Tiểu luận môn điều khiển hiện đại

Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển hiện đại
TIỂU LUẬN MÔN HỌC
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI
ĐỀ BÀI:
1. Tự đưa ra mô hình toán học
2. Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng
3. Thiết kế bộ điều khiển bằng cả hai phương pháp
 Theo phương pháp tuyến tính hóa chính xác
 Theo phương pháp điều khiển trược
4. Mô phỏng hệ thống khi không có bộ điều khiển và khi có bộ điều khiển
bằng cả hai phương pháp
5. Kết luân:
I. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG
1. Mô hình toán học của đối tượng
Giả sử hệ thống điều khiển có mô hình đối tượng như sau
2
�x&
1  2 x1  x2
�
�x&2  2 x1 x2  u
�y  x
1
�

Trong đó: Hai biến trạng thái x1, x2
Tín hiệu vào u(t)
Tín hiệu ra y(t)
II. XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG
1. Xác định điểm cân bằng của hệ thống
Ta có phương trình trạng thái của hệ thống:
2

�x&
1  2 x1  x2
�
�x&2  2 x1 x2  u
�y  x
1
�

(2.1.1)

Mô hình (2.1.1) khi có u(t) = 0 và trở thành
Một điểm trạng thái thỏa mãn
(2.1.2)
được gọi là điểm cân bằng của hệ thống. Tức là, (2.1.2) có nghiệm và nghiệm
này thỏa mãn
Như vậy hệ (2.1.1) có một điểm cân bằng là (0, 0)
2. Kiểm tra tính ổn định tại điểm cân bằng
Sử dụng Lyapunov để kiểm tra tính ổn định tại điểm cân bằng., V(x) là hàm
xác định dương trong toàn bộ không gian trạng thái.

Nguyễn Hữu Việt Siêu

Trang 1


Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển hiện đại
thì vecto Grandient gradV, luôn vuông góc đường cong v k và chỉ chiều tăng
theo giá trị theo giá tri k của V(x) = k.
Với hàm xác định dương V(x) thì
a) theo tiêu chuẩn Lyapunov

Trong lân cận điểm cân bằng mô tả gần đúng bởi mô hình tuyến tính
Mô hình toán học không bị kích thích của (2.1.1) như sau:
�x&1  2 x12  x2
�
�x&2  2 x1 x2

(2.2.1)
- Các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm, nếu nghiệm thực bằng 0 thì
phải là nghiệm đơn của phương trình det(λI-A)=0.
�x&1  2 x12  x2
�
�x&2  2 x1 x2  u

(2.2.2)

Khai triển các hàm (2.1.2) thành chuỗi Taylor tại điểm như sau:
Thay điểm cân bằng dựa vào ma trận Jacobi ta được hệ tuyến tính trong lân
cận điểm làm việc.
4 x 1 � ��
0
�
x& � 1
u
�x  ��
2 x2 2 x1 � ��
1
�

Thay giá trị điểm cân bằng vào ta được hệ tuyến tính sau:
(2.2.3)

Nếu tồn tại V(x) xác định dương và xác định âm thì hệ sẽ ổn định tại điểm
cân bằng đó.
Nếu chọn hàm
Suy ra cùng với mô hình (2.2.2) ta có
Như vậy, để hệ ổn định thì V(x) xác định dương và xác định âm tức là a>0,
b>0, x1<0. Vậy, nếu như giá trị x1 không thỏa mãn thì ta có hệ không ổn định.
Ngoài ra ta thấy trong lân cận điểm cân bằng của hệ phi tuyến tương dương
với hệ tuyến tính (2.2.3)
Mô hình tuyến tính này có hai giá trị riêng λ 1= λ2 = 0, không có nghiệm nằm
bên trái trục ảo nên hệ chưa cân bằng mà giá trị riêng chỉ nằm biên trục ảo.
3. Kiểm tra tính điều khiển được
Mô hình toán học được tuyến tính hóa lân cận điểm cân bằng như sau:
Hệ có

Nguyễn Hữu Việt Siêu

Trang 2


Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển hiện đại
với T>0
Vậy hệ có thể điều khiển được
III. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN
1. Phương pháp tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc – Lyapunov:
Giả sử hệ có điểm làm việc tại gốc tọa độ và trong lân cận gốc hệ được mô tả
gần đúng bằng mô hình tuyến tính.
(3.1.1)
Theo phương pháp modal, xây dựng bộ điều khiển tĩnh theo nguyên tắc phản
hồi trạng thái hoàn toàn, để ma trận A-RB của hệ kín có giá trị riêng nằm bên
trái trục ảo. Và khi đó xét hệ phi tuyến ban đầu có thực sự ổn định tại gốc tọa

độ không. Khi đó, ta chỉ việc kiểm tra V(x) xác định dương với mọi x≠0, và
xác định âm.
Như đã khảo sát trên mô hình tuyến tính này có hai giá trị riêng λ 1= λ2 = 0,
không có nghiệm nằm bên trái trục ảo nên ta sử dụng phương pháp gán điểm
cực (s+1)(s+1)=s2+2s+1 ta tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái hoàn toàn.
A=[0 1;0 0];
B=[0;1];
C=inv([B A1*B]);% ma trận nghịch đảo
a0=1;
a1=2;
ST=[C(2,1) C(2,2)];
R=a0*ST+a1*ST*A+ST*A2 = [1 2]
Như vậy bằng phương pháp tuyến hóa ta có bộ điều khiển phản hồi
trạng thái:
(3.1.2)
Khi đó, A-BR có giá trị riêng λ1 = λ2 = -1 và do đó hệ kín ổn định tiệm cận.
Vậy với bộ điều khiển này hệ phi tuyến có phản hồi trạng thái trở thành:
�2 x 2  x2
x& f ( x,  Rx)  � 1
�2 x1 x2  x1  2 x2

(3.1.3)

a) Kiểm tra hệ (3.1.3) có ổn định không sau khi đã thiết kế R
Nếu là ma trận xác định dương thì
��f%� �
4 x1
� � �
��x � �
� � 2 x2  1

1

�
�
2 x1  2 �

T
��f%�
��f%� �
q1 q3 � �
q1 q3 �
4 x1 2 x2  1 �
4 x1
�
�
�
� �Q  Q � � �
�
�
�
�
�
��x �
��x � �
2 x1  2 �
q3 q2 � �
q3 q2 �
2 x2  1
�

�
� �
� � 1

Nguyễn Hữu Việt Siêu

Trang 3

1

�
�
2 x1  2 �


Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển hiện đại
8 x1q1  4 x2 q3  2q3
6 x1q3  2 x2 q2  q1  q2  2q3 �
�
�
�
6 x1q3  2 x2 q2  q1  q2  2q3
4 x1q2  4q2  2q3
�
�

3.1.4)

Để Q xác định dương và <0 ta phải chọn
q1  0;

�
�
q1q2  q32  0;
�
(3.1.5)
�
8
x
q

4
x
q

2
q

0;
2 3
3
�1 1
�
(8 x1q1  4 x2 q3  2q3 )(4 x1q2  4q2  2q3 )  (6 x1q3  2 x2 q2  q1  q2  2q3 ) 2  0;
�

Chọn q3 = 3, q1 = 10, q2 = 1;
Từ (3.1.5) trong lân cận ta có
10  0
�
�

10  32  0
�
�
80 x1  12 x2  6  0
�
�
4 x12  34 x1  28 x1 x2  4 x22  12 x2  21  0;
�
�
�
10 3 �
2 x12  x2
�
  2 x  x2 2 x1 x2  x1  2 x2  �
�
�
�
2 x1 x2  x1  2 x2 �
�3 1 �
�
V ( x)  40 x14  6 x13 x2  12 x13  24 x12 x2  4 x12 x22  x12  4 x1 x22  2 x22  6 x1 x2  0
2
1

Trong lân cận điểm cân bằng
Chọn xác định dương và đạo hàm của nó
V&( x)  160 x13  38 x1 x2  8 x1 x22  4 x2

Kết Luận:
xác định âm với mọi x1, x2 trong lân cận điểm cân bằng. Vậy hệ ổn định khi

trong lân cận của điểm cân bằng
2. Phương pháp cuốn chiếu (Backstepping)
�x&1  2 x12  x2
�
�x&2  2 x1 x2  u

(3.2.1)

Mô hình (3.2.1) có thể viết lại khi thay x2 = z, x1 = x
�x& 2 x 2  z
�
�z& 2 xz  u

(3.2.2)
Dựa trên định lý (thiết kế cuốn chiếu bộ điều khiển GAS cho hệ Tam giác) ta
có ngay hệ con thứ nhất của đối tượng:
x& 2 x 2  z
(3.2.3)
Có hàm CLF và bộ điều khiển ổn định tiệm cận thì ta có
(3.2.4)

Nguyễn Hữu Việt Siêu

Trang 4


Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển hiện đại
2
&
V&

1 ( x )  x.x  x (2 x  z )

(3.2.5)
Để hệ con (3.2.3) ổn định thì (3.2.4) xác định âm, gán (3.2.4) giá trị là:–x2
x(2 x 2  z )   x 2
� 2 x2  z   x

Như vậy, phép biến đổi z = υ(x) = -x-2x2
Thay vào (3.2.4) ta có
V ( x, z ) 

1 2 1
x  ( z  x  2 x2 )2
2
2

V&( x, z )  x.x& ( z  x  2 x 2 )( z& x& 4 xx&)

(3.2.6)

  x 2  ( z  x  2 x 2 ) x  ( z  x  2 x 2 )(u  4 xz  6 x 2  z  8 x 3 )
  x 2  ( z  x  2 x 2 )( x  u  4 xz  6 x 2  z  8 x 3 )
2
2
3
Để xác định âm chọn ( z  x  2 x )  ( x  u  4 xz  6 x  z  8 x ) đồng thời thay

u bởi r(x,z) ta có r(x,z)
Ta có bộ điều khiển trở thành liên tục trong không gian trạng thái:
r ( x, z )  ( z  x  2 x 2 )  x  4 xz  4 x 2  z  8 x 3

Thay x bởi x1, và z bởi x2
r ( x1 , x2 )  ( x2  x1  2 x12 )  x1  4 x1 x2  4 x12  x2  8 x13
 8 x13  2 x12  4 x1 x2  2 x1  2 x2

Vậy hệ sau khi có bộ điều khiển là
2
�
�x&
1  2 x1  x2
�
3
2
�x&2  2(4 x1  x1  x1  x2  2 x1 x2 )

IV. MÔ PHỎNG HỆ THỐNG - VẼ QUỸ ĐẠO PHA
1. Quỹ đạo trạng thái ban đầu của hệ thống
Phương trình trạng thái của hệ thống ban đầu:
2
�x&
1  2 x1  x2
�
�x&2  2 x1 x2  u
�y  x
1
�

Khi biểu diễn điểm khi t=t0 trong không gian vecto n chiều (hai chiều x 1, x2)
và sau đó cho t0 = chạy từ 0 đến ∞ ta thu được một đường cong biểu diễn
nghiệm ứng với u(t) dã cho. Đường cong này gọi là quỹ đạo trạng thái của hệ

thống.

Nguyễn Hữu Việt Siêu

Trang 5


Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển hiện đại

Quỹ đạo pha thu được:

Ta thấy với giá trị đầu vào dương thì hệ sẽ không xác định tại thời điểm 1,9s hệ
sẽ có giá trị nhảy vọt và đưa hệ ra khỏi vĩ đạo trạng thái:

Nguyễn Hữu Việt Siêu

Trang 6


Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển hiện đại

Còn với gía trị vào kích thích u<0 thì cho ta hệ tiệm cận ổn định
2. Quỹ đạo trạng thái sử dụng phương pháp tuyến tính hóa lân cận điểm
làm việc
Sau khi thiết kế xong bộ điều khiển R= [1 2] và mô hình đối tượng được
viết lại. từ đó ta xây dựng sơ đồ khối của hệ thống từ mô hình đối tượng này:
�2 x12  x2
&
x  f ( x,  Rx )  �
�2 x1 x2  x1  2 x2

Kết quã quỹ đạo trạng thái x1, x2:

Nguyễn Hữu Việt Siêu

Trang 7


Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển hiện đại

Kết quả quỹ đạo pha sau khi chạy mô hình trên

4.3. Quỹ đạo trạng thái sử dụng phương pháp cuốn chiếu
Cùng một mô hình đối tượng ta xây dựng sơ đồ khối theo mô hình toán học
sau khi đã thiết kế bộ điều khiển theo phườn pháp back stepping (cuốn chiều).
2
�
�x&
1  2 x1  x2
�
3
2
�x&2  2(4 x1  x1  x1  x2  2 x1 x2 )

Nguyễn Hữu Việt Siêu

Trang 8


Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển hiện đại

Kết quả mô phỏng sau khi xây dựng sơ đồ khối và sau 3s trạng thái của quỹ
đạo được đưa về vị trí cân bằng

Nguyễn Hữu Việt Siêu

Trang 9


Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển hiện đại

4.4 KẾT LUẬN:
Bộ khiển tuyến tính hóa chính xác:
với kích thích âm hệ luôn ổn định:
với kích thích dương hệ cũng quay về trạng thái bang đầu nhưng rất lâu.
Bộ điều khiển trược:
hệ ổn định với chất lượng rất tốt cả kích âm và dương:
cho kích âm -10

Nguyễn Hữu Việt Siêu

Trang 10