Đề thi học sinh giỏi huyện khoái châu môn toán 9 năm học 2018 2019 có đáp án

Hướng dẫn


Câu 1. ĐKXĐ: x  0; x  1
a) Rút gọn P được: P 
b) P  x  3  10 x 

x  16
x 3

(x  16)( x  3)
 10 x
x 3

 x  16  10 x  x  10 x  25  9  0 





2

x 5 9  0

 x 8
 x  16(t.m)
x 53  0  

 x  4(t.m)
 x  2
x  16 x  9  25

25
25
c) P 

 x 3
 x 3
6
x 3
x 3
x 3
x 3



=>

x 53





Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số không âm ta có
25
2
x 3

x 3





x 3 .

25
 10  P  4
x 3

Dấu = khi x= 4 (t/m)
Vậy MinA = 4 khi x = 4
Câu 2.
62 5
62 5

 2 => x =
2
2
2
 x  1  2   x  1  2  x 2  2x  1  0

2 1.

a) 3  5  3  5 

Ta có P  2x 3  4x 2  2x  x 2  2x  1  1  2x  x 2  2x  1   x 2  2x  1  1
=> P = 1
b) ta có tổng quát với n là số tự nhiên khác 0
ta có

 2k  1 

1
n  n 1





1 1 1 
  
;
2 1
2 5
3 1 2

=>





1

1

3 1 2





 5

1
2 3



 7

n 1  n
n 1  n
n 1  n 1  1
1 


 


2
2
2n  1
2 n
n 1 
4n  4n  1
4n  4n

1 1
1 

 

;
2 2
3 7
2 3
1


1

3 4





 ... 
4037





1 1
1 
 

 : …:
2 3

4
3 4
1

1
2018  2019





1
1
1
1
1
1
1
1  1
1
1
 1 




 ... 

 



2
2
2
3
3
4
2018
2019  2 2 2019 2

Bài 3. b) ta có điểm cắt trục tung có tọa độ là A(0; - 1) => OA = 1
Điểm cắt trục hoành B có tọa độ là B 

1
1

;0  =>OB =
2m  3
 2m  3 
1
1
1
1
3
6
 6
Tam giác OAB vuông tại O => SAOB= .1.
2 2m  3
2m  3
2m  3

=> tính được giá trị của m


Bài 4.
b) ĐKXĐ: x  3
pt tương đương:



 

x 2  11x  24  1 

x 8  x 3



 x 2  11x  24  1  2 x 2  11x  24  x  8  x  3  2 x 2  11x  24
 x 2  9x  14  0   x  2  x  7   0  x  2 (t.m) hoặc x = - 7 (không t.m)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 2
Bài 5. Cho (O;R), hai đường kính AH và DE. Qua H kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AD và
AE kéo dài tại B và C. Gọi M, N là trung điểm của BH và HC.
a) Chứng minh: DM, EN là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh: Trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
c) Hai đường kính AH và DE của (O) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam
giác AMN nhỏ nhất.

a) Chứng minh: DM, EN là tiếp tuyến của (O)
ta có tam giác ADH nội tiếp (O) có AH là đường kính => tam giác ADH vuông tại D
=> tam giác BDH vuông tại D => DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền =>
DM = MH => tam giác DOM = tam giác HOM (c.c.c) => góc ODM = góc OHM =
900 => DM là tiếp tuyến (O)
chứng minh tương tự ta có EN là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh: Trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
ta có tam giác ADE nội tiếp (O), có DE là đường kính => tam giác ADE vuông tại E
=> góc DAE = 900 => tam giác HAB đồng dạng với tam giác HCA (g.g)
=> HA/HC = AB/AC; mà AH = 2AO; HC = 2CN => AB/AC = AO/CN => tam giác
AOB đồng dạng với tam giác CAN (c.g.c) => góc ABO = góc CAN
Mà góc CAN + góc BAN = 900 => góc ABO + góc BAN = 900 => BO vuông góc với
AN. Lại có I là trực tâm tam giác AMN => MI vuông góc với AN => BO //MI
Do M là trung điểm của BH => I là trung điểm của OI
c) Hai đường kính AH và DE của (O) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích
tam giác AMN nhỏ nhất.
1
2

Ta có SAMN  MN.AH
Do AH = 2R không đổi nên SAMN nhỏ nhất  MN nhỏ nhất
Mà MN = MH + HN =

1
1
1
BH  CH  BC
2
2
2

=> MN nhỏ nhất  BC nhỏ nhất
Lại có BC = BH + HC  2 BH.HC  2 AH 2  2AH = 4R (do AH2 = BH.HC)
Dấu = xảy ra BH = HC  tam giác ABC vuông cân tại A  AH là phân giác của
góc BAC => tam giác ADE vuông cân tại A  AO vuông góc với DE hay AH
vuông góc với AD
Vậy AH vuông góc với DE thì diện tích tam giác AMN nhỏ nhất
Bài 6.
2

9
9
3
9
Ta có S   x 2  3x     2x    13   x     2x    13
4 
2x 
2 
2x 



Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số không âm ta có
9
9
2x 
 2 2x.
6;
2x
2x

2

3

x    0
2


Do đó S  6  13  19 . Dấu = xảy ra khi x =
Vậy MinS = 19 khi x =

3
(t.m)
2

3
2

------------Hết-------------