20 đề thi học sinh giỏi toán lớp 7

BỘ 20 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7
(Năm học 2017 – 2018)
- Người sưu tầm và biên soạn: NGUYỄN HỮU ĐẠT
- Học sinh lớp 7A1
- Trường THCS thị trấn Than Uyên, Lai Châu.
/GVBD: Trần Thị Thanh Thúy/
•
•
•
•
•
•
•

Bộ đề dưới đây phục vụ cho thi học sinh giỏi cấp Trường và cấp Huyện.
Nội dung kiến thức trong các bộ đề được dựa trên các kiến thức của Toán 6/7.
Thang điểm mỗi đề là 20 điểm.
Thời gian trung bình học sinh làm mỗi đề là 120->150 phút.
Nguồn được lấy từ trong sách và internet.
Thời gian sưu tầm và biên soạn từ 28/2/2018 đến 14/4/2017.
Bộ đề không có đáp án.


ĐỀ 1:
Câu 1 (3,0 điểm)
Thực hiện phép tính:
2
 4  −2  5 3   2  −3
 1
a) M = (0,25) .1 ÷ + 25.  ÷ :  ÷  :  − ÷
 4

 3   4    3 
1
1
1
1
1
1
−
−
−
− ... −
−
b) N =
100 100.99 99.98 98.97
3.2 2.1
Câu 2 (3,0 điểm)
Tìm x; y; z biết:
−1

a) 2017 – x − 2017 = x

b) ( 2 x − 1)

2018

2018

2

+ y− ÷

5


+ x+ y−z =0

Câu 3 (5,5 điểm)
3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c
a b c
=
=
. Chứng minh rằng = = .
5
3
2
2 3 5
1
2
b) Ba tấm vải dài tổng cộng 210m. Sau khi bán tấm vải thứ nhất,
tấm vải thứ hai
7
11
1
và tấm vải thứ ba thì chiều dài còn lại của ba tấm vải bằng nhau. Hỏi mỗi tấm vải lúc
3
đầu dài bao nhiêu mét?
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối
của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối của CA lấy điểm I sao cho CI = CA.
a) Chứng minh ∆ABD = ∆ICE và AB + AC < AD + AE.
b) Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự

tại M, N. Chứng minh MN đi qua trung điểm DE.
c) Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN.
Câu 5 (1,5 điểm)
1 + 5 + 52 + ... + 59
1 + 3 + 32 + ... + 39
Cho A =
và B =
. So sánh A và B.
1 + 5 + 52 + ... + 58
1 + 3 + 32 + ... + 38
a) Cho dãy tỉ số bằng nhau


ĐỀ 2:
Câu 1 (3,0 điểm).
Thực hiện phép tính một cách hợp lí:
3 3
0,375 − 0,3 + +
36.454 − 1513.5−9 .
11 12 + 1,5 + 1 − 0,75 ;
M=
N=
5 5
5
27 4.253 + 456
−0,625 + 0,5 − −
2,5 + − 1,25
11 12
3
Câu 2 (5,0 điểm).

a c
a) Cho tỉ lệ thức = . Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều
b d
2
2
2
có nghĩa):  a + b  a + b .
=

÷
2
2
c+d  c +d
1
1
b) Ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyển đi
số thóc ở kho I, số thóc ở
5
6
1
kho II và
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở ba kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho
11
có bao nhiêu tấn thóc ?
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng 222333 + 333222 chia hết cho 13.
5− x
b) Tìm số nguyên x để biểu thức A =
đạt giá trị nhỏ nhất.
x−2

c) Cho f(x) = ax3 + 4x(x2 – 1) + 8 và g(x) = x3 – 4x(bx + 1) + c – 3 trong đó a, b, c là
hằng số. Xác định a, b, c để f(x) = g(x).
Câu 4 (7,0 điểm).
Cho tam giác ABC (AB > AC), M là trung điểm của BC. Từ trung điểm M của
BC vẽ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A tại H, cắt AB, AC lần lượt tại E
và F.
Chứng minh :
a) EH = HF
·
·
µ .
b) 2BME
= ACB
−B
FE 2
c)
+ AH 2 = AE 2 .
4
d) BE = CF .
Câu 5 (1,0 điểm).
µ = 300. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C vẽ tia Bx
Cho tam giác ABC cân tại A, A
⊥ BA. Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = BA. Tính góc BCN.


ĐỀ 3:
Câu 1. (4,0 điểm)
3  193 33   7
11  1931 9 
 2

−
+  : 
+
+ .
a) Thực hiện phép tính: A = 
÷.
÷.
193
386
17
34
1931
3862
25
2





 
0
1
2
3
2016
2017
b) Rút gọn :
B = (-5) + (-5) + (-5) + (-5) + … + (-5) + (-5) .
Câu 2 (4,0 điểm).

12a − 15b 20c − 12a 15b − 20c
=
=
a) Tìm a, b, c biết
và a + b + c = 48.
7
9
11
b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6;
5. Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như
vậy có một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m 3 đất. Tính tổng số đất đã phân
chia cho các đội.
Câu 3 (4,5 điểm).
| x − 2017 | +2018
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
.
| x − 2017 | +2019
3 8 15
n2 − 1
b) Chứng tỏ rằng S = + + + ... + 2 không là số tự nhiên với mọi n ∈ N, n > 2.
4 9 16
n
c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.
Câu 4 (5,5 điểm).
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC
lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN.
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D

thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5 (2,5 điểm).
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
hàm số y = f(x) = ax.
y0 − 2

a) Tính tỉ số x − 4 .
0
b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC.


ĐỀ 4:
Câu 1 (4,0 điểm).
1
1
1
1
−
−
− ... −
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
97.98.99
2018
2017
2
b) Chứng tỏ rằng M = 75 ( 4 + 4 + … + 4 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100.
Câu 2 (4,0 điểm).
1
a) Tìm x, y biết rằng: x + + 3 − y = 0 .

5
x
y
z
+
+
b) Cho các số nguyên dương x, y, z. Chứng minh rằng 1 <
<2.
x+ y y+z z+x
Câu 3 (3,0 điểm).
a) Tìm GTNN của biểu thức A = |x+8| + |x+13| + |x+50|.
5n − 3
b) Tìm số tự nhiên n để phân số B =
đạt giá trị lớn nhất.
3n − 2
Câu 4 (3,0 điểm).
Ba vòi nước cùng chảy vào một hồ có dung tích 15,8 m 3 từ lúc không có nước cho
tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được 1m 3 nước của vòi thứ nhất là 3 phút, vòi
thứ hai là 5 phút và vòi thứ ba là 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy được bao nhiêu nước vào hồ ?
Câu 5 (6,0 điểm).
5.1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC, E là điểm nằm
giữa M và C. Vẽ BH ⊥ AE tại H, CK ⊥ AE tại K. Chứng minh rằng:
a) BH = AK
b) ∆MBH = ∆MAH
c) Tam giác MHK vuông cân
5.2. Cho đoạn thẳng AB, M là trung điểm của AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax. Đường vuông
góc với MC tại M cắt By ở D. Chứng minh rằng CD = AC + BD.
a) Thực hiện phép tính: P =

ĐỀ 5:
Câu 1 (3,0 điểm).
Thực hiện phép tính một cách hợp lí:
1 1 1 
A = −66  − + ÷+ 124(−37) + 63( −124) ;
 2 3 11 
6
3 .454 − 1513.5−9
B=
.
27 4.253 + 456
Câu 2 (3,5 điểm).
bz − cy cx − az ay − bx
=
=
a) Biết rằng
. Hãy chứng minh x : y : z = a : b : c.
a
b
c
b) Tìm số hữu tỉ x, biết rằng : (2x – 1)6 = (2x – 1)8.
Câu 3 (3,0 điểm).
Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 520km, đi
ngược chiều nhau. Tính xem hai xe gặp nhau tại địa điểm cách A bao nhiêu km, biết
rằng xe thứ nhất đi cả quẵng đường AB trong 12 giờ, còn xe thứ hai đi cả quẵng đường
AB trong 14 giờ.
Câu 4 (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 10n + 18n – 1 M27.
b) Với giá trị nào của x thì C = |x-1| + |x-2| + |x-3| + |x-5| đạt GTNN ?

Câu 5 (6,5 điểm).
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự
hai điểm D và E sao cho BD = CE.
a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân;
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE;
c) Từ B và C kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh
BH = CK;
d) Chứng minh ba đường thẳng AM, BH và CK gặp nhau tại một điểm.


ĐỀ 6:
Câu 1 (4,0 điểm).
212.35 − 46.92
510.73 − 255.49 2
−
a) Thực hiện phép tính:
;
(22.3) 6 + 84.35 (125.7) 3 + 59.143
b) Rút gọn :
S = (-3)0 + (-3)1 + (-3)2 + (-3)3 + … + (-3)2014 + (-3)2015.
Câu 2 (4,0 điểm).
a +b−c b+c−a c+a −b
=
=
a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thỏa mãn :
và
c
a
b
 b  a  c

a + b + c ≠ 0. Hãy tính giá trị của biểu thức: B = 1 + ÷.1 + ÷.1 + ÷.
 a   c  b
b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định
chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều
hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
Câu 3 (4,0 điểm).
5z − 6 y 6 x − 4 z 4 y − 5x
=
=
a) Tìm x, y, z biết
và 3x – 2y + 5z = 96.
4
5
6
b) Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + … + 3x+100 chia hết cho 120 (x ∈ N).
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho
CD = AB. Gọi P, Q là trung điểm của AD và BC, I là giao điểm các đường vuông
góc với AD và BC tại P và Q.
a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC.
b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
1
c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE = AD.
2
Câu 5 (2,0 điểm).
x
y
z
+
+

Cho biết xyz = 1. Tính giá trị P =
.
xy + x + 1 yz + y + 1 xz + z + 1
A=


ĐỀ 7:
Câu 1 (4,0 điểm).
3 3 3 1 1 1
− +
− +
4
11
13
2
3 4
+
a) Thực hiện phép tính: A=
5 5 5 5 5 5
− +
− +
7 11 13 4 6 8
b) Cho dãy tỉ số bằng nhau :

2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
a
b

c
d

a +b b+c c+d d+a
M
=
+
+
+
Tính giá trị của biểu thức
c+d d+a a +b b+c .

Câu 2 (4,0 điểm).
1
2
+ y + + x 2 + xz = 0
2
3
b) Chứng minh rằng: Với mọi số n nguyên dương thì 3n+ 2 − 2n + 2 + 3n − 2n chia hết cho 10.
Câu 3 (4,0 điểm).
Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh
máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 4 phút, người thứ ba cần 6
phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng
nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong.
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm
E sao cho ME = MA.
a) Chứng minh rằng: AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI = EK.
Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.

·
·
·
c) Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết HBE
= 50 0 ; MBE
= 25 0 . Tính HEM
·
và BME
?
Câu 5 (2,0 điểm).
2
Tìm x, y ∈ N biết: 36 − y 2 = 8 ( x − 2010 )
a) Tìm x ,y, z biết: x −


ĐỀ 8:
Bài 1 (2,0 điểm)
a. Thực hiện phép tính:
3
2 4
−1,2 : (1 .1,25) (1,08 − ) :
5
25 7 + 0,6.0,5 : 2
+
M=
1
5 9 36
5
0,64 −
(5 − ).

25
9 4 17
b. Cho N = 0,7. (20072009 – 20131999). Chứng minh rằng N là một số nguyên.
Bài 2: (2,0điểm)
Tìm x, y biết:
a.

x − 1 −60
=
−15 x − 1

b.

2x + 1 3y − 2 2x + 3y −1
=
=
5
7
6x

Bài 3: (2,0 điểm)
Cho biểu thức: P = 3x − 3 + 2 x + 1
a. Rút gọn P?
b. Tìm giá trị của x để P = 6?
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB kẻ
hai tia Ax // By. Lấy hai điểm C,E và D,F lần lượt trên Ax và By sao cho AC = BD; CE =
DF. Chứng minh:
a. Ba điểm: C, O, D thẳng hàng; E, O, F thẳng hàng.
b. ED = CF .

Bài 5: (2,0 điểm)
µ = 1000 ; BD là phân giác góc B. Từ A kẻ tia Ax tạo với
Tam giác ABC cân tại C và C
AB một góc 300 . Tia Ax cắt BD tại M, cắt BC lại E. BK là phân giác góc CBD, BK cắt Ax
tại N.
a. Tính số đo góc ACM.
b. So sánh MN và CE.


ĐỀ 9:
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Chứng tỏ rằng với n

thì 4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300.

∈¥ *
46.95 + 69.120
b) Thực hiện phép tính: G =
.
−84.312 − 611
c) So sánh (192017 + 52017)2018 và (192018 + 52018)2017.
Câu 2 (3,0 điểm).
2
2
a) Chứng minh rằng nếu a = c thì 7a + 3ab = 7c + 3cd .
b d
11a 2 − 8b 2 11c 2 − d 2
x2 + y2 x2 − 2 y 2
=
b) Tìm x, y biết

và x4y4 = 81.
10
7
Câu 3 (3,0 điểm).
a) Tìm GTNN của biểu thức A = |x + 2| + 4|2x – 5| + |x – 3|.
1
b) Tìm GTLN của biểu thức B =
.
2( x − 1) 2 + 3
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Ba máy xay, xay được 359 tấn thóc. Số ngày làm việc của các máy tỉ lệ theo 3:4:5,
số giờ làm việc hàng ngày của các máy tỉ lệ theo 6:7:8, còn công suất của các máy tỉ lệ
nghịch với 5,4,3. Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc?
b) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y sao cho x1 và x2 là hai giá trị của x, y1 và y2
là hai giá trị tương ứng của y. Biết x2 = 3, x1 + 2y2 = 18 và y1 = 12. Tính x1 và y2.
Câu 5 (6,0 điểm).
µ = 1100 , M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia
Cho tam giác ABC có A
MA lấy điểm K sao cho MK = MA.
a) Tính số đo góc ACK.
b) Vẽ về phía ngoài của tam giác ABC các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD
vuông góc với AB và AD = AB, AE vuông góc với AC và AE = AC. Chứng minh rằng
∆CAK = ∆AED.
c) Chứng minh rằng MA vuông góc với DE.


ĐỀ 10:
Câu 1 (3,0 điểm).
3 3
+

7
13 .
a) Thực hiện phép tính: A =
11 11
2,75 − 2,2 + +
7 13
9
b) Cho N =
. Tìm x ∈ Z để N có giá trị nguyên.
x −5
Câu 2 (4,0 điểm).
x −1 y + 3 z − 5
=
=
a) Tìm các số x, y, z biết rằng:
và 5z – 3x – 4y = 50.
2
4
6
a + b − c a − b + c −a + b + c
=
=
b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 sao cho
.
c
b
a
(a + b)(b+ c)(c+ a)
Tính giá trị bằng số của biểu thức M =
.

abc
Câu 3 (3,0 điểm).
1
Có ba cuộn dây thép dài tổng cộng 140m. Nếu cắt bớt cuộn thứ nhất , cuộn thứ
7
1
2
hai
và cuộn thứ ba chiều dài của nó thì chiều dài còn lại của ba cuộn dây bằng nhau.
3
11
Hỏi mỗi cuộn dây dài bao nhiêu mét ?
Câu 4 (8,0 điểm).
5.1. Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Kẻ AD // BM và AD = BM (M và
D khác phía đối với AB), trung điểm của AB là I. Chứng minh rằng:
a) Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng.
b) Chứng minh AM // DB.
c) Trên tia đối của tia AD lấy AE = AD. Chứng minh CE = BD.
5.2. Trên cạnh BC của tam giác ABC, lấy các điểm E và F sao cho BE = CF. Qua E và
F, vẽ các đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H.
Chứng minh rằng EG + FH = AB.
0,75 − 0,6 +


ĐỀ 11:
Câu 1 (3,0 điểm).
Thực hiện phép tính:
 11 3 
1 2


1
.
4
−
15
−
6
.

÷
 31 7
3 19   14   31
5.415.99 − 4.320.89

M=
.  −1 ÷ .
N = 10 19
5.2 .6 − 7.2 29.27 6
 93   50
 4 5 + 1 12 − 5 1 

÷


6 6
3
Câu 2 (5,0 điểm).
2bz − 3cy 3cx − az ay − 2bx
x y
z

=
=
= .
a) Biết rằng
. Hãy chứng minh =
a
2b
3c
a 2b 3c
b) Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có 300m 2. Lớp 7A nhận
1
15% diện tích vườn, lớp 7B nhận
diện tích còn lại. Diện tích còn lại của vườn sau khi
5
1 1 5
hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E với tỉ lệ , ,
. Tính diện tích
2 4 16
vườn giao cho mỗi lớp.
Câu 3 (4,0 điểm).
2018 − n
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D =
.
18 − n
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho 2xy + x - 2y = 4.
Câu 4 (6,0 điểm).
µ = 1200, phân giác AD. Từ D kẻ những đường thẳng vuông
Cho tam giác ABC có A
góc với AB và AC lần lượt cắt AB, AC ở E và F. Trên EB và FC lấy các điểm K, I cho cho
EK = FI.

a) Chứng minh tam giác DEF đều.
b) Chứng minh tam giác DIK cân.
c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA tại M. Chứng minh tam giác
MAC đều.
d) Tính độ dài AD biết CM = m và CF = n.
Câu 5 (2,0 điểm).
µ = 200. Từ B và C kẻ các đường thẳng cắt các cạnh
Cho tam giác ABC cân tại B có A
·
·
·
đối diện ở D và E. Biết CBD
= 600, BCE
= 500. Tính BDE
.


ĐỀ 12:
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng 3638 + 4143 chia hết cho 77.
2 −2 1 2 11  5

: 2 + . ÷.
b) Tính giá trị biểu thức sau một cách hợp lí A =  −13. +
5 9
2 5 9 2

100
99
98

97
2
c) Rút gọn B = 3 – 3 + 3 – 3 + … + 3 – 3 + 1
Câu 2 (3,0 điểm).
a b c
−a + 3b − 2c
a) Cho dãy tỉ số bằng nhau = = = 4 và e – 3d + 2f ≠ 0. Tìm
.
e d f
e − 3d + 2f
b) Tìm các số x, y, z biết 2x = 3y, 5y = 7z và 3x – 7y + 5z = -30.
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = |4x – 3| + |5y + 7,5| + 17,5.
b) So sánh 230 + 330 + 430 và 3, 2410.
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho hàm số y = m(3 – 2x) – 3 (m là số cho trước).
1

a) Xác định m biết đồ thị hàm số đi qua điểm A  ; −1÷. Vẽ đồ thị hàm số.
2

b) Chứng tỏ các điểm O(0;0); M(1;-2); N(2;1) thuộc mặt phẳng tọa độ trên không
thẳng hàng.
Câu 5 (3,0 điểm).
Bốn lớp 7A , 7B , 7C , 7D trồng được 172 cây xung quanh vườn trường .Tính số cây
trồng được của mỗi lớp? Biết rằng số cây của lớp 7A và 7B trồng được tỉ lệ với 3 và 4 ; của
lớp 7B và 7C tỉ lệ với 5 và 6 ; còn của lớp 7C và 7D tỉ lệ với 8 và 9.
Câu 6 (5,0 điểm).
Cho tam giác ABC trên BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN qua M k ẻ
MP // AP (P thuộc AB); MQ // AB (Q thuộc AC) và qua N kẻ NK // AB (K thuộc

AC).
Chứng minh rằng:
a) ∆BMP = ∆NCK
b) AP = MQ
c) MQ + NK = AB


ĐỀ 13:
Câu 1. (4,0 điểm)
1.1. Tìm x, biết rằng:
1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y
=
=
a)
18
24
6x
x − 2 x − 3 x − 4 x − 5 x − 44
+
+
+
+
=1
b)
27
26
25
24
5
1

3
5
7
4035
5
1.2. Cho A = 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + ... +
.
2
2 . Chứng tỏ A <
2 1 .2 2 .3 3 .4
2017 .2018
4
Câu 2. (5,0 điểm)
y + z +1 x + z + 2 x + y − 3
1
=
=
=
a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
x
y
z
x+ y+z
2017
2017
(x, y, z ≠ 0; x + y + z ≠ 0). Tính giá trị của biểu thức: B = 2016.x + y + z .
b) Trong một đợt lao động, ba khối 7, 8, 9 chuyển được 912m 3 đất. Trung bình
mỗi học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm được 1,2m 3 ; 1,4m 3 ; 1,6m 3. Số học sinh khối
7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3, Số học sinh khối 8 và khối 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học
sinh mỗi khối.

Câu 3. (3,0 điểm)
4m + 1
a) Tìm số tự nhiêm n để phân số M =
có giá trị lớn nhất.
3m − 2
b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho A(1; 2) và M(m; m 2). Tìm m để ba điểm phân biệt
O, A, M thẳng hàng.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia
CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH ⊥ AD (H ∈ AD), kẻ CK ⊥ AE (K ∈ AE).
Chứng ming rằng:
a) BH = CK ;
b) ∆AHB = ∆AKC ;
c) BC // HK.
Câu 5. (2,0 điểm)
µ = 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao
µ = 450 và C
Cho tam giác ABC có B
·
cho CD = 2CB. Tính ADB
.


ĐỀ 14:
Câu 1. (3,0 điểm)

4924.12510.28 − 530.7 49.45
a) Thực hiện phép tính: A =
529.16 2.7 48
x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 349

+
+
+
+
=0
a) Tìm x biết:
327
326
325
324
5
Câu 2. (5,0 điểm)
x
y
z
=
=
a) Cho x, y, z, a, b, c thỏa mãn
. Chứng minh
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c
a
b
c
=
=
rằng:
(với điều kiện các mẫu thức khác 0).
x + 2y + z 2x + y − z 4x − 4y + z
1
b) Trên một công trường ba đội lao động có tất cả 196 người. Nếu chuyển

số
3
1
1
người của đội I,
số người của đội II và
số người của đôi III đi làm việc khác thì
5
4
số người của ba đội còn lại bằng nhau. Tính số người của mỗi đội lúc đầu.
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Cho hàm số f(x) = ax 2 + bc + c (a, b, c ∈ Z) biết f(0) M3, f(1) M3 và f(-1) M3.
Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.
1
b) Cho B =
. Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất.
2(n −1) 2 + 3
Câu 4. (5,0 điểm)
µ = 600, tia phân giác của góc B và C cắt các cạnh đối diện ở D
Cho tam giác ABC, A
và E, BD và CE cắt nhau ở O. Tia phân giác của góc BOC cắt BC ở F.
Chứng minh rằng :
a) OD = OE = OF
b) Tam giác DEF là tam giác đều.
Câu 5. (3,0 điểm)
a) Tìm số dư của phép chia 109 345 cho 7.
b) Cho S = abc + bca + cab . Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.


ĐỀ 15:

Câu 1. (3,0 điểm)
1
1
1
1
1
−
−
− ... −
−
100.99 99.98 98.97
3.2 2.1
x + 16 y − 25 z + 9
9 − x 11 − x
=
=
+
= 2 . Tìm x + y + z.
b) Cho
và
9
16
25
7
9
Câu 2. (3,0 điểm)
Trên một công trường xây dựng, do cải tiến kĩ thuật năng suất lao động của công
nhân tăng 25 %. Hỏi nếu số công nhân không thay đổi thì thời gian làm việc giảm bao
nhiêu phần trăm?
Câu 3. (4,0 điểm)

a b
b c
a) Biết +
= 1 và + = 1. Chứng minh rằng abc + a’b’c’ = 0.
a ' b'
b' c'
a c
a 2 + ac b 2 + bd
=
=
b) Cho
. Chứng minh rằng 2
.
b d
c − ac d 2 − bd
Câu 4. (3,0 điểm)
Tìm x, y, z biết:
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 2x 2 + 2y 2 – 3z 2 = -100.
b) |9 – 7x| = 5x – 3
1 + 3y 1+ 4 y 1+ 7 y
=
=
c)
12
5x
4x
Câu 5. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài của tam giác ∆ABC, vẽ ∆BAD
vuông cân tại A và ∆CAE vuông cân tại A. Chứng minh:
a) DC = BE ; DC ⊥ BE

b) BD2 + CE 2 = BC2 + DE2
c) Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung
điểm của BC.
Câu 6. (1,0 điểm)
·
Cho tam giác ABC nhọn với BAC
= 600. Chứng minh rằng:
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
a) Thực hiện phép tính:


ĐỀ 16:
Câu 1. (3,0 điểm)
1 1 1
3
3
3
− −
0,6 −
−
−
25 125 625 .
a) Thực hiện phép tính: A = 9 7 11 +
4 4 4 4
4
4
− −
− 0,16 −
−
9 7 11 5

125 625
2
2
3
2
2
2
b) Biết 1 + 2 + 3 + … + 10 = 385. Tính S = 2 + 4 + 63 + … + 202.
Câu 2. (3,0 điểm)
a) So sánh 2017 10 + 2017 9 và 2018 10.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì
3n+3 + 2n+5 – 3n+2 + 2n+2 chia hết cho 18.
Câu 3. (3,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |2x – 2| + |2x – 2000| (x ∈ ¢ )
Câu 4. (5,0 điểm)
3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c
=
=
a) Cho tỉ lệ thức
. Tìm các số a, b, c biết a + b + c = 50.
5
3
2
b) Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m, giá tiền mỗi
mét vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại cuộn thứ
nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần
lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải mỗi
cuộn.
Câu 5. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho

MB = MC; N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :
a) AM là tia phân giác của góc BAC ;
b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng ;
c) MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

ĐỀ 17:
Câu 1. (3,0 điểm)


 1  1   1
 1

− 1÷
− 1÷.
a) Thực hiện phép tính: A =  − 1÷ − 1÷...
 2  3   2017  2018 
2
4
6
x
+
+
=
b) Tìm x biết:
.
(x + 2)(x + 4) (x + 4)(x + 8) (x + 8)(x + 14) (x + 2)(x + 14)
Câu 2. (3,0 điểm)
a) So sánh 333 444 và 444333.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì
3n+3 + 2n+5 – 3n+2 + 2n+2 chia hết cho 6.

Câu 3. (3,0 điểm)
1
1
1
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + + x + + x +
2
3
4
b) Cho hàm số y = f(x) = 2x2 + 2018. Chứng tỏ rằng f(a) = f(-a) với mọi a ∈ ¡ .
Câu 4. (5,0 điểm)
a+b+c a−b+c
=
a) Cho tỉ lệ thức
, b ≠ 0. Chứng minh c = 0.
a +b−c a −b−c
b) Quãng đường AB dài 76m, người thứ nhất đi từ A đến B và người thứ hai đi từ B
4
vận tốc của người thứ hai (đến lúc gặp
5
10
nhau). Thời gian của người thứ nhất chỉ bằng
thời gian của người thứ hai. Tính quãng
11

đến A. Vận tốc của người thứ nhất chỉ bằng

đường mỗi người đi được ?
Câu 5. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh AB, E là trung điểm cạnh AC. Vẽ
điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh rằng :

a) BD = CF ;
b) ∆BDC = ∆FCD ;
1
c) DE // BC và DE = BC.
2

ĐỀ 18:
Câu 1. (3,0 điểm)


 1  1   1
 1

− 1÷
− 1÷.
a) Thực hiện phép tính: A =  − 1÷ − 1÷...
 2  3   2017  2018 
2
4
6
x
+
+
=
b) Tìm x biết:
.
(x + 2)(x + 4) (x + 4)(x + 8) (x + 8)(x + 14) (x + 2)(x + 14)
Câu 2. (3,0 điểm)
a) So sánh 333 444 và 444333.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì

3n+3 + 2n+5 – 3n+2 + 2n+2 chia hết cho 6.
Câu 3. (3,0 điểm)
1
1
1
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + + x + + x +
2
3
4
b) Cho hàm số y = f(x) = 2x2 + 2018. Chứng tỏ rằng f(a) = f(-a) với mọi a ∈ ¡ .
Câu 4. (5,0 điểm)
a+b+c a−b+c
=
a) Cho tỉ lệ thức
, b ≠ 0. Chứng minh c = 0.
a +b−c a −b−c
b) Quãng đường AB dài 76m, người thứ nhất đi từ A đến B và người thứ hai đi từ B
4
vận tốc của người thứ hai (đến lúc gặp
5
10
nhau). Thời gian của người thứ nhất chỉ bằng
thời gian của người thứ hai. Tính quãng
11

đến A. Vận tốc của người thứ nhất chỉ bằng

đường mỗi người đi được ?
Câu 5. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B và C cắt các cạnh đối

diện ở D và E, BD và CE cắt nhau ở O.
a) Tính số đo góc BOC ;
b) Trên BC lấy điểm M sao cho BM = BA, CN = CA. Chứng minh EN // DM ;
c) Gọi I là giao điểm của BD và AN. Chứng minh ∆AIN là tam giác cân.

ĐỀ 19:
Câu 1 (3,0 điểm).


1 1
1
761
4
5
.
−
.4
−
+
;
417 762 139 762 761.762 139
b) Tìm các số a1, a2, a3, … , a9 biết:
a1 − 1 a 2 − 2 a 3 − 3
a −9
và a1 + a2 + a + … + a9 = 90.
=
=
= ... = 9
9
8

7
1
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm hai số hữu tỉ x và y sao cho x + y = xy = x: y (y ≠ 0)
1
b) Cho hàm số y = − x và hàm số y = x – 4
3
* Chứng tỏ M(3; -1) là giao của hai đồ thị hàm số trên.
* Tính độ dài OM (O là gốc tọa độ).
Câu 3 (3,0 điểm).
Ba công nhân được thưởng 100000 đồng, số tiền thưởng được phân chia tỉ lệ với
mức sản xuất của mỗi người. Biết mức sản xuất của người thứ nhất so với mức sản
xuất của người thứ hai bằng 5 : 3, mức sản xuất của người thứ ba bằng 25% tổng mức
sản xuất của hai người kia. Tính số tiền mỗi người được thưởng.
Câu 4 (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức
A = 20n + 16n - 3n - 1  232.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = |x – 456| + |x – 789|.
Câu 5 (6,0 điểm).
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và
AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các tam giác
MAB; MAC là các tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần
lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.

a) Thực hiện phép tính: M = 3

ĐỀ 20:

Câu 1. (4,0 điểm)


a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n
b) Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203.
Câu 2. (3,0 điểm)
Ba đội công nhân làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành
công việc trong 4 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 6 ngày. Hỏi đội thứ ba hoàn
thành công việc trong bao nhiêu ngày, biết tổng số người của đội thứ nhất và đội thứ hai
gấp 5 lần số người của đội thứ ba.
Câu 3. (3,0 điểm)
a) Cho tỉ lệ thức

a c
= . Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).
b d

b) Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy
D, sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ∆ABH = ∆CDH.
c. Chứng minh: ∆HMN cân.
Câu 5. (4,0 điểm)
a
b
c
+

+
≤2
bc + 1 ac + 1 ab + 1
b. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
a. Cho ba số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Chứng minh rằng: