Nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng quang kích thích của sóng điện từ cao tần trong hệ bán dẫn một chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Hoàng Văn Ngọc

NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG QUANG
KÍCH THÍCH CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ CAO TẦN
TRONG HỆ BÁN DẪN MỘT CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà Nội – 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Hoàng Văn Ngọc

NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG QUANG
KÍCH THÍCH CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ CAO TẦN
TRONG HỆ BÁN DẪN MỘT CHIỀU

Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số : 62.44.01.03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS.TS. Nguyễn Vũ Nhân
2. TS. Đinh Quốc Vương

Hà Nội - 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết
quả nghiên cứu được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được
công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Hà Nội, tháng 08 năm 2018
Tác giả luận án

Hoàng Văn Ngọc


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Vũ
Nhân, TS Đinh Quốc Vương và GS.TS Nguyễn Quang Báu những người
thầy đã hết lòng giúp đỡ, chỉ bảo tận tình tôi trong quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Bộ
môn Vật lý lý thuyết, trong khoa Vật lý và Phòng Sau đại học, trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô,
đồng nghiệp tại khoa Khoa học cơ bản – Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ
thuật – Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi rất nhiều.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ
Quốc gia (NAFOSTED, Mã số 103.01-2015.22) và Trường Cao đẳng Kinh

tế - Kỹ thuật đã tài trợ cho tôi trong việc nghiên cứu và báo cáo các kết quả
tại các Hội nghị khoa học trong nước và quốc tế làm cơ sở để hoàn thành
luận án này.
Xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân, bạn bè và đồng
nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.

Tác giả luận án


MỤC LỤC
Mục lục ................................................................................................. 1
Danh mục các bảng ............................................................................... 3
Danh mục các hình vẽ và đồ thị............................................................. 4
Mở đầu................................................................................................. 8
Chương 1 Tổng quan về hiệu ứng quang kích thích ........................ 13
1.1 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích............................ 13
1.1.1 Phương trình động lượng tử cho electron ............................. 14
1.1.2 Biểu thức giải tích mật độ dòng điện.................................... 16
1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử ......... 20
Chương 2 Hiệu ứng quang kích thích trong dây lượng tử hình chữ
nhật với hố thế cao vô hạn ........................................................................... 26
2.1 Phương trình động lượng tử............................................................ 26
2.2 Mật độ dòng điện không đổi........................................................... 29
2.2.1 Trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm ............................... 33
2.2.2 Trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang .......................... 35
2.2.3 Kết quả tính toán và thảo luận.............................................. 37
2.3 Kết luận chương 2 .......................................................................... 46
Chương 3 Hiệu ứng quan kích thích trong dây lượng tử hình trụ
với hố thế cao vô hạn.................................................................................... 48
3.1 Phương trình động lượng tử............................................................ 48

3.2 Mật độ dòng điện không đổi........................................................... 50

1


3.2.1 Trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm ............................... 51
3.2.2 Trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang .......................... 53
3.2.3 Kết quả tính toán số và thảo luận ......................................... 55
3.3 Kết luận chương 3 .......................................................................... 62
Chương 4 Hiệu ứng quang kích thích trong dây lượng tử hình trụ
với hố thề parabol......................................................................................... 63
4.1 Phương trình động lượng tử............................................................ 63
4.2 Mật độ dòng điện không đổi........................................................... 65
4.2.1 Trượng hợp tán xạ điện tử - phonon âm ............................... 66
4.2.2 Trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang .......................... 68
4.2.3 Kết quả tính toán số và thảo luận ......................................... 70
4.3 Kết luận chương 4 .......................................................................... 77
Kết luận............................................................................................... 79
Các công trình liên quan đến luận án đã công bố.................................. 81
Tài liệu tham khảo................................................................................ 82

2


DANH MỤC CÁC BẢNG
Stt

1

2

3

Bảng

Dây

Bảng

Các tham số của dây lượng tử hình chữ nhật với

2.1

hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl.

Bảng

Các tham số của dây lượng tử hình trụ với hố

3.1

thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl.

Bảng

Các tham số của dây lượng tử hình trụ với hố

4.1

thế parabol GaAs/GaAsAl.

3

Trang

38

56

70


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Stt
1

Hình

Nội dung

Trang

Hình 1.1

Mô hình sự xuất hiện của hiệu ứng quang kích thích

13

khi có mặt sóng điện từ phân cực phẳng

2

Hình 1.2

Mô hình cấu trúc các hệ bán dẫn: (3D) Bán dẫn khối;

20

(2D) Hệ hai chiều; (1D) hệ một chiều; (0D) Hệ không
chiều
3

Hình 2.1

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào tần

39

số của trường laser với các giá trị khác nhau của
nhiệt độ cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm
4

Hình 2.2

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào tần

40

số của trường sóng điện từ với các giá trị khác nhau
của nhiệt độ cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon

âm
5

Hình 2.3

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào

41

kích thước của dây cho trường hợp tán xạ điện tử phonon âm.
6

Hình 2.4

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào

42

biên độ của trường lực laser cho trường hợp tán xạ
điện tử - phonon âm.
7

Hình 2.5

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào tần

4

43

số của trường laser cho trường hợp tán xạ điện tử phonon quang ứng với các giá trị khác nhau của tần
số sóng điện từ
8

Hình 2.6

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào tần

44

số của trường sóng điện từ cho trường hợp tán xạ điện
tử - phonon quang với các giá trị khác nhau của nhiệt
độ.
9

Hình 2.7

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào

45

kích thước của dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế
cao vô hạn cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon
quang.
10

Hình 2.8

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào

46

nhiệt độ của hệ trong dây lượng tử hình chữ nhật với
hố thế cao vô hạn cho trường hợp tán xạ điện tử phonon quang với các giá trị khác nhau của tần số
sóng điện từ.
11

Hình 3.1

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong

57

dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào tần số của
sóng điện từ trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon
âm với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.
12

Hình 3.2

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong
dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào bán kính của
dây trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm với
các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ.

5

57

13

Hình 3.3

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong

58

dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào tần số của
trường laser trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon
âm với các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ.
14

Hình 3.4

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong

59

dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào tần số của
trường sóng điện từ trong trường hợp tán xạ điện tử phonon quang với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.
15

Hình 3.5

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong

60

dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào tần số của
trường laser trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon
quang với các giá trị khác nhau của tần số sóng điện
từ.
16

Hình 3.6

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong

61

dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào nhiệt độ của
hệ trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang với
các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ.
17

Hình 4.1

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong

72

dây lượng tử hình trụ thế parabol vào tần số của sóng
điện từ trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm
với các giá trị khác nhau của tần số trường laser.
18

Hình 4.2

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong
dây lượng tử hình trụ thế parabol vào tần số của
trường laser trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon

6

72


âm với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.
19

Hình 4.3

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong

73

dây lượng tử hình trụ thế parabol vào nhiệt độ của hệ
trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm với các
giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ.
20

Hình 4.4

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong

74

dây lượng tử hình trụ thế parabol vào bán kính của

dây trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm với
các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ.
21

Hình 4.5

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong

75

dây lượng tử hình trụ thế parabol vào tần số của
trường laser trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon
quang với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.
22

Hình 4.6

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong

76

dây lượng tử hình trụ thế parabol vào bán kính của
dây trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang
với các giá trị khác nhau của tần số trường laser.
23

Hình 4.7

Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong
dây lượng tử hình trụ thế parabol vào tần số của

trường sóng điện từ trong trường hợp tán xạ điện tử phonon quang với các giá trị khác nhau của tần số
trường laser.

7

77


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cấu trúc của vật liệu thấp chiều là cấu trúc trong đó chuyển động của hạt
tải bị giới hạn theo một, hai hoặc ba phương do hiệu ứng giảm kích thước. Tùy
thuộc vào số chiều theo đó hạt chuyển động tự do mà cấu trúc được phân chia
thành chuẩn hai chiều, chuẩn một chiều hoặc chuẩn không chiều. Khi nghiên
cứu hệ bán dẫn cấu trúc thấp chiều các nhà khoa học phát hiện ra nhiều tính
chất đặc biệt và hữu dụng của loại vật liệu này [1-4].
Khi một sóng điện từ lan truyền trong vật liệu thì các tính chất điện, từ
thông thường của hệ hạt tải bị thay đổi [1-11]. Sự có mặt của trường ngoài làm
xuất hiện thêm nhiều hiệu ứng như cộng hưởng tham số phonon âm-phonon
quang; âm-điện-từ; hall lượng tử; ….[5-89].
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu tính chất vật lý nói chung và
tính chất động của bán dẫn thấp chiều nói riêng được các tác giả quan tâm rất
nhiều [5-45, 47, 51-60, 62, 63, 65-68, 74, 75-77, 80-84, 86, 88]. Phổ năng
lượng, hàm sóng của hệ thấp chiều (hai chiều, một chiều, không chiều) khác
biệt so với phổ năng lượng, hàm sóng của các bán dẫn ba chiều. Nguyên nhân
là do điện tử ngoài thế tuần hoàn còn có thế giam cầm [1-4]. Trong hệ thấp
chiều, các bài toán đã được các tác giả quan tâm nghiên cứu như: Hấp thụ sóng
điện từ (có hoặc không có từ trường), biến đổi và gia tăng tham số bởi laser,
trường âm-điện và dòng âm điện, hệ số Hall lượng tử… Một hiệu ứng đã được
quan tâm nghiên cứu trong bán dẫn khối và hệ hai chiều là hiệu ứng quang

kích thích [9-11], tuy nhiên trong hệ bán dẫn một chiều thì vẫn chưa được
nghiên cứu. Dây lượng tử với các dạng thế khác nhau rất được chú ý, đó là lý
do chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng quang

8


kích thích của sóng điện từ cao tần trong hệ bán dẫn một chiều” để phần nào
giải quyết được các vấn đề còn bỏ ngỏ nói trên.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích bởi sóng
điện từ cao tần cho hai cấu trúc dây lượng tử: dây lượng tử hình chữ nhật với
hố thế vô hạn và dây lượng tử hình hình trụ với hố thế vô hạn và hố thế
parabol. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong hệ bán dẫn
một chiều, từ đó tính mật độ dòng điện không đổi xuất hiện trong hiệu ứng
quang kích thích với hai cơ chế tán xạ khác nhau: tán xạ điện tử – phonon âm
và tán xạ điện tử – phonon quang.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử và các phương pháp
trong vật lý thống kê lượng tử để thiết lập phương trình động lượng tử cho
điện tử trong dây lượng tử dưới tác dụng của một trường sóng điện từ phân
cực phẳng, một trường laser và một trường điện không đổi. Từ đó tính giải
tích mật độ dòng điện không đổi xuất hiện trong hiệu ứng quang kích thích.
Sử dụng phương pháp tính số và vẽ đồ thị trên cơ sở phần mềm
Matlab, Maple.
4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Nội dung nghiên cứu chính của luận án là: Trên cơ sở các biểu thức
giải tích của hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong dây lượng tử
hình trụ với hố thế cao vô hạn, dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol và
dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn khi đặt trong một trường

sóng điện từ phân cực phẳng, một trường laser và một điện trường không đổi,
chúng tôi xây dựng toán tử Hamitonian của hệ tương tác electron – phonon,

9


từ đó thiết lập phương trình động lượng tử cho toán tử số electron trung bình
khi giả thiết số phonon không thay đổi theo thời gian, giải phương trình động
lượng tử ta tính biểu thức mật độ dòng điện không đổi xuất hiện trong hiệu
ứng quang kích thích. Kết quả giải tích thu được thực hiện tính số, vẽ đồ thị
và thảo luận đối với các mô hình dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình
chữ nhật cụ thể. Kết quả tính số được so sánh và bàn luận.
Quá trình trên được thực hiện lần lượt với dây lượng tử hình chữ nhật
với hố thế cao vô hạn, dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn và dây
lượng tử hình trụ với hố thế parabol với hai loại tương tác là tương tác
electron - phonon quang, electron - phonon âm. Luận án sử dụng giả thiết
tương tác electron - phonon được coi là trội, bỏ qua tương tác của các hạt
cùng loại và chỉ xét đến số hạng bậc hai của hệ số tương tác electron phonon, bỏ qua các số hạng bậc cao hơn hai. Ngoài ra, luận án chỉ xét đến
các quá trình phát xạ/ hấp thụ một photon, bỏ qua các quá trình của hai
photon trở lên.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Kết quả của luận án khẳng định tính hiệu quả và sự đúng đắn của
phương pháp phương trình động lượng tử cho việc nghiên cứu và hoàn thiện
lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích trong hệ một chiều.
Sự xuất hiện của dòng điện không đổi trong hiệu ứng quang kích thích
và sự phụ thuộc của nó vào các tham số đặc trưng cho cấu trúc dây lượng tử,
tần số sóng điện từ và tần số của trường laser có thể được sử dụng làm thước
đo, làm tiêu chuẩn hoàn thiện công nghệ ứng dụng trong các thiết bị điện tử
siêu nhỏ, thông minh và đa năng hiện nay.
6. Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên quan đến

10


luận án đã công bố, các tài liệu tham khảo và phụ lục, phần nội dung của luận
án gồm 4 chương, 13 mục, với 3 bảng biểu, 2 hình vẽ, 21 đồ thị, tổng cộng 96
trang. Nội dung của các chương như sau:
Chương 1 trình bày lý thuyết về hiệu ứng quang kích thích trong bán
dẫn khối và tổng quan về hệ một chiều. Cụ thể trong chương này trình bày
hiệu ứng quang kích thích, phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán
dẫn khối, biểu thức mật độ dòng điện một chiều của hiệu ứng quang kích
thích trong bán dẫn khối; các hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong
các dây lượng tử. Đây được xem là những kiến thức cơ sở cho các nghiên cứu
được trình bày trong các chương sau.
Chương 2 nghiên cứu lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích
trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn dưới tác dụng của
một trường sóng điện từ phân cực phẳng, một trường laser và một điện
trường không đổi. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon và phương trình động
lượng tử cho electron được thiết lập. Từ đó thu được biểu thức của mật độ
dòng điện không đổi của hiệu ứng quan kích thích trong dây lượng tử hình
chữ nhật với thế cao vô hạn khi xét cơ chế tán xạ điện tử-phonon quang và
điện tử-phonon âm. Các kết quả được áp dụng tính số, vẽ đồ thị và bàn luận
cho dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl.
Chương 3 và chương 4 lần lượt trình bày các kết quả của hiệu ứng
quang kích thích như chương 2 nhưng đối với dây lượng tử hình trụ với hố
thế cao vô hạn và dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol.
7. Các kết quả nghiên cứu chính thu được trong luận án:
Các kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 06 công trình
dưới dạng các bài báo, báo cáo khoa học đăng trên các tạp chí và kỷ yếu hội

nghị khoa học quốc tế và trong nước. Các công trình này gồm: 03 bài trong

11


tạp chí chuyên ngành quốc tế (02 bài đăng trong tạp chí International Journal
of Physical and Mathematical Sciences - World Academy of Science,
Engineering and Technology (ISI/SCOPUS), 01 bài trong Piers proceedings,
Guangzhou, China); 02 bài đăng tại các tạp chí VNU Journal of Science,
Mathematics – Physics của Đại học Quốc gia Hà Nội, ); 01 bài đăng trên tạp
chí của Đại học Thủ đô Hà Nội.

12


Chương 1
TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH
TRONG BÁN DẪN KHỐI VÀ HỆ MỘT CHIỀU
Trong chương này chúng tôi trình bày phương trình động lượng tử cho
điện tử trong bán dẫn khối và dẫn ra biểu thức mật độ dòng điện không đổi
xuất hiện trong hiệu ứng quang kích thích trong bán dẫn khối. Hàm sóng và
phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử tương ứng với các cấu trúc
khác nhau cũng được giới thiệu trong chương này.
1.1. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích trong bán dẫn khối
Hiệu ứng quang kích thích liên quan đến việc khi lan truyền trong vật
liệu, sóng điện từ mang theo cả năng lượng và xung lượng, kéo theo sự sinh
ra của các electron, do đó có sự sắp xếp lại mật độ hạt điện, dẫn đến xuất hiện
một dòng điện không đổi [9].
0x


E

j0z

0

H

0z

Phương truyền sóng
sóng

0y

Hình 1.1: Mô hình sự xuất hiện của hiệu ứng quang kích thích khi có
mặt các trường ngoài.
Theo định nghĩa của hiệu ứng này ta có thể thấy rằng mật độ dòng điện
không đổi phụ thuộc vào xung lượng của photon, quá trình tương tác điện tử phonon. Những hiệu ứng quang kích thích đầu tiên đã được xem xét một cách
hiện tượng luận, được nghiên cứu trong bán dẫn khối và hệ hai chiều [9-11].

13


1.1.1. Phương trình động lượng tử cho electron trong bán dẫn khối khi đặt
trong một trường sóng điện từ phân cực phẳng, một trường laser và một
trường điện không đổi
Trong mục này, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử
trong bán dẫn khối khi đặt trong một trường sóng điện từ phân cực phẳng:



E(t)  E  e it  e it 

(  , n là tần số của sóng điện từ và vector đơn vị dọc theo

 
H(t)  n, E(t) 

phương truyền sóng), trong một điện trường không đổi E 0 và trong một



trường laser: F(t)  Fsin t được xem như một trường cao tần phân cực
tuyến tính;  là tần số của trường laser.
Để đơn giản, ở Hamiltonian của hệ ta chỉ xét điện tử đặt trong trường

1 dA(t) 
laser tương ứng với thế véc tơ:
 Fsin t (chọn hệ đơn vị với   1 ;
c dt
c là vận tốc ánh sáng trong chân không):

 
 e

H    p  (p  A(t))a p a p    q bq bq   C(q)a pq a p  (b q  b  q ) ,


 

c
p
q
q,p

(1.1)




với p và q lần lượt là véc tơ sóng của electron và phonon; a p (a p ) là toán tử



sinh (huỷ) điện tử với vectơ xung lượng p , bq (bq ) là toán tử sinh ( huỷ)



phonon với vectơ sóng q ; C q là hằng số tương tác điện tử - phonon và e là

điện tích của điện tử;  p là năng lượng của electron ứng với véc tơ sóng p .
Giữa các toán tử sinh, hủy điện tử (hạt fermion) tồn tại các hệ thức phản
giao hoán sau:

14


a ,a   a a  a a  
a ,a   a ,a   0.
i


i


k


i k


k

i


k i

i,k

,
(1.2)

k

Giữa các toán tử sinh, hủy phonon (hạt boson) tồn tại các hệ thức sau:

 bi ,bk   bi bk  bk bi  i,k ,
 bi ,bk    b i ,b k   0.

(1.3)

Sử dụng phương trình chuyển động của toán tử thống kê hay ma trận
trận mật độ ta được phương trình động lượng tử cho điện tử như sau:

if p (t)
t



i a p a p
t

  a p a p ,H 

(1.4)

Thay Hamiltonian ở (1.1) vào (1.4) rồi tính các giao hoán tử cuối cùng
ta được:


 2      

f (p,t)
 2 C q  Nq  Js2  [f  p  q,t  -f  p,t  ](p q -p -q -s) 

t

q
s

 

 f  p  q,t  -f  p,t   (p q  p  q  s),

(1.5)

trong đó Js(x) là hàm Bessel của đối số thực bậc s, Nq là hàm phân bố
phonon. Bổ xung thêm sự có mặt của một trường sóng điện từ phân cực
phẳng, một điện trường không đổi, phương trình động lượng tử cho hàm phân

bố hạt tải f  p, t  trong một hệ như thế là:





f  p, t 
 
f (p, t)
 (eE 0  eE  t   c  p,h(t)  ,
 )
t
p

 2

  
 2 C  q  N q  J s2  [f  p  q, t  -f  p, t  ]( p q - p -q -s) 



q
s
 

 f  p  q, t  -f  p, t   ( p q   p  q  s).

(1.6)

Giả thiết năng lượng phonon là nhỏ và hàm phân bố phonon là đối

15


xứng, ta có




f  p, t 
 
f (p,t)
 (eE 0  eE  t   c  p,h(t)  ,
 )
t
p

 2

  
 2 C  q  N q  J s2  [f  p  q,t  -f  p, t  ]( p q - p -s),



q
s 

(1.7)



eH
H(t)
e 2 F2 q 2
p2
 
trong đó c 
là tần số cyclotron; h(t) 
; 2 
;

;
p
mc
H
2m 2 2
2m

p là xung lượng chính tắc của hạt tải, m là khối lượng hiệu dụng của điện tử.

1.1.2. Biểu thức giải tích mật độ dòng điện trong hiệu ứng quang kích
thích

Nhân cả hai vế của phương trình (1.7) với

e 
p     p  rồi lấy tổng
m



theo p ta được các số hạng:
Xét các số hạng của vế trái của (1.7):




e  f  p, t 
p m p t      p   iR    eit  iR     eit .

(1.8)

Ta phân tích hàm phân bố hạt tải được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính
các phần đối xứng và phản đối xứng:






f  p, t   f 0 ( P )  f1 (p, t)  f 0 ( P )  f10 (p)  f1 (p)e it  f1* (p)eit .

(1.9)

Xét trường hợp bán dẫn suy biến hoàn toàn ta có:
f 0 ( p )     F   p  ,

với

16

(1.10)


e 

R(

)

pf1 (p)(   p )


 m
p

,



e
R * ()   pf * (p)(    )
1

p


p m


   f  p, t  
e
 )  Q ( ) ,
p
eE
,

(



  0 t 
p
0
m p 


(1.11)

(1.12)



f  p, t  

 
e
p  eE(t),
(   p )  Q() ,


m p 
t 

(1.13)







f  p, t 
 
e
p m pc p,h(t) p (  p )  c[R()+R* (),h]+c[R 0 (),h]eit 







c [R 0 (),h]eit  c [R(),h]e2it  c [R * (),h]e2it ,

(1.14)


 
e
trong đó: R 0 ()   pf10 (p)(   p ) .
m p

(1.15)

Xét các số hạng của vế phải (VP) của (1.7): Trong các tính toán sau
đây, để hạn chế các tính toán đối với các hàm Bessel bậc cao, ta chỉ lấy s = 0
và s  1 , điều đó có nghĩa là ta chỉ xét các quá trình với một photon, bỏ qua
các quá trình từ hai photon trở lên:

e
e
e
(VP)(   p )   (VP L0 )(   p )   (VP L1 )(   p ) , (1.16)

m p
m p
m p
Với s = 0 ta có:

VP s 0  


f  p, t   f 0
   p 




f10 (p)  f 1 (p)e  it  f1* (p)eit

   p 



e
R 0 ()  R()e it  R * ()eit
  (VP s0 )(   p )  
.
m p
( p )

17

(1.17)

(1.18)


Với s  1 ta có:



*
e

 it
 )  S (  ) S(  )e
(VP
)

(




S
( p )eit ,

p
0
p
p
s 1

m p

(1.19)

ở đây


2

2e
2 

 N
   f (p)  
S0 ( p ) 
C
f



q
q
0
p
10
2

 
m p,q
4 
 ( p q   p  )  ( p q   p  )  
 

  p  q       p q   p     p   ,

(1.20)


2

2e
2

 N
S( p ) 
C
f1 (p) 

q
q
2
 
m p,q
4
 ( p q   p  )  ( p q   p  )   ,
 

  p  q       p q   p     p   ,

(1.21)


2
2e
2 * 
 N
S* ( p ) 
C
f1 (p) 

q
q
 

m p,q
4 2
 ( p  q   p  )  ( p  q   p  )  
 

  p  q       p  q   p     p   .

(1.22)

Đồng nhất các số hạng từ của vế trái và vế phải ta được:





1 
)R( p )  Q( p )  S( p )  c  R 0 ( p ),h  ,
( p )

(1.23)





1 *
)R ( p )  Q( p )  S* ( p )  c  R *0 ( p ),h  ,
( p )

(1.24)

( i 

(i 


R 0 ( p )
( p )






 Q0 ( p )  S0 ( p )  c  R( p )  R * ( p ),h  .

18

(1.25)


Giải hệ phương trình trên ta thu được thu được mật độ dòng riêng
phần:





2c 2 ( p ) 


 ),h  
R 0 ( p )  ( p ) Q0 ( p )  S0 ( p )  
Q(

p

1  2 2 ( p ) 


 S( p ),h  

 .
2c 2 ( p ) Re  

1  i( p ) 

(1.26)

Giả thiết rằng năng lượng photon của trường laser lớn hơn rất nhiều


năng lượng đặc trưng của hạt tải, có thể viết biểu thức của S0 và S dưới dạng
sau [9]:
Si  en 0  ij       K ij     F    j   F  ,

(1.27)

S0i  en 0   ij       K ij     F   0 j   F  ,

(1.28)


    

e
e
( )  
E ;  0 ( )       E 0 ,
m 1  i   
m

(1.29)

với n là mật độ hạt tải;    p  là thời gian phục hồi; i, j = 1, 2, 3, và lấy tổng
theo các chỉ số lặp;  và K là các ma trận phụ thuộc vào từng cơ chế tán xạ
cụ thể.
Đối với trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm:


1/2
 a


 F 
 ij  
a 0i a 0 j ; K ij  
ij ; a 0  ;         F    .
3   
6   
a



(1.30)

Đối với trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang ở nhiệt độ cao:
1/2

2

 
 ij  
(ij  a 0i a 0 j ) ; K ij  
ij ;         F   F  .
  
3   


19

(1.31)


Mật độ dòng một chiều xuất hiện trong hiệu ứng quang kích thích [9]:

 
j0   R 0 ()d .

(1.32)

0

Thay biểu thức (1.26) vào (1.32) ta tính toán được:

 e2 n

0
j0 
  F  1       K  F   E0 
m




(1.33)

1  2       F 
1  2    F   E W 
2
2
    F 1     
 K  F 
,

2 2
2 2
1





1












F 
F 




 W 
với n: mật độ hạt tải; E W  
 : cường độ trường tiếp xúc;  : hệ số
enc
 : chỉ số khúc xạ; W: năng thông trung bình của sóng điện từ; c:

vận tốc ánh sáng;  : Véc tơ sóng của photon.
hấp thụ;

Nhận xét: Kết quả sử dụng lý thuyết lượng tử để khảo sát hiệu ứng
quang kích thích trong bán dẫn khối cho thấy mật độ dòng điện không đổi

không những phụ thuộc vào trường ngoài mà còn phụ thuộc vào cơ chế tán xạ
điện tử - phonon.
1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử
Dây lượng tử (quantum wires) thuộc hệ cấu trúc bán dẫn một chiều
(one-dimension systems) [1-4]. Mô hình cấu trúc của các hệ bán dẫn có thể
được mô tả như hình (1.2).

Hình 1.2: Mô hình cấu trúc các hệ bán dẫn: (3D) Bán dẫn khối; (2D)
Hệ hai chiều; (1D) hệ một chiều; (0D) Hệ không chiều

20


Trong dây lượng tử (hệ một chiều - 1D), chuyển động của các hạt tải bị
giới hạn theo hai chiều giới hạn của dây và nó chỉ có thể chuyển động theo
chiều còn lại. Sự giam cầm điện tử trong dây lượng tử làm xuất hiện các hiệu
ứng giảm kích thước, hàm sóng và phổ năng lượng trở nên gián đoạn và
lượng tử hóa theo hai chiều.
Dây lượng tử được chế tạo bằng nhiều phương pháp khác nhau, ví dụ
như phương pháp epitaxy (Molecular beam epitaxy-MBE), phương pháp kết
tủa hóa hữu cơ kim loại (metal organic chemical vapor deposition-MOCVD )
hoặc sử dụng các cổng (gates) trên một Transistor hiệu ứng trường, bằng cách
này có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên khí điện tử hai chiều. Với công
nghệ chế tạo vật liệu hiện đại, người ta có thể tạo ra các dây lượng tử có hình
dạng khác nhau, như dây hình trụ, dây hình chữ nhật,... Mỗi dây lượng tử
được đặc trưng bởi một thế giam giữ khác nhau, việc khảo sát lý thuyết về
dây lượng tử chủ yếu dựa trên hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử thu
được nhờ giải phương trình Schrodinger với hố thế đặc trưng của nó. Trong
luận án này, chúng tôi xét hiệu ứng quang kích thích với ba loại dây lượng tử
với hình dạng và thế giam giữ khác nhau: dây lượng tử hình trụ với hố thế cao

vô hạn; dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol và dây lượng tử hình chữ
nhật với hố thế cao vô hạn.
Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có
thể được giải nhờ giải phương trình Schorodinger một điện tử cho hệ
một chiều:

 2 2

 
H  
  V(r)  U  r     E
 2m


21

(1.34)