MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

SỞ GD&ĐT ...................
TRƯỜNG THPT ........................
==========

CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN MÔN

MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Người thực hiện: ....................
Tổ chuyên môn: Toán – Tin

Năm học ...............


Phần 1: MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Tương giao của hai đồ thị hàm số là một trong các bài toán cơ bản của chương
trình Giải tích 12. Bài toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi TN, ĐH, CĐ
THPT Quốc Gia trong những năm gần đây. Lớp bài toán tương giao rất rộng nhưng
theo xu hướng ra đề của một số năm gần đây tôi chỉ nghiên cứu một mảng nhỏ. Trước
hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài toán tương giao, qua đó
phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn. Vì vậy tôi viết
chuyên đề: “MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ” với
mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT
quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tôi viết chuyên đề này với mục đích bản thân có một cuốn tài liệu phục vụ
công tác giảng dạy và mong muốn cung cấp cho các thầy, cô giáo có thêm một tài
liệu tham khảo. Các em học sinh THPT một tài liệu học tập, tra cứu thông dụng và có
hiệu quả khi giải bài toán tương giao hai đồ thị.

3. ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG.
Chuyên đề áp dụng cho học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Chương I của chương trình Giải Tích 12
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
5.1. Nghiên cứu lí luận.
Phân tích nội dung chương I phần Giải Tích 12. Nghiên cứu kỹ các dạng bài
toán tương giao trong các tài liệu lý luận, sách tham khảo và trong các đề thi trong
những năm gần đây.
5.2. Thực hành và rút kinh nghiệm.
Thông qua các buổi dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các đồng nghiệp
và khảo sát học sinh qua các bài kiểm tra để rút kinh nghiệm.
6. CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ.
Nội dung của chuyên đề được chia làm hai phần:
-

Cơ sở lý thuyết.

- Các dạng bài tập
7. THỜI LƯỢNG DỰ KIẾN
Số tiết dự kiến dạy chuyên đề: 8 tiết

1


Phần 2. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
1 – Phương trình bậc hai.
2
Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0 (a �0) .

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 (hoặc ∆’ > 0).
�  0
�
�P  0
�
b) Phương trình có hai nghiệm thoả mãn x < x < 0 khi �S  0
1

2

�  0
�
�P  0
�
c) Phương trình có hai nghiệm thoả mãn 0 < x1 < x2 khi �S  0
d) Phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1< 0 < x2 khi P < 0
2 - Định lí Vi-et cho phương trình bậc hai.
2
Nếu phương trình : ax  bx  c  0 (a �0) có hai nghiệm x1; x2 thì
b
�
S  x1  x2 
�
�
a
�
�P  x x  c
1 2
�
a

3 - Tính chất của cấp số cộng.

uk 

u n  k  un  k
2
.

a) Cho cấp số cộng (un) với công sai d. Khi đó ta có
b) Cho cấp số cộng x1; x2; x3. Khi đó ta có x1 + x3 = 2x2.
4 - Tính chất của cấp số nhân.
2
a) Cho cấp số nhân (u ) với công bội q. Khi đó ta có unk .un k  uk .
n

b) Cho cấp số nhân x1; x2 ; x3. Khi đó ta có x1.x3 = x22.
5 - Tương giao của hai đồ thị.
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C), hàm số y  g  x  có đồ thị (C’). Để xét sự
tương giao của hai đồ thị
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f  x   g  x      (1)
+ Dựa vào số nghiệm của phương trình (1)  số giao điểm của (C) và (C’)
+ Nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ của giao điểm của hai đồ thị
hàm số

6- Cách vẽ đồ thị có chứa dấu trị tuyệt đối.
6.1 - Từ đồ thị (C ) : y  f ( x ) � (C1 ) : y  f ( x)
2


�f ( x) khi f(x) �0 (1)

(C1 ) : y  f ( x)  �
 f ( x) khi f(x)  0
(2)
�
B1. Ta có :
B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox
( do (1) )
+ Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) )
+ Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1)
6.2- Từ đồ thị (C ) : y  f ( x ) � (C2 ) : y  f ( x ) (đây là hàm số chẵn)
khi x �0
(1)
�f ( x)
(C2 ) : y  f ( x )  �
(2)
�f ( x) khi x  0
B1. Ta có :
B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy
( do (1) )
+ Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy
(do tính chất hàm chẵn)
+ Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ được (C2)
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình: F  x, m   0
1.1. Phương pháp giải
Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f ( x)  g (m)    
Bước 2: Vẽ đồ thị (C): y  f ( x) và (d ): y  g  m  (trong đó (d ): y  g  m  là

m

m

đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox
Bước 3: Dựa vào số giao điểm của (C) và (dm) suy ra số nghiệm của phương trình
F  x, m   0
1.2. Ví dụ minh hoạ
3
Ví dụ 1 : Cho hàm số y  x  3x  2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên
3
b) Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của pt x  3 x  2  2( m  1)

Giải:
a)Vẽ đồ thị (C)

y

b) Số nghiệm của phương trình trên
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y  x 3  3x  2 và đường thẳng

4
2m+2

y = 2m+2

2

y  2  m  1
Dựa vào đồ thị ta thấy

-2

2(m  1)  4
m 1
�
�
��
�
2(m  1)  0
m  1 phương
�
Nếu �

trình có 1 nghiệm

3

-1 O

1

x


2(m  1)  4
m 1
�

�
��
�
2(m  1)  0
m  1 phương trình có 2 nghiệm phân biệt
�
Nếu �

Nếu -1< m <1 phương trình có 3 nghiệm phân biệt
x4
y  1  2 x2 
4
Ví dụ 2: Cho hàm số
a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
4
2
b) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x  8 x  4m  0
Giải:
y
a) Vẽ đồ thị (C)
5
b) Từ phương trình
x4
4
2
x  8 x  4m  0 �   2 x 2  1  m  1
y = m+1
4
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm
1

4
O
x
-2
2
y  1  2 x2 
4 và đường
của đồ thị hàm số
thẳng y  m  1

x

Dựa vào đồ thị ta có
Nếu m + 1 > 5 hay m > 4 phương trình vô nghiệm
Nếu m +1 = 5 hay m = 4 phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Nếu 1< m + 1< 5 hay 0 < m < 4 phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Nếu m +1 = 1 hay m = 0 phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Nếu m + 1 < 1 hay m < 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt
4
2
Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  4 x  5
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
4
2
b) Dùng đồ thị (C) của hàm số tìm m để phương trình x  4 x  5  m  1 có
4 nghiệm phân biệt
y
Giải:
a) Vẽ đồ thị (C)
5

b) Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ
thị (C) với đường thẳng d: y  m  1
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì
đường thẳng y  m  1 cắt đồ thị hàm số
y  x 4  4 x 2  5 tại 4 điểm phân biệt.
Khi đó điều kiện là 1  m  1  5 � 2  m  6
3
2
Ví dụ 4: Cho hàm số y   x  3x  1 .

y = m-1

1
- 2

O

2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
3
2
3
2
b) Tìm m để phương trình x  3x  m  3m có ba nghiệm phân biệt.
Giải:
4

x

a) Vẽ đồ thị (C)
3
2
3
2
3
2
3
2
b) PT x  3 x  m  3m �  x  3 x  1   m  3m  1 .
3
2
Đặt k  m  3m  1

Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y  k
Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt
�
m3  3m 2  4  0
�
1 k  5 � � 3
m  3m 2  0
�
� m �(1;3) \ {0;2}
3
2
Ví dụ 5: Cho hàm số y  x  3 x  2 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

Giải:
a) Vẽ đồ thị (C)
b) Ta có
m
x2  2x  2 
x 1
�x �1
�� 2
 x  2x  2 x  1  m
�
Do đó số nghiệm của phương trình bằng số
 2

giao điểm của y  x  2 x  2 x  1 , (C ') và
đường thẳng y  m, x �1.
Với

m
x 1 .

x2  2x  2 

y

y=m

1
1- 3

O

1+ 3 x

�f ( x) khi x  1
y   x2  2x  2 x  1  �
 f ( x) khi x  1
�
nên  C ' bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x  1.
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x  1 qua trục Ox.
Dựa vào đồ thị ta có:
m < –2
m = –2
–2 < m < 0
m≥0
vô nghiệm
2 nghiệm kép 4 nghiệm phân biệt 2 nghiệm phân biệt
4
2
Ví dụ 6: Cho hàm số y  x  5 x  4 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
4
2
b) Tìm m để phương trình x  5 x  4  log12 m có 6 nghiệm.

Giải:
5


a) Vẽ đồ thị (C)

b) Từ đồ thị hàm số (C) của hàm số
y  x 4  5 x 2  4 ta vẽ đồ thị hàm số

y

y  x 4  5 x 2  4 như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trên trục
Ox.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới
trục Ox qua Ox
+ Bỏ phần đồ thị của (C) phía dưới trục Ox.
Khi đó, dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm
9
9
� log12 m  � m  12 4  144 4 12
4
.

y = log12m
9
4

-2

O

-1

1

x

2

4
2
Ví dụ 7: Cho hàm số y  8 x  9 x  1 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
8cos 4 x  9cos 2 x  m  0 với x �[0; ]
Giải:
a) Vẽ đồ thị (C)
y

b) Xét phương trình
8cos 4 x  9cos 2 x  m  0  1
với x �[0; ]

1

-1

O

Đặt t  cos x , phương trình (1) trở thành:
8t 4  9t 2  m  0  2 
Vì x �[0; ] nên t �[ 1;1] , giữa x và t có sự

1

x

y=1-m

tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau.
4
2
Ta có: (2) � 8t  9t  1  1  m  3
4
2
Gọi (C1): y  8t  9t  1 với t �[1;1] và (d): y  1  m . Phương trình (3) là phương
trình hoành độ giao điểm của (C1) và (d).
Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền 1 �x �1 .
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

m0

m0

vô nghiệm 1 nghiệm

Ví dụ 8: Cho hàm số

y

81
81
m
32
32

4 nghiệm 2 nghiệm

0  m 1

1 �m 

2 nghiệm

x 1
.
x 1
6

81
32
vô nghiệm
m


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
x 1
 m.
x 1

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Giải:
a) Vẽ đồ thị (C)
x 1
x 1
m

y
x 1
x 1
b) Số nghiệm của
bằng số giao điểm của đồ thị (C):
và y  m.
x 1
y
x  1 ta
Từ đồ thị hàm số (C) của hàm số
y

y

x 1
x 1

vẽ đồ thị hàm số
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên
phải trục Oy
+ Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm
phía bên phải trục Oy
+ Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục
Oy (nếu có) ta sẽ được (C’)
Dựa vào đồ thị (C’) ta suy ra được
m  1; m  1 m  1
2 nghiệm

1

nghiệ
m

1

y=1
-1

O

x

1
y=m

x=-1

x=1

1  m �1
vô
nghiệm

1.3. Bài tập tương tự
x4
3
y   3x 2 
2
2
Bài 1: Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
4
2
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x  6 x  3  m  0
x4
y   2x2  1
4
Bài 2: Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
4
2
b) Tìm m để phương trình : x  8 x  4  m  0 có 4 nghiệm phân biệt.
4
2
Bài 3: Cho hàm số y   x  2 x  2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
4
2
b) Tìm tham số m để phương trình: x  2 x  2  3m  0 có đúng 3 nghiệm
phân biệt
3
Bài 4: Cho hàm số y  x  3 x
7


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
3
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x  3x  3  m  0
4

2
Bài 5: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y   x  2 x  3
4
2
4
2
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x  2 x  m  2m
x4
3
y   x2 
4
4
Bài 6: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4
2
b) Biện luận số nghiệm theo m của phương trình x  4 x  3  m  0
Bài 7:
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  4 x  3x  1
3

b) Tìm m để 4 x  3 x  1  4 m  0 có 4 nghiệm phân biệt.
3x  4
y
x  2 có đồ thị là (C).
Bài 8: Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
� 2 �
0; �
�

3�
�
b) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn
sin 6 x  cos6 x  m (sin 4 x  cos 4 x)
4
2
Bài 9:(ĐH Khối B -2009). Cho hàm số y  2 x  4 x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
x2 x2  2  m
b) Tìm m để PT
có 6 nghiệm thực phân biệt.
Dạng 2: Bài toán tương giao dựa vào số nghiệm phương trình hoành độ giao
điểm.
Bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số rất đa dạng nhưng trong khuôn khổ
của dạng toán 2 tôi chỉ nghiên cứu một số bài toán mà quy được về phương trình bậc
hai và định lý Vi – et. Đó cũng là lớp bài phù hợp với xu hướng ra đề của một số năm
gần đây.
3
2
2. 1. Sự tương giao của đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d
với đường thẳng
3
2
2.1.1.Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d ( với a, b, c, d
phụ thuộc vào tham số). Tìm giá trị của tham số để đồ thị cắt đường thẳng y  x  
(hoặc trục Ox) tại 3 điểm phân biệt thoả mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp
Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
ax3  bx 2  cx  d  x   � ax 3  bx 2   c    x  d    0 (*)
Ta xét bài toán trong TH phương trình (*) nhẩm được một nghiệm x = x0

xx
�
 x  x0   Ax 2  Bx  C   0 � � 0 2
g ( x)  Ax  Bx  C  0
�
Khi đó (*) trở thành
8


Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt thì PT g(x) = 0 có hai nghiệm
phân biệt khác x0.
g  0
�
�
g ( x ) �0
Điều kiện là: � 0
Giả sử đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A(x0; y0); hai điểm B, C là nghiệm
của PT g(x) =0
Bước 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng và tích và từ đó dẫn đến một
phương trình hoặc bất phương trình theo tham số. Giải và tìm tham số, đối chiếu với
điều kiện và kết luận.
2.1.2.Ví dụ minh hoạ.
3
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  3 x  2 có đồ thị là (C)
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y  m( x  2)  2 cắt đồ thị (C) tại 3
điểm phân biệt
Giải:
3
2

PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x  3x  2  m( x  2)  2
x2
�
�
g ( x)  x 2  x  2  m  0 (1) .
�
  9  4m  0
�
9
�   m �0
�
g (2)  m �0
4
Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt thì �
9
  m �0
Vậy 4
thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
y  x3  2 x 2   1  m  x  m
Ví dụ 2:(ĐH Khối A-2010).Cho hàm số
. Tìm m để đồ thị

hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện
x13  x23  x33  4
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox là
x3  2 x 2   1  m  x  m  0 �  x  1  x 2  x  m   0
x 1
�
� �2

x  x  m  0 (*)
�
Để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm
phân biệt khác 1
1
�
0
1  4m  0
m
�
�
�
��
��
4
�
1  1  m �0
m �0
�
�
�
m �0
�
Điều kiện là
Giả sử x1  1; x2 , x3 là hai nghiệm của PT (*).

9


�x2  x3  1

�
�x2 x3   m

Theo Định Lý Vi-et với PT (*) ta có
2
3
3
3
x

x

x

4
�
1

x

x
 2 x2 x3  4


1
2
3
2
3
Từ biểu thức

� 1  1  2m  4 � m  1

�1
  m 1
�
�4
�
m �0
Kết hợp với điều kiện trên ta được giá trị cần tìm là �
3
2
Ví dụ 3: Cho hàm số y  2 x  6 x  1 có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng

d : y  mx  1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho B là trung điểm của
đoạn thẳng AC.
Giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x  0 ( y  1)
�
2 x3  6 x 2  1  mx  1 � � 2
2 x  6 x  m  0 (1)
�
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C thì (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 �0
m �0
�
�
0
�
�

�� 9
�
m
�
0
m
�
�
�
2 . Khi đó B ( x1; mx1  1), C ( x2 ; mx2  1) .
Điều kiện là
�x1  x2  3
�
�
m
x
x

1
2
�
2
Vì B là trung điểm của AC nên x2  2 x1 (2). Mặt khác: �
(3)
Từ (2) và (3) suy ra m  4 là giá trị cần tìm
3
2
Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  6 x  9 x có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng
d : y  mx cắt (C) tại 3 điểm O(0; 0), A, B phân biệt. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi,

trung điểm I của đoạn AB luôn nằm trên một đường thẳng song song với trục tung.
Giải:
x  0 ( y  0)
�
x3  6 x 2  9 x  mx � �2
x  6 x  9  m  0 (1)
�
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O(0; 0), A, B thì (1) có 2 nghiệm phân biệt x A , xB
khác 0

�
0
�
� 0  m �9 (*)
�
9

m
�
0
�

Điều kiện là
x  xB
xI  A
3
2
 I  : x  3 ( // Oy).

. Vì I là trung điểm của AB nên

10


3
2
Ví dụ 5: Cho hàm số y  x  3mx  (m  1) x  m  1 có đồ thị là (Cm).
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y  2 x  m  1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
Giải:
PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d:
x3  3mx 2  (m  1) x  m  1  2 x  m  1

x 1
�
� �2
x  (1  3m) x  2m  2  0 (1)
�
Để d cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt
lớn hơn 1
2
Xét PT (1) ta có:   9m  2m  9  0, m  (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .

Do đó để (1) có 2 nghiệm phân biệt sao cho 1  x1  x2 � 0  x1  1  x2  1(*)
2
t
t

x


1
Đặt
. Khi đó (1) trở thành  3(1  m)t  5m  0 (2)
Để thoả mãn yêu cầu bài ra thì (2) có 2 nghiệm dương phân biệt. Khi đó
0
�
�
�S  3(m  1)  0
�P  5m  0
�
(vô nghiệm)
Vậy không có giá trị m thoả YCBT.
3
Ví dụ 6: Cho hàm số y  x  3x  2 có đồ thị là (C)

Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho
x A  2 và BC  2 2 .
Giải:
Với x A  2  y A  4 . PT đường thẳng d đi qua A(2; 4) có dạng: y  k ( x  2)  4 .
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x2
�
x3  3x  2  k ( x  2)  4 � �
g ( x)  x 2  2 x  k  1  0
�
0
k 0
��
�

��
�
g (2) �0 �
k �9
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì �
.
�x 2  2 x  k  1  0 (1)
�
(2)
B
(
x
;
y
),
C
(
x
;
y
)
1
1
2
2
Khi đó toạ độ của
thoả hệ phương trình: �y  kx  2k  4
x  x  2 k ; (2)  y1  y2  k ( x1  x2 )  2k k
Ta có: (1)  1 2
3

3
BC = 2 2  4k  4k  2 2  4k  4k  8  0 � k  1 .
Vậy phương trình đường thẳng d : y  x  2 .
3
2
Ví dụ 7: Cho hàm số y  4 x  6mx  1 có đồ thị là (Cm).

11


Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y   x  1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm
A(0; 1), B, C phân biệt sao cho B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Giải:
x0
�
4 x3  6mx 2  1   x  1 � � 2
4 x  6mx  1  0 (1)
�
PT hoành độ giao điểm của (C) và d
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
�
m


�
3
�
2
�

m
Điều kiện � 3 (*). Khi đó giả sử B ( x1;  x1  1), C ( x2 ;  x2  1) .
�x1  y2 �x1   x2  1
�
�
y1  x2 �x2   x1  1
y

x
�
Do B, C đối xứng nhau qua đường thẳng
nên

3
2
m 1� m 
3 (không thoả (*)).
 x1  x2  1  2
Vậy không có giá trị m thoả YCBT.
3
2
Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  2mx  (m  3) x  4 có đồ thị là (Cm)
Cho đường thẳng (d): y  x  4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm)
tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2
Giải:
3
2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là: x  2mx  (m  3) x  4  x  4
m

x  0 ( y  4)
�
��
g ( x)  x 2  2mx  m  2  0 (1)
�
Để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C thì (1)có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
m  1 � m  2
�
 /  m2  m  2  0 �
�
�
�
m �2
g
(0)

m

2
�
0
�
�
Điều kiện là
(*)
1 3  4
d (K , d ) 
 2
x


x


2
m
;
x
.
x

m

2
2
B
C
B
C
Khi đó:
. Mặt khác:
.
Do đó:

1
BC.d ( K , d )  8 2 � BC  16 � BC 2  256
2
2
� ( xB  xC )  ( yB  yC )2  256 � ( xB  xC ) 2  (( xB  4)  ( xC  4)) 2  256
� 2( xB  xC ) 2  256 � ( xB  xC ) 2  4 xB xC  128
SKBC  8 2 �

� 4m 2  4(m  2)  128 � m 2  m  34  0 � m 

12

1 � 137
2
(thỏa (*)).


Vậy

m

1 � 137
2
.

3
2
Ví dụ 9: Cho hàm số y  x  3 x  2 có đồ thị là (C).
Gọi E(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B
phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 .
Giải:
Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng  qua E có dạng y  k ( x  1) .
2
PT hoành độ giao điểm của (C) và : ( x  1)( x  2 x  2  k )  0
2
Để  cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì x  2 x  2  k  0 có 2 nghiệm phân biệt khác
1

Điều kiện là k  3
1
S OAB  d (O, ). AB  k k  3
2
.
k  1
�
�
k  1 � 3
Theo bài ra ta có k k  3  2  �



Vậy có 3 đường thẳng thoả mãn: y   x  1; y  1 � 3 ( x  1) .
3
2
Ví dụ 10: Cho hàm số y  x  3x  mx  1 có đồ thị là (Cm)
Tìm m để đường thẳng d : y  1 cắt đồ thị hàm số (C ) tại ba điểm phân biệt
m

A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Cm) tại B và C vuông góc với
nhau.
Giải:
3
2
2
PT hoành độ giao điểm của (C ) và d x  3 x  mx  1  1 � x( x  3 x  m)  0
m

9

m  , m �0
4
Để d cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C thì
2
xB , xC là các nghiệm của PT: x  3 x  m  0
Khi đó:
xB  xC  3; xB .xC  m
Theo ĐL Vi-et có :
2
2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B, C là k1  3xB  6 xB  m , k2  3 xC  6 xC  m
Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau  k1.k2  1
9  65
9  65
m
�m 
2
8
8
 4m  9m  1  0 
.
m

9  65
8

Kết hợp với ĐK trên ta được
3
2
Ví dụ 11: Cho hàm số y  x  3x  4 có đồ thị là (C).

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại ba
13


điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
Giải:
PT đường thẳng d: y  k ( x  2)
3
2
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x  3x  4  k ( x  2)
x  2  xA
�
�
2
g ( x)  x 2  x  2  k  0
 ( x  2)( x  x  2  k )  0  �
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N thì PT g ( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt
khác 2. Khi đó

0
�
9
�   k �0
�
4
�g (2) �0

Theo định lí Vi-et ta có:

(*)

�xM  xN  1
�
�xM xN  k  2

�
�
Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau � y ( xM ). y ( xN )  1
(3 xM2  6 xM )(3 xN2  6 xN )  1 � 9k 2  18k  1  0
�k

3 �2 2
3

3 �2 2
3
Kết hợp điều kiện (*) ta được
là các giá trị cần tìm
3
2
Ví dụ 12: Cho hàm số y  x  5 x  3x  9 có đồ thị là (C).
Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k . Tìm k để d cắt đồ thị (C)
tại ba điểm phân biệt A, B , C sao cho tam giác OBC có trọng tâm G (2;2) (O là gốc
toạ độ).
k

Giải:
PT đường thẳng d: y  k ( x  1) . PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x  1
�

�
( x  3) 2  k
x 3  5 x 2  3x  9  k ( x  1)  �
( x  3) 2  k có hai nghiệm phân biệt
Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì
khác
k 0
�
�
k �16
-1. Điều kiện là �




Khi đó toạ độ các giao điểm : A(1;0) , B  3  k ; k 4  k  C  3  k ; k 4  k 
�xG  2
�
�
8k
3
yG 
2 k 
�
3
4 (thoả mãn điều kiện).
Do đó tọa độ trọng tâm OBC : �

14

3
4
Vậy
2.1.3. Bài tập tương tự.
y   x  1  x 2  mx  m 
Bài 1: Cho hàm số
có đồ thị là (C).
Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
y  2 x 3  3mx 2   m  1 x  1
(ĐH Khối D-2013). Cho hàm số
Bài 2:
Tìm m để đường thẳng y   x  1 cắt đồ thị hàm số trên tại ba điểm phân biệt.
3
2
Bài 3: Cho hàm số y  2 x  3x  1 có đồ thị là (C).
k

Gọi d là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường
thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
3
Bài 4: Cho hàm số y  x  3x  2 có đồ thị là (C). Gọi d là đườngthẳng đi qua
điểm A(3; 20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm
phân biệt.
y   x  1  x 2  mx  m 
Bài 5 : Tìm m để đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại 3 điểm có
hoành độ dương
3
2

Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số y  x   2m  1 x  9 x cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt và có hoành độ lập thành cấp số cộng
3
Bài 7: Cho hàm số y  x  3x  1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y  mx  m  3
.Tìm m để d cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông
góc với nhau.
3
2
Bài 8: Cho hàm số y  x  3 x  4 có đồ thị là (C).

Gọi d k là đường thẳng đi qua điểm A(1;0) với hệ số góc k (k ��) . Tìm k để
đường thẳng d k cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng
với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 .
3
2
Bài 9: Cho hàm số y  (2  m) x  6mx  9(2  m) x  2 (C )
m

Tìm m để đường thẳng d : y  2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 2) , B và C sao
cho diện tích tam giác OBC bằng 13 .

3
Bài 10: Cho hàm số y  x  3x (C)
Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng d: y  m( x  1)  2 luôn cắt đồ thị (C)
tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
4
2
yd
2.2. Sự tương giao của đồ thị hàm số y  ax  bx  c

với đường thẳng
4
2
2.2.1. Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số y  f ( x )  ax  bx  c ( với a, b,c, d

phụ thuộc vào tham số). Tìm giá trị của tham số để đồ thị cắt đường thẳng

15


 : y  d tại 4 điểm phân biệt thoả mãn điều kiện cho trước
2.2.2. Phương pháp:
Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và  là:
ax 4  bx 2  c  d  0 (1)

Đặt

2
t  x 2 , t �0 . Khi đó ta được phương trình at  bt  c  d  0 (2)

Để hai đồ thị cắttại 4 điểm phân biệt khi PT (1) có 4 nghiệm phân biệt. Khi đó PT(2)
có hai nghiệm dương phân biệt thoả mãn 0  t1  t2
�  0
�
�P  0
�S  0
�

Điều kiện là
. Từ đó có giá trị của tham số thuộc miền D nào đó.

Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng và tích và từ đó dẫn đến một
Bước 2:
phương trình hoặc bất phương trình theo tham số. Giải và tìm tham số, đối chiếu với
điều kiện và kết luận
Nhận xét: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương ( 0  t1  t2 )
Ứng với mỗi giá trị dương của t ta sẽ được hai giá trị đối nhau của x tức là x  � t .
Khi đó PT (1) có 4 nghiệm phân biệt và các nghiệm này được sắp xếp theo thứ tự
 t2   t1  t1  t2 ( Do tính chất đối xứng của hàm số chẵn)
2.2.3. Ví dụ minh hoạ
4
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  mx  m  1 có đồ thị là  Cm 
Tìm m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Giải:
4
2
PT hoành độ giao điểm của  Cm  với trục hoành: x  mx  m  1  0 (1)
t 1
�
�
2
2
t  m 1
Đặt t  x , t �0 . Khi đó: (1)  t  mt  m  1  0 (2)  �
YCBT  (1) có 4 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
m 1
�
0  m  1 �1 � �
m �2
�

4
2
Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  (3m  2) x  3m có đồ thị là (Cm)
Tìm m để đường thẳng y  1 cắt đồ thị (C ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ
m

nhỏ hơn 2.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y  1 :

16


x 4  (3m  2) x 2  3m  1
x  �1
�
� x 4  (3m  2) x 2  3m  1  0 � �2
x  3m  1 (*)
�
Đường thẳng y  1 cắt (C ) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ
m

khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và nhỏ hơn 2
�1
  m 1
0

3
m


1

4
�
�
�
3
�
�
�
3m  1 �1
�
 �m �0

4
2
Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  2(m  1) x  2m  1 có đồ thị là  Cm  .
Tìm m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp

số cộng.
Giải:
4
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x  2(m  1) x  2m  1  0 (1)
2
2
Đặt t  x , t �0 thì (1) trở thành: f (t )  t  2(m  1)t  2m  1  0 .
Để (C ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì f (t )  0 phải có 2 nghiệm dương phân biệt.
m

�
 '  m2  0
1
�
m
�
�
2
�S  2  m  1  0 � �
�P  2m  1  0
�
m �0
�
Khi đó �
(*)
Với (*), gọi t1  t2 là 2 nghiệm của f (t )  0 , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với
Ox lần lượt là: x1   t2 ; x2   t1 ; x3  t1 ; x4  t2
x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng � x2  x1  x3  x2  x4  x3 � t2  9t1
� m  1  m  9  m  1  m  � 5 m  4  m  1

m4
�
5m  4m  4
�
�
��
�
4
�


5
m

4
m

4
m
�
9
�
� 4�
m ��
4;  �
� 9
Vậy

(thoả mãn (*))

4
2
Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  2(m  1) x  2m  1 có đồ thị là (Cm).
Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D có hoành
độ lần lượt là x1 , x2 , x3 , x4 ( x1  x2  x3  x4 ) sao cho tam giác ACK có diện tích S  4 ,
biết K (3; 2) .

Giải:
4
2
PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục Ox: x  2(m  1) x  2m  1  0 (1) .

17


2
2
Đặt t  x , t �0 . (1) trở thành: t  2( m  1)t  2m  1  0 (2)
Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
�
�
 (m  1) 2  (2m  1)  0 �
1
�
m
�
�S  2(m  1)  0
2
�
�P  2m  1  0
�
m �0
ĐK là �
�
Khi đó (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự là:
 t1 ;  t2 ; t2 ; t1
, với t1  t2 .

1
AC.d ( K , AC )
2

Ta có:
(3), với d ( K , AC )  yK  2 .
Khi đó: (3)  t1  t2  4  t1  t2  2 t1t2  16
 2(m  1)  2 2m  1  16  m  4 .
S ACK 

Vậy m = 4 là giá trị cần tìm
4
2
2
Ví dụ 5: Cho hàm số y  x  (m  10) x  9 có đồ thị là (Cm).
Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt
là x1 , x2 , x3 , x4 sao cho x1  x2  x3  x4  8
Giải:
4
2
2
PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục Ox: x  (m  10) x  9  0 (1) .
2
2
2
Đặt t  x , t �0 . (1) trở thành: t  (m  10)t  9  0 (2)

Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
�
  ( m2  10) 2  36   m 2  4   m 2  16   0, m
�
�
S 90
�

P  m 2  10  0
�
ĐK là
Khi đó (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự là:
 t1 ;  t2 ; t2 ; t1
, với t1  t2 .
Vì hàm số là hàm số chẵn nên

x1  x2  x3  x4  8 � t1  t2  4
� t1  t2  2 t1t2  16 (*)

�
t1  t 2  m 2  10
�
tt 9
Theo ĐL Vi-et ta có �1 2
2
Thay vào PT (*) ta được m  10  10 � m  0
Vậy m  0 là giá trị cần tìm
2.2.4. Bài tập tương tự
4
2
Bài 1: Cho hàm số y  x  mx  m  1 có đồ thị là  Cm 

Tìm m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
18


4
2

Bài 2: Cho hàm số y   x  2(m  2) x  2m  3 có đồ thị là  Cm  .
Tìm m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp

số cộng.
ĐS:

m  3, m  

Bài 3:

13
9 .

4
2
2
Cho hàm số y  x  2(m  1) x  m  m  2 có đồ thị là  Cm 

Giả sử đồ thị  Cm  cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 , x4 . Chứng
minh rằng: T  x1 x2 ,  x1 x3 ,  x2 x4  x3 x4 �0
Bài 4:

4
2
Cho hàm số y   x  5 x  4 có đồ thị là  C 

m để đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số  C  tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D

Tìm
sao cho AB = BC = CD.

7
m
4
ĐS:

y   x 2  1   m  1  1  m 
2

2

2

Bài 5: Cho hàm số
Xác định các giá trị của m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có
hoành độ tương ứng lập thành 1 cấp số cộng.
9
1
m  � ;m  �
5
5
ĐS:
4
2
Bài 6: Cho hàm số y  x  2(m  1) x  2m  1 có đồ thị là (Cm).

Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3
1
m ‫ ڳ‬ m 1
2
ĐS:

.
ax  b
cx  d với đường thẳng.
2. 3. Sự tương giao của đồ thị hàm số
ax  b
y
cx  d có đồ thị (C) (với a, c ≠ 0, a, b, c,
2.3.1. Bài toán tổng quát: Cho hàm số
d phụ thuộc vào tham số thực) và đường thẳng d: y = αx + β (với α ≠ 0, α, β cũng có
thể phụ thuộc vào tham số thực). Tìm giá trị của tham số để đường thẳng d cắt đồ thị
(C) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn một điều kiện cho trước
2.3.2. Phương pháp
y

Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là

19


d
�
ax  b
�x �
c
 x   � �
cx  d
2
�
cx   c  d   a  x  d   b  0
�

2
Đặt g ( x)  cx   c  d   a  x  d   b  0 (*)



d
c

Để d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thì PT(*) có hai nghiệm phân biệt khác
�
�
c �0
�
�
0
�
� d
�
�g �
 ��0
�
ĐK là � � c �
Gọi A(x1; y1), B(x2; y2); với x1; x2 là nghiệm của phương trình (*) và y1 = αx1 + β;
y2 = αx2 + β
Bước 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng và tích các nghiệm rồi thay tổng
và tích vào từ đó dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số.
Giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện và kết luận.
Nhận xét: Với hai giao điểm A, B ở trên ta có thể đưa ra rất nhiều dạng bài tập có
liên quan đến yếu tố hình học giúp học sinh rèn tư duy như sau:
- Tìm điều kiện của tham số để AB  k

- Tìm điều kiện của tham số để AB có độ dài nhỏ nhất
- Tìm điều kiện của tham số để AB là trung trực của đường thẳng d cho trước
AB nhận I(a;b) là trung điểm
- Tìm điều kiện của tham số để u
uu
r uuu
r
OA
.
OB
k
- Tìm điều kiện của tham số để
- Tìm điều kiện của tham số để ABC có diện tích bằng k
- Tìm điều kiện của tham số để ABC là tam giác vuông, cân, đều,….
- Tìm điều kiện của tham số để ABC có một góc nhọn hoặc góc tù, hoặc một
góc có số đo cho trước.
(Với C là 1 điểm có toạ độ cho trước)
Tất cả các cách hỏi trên đều được biến đổi và sử dụng ĐLVi-et đối với phương trình
bậc hai
2.3.3. Ví dụ minh hoạ
2x  1
y
x  2 có đồ thị là (C).
Ví dụ 1: Cho hàm số
Chứng minh rằng đường thẳng d: y   x  m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt
Giải:
PT
hoành
độ

giao
điểm
của
�x �2
2x  1
 x  m � �
2
x2
�f ( x)  x  (4  m) x  1  2m  0 (1)
20

(C)

và

d:


Để d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2
�
  m 2  12  0
�
m
� 2
(

2)

(4


m
).(

2)

1

2
m


3
�
0
Điều kiện là �
Vậy với mọi m �� thì d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
x 1
y
x  1 (C) và đường thẳng d : y  mx  2
Ví dụ 2: Cho hàm số
Tìm tham số m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện
tích bằng 2 2 .
Giải:
Phương
trình
hoành
độ
giao
điểm
của

d
và
(C):
x  1 �x �1
mx  2 
�� 2
x 1 �
mx   m  3 x  1  0
 2
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì PT (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác
-1. Từ đó ta tìm được m �0
A  x1; mx1  2  ; B  x2 ; mx2  2 
Gọi toạ độ hai giao điểm là
Ta có

AB 

m

2

 1  x2  x1 

2

biến đổi rồi áp dụng Vi-et ta được độ dài

m 2  2m  9
m2
Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB (đường thẳng AB chính là đường

2
h
m2  1
thẳng d ) thì
Diện
tích
tam
giác
OAB
là:
1
1
m 2  2m  9
2
m 2  2m  9
2
. AB.h 
m

1
.


 m2
2
2
m2
m2  1
AB 

 m2  1

m 2  2m  9
2 2
2
m
2
2
Theo giả thiết diện tích tam giác OAB bằng
nên ta có:
m 1
�
2
2
2
� m  2m  9  8m � 7m  2m  9  0 � �
9
�
m
7
�
9
m  1; m  
7 là giá trị cần tìm.
Vậy
y

x3

x  1 có đồ thị là (C)

Ví dụ 3: Cho hàm số
Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.
21


Giải:
Phương trình đường thẳng d : y  k ( x  1)  1
Phương
trình
hoành
độ
giao
điểm
của
d
và
(C):
�x �1
x 3
 kx  k  1 � � 2
x 1
kx  2kx  k  4  0 (*)
�
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N thì PT (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 .
k �0
�
�
  4k  0 � k  0
�

�
Điều kiện là �f (1)  4 �0
Mặt khác: xM  xN  2  2 xI � I là trung điểm MN với k  0 .
Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y  kx  k  1 với k  0 .

2x  2
x  1 có đồ thị là (C).
Ví dụ 4: Cho hàm số
Tìm m để đường thẳng d: y  2 x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB  5 .
Giải:
�x �1
2x  2
 2x  m � � 2
x 1
2 x  mx   m  2  0 (1)
�
PT hoành độ giao điểm:
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thì (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác –1
y

2
ĐK là m  8m  16  0  (2)
m
�
x

x



1
2
�
�
2
�
�x x  m  2
1 2
2 . Gọi A  x1;2 x1  m  , B  x2 ;2 x2  m  .
Khi đó ta có: �
2
2
2
2
Theo bài ra ta có AB  5 � ( x1  x2 )  4( x1  x2 )  5 � ( x1  x2 )  4x1 x2  1

m  10
�
� m 2  8m  20  0 � �
m  2
�
Vậy: m  10; m  2 thoả mãn
x 1
x  m có đồ thị là (C).
Ví dụ 5: Cho hàm số
Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d: y  x  2 cắt đồ thị hàm số (C)
tại hai điểm A và B sao cho AB  2 2 .
Giải:
y

22


�x �m
x 1
 x  2 � �2
xm
�x  (m  1) x  2m  1  0

(*)
PT hoành độ giao điểm:
Để d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt
khác m
��
m  3 2 3
2
��


0
�
m  6m  3  0
�
��
� ��
�
m 3 2 3
x
�


m
m
�

1
�
�
�
m �1
�
ĐK là
(**)
�x1  x2  (m  1)
�
x .x  2m  1
x
,
x
1
2
Khi đó gọi
là các nghiệm của (*) ta có �1 2
Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (C) là A( x1; x1  2), B( x2 ; x2  2) .
AB 2  2( x1  x2 ) 2  2 �
( x1  x2 ) 2  4 x1 x2 �
 2( m 2  6m  3)
�
�
Suy ra
m  1

�
2(m 2  6m  3)  8 � m 2  6m  7  0 � �
m7
�
Theo giả thiết ta được
Kết hợp với điều kiện (**) ta được m  7 là giá trị cần tìm.

y

2x  1
x  1 có đồ thị (C)

Ví dụ 6: Cho hàm số
Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng (d): y  kx  2k  1 cắt đồ thị (C)
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là
bằng nhau.
Giải:
�x �1
2x  1
 kx  2k  1 � � 2
x 1
kx  (3k  1) x  2k  0 (*)
�
PT hoành độ giao điểm:
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
k �0
k �0
�
�
�

�
�
  k 2  6k  1  0 �
k  3  2 2 �k  3  2 3 (**)
�
ĐK là
Khi đó: A( x1; kx1  2k  1), B ( x2 ; kx2  2k  1) .
Ta có:
d ( A, Ox)  d ( B, Ox) � kx1  2k  1  kx2  2k  1
� k ( x1  x2 )  4k  2  0 � k  3 (thoả mãn (**)).

Vậy k = -3 là giá trị cần tìm
2x
y
x  1 có đồ thị (C).
Ví dụ 7: Cho hàm số
Tìm m để đường thẳng d : y  mx  m  2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
độ dài AB ngắn nhất.
23


Giải:

�x �1
2x
 mx  m  2 � �
2
x 1
g
(

x
)

mx
 2mx  m  2  0 (2)
�
PT hoành độ giao điểm:
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thì (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
ĐK là m  0
2
2
2
Khi đó: A( x1; mx1  m  2), B( x2 ; mx2  m  2)  AB  (1  m) ( x2  x1 )
x1  x2  2; x1 x2 

m2
� 1�
AB 2  8 �m  ��16
� m�
m 

Theo định lí Vi-et, ta có:
Dấu "=" xảy ra  m  1 .
Vậy M in AB  4 khi m  1 .
2x 1
y
x  1 có đồ thị là (C).
Ví dụ 8: Cho hàm số
Tìm m để đường thẳng d: y  x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB
vuông tại O.

Giải:
�x �1
�2
x  (m  3) x  1  m  0  *
PT hoành độ giao điểm của (C) và d: �
2
(*) có   m  2m  5  0, m �R và (*) không có nghiệm x = 1.

�x A  xB  3  m
�
�x A .xB  1  m

 (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là x A , xB . Theo định lí Vi-et:
B ; xB  m 
Giả sử A  x A ; x A  m  , B  xu
uu
r uuu
r
OA
.
OB
 0 � x A xB   x A  m   x B  m   0
Để OAB vuông tại O thì
� 2 x A xB  m  x A  xB   m 2  0 � m  2
Vậy m = –2 là giá trị cần tìm

2x  1
x  1 có đồ thị là (C).
Ví dụ 9: Cho hàm số
Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng d: y  x  m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)).
Giải:
Tâm đối xứng của (C) là I(1; 2).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
x �1
�
2x  1
xm��
2
x 1
�f ( x)  x  (m  3) x  m  1  0
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N thì f ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt xM , xN
y

khác 1
24