CD he phuong trinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.79 MB, 111 trang )
“Hệ phương trình”
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
Trang 1
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ........................................................................................... 3
KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN .............................................................. 3
I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN. ....................... 3
A. PHẦN LÝ THUYẾT. ..................................................................................................................... 3
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ..................................................................... 3
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số ........................................................ 4
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ ......................................................... 5
B. PHẦN BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN. ............................................................................................ 6
C. PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN ........................................................................................................ 8
PHẦN HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC I ........................................................................................ 12
B. CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN .............................................................................................. 12
C. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN ........................................................................................................ 16
II: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ VÀ BÀI TOÁN PHỤ .................................. 20
A. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ................................................................................... 20
Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . ....................................................... 20
Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa điều kiện cho trước. ...................... 20
Dạng 3: Tìm mối liên hệ giữa x , y không phụ thuộc vào tham số m . ........................................ 20
B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN ....................................................................................................... 23
C. HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC II .............................................................................................. 26
III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ..................................................... 34
1. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: .............................................................................................................. 34
2. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 ............................................................................................................. 38
3. HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP ................................................................................. 40
4. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.......................................................................... 48
5. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ .................................................................................................. 64
6. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC: .................................................................... 72
7. KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x, HOẶC y ....................... 75
8. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ...................................................................................................... 79
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH ................................................... 85
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN ........................................................................ 90
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN ............................................................................ 110
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 2
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a/x + b/y = c/. Khi đó ta có hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn
ax by c
(I) /
/
/
a x b y c
* Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (xo;y0) thì (xo;y0) được gọi là một nghiệm của hệ
(I).
* Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN.
A. PHẦN LÝ THUYẾT.
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
a) Phương pháp giải:
Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm các bước sau đây:
Biểu diễn một ẩn từ một phương trình nào đó của hệ qua ẩn kia.
Thay ẩn này bới biểu thức biểu diễn nó vào phương trình còn lại. .
Giải phương trình một ẩn nhận được.
Tìm giá trị tương ứng của ẩn còn lại.
b) Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : {
2𝑥 + 𝑦 = 12 (1)
7𝑥 − 2𝑦 = 31 (2)
Hướng dẫn giải
Từ phương trình (1), biểu diễn y theo x ta có y 12 2x .
Thay y trong phương trình (2) bởi y 12 x , ta được
7 x – 2 12 – 2 x 31
7 x – 24 4 x 31
11x 55
x 5
Thay x = 5 vào phương trình y 12 x , ta được:
y 12 – 2.5 2 . Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (5; 2)
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 3
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
a) Phương pháp giải:
Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số ta làm các bước
sau đây:
Nhân cả hai vế của các phương trình trong hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ đã cho về
hệ mới, trong đó các hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau (hoặc đối nhau).
Trừ (hoặc cộng) từng vế của các phương trình trong hệ mới để khử bớt một ẩn.
Giải phương trình một ẩn thu được.
Thay giá trị tìm được của ẩn này vào một trong hai phương trình của hệ để tìm ẩn kia.
b) Ví dụ minh hoạ : Giải hệ phương trình sau.
3 x 2 y 11
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
x 2 y 1
Hướng dẫn giải
Các hệ số của ẩn y trong hai phương trình là đối nhau, vì vậy ta cộng từng vế của hai phương
trình để khử ẩn y ta thu được:
4 x 12 x 3
Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta có:
3 2 y 1 2 y 2 y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1)
2 x 5 y 8
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2 x 3 y 0
Hướng dẫn giải
Các hệ số của ẩn x trong hai phương trình là bằng nhau, vì vậy ta trừ từng vế của hai phương
trình để khử ẩn x, ta được:
8 y 8 y 1
Thay y = 1 vào một trong hai phương trình đã cho của hệ ta được:
2.x – 3.1 0 2 x 3 x
3
2
3
Vậy hệ phương trình có nghiệm x, y ;
2
1
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 4
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
5 x 11 y 8
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
10 x 7 y 74
Hướng dẫn giải
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, giữ nguyên phương trình hai ta được hệ mới:
10 x 22 y 16
10 x 7 y 74
Trừ từng vế của phương trình thứ nhất (mới) cho phương trình thứ hai ta được:
29 y 58
y 2
Thay vào phương trình thứ hai, ta có
10 x – 7. 2 74
10 x 60
x 6
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x, y) = (6 ; -2)
*Lưu ý:
Khi trong hệ có chứa các biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa
hệ về một hệ mới đơn giản hơn. Sau đó sử dụng phương pháp cộng hoặc thế để tìm ra nghiệm
của hệ phương trình.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
a) Phương pháp giải
Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần).
Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt.
Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ số.
b) Ví dụ minh hoạ
1 1
x y 1
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
3 4 5
x y
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ≠0, y ≠ 0
Đặt
1
1
a; b (*)
x
y
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 5
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
Hệ phương trình đã cho tương đương với
a b 1
3a 4b 5
2
2
b
a b 1
3a 3b 3
7b 2
b
7
Ta có:
7
3a 4b 5 3a 4b 5 a b 1 a 1 b
a 9
7
2
b 7
Thay
vào (*) ta có
a 9
7
1 2
7
y 7
y 2
1 9
x 7
x 7
9
7 7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x, y ;
9 2
B. PHẦN BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN.
3 x 2 y 7
Bài I.01. Giải hệ phương trình
2 x y 4
3 x 2 y 11
Bài I.02. Giải hệ phương trình:
x 2 y 1
x 2 y 3
Bài I.03. Giải hệ phương trình:
x y 3
x 3y 4
Bài I.04. Giải hệ phương trình:
3 x 4 y 1
2 x y 5
Bài I.05. Giải hệ phương trình sau:
x y 1
2 x 5 y 3
Bài I.0.6 Giải hệ phương trình sau:
3 x y 4
x y 1
Bài I.07. Giải hệ phương trình sau:
3 x 2 y 3
x 7 y 26
Bài I.08. Giải hệ phương trình sau:
5 x 3 y 16
3 x 2 y 11
Bài I.09. Giải hệ phương trình sau:
x 2 y 1
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 6
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
2 x 3 y 1
Bài I.10. Giải hệ phương trình sau:
4 x y 9
x 2 y 8
Bài I.11. Giải hệ phương trình:
x y 1
2 x y 1
Bài I.12. Giải hệ phương trình:
x y 1
3 x y 5
Bài I.13. Giải hệ phương trình:
5 x 2 y 23
3( x 1) 2( x 2 y ) 4
Bài I.14. Giải hệ phương trình
4( x 1) ( x 2 y ) 9
2
y 3
x
Bài I.15. Giải hệ phương trình:
1 2y 4
x
1 1
x y 2
Bài I.16. Giải hệ phương trình:
.
3
7
2 x
y 2
3x
x 1
Bài I.17. Giải hệ phương trình
2x
x 1
2
4
y2
.
1
5
y2
4
x y
Bài I.18. Giải hệ phương trình:
1
x y
1
5
y 1
.
2
1
y 1
4 x 3 y 4
Bài I.19. Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình:
.
2
x
y
2
2
x2
x 1 y 2 6
Bài I.20. Giải hệ phương trình
.
5 1 3
x 1 y 2
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 7
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
C. PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giải các hệ phương trình sau:
x 3 y 10
1.
x 5 y 16
3x 2 y 8
2.
2 x 3 y 12
2 x y 4
3.
2 x 0 y 6 0
2 x y 7
4.
x 4 y 10
2 x y 5
5.
x 7 y 9
x 2 y 2
6.
2 x 4 y 1
3x 5 y 18
7.
x 2 y 5
5 x 3 y 7
8.
3x y 8
3 x 2 y 2 0
9.
9 x 6 y 4 0
4 x 3 y 6
10.
2 x 5 y 16
2 x y 3
11.
3 x 4 y 10
2 x y 2
12.
4 x 2 y 4 0
x y 2
13.
x 3 y 6
x 2 y 4
14.
2 x 9 y 18
2 x 4 y 3
15.
x 2 y 1
x 2 y 5
16.
3x 4 y 5
2 x y 3
17.
x y 3
x y 2( x 1)
18.
7 x 3 y x y 5
3 x 2 y 12
19.
4 x y 5
x y 0
20.
2 x y 5
2 x 5 y ( x y )
21.
6 x 3 y y 10
2 x y 10
22.
5 x 2 y 6
2 x y 0
23.
x 4 y 0
3 x y 2
24.
9 x 3 y 6
2 x 5 y 7
25.
2 x 3 y 1
5 x 2 y 10
26.
5 x 2 y 6
x y 3
27.
x 2 y 3
3x 2 y 8
28.
4 x 3 y 12
x y 2
29.
3x 2 y 9
x 3 y 10
30.
2 x y 1
2 x y 3 x 20
31.
4 x y x 2 y 12
3 x y 2
32.
6 x 2 y 3
2 x 3 y 2
33.
3x 2 y 3
5 x y 1
34.
10 x 2 y 0
3 x 2 y x
35.
5( x y ) 3 x y 5
2 x 3 y 6
36.
4 x 6 y 12
2 x y 3
37.
3 x y 7
3 x 2 y 6
38.
2 x 3 y 4
2 x y 7
39.
x 2 y 5
2 x 5 y 1
40.
4 x 10 y 2
x 2 y 2
41.
2 x y 1
2 x y 5
42.
3 x y 15
x 2 y 5
43.
3x 2 y 1
2 x y 5
44.
x y 1
3 x 2 y 8
45.
5 x 2 y 12
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 8
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
x y 5
x y 1
3x 2 y 12
46.
4 x 3 y 1
x 2 y 4( x 1)
47.
5 x 3 y ( x y ) 8
48.
x 3y 4
3 x 4 y 1
2 x 3 y 1
50.
4 x y 9
x 2 y 3
51.
x y 3
3 x 2 y 3
52.
x 2 y 17
2 x 3 y 13
53.
3 x y 3
x 2 y 8
54.
x y 1
2 x y 1
55.
x y 1
x 2 y 10
56. 1
2 x y 1
3 x y 5
57.
5 x 2 y 23
x y 8
58.
x y 2
2 x 3 y 7
59.
3 x y 5
2 x y 0
60.
3 x 2 y 1
3 x 4 y 5
61.
6 x 7 y 8
x 6 y 3
62.
x 3 y 21
4 x 5 y 7
63.
3 x y 9
3( x 1) 2( x 2 y ) 4
64.
4( x 1) ( x 2 y ) 9
2 x y 3
65.
3 x 2 y 8
3 x y 8
66.
7 x 2 y 23
x 3y 5
67.
2 x 3 y 1
2 x y 3
68.
3 x 2 y 1
x y 3
69.
3 x y 1
4 x 3 y 4
70.
2 x y 2
x 2 y 6
71.
3 x y 4
x y 6
72.
2 x y 3
x y 4
73.
2 x y 2
x y 3
74.
3 x y 5
2 x 3 y 3
75.
x y 4
x y 3
76.
2 x y 3
2 x y 4
77.
x 2 y 5
3 x y 5
78.
x y 3
x y xy 1
79.
x 2 y xy 1
2 x y 1
80.
3 x 2 y 12
2 x 6 y 11
81.
4 x 9 y 1
2
y 3
x
82.
1 2y 4
x
2
x2
x 1 y 2 6
83.
5 1 3
x 1 y 2
x 2 y 2014
84. x y
2 3 1
2 x | y | 4
85.
4 x 3 y 1
2 x y 1
86.
3 x y 4
3 x 2 y 4
87.
x 2 y 4
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 9
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
x y 5
88.
x y 3
2 x 7 y 2014
89.
x y 2015
x y 5
90.
x y 1
( x 3)( y 2) 7 xy
91.
( x 1)( y 1) xy 2
2 x y 3
92.
x 2 y 1
2 x 5 y 1
93.
3 x 2 y 8
3 x 2 y 4
94.
4 x 3 y 5
2 x y 3 0
95. x y
4 3 1
2 x y 4
96.
3 x y 1
2 x y 4
97.
x 3y 5
2 x y 5
98.
x y 1
2 x 5 y 3
99.
3 x y 4
x y 1
100.
3 x 2 y 3
3 x y 5
101.
2 x y 4
3 x 2 y 4
102.
x y 3
3 x 5 y 21
103.
2 x y 1
3 x 2 y 5
104.
x 3y 7
x y xy 1
105.
x 2 y xy 1
3 x 2 y 1
106.
4 x 5 y 6
3 x 5 y 21
107.
2 x y 1
3 x y 5
108.
x 3y 7
1 1
x y 1
109.
2 4 5
x y
1
1
x y x y 3
110.
2 3 1
x y x y
2
1
x y 2 2
111.
3 1 1
x y 2
2
x 1
112.
2
x 1
3
1
y
5
1
y
6
2
x y x y 1,1
113.
4 9 0,1
x y x y
3
x
x y x y 5
114.
2x 1 3
x y x y
1
1
x 2 y 1 2
115.
2 3 1
x 2 y 1
y
2x
x 1 y 1 3
116.
x 3 y 1
x 1 y 1
117.
2
2
x 2 y 1 2
118.
2 3 1
x 2 y 1
1 1 3
x y 4
119.
1 1 2
6 x 5 y 15
x
x
y y 12 1
120.
x x 2
y 12 y
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
2
3
x y 2 x y 2
4 10 2
x y 2 x y
Trang 10
“Hệ phương trình”
121. 2 x y x 1 4
x y 3 x 1 5
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
2 1
x y 2
122.
6 2 1
x y
3
2 x y 6
123.
1 2 y 4
x
1 1 1
x y 12
124.
8 15 1
x y
1
2
x 2 y y 2x 3
125.
4 3 1
x 2 y y 2 x
2
3x
x 1 y 4 4
126.
2x 5 9
x 1 y 4
x 2 y 2 13
127. 2
3 x 2 y 2 6
3 x 2 y 16
128.
2 x 3 y 11
x 4 y 18
129.
3 x y 10
3 x 2 y 2
2( x 2 2 x) y 1 0
130.
131.
3( x 2 2 x) 2 y 1 7
2 x y 1
2 x 1 y 1 1
133.
x 1 2 y 1 2
x 12 2 y 2
134.
2
3 x 1 3 y 1
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
1
2
x y x y 3
132.
1 3 1
x y x y
2 x 3 y 13
135.
3 x y 3
Trang 11
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
PHẦN HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC I
B. CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Bài I.01.
Từ phương trình 2 x y 4 suy ra y 4 2 x . Thay vào phương trình trên ta có phương
trình:
3x 2 4 2x 7 x 1 y 4 2.1 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x; y 1;2 .
Bài I.02.
4 x 12
x 3
Cộng hai phương trình lại với nhau, ta có:
x 2 y 1 y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 3; 1
Bài I.03.
3 y 6
y 2
Trừ phương trình trên cho phương trình dưới của hệ, ta có:
x y 3
x 1
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1; 2 .
Bài I.04
x 3y 4
3 x 4 y 1
(1)
(2)
Nhân hai vế phương trình (1) với 3 ta được 3x 9 y 12 (3)
Lấy (3) – (2) ta được: 13 y 13 y 1.
Thay y 1 vào (1) ta được x 4 3 y 4 3.1 1 .
Vậy hệ phương trình có một nghiệm x; y 1;1 .
Bài I.05.
2 x y 5
3x 6
x 2
x 2
x y 1
x y 1 x y 1 y 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2;1 .
Bài I.0.6
2 x 5 y 3 17 x 17
x 1
. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 .
3x y 4
3x y 4
y 1
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 12
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
Bài I.07.
x y 1
3x 2( x 1) 3 5 x 5
x 1
3x 2 y 3 y x 1
y x 1 y 0
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1;0 .
Bài I.08.
x 7 y 26
5 x 35 y 130
x 7 y 26
x 5
5 x 3 y 16
5 x 3 y 16
38 y 114
y 3
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 5;3 .
Bài I.09.
3 x 2 y 11 4 x 12
x 3
x 2 y 1
x 2 y 1 y 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 3; 1 .
Bài I.10.
2 x 3 y 1 2 x 3 y 1
2 x 3 y 1 x 2
4 x y 9
12 x 3 y 27
14 x 28
y 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2;1 .
Bài I.11.
3 y 9
x 2 y 8
x y 1
x y 1
y 3
x (3) 1
y 3
.
x 2
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2; 3 .
Bài I.12.
2 x y 1
x y 1
x 0
x y 1
x 0
.
y 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 0;1 .
Bài I.13.
3 x y 5
6 x 2 y 10
11x 33
5 x 2 y 23
5 x 2 y 23
3 x y 5
x 3
.
y 4
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 3;4 .
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 13
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
Bài I.14 Hệ phương trình tương đương với:
3 x 3 2 x 4 y 4
5 x 4 y 1
5 x 4 y 1
4 x 4 x 2 y 9
3 x 2 y 5
6 x 4 y 10
11x 11
x 1
6 x 4 y 10
y 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 .
Bài I.15. Điều kiện x 0.
1
2
4
1
y
3
2
y
6
x
x
x
x
2
2 (TM )
2
1
1
2y 4
2y 4
y 3 y 1
x
x
x
1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y ; 1 .
2
Bài I.16. Điều kiện y 0 . Đặt t
1
, hệ phương trình đã cho trở thành
y
1
1
xt
1
x 1
t 2 x
x
x 1
t
2
(thỏa mãn)
1
2
7
1
7
y
2
t
2 x 3t
2 x 3( x)
5 x 5
2
2
2
2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là x; y 1;2 .
Bài I.17.
3x
x 1
2x
x 1
2
4
y2
ĐK x 1; y 2
1
5
y2
x
x 1 a
b 0 Khi đó hệ phương trình trở thành:
Đặt
1 b
y 2
x
x 1 2
3a 2b 4
3a 2b 4
7a 14
a 2
x 2
. Khi đó ta có:
2a b 5
4a 2b 10
2a b 5
b 1
1 1 y 1
y 2
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất x; y 2; 1 .
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 14
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
Bài I.18. Hệ phương trình tương đương với:
Đặt u
1
1
và v
. Hệ phương trình thành :
x y
y 1
4u v 5
8u 2v 10
9u 9
u 1
u 2v 1 u 2v 1
2v u 1 v 1
Do đó, hệ đã cho tương đương :
1
x y 1 x y 1 x 1
1
y
1
1
y 2
1
y 1
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất x; y 1;2 .
Bài I.19.
4 x 3 y 4 4 x 3 y 4
5 y 0
2 x y 2
4 x 2 y 4 2 x y 2
y 0
y 0
x 1
2 x 2
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất x; y 1;0 .
Bài I.20. + Điều kiện: x 1; y 2
1
2
1
1 x 1 y 2 6
x 1
5 1 3
5
x 1 y 2
x 1
2
5
5
x 1
y2
1
5
3
x 1
y2
10
25
y2
1
3
y2
5
11
1
y
22
y
2
2
y2
2
5
1
3
5 1 3 5 1 3 x 1 5
2
x 1 y 2
x 1 y 2
2
5
y
5
2 . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x; y 0; .
2
x 0
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 15
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
C. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.
x 3 y 10
x 3 y 10
(16 5 y ) 3 y 10
x 16 5 y
x 5 y 16
x 16 5 y
2 y 6
x 16 5 y
x 1
x 16 5 y
y 3
y 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) = (1; -3)
x 0
2.
y 4
x 3
3.
y 2
x 2
4.
y 3
x 2
5.
y 1
6. Hệ pt vô nghiệm
x 1
7.
y 3
9. Hệ pt vô nghiệm
9
x 13
10.
y 38
13
31
x 14
8.
y 19
14
x 2
11.
y 1
12. Hệ phương trình vô số nghiệm
x 0
13.
y 2
x 0
14.
y 2
15. Hệ pt vô nghiệm.
x 3
16.
y 1
x 2
17.
y 1
18. Hệ pt vô nghiêm
x 2
19.
y 3
5
x
3
20.
y 5
3
x 2
21.
y 1
26
x
9
22.
y 38
9
x 0
23.
y 0
24. Hệ pt vô số nghiệm
x 1
25.
y 1
26. Hệ pt vô nghiệm
x 1
27.
y 2
x 0
28.
y 4
x 5
29.
y 3
x 1
30.
y 3
24
x
31.
5
y 4
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 16
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
32. Hệ pt vô nghiệm
x 1
33.
y 0
35. Hệ pt vô nghiệm
x 0
36.
y 2
x 2
38.
y 0
19
x
5
39.
y 3
5
34. hệ pt vô nghiệm
x 2
37.
y 1
40. Hệ pt vô số nghiệm
x 0
41.
y 1
x 4
42.
y 3
x 1
43.
y 2
x 2
44.
y 1
x 2
45.
y 1
x 2
46.
y 3
47. hệ pt vô số nghiệm
x 3
48.
y 2
x 1
49.
y 1
x 2
50.
y 1
x 1
51.
y 2
x 5
52.
y 6
x 2
53.
y 3
x 2
54.
y 3
x 0
55.
y 1
x 6
56.
y 2
x 3
57.
y 4
x 5
58.
y 3
x 2
59.
y 1
x 1
60.
y 2
x 1
61.
y 2
x 15
62.
y 2
x 2
63.
y 3
x 1
64.
y 1
x 2
65.
y 1
x 3
66.
y 1
x 2
67.
y 1
x 1
68.
y 1
x 1
69.
y 2
x 1
70.
y 0
x 2
71.
y 2
x 3
72.
y 3
x 2
73.
y 2
x 2
74.
y 1
x 3
75.
y 1
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 17
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
x 2
76.
y 1
x 1
77.
y 2
x 1
78.
y 2
x 3
79.
y 2
x 2
80.
y 3
5
x
81.
2
y 1
1
x
82.
2
y 1
x 0
83.
3
y 2
x 505
84.
1509
y 2
13
x 10
85.
y 7
5
x 1
86.
y 1
x 2
87.
y 1
x 4
88.
y 1
x 1791
89.
y 224
x 5
90.
y 0
x 2
91.
y 1
24
x 5
92.
y 33
5
x 2
93.
y 1
x 2
94.
y 1
8
x 11
95.
y 39
11
x 1
96.
y 2
x 1
97.
y 2
x 2
98.
y 1
2
x 17
99.
y 11
17
x 1
100.
y 0
x 1
101.
y 2
x 2
102.
y 1
x 2
103.
y 3
29
x 11
104.
y 16
11
x 18
105.
y 15
x 1
106.
y 2
x 2
107.
y 3
11
x 5
108.
y 8
5
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 18
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
2
x
109.
3
y 2
3
x 4
110.
y 1
4
7
x 4
111.
y 3
5
112. hệ pt vô nghiệm
x 7
113.
y 3
x 2
114.
y 1
19
x 7
115.
y 8
3
x 2
116.
1
y 2
43
x 11
117.
y 35
11
13
x
118.
4
y 4
x 2
119.
y 4
120.hệ pt vô nghiệm
121.hệ pt vô nghiệm
x 2
122.
y 1
1
x
123.
2
y 3
x 28
124.
y 21
1
x 3
125.
y 1
3
2
x 9
126.
y 87
19
x 2
127.
y 3
x 4
128.
y 25
x 2
129.
y 4
x 1
130.
y 3
x 0
131.
y 1
77
x 20
132.
y 63
20
x 2
133.
y 2
2 2
x 1
3
134.
y 5
9
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
x 2
135.
y 3
Trang 19
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
II: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ VÀ BÀI TOÁN PHỤ
A. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
Phương pháp:
Bước 1: Đưa hệ phương trình về phương trình bậc nhất dạng ax b 0 (Dùng
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,…)
Bước 2: Xét phương trình ax b 0 1 ( a, b là hằng số)
TH 1: Phương trình 1 có nghiệm duy nhất a 0 phương trình có
b
nghiệm duy nhất x .
a
a 0
TH 2: Phương trình 1 vô nghiệm
.
b 0
a 0
TH 3: Phương trình 1 có vô số nghiệm
.
b 0
Bước 3: Kết luận.
Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa điều kiện cho trước.
Phương pháp:
Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm x, y theo tham số m ;
Bước 2: Thế nghiệm x , y vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m ;
Bước 3: Kết luận.
Dạng 3: Tìm mối liên hệ giữa x , y không phụ thuộc vào tham số m .
Phương pháp:
Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm x, y theo tham số m ;
Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số m ;
Bước 3: Kết luận.
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 20
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
Ví dụ minh hoạ:
a 1 x y a 1
Bài 1: Cho hệ phương trình:
x a 1 y 2
1
2
( a là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi a 2 .
b) Giải và biện luận hệ phương trình.
c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên
d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x y đạt GTNN.
Lời giải
5
x
3
x
y
3
4
x
5
4
a) Khi a 2 hệ phương trình có dạng:
x y 2
y 2 x
y 3
4
5 3
Vậy với a 2 hệ phương trình có nghiệm x; y ;
4 4
b) Giải và biện luận:
Từ PT 1 ta có: y a 1 x a 1
3 thế vào PT 2
ta được:
x a 1 a 1 x a 1 2 x a 2 1 x a 2 1 2 a 2 x a 2 1
TH1: a 0 , phương trình 4 có nghiệm duy nhất x
y a 1
4
a2 1
. Thay vào 3 ta có:
a2
a 1 a 2 1 a 2 a 1 a3 a a 2 1 a3 a 2 a 1
a2 1
a
1
2
a2
a2
a2
a
a2 1 a 1
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2
a
a
TH2: Nếu a 0 , phương trình 4 vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
KL:
a2 1 a 1
a 0 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2
a
a
a 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
a2 1 a 1
Với a 0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2
a
a
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 21
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
a2 1
x
a2
c) Hệ phương trình có nghiệm nguyên:
y
a 1
a2
a
a2 1
1
1
Điều kiện cần: x 2 1 2 2 a 2 1 a 1
a
a
a
Điều kiện đủ:
a 1 y 0
(nhận)
a 1 y 2 (nhận)
Vậy a 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
a2 1 a 1
Với a 0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2
a
a
d) Ta có x y
Đặt t
a2 1 a 1 a2 a 2
1 2
2
1 2 .
2
2
a
a
a
a a
1
ta được:
a
2
1 2 7
1 1
1 7 7
x y 2t 2 t 1 2 t 2 t 2 t 2 t
2 2
4 8 8
4 16
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi t
1
, khi đó a 4
4
Vậy a 4 thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x y đạt GTNN bằng
7
8
2 x by a
Bài 2: Tìm a, b biết hệ phương trình:
có nghiệm x 1 ; y 3.
bx ay 5
Lời giải
Thay x 1 ; y 3 vào hệ ta có:
2.1 b.3 a
a 3b 2
b.1 a.3 5
3a b 5
Vậy a
1
b
3
a
9
b
6
10
b
1
10
.
3a b 5
3a b 5
a 17
10
1
17
; y
thì hệ phương trình có nghiệm x 1 ; y 3.
10
10
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 22
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
x 2 y m 3
Bài 3: Cho hệ phương trình
I ( m là tham số) .
2 x 3 y m
a) Giải hệ phương trình I khi m 1 .
b) Tìm m để hệ I có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn x y 3 .
Lời giải
a) Với m 1 , hệ phương trình I có dạng:
x 2 y 4
2 x 4 y 8
x 2
2 x 3 y 1 2 x 3 y 1
y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y 2;1 .
5m 9
x
x 2 y m 3 2 x 4 y 2m 6
x 2 y m 3
7
b)
2 x 3 y m
2 x 3 y m
7 y m 6
y m 6
7
5m 9 m 6
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y
;
.
7
7
Lại có x y 3 hay
5m 9 m 6
3 5m 9 m 6 21 6m 36 m 6
7
7
Vậy với m 6 thì hệ phương trình I có nghiệm duy nhất x, y thỏa mãn x y 3 .
B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
2 x y 5m 1
Bài II.01: Cho hệ phương trình:
.
x 2 y 2
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x 2 2 y 2 2
( m 1) x y 2
Bài II.02. Cho hệ phương trình:
( m là tham số)
mx y m 1
a) Giải hệ phương trình khi m 2 ;
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
x; y thỏa mãn: 2x y 3 .
2 x ay 4
Bài II.03. Cho hệ phương trình :
ax 3 y 5
a) Giải hệ phương trình với a 1
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 23
“Hệ phương trình”
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
2 x ay 5b 1
x 1
Bài II.04. Cho hệ phương trình:
. Tìm a, b biết hệ có nghiệm
bx 4 y 5
y 2
( m 2) x 3 y 5
( I ) ( m là tham số)
Bài II.05. Cho hệ phương trình:
x my 3
a) Giải hệ phương trình I với m 1 .
b) Chứng minh hệ phương trình I có nghiệm duy nhất với mọi m . Tìm nghiệm duy nhất
đó theo m .
3 x y 2m 9
Bài II.06. Cho hệ phương trình
có nghiệm x; y . Tìm m để biểu thức
x y 5
A xy x 1 đạt giái trị lớn nhất.
x my m 1
Bài II.07. Cho hệ phương trình:
( m là tham số)
mx y 2m
a) Giải hệ phương trình khi m 2 .
x 2
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn
y 1
x x y y 2015
Bài II.08. Cho hệ phương trình:
x x y y k
1
2
( k là số cho trước).
Biết rằng hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt x; y a; b ; c; d . Tính
tổng a b c d theo k .
Bài II.09. Xác định các hệ số a, b của hàm số y ax b để:
1) Đồ thị của nó đi qua hai điểm A1;3 , B 2;4
2) Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 2 .
Bài II.10. Giải các hệ phương trình sau:
1 1
x y 3
3 2 1
x y
x
x 1
b)
x
x 1
1
y
3
2x 1 x y 2
y 1
c)
3y
2 2 x 1 1 1
1
y 1
x y
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 24
“Hệ phương trình”
x 2 y 5
Bài II.11. Cho hệ phương trình:
mx y 4
Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960
1
2
Giải hệ phương trình với m 2 .
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y trong đó x, y trái dấu.
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn x y .
x my m 1 1
Bài II.12. Cho hệ phương trình:
mx y 3m 1 2
a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có
nghiệm duy nhất?
b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m .
c) Tìm số nguyên m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y mà x, y đều là số
nguyên.
d) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất x, y thì điểm M x, y luôn chạy trên một
đường thẳng cố định.
e) Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho x. y đạt giá trị nhỏ nhất.
x my 2 4m
Bài II.13. Cho hệ phương trình:
. Chứng minh rằng với mọi m hệ phương
mx y 3m 1
trình luôn có nghiệm.
Gọi x0 ; y0 là một cặp nghiệm của phương trình: Chứng minh: x02 y02 5 x0 y0 10 0
. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015).
(1)
x my 3
Bài II.14. Cho hệ phương trình:
mx y 2m 1 (2)
Hệ có nghiệm duy nhất x, y , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây:
P x 2 3 y 2 (1).
Q x 4 y 4 (2).
mx m 1 y 1
Bài II.15: Cho hệ phương trình:
. Chứng minh hệ luôn có nghiệm
m 1 x my 8m 3
duy nhất x; y và tìm GTLN của biểu thức P x2 y 2 4 2 3 y .
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trang 25
