DE THI THU DH TRUONG DS1

kì thi KSCL trớc tuyển sinh năm 2009 (lần 1)
Môn Thi: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 02 trang)
phần chung cho tất cả các thí sinh
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
43
23
+=
xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm
phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
Câu II (2điểm)
1. Giải hệ phơng trình:



=++
=+++
yyxx
yyxyx
)2)(1(
4)(1
2
2
(x, y
R
)
2. Giải phơng trình:
8

1
3
tan
6
tan
3coscos3sin.sin
33
=






+







+

xx
xxxx
Câu III (1 điểm) Tính tích phân

++=
1

0
2
)1ln( dxxxxI

Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông
góc của A lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và
vuông góc với AA, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
8
3
2
a
. Tính thể tích khối lăng
trụ ABC.ABC.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dơng thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
32
1
32
1
32
1
222222
++
+
++
+
++
=
accbba
P
Phần tự chọn

Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2
Phần 1
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P):
xxy 2
2
=
và elip
(E):
1
9
2
2
=+
y
x
. Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đờng tròn.
Viết phơng trình đờng tròn đi qua 4 điểm đó.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình
011642
222
=+++
zyxzyx
và mặt phẳng (

) có phơng trình 2x + 2y z + 17 = 0. Viết ph-
ơng trình mặt phẳng (

) song song với (

) và cắt (S) theo giao tuyến là đờng tròn có chu vi bằng 6.
Câu VII.a(1điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x
2
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x








+
4
2
1
,
biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn:
1
6560
1
2
3
2
2
2
2

1
2
3
1
2
0
+
=
+
++++
+
n
C
n
CCC
n
n
n
nnn

(
k
n
C
là số tổ hợp
chập k của n phần tử)
Phần 2
1
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đờng thẳng d

1
: x + y + 5 = 0, d
2
: x + 2y - 7= 0
và tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d
1
và

điểm C thuộc d
2
. Viết ph-
ơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3),
C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x y z 3 = 0. Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
MCMBMA
++
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phơng trình



+=
+=+
+
+
1
)1(2
yxe
xee

yx
yxyx
(x, y
R
)
----------------***Hết***----------------
Chú ý: Thí sinh dự thi khối B và D không phải làm câu V.
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Kì thi KSCL trớc tuyển sinh năm 2009(lần 1)
Hớng dẫn chấm môn toán
- Điểm toàn bài không làm tròn.
- Học sinh làm các khác nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa.
- Nếu học sinh làm cả hai phần trong phàn tự chọn thì không tính điểm phần tự chọn.
- Thí sinh dự thi khối B, D không phải làm câu V; thang điểm dành cho câu I.1 và câu III là
1,5 điểm.
Câu Nội dung Điểm
I.1
Khảo sát hàm số
43
23
+=
xxy
1,00
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên:
a) Giới hạn:
+=+==+=
++

)4x3x(limylim,)4x3x(limylim
23
xx
23
xx
0,25
b) Bảng biến thiên: y' = 3x
2
- 6x, y' = 0

x = 0, x = 2
Bảng biến thiên:
x
-

0 2 +

y' + 0 - 0 +
y
4 +

-

0
- Hàm số đồng biến trên (-

; 0) và (2; +

), nghịch biến trên (0; 2)
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y

CĐ
= 4, đạt cực tiểu tại x = 2, y
CT
= 0.
0,50
3. Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại (0; 4), giao với trục hoành tại (-1; 0),(2; 0).
Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng
0,25
I.2
Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc .....
1,00
d có phơng trình y = m(x 3) + 4.
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phơng trình



=
=
=+=+
0mx
3x
0)mx)(3x(4)3x(m4x3x
2
223
0,50
Theo bài ra ta có điều kiện m > 0 và
1)m('y).m('y
=
0,25
9

35318
m01m36m91)m6m3)(m6m3(
2

==+=+
(thỏa mãn) 0,25
II.1
Giải hệ phơng trình đại số
1,00
Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ 0,25
3
x
y
-1
2
O
4
2
1
Hệ phơng trình tơng đơng với







=+
+
=++

+
1)2yx(
y
1x
22yx
y
1x
2
2
0,25
Đặt
2yxv,
y
1x
u
2
+=
+
=
Ta có hệ
1vu
1uv
2vu
==



=
=+
0,25

Suy ra





=+
=
+
12yx
1
y
1x
2
. Giải hệ trên ta đợc nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5) 0,25
II.2
Giải phơng trình lơng giác
1,00
Điều kiện:
0
3
xcos
6
xcos
3
xsin
6
xsin

+















+

Ta có
1x
6
cot
6
xtan
3
xtan
6
xtan
=















=

+








0,25
Phơng trình đã cho tơng đơng với
8
1
x3cosxcosx3sin.xsin
33
=+
1 cos2x cos2x cos4x 1 cos2x cos2x cos 4x 1
2 2 2 2 8
+ +
ì + ì =
0,25
2
1
x2cos
8

1
x2cos
2
1
)x4cosx2cosx2(cos2
3
===+
0,25






+

=
+

=

k
6
x
(loại) k
6
x
,
(k ) Z
. Vậy phơng trình có nghiệm

+

=
k
6
x
,
(k ) Z
0,25
III
Tính tích phân
1,00
Đặt





=
++
+
=




=
++=
2/xv
dx

1xx
1x2
du
xdxdv
)1xxln(u
2
2
2
1
1
2 3 2
2
2
0
0
x 1 2x x
I ln(x x 1) dx
2 2 x x 1
+
= + +
+ +


0,25
4

++

++
+

+=
1
0
2
1
0
2
1
0
1xx
dx
4
3
dx
1xx
1x2
4
1
dx)1x2(
2
1
3ln
2
1
( )
11
1
0
2
1

0
2
I
4
3
3ln
4
3
I
4
3
)1xxln(
4
1
xx
2
1
3ln
2
1
=+++=
0,25
* Tính I
1
:

+






+
=
1
0
2
2
1
2
3
2
1
x
dx
I
. Đặt

=+
2
,
2
t,ttan
2
3
2
1
x
Suy ra
9
3
t
3
32
ttan1
dt)ttan1(
3
32
I
3/
6/
3/
6/
2
2

1

==
+
+
=





0,25
Vậy
12
3
3ln
4
3
I

=
0,25
IV
Tính thể tích khối lăng trụ
1,00
Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA, Khi
đó (P)

(BCH). Do góc
ã

A' AM
nhọn nên H nằm giữa AA. Thiết diện của lăng
trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH.
0,25
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
3
3a
AM
3
2
AO,
2
3a
AM
===
Theo bài ra
4
3a
HM
8
3a
BC.HM
2
1
8
3a
S
22
BCH
===

0,25
4
a3
16
a3
4
a3
HMAMAH
22
22
===
Do hai tam giác AAO và MAH đồng dạng nên
AH
HM
AO
O'A
=
suy ra
3
a
a3
4
4
3a
3
3a
AH
HM.AO
O'A
===

0,25
Thể tích khối lăng trụ:
12
3a
a
2
3a
3
a
2
1
BC.AM.O'A
2
1
S.O'AV
3
ABC
====
0,25
V
Tìm giá trị lớn nhất ...
1,00
Ta có a
2
+b
2
2ab, b
2

+ 1 2b

1bab
1
2
1
21bba
1
3b2a
1
22222
++

++++
=
++
0,50
5
A
B
C
C
B
A
H
O
M