
= U.
Ví dụ 1.13
1
Trong ví dụ 1.2, hệ các biến cố A
1
, A
2
, . . . , A
6
đầy đủ và hệ hai
biến cố A
c
, A
l
hoặc N, S cũng là hệ đầy đủ.
2
Một lô hàng gồm 20 chính phẩm, 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra
3 sản phẩm. Gọi A
i
: "có i phế phẩm trong 3 sản phẩm lấy ra"
(i = 0, 3). Khi đó hệ các biến cố A
0
, A
1
, A
2
, A
3

là hệ đầy đủ.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
2.2.7. Biến cố đối lập
Hai biến cố A và B được gọi là đối lấp với nhau nếu chúng lập thành
một hệ đầy đủ, kí hiệu biến cố đối lập của biến cố A là A. Tức là

A.A = V
A + A = U.
Ví dụ 1.14
1
Trong ví dụ 1.2, hai biến cố
A
c
= A
l
hoặc N = S; A
2
= A
1
+A
3
+
A
4
+ A
5
+ A
6
.

2
Trong ví dụ 1.5 ý 2, C : "mục tiêu không trúng đạn", khi đó
C = A + B = A.B.
Chú ý : A = A ; A + B = A.B và (A.B) = A + B.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Giải tích tổ hợp Biến cố Xác suất của biến cố ĐL xác suất CT đầy đủ - Bayes
§3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán