Các chuyên đề toán đại số THCS rất hay(Có lời giải)

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

MỤC LỤC
1. Chuyên đề 1: Biến đổi đồng nhất.......................................................Trang 2
2. Chuyên đề 2: Các bài toán về đa thức...............................................Trang 22
3. Chuyên đề 3: Các bài toán về căn thức..............................................Trang 27
4. Chuyên đề 4: Phƣơng trình, hệ phƣơng trình đại số........................Trang 54
5. Chuyên đề 5: Phƣơng trình, hệ phƣơng trình vô tỷ..........................Trang 91
6. Chuyên đề 6: Phƣơng trình chứa tham số và hệ thức vi-et.........................Trang 135
7. Chuyên đề 7: Hàm số và đồ thị bậc nhất – bậc 2...............................Trang 169
8. Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng lập phƣơng trình...........................Trang 195
9. Chuyên đề 9: Chứng minh Bất Đẳng thức, Tìm GTNH và GTLN..Trang 121

1


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

CHUYÊN ĐỀ 1. BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

Bài 1. Cho a + b + c = 2009. Chøng minh r»ng:

a 3 + b3 + c3 - 3abc
= 2009
a 2 + b2 + c2 - ab - ac - bc

Lời giải.
Ta có hằng đẳng thức: a 3 + b3 + c3 - 3abc=  a  b  c   a 2  b2  c2  ab  bc  ca 

 a  b  c   a 2  b2  c 2  ab  bc  ca 
a 3 + b3 + c3 - 3abc

=
= a + b + c =2009
Do đó: 2 2 2
a + b + c - ab - ac - bc
a 2  b2  c 2  ab  bc  ca
Bài 2. Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn:
x y z
   1 . Chứng
a b c

minh rằng:

a b c
   0 và
x y z

x2 y 2 z 2
  1
a 2 b2 c 2

Lời giải.
a
x

b
y

c
z

Ta có: 0    

ayz  bxz  cxy
. Suy ra: ayz  byz  cxy  0 .
xyz

 ayz  bxz  cxy 
x y z
x2 y 2 z 2
xy yz xz
x2 y 2 z 2
Do đó: 1       2  2  2  2      2  2  2  2. 

a
b
c
b
c
xyz
a b c
 ab bc ca  a


2

=

 0 
x2 y 2 z 2
 2  2  2. 


2
a
b
c
 xyz 

Vậy

x2 y 2 z 2
   1 (đpcm)
a 2 b2 c 2

Bài 3. Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x  y  z  xyz .
Chứng minh rằng:
xyz  5 x  4 y  3z 
x
2y
3z



1  x 2 1  y 2 1  z 2  x  y  y  z  z  x 

Lời giải.
Ta có:

x
xyz
xyz

xyz
xyz


 2

2
1 x
yz  x.xyz yz  x.  x  y  z  x  xy  yz  zx  x  y  z  x 

Tương tự ta có:

2y
2 xyz
3z
3xyz

;

2
2
1 y
 x  y  y  z  1  z  y  z  z  x 

Do đó:

2


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

x
2y
3z
xyz
2 xyz
3xyz





2
2
2
1 x 1 y 1 z
 x  y  z  x   x  y  y  z   y  z  z  x 


xyz  y  z  2 x  2 z  3x  3 y 

 x  y  y  z  z  x 

Vậy:



xyz  5 x  4 y  3z 

 x  y  y  z  z  x 

xyz  5 x  4 y  3 z 
x
2y
3z



2
2
2
1 x 1 y 1 z
 x  y  y  z  z  x 

Bài 4. Giả sử x, y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn:
y
2 y2
4 y4
8 y8
 2


4
x  y x  y 2 x 4  y 4 x8  y 8

Chứng minh rằng: 5 y  4 x
Lời giải.
Ta có





4 y 4 x 4  y 4  8 y8
y
2 y2
4 y4
8 y8
y
2 y2
4





 4
x  y x 2  y 2 x 4  y 4 x8  y 8 x  y x 2  y 2
x  y 4 x4  y 4











2 y 2 x2  y 2  4 y 2
y
2 y2
4 y4
y




 2
x  y x2  y 2 x4  y 4 x  y
x  y 2 x2  y 2









y  x  y   2 y2
y
2 y2
y
 2


2
x y x  y

 x  y  x  y  x  y

Do đó:

y
 4  y  4x  4 y  5 y  4x
x y

Vậy 5 y  4 x  đpcm 
Bài 5. Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãi điều kiện: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0.
x2
y2
z2
Tính giá trị biểu thức: P  2 2 2  2 2 2  2 2 2
y z x
z x y
x  y z

Lời giải.
Ta có: x  y  z  0  y  z   x   y  z     x 
2

Suy ra: y 2  z 2 – x2  2 yz. Do đó:

Tương tự ta có:

x2
x2

y 2  z 2  x 2 2 yz

y2
y2
z2
z2

;

z 2  x 2  y 2 2 xz x 2  y 2  z 2 2 xy

3

2


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Do đó:
x2
y2
z2
x2
y2
z2
x3  y 3  z 3
P 2







y  z 2  x 2 z 2  x 2  y 2 x 2  y 2  z 2 2 yz 2 xz 2 xy
2 xyz

 x  y  z


3

 3  x  y  y  z  z  x 
2 xyz



0  3.   z  .   x  .   y 
2 xyz



3xyz
3

2 xyz
2

Vậy P   3
2

Lƣu ý cần nhớ: Khi a + b + c =0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc

và ngược lại khi a3 + b3 + c3 = 3abc thì a + b + c = 0
1
x

1
y

1
z

Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn:   =1 và x + y + z = 1.
Chứng minh rằng: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = 0
Lời giải.
1
x

1
y

1
z

Ta có: 1    

xy  yz  zx
Suy ra: xy  yz  zx  xyz
xyz

Do đó: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1 (*)
Thay xy + yz + zx = xyz và x + y + z =1 vào (*) ta được:

(x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1
= (xy + yz + zx) – (xy + yz + zx) + 1 -1 = 0 (đpcm)
Bài 7. Cho x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn:
Tính giá trị biểu thức: P 

1 1 1
  0
x y z

yz
zx
xy
 2
 2
x  2 yz y  2 zx z  2 xy
2

Lời giải.
1
x

1
y

1
z

Ta có: 0    

xy  yz  zx

 xy  yz  zx  0
xyz

Do đó: x2 + 2xy = x2 + 2xy – (xy + yz + xz) = (x2 – xz) + (xy – yz)
Suy ra: x2 + 2xy = (x-y)(x-z)
Do đó:

yz
yz

y  2 zx  x  y  x  z 
2

Tương tự ta có:

zx
zx
xy
xy

; 2

y  2 zx  y  x  y  z  z  2 xy  z  x  z  y 
2

Do đó:
4


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

P


yz
zx
xy
yz
zx
xy
 2
 2



x  2 yz y  2 zx z  2 xy  x  y  x  z   y  x  y  z   z  x  z  y 
2

 yz  y  z   zx  z  x   xy  x  y 

 x  y  y  z  z  x 



 x  y  y  z  z  x   1
 x  y  y  z  z  x 

Vậy P = 1.
Bài 8. Cho x, y, z là số thực thỏa mãn xyz =1
Chứng minh: P 

1
1
1


1
1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx

Lời giải.
Ta có:

1
x
x
1
xy
xy
;




2
1  y  yz x  xy  xyz 1  x  xy 1  z  zx xy  xyz  x . yz 1  x  xy

Do đó:
P

1

1
1
1
x
xy
1  x  xy






 1(đpcm)
1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx 1  x  xy 1  x  xy 1  x  xy 1  x  xy

Bài 9. Cho a  b  c  0. Chứng minh: P 
bc

ca

a b

a

b  c 

2



b

c  a 

2



c

a  b

2

0

Lời giải.
Ta có:
⇔

a
b
c
a
b
c
b 2  ab  ac  c 2


0




b c c a a b
bc a c ba
 a  b  c  a 

a

b  c 

2

b2  ab  ac  c 2

 a  b  c  a b  c 

Tương tự ta có:

b

c  a

2



(1)

c 2  bc  ba  a 2

c
b 2  ac  cb  b 2
(2);

(3)
2
 a  b  b  c  c  a 
 a  b   a  b  b  c  c  a 

Cộng (1), (2), (3) Vế theo vế ta được điều phải chứng minh.
Bài 10. Cho a là nghiệm của phương trình: x2  3x  1  0 . Không cần tính a hãy tính
a2
giá trị biểu thức: Q  4 2
a  a 1

Lời giải.
Do a là nghiệm của phương trình: x2  3x  1  0 nên a2  3a  1  0  a2  1  3a .
a2
a2
a2
a2 1



Suy ra: Q  4 2 
a  a  1 a 2  1 2  a 2  3a 2  a 2 8a 2 8





5


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Bài 11. Cho các số thực a, b, c khác nhau đôi một thỏa mãn: a3  b3  c3  3abc và
ab2
bc 2
ca 2
abc  0 . Tính: P  2 2 2  2 2 2  2
a  b  c b  c  a c  a 2  b2

Lời giải.
Do a3  b3  c3  3abc   a  b  c   a2  b2  c2  ab  bc  ca   0
Do a2  b2  c2  ab  bc  ca  0 với a, b, đôi một khác nhau nên: a + b + c = 0
Suy ra: a + b + c = 0
Khi đó:

ab2
ab2
ab2
b2
b2
b






2
2
2
2
2
a b c
a   b  c  b  c  a   b  c  a  a  c  b b  b 2

Tương tự:

bc 2
c
ca 2
a


;
2
2
2
2
2
2
b c a
2 c  a  b
2

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:
ab2
bc 2

ca 2
b
c
a
1
P 2 2 2  2 2
 2



  a  b  c  0
2
2
2
a b c b c a c  a b
2 2 2
2

Vậy P = 0.
Bài 12. Cho a, b,c là các số thực thỏa mãn: a  b  c  6; 1  1  1  8
ab

bc

ca

Tính giá trị biểu thức: P  c  a  b
ab

bc

ca

Lời giải.
Ta có:
1
1  abc a bc a bc
 1
6.8   a  b  c  





a b
bc
ca
 ab bc ca 
c
a
b
c
a
b
 1
1
1
 3



ab
bc
ac
ab bc a c

Vậy: P  c  a  b  6.8  3  39
ab

Bài 13. Cho

bc

ca

a 4 b4
1
và a2  b2  1 . Chứng minh rằng:
 
x
y x y

a) bx 2  ay 2

b)
Lời giải.

6

x 2000 y 2000
2

 1000 
1000
1000
a
b
a  b


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”



a 2  b2
a 4 b4
a 4 b4
1
2
2
a) Từ  
và a  b  1 suy ra:  
x
y
x y
x
y x y







  x  y  a 4 y  b4 x   x  y  a 2  b2



2



 ay 2  bx 2



2



2

 0  bx 2  ay 2 .

b) Từ câu a) bx 2  ay 2
1000

 x2 
x2 y 2 x2  y 2
1





 
a
b
ab
a b  a 
2000
2000
Do đó: x1000  y1000 

a

b

1000

 1 


 a b 

1000

 y2 
; 
 b 

1000

 1 


 a b 

2

a  b

1000

ax  by  c

Bài 14. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: bx  cy  a
cx  ay  b


Chứng minh rằng: a3  b3  c3  3abc
Lời giải.
ax  by  c

Ta có: bx  cy  a . Công theo vế các phương trình của hệ ta được:
cx  ay  b


 a  b  c  x   a  b  c  y  a  b  c   a  b  c  x  y  1  0
a  b  c  0

 x  y 1

Với a  b  c  0 thì:  a  b  c   a2  b2  c2  ab  bc  ca   0  a3  b3  c3  3abc (1)
Với x + y = 1 thay vào giả thiết ta được: a = b = c  a3  b3  c3  3abc (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài 15. Chứng minh rằng nếu: x  a  b ; y  b  c ; z  c  a
ab

bc

ca

Thì: 1  x 1  y 1  z   1  x 1  y 1  z 
Lời giải.
Ta có:
a b
2a
bc
2b
ca
2c

;1  y  1 

; 1 z  1

ab a b
bc bc
ca ca
8abc
 1  x 1  y 1  z  
(1)

 a  b  b  c  c  a 

1 x  1

Mặt khác:
7


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

a b
2b
bc
2c
ca
2a

; 1 y  1

; 1 z  1

ab ab
bc bc
ca ca
8abc
 1  x 1  y 1  z  
(2)
 a  b  b  c  c  a 

1 x  1

Từ (1) và (2) suy ra: 1  x 1  y 1  z   1  x 1  y 1  z 
Bài 16. Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn: ay  bx  cx  az  bz  cy
c

b

a

Chứng minh rằng:  ax  by  cz 2   x 2  y 2  z 2  a 2  b2  c 2 
Lời giải.
Đặt ay  bx  cx  az  bz  cy  k  k  cay 2 cby  bcx 2 baz  abz 2 acy
c

k

b

a

c

b

a

cay  cbx  bcx  abz  abz  acy
 0  ay  bx  cx  az  bz  cy  0
a 2  b2  c2

  ay  bx    cx  az    bz  cy   0
2

2

2

  a 2  b 2  c 2  x 2  y 2  z 2    ax  by  cz   0
2

Suy ra:  ax  by  cz 2   x 2  y 2  z 2  a 2  b2  c 2 
Bài 17. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: b  c; a  b  c và c2  2  ac  bc  ab 
Chứng minh rằng:

a2   a  c 
b  b  c 
2

2

2



ac
bc

Lời giải.
Ta có:
a 2   a  c   a 2  c 2  c 2   a  c   a 2  c 2  2  ac  bc  ab    a  c   2  a  c  a  c  b 

2

2

2

Tương tự: b2   b  c  = 2  b  c  b  c  a 
2

Do đó:

a2   a  c 
b  b  c 
2

2

2



2  a  c  a  c  b 
2  b  c  b  c  a 



ac
(đpcm)
bc

Bài 18. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a 4  b4  c 4  1  a 2  b2  c 2 

2

2

Lời giải.
Từ: a + b + c = 0  b  c  a   b  c   a 2  b2  2bc  c 2  a 2
2



 a 2  b 2  c 2  2bc  a 2  b 2  c 2



 

 2 a 4  b4  c 4  a 2  b2  c 2





2

 4b 2c 2  a 4  b 4  c 4  2a 2b2  2b2 c 2  2c 2 a 2

2

8


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Vậy: a 4  b4  c 4  1  a 2  b2  c 2 

2

2

Bài 19. Cho m  a  b ; n  c  d ; p  ac  bd . Chứng minh rằng: m  n  p  m.n. p
a b

cd

ad  bc

Lời giải.
Ta có:
mn p 


a  b c  d ac  bd  a  b  c  d    c  d  a  b  ac  bd




a  b c  d ad  bc
ad  bc

 a  b  c  d 

2  ac  bd 



ac  bd  ac  bd   2  ad  bc    a  b  c  d  

ad  bc
 a  b  c  d  ad  bc 

 a  b  c  d 
 ac  bd  a  b  a  c   m.n. p

 a  b  c  d  ad  bc 

Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 20. Cho các số dương x, y thỏa mãn: 7 x2 13xy  2 y 2  0
Tính giá trị biểu thức: A 

(1)

2x  6 y
.
7x  4 y

Lời giải.
Từ (1) ta có: (7 x  y)( x  2 y)  0  x  2 y (do x, y > 0)
Thay x = 2y vào A ta được:

A

2 x  6 y 4 y  6 y 2 y 1



7 x  4 y 14 y  4 y 18 y 9

2010
 2010
1 

y
Bài 21. Cho các số thực x, y thỏa mãn:  x
 x  2 y  2335

x
y

Tính giá trị biểu thức: B  .
Lời giải.
Đặt a 

2010
2010
, b
với a, b > 0.
x
y


a 1  b
 a 1  b
1
2
7


 1 2 7  

 2010 2.2010
a a 1 6

 2345   
Từ (2) suy ra: 
b
a b 6
 a
 7a 2  11a  6  0  a  2 (do a  0) suy ra : b  3.

Vậy:

B

x b 3
  .
y a 2

9

(2)


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

5

5x  3 y  z

2
Bài 22. Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn: 
t  t  t  9

 x y z 10

Tính giá trị biểu thức: C 

(1)
(2)

t2 t2 t2
  .
xy yz zx

Lời giải.
Từ (1) ta có: y  5 x, z  2 x.
3

Thay y  5 x, z  2 x. vào (2) ta được: t  t  t  9  t  x.
3

Vì thế: C 

x

5
x
3

2x

10

t 2 t 2 t 2 x2 x2 x2 x x x x 3 3 1 1 7
  
 
  .    .   .
xy yz zx xy yz zx y y y z 5 5 2 2 5
( x  y )( x  y )  z 2

Bài 23. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: 


4 y2  5  7z2

(4)

Tính giá trị biểu thức D  2 x2  10 y 2  23z 2 .
Lời giải.
 z 2  x2  y 2  0

Ta có: (4)  

2
2
 4 y  7 z  5.

(4)

Ta tìm các số thực a, b thỏa mãn: a( z 2  x2  y 2 )  b(4 y 2  7 z 2 )  2 x2  10 y 2  23z 2
 ax 2  (4b  a) y 2  (7b  a) z 2  2 x 2  10 y 2  23z 2
 a2
a  2

  4b  a  10  
7b  a  23 b  3.


Vậy D = 2.0 + 3.5 = 15.
Bài 24. Cho các số thực x, y, z, t thỏa mãn:
t

1

t
 x  2 y  2z
.
(5) . Tính giá trị biểu thức: E 

x  8 y  9z

t
1


 z  3x 2


Lời giải.

10


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

y
z
x
 t  2 t  2 t  1
Ta có: (5)  
 z 3 x  2
 t
t

Mặt khác: 1  x  8 y  9 z . Giả sử a, b là các số thực thỏa mãn:
E

t

t

t

y
z 
x z x
y
z
x
a   2.  2.   b  3.     8.  9.
t
t 
t t t
t
t
t
x
y
z x
y
z
  a  3b   2a.  (2a  b).   8  9
t
t
t t
t
t
 a  3b  1
a  4
1


  2a  8  
  4.1  1.2  6.
E
b 1
 2a  b  9


Vậy E  6
Bài 25. Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a3  a2b  ab2  6b3  0 .
Tính giá trị của biểu thức B 

a 4  4b4
.
b4  4a 4
Lời giải.

Ta có: a3  a2b  ab2  6b3  0  (a  2b)(a2  ab  3b2 )  0 (*)
Vì a > b > 0  a 2  ab  3b2  0 nên từ (*) ta có a = 2 b
Biểu thức B 

a 4  4b4 16b 4  4b 4
12b 4
4

B


.
Vậy:
4

4
4
4
4
b  4a
b  64b
63b
21

Bài 26. Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn:

1
x  y  z 
2

1
1 1
1
 4.
 2 2 2
x
y
z
xyz

1 1 1
   0
x y z

Tính giá trị của biểu thức: P   y 2009  z 2009  z 2011  x 2011  x 2013  y 2013 

Lời giải.
Từ giả thiết suy ra:
 1 1 1  1 1 1
1 1 1
1
1 1 1 2(x  y  z) 1 1 1
4 2  2  2 
 2 2 2
 2  2  2  2        
x y z xyz x y z
xyz
x y z
 xy yz zx   x y z 

11

2


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Mà

1 1 1
1 1 1
   0 suy ra    2 (1)
x y z
x y z

Mặt khác x  y  z 

1
1
 2 (2)
suy ra
2
xyz

Từ (1) và (2) suy ra

1 1 1
1
  
(3)
x y z xyz

Biến đổi

(3)   x  y  y  z  z  x   0

 x 2013   y 2013
 x 2013  y 2013  0
x  y  0
x   y


  z  y  0   y   z   y 2009   z 2009   y 2009  z 2009  0
 z 2011   x 2011
 z 2011  x 2011  0
 x  z  0

 z   x



Bài 27. Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời

nên P = 0

1 1 1
2 1
   2 và
  4.
x y z
xy z 2

Tính giá trị của biểu thức P = (x + 2y + z)2012.
Lời giải.
2

+) Ta có

1 1 1
1 1 1
  2    4
x y z
x y z
2

1
1

1
2
2
2
2
1


+) Do đó  1  1  1   2  12  2  2  2      2  0
x
y
z
xy yz zx xy z
xy z
x y z
2
1  1
2
1
1 1
1 1
 1
 2   2  2 
 2   0          0
xz z   y
yz z 
x
x z  y z
2

2

 1 1 2
 1 1
    0

 x z 
 x z


 x  y  z
2
 1 1 
 1  1
 y  z   0
 y z



Thay vào

1 1 1
1
1
   2 ta được x = y = ; z =
x y z
2
2

1

1 1
Khi đó P =   2.  
2

2

2 

2012

 12012  1

Bài 28. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a + 2b + 3c = 14.
Tính giá trị của biểu thức T = abc.
Lời giải.

12


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

a 2  b 2  c 2  14 a 2  b 2  c 2  14
Ta có 

a

2
b

3

c

14

2a  4b  6c  28

 a2 + b2 + c2 – 2a – 4b – 6c = - 14
 (a – 1)2 + (b – 2)2 + (c – 3)2 = 0  a = 1; b = 2; c = 3
T = abc = 6.
100

Bài 29. Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a
Tính giá trị biểu thức: P  a

2010

 b100  a101  b101  a102  b102

 b2010
Lời giải.

Ta có:

0  a100 + b100   a101  b101   a101  b101  (a102  b102 )
 a100 1  a   b100 1  b   a101 1  a   b101 1  b 
 a100 . 1  a   b100 . 1  b   0
2

2

Do đó a = b = 1 (do a, b dương)
2010
2010
Vậy P  a  b  1 1  2

Bài 30. Cho số x x  R; x  0 thoả mãn điều kiện: x2 + 12 = 7
x

Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + 13 và B = x5 + 15
x

x

Lời giải.
1
x

Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = 9  x +
1
x

 21 = (x + )(x2 +
 7.18 = (x2 +
 B = x5 +

1
= 3 (do x > 0)
x

1

1
1
1
) = (x3 + 3 ) + (x + )  A = x3 + 3 =18
2
x
x
x
x

1
1
1
1
)(x3 + 3 ) = (x5 + 5 ) + (x + )
2
x
x
x
x

1
= 7.18 - 3 = 123
x5

Câu 31. Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a2  3a  b2  3b  2
a) Chứng minh rằng a  b  3
b) Chứng minh rằng a3  b3  45
Lời giải.

13


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

2
a  3b  2
a) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn  2
b  3a  2

 a 2  b 2  3  a  b   0   a  b  a  b   3  a  b   0   a  b  a  b  3  0
 a  b  0  loai 

 a  b  3

b)  a  b   27
3

 a3  b3  3ab  a  b   27  a3  b3  9ab  27

vì a2  3a  b2  3b  4   a  b   2ab  3  a  b   4  ab  2
2

vậy a3  b3  45
Câu 32. Với a, b, c là các số thực thỏa mãn:
(3a  3b  3c)3  24  (3a  b  c)3  (3b  c  a)3  (3c  a  b)3

Chứng minh rằng :  a  2b b  2c c  2a   1
Lời giải.

3a  b  c  x

Đặt 3b  c  a  y
 3c  a  b  z


Ta có:
(3a  3b  3c)3  24  (3a  b  c)3  (3b  c  a)3  (3c  a  b)3  ( x  y  z )3  24  x 3  y 3  z 3
 ( x  y  z )3  24  ( x  y  z )3  3( x  y )( y  z )( z  x)  24  3( x  y )( y  z )( z  x)  0
 24  3(2a  4b)(2b  4c)(2c  4a)  0
 24  24(a  2b)(b  2c)(c  2a)  0
 (a  2b)(b  2c)(c  2a)  1

Bài 33. Cho Các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời 2 đẳng thức:
i)  a  b  b  c  c  a   abc
ii)  a3  b3  b3  c3  c3  a3   a3b3c3 . Chứng minh: abc  0

Lời giải.
Ta có: (a + b )(b + c )(c + a ) = a b c
3

3

3

3

3

3

3 3 3

⇔ (a+b)(b+c)(c+a)(a2 – ab + b2)(b2 – bc + c2)(c2 – ca +a2) = a3b3c3
Mà: (a+b)(b+c)(c+a) = abc. Do đó:
abc(a2 – ab + b2)(b2 – bc + c2)(c2 – ca +a2) = a3b3c3
⇔ abc = 0 hoặc (a2 – ab + b2)(b2 – bc + c2)(c2 – ca +a2) = a2b2c2
14


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

* Nếu abc ≠ 0
Thì: a2 – ab + b2≥ |ab| ; b2 – bc + c2≥ |bc|; c2 – ca + a2≥ |ca|
Suy ra: (a2 – ab + b2)(b2 – bc + c2)(c2 – ca +a2) ≥ a2b2c2
Mà: (a2 – ab + b2)(b2 – bc + c2)(c2 – ca +a2) = a2b2c2
Do đó a = b = c thay vào (i) ⇒ 7a3 = 0 ⇒ a = 0 ⇒ abc = 0 (mâu thuẫn)
Vậy: abc = 0 (đpcm)
Bài 34. Cho các số a, b thỏa mãn 2a 2  11ab  3b2  0, b  2a, b  2a . Tính giá trị biểu
thức: T 

a  2b 2a  3b

.
2a  b 2a  b

Lời giải.
Ta có

a  2b 2a  3b (a  2b)(2a  b)  (2a  3b)(2a  b) 6a 2  11ab  b 2

T



2a  b 2a  b
(2a  b)(2a  b)
4a 2  b 2
Từ giả thiết suy ra 11ab  2a 2  3b2 , thay vào T ta được:

6a 2  11ab  b2 6a 2  2a 2  3b2  b2 2(4a 2  b 2 )


 2.
4a 2  b 2
4a 2  b 2
4a 2  b 2
Bài 35. Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện:

T

6a 2  20a  15  0; 15b2  20b  6  0; ab  1.
Chứng minh rằng:

b3
ab 2  9  ab  1



3

6
.
2015
Lời giải.

Ta ký hiệu các điều kiện như sau:

6a 2  20a  15  0

(1); 15b2  20b  6  0

(2); ab  1 (3).

Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt.
Do (3) nên b khác 0. Chia hai vế của (2) cho b2 ta được
2

1
1
6    20    15  0
b
b
Từ (1), (3) và (4) suy ra a và

1
là hai nghiệm khác nhau của phương trình
b

6 x 2  20 x  15  0
Theo định lí Vi-ét: a 

(4)

1
10 a 5
 ;  .
b
3 b 2
15

(5)


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

ab2  9  ab  1
a
1 5

 10  2015
Từ đó :
  9 a     9   
3
b
b
b 2
6

 3
3

Suy ra

b3
ab 2  9  ab  1

3

3



3

6
, điều phải chứng minh.
2015

x  y  a  b
Bài 36. Cho trước a, b  R ; gọi x, y là hai số thực thỏa mãn  3
3
3
3
x  y  a  b

Chứng minh rằng: x2011  y 2011  a 2011  b2011 .
Lời giải.
Cho trước a, b  R ; gọi x,y là hai số thực thỏa mãn
x  y  a  b
( I ) .Chứng minh rằng: x2011  y 2011  a 2011  b2011 .

 3
3
3
3
x  y  a  b

 x  y  a  b
(I )  
3
3
 x  y   3xy  x  y    a  b   3ab  a  b 
(1)
x  y  a  b

(*)
xy
(
a

b
)

ab
(
a

b
)
(2)


x  y  a  b
+/Nếu a  b  0 thì (*)  
 xy  ab

=> x, y là 2 nghiệm của phương trình X 2  (a  b) X  ab  0
x  b x  a
Giải ra ta có 
=> x2011  y 2011  a 2011  b2011 .
;
y  a y  b

+/Nếu a  b  0 => a  b .
x  y  0
Ta có hệ phương trình  3
 x  y .
3
x

y

0


a 2011  b 2011  0
=>  2011
=> x2011  y 2011  a 2011  b2011
2011
 x  y  0

Bài 37. Cho

a 2  bc b2  ca c 2  ab
x 2  yz y 2  zx z 2  xy


. Chứng minh rằng:


a
b
c
x
y
z

Gợi ý.
16


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

x 2  yz y 2  zx z 2  xy
x 2  yz
y 2  zx
z 2  xy


ka
,b 
,c 

a
b
c
k
k
k

Đặt

Sau đó tính: a2  bc, b2  ca, c2  ab theo x, y,z, k từ đó suy ra:

a 2  bc b2  ca c 2  ab


x
y
z

Bài 38. Phân tích đa thức thành nhân tử: P  x4  2000x2  1999x  2000.
Lời giải.
P  x 4  2000 x 2  1999 x  2000  x 4  x3  x 2  1999  x 2  x  1   x 3  1
 x 2  x 2  x  1  1999  x 2  x  1   x  1  x 2  x  1
  x 2  x  1 x 2  1999  x  1   x 2  x  1 x 2  x  2000 

Bài 39. Cho a, b ≠ 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh:

2  ab  2 
a
b
 3

 2 2
b 1 a 1 a b  3
3

Lời giải.
VT 






a
b
a
b
 3


b  1 a  1  b  1  b2  b  1  a  1  a 2  a  1
3

a
b
1
1

 2
 2
2

a  b  b  1 b  a  a  1 b  b  1 a  a  1
2

  a 2  a  1   b 2  b  1

a

2

 a  1 b 2  b  1
2  ab  2 

a b   a  2ab  b   2
2 2

2

2

 a  b 2  2ab  3

 2 2 
2
2
a b  ab  a  b   a  b  ab  2


2  ab  2 
 VP
a 2b 2  3

Vậy bài toán được chứng minh.
Bài 40. Phân tích đa thức thành nhân tử: P  a4  b  c   b4  c  a   c 4  a  b 
Lời giải.
Ta có:
P  a 4  b  c   b 4  c  a   c 4  a  b   a 4  b  c   b 4  a  b    b  c    c 4  a  b 

 a 4  b  c   b4  a  b   b 4  b  c   c 4  a  b    a  b   c 4  b 4   b  c   a 4  b 4 
  a  b  b  c  c  a   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca 


1
2
2
2
 a  b  b  c  c  a   a  b    b  c    c  a  
2

Bài 41. Với a, b, c là số thực thỏa mãn:
(3a +3b+3c)3 = 24 + (3a + b – c)3 + (3b + c – a )3 + (3c + a – b) (*)
Chứng minh rằng: (a+2b)(b+2c)(c+2a) = 1
17


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Lời giải.
Đặt: 3a + b – c = x; 3b + c – a = y; 3c + a – b = z. Ta có:
(*) ⇔ (x+y+z)3 = 24 + x3 + y3 + z3
⇔ 3(x+y)(y+z)(z+x) =24 ⇔ 24(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 24

⇔ (a+2b)(b+2c)(c+2a) = 1 (đpcm)
Bài 42. Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị biểu thức:
P

a2
b2
c2


 a  b  a  c   b  c  b  a   c  b  c  a 

Hƣớng dẫn.
P

a 2  c  b   b2  a  c   c 2 b  a 
a2
b2
c2



 a  b  a  c   b  c  b  a   c  b  c  a 
 a  b b  c  c  a 

Bẳng cách tách: a  c    c  b    b  a  ta phân tích được:
a 2  c  b   b2  a  c   c 2  b  a   a  b  b  c  c  a 
P

1
 a  b  b  c  c  a 

 a  b  b  c  c  a 

Bài 43. Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn:
P

a
b
c


 1. Tính giá trị biểu thức:
bc ca a b

a2
b2
c2


bc ca a b

Lời giải.
Ta có: a + b + c ≠ 0 do nếu a + b + c = 0 thì:
a
b
c
a
b
c






 1  1  1  3 (trái với giả thiết)
b  c c  a a  b a b c

Do đó a + b + c ≠ 0. Khi đó:

 b  c  a  b2   c  a  b  c2   a  b  c
b
c 
a2
 a
a  b  c  a  b  c





bc
ca
ca
a b
a b
bc ca ab  bc
a2
b2
c2
 abc



bc ca ab
2
a
b2
c2
P


0
bc ca ab
a  b  c  d
Bài 44. Cho 4 số a, b, c, d nguyên thỏa mãn: 
. Chứng minh: c = d.
 ab  1  cd
Lời giải.
Ta có: a + b = c + d suy ra: a = c + d – b thay vào ab + 1 = cd
Ta có:  c  d – b  .b  1  cd  b  d  b   cd  cd  1  0   d  b b  c   1
18


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Vì b,c, d là số nguyên nên: d – b = -b + c = 1 hoặc –d + b = b – c = 1
Vậy c = d
 a b  c 1

Bài 45. Cho a 2  b 2  c 2  1 . Tính giá trị biểu thức: P  a2018  b2018  c2018
 a 3  b3  c 3  1


Lời giải.
Ta có:

 a  b  c   a 2  b2  c 2  2  ab  bc  ca   1
 1  2  ab  bc  ca   1  ab  bc  ca  0
2

Mặt khác:
a3  b3  c3  3abc   a  b  c   a 2  b2  c 2  ab  bc  ca   1  3abc  1. 1  0 
 abc  0  a  0  b  0  c  0

b2  2bc  c 2  1
b  0
 b  c 1
Xét a = 0 thì  2 2   2 2
 bc  0  
b  c  1  b  c  1
c  0


Do đó: a = 0 , b = 0, c = 1 hoặc a = 0 , b = 1, c = 0
Khi đó: P = 1
Lập luận tương tự với các trường hợp b = 0 và c = 0.
Vậy P = 1.
Bài 46. Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng: a3  b3  c3  d 3  3  c  d  ab  cd 
Lời giải.
Từ: a  b  c  d  0
 a  b    c  d    a  b     c  d   a 3  b3  3ab  a  b   c 3  d 3  3cd  c  d 
3

3

 a 3  b3  c3  d 3  3ab  a  b   3cd  c  d   a 3  b3  c 3  d 3  3ab  c  d   3cd  c  d 
 a 3  b3  c3  d 3  3  c  d  ab  cd 

Vậy bài toán được chứng minh.


Bài 47. Cho a3  b3  c3  3abc . Tính giá trị biểu thức: A  1  
1  1  
b
c
a
a



Lời giải.

19

b



c






CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

a 3  b3  c 3  3abc
  a  b   3ab  a  b   b3  3abc
3

  a  b  c   3c  a  b  a  b  c   3abc  3ab  a  b 
3

  a  b  c   3c  a  b  a  b  c   3ab  a  b  c 
3

  a  b  c   3  a  b  c  ab  bc  ca 
3

2
  a  b  c   a  b  c   3  ab  bc  ca    0



  a  b  c   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   0

1
2
2
2
 a  b  c   a  b    b  c    c  a    0

2
abc  0

a  b  c  0


2
2
 abc
 a  b    b  c    c  a   0


a  b c  b a  c c a b
.
.
 . .  1
a
b
a
a b a

Với a + b + c = 0 thì: P 

Với a = b = c thì P  1  11  11  1  8
Bài 48. Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: ab + bc +ca = 1. Tính giá trị biểu
thức:

 a  b b  c   c  a 
a) A 
2

2
2
2

2

2

b)

1  a 1  b 1  c 

a
B

2

 2bc  1 b 2  2ca  1 c 2  2ab  1

 a  b b  c  c  a 
2

2

2

Lời giải.
a) Ta có: 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c)
Tương tự: 1 + b2 = (a + b)(b + c)
;

1 + c2 = (c +a)(b +c)

 a  b b  c  c  a 
Do đó: A 
2
2
2
2

2

2

1  a 1  b 1  c 

 a  b  b  c  c  a 

2
2
2
 a  b b  c  c  a 
2

2

2

1

b) Ta có: a2 + 2bc – 1 = a2 + 2bc – ab – bc – ca = (a-b)(a-c)

Tương tự: b2 + 2ca – 1 = (b – c)(b – a)
;
c2 + 2ab - 1 = (c – a)(c – b)
Do đó:

a
B

Bài 49. Cho

2

 2bc  1 b 2  2ca  1 c 2  2ab  1

 a  b b  c   c  a 
2

2

2

 a  b b  c  c  a 

2
2
2
 a  b  b  c   c  a 
2

2

1 1 1
ab bc ac
   0 . Tính giá trị biểu thức: P  2  2  2
a b c
c
a b

Gợi ý.
Ta dễ dàng chứng minh được khi

1 1 1
1 1 1
3
   0 thì 3  3  3 
a b c
a b c
abc

20

2

1


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Do đó: P 

ab bc ac abc abc abc
3
1 1 1
 2  2  3  3  3  abc  3  3  3   abc.
3
2
c
a b
c
a
b
abc
a b c 

Bài 50. Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn
Tính giá trị biểu thức P 

1
1
2
 2

x  1 y  1 xy  1
2

1
1
2
 2


x  1 y  1 xy  1
2

Lời giải.
1
1
2
1
1
1
1
 2

 2

 2

0
x  1 y  1 xy  1
x  1 xy  1 y  1 xy  1
2

xy  y 2
xy  x 2

 0   xy  y 2  y 2  1   xy  x 2  x 2  1  0
2
2
 x  1  xy  1  y  1  xy  1
  x  y   xy  1  0  xy  1 (vi x  y )  S  2

2

CHỦ ĐỀ 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC
Bài 1.
Cho đa thức P( x)  ax2  bx  c. Biết P( x) chia cho x + 1 dư 3, P( x) chia cho x dư 1 và
P( x) chia cho x – 1 dư 5. Tìm các hệ số a, b, c.

Lời giải.
Vì P(x) chia cho x + 1 dư 3 nên P(x) – 3 chia hết cho x + 1.
⇒ P(x) – 3 = f(x).(x + 1)
Thay x = –1 vào đẳng thức trên ta có:
P(–1) – 3 = f(–1).( –1 + 1) = 0.
⇒ P(–1) = 3

(1)

Tương tự, P(x) chia cho x dư 1 nên P(0) = 1
P(x) chia cho x – 1 dư 5 nên P(1) = 5
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

(2)

a.(1) 2  b.(1)  c  3 a  b  c  3
a  3
 2


 c  1
 b  1

a.0  b.0  c  1
a.12  b.1  c  5
 a  b  c  5 c  1




⇒ P(x) = 3x2 + x + 1. Thử lại ta thấy P(x) thỏa mãn đề bài.
Vậy P(x) = 3x2 + x + 1.
Bài 2. Cho đa thức f ( x)  x2   a  3 x  a . Xác định a để f(x) chia hết cho (x – 2).
21


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Lời giải.
Vì f ( x) x  2  nên x = 2 là nghiệm của đa thức f(x) hay f(2) = 0
Do đó: 22   a  3 .2  a  0  a  2
Bài 3. Cho đa thức f ( x)  x2  2  a  1 x  b  1. Xác định a, b để f(x) chia hết cho
(x – 1) và và đa thức (x + 2).
Ta có: f  x  x  1 ;

Lời giải.
f  x  x  2  nên x = 1 và x = -2 là nghiệm của đa thức f(x)

hay f(1) = 0 và f(-2) = 0. Do đó:
2

 2a  b  2
3

 1  2  a  1 .1  b  1  0

 a   ; b  1

2
2
4a  b  7

 2   2  a  1 .  2   b  1  0

Bài 4. Cho đa thức bậc 3 dạng: f  x  = x3  ax2  bx  c chia hết cho (x – 2) và khi
chia cho (x2 – 1) dư 2x.
Lời giải.
Ta có f(x) chia hết cho (x – 2) nên x = 2 là nghiệm của đa thức f(x) hay f(2) = 0.
Do đó: 23  a.22  b.2  c  0  4a  2b  c  8 1
Mặt khác: f(x) chia cho (x2 – 1) dư 2x nên g(x) = f(x) – 2x nhận (x2 – 1) là nghiệm
hay x = 1 và x = -1 là nghiệm của g(x). Do đó:
 g 1  0
 1 a  b  c  2  0



 g  1  0 1  a  b  c  2  0


Từ (1), (2), (3) ta có: a  

 2
(3)

10
10
; b  1; c 
.
3
3

Vậy đa thức cần tìm là: f  x   x3 

10 2
10
x x
3
3

Bài 5. Cho đa thức f(x) có bậc 2002 thỏa mãn điều kiện: f  n  

1
với x = 1; 2;
n

3;....;2001. Tính giá trị của f(2002)
Lời giải.
1
n

1
n

Ta có: f  n   nên f  n    0 với x = 1; 2; 3;....;2001. Suy ra: x = 1; 2; 3;....;2001

1
x

là nghiệm của phương trình: f  x    0 hay

x.f(x)  1
0
x

Xét phương trình: G  x   x. f  x   1 có nghiệm là x = 1; 2; 3;....;2001 và G(0) = -1.
22


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Do đó G(x) có dạng: G  x   a  x  1 x  2 x  3 ...  x  2001
Suy ra: G(0) = a.(-1)(-2)(-3)....(-2001) = -1 Vì thế: a 

1
.
1.2.3....2001

Do đó:
1
 x  1 x  2  x  3 ...  x  2001
1.2.3....2001
1
 xf  x   1 
 x  1 x  2  x  3 ...  x  2001
1.2.3.....2001

 x  1 x  2  x  3 ...  x  2001  1.2.3...2001
 f  x 
1.2.3.....2001.x
 2002  1 .  2002  2  ...  2002  1  1.2.3...2001  2.1.2.3.....2001  1 .
 f  2002  
1.2.3.4...2001.2002
1.2.3...2001.2002 1001

G  x 

Bài 6. Cho đa thức: P  x   x4  ax3  bx2  cx  d thỏa mãn P 1  3, P  3  11, P  5  27.
Tính giá trị của: S  P  2  7.P  6 .
Lời giải.
Xét đa thức: f  x  = ax  bx  c thỏa mãn: f 1  3, f  3  11, f  5  27.
2

2

 a.12  b.12  c  3
a  1
 2
Khi đó ta có:  a.3  b.3  c  11  b  0 Nên f  x   x2  2
a.52  b.5  c  27

c  2


Suy ra đa thức Q  x   P  x   f  x  là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và nhận
1,3, 5 là nghiệm,
Do đó: Q  x    x  1 x  3 x  5 x  m  . Từ đó ta tính được:


 P  2   Q  2   f  2   216  105m


 7.P  6   7.Q  6   f (6)  896  105m

Vậy: S  P  2  7.P  6  216  105m  896  105m  1112.
Bài 7. Thì các đa thức g(x) và h(x) với hệ số nguyên sao cho:


g
h


7

2 7
2

2 .

Lời giải.
Đặt u  2  7 ta cần xác định các đa thức h(x) và g(x) sao cho
h u   g u  . 2  0







Xét tích: u   2  7  u   2  7   u 2  2 7u  5.
23

h u 
 2 hay
g u 


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Do u là nghiệm của phương trình u 2  2 7u  5  0 nên
Mặt khác:

u2  5
 7
2u

u2  5 u2  5
2 u 7 u

2u
2u

Vậy h  x   u 2  5; g  x   2x
Thử lại thấy h(x) và g(x) thỏa mãi điều kiện bài toán.
x3
Bài 8. Cho f  x  
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1  3x  3x 2

 1 
A f 

 2012 

 2 
f
  ... 
 2012 

 2010 
f

 2012 

 2011 
f

 2012 

Lời giải.
Nhận xét. Nếu x  y  1 thì f  x   f  y   1.
Thật vậy, ta có f  x  

1  x 
f  y   f 1  x   3
3
x  1  x 
3

x3
x3  1  x 

3



1  x   1 .
suy ra f  x   f  y   f  x   f 1  x   3
 3
3
3
x  1  x  x  1  x 
3

x3

1
1
Vậy, nhận xét được chứng minh. Ta có f    .
2

2

Theo nhận xét trên ta có:
  1 
 2011     2 
 2010  
A f 

 f 
   f 
 f 
   ... 
 2012     2012 
 2012  
  2012 
  1005 
 1007  
 1006 
1
 f 
  f 
  1005  f    1005,5
f
 2012  
 2012 
2
  2012 

Bài 9. Tìm đa thức P(x) bậc 4 thỏa mãi các điều kiện sau:
P(-1) = 0 và P  x   P  x  1  x  x  1 2x  1 , x  R.
Lời giải.
Với x = 0 thì P  0  P  1  0
Với x = - 1 thì P  1  P  2  0
Do đó P(x) nhận -1, 0, -2 là nghiệm.
Đặt P  x   x  x  1 x  2 ax  b  vớ a ≠ 0.
Với x = 1 thì P(1) = P(0) + 6 = 6. Suy ra: a + b = 6 (1)
24

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”

Với x = 2 thì P(2) = P(1) + 30 = 36. Suy ra: 2a  b 
Từ (1) và (2) suy ra: a  b 
1
2

3
(2)
2

1
2

Vậy P  x  x  1  x  2 
2

Bài 10. Cho đa thức P(x) thỏa mãn:
1 1
P 1  1; P    2 P  x  , x  0; P  x1  x2   P  x1   P  x2  , x1 , x2  R.
 x x

Tính P  
7
5

Lời giải.
Ta có: P(2) = P(1 + 1) = P(1) + P(1) = 1 + 1 = 2.
Tương tự: P(3) = 3; P(5) = 5; P(7) = 7.

Từ đó: P    2 P  7   ; P    P    P   
7 7
7 7
7
7 7
1

1

1

2

1

1

2

Tương tự: P    ; P   
7 7 7 7
3

3

5

5

Bài 11. Cho đa thức P  x   x3  x và Q  x   x81  x49  x25  x9  x  1.

a) Tìm số dư trong phép chia Q(x) cho P(x)
b) Tìm x để Q  x  P  x 
Lời giải.
a) Ta có: P  x   x  x2  1 ; Q  x   x  x80 1  x  x48 1  x  x24 1  x  x8 1  5 x  1
Vì các đa thức x80  1; x48  1; x8  1 đều chia hết cho x 2  1 nên phép chia Q(x) cho P(x)
dư 5x + 1.
b) Để Q  x  P  x  thì 5 x  1  0  x  

1
5

Bài 12. Cho đa thức P  x   ax2  bx  c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kì thì
P(x) là số chính phương. Chứng minh rằng a, b, c là số nguyên và b là số chẵn.
Lời giải.
Do P  0   c là số chính phương nên c  m2 với m là số nguyên (hiên nhiên c là số
nguyên).
25