Chuyên đề tích phân hay dành cho ôn thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.86 MB, 68 trang )
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
1
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
dx x C
x dx
x ln x C x 0
e dx e C
dx
x
1
2
x
ax
C 0 a 1
ln a
cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
cos
du u C
x
a x dx
d ax b a ax b C
1
x 1
C 1
1
dx tan x C
ax b dx 1 ax b C 1
a 1
dx
1
ln ax b C x 0
ax b a
1
e ax b dx e ax b C
a
1
cosax bdx sin ax b C
a
1
sin ax bdx cosax b C
a
1
1
dx tan ax b C
2
a
cos ax b
1
sin ax b dx a cot ax b C
1
1
dx cot x C
sin 2 x
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
1
2
u du
u 1
C 1
1
u ln u C u 0
e du e C
du
u
u
au
C 0 a 1
ln a
cos udu sin u C
sin udu cos u C
a u dx
1
cos
2
u
1
sin
2
u
du tan u C
du cot u C
1) Các tính chất tích phân:
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]
a
b
a
a
b
f ( x)dx 0 ; f ( x)dx f ( x)dx
a
b
b
k. f ( x)dx k f ( x)dx
a
b
( k là hằng số)
a
b
b
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
a
b
a
c
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
a
( với a < c < b )
c
2) Các công thức lượng giác:
a) Công thức nhân đôi:
* sin2a = 2sina.cosa
* cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
b) Công thức hạ bậc:
1 cos 2a
2
1 cos 2a
* cos2a =
2
* sin2a =
c) Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
2
1
* sin a.cos b sin(a b ) sin(a b )
2
1
* sin a.sin b cos(a b ) cos(a b )
2
* cos a.cos b cos(a b ) cos(a b )
2
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
3) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
n
*
1
n
a a
và
n
a a
m
n
a
b
m
n
a
b
1
* a0 = 1; a1 = a ; a-n = n
a
* n a . n b n a.b ;
* a .a a
n
n
a
; a
a
* a.b
a
a
a .b ;
b
b
* a a .
4) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
* a2 – b2 = (a+b)(a – b)
* a b 2 a 2 2ab b2
* a3 b3 (a b)(a 2 a.b b2 )
* a b 3 a3 3a 2b 3ab2 b3
PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1
Trong phần tích phân này chúng ta chỉ cần dùng các phương pháp bình thường với các công thức trên bảng
nguyên hàm đã có sẵn để có thể tìm ra đáp án.
Câu 1: Tính các tích phân sau.
2
1
a) I1 = (3x 1)3dx
0
x2
e dx
b)I2 =
c)I3 =
1
0
0
3
2 x 1dx
Giải
1
a) I1 = (3x 1)3dx =
0
1 (3 x 1)
.
3
4
4 1
0
1
5
4
3 1 ( 1) 4
4
12
1 ax b
ax b dx
1
Ta thấy mình đã áp dụng công thức
2
b) I2 = e x 2 dx =
0
a
1
C 1
2
1 x2
e
= – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1
1
0
1
a
Ta thấy mình đã áp dụng công thức e axb dx e axb C
0
c) I3 =
1
3
2 x 1dx = 3. 2 ln 2 x 1
1
Ta thấy mình đã áp dụng công thức
0
1
3
= (ln1 ln 3)
2
dx
1
ln ax b C x 0
ax b a
Câu 2: Tính các tích phân sau.
2
a) J1 =
x
0
2
1 dx
2
2x 3
0 2 x dx
1
b) J2 =
8
c) J3 =
1
x 26 x
dx
6
x
3
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
Giải
a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1
2
x5
206
x3
suy ra J1 = x 1 dx = ( x 2 x 1)dx = 2 x =
3
5
0 15
0
0
2 x 3 2 x 2 3 4 2 2 x 7
1
2 7.
b) Ta có :
2 x
2 x
2 x
2 x
1
1
1
2x 3
1
suy ra J2 =
) dx 2 x 7 ln 2 x
dx = (2 7.
0
2 x
2 x
0
0
= (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 .
x 2 6 x x1/2 2 x1/6
c)
x1/21/6 2 x1/3 2
1/6
6
x
x
2
2
2
2
4
2
8
3
suy ra: J3 = x 2 dx x4/3 2 x =
4
1
1
101
=
= 25,25.
4
8
1/3
3 4/3
3
8 2 8 ( 2)
4
4
Câu 3: Tính các tích phân sau.
8
4
a) K1 = sin3x.cos xdx
b) K2 = cos 2 2xdx
0
0
Giải
1
a) Ta có: sin3x.cosx = s in4x s in2x
2
Ta đã áp dụng công thức nhân đôi hồi học 11. sin a.cos b
1
suy ra K1 =
2
1
sin(a b) sin(a b)
2
1 1
1
4 1
cos
4
x
cos
2
x
(sin4
x
sin2
x
)
dx
0
= 2
2 4
2
0
4
8
b) K2 = cos 2 2xdx
0
Ta có: cos22x =
1 cos 4 x
2
suy ra K2 =
1
2
8
(1 cos 4 x)dx
0
1 1
4
1 1
8 1 1
= sin
x
sin
4
x
0 = .
2 4
8
0 2 8 4
2 8 4
Câu 4: Tính các tích phân sau.
1
1) L =
( x 3x 2)dx
4
2
1 sin 3 x
2 dx
sin x
0
2 x 3 5x 2
1 x 2 dx
2
4
2) I =
3) K =
6
12
4) M =
sin 7 x. sin 5xdx
0
3
5) P = sin 2 3xdx
0
Giải
4
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
1
x5
1
6
x3 2x 1 2
1) L = ( x 3x 2)dx
5
5
0 5
0
1
4
2
4
1 sin x
1
4
dx
sin
x
dx
cot
x
cos
x
cos cot cos
cot
2
2
4
4
6
6
sin x
sin x
6
3
4
2) I
6
6
2
3
2 2 3
1
3
2
2
2
1
Ta đã áp dụng 2 công thức: 2 du cot u C và sin udu cos u C
sin u
2
2
3
2
2
2 x 5x
2
3) K =
dx
2
x
5
dx
x
5
x
22 5.2 1 5 2
2
1
x
1
1
12
sin 7 x. sin 5xdx
4) M =
0
Nhìn vào câu này ta sẽ áp dụng công thức tích thành tổng trong lượng giác.
1
sin a.sin b cos(a b) cos(a b)
2
1 12
11
1
12
M cos 2 x cos12 x dx sin 2 x sin12 x
20
22
12
0
1 1
1
1
1
1
sin sin sin 0 sin 0
2 2
6 12
12
2
8
Áp dụng công thức tính tích phân cosax bdx sin ax b C
1
a
3
5) P = sin 2 3xdx
0
Nhìn vào thấy sin 2 3x thì không có công thức nào tính trực tiếp. Nhưng ta còn nhớ đến công thức hạ bậc
1 cos 2a
trong lượng giác sin 2 a
. Như vậy là ta sẽ dễ dàng áp dụng công thức trong bảng
2
nguyên hàm.
13
1
1
3 1 1
P 1 cos6 x dx x sin 6 x sin 2 sin 0
20
2
6
0 2 3 6
6
PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Cách chọn
Dấu hiệu
a x
2
2
x a sin t
x a cos t
5
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
x
x
x2 a2
a
sin t
a
cost
a2 x2
x a tgt
x a cot gt
ax
ax
x a cost
ax
ax
x a cost
a2 b2 x2
x
a
sin t
b
x
a
tgt
b
1
, n=1, 2, …
(a b 2 x 2 ) n
2
b
Cần tính I =
f ( x)dx
a
Loại 1: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt
+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới.
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Câu 1 : Tính các tích phân sau.
3
2
a) I1 =
4 x 2 dx
b) I2 =
0
1
9 x
2
dx
0
Giải
2
a) I1 =
4 x 2 dx
0
Đặt x = 2sint , t ; (u(t) = 2sint) dx = 2costdt
2 2
Đổi cận
x
0
2
t
0
2
2
I1 =
0
4 x 2 dx =
2
2
2
2
0
0
0
0
4 4sin 2 t .2cost dt = 4 1 sin 2 t .cost dt = 4 cos2 t .cost dt =4 cos 2 tdt
6
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
2
1
2
= 2 (1 cos 2t )dt = 2 t s in2t = .
2
0
0
3
1
9 x
b) I2 =
2
dx
0
3
Đặt x = 3tant, t ; dx =
= 3(1 +tan2t)dt
cos 2 t
2 2
Đổi cận
0
3
x
4
0
t
1 4
1 4 1
1
3(1 tan t )
3(1 tan t )
t = .
=
=
=
=
dx
dt
dt
dt
0 9 9 tan 2 t
0 9(1 tan 2 t)
3 0
3 0
3 4
9 x2
0
Loại 2: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx
+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là và thì =u(a) = u(b) .
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính.
3
2
4
I2 =
2
4
Câu 2: Tính các tích phân sau.
2
e
x2
a) J1 = xe dx
b)J2 =
1
1
/2
2
d) J4 =
4 x 2 .xdx
e)J5 =
0
1
1 ln x
dx
x
cos x
(1 sin x)
4
c)J3 = x ( x 1) dx
3
4
5
0
dx
0
Giải
2
2
x
a) J1 = xe dx
1
Đặt u = x2 du = 2xdx xdx =
Đổi cận
1
x
t
2
1
4
2
xe
J1 =
1
du
2
4
x2
dx =
1
1
2 e du = 2 e
u
1
u 4
=
1
1
1 4 1
1
( e – e ) = ( e4 – e)
2
2
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy rằng: x x 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1 2
1
2
J1 = xe dx x 2 e x dx e x d x 2 e x e 4 e
2
21
2 1 2
1
1
x2
e
b)J2 =
1
1 ln x
dx
x
7
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
1
Đặt u = 1 ln x u2 = 1 + lnx 2udu = dx
x
Đổi cận
1
e
x
2
1
t
1 ln x
dx =
J2 =
x
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy: ln x
x
e
2
u.2udu = 3 u
2
1
2
3
1
=
2
2
( 2)3 13 ) = (2 2 1)
3
3
e
1
1 ln x
1 ln x
dx ln x 1 ln xdx 1 ln x 2 d ln x
1
x
1
1
1
2
e
e
J2
1
1
e
1
2
e
2
1 ln x 1 ln x
3
1
1
2
4 2 2
2. 2 1
3
3
1
c)J3 = x ( x 1) dx
3
4
5
0
Đặt u = x4 – 1 du = 4x3dx x3dx =
Đổi cận
0
x
t
1
du
4
1
-1
0
1
3
4
5
J3 = x ( x 1) dx =
0
0
5
u
1
6
1
du = 1 u
4
4 6
0
=
1
1
24
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy: x 3 x 4 1
4
1
1
1
1 x
.
1 4
1
x 1 x 4 1 dx x 4 1 d x 4 1
4
40
4
0
J3 = x3 ( x 4 1)5 dx
0
5
5
4
1
6 1
6
1
1
0 1
24
24
0
2
d) J4 =
4 x 2 .xdx
0
Đặt u = 4 x 2 u2 = 4 – x 2 2udu = – 2xdx xdx = –udu
Đổi cận
x
0
2
t
2
0
2
J4 =
0
0
0
2
2
4 x 2 .xdx = u.( u ) du = u 2 du = 1 u 3 2 = 8
0
3
3
Cách 2: Dùng hàm hợp
8
Văn Tấn Hải
Ta thấy: x
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
1
4 x2
2
1
1
J4 = 4 x 2 .xdx 4 x 2 4 x 2 dx 4 x
20
2
0
0
2
2
2
1
2 2
d 4 x 12 .
2
1
2 2 1
4 x
1
1
2
2
0
2
1
1
8
4 x 2 4 x 2 4 22 4 2 2 4.2
3
3
3
0
/2
cos x
(1 sin x)
e)J5 =
4
dx
0
Đặt u = 1 + sinx du = cosxdx
Đổi cận
0
x
2
1
t
2
/2
J5 =
0
2
du 2 4
cos x
7
1 3 2
dx
u =
=
4 = u du =
4
1
u
(1 sin x)
3
24
1
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
Ta thấy: cos x 1 sin x
2
2
1 sin x
2
cos x
1
1
4
dx
dx 1 sin x d 1 sin x .
4
4
(1 sin x)
3 1 sin x 3
0
0 1 sin x
0
J5
2
0
1
1
1
1 1 1 7
3
3
3
3 8 24
1 sin 0
1 sin
2
Câu 3 : Tính các tích phân sau.
a) I =
1 4 sin x . cos xdx
b) J =
x
c) K = e .x.dx
2
3
x 8.x dx
3
2
0
0
0
e
d) L =
1
2
6
1
(3 ln x )dx
x
1
g) N =
x
e dx
2e
x
0
Giải
6
a) I =
1 4 sin x . cos xdx
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t 1 4 sin x t 2 1 4 sin x 2tdt 4 cos xdx cos xdx
tdt
2
Đổi cận
9
Văn Tấn Hải
x
0
t
1
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
6
3
3
3
3
3
tdt 1 2
t3
1 3 3 1
I t.
t dt
2 2 1
61
6
6
6
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy rằng: cos x 1 4 sin x nên ta dùng phương pháp hàm hợp cũng rất nhanh. Vì cách này mình
4
làm trực tiếp.
3
6
6
0
0
I 1 4 sin x .cos xdx 1 4 sin x .
1
1
16
1 1 4 sin x
1 4 sin x dx 1 4 sin x 2 d 1 4 sin x .
1
4
40
4
1
2
6
1
1
2
6
3 3 1
1
1
. 1 4 sin x 1 4 sin x 1 4 sin 1 4 sin 1 4 sin 0 1 4 sin 0
6
6
6
6
6
0
2
b) J =
3
x 3 8.x 2 dx
0
Đặt t 3 x 3 8 t 3 x 3 8 3t 2 dt 3x 2 dx t 2 dt x 2 dx
Đổi cận
0
2
x
t
-2
0
0
0
0
t4
J t.t dt t dt
4
4 2
2
2
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy được: x 2 x 3 8
3
2
3
2
2
0
0
J 3 x 3 8. x 2 dx 3 x 3 8.
1 3
x 8
4
4 2
3
0
1 3
2 8
4
4
3
1 3
1
1 x 8
x 8 dx x 3 8 d x 3 8
3
30
3 1 1
3
2
1
3
3
1
1
3
2
0
4
8 3 4
1
x
c) K = e .x.dx
2
0
Đặt t x 2 dt 2 xdx xdx
Đổi cận
x
0
t
0
dt
2
1
-1
10
0
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
1
1
1
t 1
dt
e
1
e e 1
K et .
e1 e0
20
2
2
2e
2
0
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thây được: x x 2
2
1
K e
x2
0
1
. x.dx e
1
1
1 2
1
1
x dx e x d x 2 e x
2
20
2
x2
2
0
1
2
0
1 1 0
1 1 e 1
e e 1
2
2e
2
1
Cái chỗ: e x d x 2 thì ta xem như là dạng e u d u rồi áp dụng công thức như thường.
2
0
0
e
ax b
1
dx e ax b C . ở đây thật ra ta thay cái ẩn trong công thức là x thành x 2 nên cũng có thể xem nó như
a
dạng là eax
e
d) L =
1
2
b
d x 2 rồi áp dụng công thức như thường.
(3 ln x )dx
x
Đặt t 3 ln x dt
dx
x
Đổi cận
x
1
t
3
e
7
2
7
2
t2
L tdt
2
3
7
2
3
2
13
1 7
32
2 2
8
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
Ta thấy: 3 ln x
x
e
L
1
(3 ln x )dx
x
e
ln 2 x
ln 2 e
1 ln x 3 ln x dx 1 3 ln x d ln x 3ln x 2 3ln e 2
1
e
e
2
1
2
1
ln
e
1
3 4 13
3lne 2
2
2 2 8
1
e x dx
g) N =
x
0 2e
Đặt t 2 e x dt e x dx
Đổi cận
x
t
0
3
1
2e
2e
2e
dt
2e
ln
t
ln 2 e ln 3 ln
3 t
3
3
Cách 2: Dùng hàm hợp
N
11
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
Ta thấy: e x 2 e x
1 2 e x dx
1 d 2 ex
e x dx
N
ln 2 e x
x
x
x
2
e
2
e
2
e
0
0
0
1
1
0
ln 2 e ln 3 ln
2e
3
PHẦN III: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
b
Công thức:
b
udv uv vdu
b
a
a
a
b
Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I P( x).Q( x)dx
a
Dạng
hàm
P(x): Đa thức
Q(x): sinkx hay coskx
P(x): Đa thức
Q(x):ekx
Cách
đặt
* u = P(x)
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới
dấu tích phân
* u = P(x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích phân
P(x): Đa thức
1
1
Q(x): 2 hay
sin x
cos 2 x
* u = P(x)
* dv là Phần còn lại của
biểu thức dưới dấu tích
phân
P(x): Đa thức
Q(x):ln(ax+b)
* u = ln(ax + b)
* dv = P(x)dx
Câu 1: Tính các tích phân sau.
/4
b)I2 = ( x 1)e dx
2 x cos 2 xdx
a) I1 =
3
1
2x
2 x ln( x 1)dx
2
0
0
Giải
/4
a) I1 =
c) I3 =
2 x cos 2 xdx
0
du 2dx
u 2 x
Đặt:
1
dv cos 2 xdx v sin 2 x
2
/4
I1 =
/4
2 x cos 2 xdx = x.sin2x 0
0
=
/4
–
sin 2xdx
0
=
4
sin
1
/4
0 cos 2 x 0
2
2
1
1
(cos cos 0) =
4 2
2
4 2
1
b) I2 = ( x 1)e 2 x dx
0
du dx
u x 1
Đặt:
1 2x
2x
dv e dx v e
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2x
– e2 x dx = [(1 1)e 2 (0 1)e0 ] e 2 x 0 = (2e 2 1) (e 2 1)
I2 = ( x 1)e dx = ( x 1)e
2
4
2
4
2
20
0
0
1
2x
3e2 1
=
4
12
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
3
c) I3 =
2 x ln( x 1)dx
2
1
u ln x 1 du
dx
Đặt:
x 1
dv 2 xdx
v x 2
3
3 x2 1 1
x 1 x 1 1
x2
dx = 9ln2 – 0
dx 9ln2
I3 = 2 x ln( x 1) dx = x ln( x 1) 2 –
x 1
x 1
x 1
2
2
2
2
3
3
2
3
3
3
7
x2
1
= 9ln2 – ( x 1
=
9ln2
–
(
x ln x 1) = 8ln2 –
)dx
2
2
x 1
2
2
Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu
1
dx
u ln x 1 du
x 1
dv 2 xdx
v x 2 1 x 1 x 1
3
x2
7
I3 x 1 x 1 ln( x 1) 2 x 1 dx 2.4. ln 2 x 8ln 2
2
2
2
2
3
3
Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x. Như đã biết 2xdx x 2 c
,trong đa số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0. Trong bài tích phân vừa tính,chọn
c 1 thích hợp hơn.
Câu 2: Tính các tích phân sau.
4
xdx
0 cos2 x
a) J1 =
2
b) J2 = ln xdx
2
1
x
Giải
4
a) J1 =
xdx
cos
2
0
x
u x
du dx
Đặt:
dx
v tan x
dv cos2 x
4
/4
xdx
0 cos2 x = x.tan x 0 –
J1 =
4
x tan x
4
0
0
d cos x
cos x
/4
4
cos x dx
sin x
dx x tan x 04
cos x
cos x
0
0
tan xdx = x tan x 04
4
0
4
0
0
x tan x ln cos x
=
4
tan
4
4
/4
0 ln cos x 0 =
4
ln
2
= ln 2
2 4
2
b) J2 = ln xdx
2
1
x
dx
du
u ln x
x
Đặt:
dx
1
dv x 2
v
x
13
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
2
2
2
2
ln xdx
1
1
1
1
1
1
1
J2 =
= ln x + 2 dx = ln 2 ln1 = ln 2 ( 1) = (1 ln 2)
2
2
2
2
2
x
x1
x
x
1
1
1
1
Giải thích: 12 x 2 có 1 nguyên hàm là x 1
1
x
x
2
Chú ý: Lưu ý: Nếu tính
ln xdx
thì ta lại dùng phương pháp đổi biến
x
1
Câu 3: Tính các tích phân sau.
1
e
x
a) I 1= ( x 3)e dx
4
b) I2 = (1 2 x) ln xdx
1
c) I3 =
0
1
xdx
2
x
cos
e
2ln x
1 x2 dx
d) I4 =
Giải
1
a) I1=
( x 3)e dx
x
1
u x 3
du dx
Đặt:
x
x
dv e dx v e
I1 x 3 e
1
x 1
e dx x 3 e
x
1
1
x 1
1
e
x 1
1
4e 2.e
1
e e
1
3e2 1
3e e
e
1
e
b) I2 =
(1 2 x) ln xdx
1
dx
u ln x
du
Đặt:
x
dv 1 2 x dx v x 2
e
e2 1
x2
e2 1
I2 x ln x xdx x ln x
e 2
1
1
2 1
2 2
2 2
1
e
e
2
e
2
4
c) I3 =
xdx
0 cos2 x
u x
du dx
Đặt:
dx
v tan x
dv cos2 x
4
cos x dx x tan x 4 4 d cos x
sin x
I3 x tan x 04 tan xdx x tan x 04
dx x tan x 04
0 cos x
0
cos x
cos x
0
0
0
4
x tan x 04 ln cos x
4
0
4
ln
4
2
2
14
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
e
2ln x
dx
x2
1
d) I4 =
2dx
u 2 ln x du
x
Đặt:
dx
dv x 2
v 1
x
e
e
e
e
2 ln x
dx
2 ln x
2
2 2
4
I4
2 2
2 2
x 1
x
x 1 x1
e e
e
1
PHẦN IV: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P2
Câu 1: Tính các tích phân sau.
a) I1 =
1
0
x 3 dx
b) I2 =
1
(2 x 1) dx
3
d) I4 x 1 x 2 2 x 5 dx
1
c) I3 =
0
1 4x
1
0
3
dx
e) I5 2 x 3 x 2 3x 1 dx
1
3
3
0
0
Giải
1
4
x
4
a) I1 =
b) I2 =
(2 x 1) dx
0
x 3 dx =
1
1
0
x 1
1
¸
p
dông
c«ng
thøc
x
dx
C 1
1
4
3
0
Với dạng câu này ta có nhiều cách làm.
Cách 1: Chúng ta phân tích nó ra rồi áp dụng công thức tính tích phân như thường . Áp dụng công thức:
3
a b a3 3a2 b 3ab2 b3
I2 =
1
0
1
(2 x 1)3 dx
8x
3
12 x 2 6 x 1 dx 2 x 4 4 x 3 3x 2 x
2 4 3 1 10
1
0
0
x 1
C 1
¸ p dông c«ng thøc x dx
1
Cách 1: Đổi biến số
I2 =
1
(2 x 1) dx
3
0
Đặt t = 2 x 1 dt 2 dx dx
Đổi cận
x
0
t
1
dt
2
1
3
3
1 3
1 t4
Suy ra: I2 t dt
21
2 4
Cách 3: Dùng hàm hợp
Cách này có lẽ là lẹ nhất.
3
1
1 4
3 1 10
8
15
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
1
1
1 2 x 1
3
3
I2 = (2 x 1)3 dx = 2 x 1 2 x 1 dx 2 x 1 d 2 x 1
0
2
20
2
4
0
1
1
1 4x
1
c) I3 =
3
0
1
4 1
1
4
2 1 1 10
8
0
dx
Cách 1: khai triển hằng đẳng thức a b a3 3a2 b 3ab2 b3
3
I3 =
0 1 4x
1
1
3
dx =
1 12 x 48 x
2
64 x 3 dx x 6 x 2 16 x 3 16 x 4
0
1 6 16 16 5
1
0
Cách 2: Đổi biến số
I3 =
1 4x
1
3
0
dx
Đặt t 1 4 x dt 4dx dx
Đổi cận
x
0
1
1
t
dt
4
-3
3
1
1 t4
Suy ra: I3 t 3dt
41
44
3
1
4
1 3 1
5
4 4
4
Cách 3: Dùng hàm hợp
I3 =
1 4x
1
3
0
dx =
1
1
1 1 4 x
3
3
0 4 1 4 x 1 4 x dx 0 4 1 4 x d 1 4 x 4 4
1
1
4 1
0
4
1 1 4 1
5
4 4
4
d) I4 x 1 x 2 2 x 5 dx
1
3
0
Đối với câu này nếu như đi dùng phương pháp khai triển hằng đẳng thức rồi nhân phân phối vào thì ghi rất
mệt nên ta sẽ bỏ qua cách đó.
Cách 1: Đổi biến số
Ta dễ dàng quan sát thấy được nếu như x 2 2 x 5 2 x 2 2 x 1 thì nhìn vô biểu thức tích phân có
cái x 1 nên mình dễ dàng nghĩ ngay tới chuyện đổi biến số kiểu bên dưới.
Đặt t x 2 2 x 5 dt 2 x 2 dx
Đổi cận
x
0
1
5
4
t
4
1
1 t4
Suy ra: I4 t 3dt
25
2 4
Cách 2: Dùng hàm hợp
4
5
1 4 4 54
2 4 4
dt
x 1 dx
2
369
8
I4 x 1 x 2 2 x 5 dx
1
0
3
2
1
3
3
1
1
1 x 2x 5
x 2 2 x 5 x 2 2 x 5 dx x 2 2 x 5 d x 2 2 x 5
2
20
2
4
0
1
4 1
1
369
4
1 2 5 54
8
8
0
16
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
e) I5 2 x 3 x 2 3x 1 dx
1
3
0
Cách 1: Đổi biến số
Ta quan sát thấy được x 2 3x 1 2 x 3 nên ta hãy nghĩ tới cách đổi biến như bên dưới.
Đặt t x 3x 1 dt 2 x 3 dx
Đổi cận
0
1
x
2
1
t
-1
1 1 0
t4
Suy ra: I5 t dt
41
4
4
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
1
4
4
3
I5 2 x 3 x 2 3x 1 dx
1
0
1
3
3
x 3x 1 x 2 3x 1 dx
2
x 2 3x 1
4 1
4
0
1 3 1
4
4
14
0
4
0
Câu 2: Tính các tích phân sau.
c) I3 2 x 1dx
b) I2 x 2dx
a) I1 xdx
0
2
0
1
1
1
f) I6 1 x x 2 2 x 3dx
e) I5 x 1 x 2 dx
d) I4 x 1 x 2 dx
0
0
0
1
1
g) I7 x
4
7
1
2
h) I8 x 2 2 x x 3 3x 2 2dx
x 1dx
3
0
0
Giải
1
a) I1 xdx
0
x 1
C 1
với dạng này ta chuyển về hàm mũ để áp dụng công thức ¸ p dông c«ng thøc x dx
1
1
1
I1
0
1
1
1
2
1
2
1
x
2 3
2
xdx x dx
x2
1
3 0 3
0
1
2
0
7
b) I2 x 2dx
2
Với dạng này ta cứ chuyển về hàm mũ.
7
7
7
2
2
I2 x 2dx x 2
1
2
x 2
dx
1
1
2
1
1
2
7
3
3
3
2
2
38
x 2 2 7 2 2 2 2 2
3
7
3
2
2
17
Văn Tấn Hải
¸ p dông c«ng thøc
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
1
1 ax b
ax
b
dx
C
1
a 1
4
1 2 x 1
2 x 1dx = 2 x 1 dx
3
2
0
2
4
4
c) I3
0
1
2
3
2
2 x 1
3 4
2
3
3
2.4 1 2 1 26
3
3
3
0
0
1
d) I4 x 1 x 2 dx
0
Cách 1: Đổi biến số
Với phương pháp này chúng ta cần chú ý là đặt ẩn như thế nào đó mà chúng ta có thể thay hết các ẩn trong
dấu tích phân ban đầu thành 1 loại ẩn khác thôi. Trong dấu tích phân không được chứa 2 ẩn. Như là ban đầu
trong dấu tích phân chỉ có ẩn x thì khi đặt ẩn t thì làm sao đó ẩn x phải mất hết.
Đặt t 1 x 2 t 2 1 x 2 2tdt 2 xdx tdt xdx
Đổi cận
0
x
1
2
1
t
2
2
2
t3
Suy ra: I4 t.tdt t 2 dt
31
1
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
1
2
3
3
1 1 2 2
3
3
1
1
1
1
1
I4 x 1 x dx 1 x 2 1 x 2 dx 1 x 2 d 1 x 2 1 x 2
2
20
20
0
0
2
12
=
1 x2
23
3 1
2
0
1
1 x2
3
1
1 x
3
0
1
2
d 1 x
2
1
2 2 1
2 2 1
3
3
1
e) I5 x 1 x 2 dx
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t 1 x 2 t 2 1 x 2 2tdt 2 xdx tdt xdx
Đổi cận
x
0
1
1
0
t
0
0 3 1 1
t3
Suy ra: I5 t.tdt t dt
31
3 3
3
1
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
1
1
1
1
1
1
I5 x 1 x 2 dx 1 x 2 1 x 2 dx 1 x 2 d 1 x 2 1 x 2
2
20
20
0
0
0
0
2
1
2
d 1 x
2
18
Văn Tấn Hải
=-
12
1 x
23
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
3 1
2 2
0
1
1 x2
3
1
1 x3
0
1
1
0 1
3
3
1
f) I6 1 x x 2 2 x 3dx
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t x 2 2 x 3 t 2 x 2 2 x 3 2tdt 2 x 2 dx tdt x 1 dx tdt 1 x dx
Đổi cận
0
1
x
2
3
t
t 3
Suy ra: I6 t.tdt
3
3
2
2
3
1
3
23 33
1
2 2
2 2 3 3
3
3
3
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
1
I6 1 x x 2 x 3dx
2
0
1
0
1 2
x 2 x 3 x 2 2 x 3dx
2
1
1
1
1
=- x 2 2 x 3d x 2 2 x 3 x 2 2 x 3 2 d x 2 2 x 3
20
20
1 x 2x 3
=
3
2
2
2
3
2
1
3
3
1
1
2 2
2
2
1 2 3 3 2 2 3 3
3
3
3
3
0
1
g) I7 x 2 x 3 1dx
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t x 3 1 t 2 x 3 1 2tdt 3 x 2 dx
Đổi cận
x
0
1
2
1
t
2
2
2
2tdt 2 2
2 t3
2
t dt
Suy ra: t.
3
3 1
331
9
1
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
I7 x
0
1
2
2tdt
x 2 dx
3
1
x 1dx x 3 1
3
0
3
2 1 4
3
1
2 2
9
1
1
1 2
x 1 dx x 3 1 2 d x 3 1 . x 3 1
30
3 3
3
3 1
2
0
2 3
2 2 1
9
2
4 2 2
2 2 1
9
9
19
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
1
h) I8 x 2 2 x x 3 3x 2 2dx
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t x 3 3 x 2 2 t 2 x 3 3 x 2 2 2tdt 3 x 2 6 x dx
Đổi cận
0
x
2
0
0
2tdt 2
3
3
2
Cách 2: Dùng hàm hợp
t.
Suy ra: I8
I8 x 2 2 x
0
1
1
t
1
2tdt
x 2 2 x dx
3
0
2t
t dt 3 3
2
2
1
2 2
3
3 0
3
2
3
4 2
9
1
1 3
1
x 3x 2 2 x 3 3x 2 2dx x 3 3x 2 2d x 3 3x 2 2
3
30
0
x 3 3x 2 2dx
1
= x 3 3x 2 2
30
1
2
2
x 3 3x 2 2
9
3 1
2
3
2
2
4 2
0 2 2 . 2 2
9
9
9
0
Câu 3: Tính các tích phân sau.
4
a) I1
0
x 1 dx
1
d) I4
0
dx
c) I3
2x 1
dx
1 2x
1
1
x 2 dx
0
x2 4x 5
Giải
e) I5
x2 2x 2
0
a) I1
b) I2
x
1
4
1
dx
dx
x
Dạng này ta cũng chuyển về hàm mũ cho dễ làm. Để khỏi mắt công nhớ nhiều công thức quá nặng não.
1
4
4
I1
4
1
1
2
4
1
x
1 dx x dx
2. x 2 2
1
x 1 2
1
1
1
x
2
1
dx
1
4
1
1
2
4 1 2
1
1
b) I2
0
dx
2x 1
1
0
1
dx
1
2 x 1 2
1
2 x 1 2 dx
0
1
1
2
1 2 x 1
2 1 1
2
1
2x 1 3 1
0
0
0
1
0
c) I3
1
dx
1 2x
0
1
0
dx
1 2 x
1
2
1 2 x
1
1
2
1 1 2 x 2
dx .
1
2
2
1 2x
0
1
1 3 3 1
1
20
Văn Tấn Hải
1
x 1 dx
d) I4
x2 2x 2
0
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t x 2 2 x 2 t 2 x 2 2 x 2 2tdt 2 x 2 dx tdt x 1 dx
Đổi cận
0
1
x
2
t
5
5
5
tdt
Suy ra: I4
t
2
dt t
5
2
5 2
2
Cách 2: Dùng hàm hợp
1 2
2
1
1
x 2x 2
1 d x 2x 2
1
2
dx
x2 2x 2
1
2
2
2
2
x 2x 2 0
x 2x 2
0
0
x2 2x 2 2
x 1 dx
1
I4
1
0
1
2
1
2
d x2 2x 2
1
1
1 x 2x 2
x2 2x 2 5 2
1
0
2
2
0
1
x 2 dx
e) I5
x2 4x 5
0
2
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t x 2 4 x 5 t 2 x 2 4 x 5 2tdt 2 x 4 dx tdt x 2 dx
Đổi cận
0
x
1
2
5
t
2
Suy ra: I5
tdt
t
5
2
dt t
2
5
2 5
5
Cách 2: Dùng hàm hợp
1 2
2
1
1
1
1
x 4 x 5
1
x 2 dx
1 d x 4 x 5 1
2
2
2
I5
dx
x
4
x
5
d x 2 4 x 5
1
2
2
20 2
20
x 4x 5 0
x 4x 5
0
x 4x 5 2
1 x
2
2
4x 5
1
2
1
2
1
1
x2 4x 5 2 5
0
0
Câu 4: Tính các tích phân sau.
21
Văn Tấn Hải
e
dx
a) I1
x
1
1
d) I4
0
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
0
dx
b) I2
1 2x
1
x 1 dx
1
e) I5
x 2x 2
2
0
1
c) I3
0
xdx
x2 1
x 2
dx
x 4x 5
2
Giải
e
a) I1
1
e
dx
ln x 1 ln e ln1 1
x
0
dx
1
b) I2
ln 1 2 x
1 2x
2
1
dx
¸ p dông c«ng thøc x ln x C x 0
0
1
1
ln 3
ln1 ln 3
2
2
dx
1
¸ p dông c«ng thøc ax b a ln ax b C x 0
1
xdx
x2 1
0
Cách 1: Đổi biến số
c) I3
Đặt t x 2 1 dt 2 xdx xdx
dt
2
Đổi cận
x
0
1
t
1
2
2
1 dt 1
ln t
2 1 t 2
Cách 2: Dùng Hàm hợp
Suy ra: I3
2
1
ln 2 ln1 ln 2
2
2
1 2
2
1
1
1
x 1
xdx
1 d x 1 1
1
ln 2
2
2
I3 2
dx
ln x 1 ln 2 ln1
2
2
x 1 0 x 1
2 0 x 1
2
2
2
0
0
1
1
d) I4
0
x 1 dx
x2 2x 2
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t x 2 2 x 2 dt 2 x 2 dx
dt
x 1 dx
2
Đổi cận
x
0
1
t
2
5
5
Suy ra: I4
1 dt 1
ln t
2 2 t 2
5
2
1
1 5
ln 5 ln 2 ln
2
2 2
22
Văn Tấn Hải
Cách 2: Dùng Hàm hợp
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
1 2
2
1
1
x 2x 2
1 d x 2x 2
1
1
1 5
2
2
I4 2
dx
ln x 2 x 2 ln 5 ln 2 ln
2
2
x 2x 2 0 x 2x 2
2 0 x 2x 2
2
2
2 2
0
0
1
x 1 dx
1
x 2
dx
x 4x 5
0
Cách 1: Đổi biến số
1
e) I5
2
Đặt t x 2 4 x 5 dt 2 x 4 dx
dt
x 2 dx
2
Đổi cận
x
0
1
t
5
2
2
1 dt 1
Suy ra: I5 ln t
25 t 2
2
5
1
1 2
ln 2 ln 5 ln
2
2 5
Cách 2: Dùng Hàm hợp
1 2
2
1
1
x 4x 5
x 2
1 d x 4x 5
1
1
1 2
2
2
I5 2
dx
dx
ln
x
4
x
5
ln 2 ln 5 ln
2
2
x 4x 5
x 4x 5
2 0 x 4x 5
2
2
2 5
0
0
0
1
1
Câu 5: Tính các tích phân sau.
2
0
dx
dx
a) I1 2
b) I2
2
x
1 2 x 1
1
1
c) I3
0
dx
3x 1
2
Giải
2
dx
x2
1
Câu này ta sẽ chuyển về hàm mũ để cho dễ giải.
a) I1
2
dx
x 2 1
1
1
1
I1 2 x 2 dx
1
x
2 1 1
x1
2
2
1
1
2
2
0
b) I2
2
dx
2 x 1
2
1
1 ax b
ax b dx
1
Câu này ta sẽ chuyển về hàm mũ rồi áp dụng công thức
0
I2
2 x 1
1
0
dx
2
2 x 1
1
1 0
2
1 2 x 1
dx
2 2 1
1
a
1
C 1
0
1
1
1 1
1
2 2 x 1 1
2
3 3
23
Văn Tấn Hải
1
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
c) I3
1
1
dx
0 3 x 1
2
3x 1
0
2
1
1
1 1 1
dx .
1
3 3x 1 0
3 4 4
Câu 6: Tính các tích phân sau.
1
1
1
2
e x dx
d) I4 x
e 1
0
e) I5
1
2x
2
1
f) I6
2
1
1
1
x
h) I8 e
2e 1dx
x
1 3e
dx
2x
3
e x dx
i) I9
1 3e dx
2x
0
0
3
e2 x dx
1
2x
0
e2 x dx
e
c) I3 e x 1 4e x
3
x
0
0
g) I7 e
1
b) I2 e 2e 1 dx
a) I1 e dx
x
3x
ex 1
0
Giải
1
1
3
1
e 1
1
a) I1 e3 x dx e3 x ¸ p dông c«ng thøc eax b dx eax b C
3
3 3
a
0
0
1
b) I2 e x 2e x 1 dx
3
0
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t 2e x 1 dt 2e x dx
dt
e x dx
2
Đổi cận
x
0
1
t
3
2e 1
2e 1 81
1
1 t4
1
4
2e 1 34
Suy ra: I2 t 3dt .
2 3
2 43
8
8
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
1
1
3
3
3
1
1
I2 e x 2e x 1 dx 2e x 1 2e x 1 dx 2e x 1 d 2e x 1
2
20
0
0
2 e 1
2 e 1
x
1 2e 1
= .
2
4
4 1
4
2e 1 81
1
4
2e 1 34
8
8
4
0
1
c) I3 e x 1 4e x
3
dx
0
Cách 1: Đổi biến số
24
Văn Tấn Hải
Học chắc chắn sẽ… xém rớt
Đặt t 1 4e x
dt
e x dx
4
Đổi cận
x
0
1
t
-3
1 4e
1
Suy ra: I3
4
1 4 e
3
1 t4
t dt
4 4
1 4 e
3
3
81 1 4e
1
4
4
1 4e 3
16
16
4
Cách 2: Dùng hàm hợp
1
1
I3 e x 1 4e x dx
3
0
0
1
1
1
1 4e x 1 4e x dx 1 4e x d 1 4e x
4
40
3
3
1 1 4e
.
x
4
4 1
4
0
81 1 4e
1
4
4
. 1 4e 3
16
16
4
1
e x dx
ex 1
0
Cách 1: Đổi biến số
d) I4
Đặt t e x 1 dt e x dx
Đổi cận
x
0
1
t
2
e 1
e 1
Suy ra: I4
2
dt
ln t
t
e 1
2
ln e 1 ln 2 ln
e 1
2
Cách 2: Dùng hàm hợp
1 ex 1
1 d ex 1
1
e x dx
e 1
I4 x
x
dx x
ln e x 1 ln e 1 ln 2 ln
0
e 1 0 e 1
e 1
2
0
0
1
2
e) I5
1
e2 x dx
e
2x
1
2
Cách 1: Đổi biến số
Đặt t e2 x 1 dt 2e 2 x dx
dt
e 2 x dx
2
Đổi cận
25
