Luyện thi vào THPT (CĐ hệ phương trình)

Trần Đức Minh
Luyện thi vào THPT
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
III.1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
*Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:





=+
=+
)2('''
)1(
cybxa
cbyax
Trong đó phương trình (1) và (2) là hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y
Phương pháp giải:
a) Phương pháp thế:
1. Từ một PT biểu diễn ẩn này theo ẩn kia, rồi thế vào PT còn lại để thu
được một phương trình mới.
2. Giải phương trình mới, tìm được một ẩn, rồi thế vào một trong hai PT của
hệ để tìm ẩn còn lại
b) Phương pháp cộng đại số:
1. Biến đổi 2 phương trình sao cho chúng có hệ số của cùng một ẩn bằng nhau
hoặc đối nhau, bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp.
2. Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình sau khi biến đổi để thu được một
phương trình một ẩn.
3. Giải phương trình thu được, tìm được một ẩn, rồi thế vào một trong 2 phương
trình của hệ để tìm ẩn còn lại.
Ví dụ: Giải hệ:






=−
=+
)2(772
)1(62
yx
yx
(bằng phương pháp thế)
Giải: Từ PT (1) ta có: x = 6 – 2y (*). Thay x = 6 – 2y và PT (2), ta được PT:
2(6-2y) – 7y = 7 ⇔ -11y = -5 ⇔ y = 5/11
Thay y=5/11 vào (*) ta được: x = 56/11
Vậy nghiệm của hệ là x=56/11 và y=5/11
Ví dụ: Giải hệ:





=−
=+
)2(772
)1(62
yx
yx
(bằng phương pháp cộng đại số)
Giải: Nhân hai vế của PT (1) với 2, ta được PT: 2x + 4y = 12 (3)

Trừ từng vế của PT (2) và PT (3) ta được PT:
(2x – 7y) – (2x + 4y) = 7 – 12 ⇔ -11y = -5 ⇔ y = 5/11
Thay y=5/11 vào PT (1) ta được: x = 56/11
Vậy nghiệm của hệ là x=56/11 và y=5/11
*Bài tập
Bài 1: Giải các hệ sau:
a)



=−
=+
853
72
yx
yx
b)



=−
=+−
652
573
yx
yx
1
Trần Đức Minh
Luyện thi vào THPT
Bài 2: Cho hệ phương trình:




=+
=+
2
1
yax
ayx
a) Giải hệ khi a = 2
b) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất
Bài 3: Cho hệ phương trình:



+=+
=+
1
2
mmyx
mymx
Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm x, y là các số nguyên
Bài 4: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình:



=−
=+
1
4

myx
ymx
có nghiệm thỏa mãn điều kiện
1
8
2
+
=+
m
yx
*Các hệ phương trình đưa về được dạng hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 5: Giải các hệ sau:
a)







=+
=+
7
532
5
211
yx
yx
b)






=−
−=+
33115
39137
2
2
yx
yx
c)





=++−
=+−−
152512
2231
yx
yx
d)



+=−+
=−+

6)3)(4(
)2)(2(
xyyx
xyyx
III.2 Hệ phương trình đối xứng loại I
*Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong từng phương trình của hệ khi ta thay đổi vai
trò của hai biến thì phương trình không thay đổi. Cụ thể là hệ có dạng:



=
=
0),(
0),(
yxg
yxf
với f(x ,y) = f(y, x ) và g(x, y) = g(y, x)
*Phương pháp giải: Đặt



=
+=
xyP
yxS
hệ đã cho thành (*)



=

=
0),(
0),(
PSG
PSF
Giải hệ (*) tìm S, P. Từ đó suy ra x, y.
*Chú ý: Điều kiện để hệ có nghiệm là: S
2
– 4P
≥
0
2
Trần Đức Minh
Luyện thi vào THPT
Ví dụ: Giải hệ phương trình:



=+
=++
1
1
22
yx
xyyx
Giải: Đặt



=

+=
xyP
yxS
. Hệ thành:





=−+
−=
⇔



=−
=+
)2(02
)1(1
1
1
2
2
SS
SP
PS
PS
Giải (2):




−=
=
⇔=−+
2
1
02
2
S
S
SS
Khi S=1 ta có P=0 và khi S=-2 ta có P=3
Với S=1 và P=0, ta có:










=
=



=
=

⇔



=−
−=
⇔



=
=+
1
0
0
1
0)1(
1
0
1
y
x
y
x
yy
yx
xy
yx
Với S=-2 và P=3, ta có: S
2

– 4P = 4 – 12 = - 8 < 0 nên hệ vô nghiệm
Vậy hệ có hai nghiệm: (0; 1) và (1; 0)
*Bài tâp:
1. Giải các hệ sau:
a)



=+
=+
4
10
22
yx
yx
b)



=
=+
12
25
22
xy
yx
c)




=++
=+
5
6
22
yxxy
xyyx
d)



=+
=+
2)(
2
33
yxxy
yx
3
Trần Đức Minh
Luyện thi vào THPT
2. Xác định m để hệ sau có nghiệm:



=+
=++
myx
mxyyx
22

III.3 Hệ phương trình đối xứng loại II
*Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ mà nếu đổi vị trí hai ẩn trong hệ thì phương trình này trở
thành phương trình kia.
*Phương pháp giải:
+Trừ từng vế của hai phương trình, ta được một phương trình
+Đưa phương trình thu được về dạng phương trình tích có dạng (x – y).f(x)
+Xét từng trường hợp: x – y = 0 và f(x) = 0 để tìm x, y
+Tổng hợp nghiệm từ các trường hợp
*Chú ý: Hệ có nghiệm duy nhất khi x = y (do nếu (a, b) là nghiệm thì (b, a) cũng là nghiệm)
Ví dụ: Giải hệ:





−=−
−=−
)2(12
)1(12
2
2
xy
yx
Giải: Trừ từng vế của hai phương trình ta được:
(x
2
– 2y) – (y
2
– 2x) = - 1 – (-1) ⇔ (x
2

-y
2
) + 2(x – y) = 0 ⇔ (x-y)(x+y+2) = 0
*Trường hợp: x – y =0 ⇒ x = y
(1) ⇒ x
2
– 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1
*Trường hợp: x + y + 2 = 0 ⇒ x = 2 – y
(1) ⇒ y
2
– 2(2 – y) = -1⇒ y
2
+ 2y -3 = 0 ⇒ y = 1 hoặc y = -3
Khi y = 1 thì x = 1
Khi y = - 3 thì x = 5 (loại)
Vậy nghiệm của hệ là: (1; 1)
*Bài tập:
1. Giải các hệ sau:
a)





+=
+=
xyy
yxx
23
23

2
2
b)





+=
+=
xyy
yxx
2
2
3
3
2*. Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:





+=+−
+=+−
11
11
mxy
myx
III.4 Hệ đẳng cấp bậc 2
Dạng:






=++
=++
''''
22
22
dycxybxa
dcybxyax
Phương pháp giải:
Phương pháp 1:
+Xét xem x =0 có phải là nghiệm hay không?
+Với x khác 0, đặt: y = kx, thế vào hệ, khử x ta được phương trình bậc hai theo k
+Giải phương trình tìm k. Từ đó suy ra x, y
4
Trần Đức Minh
Luyện thi vào THPT
Phương pháp 2:
+Dùng phương pháp cộng đại số khử x
2
hoặc y
2
+Tính y theo x thế vào một trong hai phương trình được phương trình theo x
+Tìm x, sau đó tìm y
5