Đề và đáp án HSG môn toán lớp 8 huyện Tam Dương năm hoc 2019

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018 – 2019
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Câu 1. (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A  2a 3  7a 2b  7ab 2  2b3 .
�x  2019 x  2019 �x  1
 2
.
Câu 2. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức B  � 2
�
x 1 � 2x
�x  2 x  1
2
2
Câu 3. (2,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x  x  3  y .

Câu 4. (2,0 điểm) Tìm số dư trong phép chia đa thức  x  1  x  3  x  5   x  7   2034
cho đa thức x 2  8 x  10 .
Câu 5. (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n  1 và 3n  1 đều là các
số chính phương.
�  900 ) và CD = 2AB. Gọi H là
Câu 6. (2,0 điểm) Cho hình thang vuông ABCD ( �
AD
hình chiếu của D trên đường chéo AC, M là trung điểm của đoạn thẳng HC. Chứng
minh rằng BM vuông góc với MD.

Câu 7. (2,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), có AB = 1cm, BC = 6cm, CD = 7cm,
�  300 . Tính diện tích hình thang ABCD.
BCD
Câu 8. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = 4cm. Xét hình chữ
nhật ADEF có D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh BC, F thuộc cạnh AC. Tính độ dài BD để
hình chữ nhật ADEF có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Câu 9. (2,0 điểm) Cho hai số x và y thoả mãn: x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + 8 = 0. Tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + y + 2018.
Câu 10. (2,0 điểm) Cho các số tự nhiên: 1; 2; 3; 4; …; 99; 100. Xếp tùy ý tất cả 100 số
trên nối tiếp nhau thành dãy ta được số P. Chứng minh số P không chia hết cho 2019.
-------Hết------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:.................................................. SBD:...............phòng thi....................


PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2018 – 2019
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

I- Hướng dẫn chung:
1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không
theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như trong
thang điểm quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn phải đảm bảo không làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo.
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài giữ nguyên kết quả.
4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.

II- Đáp án và thang điểm:
Câu 1 (2,0 điểm). Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A  2a 3  7a 2b  7ab 2  2b3 .
Nội dung trình bày

Ta có: A  2  a  b   7ab  a  b 
3

3

 2  a  b   a 2  ab  b 2   7 ab  a  b 
  a  b   2a 2  2b 2  5ab 

Điểm
0,5
0,25
0,25

  a  b   2a 2  4ab  2b 2  ab 

0,25

  a  b �
2a  a  2b   b  b  2a  �
�
�

0,25

  a  b   2a  b   a  2b 

Vậy A   a  b   2a  b   a  2b 
�x  2019 x  2019 �x  1
 2
Câu 2 (2,0 điểm). Rút gọn biểu thức B  � 2
�
x  1 �2 x
�x  2 x  1
Nội dung trình bày
�x �0
�
Điều kiện: �x �1
�x �1
�

Điểm
0,5

�x  2019
x  2019 �x  1
B


.
�
�
Khi đó:
2
x

1

x

1




x

1


�
�
�
� 2x
 x  2019   x  1   x  2019   x  1 . x  1
=
2
2x
 x  1  x  1
2.2018 x

0,25
0,25

x 1

= x  1 2 x 1 . 2x


 

2018
x2 1
2018
Vậy B  2
x 1

=

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x 2  x  3  y 2 .

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25


Nội dung trình bày
Ta có: x  x  3  y � 4 x  4 x  12  4 y 2
2
�  2 x  1  4 y 2  11 �  2 x  2 y  1  2 x  2 y  1  11
2

2

2

Do x, y nguyên nên: 2 x  2 y  1 và 2 x  2 y  1 là các số nguyên

Do đó, xảy ra các trường hợp sau:

TH1: 2 x  2 y  1 =1 và 2 x  2 y  1 = -11. Tìm được x =-3 và y = 3
TH2: 2 x  2 y  1 =-1 và 2 x  2 y  1 = 11. Tìm được x = 2 và y = -3
TH3: 2 x  2 y  1 =11 và 2 x  2 y  1 = -1. Tìm được x = 2 và y = 3
TH4: 2 x  2 y  1 = -11 và 2 x  2 y  1 = 1. Tìm được x = -3 và y = - 3
Vậy: (x,y)� (3;3),  2; 3 ,(2;3),(3; 3)

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Câu 4 (2,0 điểm). Tìm số dư trong phép chia đa thức  x  1  x  3  x  5   x  7   2034
cho đa thức x 2  8 x  10 .
Nội dung trình bày
Ta có:
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2034 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 2034
Đặt x2 + 8x + 7 = y, ta có: y(y + 8) + 2034 = y(y + 8) + 15 + 2019
= (y + 3)(y + 5) + 2019
= (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) + 2019
Vậy số dư của phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2034 cho đa
thức x2 + 8x + 10 là 2019.

Điểm

0,25
0,5
0,5
0,5
0,25

Câu 5 (2,0 điểm). Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n  1 và 3n  1 đều là
các số chính phương.
Nội dung trình bày
Vì n là số tự nhiên có hai chữ số nên: 10 �n �99

�
21 2n 1 199

Vì 2n  1 là số chính phương lẻ nên: 2n  1� 25; 49;81;121;169
Ta có: n � 12; 24; 40;60;84 � 3n  1� 37;73;121;181; 253
Vì 3n  1 là số chính phương nên: 3n  1  121 � n  40
Vậy với n  40 thì 2n  1  81 và 3n  1  121 đều là số chính phương.
Câu 6 (2,0 điểm).

Điểm
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25

�  900 ) và DC = 2AB. Gọi H là hình chiếu
Cho hình thang vuông ABCD ( �A  D

của D trên đường chéo AC, M là trung điểm của đoạn thẳng HC. Chứng minh
rằng BM vuông góc với MD.
Nội dung trình bày

Điểm


Ta có hình vẽ:

0,25

Gọi N là trung điểm của HD
1
2

Ta có MN là đường trung bình của  HDC nên: MN  DC và MN//DC

0,25

1
�  900 ) nên:
Mà AB  DC ( vì DC = 2AB); AB//DC (vì �A  D
2

0,25

MN = AB và MN//AB, suy ra tứ giác ABMN là hình bình hành.
Suy ra: AN//BM
�  900 ) nên MN  AD

Ta có: MN//DC và DC  AD (vì D
 ADM có DH và MN là hai đường cao cắt nhau tại N, nên N là trực tâm, do
đó AN  MD .
Ta có: AN//BM, AN  MD nên BM  MD .
Câu 7 (2,0 điểm).

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Cho hình thang ABCD (AB//CD), có AB = 1cm, BC = 6cm, CD = 7cm,
�  300 . Tính diện tích hình thang ABCD.
BCD

Nội dung trình bày

Điểm

Vẽ BH  DC (H �DC) . Gọi E là điểm đối xứng của B qua H
Ta có: CB = CE nên  CBE cân tại C, CH là đường cao nên CH cũng là

0,25

Ta có hình vẽ:

đường phân giác.

0,25

�  1 BCE
� � BCE
�  2.BCH
�  2.300  600
Suy ra: BCH

0,25

�  600 nên  CBE là tam giác đều � BE  BC
Do  CBE cân có BCE

0,25

2

1
2

1
2

Do đó: BH  BE  .6  3(cm)

0,25
1
2
1
  1  7  .3  12  cm 2 
2

Tứ giác ABCD là hình thang nên: S ABCD   AB  DC  .BH

0,25
0,25


Vậy diện tích hình thang ABCD là 12  cm

2



0,25

Câu 8 (2,0 điểm).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = 4cm. Xét hình chữ nhật
ADEF có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Tính độ dài BD để hình chữ nhật
ADEF có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Nội dung trình bày

Điểm

Đặt BD = x (cm) (với 0< x < 4) thì AD = 4 – x (cm)
Vì  BDE vuông cân nên DE = BD = x (cm)
Đặt S ADEF  S , ta có:
S = DE.AD = x(4 - x) = -x2 + 4x
= - (x2 - 4x + 4) + 4 = - (x - 2)2 + 4 �4
Ta có: Max(S) = 4 � x = 2
Vậy với BD = 2cm thì hình chữ nhật ADEF có diện tích lớn nhất, diện tích

0,5
0,25

Ta có hình vẽ:

lớn nhất đó bằng 4cm2
Câu 9 (2,0 điểm).

0,5
0,25
0,25
0,25

Cho x và y thoả mãn: x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + 8 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + y + 2018.
Nội dung trình bày
2
Ta có: x + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + 8 = 0 �  x  y  3  1  y 2
2

2
Mà 1  y 2 �1 vì y 2 �0 với mọi y nên:  x  y  3 �1

� x  y  3 �1
� 1 �x  y  3 �1
�
2014

Vậy: Min(C) = 2014 � x  4; y  0

Max(C) = 2016 � x  2; y  0
Câu 10 (2,0 điểm).

x y 2018 2016

Điểm
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


Cho các số tự nhiên: 1; 2; 3; 4; …; 99; 100. Xếp tùy ý tất cả 100 số trên nối tiếp
nhau thành dãy ta được số P . Chứng minh số P không chia hết cho 2018.
Nội dung trình bày
Ta thấy trong số P mỗi số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 xuất hiện 20 lần, còn số 1 xuất
hiện 21 lần.
Tổng các chữ số của P là: (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9).20 + 1.21 = 901
Như vậy P không chia hết cho 3 và hiển nhiên P không chia hết cho 2018.

Điểm
1,0
0,5
0,5