Vành giao hoán mà các iđêan là tổng trực tiếp của các môđun ciclic (tt)

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VÕ THỊ NGỌC THUẬN

VÀNH GIAO HOÁN MÀ CÁC IĐÊAN
LÀ TỔNG TRỰC TIẾP CỦA CÁC
MÔĐUN CYCLIC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104
Demo Version - Select.Pdf SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS.TS PHAN VĂN THIỆN

Thừa Thiên Huế, năm 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn
là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
Demo
Version - Select.Pdf SDK
dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một
công trình nào khác.
Võ Thị Ngọc Thuận

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS.TS
Phan Văn Thiện. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đối với
Thầy. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng
như hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế
và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo
sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt
khóa học.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóa
XXV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số vì sự động viên,
giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua.
Ngày 15 tháng 09 năm 2018.
Học viên thực hiện

Demo Version - Select.Pdf SDK
Võ Thị Ngọc Thuận

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Một số ký hiệu thường dùng

2

Lời nói đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Vành Noether. Vành Artin. Địa phương hóa. Vành địa phương.
Vành Boolean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Môđun cyclic. Iđêan là tổng trực tiếp của các môđun cyclic. Chiều
Demo Version - Select.Pdf SDK
Krull. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

18

2 Vành giao hoán mà các iđêan là tổng trực tiếp của các môđun
cyclic
21
2.1 Một số tính chất của vành địa phương có môđun đơn là hạng tử
trực tiếp của iđêan cực đại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2 Một số tính chất của vành địa phương Noether mà mọi iđêan là
tổng trực tiếp của các R-môđun cyclic. . . . . . . . . . . . . . .
25
Kết luận

40

1


MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
Kí hiệu

Ý nghĩa

(R, M)
Ann(M )
Spec(R)
Max(R)
Nil(R)
Rad(R)
Rad(M )

J(R)
PID
dim(R)

Vành địa phương với iđêan cực đại M
Annihitor của M
Tập các iđêan nguyên tố của R
Tập các iđêan cực đại của R
Tập các phần tử lũy linh của R
Căn lũy linh của vành gia hoán R
Căn Jacobson của môđun M
Căn Jacobson của vành R
Miền iđêan chính
Chiều Krull của R

Demo Version - Select.Pdf SDK

2


LỜI NÓI ĐẦU
Vành giao hoán đóng vai trò quan trọng trong toán học, các vành được sử
dụng trong ngành Đại số giao hoán và Hình học đại số đều là vành giao hoán.
Vì vậy việc nghiên cứu cấu trúc của vành giao hoán đã và đang được nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu.
Năm 1935, Kothe ([9]) đã chỉ ra rằng một vành R giao hoán Artin có tính
chất mọi môđun là một tổng trực tiếp của các môđun cyclic nếu và chỉ nếu R
là một vành iđêan chính. Sau đó vào năm 1951 Cohen và Kaplansky ([5])đã thu
được kết quả: "Một vành R giao hoán có tính chất rằng mọi R-môđun là một
tổng trực tiếp của các R-môđun cyclic nếu và chỉ nếu R là một vành iđêan chính

Artin".
Cho R là một vành giao hoán, khi đó R sẽ là một R-môđun. Nếu I là một
iđêan của R thì có thể xem I là một R-môđun. Ta nói một iđêan I là tổng trực
tiếp của các R- môđun cyclic, nghĩa là:
I = Rω1 ⊕ Rω2 ⊕ · · · ⊕ Rωn
với ω1 , . . . ωn ∈ R.
Một câu hỏi thú vị được đặt ra là "Lớp vành R giao hoán thỏa mãn tính chất
mọi iđêan là tổng trực tiếp của các R- môđun cyclic thì có đặc tính gì?".
Năm 2011, M. Behboodi, A. Ghorbani, A. Moradzadeh-Dehkordi ([2]) đã
chứng minh: Nếu mọi iđêan của vành Noether R là tổng trực tiếp của các Rmôđun cyclic
thì dim(R)
≤ 1 -([2,
Hệ quả 2.7]);
nếu vành địa phương (R, M) có
Demo
Version
Select.Pdf
SDK
tính chất mọi iđêan của vành R là tổng trực tiếp của các R- môđun cyclic thì
M = ⊕λ∈Λ Rωλ với Λ là tâp chỉ số, ωλ ∈ R sao cho λ ∈ Λ và nhiều nhất hai
môđun của Rωλ là không đơn ([2,Hệ quả 2.3]); nếu vành địa phương Noether R
có tính chất mọi iđêan của vành R là tổng trực tiếp của các R-môđun cyclic thì
| Spec(R) ≤ 3 | ([2,Định lý 2.5]). Hơn nữa, với vành địa phương Noether (R, M)
các khẳng định dưới tương đương ([2, Định lý 2.11])
(1) Mọi iđêan của R là tổng trực tiếp của các R-môđun cyclic.
(2) M = Rw1 ⊕ Rw2 ⊕ · · · ⊕ Rwn với n ≥ 1 và nhiều nhất hai môđun của
Rw1 , ..., Rwn là không đơn.
(3) Tồn tại giá trị n ≥ 1 sao cho mọi iđêan của R là tổng trực tiếp của nhiều
nhất n R-môđun cyclic.
(4) Mọi iđêan của R là một số hạng của tổng trực tiếp của các R-môđun

cyclic.
Khi đó, nếu R = R1 × R2 × · · · × Rk , với mỗi Ri (1 ≤ i ≤ k) là một vành địa
phương Noether, thì mọi iđêan của R là tổng trực tiếp của các R-môđun cyclic
nếu và chỉ nếu mỗi Ri thỏa mãn các điều kiện tương đương ở trên. Cụ thể, họ
đã chứng minh [2, Định lý 2.13] và được trình bày lại trong luận văn ở Định lý
2.2.17:
Cho R = R1 × · · · × Rk , k ∈ N và mỗi Ri là vành địa phương Noether với
iđêan cực đại Mi (1 ≤ i ≤ k).Khi đó, những khẳng định sau là tương đương:
(1) Mọi iđêan của R là một tổng trực tiếp của các R-môđun cyclic.

3


(2) Với mỗi i, Mi = Ri ω1i ⊕ · · · ⊕ Ri ωni ở đây n ≥ 1 và nhiều nhất 2 trong
Ri ω1i . . . Ri ωni là không đơn.
(3) Tồn tại n ≥ 1 sao cho mọi iđêan của R là tổng trực tiếp của nhiều nhất
n R-môđun cyclic.
(4) Mọi iđêan của R là một hạng tử của một tổng trực tiếp của các R-môđun
cyclic.
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày lại một cách có hệ thống, chứng
minh chi tiết, tường minh các kết quả trong [2]. Luận văn gồm có hai chương.
Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhằm mục đích giúp cho người
đọc dễ dàng nắm được các kiến thức trình bày trong chương 2. Trong chương
này chúng tôi trình bày một số định nghĩa, tính chất của môđun, vành Noether,
vành Artin, địa phương hóa, chiều Krull, tổng trực tiếp của các môđun cyclic...
Chương 2 : Vành giao hoán mà các iđêan là tổng trực tiếp của các môđun
cyclic. Chương này nhằm mục đích chỉ ra đặc tính của lớp vành R thỏa mãn
tính chất mọi iđêan là tổng trực tiếp của các R-môđun cyclic. Mục 2.1 trình bày
về một số tính chất của vành địa phương có môđun đơn là hạng tử trực tiếp của
iđêan cực đại. Mục 2.2 trình bày đặc tính của lớp vành R thỏa mãn tính chất

mọi iđêan là tổng trực tiếp của các R-môđun cyclic.

Demo Version - Select.Pdf SDK

4