GIÁO TRÌNH TOÁN I ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Trần Lưu Cường - Lê Thái Thanh

GIÁO TRÌNH TOÁN I
(Chương Trình Chất Lượng Cao Việt-Pháp)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TP HỒ CHÍ MINH - 2012


Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ

2
5

1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Bài tập chương 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

14

2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Bài tập chương 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 CÁC TẬP HỢP SỐ

25

3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Bài tập chương 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 DÃY SỐ

34

4.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Một số loại dãy thông thường

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


MỤC LỤC

3

4.3.3 Dãy trung bình Césaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bài tập chương 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

46

5.1 Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Giới hạn của hàm số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bài tập chương 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

61

6.1 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Các định lý về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Sự biến thiên của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.5 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5.1 Đường cong cho bởi phương trình y

✏ f ♣xq

. . . . . . . . . . . . . 73

6.5.2 Đường cong cho bởi phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . 74
6.5.3 Đường cong trong toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Bài tập chương 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN

81

7.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.1.2 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2.2 Các ví dụ tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Bài tập chương 7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8 KHÔNG GIAN VECTƠ

96

8.1 Khái niệm về không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2 Không gian vectơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3 Không gian Euclide thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


MỤC LỤC
Bài tập chương 8

4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

113

9.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2 Hệ thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Bài tập chương 9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

10 TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN

121

10.1 Bổ sung về đại số ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.1.1Ma trận đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.1.2Ma trận trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.1.3Ma trận đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.2 Đa thức đặc trưng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.2.1Thu gọn đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.2.2Tính ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.3 Trị riêng và vectơ riêng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.4 Chéo hoá ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Bài tập chương 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

136

11.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Bài tập chương 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

12 CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG

139

12.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.2 Dạng chính tắc của một dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.3 Các dạng toàn phương tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.4 Dạng toàn phương xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.5 Nhận dạng đường cong bậc hai và mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . 139
Bài tập chương 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140


CHƯƠNG MỘT

TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ

Mục lục
1.1
1.2
1.3
1.4
Bài

Mệnh đề . . . . . .
Tập hợp . . . . . .
Ánh xạ . . . . . . .
Quan hệ hai ngôi
tập chương 1 . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

§1.1 MỆNH

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
5
.
7
.
8
. 10
. 13

ĐỀ

Mệnh đề hay mệnh đề toán học là những khẳng định có giá trị xác định (đúng
hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai). Các giá trị đúng hoặc sai được gọi là
chân trị của mệnh đề.
Ví dụ 1.1.

✿
✿

✿

"1

  1 ✏ 2" là mệnh đề có giá trị chân trị đúng.

"4 là số nguyên tố" là mệnh đề có giá trị chân trị sai.
Khẳng định "n là số nguyên tố" không phải là mệnh đề toán học. Tuy nhiên, nếu thay n bởi
một số tự nhiên nào đó thì nó trở thành mệnh đề và tùy theo n, giá trị chân trị của mệnh
đề có thể đúng hoặc sai.

Ta thường ký hiệu mệnh đề bởi các chữ các in hoa: P, Q, R, . . . ; chân trị đúng
là 1 (hoặc T ), chân trị sai là 0 (hoặc F ). Để kiểm tra một mệnh đề là đúng hay sai
ta thường lập bảng chân trị cho mệnh đề đó. Cho P và Q là hai mệnh đề. Xét các

phép toán: phép phủ định (✥P ), phép tuyển (P
theo (P

❫ Q), phép hợp (P ❴ Q), phép kéo

ñ Q), phép tương đương (P ô Q). Giá trị của các phép toán đó được cho

bởi bảng chân trị sau:
P
1
1
0
0

Q
1
0
1
0

✥P
0
0
1
1

P

❫Q
1
0
0
0

P

❴Q
1
1
1
0

P

ñQ
1
0
1
1

P

ôQ
1
0
0
1

ñ Q có thể đọc theo nhiều cách như sau: P là điều kiện đủ của
Q hoặc Q là điều kiện cần của P . Còn mệnh đề P ô Q có thể đọc như sau: P là

Chú ý: Mệnh đề P

điều kiện cần và đủ để có Q hoặc P nếu và chỉ nếu Q hoặc P khi và chỉ khi Q.

1.2 Tập hợp

6

Các tính chất sau đây của các phép toán trên mệnh đề có thể dễ dàng chứng
minh bằng các lập bảng chân trị và xem như bài tập.
1. ✥♣✥P q ô P
4. ♣P ñ Qq ô ♣✥P ❴ Qq
2.
3.

✥♣P ñ Qq ô ♣P ❫ ♣✥Qqq
♣P ❫ ♣P ñ Qqq ñ Q

5. ♣P
6.

ñ Qq ô ♣✥Q ñ ✥P q
♣♣P ñ Qq ❫ ♣Q ñ Rqq ñ ♣P ñ Rq

Vị từ là một khẳng định P ♣x, y, . . . q trong đó có chứa một số biến x, y, . . . lấy giá trị

trong những tập hợp cho trước X, Y, . . . sao cho bản thân P ♣x, y, . . . q không phải là
mệnh đề và nếu thay x, y, . . . bởi những phần tử cố định x ✏ a € X, y ✏ b € Y, . . . ta
được môt mệnh đề P ♣a, b, . . . q

✿ P ♣nq = "n là một số nguyên tố" là một vị từ theo một biến n € N
✿ Q♣x, yq = "y   2, x ✁ y, x   2y là các số chẵn" là một vị từ với hai biến tự do x, y € Z. Chẳng
hạn, Q♣4, 2q là mệnh đề đúng. Trong khi Q♣5, 2q, Q♣4, 7q là những mệnh đề sai.

Ví dụ 1.2.

Cho hai vị từ P ♣xq, Q♣xq theo một biến x € X. Khi đó:

✿

Phủ định của P ♣xq, ký hiệu là ✥P ♣xq, là vị từ mà khi thay x bởi một phần tử a
cố định của X thì ta được mệnh đề ✥P ♣aq.

✿

Các phép toán (❫, ❴, ñ, ô) trên các vị từ P ♣xq, Q♣xq là những vị từ theo biến x
mà khi thay x bởi phần tử cố định a € X ta được các mệnh đề tương ứng.

Giả sử P ♣xq là một vị từ theo biến x € X. Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Khi thay x bởi một phần tử tùy ý trong a € X, ta luôn được một mệnh
đề đúng P ♣aq. Như vậy mệnh đề "với mọi x
đúng và ký hiệu bởi "❅x € X, P ♣xq"

€ X, P ♣xq" là mệnh đề luôn luôn

€ X thì P ♣aq là mệnh đề đúng, và với một số giá
trị b € X thì P ♣bq là mệnh đề sai. Như vậy, mệnh đề "tồn tại x € X, P ♣xq" là
mệnh đề đúng và ký hiệu bởi "❉x € X, P ♣xq".

Trường hợp 2: Với một số giá trị a

❅ và ❉ được gọi là các lượng từ với mọi và lượng từ tồn tại. Ngoài ra ta
còn dùng ký hiệu ❉! với ý nghĩa là tồn tại duy nhất. Chú ý rằng ký tự tác động bởi

Các ký hiệu

lượng từ là câm (nghĩa là có thể thay thế bởi các ký tự khác). Ví dụ:

♣❅x € X, p♣xqq ô ♣❅y € X, p♣yqq hoặc ♣❉x € X, p♣xqq ô ♣❉y € X, p♣yqq
Ta cũng có thể dùng phép toán phủ định đối với một câu lượng hóa.

✥♣❅x € X, p♣xqq ô ♣❉x € X, ✥p♣xqq hoặc ✥♣❉x € X, p♣xqq ô ♣❅x € X, ✥p♣xqq
Chú ý rằng nói chung ta không thể thay đổi thứ tự các lượng từ trong một câu
lượng hóa. Ví dụ, ❅x
là mệnh đề sai.

€ N, ❉y € N, x ↕ y là mệnh đề đúng, nhưng ❉y € N, ❅x € N, x ↕ y


1.2 Tập hợp

7

§1.2 TẬP

HỢP

Tập hợp được hiểu như một tụ tập các đối tượng do một tính chất chung nào
đó hợp thành. Ta ký hiệu tập hợp bởi các chữ cái in hoa như A, B, C, X, Y, ... Nếu x
là một thành phần tạo nên tập hợp X thì ta nói x là phần tử của X và viết x
Nếu y không phải là phần tử của X thì ta viết y

❘ X.

€ X.

Ta nói tập hợp A là tập con của tập hợp B, ký hiệu là A ⑨ B, nếu ❅x € A ñ x € B.

Phủ định của A ⑨ B được viết là A ❶ B. Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau,
A ✏ B, khi và chỉ khi A ⑨ B và B

⑨ A. Nghĩa là mọi phần tử của A cũng là phần tử

của B và ngược lại.
Để xác định một tập hợp, ta có thể liệt kê các phần tử của tập hợp đó X

✏

tx, y, z, . . . ✉ hoặc chỉ ra tính chất mà các phần tử của nó có X ✏ tx ⑤ p♣xq✉. Tập hợp
không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng và ký hiệu ❍. Ta có với mọi tập X:
❍ ⑨ X.
Một tập hợp có hữu hạn các phần tử được gọi là tập hợp hữu hạn. Ngược lại

được gọi là tập hợp vô hạn. Số lượng các phần tử của một tập hợp A được ký hiệu
là Card♣Aq hay #A.
Tập tất cả các tập con của tập X cho trước được ký hiệu là B♣X q. Nếu X là một

tập hữu hạn có n phần tử thì tập B♣X q có 2n phần tử.
Giả sử X là một tập hợp, A, B

€ B♣X q. Ta định nghĩa các phép toán trên các tập

hợp con của X như sau:
Phần bù của tập A trong X: CX ♣Aq ✏ tx € X ⑤ x ❘ A✉

Hợp của hai tập hợp A và B: A ❨ B

✏ tx € X ⑤ x € A ❴ x € B ✉

Giao của hai tập hợp A và B: A ❳ B

✏ tx € X ⑤ x € A ❫ x € B ✉

Hiệu của hai tập hợp A và B: A③B

✏ A ✁ B ✏ tx € X ⑤ x € A ❫ x ❘ B ✉

Hai tập hợp A và B được gọi là rời nhau nếu A ❳ B ✏ ❍. Đối với phép toán phần
bù, nếu không có gì nhầm lẫn ta ký hiệu CX ♣Aq ✏ C ♣Aq ✏ A.
Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau (xem như bài tập, sinh viên tự
chứng minh).
1. CX ♣❍q ✏ X, CX ♣X q ✏ ❍, CX ♣CX ♣Aqq ✏ A
2. A ❨ B

✏ B ❨ A, ♣A ❨ B q ❨ C ✏ A ❨ ♣B ❨ C q, A ❨ B ✏ B ô A ⑨ B

3. A ❳ B

✏ B ❳ A, ♣A ❳ B q ❳ C ✏ A ❳ ♣B ❳ C q, A ❳ B ✏ B ô B ⑨ A

4. CX ♣A ❨ B q ✏ CX ♣Aq ❳ CX ♣B q, CX ♣A ❳ B q ✏ CX ♣Aq ❨ CX ♣B q


1.3 Ánh xạ

8

5. A ❨ ♣B ❳ C q ✏ ♣A ❨ B q ❳ ♣A ❨ C q, A ❳ ♣B ❨ C q ✏ ♣A ❳ B q ❨ ♣A ❳ C q
6. A③B

✏ A ❳ CX ♣B q ✏ A③♣A ❳ B q, A③B ✏ ❍ ô A ⑨ B

Giả sử x, y là hai phần tử tương ứng của hai tập hợp X, Y . Ta thành lập một phần
tử mới ♣x, y q gọi là cặp ♣x, y q. Hai cặp ♣x, y q và ♣u, v q được gọi là bằng nhau nếu x ✏ u
và y ✏ v. Nói chung ♣x, y q ⑧✏ ♣y, xq. Do đó thứ tự các phần tử trong cặp là quan trọng.
Bây giờ cho hai tập X và Y . Tập tất cả các cặp ♣x, y q với x

€ X và y € Y

được gọi là

✂ Y . Ta có thể mở rộng khái niêm tích
Decartes ra cho nhiều tập hợp. Nếu X ✏ Y thì tích Decartes X ✂ Y ✏ X ✂ X được

tích Decartes của X và Y và ký hiệu là X
ký hiệu là X 2 .

Cho X là một tập hợp, P là một tập con của B♣X q. ta nói rằng P là một phân
hoạch của X khi và chỉ khi:

❅A € P, A ⑧✏ ❍
2. ❅A, B € P, A ⑧✏ B ñ A ❳ B ✏ ❍
3. ❅x € X, ❉A € P, x € A
Ví dụ 1.3.
✿ Với mọi tập khác rỗng X , tX ✉ và ttx✉, x € X ✉ là những phân hoạch của X .

✿ Đối với mọi tập X và mọi tập con A của X khác ❍ và khác X , P ✏ tA, C ♣Aq✉ là một phân
1.

hoạch của X .

§1.3 ÁNH

XẠ

Cho X và Y là hai tập hợp. Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui tắc cho tương
ứng với mỗi phần tử x của X một phần tử xác định duy nhất, ký hiệu là y
của Y . Ta viết

f: X
x

ÝÑ
ÞÝÑ

✏ f ♣xq

Y
y ✏ f ♣ xq

Tập hợp X được gọi là tập nguồn hay miền xác định và tập hợp Y được gọi là tập
đích hay miền giá trị của ánh xạ f . Phần tử y ✏ f ♣xq được gọi là ảnh của x qua
ánh xạ f , khi đó x được gọi là tạo ảnh của y. Tập hợp tất cả các ánh xạ đi từ X đến
Y được ký hiệu là Y X .
Ví dụ 1.4. Xét ánh xạ f : X

ÝÑ X sao cho x ÞÝÑ f ♣xq ✏ x là ánh xạ đồng nhất trên X và ký

hiệu là IdX .

ÝÑ Y và g : X ÝÑ Y được gọi là bằng nhau nếu với mọi x € X
ta luôn có f ♣xq ✏ g ♣xq.
Xét ánh xạ f : X ÝÑ Y . Một tập con Γ của tích Descartes X ✂ Y gồm các cặp
♣x, f ♣xqq với x € X được gọi là đồ thị của ánh xạ f .
Cho f : X ÝÑ Y, x € X, A ⑨ X, B ⑨ Y . Ta có:
Hai ánh xạ f : X


1.3 Ánh xạ

9

✿ f ♣Aq ✏ ty € Y ⑤ ❉x € A : f ♣xq ✏ y✉ là ảnh của A bởi f .
✿

f ✁1 ♣B q ✏ tx € X ⑤ f ♣xq € B ✉ được gọi là tạo ảnh toàn phần của B bởi f .

✿

f là đơn ánh nếu ❅x, x✶

✿

f là toàn ánh nếu f ♣X q ✏ Y , nghĩa là ❅y

✿

f là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.

€ X, f ♣xq ✏ f ♣x✶q ñ x ✏ x✶.
€ Y, ❉x € X : f ♣xq ✏ y.

Định lý sau cho ta các tính chất quan trọng của ảnh và tạo ảnh của các tập hợp.
Việc chứng minh được xem như bài tập.

ÝÑ Y , A ⑨ X, B ⑨ X, C ⑨ Y, D ⑨ Y . Khi đó:
A ⑨ B ñ f ♣Aq ⑨ f ♣B q
5. f ✁1 ♣C ❨ Dq ✏ f ✁1 ♣C q ❨ f ✁1 ♣Dq
f ♣A ❨ B q ✏ f ♣Aq ❨ f ♣B q
6. f ✁1 ♣C ❳ Dq ✏ f ✁1 ♣C q ❳ f ✁1 ♣Dq
f ♣A ❳ B q ⑨ f ♣Aq ❳ f ♣B q
7. A ⑨ f ✁1 ♣f ♣Aqq
8. f ♣f ✁1 ♣C qq ⑨ C
C ⑨ D ñ f ✁1 ♣C q ⑨ f ✁1 ♣Dq

Định lí 1.1. Cho ánh xạ f : X
1.
2.
3.
4.

ÝÑ Y và g : Y ÝÑ Z. Một ánh xạ h : X ÝÑ Z được xác định
sao cho ❅x € X, h♣xq ✏ g ♣f ♣xqq được gọi là tích của hai ánh xạ f và g và ký hiệu là
g ✆ f . Nói chung tích các ánh xạ không có tính giao hoán. Ta có các định lý sau.
Cho hai ánh xạ f : X

Định lí 1.2. Tích của hai ánh xạ có tính kết hợp.

ÝÑ Y , g : Y ÝÑ Z và h : Z ÝÑ T . Ta có ❅x € X, ♣h ✆ ♣g ✆ f qq♣xq ✏
h♣♣g ✆ f q♣xqq ✏ h♣g ♣f ♣xqqq ✏ ♣h ✆ g q♣f ♣xqq ✏ ♣♣h ✆ g q ✆ f q♣xq.

Chứng minh. Giả sử f : X

Định lí 1.3. Tích của hai đơn ánh (toàn ánh, song ánh) là một đơn ánh (toàn ánh,
song ánh).

ÝÑ Y và g : Y ÝÑ Z là hai ánh xạ. Nếu f và g là các đơn ánh thì ❅x, x✶ € X
ta có: ♣g ✆ f q♣xq ✏ ♣g ✆ f q♣x✶ q ô g ♣f ♣xqq ✏ g ♣f ♣x✶ qq ñ f ♣xq ✏ f ♣x✶ q ñ x ✏ x✶ . Do đó g ✆ f là đơn
ánh. Giả sử f và g là các toàn ánh. Lấy z € Z . Vì g là toàn ánh nên có một y € Y : g ♣y q ✏ z . Tương tự vì
f là toàn ánh nên có x € X : f ♣xq ✏ y . Vậy có ❅z € Z, ❉x € X : z ✏ g ♣y q ✏ g ♣f ♣xqq ✏ ♣g ✆ f q♣xq.
Vậy g ✆ f là toàn ánh. Còn nếu f và g là các song ánh thì từ hai kết quả trên ta được g ✆ f cũng là song

Chứng minh. Cho f : X

ánh.

Định lí 1.4. Cho f : X

ÝÑ Y

và g : Y

ÝÑ Z là hai ánh xạ. Nếu g ✆ f là đơn ánh thì f

là đơn ánh, còn nếu g ✆ f là toàn ánh thì g là toàn ánh.

Chứng minh. Giả sử g ✆ f là đơn ánh. Khi đó ❅x, x✶ € X ta có f ♣xq ✏ f ♣x✶ q ñ g ♣f ♣xqq ✏ g ♣f ♣x✶ qq ô
♣g ✆ f q♣xq ✏ ♣g ✆ f q♣x✶q ñ x ✏ x✶. Do vậy f là đơn ánh. Cho g ✆ f là toàn ánh. Lấy z € Z , khi đó có
x € X : ♣g ✆ f q♣xq ✏ g ♣f ♣xqq ✏ z . Nghĩa là có phần tử y

✏ f ♣ xq € Y

: f ♣y q ✏ z . Vậy g là toàn ánh.


1.4 Quan hệ hai ngôi

10

Cho f : X ÝÑ Y . Ta nói ánh xạ g : Y
và f ✆ g ✏ IdY .

ÝÑ X là ánh xạ ngược của f nếu g ✆ f ✏ IdX

Định lí 1.5. Ánh xạ ngược nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử có hai ánh xạ ngược của f là g và h. Khi đó g ✆ f
g

✏ g ✆ IdY ✏ g ✆ ♣f ✆ hq ✏ ♣g ✆ f q ✆ h ✏ IdX ✆ h ✏ h.

✏ IdX và f ✆ h ✏ IdY . Từ đó:

Ta ký hiệu ánh xạ ngược của f là f ✁1 . Ta có mệnh đề quan trọng sau đây.
Định lí 1.6. Ánh xạ f : X

ÝÑ Y

có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.

Chứng minh. Giả sử f có ánh xạ ngược là f ✁1 . Khi đó f ✁1 ✆ f

✏ IdX và f ✆ f ✁1 ✏ IdY . Lấy x và x✶
tùy ý thuộc X và giả sử f ♣xq ✏ f ♣x✶ q. Ta có x ✏ f ✁1 ♣f ♣xqq ✏ f ✁1 ♣f ♣x✶ qq ✏ x✶ . Vậy f là đơn ánh.
Bây giờ xét y là phần tử tùy ý của Y . Ta có f ♣f ✁1 ♣y qq ✏ y . Do đó có phần tử x ✏ f ✁1 ♣y q € X để cho
f ♣xq ✏ y , nên f là toàn ánh. Vậy f là song ánh.
Đảo lại, nếu f là song ánh thì qui tắc cho ứng với mỗi phần tử y € Y một phần tử duy nhất x ✏ f ✁1 ♣y q €
X là ánh xạ g : Y ÝÑ X . Dễ thấy rằng g ✆ f ✏ IdX và f ✆ g ✏ IdY , và g là ánh xạ ngược của f .

Định lí 1.7. Giả sử f : X
f ✁1 ✆ g ✁1 .

ÝÑ Y

và g : Y

ÝÑ Z là các song ánh. Khi đó ♣g ✆ f q✁1 ✏

✏ g ✆ IdY ✏ g ✆ ♣f ✆ f ✁1q ✏ ♣g ✆ f q ✆ f ✁1. Do đó IdZ ✏ g ✆ g✁1 ✏
♣♣g ✆ f q ✆ f ✁1q ✆ g✁1 ✏ ♣g ✆ f q ✆ ♣f ✁1 ✆ g✁1. Điều này chứng tỏ ♣g ✆ f q✁1 ✏ f ✁1 ✆ g✁1.
Cho I ✏ tα, β, γ, . . . ✉ là tập khác rỗng và X là một tập tùy ý. Xét ánh xạ f : I ÝÑ X.
Với mỗi phần tử α € I ta ký hiệu là f ♣αq ✏ xα € X. Khi ấy ta nói tập hợp X được đánh
số bởi tập hợp I và tập I được gọi là tập các chỉ số. Ta cũng có thể viết X ✏ ♣xα qα€I .

Chứng minh. Ta có g

Nếu các phần tử của X là các tập hợp thì ta nói X là một họ các tập hợp. Khi ấy ta

có thể định nghĩa các phép toán hợp và giao của một họ các tập hợp như sau:

✿

Phép hợp:

✿

Phép giao:

➈

€

Xα

✏ tx ⑤ ❉α € I, x € Xα✉

Xα

✏ tx ⑤ ❅α € I, x € Xα✉

α I

➇

€

α I

§1.4 QUAN

HỆ HAI NGÔI

Cho X và Y là hai tập hợp. Ta gọi một quan hệ R của X và Y là một bộ ba

✏ ♣X, Γ, Y q với Γ là một tập con của tích Descartes X ✂ Y . Hai phần tử x € X và
y € Y là có quan hệ với nhau theo quan hệ R nếu ♣x, y q € Γ và ta viết xRy. Trường
hợp X ✏ Y thì ta gọi R là một quan hệ hai ngôi trong X. Trong giáo trình này chúng
R

ta chỉ xét quan hệ hai ngôi trong tập hợp X. Quan hệ hai ngôi R trong tập hợp X
có thể có các tính chất sau:


1.4 Quan hệ hai ngôi

11

✿

Tính phản xạ: ❅x € X, xRx.

✿

Tính đối xứng: ❅x, y

✿

Tính phản đối xứng: ❅x, y

✿

Tính bắt cầu: ❅x, y, z

€ X, ♣xRy ñ yRx.
€ X, ♣xRy ❫ yRx ñ x ✏ yq.

€ X, ♣xRy ❫ yRz ñ xRzq.

✿ Xét tập X ✏ t1, 2, 3✉ và quan hệ R được xác định bởi tập Γ ✏
t♣1, 2q, ♣2, 1q, ♣1, 3q, ♣3, 1q, ♣2, 3q, ♣3, 2q✉. Quan hệ R có tính đối xứng nhưng không có tính

Ví dụ 1.5.

phản xạ, phản đối xứng và bắt cầu.

✿

✏ t1, 2, 3✉ và quan hệ R bây giờ được xác định bởi Γ ✏
t♣1, 1q, ♣2, 2q, ♣3, 3q, ♣1, 2q, ♣1, 3q, ♣2, 3q✉. Quan hệ R có tính phản xạ và bắt cầu, không có

Cũng xét tập X

tính đối xứng và phản đối xứng.

✿

Xét X là tập tất cả các học sinh trong một trường phổ thông trung học và R là quan hệ
"học chung lớp". Quan hệ R có tính phản xạ, đối xứng và bắt cầu nhưng không có tính

phản đối xứng.

Cho R là một quan hệ hai ngôi trên X. Ta nói R là một quan hệ tương đương trên
X nếu nó có tính phản xạ, đối xứng và bắt cầu.

€ X, ta gọi lớp tương đương của x theo quan hệ R là tập con của X,
ký hiệu là Cl♣xq, được xác định như sau:
Với mọi x

Cl♣xq ✏ ty

€ X ⑤ xRy✉

Đương nhiên x € Cl♣xq. Dễ thấy rằng nếu R là một quan hệ tương đương trên X

thì ❅x, y

€ X ta có xRy ô Cl♣xq ✏ Cl♣yq ô x € Cl♣yq ô y € Cl♣xq.

Ta gọi tập thương của X theo quan hệ tương đương R, ký hiệu X ④R, là tập tất
cả các lớp tương đương theo quan hệ tương đương R. Như vậy:
X ④R ✏ tCl♣xq, ❅x € X ✉

✿ Quan hệ ♣✏q trên một tập bất kỳ là một quan hệ tương đương. Với mọi x €
X, Cl♣xq ✏ tx✉, và E ④ ✏ là tập ttx✉, x € X ✉.

Ví dụ 1.6.

✿

✑

Với mọi n nguyên dương, quan hệ đồng dư modul n ( ) được định nghĩa như sau:

❅x, y € Z, ♣x ✑ y ô n ⑤ ♣x ✁ yqq
€ Z, lớp tương đương của x là lớp đồng dư
♣ ✏ tx   kn, k € Z✉. Tập thương theo quan hệ tương
modulo n và thường được ký hiệu là x
đương này được ký hiệu là Z④nZ ✏ t♣
0, ♣
1, . . . , n③
✁ 1✉.

là một quan hệ tương đương trên Z. Với mỗi x


1.4 Quan hệ hai ngôi

✿

12

Xét tập hợp D các đường thẳng trong mặt phẳng. Quan hệ song song của các đường thẳng
là quan hệ tương đương. Với mọi đường thẳng d của D, lớp tương đương của d theo modulo
song song xác định phương của d.

Cho R là một quan hệ hai ngôi trong X. Ta nói R là một quan hệ thứ tự trong
X nếu nó có tính phản xạ, phản đối xứng và bắt cầu. Quan hệ thứ tự thường được
ký hiệu là

➔. Nếu trong X có một quan hệ thứ tự thì ta nói X là tập được sắp thứ

tự.

↕ trong tập các số tự nhiên N✝ là một quan hệ thứ tự.
✿ Quan hệ chia chẵn trong N✝ (m chia chẵn cho n được ký hiệu là n ⑤ m) cũng là một quan

Ví dụ 1.7.

✿

Quan hệ

hệ thứ tự.

✿

Quan hệ bao hàm

⑨ trong tập B♣X q cũng là một quan hệ thứ tự.

➔. Hai phần tử x và y của X
được gọi là so sánh được với nhau nếu hoặc x ➔ y hoặc y ➔ x. Nếu mọi cặp phần tử
của X đều có thể so sánh được với nhau, thì ta nói ➔ là một quan hệ thứ tự toàn
Cho X là tập được sắp thứ tự với quan hệ thứ tự

phần và tập X là tập được sắp thứ tự toàn phần. Trong ba ví dụ vừa nêu, quan hệ

↕ trong N là quan hệ thứ tự toàn phần. Còn quan hệ chia chẵn trong N và quan hệ
bao hàm trong B♣X q không phải là các quan hệ thứ tự toàn phần.

Cho ➔ là một quan hệ thứ tự trong X, A € B♣X q và x € X. Phần tử x được gọi là
cận trên (cận dưới) của A trong X nếu ❅a € A, a ➔ x ♣❅a € A, x ➔ aq. Nếu A ⑨ X có
một cận trên (cận dưới) thì ta nói nó bị chặn trên (bị chặn dưới) trong X. Tập hợp

vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là tập bị chặn. Phần tử x € A được gọi
là phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của A nếu ❅a € A, a ➔ x ♣❅a € A, x ➔ aq. Phần tử
x € A được gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của A nếu ❅a € A, x ➔ a ñ x ✏ a
A, a ➔ x ñ x ✏ aq.

♣❅a €

Một số nhận xét:

✿

Ký hiệu M ajX ♣Aq - tập các cận trên của A trong X và M inX ♣Aq - tập các cận
dưới của A trong X.

✿

Nếu x và y là hai phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của A trong X thì x ✏ y. Một tập
hợp có thể có hoặc không có phần tử lớn nhất (nhỏ nhất).

✿
✿

Một tập hợp có thể không có, có một hoặc có nhiều phần tử cực đại.
Nếu

➔ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên X và A ⑨ X có phần tử cực đại

thì nó là duy nhất. Phần tử này cũng chính là phần tử lớn nhất của A.
Nếu tập M ajX ♣Aq có phần tử nhỏ nhất thì nó được gọi là cận trên bé nhất của

A và ký hiệu là sup♣Aq. Còn nếu tập M inX ♣Aq có phần tử lớn nhất thì nó được gọi


Bài tập chương 1

13

là cận dưới lớn nhất của A và ký hiệu là inf ♣Aq. Cho A là tập khác rỗng và tồn tại
inf ♣Aq, sup♣Aq, khi đó inf ♣Aq ➔ sup♣Aq.

BÀI

TẬP

Câu 1. Giả sử X là một tập hợp và A, B, C, D là các tập con của X. Hãy chứng minh:
(a) ♣A ❳ B q ⑨ ♣A ❳ C q ❨ ♣B ❳ CX ♣C qq
(b) ♣A ❨ B

✏ A ❳ C q ô ♣B ⑨ A ⑨ C q
(c) ♣♣A ❳ B ✏ A ❳ C q ❫ ♣A ❨ B ✏ A ❨ C qq ô ♣B ✏ C q
(d) ♣A ✁ B q ❨ ♣A ✁ C q ✏ A ✁ ♣B ❳ C q
(e) ♣A ❳ B ✏ C ❳ D, C ❨ D ✏ X, C ⑨ A, D ⑨ B q ñ ♣A ✏ C, B ✏ Dq
Câu 2. Giả sử X là một tập hợp và A, B € B♣X q. Hãy giải trong B♣X q các phương
trình sau:
(a) Y

❨A✏B

❳A✏B
ÝÑ Y, g : Y ÝÑ X
(b) Y

Câu 3. Cho X, Y là hai tập hợp, f : X

là hai ánh xạ. Giả sử

g ✆ f ✆ g ✆ f là toàn ánh và f ✆ g ✆ f ✆ g là đơn ánh. Chứng minh f và g là các song ánh.
Câu 4. Cho X là tập hợp và f : X ÝÑ X là ánh xạ sao cho f ✆ f ✆ f
rằng f là đơn ánh khi và chỉ khi f là toàn ánh.

✏ f . Chứng minh

Câu 5. Cho X là tập hợp, A ⑨ X. Ta định nghĩa
A✁

✏ tB ⑨ X ⑤ B ⑨ A✉, A  ✏ tC ⑨ X ⑤ A ⑨ C ✉, A✝ ✏ A✁ ✂ A 
: B♣X q ÝÑ A✝ xác định bởi ❅Y € B♣X q, f ♣Y q ✏ ♣Y ❳ A, Y ❨ Aq. Chứng tỏ

Ánh xạ f
rằng f là song ánh.

€ B♣X q. Xét ánh xạ f : B♣X q ÝÑ B♣X q ✂
B♣X q xác định bởi ❅Y € B♣X q, f ♣Y q ✏ ♣Y ❨ A, Y ❨ B q.
Câu 6. Cho X là tập hợp khác rỗng, A, B

(a) Chứng tỏ rằng f không là toàn ánh.

(b) Chứng tỏ rằng f là đơn ánh khi và chỉ khi A ❳ B

✏ ❍.

Câu 7. Cho X là một tập hợp và R là một quan hệ phản xạ trong X sao cho:

❅♣x, y, zq € X 3, ♣♣xRyq ❫ ♣yRzqq ñ ♣zRxq
Chứng tỏ rằng R là một quan hệ tương đương.
Câu 8. Trên R, xét quan hệ R xác định như sau: xRy ô ♣x2 ✁ y 2
rằng R là quan hệ tương đương. Với mọi x € R, tìm Cl♣xq.

✏ x ✁ yq. Chứng tỏ


CHƯƠNG HAI

CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

Mục lục
2.1
2.2
2.3
2.4
Bài

Phép toán hai ngôi
Nhóm . . . . . . . .
Vành . . . . . . . . .
Thể . . . . . . . . . .
tập chương 2 . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

§2.1 PHÉP

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

14
17
19
21
21

TOÁN HAI NGÔI

Ta gọi phép toán hai ngôi trong một tập hợp E là ánh xạ f đi từ E 2 vào E. Phần

tử f ♣x, y q được gọi là cái hợp thành của hai phần tử x và y của E. Thông thường
một phép toán hai ngôi trong E được ký hiệu bởi các dấu ✝, ✆, ❑, ❏, ☎, ✂,  , . . . . Trong
trường hợp tổng quát ta sẽ dùng dấu ✝. Khi đó f ♣x, y q ✏ x ✝ y. Một tập hợp E mà trên
đó có xác định một phép toán

✿

Ví dụ 2.1.

✝ được ký hiệu là ♣E, ✝q và gọi là một phỏng nhóm.

Phép cộng và phép nhân thông thường là các phép toán hai ngôi trong tập các

số tự nhiên N.

✿

♣ q

Với tập hợp X bất kỳ, phép hợp và phép giao là các phép toán hai ngôi trong B X .

Cho E là một phỏng nhóm với phép toán ✝. Ta đưa ra một số tính chất của phép

toán ✝:

Định nghĩa 2.1. Phép toán ✝ có tính chất kết hợp nếu:

❅♣x, y, zq € E 3, ♣x ✝ yq ✝ z ✏ x ✝ ♣y ✝ zq
Khi đó ta có thể bỏ các dấu ngoặc đơn và viết x ✝ y ✝ z. Trường hợp cụ thể đối với

các phép toán  , ✂ có tính kết hợp, ta ký hiệu:
n
➦

✏

k 1
n
➧

✏

k 1

Ví dụ 2.2.

✿

xk
xk

✏ x1   x2   ☎ ☎ ☎   xn

✏ x1 ✂ x2 ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ xn
✿

n
➦

✏

k 1
n
➧

✏

k 1

x ✏ x   x   ☎ ☎ ☎   x ✏ nx
x ✏ x ✂ x ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ x ✏ xn

Phép cộng và phép nhân thông thường trong N có tính kết hợp.

✝ trong Q như sau: x ✝ y ✏ x  2 y , ❅x, y € Q. Phép toán ✝ không có
tính kết hợp vì ♣✁4 ✝ 0q ✝ 4 ✏ 1 ✘ ✁4 ✝ ♣0 ✝ 4q ✏ ✁1.
Xét phép toán hai ngôi


2.1 Phép toán hai ngôi

15

Định nghĩa 2.2. Phép toán ✝ có tính chất giao hoán nếu:

❅♣x, yq € E 2,
Ví dụ 2.3.

✿

✿

x✝y

✏y✝x

Phép cộng và phép nhân thông thường trong N có tính giao hoán.

✝ trong Q như sau: x ✝ y ✏ xy2, ❅x, y € Q. Phép toán ✝ không có
tính giao hoán vì 1 ✝ 2 ✏ 5 ✘ 2 ✝ 1 ✏ 2.
Định lí 2.1. Cho E là một tập hợp với phép toán   có tính giao hoán và kết hợp. Thế
Xét phép toán hai ngôi

thì:
1.

❅n € N✝, ❅♣x1, x2, . . . , xnq € E n, ❅♣y1, y2, . . . , ynq € E n, ta có:
n
➳

✏

♣xk   yk q ✏

k 1

2.

❅♣n, pq € ♣N✝q2, ❅♣xij q € E np, ta có:

n
➳

✏

xk  

k 1
n
➦

✏

i 1

✄

p
➦

✏

☛

xij

j 1

n
➳

✏

yk

k 1

✏

p
➦

✂

✏

j 1

n
➦

✏

✡

xij .

i 1

Định nghĩa 2.3. Phần tử a € E là chính qui trái (giản ước được bên trái) đối với ✝

nếu ❅♣x, y q € E 2 , ♣a ✝ x ✏ a ✝ y ñ x ✏ y q. Phần tử a € E là chính qui phải (giản ước
được bên phải) đối với ✝ nếu ❅♣x, y q € E 2 , ♣x ✝ a ✏ y ✝ a ñ x ✏ y q. Phần tử a € E là chính
qui (giản ước được) đối với ✝ nếu nó vừa là chính qui trái vừa là chính qui phải.

Ví dụ 2.4. Trong Z mọi phần tử đều chính qui đối với phép cộng thông thường và mọi phần tử
khác không đều chính qui đối với phép nhân thông thường.

Định nghĩa 2.4. Phần tử e € E là trung hòa trái đối với ✝ nếu ❅x € E, e ✝ x ✏ x. Phần
tử e € E là trung hòa phải đối với ✝ nếu ❅x € E, x ✝ e ✏ x. Phần tử e € E là phần
tử trung hòa đối với

✝ nếu nó vừa là trung hòa trái vừa là trung hòa phải. Nghĩa là

❅x € E, e ✝ x ✏ x ✝ e ✏ x.
Ví dụ 2.5.
✿ 0 là phần tử trung hòa đối với phép cộng trong Z.
✿

♣ ✝q với phép toán ✝ : N2 ÝÑ N sao cho ❅♣x, yq € N2, x ✝ y ✏ y. Ta thấy mọi phần tử

Xét N,

của N đều là trung hòa trái và không có phần tử nào là trung hòa phải.

Định lí 2.2. Cho ♣E, ✝q là một phỏng nhóm với e là trung hòa trái và e✶ là trung hòa
phải của phép toán ✝. Thế thì e ✏ e✶ .

Hệ quả 2.1. Cho ♣E, ✝q. Nếu phép toán ✝ có phần tử trung hòa thì nó là duy nhất.
Một phỏng nhóm ♣E, ✝q với phép toán

✝ có tính kết hợp và E có phần tử trung

hòa e được gọi là một vị nhóm.
Ví dụ 2.6.

✿ ♣N,  q và ♣N, ✂q là những vị nhóm.


2.1 Phép toán hai ngôi

16

✿

Với mọi tập X , B X ,

♣ ♣ q ❳q, ♣B♣X q, ❨q là những vị nhóm.

✿

Với mọi tập X , X X ,

♣

✆q là một vị nhóm.

Định nghĩa 2.5. Cho ♣E, ✝q là một vị nhóm với phần tử trung hòa là e. Phần tử x € E là
khả nghịch (hay khả đối xứng) nếu tồn tại một phần tử y

€ E sao cho x ✝ y ✏ y ✝ x ✏ e.

Phần tử y như thế nếu tồn tại được gọi là phần tử nghịch đảo của x đối với

ký hiệu là x✁1 (đối với phép cộng, ta gọi là phần tử đối xứng và ký hiệu là ✁x).

✝ và

Định lí 2.3. Trong một vị nhóm, phần tử nghịch đảo, nếu tồn tại, là duy nhất.
Chứng minh. Cho ♣E, ✝q là một vị nhóm, x € E là khả nghịch và tồn tại hai phần tử nghịch đảo của x là y
và z . Ta có x ✝ y ✏ y ✝ x ✏ e và x ✝ z ✏ z ✝ x ✏ e. Khi đó y ✏ y ✝ e ✏ y ✝♣x ✝ z q ✏ ♣y ✝ xq✝ z ✏ e ✝ z ✏ z .
Định lí 2.4. Cho ♣E, ✝q là một vị nhóm và x, y € E. Nếu x và y là khả nghịch đối với ✝,
thì x ✝ y cũng khả nghịch và ♣x ✝ y q✁1 ✏ y ✁1 ✝ x✁1 .
Chứng minh. ♣y ✁1 ✝ x✁1 q✝♣x ✝ y q ✏ ♣y ✁1 ✝♣x✁1 ✝ xqq✝ y
x ✝ ♣ y ✝ y ✁ 1 q ✝ x✁ 1 ✏ x ✝ x✁ 1 ✏ e .

✏ y✁1 ✝ y ✏ e. Tương tự ♣x ✝ yq✝♣y✁1 ✝ x✁1q ✏

Định nghĩa 2.6. Cho E là một tập hợp, ✝ và ❑ là hai phép toán trong E. Phép toán ✝
là phân phối trái đối với phép toán ❑ nếu ❅♣x, y, z q € E, x ✝♣y ❑z q ✏ ♣x ✝ y q❑♣x ✝ z q. Phép

toán ✝ là phân phối phải đối với phép toán ❑ nếu ❅♣x, y, z q € E, ♣y ❑z q✝x ✏ ♣y ✝xq❑♣z ✝xq.

✝ là phân phối đối với phép toán ❑ nếu ✝ vừa phân phối trái vừa phân
phối phải đối với phép toán ❑.
Phép toán

Ví dụ 2.7.

✿

✿

Trong R, phép nhân phân phối đối với phép cộng.

♣ q

Cho X là một tập bất kỳ. Khi đó,trong B X , các phép toán

❨ và ❳ là phân phối lẫn nhau.

Cho hai phỏng nhóm ♣E, ✝q và ♣F, ❑q. Một đồng cấu phỏng nhóm từ ♣E, ✝q vào
♣F, ❑q là một ánh xạ f : E ÝÑ F sao cho: ❅♣x, yq € E 2, f ♣x ✝ yq ✏ f ♣xq❑f ♣yq. Một tự

đồng cấu phỏng nhóm của ♣E, ✝q là một đồng cấu phỏng nhóm từ ♣E, ✝q vào ♣E, ✝q.

Một đẳng cấu phỏng nhóm từ ♣E, ✝q vào ♣F, ❑q là một đồng cấu song ánh từ ♣E, ✝q
vào ♣F, ❑q. Một tự đẳng cấu phỏng nhóm của ♣E, ✝q là một tự đồng cấu song ánh
của ♣E, ✝q.
Ví dụ 2.8. Ánh xạ ln : R✝ 

♣R,  q.

ÝÑ R là một đẳng cấu từ phỏng nhóm ♣R✝ , ✂q lên phỏng nhóm

Ñ ♣F, ❑q và g : ♣F, ❑q Ñ ♣G, ❏q là hai đồng cấu phỏng
nhóm, thì g ✆ f : E Ñ G là đồng cấu phỏng nhóm từ ♣E, ✝q vào ♣G, ❏q.

Định lí 2.5.

1. Nếu f : ♣E, ✝q

2.2 Nhóm

17

2. Với mọi phỏng nhóm ♣E, ✝q, ánh xạ đồng nhất IdE là một tự đẳng cấu phỏng
nhóm.
3. Nếu f : ♣E, ✝q Ñ ♣F, ❑q là một đẳng cấu phỏng nhóm, thì f ✁1 : ♣F, ❑q Ñ ♣E, ✝q cũng
là một đẳng cấu phỏng nhóm.

§2.2 NHÓM
Tập hợp G với một phép toán hai ngôi ✝ trong G được gọi là một nhóm nếu phép
toán ✝ có tính kết hợp, G có phần tử trung hòa đối với ✝ và mọi phần tử của G đều
có phần tử nghịch đảo đối với ✝. Nếu

✝ có tính giáo hoán thì ta nói G là nhóm giao

hoán hay nhóm Abel. Nếu tập hợp G là hữu hạn thì ta nói G là nhóm hữu hạn và

số phần tử của G (Card♣Gq hoặc #G) được gọi là cấp của nhóm. Phần tử trung hòa
của nhóm G thường được ký hiệu là e.
Ví dụ 2.9.

✿ ♣Z,  q, ♣Q,  q và ♣R,  q là những nhóm giao hoán.

✿ ♣Q③t0✉, ✂q là nhóm giao hoán.
Định lí 2.6. Trong một nhóm mọi phần tử đều chính qui.
Chứng minh. Lấy x, y, z tùy ý thuộc G. Ta có x ✝ y

✏ x ✝ z ñ x✁1 ✝ ♣x ✝ yq ✏ x✁1 ✝ ♣x ✝ zq ô

♣x✁1 ✝ xq ✝ y ✏ ♣x✁1 ✝ xq ✝ z ñ y ✏ z. Lập luận tương tự với phép nhân bên phải.
Cho ♣G, ✝q là một nhóm với phần tử trung hòa e và H ⑨ G. Ta nói H là một nhóm

con của G nếu

❅♣x, yq € H 2, x ✝ y € H.
(b) e € H.
(c) Nếu x € H thì x✁1 € H.
Ví dụ 2.10. Với mọi n € N✝ , tập nZ ✏ tna ⑤ ❅a € Z✉ là nhóm con của nhóm cộng Z.
Định lí 2.7. Cho ♣G, ✝q là một nhóm và H ⑨ G, H ⑧✏ ❍. H là một nhóm con của G khi
và chỉ khi ❅♣x, y q € H 2 , x ✝ y ✁1 € H.
(a)

Chứng minh. Giả sử H là nhóm con của G. Với mọi ♣x, y q € H 2 ñ y ✁1 € H , do đó x ✝ y ✁1 € H . Ngược
lại, xét H ⑧✏ ❍ và giả sử ❅♣x, y q € H 2 , x ✝ y ✁1 € H . Do đó: e ✏ x ✝ x✁1 € H, x✁1 ✏ e ✝ x✁1 € H và

✝ y ✏ x ✝ ♣y✁1q✁1 € H .
Định lí 2.8. Cho ♣G, ✝q là một nhóm và ♣Hα qα€I là một họ những nhóm con của G. Thế
➇
cuối cùng x

thì

€

Hα là một nhóm con của G.

α I

Chứng minh. Ký hiệu H
tùy ý thuộc H,

x ✝ y ✁1

✏

➇

€

⑧✏ ❍ vì e € Hα với mọi α € I , do đó e € H . Lấy x, y
❅α € I . Vì Hα là một nhóm, nên x ✝ y✁1 € Hα với mọi α. Ta được

Hα . Rõ ràng H

ñ x € Hα, y € Hα,
α I

€ H , và do đó, H là một nhóm con của G.


2.2 Nhóm

18

Cho ♣G, ✝q là một nhóm và A ⑨ G. Giao của tất cả các nhóm con của G có chứa A là
một nhóm con của G và được gọi là nhóm con sinh bởi A, ký hiệu là ➔ A →. Với mọi
a

€ G, ta ký hiệu ➔ a → thay cho ➔ ta✉ →. Chú ý rằng ➔ A → là nhóm con bé nhất

của G có chứa A (theo nghĩa bao hàm). Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu tồn tại
một a € G sao cho G ✏➔ a →. Khi đó a được gọi là phần tử sinh của G. Nếu nhóm
đơn G là hữu hạn thì G được gọi là nhóm cyclic (nhóm vòng).
Ví dụ 2.11.

✿ ♣Z,  q là một nhóm đơn mà phần tử sinh là 1.

✿ ♣Z④nZ,  q là một nhóm đơn hữu hạn (nhóm cyclic) mà phần tử sinh là ♣1.
✿ ♣R,  q không là một nhóm đơn.
Một đồng cấu f đi từ nhóm ♣G, ✝q vào nhóm ♣G✶ , ❑q được gọi là một đồng cấu
nhóm. Định nghĩa tương tự cho tự đồng cấu nhóm và đẳng cấu nhóm.
Định lí 2.9. Cho f là một đồng cấu nhóm từ ♣G, ✝q vào ♣G✶ , ❑q. Khi ấy
1. f ♣eq ✏ e✶ với e và e✶ là các phần tử trung hòa của G và G✶ .
2.

❅x € G, f ♣x✁1q ✏ ♣f ♣xqq✁1.

Chứng minh.
1.

f ♣eq❑f ♣eq ✏ f ♣e ✝ eq ✏ f ♣eq ✏ f ♣eq❑e✶ . Do tính chính qui, ta được f ♣eq ✏ e✶ .

❅x € G, ta có f ♣xq❑f ♣x✁1q ✏ f ♣x ✝ x✁1q ✏ f ♣eq ✏ e✶ và tương tự f ♣x✁1q❑f ♣xq ✏ f ♣x✁1 ✝ xq ✏
f ♣eq ✏ e✶ . Do đó f ♣x✁1 q ✏ ♣f ♣xqq✁1 .
Cho f là một đồng cấu nhóm từ ♣G, ✝q vào ♣G✶ , ❑q. Ta định nghĩa:

2.

Hạt nhân của f , ký hiệu là ker f
phần tử trung hòa của G✶ .

✏ tx € G ⑤ f ♣xq ✏ e✶✉ ✏ f ✁1♣te✶✉q. Trong đó e✶ là

✏ ty € G✶ ⑤ ❉x € G : y ✏ f ♣xq✉ ✏ f ♣Gq.
Định lí 2.10. Nếu f : ♣G, ✝q ÝÑ ♣G✶ , ❑q là một đồng cấu thì ker f là một nhóm con của
Ảnh của f , ký hiệu là Imf

G và Imf là nhóm con của G✶ .
Chứng minh.

✏ e✶ nên e € ker f ñ ker f ⑧✏ ❍. Lấy x, y tùy ý thuộc ker f , ta có e✶ ✏ f ♣xq ✏
f ♣x ✝ y ✁1 ✝ y q ✏ f ♣x ✝ y ✁1 q❑f ♣y q ✏ f ♣x ✝ y ✁1 q❑e✶ ✏ f ♣x ✝ y ✁1 q. Nên x ✝ y ✁1 € ker f . Do đó

1. Ta có

f ♣eq

ker f là nhóm con của G.

✏ f ♣eq € G✶ ñ e € Imf và Imf ⑧✏ ❍. Lấy u, v tùy ý của G✶. Khi đó tồn tại x, y trong G
sao cho u ✏ f ♣xq và v ✏ f ♣y q. Ta có u❑v ✁1 ✏ f ♣xq❑♣f ♣y qq✁1 ✏ f ♣xq❑f ♣y ✁1 q ✏ f ♣x ✝ y ✁1 q.
Vì x ✝ y ✁1 € G nên u❑v ✁1 € Imf . Do đó Imf là nhóm con của G✶ .

2. Ta có

e✶

2.3 Vành

19

Nhóm ♣G, ✝q là đẳng cấu với nhóm ♣G✶ , ❑q nếu tồn tại một đẳng cấu từ G vào G✶ .
Ví dụ 2.12. Nhóm ♣R✝  , ✂q là đẳng cấu với nhóm ♣R,  q vì ánh xạ ln : R✝ 
x ÞÑ ln x là một đẳng cấu nhóm.

Ñ R xác định bởi

Định lí 2.11. Cho ♣G, ✝q là một nhóm, E là một tập hợp có trang bi phép toán
tồn tại một đẳng cấu từ ♣G, ✝q vào ♣E, ❑q thì ♣E, ❑q cũng là một nhóm.
Chứng minh. Giả sử có một đẳng cấu f : ♣G, ✝q Ñ ♣E, ❑q. Vì G
của E . Gọi x ✏ f ✁1 ♣uq, y ✏ f ✁1 ♣v q, z ✏ f ✁1 ♣w q. Ta có:

❑. Nếu

⑧✏ ❍ nên E ⑧✏ ❍. Lấy u, v, w tùy ý

✿ ♣u❑vq❑w ✏ ♣f ♣xq❑f ♣yqq❑f ♣zq ✏ f ♣x ✝ yq❑f ♣zq ✏ f ♣♣x ✝ yq ✝ zq ✏ f ♣x ✝ ♣y ✝ zqq ✏
f ♣xq❑f ♣y ✝ z q ✏ f ♣xq❑♣f ♣y q❑f ♣z qq ✏ u❑♣y ❑wq. Vậy ❑ có tính kết hợp.
✿

✏ f ♣xq❑f ♣eq ✏ f ♣x ✝ eq ✏ f ♣xq ✏ u và f ♣eq❑u ✏
f ♣eq❑f ♣xq ✏ f ♣e ✝ xq ✏ f ♣xq ✏ u. Vậy f ♣eq là phần tử trung hòa của E .
Gọi

e là phần tử trung hòa của G : u❑f ♣eq

✿ u❑f ♣x✁1q ✏ f ♣xq❑f ♣x✁1q ✏ f ♣x ✝ x✁1q ✏ f ♣eq và f ♣x✁1q❑u ✏ f ♣x✁1q❑f ♣xq ✏ f ♣x✁1 ✝ xq ✏
f ♣eq. Vậy u khả nghịch và phần tử nghịch đảo của u là f ♣x✁1 q.
Do đó

♣E, ❑q là một nhóm và nó đẳng cấu với ♣E, ✝q.
§2.3 VÀNH

Cho A là một tập hợp có trang bị hai phép toán
vành nếu:

  và ✂. Ta nói ♣A,  , ✂q là một

(a) ♣A,  q là một nhóm giao hoán.
(b) Phép toán

✂ có tính kết hợp và phân phối đối với phép toán  .

(c) A có phần tử trung hòa đối với phép toán

✂.

Nếu phép toán

✂ có tính giao hoán thì A được gọi là vành giao hoán.

Ví dụ 2.13.

✿

♣  , ✂q, ♣Q,  , ✂q, ♣R,  , ✂q là những vành với   và ✂ là các

Các tập hợp Z,

phép toán thông thường với các số.

✿

④

Tập thương Z nZ

✏ t♣0, ♣1, . . . , n③
✁ 1✉ với các phép toán cộng và nhân:
❅♣a, ♣b € Z④nZ, ♣a   ♣b ✏ a③
 b

là một vành giao hoán.

Cho ♣A,  , ✂q là một vành. Ta ký hiệu:

và ♣
a ☎ ♣b ✏ a②
☎b


2.3 Vành

✍

20

0A (hoặc 0) là phần tử trung hòa đối với phép toán cộng.

✍ ✁x là phần tử đối xứng của x € A đối với phép cộng.
✍

1A (hoặc 1) là phần tử trung hòa đối với phép nhân.

✍

Phép toán

✂ còn được ký hiệu là ☎ và x ✂ y ✏ x ☎ y ✏ xy.

Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau đây của các phép toán trong một vành

♣A,  , ✂q.
(a)

❅x € A, 0 ☎ x ✏ x ☎ 0 ✏ 0

(b)

❅x € A, ♣✁1q ☎ x ✏ x ☎ ♣✁1q ✏ ✁x

(c)

❅♣x, yq € A2, ♣✁xqy ✏ x♣✁yq ✏ ✁xy và ♣✁xq♣✁yq ✏ xy

(d)

❅♣x, y, zq € A3, ♣x ✁ yqz ✏ xz ✁ yx và z♣x ✁ yq ✏ zx ✁ zy

(e)

❅n, p € N✝, ❅♣x1, x2, . . . , xnq € An, ❅♣y1, y2, . . . , ynq € An,
n
➳

✄

✏

i 1

(f )

p
➳

✏

☛

xi y j

j 1

✏

p
➳

✏

j 1

✄

n
➳

✏

☛

xi y j

i 1

✏

✄

n
➳

✏

i 1

☛✄

xi

n
➳

✏

☛

yj

j 1

❅n € N, ❅♣x, yq € A2 sao cho xy ✏ yx. Ta có
♣x   yqn ✏

n
➳

✏

Cnk xk y n✁k

k 0

trong đó qui ước x0

✏ y0 ✏ 1A. Công thức này được gọi là công thức nhị thức

Newton.
Cho ♣A,  , ✂q là một vành và B

⑨ A. Ta nói B là một vành con của A nếu: B là một
nhóm con của ♣A,  q, ❅♣x, y q € B 2 , xy € B và 1A € B.
Cho A, A✶ là hai vành, f : A Ñ A✶ là một ánh xạ. Ta nói f là một đồng cấu vành
nếu: ❅♣x, y q € A2 , f ♣x   y q ✏ f ♣xq   f ♣y q, f ♣xy q ✏ f ♣xqf ♣y q và f ♣1A q ✏ 1A✶ . Tương tự ta có
các khái niệm tự đồng cấu vành, đẳng cấu vành và tự đẳng cấu vành.
Cho A là một vành, a € A, a ⑧✏ 0. Phần tử a là một ước trái của không trong A
nếu: ❉b € A, ♣b ⑧✏ 0 ❫ ab ✏ 0q. Phần tử a là một ước phải của không trong A nếu:

❉b € A, ♣b ⑧✏ 0 ❫ ba ✏ 0q. Phần tử a là một ước của không trong A nếu a là một ước trái
của không trong A hoặc a là một ước phải của không trong A.

✿

Ví dụ 2.14.

✿

④

Trong Z không có ước của không.

Trong Z 6Z, ♣
2, ♣
3, ♣
4 là những ước của không, còn ♣

0, ♣
1, ♣
5 không là ước của không.


2.4 Thể

21

Một vành A được gọi là vành nguyên nếu A
của không.

⑧✏ t0✉, giao hoán và không có ước

✿ ♣Z,  , ✂q là vành nguyên.

Ví dụ 2.15.

✿ ♣Z④6Z,  , ✂q không là vành nguyên.
§2.4 THỂ
Một tập hợp K có trang bị hai phép toán cộng
nếu:

♣ q và nhân ♣☎q được gọi là thể

1. ♣K,  , ☎q là một vành.
2. 0K

⑧✏ 1K

3. Mọi phần tử khác 0 đều có một nghịch đảo đối với phép nhân.
Nếu phép nhân có tính giao hoán trong K thi ta nói ♣K,  , ☎q là một thể giao hoán
và thường được gọi là một trường. Trong giáo trình này, trừ những trường hợp đặc
biệt, hầu hết chúng ta chỉ xét thể giao hoán. Mặt khác, các khái niệm như thể con,
đồng cấu thể, đẳng cấu thể, tự đồng cấu thể và tự đẳng cấu thể được xét tương tự
như trong vành.

BÀI
Câu 1. Cho

TẬP CHƯƠNG

2

✝ là phép toán xác định trong R bởi: x ✝ y ✏ xy   ♣x2 ✁ 1q♣y2 ✁ 1q.

(a) Kiểm chứng

✝ giao hoán, không kết hợp và có phần tử trung hòa.

(b) Giải các phương trình sau (với ẩn x € R)
(i) 2 ✝ x ✏ 5
(ii) x ✝ x ✏ 1
Câu 2. Cho ♣E, ✝q là một phỏng nhóm kết hợp, a

trong E bởi: x❑y

€ E. ❑ là một phép toán xác định

✏ x ✝ a ✝ y. Chứng minh ❑ có tính kết hợp.

Câu 3. Cho ♣E, ✝q là một phỏng nhóm sao cho
Chứng minh phép toán

✝ có tính giao hoán.

❅♣x, yq € E 2, x ✝ ♣x ✝ yq ✏ ♣y ✝ xq ✝ x ✏ y.

Câu 4. Cho ♣E, ✝q là một phỏng nhóm sao cho:
✧

Chứng minh rằng

❅x € E, x ✝ x ✏ x
❅♣x, y, zq € E 3, ♣x ✝ yq ✝ z ✏ ♣y ✝ zq ✝ x

✝ là giao hoán.


Bài tập chương 2

22

Câu 5. Cho ♣E, ☎q là một phỏng nhóm kết hợp sao cho ❉n
E 2 , ♣xy qn ✏ yx. Chứng minh phép toán ☎ có tính giao hoán.

€ N, n ➙ 2 thỏa ❅♣x, yq €

Câu 6. Cho ♣E, ✝q là một vị nhóm. Chứng minh rằng mọi phần tử của E khả nghịch
đối với

✝ đều chính qui đối với ✝. Cho một ví dụ trong đó khẳng định đảo là sai.

Câu 7. Cho một phỏng nhóm ♣E, ✝q. Một phần tử x của E được gọi là lũy đẳng nếu
x ✝ x ✏ x.

(a) Chứng minh rằng, nếu
x ✝ y là lũy đẳng.

✝ là kết hợp và nếu x và y là lũy đẳng và giao hoán, thì

(b) Chứng minh rằng, nếu ✝ là kết hợp, có phần tử trung hòa và nếu x là lũy đẳng
và khả nghịch, thì x✁1 là lũy đẳng.

Câu 8. Cho E

✏ ♣0,  ✽q và phép toán ✝ xác định bởi: x ✝ y ✏

❛

x2   y 2 .

(a) Khảo sát tính kết hợp, giao hoán và sự tồn tại phần tử trung hòa của phép
toán ✝.

(b) Với n € N, a € E, tính a ✝ a ✝ ☎ ☎ ☎ ✝ a (n nhân tử)
Câu 9. Cho phép toán

✝ trong R xác định bởi: x ✝ y ✏ x   y ✁ xy.

(a) Khảo sát tính kết hợp, giao hoán, sự tồn tại phần tử trung hòa và phần tử đối
xứng của phép toán ✝.

(b) Với n € N, a € R, tính a ✝ a ✝ ☎ ☎ ☎ ✝ a (n nhân tử)
Câu 10. Cho ♣E, ✝q là một phỏng nhóm kết hợp. Chứng minh rằng nếu a và b là hai
phần tử chính qui trái (phải) đối với ✝ thì a ✝ b cũng chính qui trái (phải) đối với ✝.

✝ và ❑ thỏa ❅♣x, y, u, vq € E 4, ♣x ✝ yq❑♣u ✝
v q ✏ ♣x❑uq ✝ ♣y ❑v q. Biết rằng phép toán ✝ có phần tử trung hòa là e và phép toán ❑
có phần tử trung hòa là . Chứng minh rằng e ✏ , ✝ ✏ ❑ và phép toán ✝ có tính kết
Câu 11. Trong tập E xác định hai phép toán

hợp và giao hoán.
Câu 12. Tìm điều kiện cần và đủ của ba số ♣a, b, cq € R3 để cho tập R với phép toán

✝ xác định bởi: ❅♣x, yq € R2, x ✝ y ✏ a♣x   yq   bxy   c tạo thành một nhóm.
Câu 13. Chứng tỏ rằng tập G ✏ R✝  ✂ R là một nhóm với phép toán
❅♣x, yq, ♣x✶, y✶q € G, ♣x, yq ✝ ♣x✶, y✶q ✏ ♣xx✶, xy✶   yq.
Câu 14. Cho ♣G, ☎q là một nhóm sao cho ❅x
hoán.

✝ xác định bởi:

€ G, x2 ✏ e. Chứng minh rằng G giao


Bài tập chương 2

23

Câu 15. Cho ♣G, ☎q là một nhóm hữu hạn, A và B là hai tập con của G sao cho
Card A   Card B → Card G. Chứng minh rằng G ✏ AB (tức là: ❅x € G, ❉♣a, bq € A ✂ B :
x ✏ ab).

Câu 16. Cho ♣E, ✝q là một phỏng nhóm kết hợp và e € E sao cho:
✧

❅x € E, x ✝ e ✏ x
❅x € E, ❉x✶ € E, x ✝ x✶ ✏ e.

Chứng minh rằng ♣E, ✝q là một nhóm.
Câu 17. Cho ♣E, ☎q là một phỏng nhóm kết hợp khác rỗng sao cho:

E , ❉♣x, y q € E , b ✏ ax ✏ ya. Chứng tỏ ♣E, ☎q là một nhóm.
2

❅♣a, bq €

2

Câu 18. Cho ♣E, ☎q là một phỏng nhóm kết hợp khác rỗng sao cho: ❅♣x, y q € E 2 , x2 y
y ✏ yx2 . Chứng tỏ ♣E, ☎q là một nhóm giao hoán.

✏

Câu 19. Cho ♣G, ☎q là một nhóm với e là phần tử trung hòa, n € N✝ , ♣a, bq € G2 . Chứng
minh rằng:
(a) ♣b6

✏ e ❫ ab ✏ b4aq ñ ♣b3 ✏ e ❫ ab ✏ baq

(b) ♣a5

✏ e ❫ aba✁1 ✏ b2q ñ ♣b31 ✏ eq

(c) ♣a✁1 ba ✏ b✁1 ❫ b✁1 ab ✏ a✁1 q ñ a4
(d) ♣aba ✏ b3 ❫ b5
(e) ♣abqn

✏ b4 ✏ e

✏ eq ñ ♣ab ✏ ba ❫ a2 ✏ b2q

✏ e ñ ♣baqn ✏ e

Câu 20. Cho G là một nhóm, H, K là các nhóm con của G. Chứng minh rằng
H ❨ K ✏ G ô ♣H ✏ G ❴ K ✏ Gq.
Câu 21. Cho ♣G, ✝q là một nhóm. Tập con C
C

⑨ G được gọi là tâm của G nếu

✏ tx € G ⑤ ❅y € G, x ✝ y ✏ y ✝ x✉

Chứng minh rằng C là một nhóm con của G.
Câu 22. Cho G ✏ R✝ ✂ R và

✝ là một phép toán trong G xác định bởi:

✁

y✠
✶
✶
✶
✶
✶
✶
❅♣x, yq, ♣x , y q € G, ♣x, yq ✝ ♣x , y q ✏ xx , xy   x✶

(a) Chứng minh rằng ♣G, ✝q là một nhóm.
(b) Chỉ ra tâm của G (Xem bài tập 21).
(c) Chứng minh rằng R✝ ✂ t0✉, t1✉ ✂ R, Q✝ ✂ Q là các nhóm con của G.


Bài tập chương 2

24

(d) Chứng minh rằng, với bất kỳ λ € R, tập Hλ

✏

✧✂

✂

x, λ x ✁

1
x

✡✡

✯

; ❅x € R✝ là một

nhóm con giao hoán của G.
Câu 23. Cho G là một nhóm hữu hạn. Chứng minh rằng với bất kỳ nhóm con H
1
nào của G mà Card♣H q → Card♣Gq thì H ✏ G.
2
Câu 24. Cho ♣G, ☎q là một nhóm, u là phần tử của tâm của nhóm G (xem bài tập
21), e là phần tử trung hòa. Giả sử u
u4

✏ e.

✏ xyz và x2 ✏ y2 ✏ z2 ✏ e. Chứng minh rằng

Câu 25. Cho ♣G, ❑q, ♣G✶ , ❏q là hai nhóm, f : G Ñ G✶ là một đồng cấu nhóm.
(a) Chứng minh rằng, với mọi nhóm con H của G, f ♣H q là nhóm con của G✶ .
(b) Chứng minh rằng, với mọi nhóm con H ✶ của G✶ , f ✁1 ♣H ✶ q là nhóm con của G.
Câu 26. Cho G, G✶ là hai nhóm, e là phần tử trung hòa của G, f : G
đồng cấu nhóm. Chứng minh f là đơn ánh khi và chỉ khi ker f

✏ te✉.

Ñ G✶ là một

Câu 27. Cho ♣G, ☎q là một nhóm sao cho f : G Ñ G3 là một tự đồng cấu toàn ánh của
x

ÞÑ

x

G. Chứng minh rằng G là nhóm giao hoán.
Câu 28. Cho n là một số tự nhiên lẻ ➙ 3, và ✝ là một phép toán trong R xác định
❄
như sau: ❅♣x, y q € R2 , x ✝ y ✏ n xn   y n . Chứng minh rằng ♣R, ✝q là một nhóm đẳng

cấu với nhóm ♣R,  q.


CHƯƠNG BA

CÁC TẬP HỢP SỐ

Mục lục
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Bài

Số tự nhiên .
Số nguyên . .
Số hữu tỉ . .

Số thực . . .
Số phức . . .
tập chương 3

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

§3.1 SỐ
Tập các số tự nhiên ký hiệu là N
toán cộng

✿

♣ q và nhân ♣☎q thỏa:

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

25
26
26
26

29
32

TỰ NHIÊN

✏ t0, 1, 2, . . . . . . ✉. Trên N có trang bị hai phép

Phép cộng có tính chất giao hoán, kết hợp, có phần tử trung hòa là 0, và mọi
phần tử của N đều chính qui đối với phép cộng.

✿

Phép nhân có tính chất giao hoán, kết hợp, có phần tử trung hòa là 1, và mọi
phần tử khác không của N đều chính qui đối với phép nhân.

Trên tập N có trang bị một quan hệ thứ tự toàn phần

↕ tương thích đối với các

phép toán cộng và nhân.
Định lí 3.1 (Nguyên lý qui nạp). Nếu một tập con E của N thỏa: 0
♣n   1q € E thì E ✏ N.

€ E, ❅n € E ñ

Giả sử P ♣nq là một vị từ phụ thuộc vào một biến tự nhiên n. Khi đó nguyên lý
qui nạp có thể phát biểu dưới dạng sau:

✿ P ♣n0q đúng.
✿ ❅n € N, n ➙ n0, giả sử P ♣nq đúng và P ♣n   1q cũng đúng thì P ♣nq đúng với mọi

n ➙ n0 .