Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

Mục lục
I. Lý do chọn đề tài :.................................................................2
II. Mục đích nghiên cứu:.............................................................2
III. Đối tợng nghiên cứu:.................................................................3
IV. phơng pháp nghiên cứu:.........................................................3
V. Đối tợng học sinh :.....................................................................3
VI.dự kiến số tiết giảng dạy :......................................................3
I. Lý thuyết..................................................................................4
I.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:4
I.2.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một
đoạn............................................................................................4
I.3.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một
khoảng.........................................................................................5
II.Các dạng bài tập:......................................................................6
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:........6
Bài tập tự luyện:.......................................................................10
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm trong tập D:..................................................................11
Bài tập tự luyện:.......................................................................16
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để bất phơng trình có
nghiệm trong tập D hoặc nghiệm đúng với mọi x thuộc tâp D:
..................................................................................................16
Bài tập tự luyện:.......................................................................21
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phơng trình, hệ
bất phơng trình có nghiệm....................................................21
Bài tập tự luyện:.......................................................................25
Kết luận.....................................................................................26

1

Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

phần A : mở đầu
I. Lý do chọn đề tài :
Trong chơng trình toán THPT , kiến thức về phần giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một phần rất quan trọng. Vì vậy,
khi dạy đến phần kiến thức tính đơn điệu của hàm số tôi
nhận thấy áp dụng kiến thức này vào sẽ giải quyết đợc một lớp
các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số và cho ta một công cụ hữu hiệu trong các bài toán : Tìm
điều kiện của tham số để phơng trình, bất phơng
trình, hệ bất phơng trình có nghiệm, đây là dạng bài
tập mà học sinh rất sợ khi gặp phải.
Xuất phát từ thực tiễn công tác ôn thi Đại học kết hợp với sự
tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhóm chúng tôi xây
dựng chuyên đề : ứng dụng tính đơn điệu để tìm giá
trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số, tìm điều
kiện của tham số để PT, BPT, HPT có nghiệm.
Với phơng pháp này chúng tôi hi vọng sẽ có tác dụng
trong việc rèn luyện t duy Toán học và là nguồn tài liệu tốt giúp
các em học sinh luyện tập và nâng cao kiến thức phục vụ cho
kỳ thi Đại học.

II. Mục đích nghiên cứu:
- Trang bị, củng cố cho học sinh về một phơng pháp tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mang lại hiệu quả rõ
nét.
2

Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

- Bồi dỡng cho học sinh về phơng pháp, kỹ năng giải toán. Qua
đó học sinh nâng cao khả năng t duy, sáng tạo và hình thành
nhiều cách giải khác nhau.

III. Đối tợng nghiên cứu:
- Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nằm trong
chơng trình toán phổ thông và tìm điều kiện của tham số
để phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình có
nghiệm.
- Phân loại các dạng toán thờng gặp và phơng pháp giải mỗi
dạng.

IV. phơng pháp nghiên cứu:
- Tham khảo sách, báo, tài liệu.
- Thực tiễn giảng dạy.

V. Đối tợng học sinh :
- Học sinh lớp 12

VI.dự kiến số tiết giảng dạy :
9 tiết

3


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

Phần B : nội dung
I. Lý thuyết
I.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
+) Số M đợc gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x)
trên tập D nếu:
x D : f(x) M


x0 D : f(x0) M


Kí hiệu M maxf(x)
D

+) Số m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
trên tập D nếu:
x D : f(x) m


x0 D :f(x0) m


Kí hiệu m minf(x)
D

minf(x) có thể không tồn tại.
+) Chú ý: maxf(x),

D
D

I.2.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên một đoạn.

Bài toán : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a; b . Hãy

tìm maxf(x)
và minf(x)
.
a; b
a; b
Cách giải.
-Tìm các điểm x1, x2, ..., xn của f(x) trên khoảng (a; b),
tại đó f(x) bằng 0 hoặc không xác định.
-Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b).
- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số f(a),
f(x1), f(x2), , f(xn), f(b).

4


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

;
Khi đó: M maxf(x)
a; b

.

m minf(x) .
a; b

Chú ý: Nếu hàm số y=f(x) không có điểm tới hạn nào trên
đoạn a; b thì f(x) giữ nguyên một dấu trên đoạn đó, tức là
f(x) hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến.
f b
+) f(x) đồng biến trên đoạn a; b thì : maxf(x)
a; b

inf(x) f(a) .
và m
a; b
+) f(x) nghịch biến trên đoạn a; b

thì :

maxf(x) f a và minf(x) f(b) .
a; b
a; b

I.3.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên một khoảng.
Bài toán : Cho hàm số y =f(x) liên tục trên khoảng (a; b).
Tìm maxf(x)
, minf(x)
.
a; b
a; b

Cách giải :
- Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b)
rồi dựa vào bảng biến thiên ta suy ra đợc giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số.
- Nếu trên khoảng (a; b) hàm số f(x) có một cực trị duy nhất
là cực đại (hoặc cực tiểu) thì giá trị cực đại đó là giá trị lớn
nhất (hoặc giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số
đã cho trên (a; b).
I.4. Giả sử hàm số f(x) là hàm liên tục trên tập D và tồn tại
,
Khi đó ta có :
5


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

a. Phơng trình

f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi

Chứng minh :
,
định

Giả sử PT có nghiệm, tức tồn tại
nghĩa

,

ta

có

tức

G/s

riêng

là

, do f(x) liên tục trên D

nên nó nhận mọi giá trị từ
Nói

theo

nó

nhận

đến
giá

trị

b. Bất phơng trình

.

m,

tức

là

có nghiệm trên D khi

và chỉ khi

(1)
Bất phơng trình

có nghiệm

và chỉ khi

(2)

Bất phơng trình

có nghiệm trên D khi

và chỉ khi

(3)

Bất phơng trình
chỉ khi

D khi

có nghiệm

D khi và

(4)

Chứng minh (1)

6


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

G/s BPT

có nghiệm tức là : tồn tại

khi đó rõ ràng :
Đảo lại: G/s
nghiệm tức là

, G/s BPT
suy ra

vô
, từ (*) ta

suy ra vô lý, suy ra G/s sai, suy ra BPT có nghiệm.

Tơng tự ta CM đợc (2),(3),(4).

II.Các dạng bài tập:
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số:
Bài 1:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

trên

Hd
+ Hàm số liên tục trên R, nên hàm số liên tục trên
+

Suy ra:
Bài 2:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
Hd
Tập xác định:

7


Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

BBT:
x
f’

-3

3
+

0

-

f
Tõ BBT ta cã:

Bµi 3:
T×m GTLN, GTNN cña hµm sè:
Hd
TËp x¸c ®Þnh:

BBT:
x
f’

-2
||
0

2
0

+

0

||

4

f
-4

0

Tõ BBT ta cã:
Bµi 4:
T×m GTLN, GTNN cña hµm sè:
Hd

TXD: D=R
8


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

Đặt

. Khi đó

Vậy ta có:

Bài 5:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
Hd

Tập xác định:

Ta có bảng biến thiên:
x



f
x



1
-

0



+



f x
2+

Từ BBT ta có:
Bài 6:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

trên

9


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

Hd:
Đặt
Khi đó

Ta có bảng biến thiên:

a

0

g(a)

2/3
-

0

4

1
+
1

g(a)
4/9

Từ BBT ta có:

Bài 7:
Cho tam giác ABC có A>B>C. Tim giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Hd:
Do

Tập xác định của hàm số:

10


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

Ta có bảng biến thiên:

X

sinC

f(x)

+

sinA

||

+

||



-2013

f(x)
-2013

sin A sin B
2015
sin A snC

Từ bảng biến thiên ta có:
Bài 8:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau:
Hd:
Tập xác định: D=R

Ta có bảng biến thiên:

x
f
f

1/3

+

0

+
-

11


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

Từ bảng biến thiên ta có:

Bài tập tự luyện:
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a.

trên đoạn [-5; 4]

b.

trên đoạn [-2; 1]

c.

trên đoạn [-1; 3]

d.

trên (-1; 4]

e.

trên

f.
g.
h.
i.
j.

trên

]

trên [-2; 3]
trên [0; 3]

k.
l.
m.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để phơng
trình có nghiệm trong tập D:
Bài 1:
Tìm m để phơng trình:

có

12


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

a.
b.
c.

2 nghiệm thực phân biệt.
1 nghiệm duy nhất.
Vô nghiệm.

Hd:

Số nghiệm của PT là số giao điểm của đồ thị hàm số

và đờng thẳng y=m

Xét hàm số

trên tập R

Ta có bảng biến thiên:
x
f

1

+

0
2

+
-

f
Từ bảng biến thiên ta có:
a.

Để phơng trình có 2 nghiệm thực phân biệt thì

b.

PT có 1 nghiệm thì
13


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

c.

PT vô nghiệm khi

Bài 2:
Tìm m để PT sau có nghiệm thực:
(1)
HD:
Điều kiện xác định:

Đặt
Mà

Vậy

;2

(Chú ý: Có thể lập bảng biến thiên xét hàm số:
để tìm đợc miền giá trị của t.)
Khi đó PT(1) trở thành:

. Xét hàm f(t) trên

Yêu cầu của bài toán

Ta có bảng biến thiên:

14


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

t

2
-

f(t)

+

0

13

9/2

/4

f(t)

Từ bảng biến thiên ta có:
Bài 3:

Tìm m để phơng trình

có nghiệm trên

R.
Hd:
ĐKXD:

.

Cách1: Đặt

Khi đó PT trở thành

Bảng biến thiên của hàm f(t):
t

5/9

0
-

f(t)

0

1
+
1

1
f(t)
23/27

15


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

Yêu cầu bài toán

Cách 2: Đặt x=sint với

. PT trở thành:
. Đặt u=cost với u thuộc

[0;1]
Suy ra:

,

(tm)
f(0)=1, f(2/3)=23/27, f(1)=1
Yêu cầu của bài toán
Bài 4:
Tìm m để PT

(1) có

nghiệm
HD:
PT
Đặt
PT trở thành

(2)

Xét hàm số f(t) trên

[0;1]

16


Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

PT (1) cã nghiÖm

khi PT (2) cã nghiÖm

chØ khi

khi vµ

] = [2; 10/3]

Bµi 5: T×m m ®Ó PT cã nghiÖm thùc:

Hd:

PT
XÐt hµm sè f(x) trªn

.

Ta cã b¶ng biÕn thiªn:

x

3

f’(x)

-3

f(x)

Tõ b¶ng biÕn thiªn ta cã:

m < -3

Bµi 6:
T×m m ®Ó PT sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc

Hd::
17


Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

§Æt

YCBT t¬ng ®¬ng víi: T×m m ®Ó PT
nghiÖm

cã

. YCBT

XÐt hµm sè f(t) trªn [1;2] suy ra
Bµi 7:

Cho PT:

. T×m m ®Ó PT

cã nghiÖm thùc.

Hd:
§k: x>0, ®Æt

. PT trë thµnh:

f’(t)=

XÐt hµm

,

Ta cã BBT:

t
f’(t
)
f(t)

2

+

0

+
-

4

18

Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

YCBT t¬ng ®¬ng víi ®å thÞ hµm sè f(t) c¾t ®êng th¼ng y=m
trªn miÒn
Khi ®ã:

Bµi tËp tù luyÖn:
a.

T×m m ®Ó PT sau cã nghiÖm thùc:

cã

nghiÖm thùc.
b.

T×m m ®Ó PT sau cã nghiÖm thùc:

c.

nghiÖm thùc.
T×m m ®Ó PT sau cã nghiÖm thùc:

cã

cã nghiÖm thùc.
d.

T×m m ®Ó PT sau cã nghiÖm thùc:
cã nghiÖm thùc.

e.

T×m m ®Ó PT sau
cã 4 nnghiÖm
thùc ph©n biÖt.

f.

T×m m ®Ó PT :

cã nghiÖm

g.
h.

T×m m ®Ó PT sau cã nghiÖm tanx-mcotx=2
T×m m ®Ó PT
mcos2x-4sinxcosx+m-2=0 cã nghiÖm

i.

T×m m ®Ó PT sau cã nghiÖm duy nhÊt:

19


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

j.

Tìm m để PT sau có nghiệm thực:

k.

Tìm m để PT có nghiệm duy nhất

l.

Tìm m để PT có nghiệm duy nhất

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để bất phơng trình có nghiệm trong tập D hoặc
nghiệm đúng với mọi x thuộc tâp D:
Bài 1:
Tìm m để BPT sau có nghiệm:
Hd:
Đkxd:

Ta có BBT:
x
f(x
)

3

+

7-2

+

0

-

f(x)

Từ BBT ta có:
Bài 2:
Tìm m để BPT sau có nghiệm

20


Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

Hd:
§Æt
BPT trë thµnh:

XÐt hµm sè f(t) trªn [1;2],

hµm

sè ®ång biÕn trªn D nªn
Bµi 3:
T×m m ®Ó BPT

nghiÖm ®óng víi

mäi x thuéc ®o¹n [0;2]
Hd:
§k:
§Æt
BPT trë thµnh:
YCBT

BBT:
t

0

1/2
21


Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

f’(t
)

+

0

-

f(t)
Tõ BBT ta cã:

Bµi 4
T×m m ®Ó BPT sau nghiÖm ®óng víi mäi x thuéc R

Hd:
BPT

BBT:
1
4
3

�

x
f’

-

0

1
4
3

+

0

�

0

-

3
24 3

f



3
24 3

0

Tõ BBT ta cã:
Bµi 5: T×m m ®Ó BPT sau nghiÖm ®óng víi mäi x kh«ng ©m

Hd:
22


Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

BPT
Đặt

BPT trở thành:

YCBT

Ta có BBT:
t
f(t
)

0

1
+

0

-

f(t)
Từ BBT ta có:
Bài 6:

a.

Giải BPT:

b.
Xác định m để mỗi nghiệm của BPT (1) là nghiệm của
BPT sau:
Hd:
Giải (1) có nghiệm -1< x <0
23

Chuyờn : Mt s ng dng tớnh n iu ca hm s

Yêu cầu bài toán tơng đơng với:
Tìm m để
mọi x thuộc

nghiệm đúng với
(-1;0)

Trờng hợp 1:

(2)

Trờng hợp 2:

(2)

(
Vậy
Bài 7:
Tìm m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x thuộc R:

24


Chuyên đề : Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

Hd:

BPT

B¶ng biÕn thiªn:
�
x
f’(x
)



-6
-

�

6

0

+

1
2

0

-

3
4

f(x)



Tõ b¶ng biÕn thiªn ta cã:

3
4

1
2

m < -3/4

Bµi tËp tù luyÖn:
a.

T×m m ®Ó BPT cã nghiÖm

b.

T×m m ®Ó BPT sau nghiÖm ®óng víi mäi x thuéc R

c.

T×m m ®Ó BPT sau cã nghiÖm

d.

T×m m ®Ó BPT sau nghiÖm ®óng víi mäi x thuéc [0;1]

e.

T×m m ®Ó BPT sau nghiÖm ®óng víi mäi x thuéc [1/2;3]

f.

T×m m ®Ó BPT cã nghiÖm

25