Chuyên đề học sinh giỏi phần cơ học

BÀI TẬP CƠ CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1 (4,0 điểm)
Hai ô tô đồng thời xuất phát từ A đi đến B cách A một khoảng L. Ô tô thứ nhất đi nửa quãng
đường đầu với tốc độ không đổi v1 và đi nửa quãng đường sau với tốc độ không đổi v 2. Ô tô thứ hai
đi nửa thời gian đầu với tốc độ không đổi v1 và đi nửa thời gian sau với tốc độ không đổi v2.
a. Hỏi ô tô nào đi đến B trước và đến trước ôtô còn lại bao lâu?
b. Tìm khoảng cách giữa hai ô tô khi một ô tô vừa đến B.
Giải.
a) Xác định xe nào đến B trước:

L
L
v +v
+
=L 1 2
2v1 2v2
2v1v2
t2
t2
2L
* Thời gian để ô tô thứ hai đi từ A đến B là: v1 + v2 = L ⇒ t2 =
2
2
v1 + v2

* Thời gian để ô tô thứ nhất đi từ A đến B là: t1 =

* Ta có: t1 − t2 =

L(v1 − v2 ) 2
> 0 suy ra t1 > t2

2v1v2 (v1 + v2 )

* Vậy ô tô thứ hai đến B trước và đến trước một khoảng thời gian: ∆t = t1 − t2 =

L(v1 − v2 ) 2
2v1v2 (v1 + v2 )

b. Khoảng cách giữa hai xe khi xe thứ hai đã đến B.
* Có thể xảy ra 3 trường hợp sau khi xe thứ hai đã đến B:
- Xe thứ nhất đang đi trên nửa quãng đường đầu của quãng đường AB
- Xe thứ nhất đang đi trên nửa quãng đường sau của quãng đường AB
- Xe ô tô thứ nhất đến điểm chính giữa của quãng đường AB
Cụ thể:
* Xe thứ nhất đang đi trên nửa quãng đường đầu của quãng đường AB, khi đó khoảng cách giữa hai
2L
v −v
=L 2 1
v1 + v2
v1 + v2
L
Trường hợp này xảy ra khi S > → v2 > 3v1
2

xe là: S = L − v1t2 = L − v1

* Xe thứ nhất đang đi trên nửa quãng đường sau của quãng đường AB, khi đó khoảng cách giữa hai
(v1 − v2 ) 2
xe là: S = ∆t.v2 = L
2v1 (v1 + v2 )

Trường hợp này xảy ra khi S <

L
hay v2 < 3v1
2

* Xe ô tô thứ nhất đến điểm chính giữa của quãng đường AB, khi đó khoảng cách giữa hai xe là:
S=

L
. Trường hợp này xảy ra khi v2 = 3v1
2

Bài 2. (2,0 điểm) Một con thỏ chạy ra xa một con chó săn theo đường thẳng với vận tốc không
đổi. Tại thời điểm ban đầu, khoảng cách giữa con thỏ và con chó săn là s = 100m, còn con chó
săn chạy đuổi theo con thỏ với vận tốc v 0 = 15m/s. Do đã mệt nên vận tốc của con chó săn cứ sau


mỗi khoảng thời gian ∆t = 20s thì giảm đi một lượng ∆v = 1m/s. Hỏi thỏ phải chạy với vận tốc
không đổi thỏa mãn điều kiện gì để không bị chó săn bắt được? Biết rằng trong khoảng thời gian ∆t
vận tốc của con chó săn là không đổi.
Giải:
- Ký hiệu vận tốc của thỏ là là v t . Chọn mốc quãng đường là vị trí của chó săn lúc đầu. Gọi khoảng
cách từ vị trí của chó săn và thỏ đến mốc là sc và st. Thỏ không bị chó săn bắt khi st > sc.
- Trong 20 giây đầu, thỏ không bị chó săn bắt khi:
100 + 20vt > 20.15 = 300 → vt > 10 m/s
- Trong 40 giây đầu, thỏ không bị chó săn bắt khi:
100 + 40vt > 300 + 20.14 = 580 → vt > 12 m/s
- Trong 60 giây đầu, thỏ không bị chó săn bắt khi:
100 + 60vt > 580 + 20.13 = 840 → vt > 12,33 m/s

- Trong 80 giây đầu, thỏ không bị chó săn bắt khi:
100 + 80vt > 840 + 20.12 = 1080 → vt > 12,25 m/s
- Trong 100 giây đầu, thỏ không bị chó săn bắt khi:
100 + 100vt > 1080 + 20.11 = 1300 → vt > 12 m/s
- Trong 120 giây đầu, thỏ không bị chó săn bắt khi:
100 + 120vt > 1300 + 20.10 = 1500 → vt > 11,67 m/s
Tính toán tương tự như trên ta thấy từ giây 120 trở đi thỏ không bị chó săn bắt khi vận tốc của thỏ
nhỏ hơn 11,67m/s. Vậy để không bị chó săn bắt, thỏ phải chạy với vận tốc vt > 12,33 m/s.
Bài 3: (5 điểm)
Lúc 7 giờ, một người đi xe máy từ thành phố A về thành phố B với vận tốc 40km/h, thành phố
A cách thành phố B 150 km. Lúc 8 giờ, một xe ô-tô đi từ thành phố B về thành phố A cũng trên con
đường đó với vận tốc 60km/h.
a. Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ và nơi gặp cách thành phố B bao nhiêu km?
b. Trên đường AB có một người đi xe đạp lúc nào cũng cách đều xe máy và xe ô-tô, biết rằng
người đó khởi hành cùng lúc với xe ô-tô (lúc 8 giờ). Tính vận tốc của người đi xe đạp, vị trí khởi
hành của người đi xe đạp cách thành phố B bao nhiêu km và người đó đi theo hướng nào?
(Xem như chuyển động của ba xe là thẳng đều).
Giải:
a.Gọi t là thời gian chuyển động của xe ô tô
Thời gian chuyển động xe máy là ( t+1)
Hai xe gặp nhau: s1+ s2 = s
<=> v1.(t +1)+ v2 .t = s
<=> 40.(t+1) +60.t = 150
=> t = 1,1h
Hai xe gặp nhau lúc 9 giờ 6 phút.
Vị trí hai xe gặp nhau cách B : s2 = v2.t = 60.1,1 = 66km
b.Lúc 8h: Người đi xe máy và người đi xe ô tô cách nhau: 150- 40.1=110km.
Vì người đi xe đạp lúc nào cũng cách đều xe máy và ô tô nên lúc 8h phải xuất phát tại trung
điểm của khoảng cách giữa hai xe kia tức cách B một đoạn : x =

110
= 55km
2

Lúc 9 giờ 6 phút xe máy gặp xe ôtô ở vị trí cách B 66km nên quãng đường mà người đi xe
đạp đã đi đến lúc gặp xe máy và xe ô tô:


s3 = s2 – x= 66 -55=11km
Thời gian người đi xe đạp đi đến khi 3 xe gặp nhau bằng thời gian người đi ô tô đi nên: t 3 = t
=1,1h.
Vận tốc trung bình của người đi xe đạp: v3 =

11
= 10km / h
1,1

Vậy người đi xe đạp khởi hành tại vị trí cách B 55km với vận tốc 10km/h
và đi về phía A.
(Nếu học sinh đưa ra kết quả vận tốc của người đi xe đạp bằng suy luận đúng thì vẫn cho trọn điểm)
Bài 4 (5,0 điểm): Một người đi bộ khởi hành từ C đi đến B với vận tốc v1 = 5km/h. Sau khi đi được
2 giờ, người ấy ngồi nghỉ 30 phút rồi đi tiếp về B với vận tốc như ban đầu. Một người khác đi xe đạp
khởi hành từ A (C nằm giữa AB) cùng đi về B với vận tốc v2 = 15km/h nhưng khởi hành sau người đi
bộ 1 giờ.
1. Tính quãng đường đi được của mỗi người trong khoảng thời gian 1 giờ chuyển động.
2. Tính quãng đường AC và CB. Biết cả hai người đến B cùng lúc và khi người đi bộ bắt đầu ngồi nghỉ
thì người đi xe đạp đã đi được

3
quãng đường AC.

4

3. Để gặp người đi bộ tại chỗ ngồi nghỉ người đi xe đạp phải đi với vận tốc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Giải:
* Quãng đường mỗi người đi được sau 1h chuyển động
S1 = v1.t = 5.1 = 5 (km)………………………………………………………
S2 = v2.t = 15.1 = 15 (km)……………………………………………………

* Tìm quãng đường AC và CB.

A

•

E

•

C F

• •

D

•

B

•

+ Gọi D là điểm người đi bộ ngồi nghỉ, ta có:
CD = v1 .t1 = 5.2 = 10(km) ………………………………………………..
+ Khi đó người đi xe đạp đi được khoảng thời gian t2 = 1h và quãng đường đi được của người đi xe
đạp khi đó:
AE = v 2 .t 2 = 15.1 = 15(km) ……………………………………………….
+ Theo giả thiết ta có quãng đường AC: AC =

4 AE 4.15
=
= 20( km) …………
3
3

+ Trong thời gian người đi bộ ngồi nghỉ thì người đi xe đạp đi thêm được quãng đường:
EF = v 2 ∆t = 15.0,5 = 7,5( km) …………………………………………….
+ Khoảng cách giữa hai người lúc người đi bộ bắt đầu đi tiếp:
FD = CD − CF = 7,5(km) ………………………………………………..
+ Vì hai người đến B cùng một lúc, nên gọi t là thời gian chuyển động còn lại của hai người thì ta có:
v 2 t = FD + v1t → t =

FD
7,5
=
= 0,75(h) ……………………………
v 2 − v1 15 − 5

+ Quãng đường còn lại của người đi bộ: DB = v1t = 5.0,75 = 3,75(km) ………...


+ Quãng đường CB: CB = CD + DB = 13,75( km) ……………………………….

* Để gặp người đi bộ tại chỗ ngồi nghỉ theo yêu cầu của đề bài thì khi người đi bộ bắt đầu đi tiếp thì
người đi xe đạp cũng đến được điểm D và thời gian chuyển động là t 2' = 1,5h
'
+ Vận tốc của người đi xe đạp khi đó: v 2 =

AD 30
=
= 20(km / h)
1,5
t 2'

Bài 5: (5 điểm)
Ba người đi xe đạp đều xuất phát từ A về B trên đoạn đường thẳng AB. Người thứ nhất đi với
vận tốc v1 = 8 km/h. Người thứ hai xuất phát sau người thứ nhất 15 phút và đi với vận tốc v 2 = 12
km/h. Người thứ ba xuất phát sau người thứ hai 30 phút. Sau khi gặp người thứ nhất, người thứ ba đi
thêm 30 phút nữa thì sẽ cách đều người thứ nhất và người thứ hai. Giả thuyết chuyển động của ba
người là chuyển động thẳng đều. Tìm vận tốc người thứ ba.
Giải:
3
4

Khi người thứ ba xuất phát, người thứ nhất đã đi được: L1 = v1.t01 = 8. = 6km
Và người thứ hai đi được: L2 = v2.t02 = 12.0,5 = 6 km
Gọi t1 là thời gian người thứ ba đi đến khi gặp người thứ nhất:
v3t1 = L1 + v1t1 ⇒ t 1 =

L1
6
=
(1)

v 3 − v1 v 3 − 8

Sau thời gian t2 = (t1 + 0,5) (h)
Quãng đường người thứ nhất đi được: s1 = L1 + v1t2 = 6 + 8(t1 + 0,5)
Quãng đường người thứ hai đi được: s2 = L2 + v2t2 = 6 + 12(t1 + 0,5)
Quãng đường người thứ ba đi được: s3 = v3t2 = v3(t1 + 0,5)
Theo đầu bài: s2 – s3 = s3 – s1, tức là s1 + s2 =2s3
⇒ 12 = (2v3 − 20)(t1 + 0,5) (2)
Thay t1 từ (1) vào (2) ta được : v32 − 18v3 + 56 = 0 ⇒ v3 = 4km / h và v3 = 14km / h .
Ta lấy nghiệm v3 = 14km / h (loại nghiệm v3 = 4km / h vì giá trị v3 này bé hơn v1 , v 2 ).
Bài 6 (4,0 điểm):
Một xe máy và một xe đạp cùng chuyển động trên một đường tròn với vận tốc không đổi. Xe
máy đi một vòng hết 10 phút, xe đạp đi một vòng hết 50 phút. Hỏi khi xe đạp đi một vòng thì gặp xe
máy mấy lần. Hãy tính trong từng trường hợp.
a. Hai xe khởi hành trên cùng một điểm trên đường tròn và đi cùng chiều nhau.
b. Hai xe khởi hành trên cùng một điểm trên cùng một đường tròn và đi ngược chiều nhau.
Giải:
Gọi vận tốc của xe đạp là v → vận tốc của xe máy là 5v
Gọi t là thời gian tính từ lúc khởi hành đến lúc 2 xe gặp nhau.
→ (0 < t ≤ 50); gọi C là chu vi của đường tròn.
a. Khi 2 xe đi cùng chiều.
Quảng đường xe máy đi được: s1 = 5v.t
Quảng đường xe đạp đi được: s2 = v.t


Ta có: s1 = s2 + n.C
Với C = 50v; n là lần gặp nhau thứ n, n ∈ N*
→ 5v.t = v.t + 50v.n ⇔ 5t = t + 50n ⇔ 4t = 50n ⇔ t =
Vì 0 < t ≤ 50 → 0 <

50n
n
≤ 50 ⇔ 0 <
≤ 1
4
4

50n
4

⇔ n = 1, 2, 3, 4. Vậy 2 xe sẽ gặp nhau 4 lần
b. Khi 2 xe đi ngược chiều.
Ta có: s1 + s2 = m.C (m là lần gặp nhau thứ m, m∈ N*)
→ 5v.t + v.t = m.50v
⇔ 5t + t = 50m ⇔ 6t = 50m ⇔ t =
Vì 0 < t ≤ 50 → 0 <
⇔0 <

50
m
6

50
m ≤ 50
6

m
≤ 1 ⇔ m = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vậy 2 xe sẽ gặp nhau 6 lần.
6

Bài 7. Cơ học (4 điểm)
a) Anh cảnh sát giao thông ngồi trên một chiếc ôtô chạy trên một đường thẳng dùng máy đo để
đo vận tốc của một chiếc ôtô chạy trước đó và một chiếc ôtô chạy sau đó, cả ba xe chạy cùng chiều.
Máy cho biết vận tốc của xe phía trước và xe phía sau tương ứng là v1=7m/s và v2=12m/s. Biết vận
tốc của các xe này đối với mặt đường lần lượt là V1=90km/h và V2=72km/h. Máy đo cho biết độ lớn
vận tốc của các vật chuyển động đối với máy. Hãy xác định vận tốc của xe cảnh sát đối với mặt
đường.
b) Một cái cốc hình trụ thành và đáy rất mỏng có độ cao H và thể tích V khi thả nổi theo
phương thẳng đứng trên mặt một chất lỏng có khối lượng riêng D chứa trong một thùng lớn thì đáy
cốc ngập sâu vào chất lỏng một khoảng h. Nếu cho cốc chìm hoàn toàn xuống đáy thùng (không khí
không đọng lại trong cốc) thì lực mà đáy thùng tác dụng lên cốc là bao nhiêu?
Giải:
a) Đổi đơn vị: V1 = 90km / h = 25m / s; V2 = 72km / h = 20m / s.
0,25
Máy chỉ đo độ lớn vận tốc đối với máy (tức là vận tốc chuyển động tương đối của
xe trước và xe sau đối với xe cảnh sát) nên không biết rõ các xe này chuyển động ra xa
0,25
dần hay gần lại dần xe cảnh sát. Vì vậy, mỗi trường hợp ta phải xét cả hai khả năng: ra xa
và lại gần. Gọi V0 là vận tốc xe cảnh sát đối với mặt đường.
* Xét chuyển động tương đối giữa xe cảnh sát và xe phía trước:
- Nếu 2 xe chuyển động ra xa nhau: V0 = V1 − v1 = 18m / s.
0,5
- Nếu 2 xe chuyển động lại gần nhau: V0 = V1 + v1 = 32m / s.
* Xét chuyển động tương đối giữa xe cảnh sát và xe phía sau:
- Nếu 2 xe chuyển động ra xa nhau: V0 = V2 + v2 = 32m / s.
0,5
- Nếu 2 xe chuyển động lại gần nhau: V0 = V2 − v2 = 8m / s.
Trong cả hai trường hợp thì V0 chỉ được phép nhận một giá trị. Vậy vận tốc của xe
0,5
cảnh sát chỉ có thể là V0 = 32m / s = 115,2km / h.

b) Gọi P là trọng lượng của cốc. Khi cốc nổi trên mặt chất lỏng, lực đẩy Acshimet
tác dụng lên cốc là: FA = 10 DSh , trong đó diện tích đáy cốc là: S =

V
.
H

Khi cốc nổi lực này sẽ cân bằng với trọng lượng của cốc: P = 10 DV

0,5
h
.
H

0,5

Khi cốc chìm xuống đáy bình, lực mà đáy bình tác dụng lên đáy cốc bằng hiệu của
trọng lượng của cốc và lực đẩy Acshimet: F = P − FA .
Nhưng lực đẩy Acshimet là không đáng kể (vì cốc có thành và đáy rất mỏng, phần
chất lỏng bị chiếm chỗ cũng không đáng kể). Vậy khi đó lực mà cốc tác dụng lên đáy
bình bằng trọng lượng của nó:

0,5

0,5

h
P = 10 DV .

H

Bài 8 : (2,5 điểm)
Hải, Quang và Tùng cùng khởi hành từ A lúc 8 giờ để đi đến B, với AB = 8 km. Do chỉ có một
xe đạp nên Hải chở Quang đến B với vận tốc v 1 = 16 km/h, rồi liền quay lại đón Tùng. Trong lúc đó
Tùng đi bộ dần đến B với vận tốc v2 = 4 km/h.
a, Hỏi Tùng đến B lúc mấy giờ ? Quãng đường Tùng phải đi bộ là bao nhiêu km ?
b, Để Hải đến B đúng 9 giờ, Hải bỏ Quang tại một điểm nào đó rồi lập tức quay lại chở Tùng
cùng về B, Quang tiếp tục đi bộ về B. Tìm quãng đường đi bộ của Tùng và của Quang. Quang đến B
lúc mấy giờ ?
Biết xe đạp luôn chuyển động đều với vận tốc v1, những người đi bộ luôn đi với vận tốc v2.
Giải
a, (1,5 đ)
A
C
B.
.
.
- Gọi C là điểm gặp nhau của Hải và Tùng.
s3
s1
- Trong cùng khoảng thời gian t1 : Hải đi xe đạp đoạn đường
s
s
+ s1 và Tùng đi bộ quãng đường s3.
Ta có:
s + s1 = v1.t1 ; s3 = v2.t1 ; s1 + s3 = s
⇒ s + s1 + s3 = v1.t1 + s3 ⇒ 2s = v1.t1 + v2.t1
⇒ t1 =

2s
= 0,8 (h)
v1 + v 2

- Sau đó từ C, Hải và Tùng cùng về B với vận tốc v1 trong thời gian t2 :
t2 =

s1 s - s3
8 − 4.0,8
=
=
= 0,3 (h)
v1
v1
16

- Thời gian tổng cộng của Tùng đi là : t = t1 + t2 = 0,8 + 0,3 = 1,1(h) = 1 giờ 6 phút.
- Vậy Tùng đến B lúc 9 giờ 6 phút và quãng đường Tùng đi bộ là :
s3 = v2.t1 = 4.0,8 = 3,2 (km).
--------------------------------------------------------------------------------------------------b, (1,0 đ)
A
E
.
Gọi t1 là thời gian Hải đi xe đạp chở Quang từ A đến D rồi .
s3
quay về E, cũng là thời gian Tùng đi bộ từ A đến E (AE = s3).
s
s3 = v2.t1
(1)
-Sau đó Hải và Tùng cùng đi xe đạp từ E đến B (EB = s 1)

trong khoảng thời gian t2.
Ta có : s1 = v1.t2
(2)

D
. s B.
2
s1


t1 + t2 = 9 – 8 = 1 (h)
s3 + s1 = 8 (km)

(3)
(4)

Từ (1), (2), (3) và (4), giải ra ta có: t1 =

2
(h)
3

- Quãng đường đi bộ của Tùng là : s3 = v2.t1 =

8
≈ 2,67 (km)
3

- Ta cũng có : AD + DE = v1.t1
(5)

- Từ (1) và (5) => AD + DE + AE = 2AD = v1.t1 + v2.t1 = t1(v1 + v2)
=> AD =

=

=

(km)

- Quãng đường đi bộ của Quang : DB = s2 = AB – AD = 8 - Tổng thời gian Quang đi từ A → B là : t3 =

+

=

=

+

≈ 1,33 (km)

= (h) = 45 ph

Vậy Quang đến B lúc 8 giờ 45 phút.

Bài 9 (2,5 điểm)
Trên một đoạn đường thẳng có ba người cùng bắt đầu chuyển động: một người đi xe máy với
vận tốc 30km/h, một người đi xe đạp với vận tốc 20km/h và một người chạy bộ. Ban đầu, người
chạy bộ cách người đi xe đạp một khoảng bằng một phần tư khoảng cách từ người đó đến người đi
xe máy. Giả thiết chuyển động của ba người là những chuyển động thẳng đều. Hãy xác định vận tốc

của người chạy bộ để sau đó cả 3 người cùng gặp nhau tại một điểm?
Giải
Gọi A, B, C lần lượt là tên và vị trí ban đầu của người đi xe máy, người đi xe đạp và người chạy
bộ; vận tốc của người đi xe máy, người đi xe đạp và người chạy bộ lần lượt là v 1, v2 , v3 và khoảng
cách giữa người chạy bộ và người đi xe máy là L, hướng chuyển động theo chiều mũi tên. Xét các
trường hợp:
Yêu cầu trình bày tối thiểu 04 trường hợp
* Trường hợp thứ nhất: A, B chuyển ngược chiều, hướng về nhau, C ở trong khoảng AB, chuyển
động cùng chiều A
A

C

L
5L
L+
4 = 4 = L
A và B gặp nhau sau thời gian t =
(1)
(v1 + v2 ) 50 40
L
L
C và B gặp nhau sau thời gian t = 4 =
(2)
(v1 + v3 ) 4(20 + v3 )

Từ (1) và (2)  v3= 10 km/h <0 Nghiệm bị loại

B

*Trường hợp thứ hai: A, B chuyển ngược chiều, hướng về nhau, C ở trong khoảng AB, chuyển
động cùng chiều B
A

C

L
L
=
A và C gặp nhau sau thời gian t =
(v1 + v3 ) (30 + v3 )

B

(3)

Từ (1) và (3)  v3= 10 km/h.
*Trường hợp thứ ba: A, B chuyển cùng chiều, C ở ngoài AB và gần B hơn, chuyển động cùng
chiều A, B
A
B
C
Khi gặp nhau, người chạy bộ đã đi quãng đường s= v 3.t, xe máy đi quãng đường L + v3 .t còn xe
đạp đi quãng đường

L
+ v3 .t
4

L + v3 .t L + v3 .t
=
(1/)
v1
30
L
L
+ v3 .t
+ v3 .t
4
B và C gặp nhau sau thời gian t = 4
(2/)
=
v2
20

A và C gặp nhau sau thời gian t =

Từ (1/) và (2/)  v3= 16,75 km/h (giá trị này chấp nhận vì là “chạy” không phải “đi”)
*Trường hợp thứ tư : A, B chuyển cùng chiều, C ở ngoài AB và gần B hơn, chuyển động ngược
chiều A, B
A

B

A gặp C sau thời gian t =

L
(1//); B gặp C sau thời gian t =
30 + v3

C
L
4
(2//)
20 + v3

Từ (1//), (2//)  v3= -16,7 km/h < 0 . Nghiệm bị loại
Kết luận: vận tốc người chạy bộ: Nếu:…(nhắc lại trường hợp 2) thì vận tốc là 10km/h;
Nếu:…(nhắc lại trường hợp 3) thì vận tốc là 16,7km/h
Các trường hợp khác đều vô nghiệm hoặc bị loại
Bài 10
Trên đường thẳng AB = S (km) có hai xe cùng khởi hành cùng một lúc và đi ngược chiều nhau
- Xe thứ nhất đi từ A đến B với vận tốc v km/h và mỗi lần đi được a km thì vận tốc của xe tăng thêm
5 km/h . Cho biết 3a < S < 4a
- Xe thứ hai đi từ B đến A với vận tốc ban đầu cũng v km/h và mỗi lần đi được a km thì vận tốc của
xe giảm đi một nửa so với trước . Tính
a) Vận tốc trung bình của mỗi xe trên quãng đường AB theo S , a , v
b) Khoảng cách từ A đến điểm gặp nhau của hai xe và thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến
lúc hai xe gặp nhau ?
Gợi ý
a)

*

*
a

*
a

*
a

∆S


A

B

* Vì 3a < S < 4a . Đặt ∆S = S – 3a < a
Vận tốc và thời gian chuyển động của hai xe trên từng a km như sau
Xe thứ nhất
a thứ nhất
a thứ hai
a thứ ba
Vận tốc
v1 = v
v2 =
v3 =
v4 =
Thời gian
t1 = a/v
t2 =
t3 =
t4 =
Xe thứ hai
a thứ nhất
Vận tốc

v1 = v
Thời gian
t1’ = a/v
Vận tốc của xe thứ nhất
v1tb =

Vận tốc của xe thứ hai
v1tb =

a thứ hai
v2 =
t2’ =

a thứ ba
v3 =
t3’ =

∆S

Ghi chú

∆S

Ghi chú

v4 =
t4’ =

S
S

S
=
=
a
a
a
S − 3a
t t1 + t2 + t3 + t4
+
+
+
v v + 5 v + 10 v + 15
S
S
Sv
= ,
=
,
,
,
,
t t 1 + t 2 + t 3 + t 4 8S − 17a

b) Sau khoảng thời gian t 1 = t’1 = a/v mỗi xe đều đi được a km 2 xe cách nhau 1 đoạn MN
MN = S – 2a = 3a + ∆S -2a = a +∆S < 2a
* Gỉa sử hai xe gặp nhau tại I MI +NI = MN < 2a

M
*
∆S

K
*

a
*

N
∆s *
*

* Vì sau khi đi hết a km đầu tiên vận tốc xe thứ nhất là v2 = v+5 vận tốc xe thứ hai là v’2 =
⇒ v 2 > v ’2
⇒ MI > NI ⇒ 2NI < MI +NI < 2a ⇒ NI < a

Xe thứ hai đi từ N đến điểm gặp nhau với vận tốc là

v
2

* Trên đoạn MN lấy điểm K sao cho MK = a , NK = ∆S
a
v+5
2∆S
- Thời gian xe thứ hai đi từ N đến K là ∆t2 =
v

- Thời gian xe thứ nhất đi từ M đến K là ∆t1 =

- Có ba khả năng xảy ra

1)
2)
3)

a
2∆S
av
=
⇒ ∆S =
Hai xe gặp nhau tại K
v+5
v
2 ( v + 5)
a
2∆S
av
∆t1 > ∆t2 ⇔
>
⇒ ∆S <
Hai xe gặp nhau tại I thuộc MK
v+5
v
2 ( v + 5)
a
2 ∆S
av
∆t1 < ∆t2 ⇔
<
⇒ ∆S >
Hai xe gặp nhau tại I thuộc NK

v+5
v
2 ( v + 5)
∆t1 = ∆t2 ⇔

* Trường hợp 1: hai xe gặp nhau tại K cách A một đoạn AK = 2a

v
2


Thời gian từ lúc khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là
T1 = t1 + ∆t1
* Trường hợp 2 : Hai xe gặp nhau tại I thuộc MK
Gọi ∆t’1 là khoảng thời gian kể từ lúc xe thứ nhất khởi hành từ M đến điểm gặp nhau I ( xe thứ
hai từ N đến I ) ∆t’1 =

2( S − 2a)
3v + 10

Thời gian từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau T2 = t1 + ∆t’1
Điểm gặp nhau cách A : AI = AM + MI = a +

2( S − 2a)
.( v + 5)
3v + 10

* Trường hợp 3 Hai xe gặp nhau tại I thuộc NK
Xe thứ nhất đi đến K mất thời gian t2 =

a
v+5

Xe thứ hai đã đi được quãng đường NE : NE = v’2t2 =
Hai xe cách nhau một đoạn KE
KE = NK – NE = ∆S -

v a
.
2 v+5

2∆S (v + 5) − av
v a
.
=
2(v + 5)
2 v+5

Gọi ∆t’2 là khoảng thời gian từ lúc xe thứ nhất đi từ K đến lúc gặp xe thứ hai
∆t’2 =

2∆S (v + 5) − av
(v + 5)(3v + 20)

Thời gian từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau T3 = t1 + t2 + ∆t’2
Điểm gặp nhau cách A : AI = AK + KI = 2a +

[2∆S (v + 5) − av](v + 10)
(v + 5)(3v + 20)

Bài 11
Một người đi bộ khởi hành từ C đi đến B với vận tốc v1 = 5km/h . Sau khi đi được 2h người ấy ngồi
nghỉ 30ph rồi tiếp tục đi về B . Một người khác đi xe đạp từ A ( AB > CB và C nằm giữa AB ) Cùng
đi về B với vận tốc v2 = 15km/h , nhưng khởi hành sau người đi bộ 1h
a) Tính quãng đường AC và AB biết cả hai người đến Bcùng một lúc và khi người đi bộ bắt đầu
ngồi nghỉ thì người đi xe đạp đã đi được ¾ quãng đường AB
b) Để gặp người đi bộ tại chổ nghỉ người đi xe đạp phải đi với vận tốc bao nhiêu ?
Gợi ý
A
C
B

*

*

*

- Tính quãng đường CE người đi bộ đi trong 2h ( SCE = 10km )
- Tính thời gian người đi bộ đi đi hết quãng đường EB Còn lại theo SBC
- Tính tổng thời gian người đi bộ đi từ C đến B theo SBC
( t1 )
- Tính thời gian người đi xe đạp đi từ A đến B theo SAB
(t2 )
- Thiết lập phương trình theo thời gian
t2 +1 = t1 suy ra SAB – 3SBC = -7.5 (1)
- Khi người đi bộ bắt đầu nghỉ người đi xe đạp đi được 1h với quãng đường S2 = 15km , Theo đề
S2 = ¾ SAB
Suy ra SAB = 33.75km

b) Vị trí người đi bộ nghỉ cách A là SAE = SAC + SCE = 30km
Để người đi xe đạp gặp người đi bộ lúc đang nghỉ thì thừi gian người đi xe đạp đi hết quãng đường
AE trong khoảng thời gian 1h ≤ T ≤ 1.5h
Vận tốc của người đi xe đạp lúc đó

S AE S AE S AE
≥
≥
⇔ 20km / h ≤ v ≤ 30km / h
1
T
1.5

Bài 12
Điểm A cách điểm B 360km . Lúc 8h sáng có ba xe cùng xuất phát từ A và B . Xe máy đi từ A về B
với vận tốc 35km/h . Hai xe ôtô từ B về A một xe có vận tốc 61km/h và một xe có vận tốc 73km/h .
Hỏi đến lúc nào khoảng cách giữa ba xe bằng nhau ?
Gợi ý
Gọi t là khoảng thời gian từ lúc khởi hành đến lúc 3 xe cách đều nhau . Xét các trường hợp có thể
xảy ra
* Trường hợp 1

*

*

A

xmay

*

*

ôtô1

*

ôtô2

B

Ta có Sôtô1 - Sôtô2 = SAB - Sôtô1 - Sxmay
Suy ra t =

30
h
7

* Trường hợp 2
*

*
A

*
xmay

*

*
ôtô2

ôtô1

B

ôtô1

B

Sôtô2 - Sôtô1 = SAB - Sôtô2 - Sxmay
Suy ra t = 3h
* Trường hợp 3
*

*
A

*
ôtô2

*
*
xmay

SAB - (Sôtô1 + Sxmay ) = Sxmay - ( SAB - Sôtô2 )
Suy ra t = 3

9
h
17

Bài 13
Hai người chuyển động cùng chiều với nhau với vận tốc v1 = 40km/h ,v2 = 30km/h .Tại thơi điểm
hai người cách nhau một khoảng L người thứ ba chuyển động ngược chiều cách người thứ nhất
18km lần lượt gặp người thứ nhất và người thứ hai . Khi vừa gặp người thứ hai người thứ ba lập tức
quay lại đuổi theo người thứ nhất với vận tốc như cũ là 50km/h . Kể từ lúc gặp người thứ nhất và
quay lại đuổi kịp người thứ nhất mất 54ph
a) Tính khoảng cách L
b) Khi gặp lại người thứ nhất họ cách người thứ hai bao xa
Gợi ý

*
A

*
A1

*
A2

*
B

*
B1

*

B2

*
C


- Gỉa sử lúc người thứ ba bắt đầu chuyển động , người thứ nhất và người thứ hai cách nhau một
khoảng
L=AB
- Gọi t1 là khoảng thời gian kể từ lúc người thừ ba bắt đầu đến khi gặp người thứ nhất
t1 = 0,2h
- Trong khoảng thời gian này người thứ hai đi được quãng đường AA1 = 6km
- Người thứ nhất đi được đoạn đường BB1 = 8km
- Khoảng cách hai người lúc này là L’ = L + BB1 – AA1 = L + 2
- Người thứ ba đi từ B1 đến gặp người thứ hai tại A2 rồi quay lại gặp người thứ nhất tại B2 mất thời
gian
54ph = 0,9h ,quãng đường người thứ ba đi trong khoảng thời gian này là 45km
- Quãng đường người thứ nhất đi trong khoảng thời gian này B1B2 = 36km
- Ta có
2 A2B1 + B1B2 =45km Suy ra A2B1 = 4,5km
- Thời gian người thứ ba đi quãng đường A2B1 là t2 = 4,5/50 = 0,09h
- Quãng đường người thứ hai đi trong 0,09h từ A1 đến A2 : A1A2 = 0,09.30 = 2,7km
Ta có L’= A1A2 + A2B1 = 2,7 +4,5 = 7,2 km
Do đó L = 7,2 – 2 = 5,2 km
b) Quãng đường người thứ ba đi kể từ khi gặp người thứ hai và quay lại gặp người thứ nhất
A2B2 = A2B1 + B1B2 = 4,5km + 36km = 40,5km
Thời gian người thứ ba đi hết quãng đường trên
t3 =

A2 B2 40,5

=
= 0,81h
v3
50

- Tính quãng đường người thứ hai đi trong khoảng thời gian t3 ta sẽ biết lúc đó người thứ hai cách
thứ nhất
là 16,2km
Bài 14
Một người có thể đi từ A đến B theo các cách sau ,
1) Đi tàu điện trên đường có một trạm nghỉ tại C , chuyến tàu nào cũng nghỉ tại đây 30ph .
2) Đi bộ khởi hành cùng lúc với tàu khi tàu đến B người ấy còn cách B 1km
3) Đi bộ cùng lúc với tàu . Khi tàu đến trạm nghỉ người ấy mới đi được 4km . Nhưng vì tàu nghỉ
được ½ h người ấy đến trạm nghỉ vừa kịp lúc tàu chuyển bánh và lên tàu đi tiếp về B
4) Đi tàu từ A , khi tàu đến trạm nghỉ thì người ấy thì người ấy xuống đi bộ luôn về B và do đó đến B
trước tàu 15ph .
Hãy xác định
* Đoạn đường AB
* Vị trí trạm nghỉ tại C
* Vận tốc của tàu và của người
* Thời gian đi theo mỗi cách , cách nào đi tốn ít thời gian hơn
Gợi ý

*
A

*
C

*

B


Gọi x , y là độ dài quãng đường AC , CB
v1 là vận tốc của tàu
v2 là vận tốc của người
- Từ điều kiện 1) và 2) ta có

- Từ 3 ta có

- Từ 4 ta có

x + y 1 x + y −1
+ =
v1
2
v2

x 4
=
v1 v2

(1)

(2)

x−4 1
=
v2
2

y 1 y 1
+ = +
v1 2 v2 4

(3)

Giải hệ (1) (2) (3) ta được x=6 , y=3 , v1= 6km/h , v2 = 4km/h
Bài 15
Ba người khởi hành cùng lúc từ A lúc 8h để đi đến B ( AB = 8km ) . Do chỉ có một xe đạp nên
người thứ nhất chở người thứ hai đến B với vận tốc v1= 16km/h rồi quay lại đón người thứ ba .
Trong lúc đó người thứ ba đi bộ đến B với vận tốc v2 = 4km/h
a) Người thứ ba đến Blúc mấy giờ ? Quãng đường phải đi bộ là bao nhiêu km ?
b) Để đến B chậm nhất lúc 9h . Người thứ nhất bỏ người thứ hai tại điểm nào đó rồi quay lại
đón người thứ ba . Tìm quãng đường đi bộ của người thứ ba và người thứ hai ( Vận tốc đi bộ của
người thứ ba vẫn bằng vận tốc đi bộ của người thứ hai ) . Người thứ hai đến B lúc mấy giờ ?
Gợi ý

*
A

*
C

*
D

*
B

a) Tính thời gian người thứ nhất chở ng]ời thứ hai đi từ A đến B (t1 ) . Trong khoảng thời gian

này người thứ ba đi bộ từ A đến C
Người thứ hai quay lại đón người thứ ba khi đó hai người cách nhau BC = AB – AC
Gọi t2 là khoảng thời gian kể từ lúc người thứ nhất quay lại từ B đến gặp người thứ ba . Tính t 2
Trong kjoảng thời gian t2 người thứ ba đi bộ từ C đến D . Tính CD . Người thứ nhất và thứ ba cách B
đoạnDB
Tính thời gian t3 người thứ nhất chở người thứ ba từ D đi về B
Thời gian người thứ ba đi T = t1 + t2 + t3 người tứ ba đến B lúc 9h 6ph
Quãng đường đi bộ của người thứ ba AD = AC + CD
b) Gọi E là điểm mà người thứ nhất bỏ người thứ hai để quay lại đón người thứ ba . Đặt EB = S ’
Tính thời gian t1’ để người thứ nhất chở người thứ hai từ A đến E theo S’
8− S' 8 − S'
t =
=
v1
16
'
1

*
A

* *
H F

*
E

*
B

Trong khoảng thời gian này người thứ ba đi từ A đến H
AH = v2t1’ =

8 − S'
4

Khi người thứ nhất quay lại cách người thứ ba một đoạn
HE = AB – ( AH + EB ) =

24 − 3S '
4

Gọi t’ là thời gian kể từ lúc người thứ nhất xuất phát từ E quay lại gặp người thứ ba
v1t’ + v2t’ = HE Suy ra t’ =

24 − 3S '
80

quãng đường người thứ ba đi trong thời gian t’
HF = v2.t’ =

24 − 3S '
20

Quãng đường người thứ nhất chở ngươì thứ ba
FB = FE + EB = HE – HF + EB =

24 + 2 S '
5

Thời gian người thứ ba đi từ F đến B là t’’ =

FB
v1

Để đến nơi lúc 9h ta có
T = t1’ + t’ + t’’ = 1 Suy ra S’ = 1,33km
Quãng đường đi bộ của người thứ ba
AF = AH + HF = 8/3 km
Bài 16
Người thứ nhất khởi hành từ A đi về B với vận tốc 8km/h . Cùng lúc đó người thứ hai và người thứ
ba cùng khởi hành từ B về A với vận tốc lần lượt là 4km/h và 15km/h . Khi người thứ ba gặp người
thứ nhất thì lập tức quay lại chuyển động về phía người thứ hai . Khi gặp người thứ hai cũng lập tức
quay lại chuyển động về phía người thứ nhất và quá trình diễn ra cho tới khi ba người cũng ở một
nơi Hỏi từ lúc khởi hành cho đến khi ba người cũng ở một nơi thì người thứ ba đã đi được quãng
đường bao nhiêu km ? Biết quãng đường AB dài 18km
Gợi ý
- Xác định thời gian để người thứ nhất và người thứ hai gặp nhau
- Khoảng thời gian này cũng là khoảng thời gian chuyển động của người thứ ba từ đó ta có thể tính
quãng đường người thứ ba đi được
Bài 17
Hằng ngày bố Tâm đạp xe từ nhà đến trường đón Tâm , bao giờ ông cũng đến trường đúng lúc Tâm
ra tới cổng trường . Một hôm Tâm tan học sớm hơn thường lệ 45ph , em đi bộ về luôn nên giữa
đường gặp bố . Bố quay lại chở Tâm về nhà nên sớm hơn thường lệ 30ph .Hỏi
a) Tâm đã đi bộ bao lâu ?
b) So sánh vận tốc của xe đạp với vận tốc đi bộ của Tâm
Gợi ý

Gỉa sử bố và Tâm gặp nhau tại A . Bố và Tâm về nhà sớm là do không phải đi hai lần quãng đường
từ A đến trường . Do đó ta có thể tính được thời gian Bố Tâm đi từ A đến Trường là t 1 và thời gian
Tâm đi từ trường đến A t2 = 45ph – t1
So sánh thời gian đi của Bố và Tâm trên cùng quãng đường từ trường đến A ta so sánh được vận tốc
của Tâm và của Bố

*
Tr

*
A

*
Nhà

Bài 18
Trên đường thẳng có hai xe A và B chuyển động cùng chiều với vận tốc v1 , v2 . Tính vận tốc v3 của
xe C để
a) Xe C luôn ở chính giữa hai xe A và B
b) Khoảng cách từ xe C đến xe A bằng hai lần khoảng cách từ xe C đến xe B

*
A

*
A’

l

*

C

*
B

*
C’

*
B’

l’
S1

S2

Gỉa sử lúc đầu hai xe cách nhau 1 khoảng AB = l và xe C ở chính giữa xe A và xe B
Sau thời gian t xe A đi được quãng đường S1= AA’ = v1. t
Sau thời gian t xe B đi được quãng đường S2= BB’ = v2. t
Sau thời gian t xe C đi được quãng đường S3= CC’ = v3. t
a) Để xe thứ ba luôn ở chính giữa 2 xe A và B
Ta có A’C’ = B’C’ = A’B’/2 = l’/2
Với l’ = l + S2 – S1
l ' l + S 2 − S1
=
(1)
2
2
l' l
Và = + S3 − S1 (2)

2 2
S +S
v t + v2t
v +v
⇔ v3 = 1 2
Từ (1) và (2) S3 = 1 2 ⇔ v3t = 1
2
2
2
⇒

b) Tương tự ta có
l’ = l + S2 – S1
'

2l
2l
+ S1 − S3 =
3
3

Từ (3) và (4) ta suy ra

(3)
(4)
S3 =

2 S 2 + S1
2v t + v1t
2v + v

⇔ v3t = 2
⇒ v3 = 2 1
3
3
3

Bài 19
Hằng ngày ôtô thứ nhất xuất phát từ A lúc 6h đi về B . Ôtô thứ hai xuất phát từ B đi về A lúc 7h và
hai xe gặp nhau lúc 9h . Một hôm ôtô tứ nhất xuất phát từ A lúc 8h , còn ôtô thứ hai vẫn khởi hành


lúc 7h , nên hai xe gặp nhau lúc 9h48ph. Hỏi hằng ngày ôtô thứ nhất đến B và ôtô thứ hai đến A lúc
mấy giờ? Biết vận tốc của mỗi xe không đổi ?
Gợi ý
Gọi v1 , v2 là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai
- Xe thứ nhất khởi hành lúc 6h , xe thứ hai khởi hànhg lúc 7h . Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến
điểm gặp nhau mất t1 = 3h , thời gian xe thứ hai đi từ B đến điểm gặp nhau t2 = 2h
- Viết công thức tính quãng đường đi của hai xe từ điểm xuất phát đến điểm gặp nhau là S 1 , S2
- Ta có S1 + S2 = SAB ⇔ 3 v1 + 2v2 = SAB (1)
- Tương tự cho trường hợp xe thứ nhất xuất phát lúc 8h xe thứ hai xuất phát lúc 7h
1,8v1 + 2,8v2 = SAB (2)
- Từ (1) và (2) ta suy ra 3v1 = 2v2
- Quãng đường AB SAB = 3v1 + 2v2 = 6v1 = 4v2
- Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B
tA =

S 6v1
=
= 6h
v1 v1

- Thời gian xe thứ hai đi từ B đến A
tB =

S 4v2
=
= 4h
v2
v2

Xe thứ nhất đến B lúc 12h
Xe thứ hai đến A lúc 11h
Bài 20( 1,5 điểm )
Ba người đi xe đạp xuất phát từ A đến B trên một đường thẳng AB, người thứ nhất đi với vận tốc
10km/h, người thứ hai đi sau người thứ nhất 15 phút với vận tốc 12 km/h, còn người thứ ba đi sau
người thứ hai 15 phút, sau khi gặp người thứ nhất đi tiếp 5 phút nữa thì cách đều người thứ nhất và
người thứ hai. Tính vận tốc của người thứ ba, coi chuyển động của cả ba người trên là chuyển động
thẳng đều.
Giải
- Người thứ ba xuất phát thì người thứ nhất cách A là 5km, người thứ hai cách A là 3km.
- Gọi t là thời gian kể từ lúc người thứ ba xuất phát đến khi gặp người thứ nhất, ta có:
v3.t = 5 + v1t ⇒ t =

5
5
=
(1)
v3 − 10
v3 − v1

- Sau khi gặp người thứ nhất 5 phút, thời điểm người thứ ba cách đều hai người còn lại kể từ lúc
người thứ ba bắt đầu xuất phát là t’ = t +

1
(h). Khi đó :
12

- Quãng đường người thứ nhất đi được:s1 = 5 + v1.t’ = 5 + 10(t+
- Quãng đường người thứ hai đi được: s2 = 3 + v2.t’= 3+12(t+
- Quãng đường người thứ ba đi được: s3 = v3.t’ = v3(t+

1
5
)=5+10t+ (km)
12
6

1
) = 4+12t (km)
12

1
) (km)
12

- Khi người thứ ba cách đều người thứ nhất và người thứ hai, nghĩa là s3-s1=s2-s3
⇒ s1+s2=2s3


59 − v3

1
)⇔ (22-2v3)t+
= 0 (2)
12
6
5
59 − v3
Thay (1) vào (2) ta có: (22-2v3)
+
=0
v3 − 10
6
5
6

⇔ 5+10t+ +4+12t=2v3(t+

⇔ 660 - 60v3 - 590 + 69v3 - v32= 0 ⇔ -v32+9v3+70 = 0
Giải phương trình bậc 2 trên, ta được:
v3 = 14km/h (nhận)
v3 = -5km/h (loại)

Bài 21. Hai anh Bính và Thân đi xe máy cùng xuất phát từ A để đến B. Anh Bính chuyển động
với vận tốc không đổi v1 = 50 km/h trên nửa đoạn đường đầu và với vận tốc không đổi v2 =
30 km/h trên nửa đoạn đường còn lại. Anh Thân chuyển động với vận tốc không đổi v 1 = 50 km/h
trong nửa thời gian đầu và với vận tốc không đổi v2 = 30 km/h trong nửa thời gian còn lại.
a) Hỏi trong hai anh ai là người đến B trước? Vì sao?
b) Cho biết thời gian chuyển động từ A đến B của hai anh chênh nhau 6 phút. Tính chiều dài
quãng đường AB và thời gian chuyển động của mỗi anh.
c) Vẽ đồ thị biểu diễn chuyển động hai anh ứng với câu b, (trục hoành biểu diễn thời gian, trục

tung biểu diễn quãng đường).
Giải.
a. Thời gian anh Bính đi hết quãng đường AB là : t1=

AB
AB 2. AB
+
=
(h)
2.50 2.30
75

t
2

Thời gian anh Thân đi hết quãng đường AB là : AB = 50. 2 + 30.
Mà

t2
2

=> t2=

AB
(h)
40

2 AB AB
>
=> t1> t2 Do đó anh Thân đến B trước.

75
40

b. Từ câu a) ta có :
t1 =

2 AB
75

; t2=

AB
40

Theo đề bài do thời gian đi từ A đến B của hai anh chênh nhau 6 phút = 1 (h) nên ta có phương
10

trình :
2 AB AB 1
−
=
75
40 10

AB 1
=
=> 600 10 => AB = 60 (km)

Vậy thời gian để đi hết quãng đường AB của anh Bính là:
t1 =

2 AB
2.60
=
= 1,6 (giờ)
75
75

Thời gian đi hết quãng đường AB của anh Thân là:


t2=

AB 60
= = 1,5 (giờ)
40 40

c) Theo câu b) thì AB = 60 km, thời gian để đi hết quãng đường AB của anh Bính là 1,6 (giờ) của
anh Thân là 1,5 (giờ).
30
= 0, 6
+ Quãng đường anh Bính đi với vận tốc 50 km/h là 30km trong thời gian là 50
(h) và với vận

tốc 30 km/h trên quãng đường 30km còn lại thì đến B trong khoảng thời gian 1 (h)
Quãng đường anh Thân đi với vận tốc 50 km/h là 50.0,75= 37,5 km, quãng đường đi với vận tốc 30
km/h là 60 - 37,5=22,5 km.
+ Từ đó ta có bảng thời điểm và vị trí của hai anh như sau:
t (h)
0

0,6
0,75
1,5
SBính (km)
0
30
SThân (km)
0
30
37,5
60
(hoặc có thể thay bảng bằng phương trình chuyển động)

+ Đồ thị chuyển động hai anh như sau:

S(km)
60

37,5
30

0

0,6 0,75 1,0

1,5 1,6

t(h)

1,6

60


Bài 1 (4,0 điểm)
Có hai xe khởi hành tại A. Xe thứ nhất khởi hành lúc 8 giờ sáng đi theo hướng AB (đường
kính của vòng tròn) với vận tốc không đổi v 1 = 10 km/h; xe thứ hai chuyển động trên đường tròn
trong thời gian đầu với vận tốc không đổi v. Khi tới B xe thứ hai nghỉ 5 phút vẫn chưa thấy xe thứ
nhất tới, nó tiếp tục chuyển động với vận tốc bằng 3v. Lần này tới B xe thứ hai nghỉ 10 phút vẫn
chưa gặp xe thứ nhất. Xe thứ hai tiếp tục chuyển động với vận tốc bằng 4v thì sau đó hai xe gặp
nhau tại B (Hình 1).
a) Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?

A

b) Tính vận tốc của xe thứ hai?
Biết rằng xe thứ 2 khởi hành lúc 9 giờ sáng. Vòng tròn có bán kính R = 50 km.

B
Hình 1

Giải:
a) Chọn mốc thời gian là lúc 9 giờ sáng.
Lúc đó:
- Xe 1 đã đi được 1h và đến C (trên đ.kính AB). AC = 10 km/h.1h = 10 km.
- Xe 2 bắt đầu khởi hành tại A.
Như vậy, ta có thể coi cùng lúc 9 giờ hai xe cùng khởi hành: Xe 1 tại C, xe 2 tại A. Khi hai xe gặp
nhau tại B thì thời gian chuyển động của hai xe là như nhau.
- Gọi T1 là thời gian chuyển động của xe 1 từ C đến B:
T1 =

CB AB − 10 2 R − 10 2.50 − 10
=
=
=
= 9(h) (1)
v1
v1
v1
10

Khi xe 1 đến B thì xe 2 cũng vừa tới đó, vậy hai xe gặp nhau lúc 9 + 9 = 18 giờ, tức là 6 giờ chiều.
b)
- Gọi t2 là thời gian xe 2 chuyển động lần đầu trên ½ đường tròn với vận tốc v:
t2 =

πR
v

- Gọi t’2 là thời gian xe 2 chuyển động trọn 1 vòng tròn từ B với vận tốc 3v:
t’2 =

2π R
3v

- Gọi t’’2 là thời gian xe 2 chuyển động tiếp 1 vòng tròn từ B với vận tốc 4v:


t’’2 =

2π R

4v

- Thời gian xe 2 nghỉ tại B là: t3 = 5ph + 10 ph = 15 ph =

1
h
4

- Thời gian kể từ lúc xe 2 khởi hành cho tới lúc gặp xe 1 là:
T2 = t2 + t’2 + t’’2 + t3 =
=

π R 2π R 2π R 1
+
+
+
v
3v
4v 4

πR
2 1 1 π R 13 1
(1 + + ) + =
. + (2)
v
3 2 4 v 6 4

- Khi 2 xe gặp nhau thì T1 = T2
=> 9 =
=>

π R 13 1
1 π R 13
. + => 9- =
.
v 6 4
4
v 6

35 π R 13
=
.
v 6
4

=> Vận tốc v =

13.4.π R 13.4.3,14.50
=
≈ 39km / h
35.6
35.6

- Vậy ta có:
+ Vận tốc lúc đầu của xe 2 là v ≈ 39km/h.
+ Vận tốc lần hai của xe 2 là 3v ≈ 117 km/h
+ Vận tốc lần ba của xe 2 là 4v ≈ 156 km/h