CHUYÊN ĐỀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

Chuyên đề

MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn chuyên đề
Phương pháp toạ độ trong không gian là một trong những nội dung quan
trọng trong chương trình Hình học lớp 12, nó có thể ứng dụng để giải nhiều dạng
bài tập như chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, tính thể tích, tính
khoảng cách…Vì vậy, việc nắm vững nội dung nội dung này sẽ giúp học sinh giải
được rất nhiều bài toán hình học không gian. Tuy nhiên, việc khó của học sinh là
chọn được một hệ trục hợp lý để đưa bài toán hình học thông thường về bài toán
giải bằng phương pháp toạ độ.
Từ những lý do trên tôi xin trình bày phương pháp giải một số bài toán hình
học không gian bằng phương pháp toạ độ trong chuyên đề “Giải một số bài toán
hình học không gian bằng phương pháp toạ độ”.
Chuyên đề là một tài liệu dùng trong việc ôn thi và làm tài liệu tham khảo
cho học sinh lớp 12 của trường THPT ….
II. Cấu trúc chuyên đề
Chuyên đề gồm có 3 phần
A. Các kiến thức liên quan.
B. Giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ.
C. Bài tập tự giải.
Do thời gian có hạn và trong quá trình viết chuyên đề không thể tránh khỏi
những sai sót rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng chí để chuên đề
được hoàn thiện hơn nữa.

1


Chuyên đề

CHUYÊN ĐỀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN
I. Toạ độ của điểm và toạ độ vectơ
1. Định nghĩa hệ trục toạ độ trong không gian
- Trong không gian, cho ba trục x′Ox, y′Oy , z′Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi
rr r
i, j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x′Ox, y′Oy , z′Oz . Một hệ trục như
vậy được gọi là hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian hay hệ
toạ độ Oxyz . Điểm O được gọi là gốc toạ độ, các mặt phẳng (Oxy ),(Oyz ),(Ozx)
đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ
toạ độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz .
z

r
k
O

r
j

r
i

y

x

2. Tọa độ điểm: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
uuuu
r

r
r
r
+) M ( xM ; yM ; zM ) ⇔ OM = xM i + y M j + z M k
+) Cho A ( x A ; y A ; z A ) và B ( xB ; y B ; z B ) ta có:
uuu
r
AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A ) , AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2
uuur
uuur
+) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA = k MB thì ta có:

(

xM =

)

x A − kxB
y − kyB
z − kz B
; yM = A
; zM = A
(Với k ≠ −1)
1− k
1− k
1− k

+) Đặc biệt khi M là trung điểm của AB ( k = −1 ) thì ta có:
xM =

x A + xB
y + yB
z +z
; yM = A
; zM = A B
2
2
2
2


Chuyên đề

3. Tọa độ của véctơ: Trong không gian với hệ tọa độ Oyz
r
r
r
r
r
+) a = ( a1; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1 i + a2 j + a3 k
r
r
+) Cho a = ( a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) ta có:
a1 = b1
r r
r r
r

a = b ⇔ a2 = b2 ; a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) ; k .a = (ka1; ka2 ; ka3 )

a = b
 3 3
rr r r
r r
r
a.b = a . b cos(a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ; a = a12 + a22 + a32
4. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng
r r  a 2a 3 a 3a1 a1a 2 
r
r
;
;
+) Nếu a = ( a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) thì  a, b  = 
÷
b
b
b
b
b
b
2
3
3
1
1
2


r r r
r

r
+) Vectơ tích có hướng c =  a, b  vuông góc vơi hai vectơ a và b .
r r
r r
r r


+)  a, b  = a b sin(a, b) .
r uuur
1 uuu
[ AB, AC ] .
2
uuu
r uuur uuur
[
AB
, AC ]. AA ' .
+) VHộpABCDA’B’C’D’ =
+) S ABC =

r uuur uuur
1 uuu
[ AB, AC ]. AD
+) VTứdiện ABCD = 6
.
5. Một số chú ý
a1 = kb1
r r
r
r

r
r
r

+) a và b cùng phương ⇔  a, b  = 0 ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb ⇔ a2 = kb2
a = kb
3
 3
r
r
r
r
+) a và b vuông góc ⇔ a.b = 0 ⇔ a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0
r r r
r r r

a
+) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng ⇔ , b  .c = 0 (tích hỗn tạp của chúng bằng 0).
uuu
r uuur uuur
+) A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện ⇔ AB, AC , AD không đồng phẳng.
r
r
r
r
r
+) Cho hai vectơ không cùng phương a và b vectơ c đồng phẳng với a và b
r
r r
⇔ ∃k , l ∈ ¡ sao cho c = ka + lb

3


Chuyên đề

x A + xB + xC

x
=
G

3

y + yB + yC

+) G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔  yG = A
3

z A + z B + zC

z
=
G

3

uuu
r uuu
r uuur uuur r

+) G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔GA + GB + GC + GD = 0 .
II. Mặt phẳng
1. Phương trình mặt phẳng
Ax + By + Cz + D = 0 với
r
2
2
2
n
= ( A; B; C )
là
phương
trình
tổng
quát
của
mặt
phẳng,
trong
đó
A + B +C ≠0

- Trong không gian Oxyz phương trình dạng
là một vectơ pháp tuyến của nó.

r
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ n = ( A; B; C ) làm vectơ
pháp tuyến có dạng : A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
r
r

M
(
x
;
y
;
z
)
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm 0 0 0 0 và nhận a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 )
làm cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :
r
r r  a 2 a 3 a 3 a1 a 1 a 2 
n =  a, b  = 
;
;
÷
b
b
b
b
b
b
2
3
3
1
1
2



2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
- Cho hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : A′x + B′y + C ′z + D ' = 0
+) (P) cắt (Q) ⇔ ( A; B; C ) ≠ k ( A '; B '; C ')
+) (P) // (Q) ⇔ ( A; B; C ) = k ( A '; B '; C ')
( A; B; C ) = k ( A '; B '; C ')
+) ( P ) ≡ (Q) ⇔ 
 D = kD′
3. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
- Khoảng cách từ M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi
công thức: d ( M 0 ,α ) =

Ax 0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

4. Góc giữa hai mặt phẳng

4


Chuyên đề

-

Gọi

ϕ

là

góc

giữa

hai

mặt

phẳng

( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và

(Q) : A′x + B′y + C ′z + D ' = 0 Ta có:
uu
r uur
nP .nQ
uu
r uur
A. A '+ B.B '+ C.C '
cos ϕ = cos(nP , nQ ) = uu
r uur =
nP . nQ
A 2 + B 2 + C 2 . A '2 + B '2 + C '2
uu
r uur
0
- ϕ = 90 ⇔ nP ⊥ nQ ⇔ hai mặt phẳng vuông góc nhau.

( 0o ≤ ϕ ≤ 90o )

- Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song hoặc

chứa Ox, không có biến y thì song song hoặc chứa Oy, không có biến z thì song
song hoặc chứa Oz.
III. Đường thẳng trong không gian
1. Phương trình đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương
 x = x0 + a1t
r

a = ( a1; a2 ; a3 ) là  y = y0 + a2t (t ∈ ¡ )
z = z + a t
0
3

- Phương trình chính tắc của đuờng thẳng qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương
r
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a = ( a1; a2 ; a3 ) là
(Với a1a2 a3 ≠ 0 )
a1
a2
a3
2. Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng
- Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng (∆) đi qua M có vectơ
r
ur
chỉ phương a và (∆’) đi qua M có vectơ chỉ phương a ' .
r ur uuuuu
r

+) (∆) chéo (∆’) ⇔  a, a ' .MM ' ≠ 0
r ur uuuuu
r
r ur
r
+) (∆) cắt (∆’) ⇔  a, a ' .MM ' = 0 với  a, a ' ≠ 0
r ur r
[a, a '] = 0
+) (∆) // (∆’) ⇔ 
 M ∉ ∆ '
r ur r
[a, a '] = 0
+) (∆) ≡ (∆') ⇔ 
 M ∈ ∆ '
- Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
5


Chuyên đề

r
Cho đường thẳng (∆) đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương a = (a1; a2 ; a3 ) và
r
mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) .
rr
+) (∆) cắt (α) ⇔ a.n ≠ 0
rr
a.n = 0
+) (∆) // (α) ⇔ 
 M ∉ (α )

rr
a.n = 0
+) (∆) nằm trên mp(α)⇔ 
 M ∈ (α )
3. Khoảng cách

r
- Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (∆) đi qua M0 có vectơ chỉ phương a là
uuuuur r
[M 0 M , a]
d ( M , ∆) =
r
a
r
- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: (∆) đi qua M có vectơ chỉ phương a và
r ur uuuuu
r
[
a
,
a
'].
MM
'
ur
r ur
(∆’) đi qua M có vectơ chỉ phương a ' là d (∆, ∆ ') =
[a, a ']
4. Góc
- Góc ϕ giữa hai đường thẳng (∆) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương

r
r
a = ( a1; a2 ; a3 ) và (∆’) đi qua M ′( x0′ ; y0′ ; z0′ ) có vectơ chỉ phương a = ( a '1; a '2 ; a '3 )
r ur
a.a '
r ur
a1.a '1 + a2 .a '2 + a3.a '3
cos ϕ = cos(a, a ') = r ur =
a . a'
a12 + a22 + a32 . a '12 + a '22 + a '32
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (∆) đi qua M có vectơ chỉ phương
r
r
a = ( a1; a2 ; a3 ) , mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) . Gọi ϕ là góc hợp
bởi (∆) và mặt phẳng (α)
r r
sin ϕ = cos( a, n) =

Aa1 + Ba2 + Ca3
A2 + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a32

6


Chuyên đề

B. GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG
PHÁP TOẠ ĐỘ.
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần
phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ

trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
I. Phương pháp
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp.
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Các dạng toán thường gặp:
+ Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, …
+ Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện
tích thiết diện, …
+ Bài toán cực trị, quỹ tích.
Một số lưu ý khi chọn hệ trục toạ độ
Chọn hệ trục cho hình lập phương, hình hộp chữ nhật
Ta chọn gốc tọa độ là một đỉnh của hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật. chọn
các tia Ox, Oy, Oz là ba cạnh của hình xuất phát từ đỉnh đó (hình vẽ).

Chọn hệ trục cho hình chóp tứ giác đều.
Ta chọn tâm của đáy là gốc toạ độ, các tia Ox, Oy, Oz đi qua các đỉnh của chóp tứ
giác đều (hình vẽ).

7


Chuyên đề

Chọn hệ trục tọa độ cho hình tam diện vuông (hình có ba mặt đôi một vuông góc).
Ta chọn ba mặt đó làm ba mặt phẳng toạ độ (hình vẽ).

Chọn hệ trục tọa độ cho hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình
vuông, hình chữ nhật (hình vẽ).

Chọn hệ trục tọa độ cho hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy có yếu
tố vuông góc tại đỉnh mà cạnh bên đó vuông góc Ví dụ như hình thang vuông, tam
giác vuông, tứ giác có hai cạnh vuông góc (hình vẽ).

8


Chuyên đề

Chọn hệ trục cho hình chóp tam giác đều (hình vẽ).

Chọn hệ trục cho hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông (hình vẽ).

II. Các dạng bài tập
1. Bài tập về hình chóp
Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= a 3
, (a>0) và đường cao OA= a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
Cách 1:
Chọn

hệ

trục

tọa

độ

như

hình

A(0;0; a 3) , B( a;0;0), C (0; a 3;0),

9

vẽ.

Khi

đó

O(0;0;0),


Chuyên đề

z
A

a3

N
C

O

y

a 3
M

B
a
x

a a 3 
 a 3 a 3
M ;
; 0 ÷, gọi N là trung điểm của AC ⇒N  0;
;
÷.
2
2 
2 2


MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ AB // MN
⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)).
uuuu
r  a a 3  uuur  a 3 a 3 
OM =  ;
; 0 ÷, ON =  0;
;
÷
2
2
2
2 




uuuu
r uuur  3a 2 a 2 3 a 2 3  a 2 3
[OM ; ON ] = 
;
;
÷=
4
4
4
4



(

)

a2 3 r
r
3; 1; 1 =
n , với n = ( 3; 1; 1) .
4

r
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến n : 3x + y + z = 0
Ta có: d ( B; (OMN )) =

3.a + 0 + 0

=

3 +1+1

Cách 2:

a 15
a 3 a 15 . Vậy,
d ( AB; OM ) =
.
=
5
5
5
A

a 3

N

O

C

a 3
M
B

a

Gọi N là điểm đối xứng của C qua O.
10


Chuyên đề

Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình).
⇒ OM // (ABN)
⇒ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)).
Dựng OK ⊥ BN , OH ⊥ AK ( K ∈ BN ; H ∈ AK )
Ta có: AO ⊥ (OBC ); OK ⊥ BN ⇒ AK ⊥ BN
BN ⊥ OK ; BN ⊥ AK ⇒ BN ⊥ ( AOK ) ⇒ BN ⊥ OH
OH ⊥ AK ; OH ⊥ BN ⇒ OH ⊥ ( ABN ) ⇒ d (O; ( ABN ) = OH
Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
a 15
.
=
+

=
+
+
=
+
+
=
⇒
OH
=
OH 2 OA2 OK 2 OA2 OB 2 ON 2 3a 2 a 2 3a 2 3a 2
5
Vậy, d (OM ; AB ) = OH =

a 15
.
5

Ví dụ 2: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ∆ABC vuông tại C. Độ
dài của các cạnh là SA =4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là
điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (SHB) và
(SBC).
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) và H(1;0;0).
z

S

4

I

K
y

A
C
M

H

B

x

mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy
uuu
r uur
·
cos ( SHB ) , ( SBC ) = cos IH , IK (1).
uur
uuu
r
SB = (−1; −3; 4) , SC = (0; −3; 4) suy ra:

(

)

11


Chuyên đề

x = 1 − t

ptts SB:  y = 3 − 3t , SC:
 z = 4t

 5 15 3 
⇒ I  ; ; ÷,
8 8 2

x = 0

 y = 3 − 3t và (P): x + 3 y − 4 z − 1 = 0.
 z = 4t

uuu
r uur
IH
.IK = …
 51 32 
K  0; ; ÷ ⇒ cos (·SHB ) , ( SBC ) =
 25 25 
IH .IK

)

(

Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm
K.
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a
(a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ∆ABC. Đặt SG = x
(x >0). Xác định giá trị của x để góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) bằng
60o.
Cách 1:
BC = a 2
a 2
a 2
.
; AG =
2
3
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G lên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuông
a
⇒ AG = AE 2 ⇒ AE = AF = .
3
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0;0;0), B(a;0;0),
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM =

a a  a a 
C(0; a; 0), G  ; ; 0 ÷, S  ; ; x ÷.
3 3  2 2 
z
x

S

F

A
E

B

C
y

G
M

x

uur  a a  uur  2a a
r  a 2a
 uuu

SA =  ; ; x ÷, SB =  ; − ; − x ÷, SC =  − ; ; − x ÷
3
3 3 
 3

 3 3

12

Chuyên đề

uur uur 
a2 
a
r
r 
a

[ SA; SB] =  0; ax; − ÷ = a  0; x; − ÷ = a.n1 , với n1 =  0; x; − ÷
3
3
3



uur uuu
r
r 
a
a2
a
r

[ SA; SC ] = ( −ax;0; ) = − a  x;0; − ÷ = − a.n2 , với n2 =  x; 0; − ÷.
3
3
3



uur uur
r
Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA, SB nên có vectơ pháp tuyến n1 .
uur uuu
r
r
Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SC nên có vectơ pháp tuyến n2 .
Góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) bằng 60o.
⇔ cos60o =

a a
3 3

a2
= 29 2
2
9x + a
a
x2 + 0 +
9
9

0.x + x.0 +
a2
0+ x +
9
2

a
1

a2
2
2
2
2
2
⇔
9
x
+
a
=
2
a
⇔
9
x
=
a
⇔
x
=
.
⇔ = 2
3
2 9x + a2
a
Vậy x = .
3
Cách 2: Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM ⊥ BC (∆ABC vuông cân)

Ta có: SG ⊥ ( ABC ) ⇒ SG ⊥ BC . Suy ra: BC ⊥ ( SAM )
S

I

C

A

G

M

B

·
Dựng BI ⊥ SA ⇒ IM ⊥ SA và IC ⊥ SA ⇒ BIC
là góc giữa hai mặt phẳng ( SAB )
và ( SAC ) .
∆SAB = ∆SAC (c − c − c ) ⇒ IB = IC ⇒ ∆IBC cân tại I.
1
a 2
a 2
.
BC = a 2; AM = BM = MC = BC =
; AG =
2
2
3

13


Chuyên đề

∆AIM ~ ∆AGS ⇒ IM = SG.

⇔ IM =

AM
a 2
1
= x.
.
=
AS
2
SG 2 + AG 2

3ax 2
2 9 x 2 + 2a 2

ax 2
2 x2 +

2a 2
9

.

a 2
3.3ax 2
·
·
= 30o ⇔ BM = IM .tan 30o ⇔
=
Ta có: BIC
.
= 60o ⇔ BIM
2
2 9 x 2 + 2a 2
a
⇔ 9 x 2 + 2a 2 = 3 x 3 ⇔ 9 x 2 + 2a 2 = 27 x 2 ⇔ 18 x 2 = 2a 2 ⇔ 9 x 2 = a 2 ⇔ x = .
3
a
Vậy x = .
3
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là
trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).
Hướng dẫn giải
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm ∆ABC . Gọi I là
a 3
a 3
3
a 3
⇒ OA =
, OI =
BC =
3
6

2
2
Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục
tọa độ như hình vẽ ta được:
trung điểm của BC, ta có: AI =

z

S

M

N
h

B

I
C
x

y

O

a
A

a 3


 a 3
  a 3 a 
; 0; 0 ÷ ⇒ I  −
; 0; 0 ÷, B  −
; ; 0 ÷,
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A 
3
6
6
2 



 
 a 3 a 
 a 3 a h
 a 3 a h
C−
; − ; 0 ÷, M  −
; ; ÷và N  −
; − ; ÷.
2 
4 2
 6
 12 4 2 
 12

14

Chuyên đề
2
2
r
uuuu
r uuur  ah
uur uuu
r 
 r
5
a
3
a
3
⇒ n( AMN ) =  AM , AN  =  ; 0;
÷, n( SBC ) =  SB, SC  =  −ah; 0;
÷
24 
6 
 4

r
r
r uuur
5a 2
1 uuuu
a 2 10
( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇒ n ( AMN ) .n ( SBC ) = 0 ⇒ h 2 =
⇒ S ∆AMN =  AM , AN  =
12

2
16
Ví dụ 5. Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3,
AC=AD=4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
Lời giải
z
D
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ O.

D ∈Ox; C ∈ Oy và B ∈ Oz
⇒ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
⇒ Phương trình mặt phẳng (BCD) là:

y

x y z
+ + = 1⇔ 3x + 3y + 4z - 12 = 0.
4 4 3

A

Suy ra khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).

C

B
x

Ví dụ 6. Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đề bằng 1, O là trọng tâm của
tam giác ∆ABC. I là trung điểm của SO.

a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện
SABC.
b) H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. Chứng minh rằng IH qua
trọng tâm G của ∆SAC.
Lời giải
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O là gốc tọa độ. A∈Ox, S∈Oz, BC//Oy

x

 3
 
3 1  
3 1  
6 
6
;0;0 ÷; B  −
; − ;0 ÷; C  −
; ;0 ÷; S  0;0
⇒A 
÷; I  0;0;
÷
2   6 2  
3  
6 
 3
  6
z
S

M

I

B

C
O
A
x

15

y


Chuyên đề

uur 
uuur uur 
uuur
3 1
6
6
3
; ;−
;0;
Ta có: BC = (0;1;0) ; IC =  −
÷; ⇒  BC , IC  =  −
÷
6
2

6
6
6




⇒ Phương trình mặt phẳng (IBC) là: −

6
3
6
( x − 0) + 0( y − 0) +
(z −
)=0
6
6
6

uur  3
6  uur r
6
SA
=
;0;
−
Hay: − 2 x + z −
= 0 mà ta lại có:

÷⇒ SA// u SA (1;0; − 2) .

3
3
6


Phương trình đường thẳng SA: x =

3
+ t ; y = 0; z = − 2t .
3


3
+t
(1)
x =
3

(2)
y = 0
+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
.
z
=
−
2
t
(3)



− 2 x + z − 6 = 0 (4)
6

Thay (1), (2), (3) và (4):
⇒x=

uuur  3
uuur
 3
3
6
6
6  uur
; y = 0; z =
⇒M
;0;
;0; −
÷; ⇒ SM = 
÷⇒ SA = 4 SM
12
4
4 
12 
 12
 12
B

⇒ M nằm trên đoạn SA và

V( SBCM ) 1

SM 1
= .
= ⇒
V ( SABC ) 4
SA 4
z
S

H
I
G
C
O
A
x

b) Do G là trọng tâm của tam giác ∆ASC
⇒ SG đi qua trung điểm N của AC
16

N

y


Chuyên đề

⇒ GI ⊂ (SNB) ⇒ GI và SB đồng phẳng

(1)

 3 1 6  uur 
3 1 6
; ;
;− ;
Ta lại có G 
÷ ⇒ GI =  −
÷
18
6
9
18
6
18




uur 
3 1 6  uur uur
⇒ GI =  −
;− ;
÷ ⇒ GI .SB = 0 ⇒ GI ⊥ SB (2)
18
6 18 

Từ (1) và (2) ⇒ GI ⊥ SB = H .
Ví dụ 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc.
Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng
(OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d(M, (OAB)) = 3 ⇒ zM = 3.
Tương tự ⇒ M(1; 2; 3).
⇒ (ABC):

x y z
+ + =1
a b c

M ∈ ( ABC ) ⇒
(1) ⇒ 1 =

z

C

1 2 3
1
+ + = 1 (1). VO. ABC = abc (2).
a b c
6

1 2 3
1 2 3
+ + ≥ 33 . .
a b c
a b c

c
3

O
a

1
⇒ abc ≥ 27 .
6
(2) ⇒ Vmin = 27 ⇔

M

b
H

B

y

A
x

1 2 3 1
= = = .
a b c 3

Ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác
ABC vuông tại A, AD=a, AC=b, B=c. Tính diện tích của tam giác BCD theo a, b, c
và chứng minh rằng 2S ≥ abc ( a + b + c ) .

Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a).
uuur
uuur
uuur uuur
BC = ( −c; b;0 ) , BD = ( −c;0; a ) ,  BC , BD  = ( ab; ac; bc )

17


Chuyên đề

S BCD =

1 uuur uuur
1 2 2
 BC , BD  =
a b + a 2c 2 + b 2c 2


2
2

ñpcm ⇔ a 2b2 + a 2c 2 + b 2c 2 ≥ abc(a + b + c)
⇔ a 2b 2 + a 2c 2 + b 2c 2 ≥ abc(a + b + c )
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

z
D

a 2b 2 + b 2c 2 ≥ 2ab 2c 

b 2c 2 + c 2 a 2 ≥ 2bc 2 a 
c 2 a 2 + a 2b 2 ≥ 2ca 2b 
Coä
ng veá: a 2b 2 + a 2c 2 + b 2c 2 ≥ abc (a + b + c )

y
A

C
B
x

2. Bài tập về hình lăng trụ
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Chứng minh rằng AC'
vuông góc với mặt phẳng (A'BD).
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A; B ∈ Ox; D ∈ Oy và A' ∈ Oz .
z

A'

D'
C'

B'

A
B

D

y

C

x

⇒ A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1)⇒ Phương trình đoạn chắn của
mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = 0
r
uuuu
r
⇒Pháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): n( A ' BC ) = ( 1;1;1) và AC ' = ( 1;1;1) .
Vậy AC' vuông góc với (A'BC)
Ví dụ 2. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi
D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng A'B và B'C'.

18


Chuyên đề

Giải
Cách 1:
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là
AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a
⇒ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều.

hình

vuông

nên

Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0;0;0),
C’

z
A’
B’
a

C

A
x

D

y

B

a a 3   a a 3 
a a 3 
 a a 3 
B ;

; 0 ÷, C  − ;
; 0 ÷, A '(0; 0; a), B '  ;
; a ÷, C '  − ;
; a÷
2 2
  2 2

2 2

 2 2

Ta có: B ' C '//BC , B ' C '// ( A ' BC )
⇒ d ( B ' C ', A ' B ) = d ( B ' C ', ( A ' BC ) ) = d ( B ', ( A ' BC ) )
uuuu
r a a 3
 uuuur  a a 3

A' B =  ;
; − a ÷, A ' C =  − ;
; − a÷
2 2

 2 2

uuuu
r uuuu
r 

a2 3 
3

r 
3
2
2 r
A ' B ∧ A ' C =  0; a 2 ;
÷ = a  0; 1;
÷ = a .n , với n =  0; 1;
÷

2 

2 

2 
r
Phương trình mặt phẳng (A’BC) qua A’ với vectơ pháp tuyến n :
0( x − 0) + 1( y − 0) +

d ( B ', ( A ' BC ) )

3
3
a 3
( z − a) = 0 ⇔ ( A ' BC ) : y +
z−
=0
2
2
2

a 3
3
a 3
a 3
+
.a −
2
2 = 2 = a 21 .
= 2
7
3
7
1+
4
2

Vậy d ( A ' B, B ' C ' ) =

a 21
.
7

Cách 2:
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên:
AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a
19


Chuyên đề

⇒ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều.
Ta có: B ' C '//BC ⇒ B ' C '//( A ' BC ) .
⇒ d ( A ' B; B ' C ') = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( F ; ( A ' BC ) ) .
A’

C’
B’

F

H

C

A
D
B

 BC ⊥ FD
⇒ BC ⊥ ( A ' FD)
Ta có: 
BC
⊥
A
'
D
(
∆
A
'

BC
caâ
n
taï
i
A
')

Dựng FH ⊥ A ' D
Vì BC ⊥ ( A ' BC ) ⇒ BC ⊥ FH ⇒ FH ⊥ ( A ' BC )
∆A’FD vuông có:

1
1
1
4
1
7
a 21
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ FH =
.
2
2
2
FH
A' F
FD
3a

a
3a
7

a 21
7
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC. A1B1C1 có đáy là tam giác đề cạnh a. AA1 = 2a
Vậy d ( A ' B; B ' C ') = FH =

và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB1; M di động trên
cạnh AA1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MC1D.
Lời giải
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A≡ O; B∈Oy; A1∈Oz. Khi đó: A(0;0;0),
z

B(0;a;0); A1 (0;0;2a)
a 3 a

C1 
; ;2a ÷và D(0;a;a)
 2 2


A

B1

1

C1

D

M
B

A

20
x

C


Chuyên đề
y

Do M di động trên AA1, tọa độ M(0;0;t) với t ∈ [0;2a]
Ta có : S∆DC1M =

1 uuur uuuur
 DC1 , DM 

2

uuur  a 3 a 
DC1 = 
;− ;a ÷
uuur uuuur
−a

2
2

⇒
(t − 3a; 3(t − a ); a 3)
Ta có:

  DG, DM  =
2
uuuur
DM = ( 0; −a; t − a )
uuur uuuur
a
⇒  DG, DM  =
(t − 3a) 2 + 3(t − a) 2 + 3a 2
2
a
=
4t 2 − 12at + 15a 2
2
1 a
S∆DC1M = . . 4t 2 − 12at + 15a 2
2 2
Giá trị lớn nhất của S DC1M tùy thuộc vào giá trị của tham số t.
Xét f(t) = 4t2 −12at + 15a2
f(t) = 4t2 − 12at + 15a2

(t ∈[0;2a])

f '(t) = 8t −12a

f '(t ) = 0 ⇔ t =

3a
2

Lập bảng biến thiên ta được giá trị lớn nhất của S DC1M

a 2 15
khi t =0 hay M ≡ A.
=
4

C. CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1 (Trích đề thi Đại học khối D 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông
góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A
đến (BCD).
Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường
thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm
của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
21


Chuyên đề

3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.
Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với
nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’,
C lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB).

1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C..
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.
Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi α , β , γ lần
lượt là góc giữa các mặt phẳng (AOB), (BOC), (COD) và mặt phẳng (ABC). Gọi H
là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC).
1. Chứng minh H là trực tâm của ∆ABC.
2. Chứng minh

1
1
1
1
=
+
+
.
2
2
2
OH
OA OB
OC 2

3. Chứng minh cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1.
4. Chứng minh cos α + cos β + cos γ ≤ 3.
Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng
đôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
1. Tính góc ϕ giữa (OMN) và (OAB).
2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm ∆ANP .
3. Chứng minh rằng góc giữa hai mặt phẳng (NOM) và (POM) vuông khi và

1
1 1
= 2 + 2.
2
a
b c
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy.
chỉ khi

Biết AB = 2, (·ABC ),( SBC ) = 600 .
1. Tính độ dài SA.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
3. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng
đôi một.
1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp.
2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc
với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a.
Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với
22


Chuyên đề

(d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng
cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a.
Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.
1. Tính diện tích ∆MAB theo a.

2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
3. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA
vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuông góc với CS.
2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI.
3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK).
4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên
SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.
1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD.
2. Tính khoảng cách giữa BC và SD.
3. Tính cosin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBD) và (SCD).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy
và SA = a 3 .
1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH
= h. Mặt phẳng (α) đi qua AB và vuông góc với SC.
1. Tìm điều kiện của h theo a để (α) cắt cạnh SC tại K.
2. Tính diện tích ∆ABK.
3. Tính h theo a để (α) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc
với đáy. Gọi E là trung điểm CD.
1. Tính diện tích ∆SBE.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE).
3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó.

23

Chuyên đề

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc
với đáy và SA = a 3 .
1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
3. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA = 3 2 cm. Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với SC cắt các
cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD.
2. Chứng minh BD song song với (α).
3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của ∆SAC .
4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.
1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN).
2. Tính khoảng cách giữa SB và CN.
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
·
4. Tìm điều kiện của a và b để cos CMN
=

3
. Trong trường hợp đó tính thể
3

tích hình chóp S.BCNM.

Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. ∆SAD đều và vuông
góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD.
1. Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD).
2. Mặt phẳng (α) qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ (α) cắt các
cạnh SB, SD.
3. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy
và SO = 2a 3 , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng (α) qua A vuông góc với SC cắt các
cạnh SB, SC, SD tại B ', C ', D ' .
1. Chứng minh ∆B ' C ' D ' đều.
2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a.
Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 ≤ m ≤ a) .
1. Tìm vị trí điểm M để diện tích ∆SBM lớn nhất, nhỏ nhất.
24


Chuyên đề

a
, gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc hợp bởi hai mặt
3
phẳng (SAK) và (SBK).
Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là
trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC.
1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
2. Tính khoảng cách giữa IK và AD.
3. Tính diện tích tứ giác IKNM.
Bài 22 (Trích đề thi Đại học khối A 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D.
Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D].

Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA
sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.
1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’).
2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’).
3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k
2. Cho m =

(0 < k < a 2).
a. Chứng minh MN song song (A’D’BC).
b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung
của AD và DB.
Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D có AB = 2, AD = 4, AA = 6. Các
uuuu
r
uuur uuur
uuur
điểm M, N thỏa AM = m AD, BN = mBB ' (0 ≤ m ≤ 1). Gọi I, K là trung điểm của
AB, C’D..
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD).
2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆A ' BD .
4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là
trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A.
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.
2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’,
B, C’, D.
3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.

25