CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Tác giả: Đào Huy Khánh
TTCM tổ Toán – Tin - TD
Giáo viên trường THPT Nguyễn Duy Thì
Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi THPT QG
Số tiết dự kiến:10T trên lớp + 10T tự học
I-LỜI NÓI ĐẦU
Bài toán tính thể tích khối đa diện là một bài toán cơ bản trong chương trình
hình học lớp 12, theo cấu trúc có trong đề thi THPT QG và chiếm 01 điểm. Đây là
phần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập, đây cũng là
phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế.
Đứng trước một bài toán hình học không gian, yêu cầu đối với người học về
“kiến thức nền” là kỹ năng vẽ hình, kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ
song song, quan hệ vuông góc, cách xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đường
thẳng và mặt phẳng, kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính
diện tích tam giác, tứ giác, công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ…..
Ngoài ra học sinh cần nắm được hai phương pháp giải cơ bản để giải bài toán
về tính thể tích khối đa diện là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính gián
tiếp. Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tích đáy từ đó
suy ra thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức là ta chia khối đa diện
thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích.
Chính vì lượng “kiến thức nền” tương đối nhiều và trừu tượng nên với hầu hết
học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài tập,
các em thường ngại và lúng túng khi bắt đầu giải quyết. Chuyên đề này nhằm ôn tập
cho các em học sinh các kiến thức cơ bản của hình học không gian và các dạng toán cơ
bản về bài toán tính thể tích khối đa diện
II- NỘI DUNG ÔN TẬP CƠ BẢN
1. Kỹ năng vẽ hình.

Hình chóp.
+ Vẽ mặt đáy (chú ý đường nét đứt).
+ Xác định chân đường cao dựa vào giả thiết.
+ Nối đỉnh hình chóp với các đỉnh của mặt đáy. (chú ý đường nét đứt).
Vẽ hình lăng trụ:
+ Vẽ một mặt đáy từ đầu bài (chú ý đường nét đứt).
+ Từ đỉnh của đáy, vẽ các đoạn thẳng song song và bằng nhau (nếu lăng trụ
đứng thì vẽ các đoạn thẳng phải vuông góc với mặt đáy)
+ Nối các đỉnh của mặt đáy còn lại từ các đoạn thẳng vừa vẽ.
Lưu ý khi vẽ hình:
+ Phần đường thẳng bị các mặt phẳng che khuất vẽ bằng nét đứt.
+ Các đường thẳng song song, trung điểm của một đoạn thẳng phải vẽ đúng.
Đào Huy Khánh


1


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
+ Các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau, các góc vuông không nhất
thiết phải vẽ đúng.
+ Các hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều vẽ theo dạng hình bình hành.
+ Hình thang nên vẽ nghiêng về một bên.
+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng phải vẽ đúng (vẽ theo hướng vuông
góc với biên hình bình hành tượng trưng mặt phẳng).
Một số mẫu hình:
* Các loại đáy:
A

D

B

C

ABCD là hình bình hành, hình
thoi, hình vuông, hình chữ nhật

D

A

B

C

A

C

ABCD là hình thang
vuông tại A và D

ABC là tam giac

* Cạnh bên vuông góc với đáy (VD: SA vuông góc với đáy)

* Hình chóp với mặt bên vuông góc với đáy (VD: SAB vuông góc với đáy)
+ Cách xử lý: Từ S kẻ SH vuông góc với AB
Chú ý: Thường thì người ta sẽ cho tam giác SAB khá đặc biệt

VD: SAB là tam giác đều => H là trung điểm AB
Hoặc cho chúng ta tỷ lệ của điểm H để giúp chúng ta xác định một cách chính
xác điểm H.
+ Mặt phẳng vuông góc với đáy :
Nếu đáy là tam giác thì khép góc ở A lại, và mặt phẳng vuông góc ở phía đằng sau.

VD:
+Nếu đáy là tứ giác thì mở góc ở A như bình thường và mặt phẳng vuông góc nằm
phía bên tay trái:
Đào Huy Khánh


2

B


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

* Một số kiểu hình khác như lăng trụ đứng , hình hộp chữ nhật đứng

* Hình chóp có cách cạnh bên bằng nhau:
+Tính chất ( không cần chứng mình) : Khi có các cạnh bên bằng nhau, hình
chiếu vuông góc của đỉnh xuống đáy chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
- Tam giác thường, tam giác cân: giao 3 đường trung trực
- Tam giác vuông: Trung điểm cạnh huyền
- Tam giác đều: Giao 3 trung tuyến
- Hình chữ nhật, hình vuông: giao 2 đường chéo
Chú ý:
Luôn cố gắng mở càng rộng góc BAD ra càng tốt (gấp 3 bình thường), càng để nhỏ,

góc sẽ càng xấu.
VD: SA=SB=SC=SD. ABCD là hình vuông

Đào Huy Khánh


3


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
Vẽ hình yêu cầu mở rộng góc BAD còn áp dụng cho những bài toán có chân đường
cao rơi vào bên trong mặt phẳng đáy.
VD. Cho SABCD, ABCD là hình vuông. O là giao của AC và BD, I là trung điểm của
OA. SI vuông với đáy

2. Các hệ thức trong tam giác
2.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABC vuông ở A ta có :
a. Định lý Pitago : BC 2  AB 2  AC 2
b. BA2  BH .BC ; CA2 CH .CB
c. AB. AC = BC. AH
d.

1
1
1
 2
2
AH
AB
AC 2

e. BC = 2AM

b
c
, cosB  ,
a
a
f.
b
c
tan B  , cot B 
c
b
sin B 

g. b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =

b
b

,
sin B cos C

b = c. tanB = c.cot C
2.2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
* Định lý hàm số Sin:

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

2.3. Các công thức tính diện tích.
a. Công thức tính diện tích tam giác:
1
a.b.c
1
S  a.ha  a.b sin C 
 p.r 
2
2
4R
abc
với p 
2
Đào Huy Khánh

p.( p  a )( p  b)( p  c )


4


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

b. Công thức về đường trung tuyến ma2 

b2  c2 a 2

2
4

c. Các tam giác đặc biệt
* Tam giác vuông :
A

b

c

B

1
2

+ Diện tích tam giác vuông: S ABC  . AB. AC
A

C

a

* Tam giác cân:
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
+ Tính đường cao và diện tích :

�,
AH  BH .tan B

1
S ABC  .BC. AH
2

B

A

* Tam giác đều cạnh a
+ Đường cao của tam giác đều : h  AM  AB.
( đường cao h =

3
2

a 3
)
2

+ Diện tích : S ABC  a 2 .

C

H

G

3
4

C

B

M

A

B

d. Tứ giác
* Hình vuông cạnh a
+ Diện tích hình vuông S = a 2 (cạnh nhân cạnh)
+ Đường chéo hình vuông AC  BD  a 2
+ OA = OB = OC = OD =

a 2
2

O

D

C

* Hình chữ nhật
+ Diện tích hình vuông : S ABCD  AB. AD ( Diện tích bằng dài nhân rộng)

A

B

+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD

1
(chéo dài x chéo ngắn)
2
D
1
* Diện tích hình thang : S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
* Diên tích hình thoi : S =

Đào Huy Khánh

O


5

C


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
c

3. Các tính chất hình học không gian quan trọng.
b

1. Nếu A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt thì A, B, C thẳng
a
hàng.
2. Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao
tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó song song hoặc
đồng quy.
3. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì
mọi mặt phẳng (Q) qua d nếu cắt mp(P) thì sẽ cắt
theo giao tuyến song song với d.
4. Hai đường thẳng chéo nhau có duy nhất cặp mặt
phẳng chứa hai đường thẳng đó và song song với
nhau.
5. Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì d
vuông góc với mọi đường thẳng trên mp(P).
6. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong mp(P) thì d vuông
góc với mp(P).
Hệ quả : Một đường thẳng vuông góc
với hai cạnh của tam giác thì vuông góc

�d  AB
� d  BC .
d

AC
�

với cạnh còn lại. �

d

7. Định lý ba đường vuông góc : Cho mặt

phẳng (P) chứa đường thẳng a. Khi đó
P
đường thằng d vuông góc với a khi và chỉ
khi d vuông góc với hình chiếu của a trên
(P).
8. Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì mọi mặt
phẳng chứa d đều vuông góc với mp(P).
9. Nếu mp(P) vuông góc với (Q) và A nằm trên (P). Khi
đó đường thẳng qua A vuông góc với giao tuyến của (P)
và (Q) sẽ vuông góc với mp(Q).
10. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ
ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc
với mặt phẳng đó.

d'

P
a
A

Q

III- PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A. Phương pháp tính trực tiếp
Ở phương pháp này ta thường áp dụng các công thức trực tiếp tính thể tích các khối
đa diện cơ bản. Cụ thể ta có :
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

V= B.h
với B là diện tích đáy và h là độ dài
đường cao lăng trụ.

h
B

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
Đào Huy Khánh


a
6
a

a


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
1
V= Bh
3

h

�
B : die�
n t�
ch �a�
y

với �

B

u cao
�h: chie�

Việc áp dụng phương pháp này thường dẫn đến bài toán tính khoảng cách hoặc góc.
1. Bài toán tính khoảng cách
Một số khoảng cách từ một số đối tượng trong không gian.
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a
(hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách
giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình
chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc
trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)
song song với a là khoảng cách từ một điểm
nào đó của a đến mp(P).

d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng đó.
d(a;b) = AB
Ngoài ra a, b chéo nhau nên có mp(P) chứa
a, mp(Q) chứa b và (P)//(Q).
Do đó d(a;b)=d(a,(Q))=d(b,(P))=d((P);(Q))

Đào Huy Khánh

O

O

a

H
P

a

P

P

Q
a

b

H

O

H

O

H
A

B


7


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

Khi tính khoảng cách giữa các dối tượng ta thường quy về khoảng cách từ một
điểm đến mặt phẳng hay đường thẳng. Do đó để thuận tiện ta sẽ sử dụng kết quả
của hai bài toán sau:
Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A,B, C
thẳng hàng, trong đó C �( P) . Chứng minh rằng

d  A, ( P ) 
d  B, ( P ) 



AC
.
BC

Chứng minh. Gọi A’, B’ là hình chiếu vuông góc
của
A
và
B
lên
(P).
Khi
đó
d  A, ( P)   AA '; d  B, ( P )   BB ' . Từ đó suy ra
d  A, ( P ) 
d  B, ( P ) 



AA ' CA

. Suy ra đpcm.
BB ' CB

Bài toán 2: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là trực

tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1. OH  mp(ABC)
2.

1
1
1
1



2
2
2
OH
OA OB OC 2

Chứng minh:
Đây là bài toán cơ bản nên học sinh có thể tự chứng
minh được.
Nhận xét:
 Với Bài toán 1, ta có thể thay thế việc tính khoảng cách từ một điểm nào đó đến
một đường thẳng hay mặt phẳng bằng một điểm khác dễ tính hơn.
 Với Bài toán 2 ta có thể tính nhanh khoảng cách từ một điểm nào đó tới một
mặt phẳng thông qua ba tia vuông góc với nhau đôi một có gốc từ điểm đó.
Chẳng hạn ta xét các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với
đáy và SA= a . Gọi M là trung điểm BC và G là
trọng tâm tam giác SCD. Tính khoảng cách từ M

tới mp(SBD); từ G tới mp(ABCD) và mp(SAC).
Giải:
Ta có
1
1
d  C ,( SBD)   d  A, ( SBD )  . Mà
2
2
a 3
dễ thấy d  A, ( SBD)  
.
3
Đào Huy Khánh

8
d  M ,( SBD)  


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
a 3
Do đó d  M , ( SBD)  =
.
6

1
3

1
a
.

3
3
2
2 1
1a 2 a 2
Tương_tự d  G, ( SAC )   d  N ,  SAC    . d  D,  SAC   
.

3
3 2
3 2
6
a
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a và chiều cao
. Gọi E là điểm
5

Gọi N là trung điểm CD suy ra GN  SN � d  G, ( ABCD)   d  S ,  ABCD   

đối xứng với D qua trung điểm SA. M, N lần lượt là trung điểm AE và BC. Tính
khoảng cách từ M tới mp(SAD) và khoảng
cáchd giữa MN và AC.
Giải.
Dễ thấy d(M,(SAD))=2d(O,(SAD)), với O là
tâm của ABCD. Đặt d(O,(SAD))=h thì

1
1
1
1

5
2
2
9
a
2a



 2  2  2  2 � h  . Do đó d(M,(SAD))=
.
2
2
2
2
h
SO OA OD
a
a
a
a
3
3

 Gọi P là trung điểm AB và H là giao của MP với BD. Suy ra (MNP)//(SAC) nên

d  MN , AC   d  H ,  SAC    HO 

a 2
.

4

2. Bài toán tính góc.
Các khái niệm về góc giữa các đối tượng trong không gian
i. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi
qua một điểm và lần lượt cùng phương với a
và b.
ii. Góc giữa đường thẳng a không vuông
góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên
mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng
(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a
và mp(P) là 900.

Đào Huy Khánh



a

b

P

a'

b'

a

a'


9


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
iii. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao
tuyến tại 1 điểm

b

a

a

Q

P

b

Q

P

Chú ý: Khi xác định góc giữa các đối tượng thì học sinh thường lúng túng trong việc
xác định góc giữa hai mặt phẳng. Để xác định góc gữa hai mặt phẳng ta có thể làm
theo hai cách:
Cách 1: Trên (P) hoặc (Q) có sẵn (hoặc dễ
dàng tìm được) một điểm mà có thể xác định
được hình chiếu trên mặt phẳng còn lại.
 B1: Xác định giao tuyến d của (P) và
(Q) (thông thường là đã có sẵn)
 B2: Chọn một điểm A trên (Q) và xác
định hình chiếu H của A lên (P).
 B3:Từ H kẻ HB vuông góc với d (
B �d ) thì góc giữa hai mặt phẳng là
�
ABH .
Cách 2: Từ một điểm nào đó trên giao tuyến của
hai mặt phẳng ta kẻ hai đường thẳng cùng vuông
góc với giao tuyến và nằm trên hai mặt phẳng.
Góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai mặt
phẳng.
3. Thể tích khối chóp
a. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy.
Đây là khối chóp cơ bản và thường dễ dàng nhất khi tính thể tích. Ở khối chóp
này cạnh bên chính là đường cao. Các giả thiết của bài toán sẽ đủ để chúng ta
có thể tính được độ dài đường cao.
Ví dụ 1. (THPT QG 2015)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳn (ABCD) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.

Lời giải
*Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Vẽ hình vuông đáy, vẽ đường cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng đứng
 Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SCSvới hình chiếu của nó
lên (ABCD)
- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a SA  ( ABCD) � AC là hình chiếu của SC lên mp
H
�  45o ,
(ABCD) � (�
SC ,( ABCD))  (�
SC , AC )  SCA
A

Đào Huy Khánh

D


M
d
10
B

C


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
+ Suy ra SA = AC =
2

+ SABCD  a
1
3

+ VS . ABCD  SA.S ABCD 

2a
1
2a 3
2a.a 2 
3
3

* Kẻ đường thẳng d qua B và song song
với AC
Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên d
H là hình chiếu vuông góc của A lên SM
�SA  BM
� AH  BM � AH  ( SBM )
�MA  BM

Ta có �

Do đó: d(AC, SB)=d(A,(SBM))=AH
1
1
1
5
 2
 2

2
2
AH
SA
AM
2a

Tam giác SAM vuông tại A, có đường cao AH nên
. Vậy d(AC, SB) = AH =

10.a
.
5

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, �
ACB  600 ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 0
Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó
lên (ABC)
 Lời giải:
�  45o
� (�
* Ta có :AB = a , AB  hc( ABCSB
SB, ( ABC ))  (�
SB, AB )  SBA
)

*  ABC vuông tại B có AB = a, �
ACB  600
� BC 

S

AB
a
a 3


0
tan 60
3
3

2
� SABC  1 BA.BC  1 .a. a 3  a . 3
2
2
3
6
�
*  SAB vuông tại A có AB= a, B  450
� SA  AB.tan 45o  a
1
1 a2. 3
a3. 3
* VS . ABC  .S ABC .SA  .

.a 
3
3 6
18

A

C

B

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình
vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD); (P) là
mặt phẳng đi qua A, vuông góc với AC cắt SB, SC,
SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và SA’B’C’D’, biết SC hợp với mặt phẳng
ABCD một góc 450.
Đào Huy Khánh


11


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
Lời giải
1
3

- SC hợp với (ABCD) một góc 450 nên SA=AC= a 2 � VS . ABCD  a 2.a 2 

a3 2
.
3

1
3
 2S AB ' C ' .

- Do SC  (AB’C’D’) nên VS . AB 'C ' D '  SC '.S AB 'C ' D '
Do tính đối xứng nên S AB 'C ' D '

�AB '  SB
� AB '   SBC  � AB '  B ' C '
�AB '  BC

Mà �

AB 2 . AS 2
2a 4 2a 2
a 6
;


� AB ' 
2
2
2
AB  AS
3a
3

3
AC
2a 2 a 3
AC ' 
 a � B 'C '  a2 

.
3
3
2

Ta có AB '2 

1
1 a2 2 a2 2
1
a 2 2 a3 2
. Vậy VS . AB ' C ' D '  . 2a 2  a 2 .
.
AB '.B ' C ' 


2
2 3
6
3
3
9
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a,

Nên S AB 'C ' 

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC)
một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
S

Giải
 Sai lầm của học sinh:
 Gọi M là trung điểm BC
 Ta có AM  BC , SM  BC

C

�
�  60o
� ((
SBC ), ( ABC ))  (�
SM , AM )  SMA

60

A

M
B

(Hình vẽ sai)
 Lời giải đúng:

* Ta có : AB = a 3 , (SBC) � (ABC) = BC

AB  BC ( vì  ABC vuông tại B)
�
�  60o
� ((
SB  BC ( vì AB  hc( ABCSB
SBC ),( ABC ))  (�
SB, AB)  SBA
) )
S

*  ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a
2
� SABC  1 BA.BC  1 .a 3.a  a . 3
2
2
2
�
*  SAB vuông tại A có AB= a, B  600
� SA  AB.tan 60o  3a

A

C

60
B

Đào Huy Khánh

1

3

1 a2 . 3
a3 . 3
.3a 
3 2
2

*: VS . ABC  .S ABC .SA  .


12


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a,
AD = 2a; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và
(ABCD) bằng 600. Tính thể tích hình chóp.
Lời giải:
Ta có AC  CD nên CD  (SAC) suy ra
�  600 � SA  AC 3  a 6 .
SCA
1
3

1
3

1

2

Vậy VS . ACBD  SA.S ABCD  a 6. 3a.a 

a3 6
.
2

Bài tập tự giải
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o.
Tính thể tích hình chóp .

Đs: V =

a3 2
6

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng
tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối
chóp SABC .

Đs: V 

h3 3
3

Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC
biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o
.Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp.

Đs: V 

a3 3
27

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD  (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm,
BC = 5 cm.
1) Tính thể tích ABCD.
Đs: V = 8 cm 3
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Đs: d =

12
34

Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc
�
BAC  120o , biết SA  (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45 o . Tính thể tích

a3
Đs: V 
9

khối chóp SABC.

b. Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
Khối chóp loại này có đường cao chính là đường cao của mặt bên vuông góc với
đáy.
S

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác
đều nằm trong mặt phẳng
vuông góc với
đáyABCD, Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đào Huy Khánh

D

A


13
B

H

a

C


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB.
VSAB đều � SH  AB
mà (SAB)  (ABCD) � SH  (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

a 3
2
3
1
a 3
suy ra V  SABCD .SH 
3
6

Ta có tam giác SAB đều nên SA =

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều , BCD là tam giác vuông cân tại
D , (ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH  (BCD) , mà (ABC) 
(BCD) � AH  (BCD) .
Ta có AH  HD � AH = AD.tan60o = a 3

a 3
3
VBCD � BC = 2HD = 2a 3 suy ra
3
1
11
a3 3
V = SBCD .AH  . BC.HD.AH 
3
32
9

A

a

& HD = AD.cot60o =

B
60

H

o

D

C

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a.
Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc
450. Tính thể tích khối chóp SABC.
Lời giải:
S
+ Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), vì mp(SAC)
 mp(ABC) nên SH  mp(ABC).
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SI 
�  45o
AB, SJ  BC, theo giả thiết �
SIH  SJH
Ta có: SHI SHJ  HI  HJ nên BH là

H
đường phân giác của VABC ừ đó suy ra H là trung
A
45
C
điểm của AC.

a
1
a3
�
+ HI = HJ = SH =
VSABC= S ABC .SH 
2
3
12

I

J

B

Bài tập tự giải.
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại
Đào Huy Khánh


14

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.

a3 3
24

Đs: V 

2) Tính thể tích khối chóp SABC.

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC)
hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC.
Đs: V 

a3
12

�
Bài 3: Cho hình chóp SABC có �
BAC  90o ;ABC
 30o ; SBC là tam giác đều cạnh

Đs: V 

a và (SAB)  (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.

a2 2

24

Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao
SH = h và (SBC)  (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích
Đs: V 

hình chóp SABC.

4h3 3
9

Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt
phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện.
Đs:

c. Thể tích khối chóp đều.
Khối chóp đều là khối chóp có các cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác đều;
đường cao của khối chóp chính là đường nối đỉnh với tâm của đáy.
a. Khối tứ diện đều:

+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau

A

+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO  (BCD)
D

B

O

S

M
C

b. Khối chóp tứ giác đều

+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
A

+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O
+ SO  (ABCD)

O

D

Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng
a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường
cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều
ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
Lời giải:
Đào Huy Khánh

B

C

S
2a

C

A


15
O
a

H

B


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên
AO =

2
2a 3 a 3
AH 

3
3 2
3

VSAO � SO2  SA 2  OA 2 
� SO 

11a2
3

a 11
1
a3 11
.Vậy V  SABC .SO 
3
12
3

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a.
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
S
Lời giải:
Dựng SO  (ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD � ABCD là hình thoi có
D
đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên VASC
O
A
a 2
a

vuông tại S � OS 
2
3
� V  1 S ABCD .SO  1 a 2 a 2  a 2
3
3
2
6
Vậy V 

C

B

a3 2
6

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang với đáy lớn CD = 2a, AB =
BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết hình chóp có các cạnh bên bằng
nhau và SA hợp với (ABCD) một góc 600.
Lời giải
Do SA=SB=SC=SD nên ABCD là một đa giác nội tiếp đường tròn. Suy ra ABCD là
hình thang cân.
Gọi O là trung điểm CD, ta có các tam giác OAB, OBC, OAD là những tam giác đều
cạnh a. Do đó O là tâm của hình thang ABCD và SO   ABCD  .
a 2 3 3a 2 3
.

4
4

�  600 � SO  OA.tan 600  3 3.
Theo giả thiết suy ra SAO

Suy ra S ABCD  3S OAB  3.
1
3

1
3

Vậy VS . ABCD  SO.S ABCD  .a 3

3a 2 3 3a 3
.

4
4

Bài tập tự giải

Đào Huy Khánh


16


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc

3a3

Đs: V 
16

o

60 . Tính thể tích hình chóp.

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên
là 45o.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .

Đs: SH =

2) Tính thể tích hình chóp SABC.

Đs: V 

a3
6

a
3

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một
Đs: V 

góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC.

a3 3
24

Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
Đs: V 

Tính thể tích hình chóp.

h3 3
3

Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh
bằng 60o. Tính thể tích hình chóp.

Đs: V 

h3 3
8

B. Phương pháp gián tiếp tính thể tích khối đa diện.
Phương pháp gián tiếp nghĩa là chúng ta tính thể tích khối đa diện thông qua
 Phép phân chia khối đa diện thành những khối cơ bản
 Bổ sung khối đa diện thành khối đa diện cơ bản
 So sánh về thể tích khối đa diện với khối đa diện đã biết.
Các kết quả sau đây được sử dụng nhiều:
1. Cho lăng trụ tam giác. Mọi tứ diện có bốn đỉnh lấy ra từ các đỉnh của lăng
trụ đều có thể tích bằng

1
thể tích lăng trụ.
3

2. Mọi tứ diện đều có thể bổ sung thành một lăng trụ tam giác và thể tích của
lăng trụ đó bằng 3 lần thể tích của tứ diện

3. Mọi tứ diện đều có thể bổ sung thành
một hình hộp và thể tích của hình hộp
đó bằng 3 lần thể tích lăng trụ.

Đào Huy Khánh


17


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

4. Nếu hai hình chóp (lăng trụ) có chung đáy
thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số
đường cao. Nếu hai hình chóp (lăng trụ)
có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích
của chúng bằng tỉ số diện tích hai đáy.
5. Cho hình chóp tam giác SABC. A’, B’, C’
lần lượt nằm trên SA, SB, SC. Thế thì ta có
VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '

.
.
.
VS . ABC
SA SB SC

Các tính chất trên có thể dễ dàng chứng minh được. Điều quan trọng là cần
nắm được để đưa ra định hướng giải quyết cho mỗi bài toán.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC
vuông cân ở B, AC  a 2 , SA vuông góc với

S

đáy ABC , SA  a , Gọi G là trọng tâm tam giác
SBC, mặt phẳng (  ) qua AG và song song với BC
cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối
chóp S.AMN
Lời giải:
Ta có: VS . ABC

1
 S ABC .SA và SA  a
3

N

M
I

+ ABC cân có : AC  a 2 � AB  a

� S ABC

B

1 2

1 1 2
a3
 a Vậy: VSABC  . a .a 
2
3 2
6

Gọi I là trung điểm BC, do G là trọng tâm, ta có :

C

G

A

SG 2

SI 3

SM SN SG 2



SB SC SI 3
SM SN 4

.
 .
Vậy:
SB SC 9

(  )// BC � MN// BC �

�

VSAMN

VSAMN
VSABC

4
2a 3
 VSABC 
9
27

Đào Huy Khánh


18


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA =
a 2 . Gọi E là trung điểm SC, (P) là mặt phẳng qua AE song song với BD cắt SB, SD
lần lượt tại I, K. Tính thể tích khối chóp S.AIMK.
Lời giải:
Gọi O là tâm của ABCD, G là giao điểm của AE với SO, suy ra G là trọng tâm tam
SI SK SG 2



 .
SB SD SO 3
1 a 6 2 a3 6
 .
.a 
.
3 2
6

giác SAC và SBD. Do (P) song song với BD nên KI / / BD �
a2 a 6

� VS . ABCD
2
2
SA SI SE 1
1

. .
 � VS . AIE  VS . ABC .
SA SB SC 3
3
SA SK SE 1
1

.
.
 � VS . AKE  VS . ADC
SA SD SC 3

3

Ta có SO  SA2  OA2  2a 2 
VS . AIE
VS . ABC
VS . AKE
Tương tự
VS . ADC

Mặt khác

Mà dễ thấy VS . ABC  VS . ADC � VS . AIEK  VS . AIE  VS . AKE 

1
1
a3 6
.
 VS . ABC  VS . ADC   VS . ABCD 
3
3
18

Ví dụ 3. Cho tứ diện gần đều ABCD có AB=CD=a; AC=BD=b; AD=BC=c. Tính thể
tích tứ diện.
Lời giải:
Gọi M, N lầ lượt là trung điểm AB và CD. Do
tứ diện ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau
nên bốn mặt của tứ diện là những tam giác
bằng nhau. Suy ra MC  MD � MN  CD.
Tương tự ta cũng có MN  AB. Vậy MN là

đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Bổ sung tứ diện thành hình hộp
AC’BD’.A’CB’D
(hình
vẽ).
Ta
có
AC’BD’.A’CB’D là hình hộp chữ nhật. Đặt
D’A = x, D’B = y, D’D = z ta có
�2 a 2  c2  b 2
�x 
2
2
2
2
�x  y  a
�
2
�2
� 2 a  b2  c 2
2
2
� VAC ' BD '. A 'CB ' D 
�y  z  b � �y 
2
�z 2  x 2  c 2
�
�
�2 c 2  b2  a 2
�z 

2
�
1
2 a 2  c2  b2 a 2  b2  c2
Vậy suy ra VABCD 
12





�a 2  c 2  b 2 �
�a 2  b 2  c 2 �
�c 2  b 2  a 2 �
�
�
�
�
�
�
2
2
2
�
�
�
�
�
�

c

2



 b2  a 2 .

Ví dụ 4.(ĐHA11)

Lời giải:
Đào Huy Khánh


19


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
�
 SAB    ABC 
�
� SA   ABC 
 SAC    ABC 
�

Có �

do đó góc giữa

�  600.

(ABC) và (SBC) là SBA
Suy ra SA  AB.tan 600  2a 3 .
Vậy

1
1
4a 3 3
3 4a3 3
VSABC  2a 3. 4a 2 
� VSBCNM  .
 a 3 3. .
3
2
3
4
3

Ví dụ 5.(ĐHD10) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA =a. HÌnh chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là điểm H thuộc AC và AH=

AC
4

. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. CMR M là trung điểm SA và tính thể tích
khối tứ diện SMBC theo a.
Lời giải:
Ta có SH  SA2  AH 2  a 2 

a 2 a 14
.


8
4

Suy
SC  SH 2  HC 2 

ra
2

2

7 a 9a

a 2
8
8

Vậy tam giác SAC cân tại C nên M là trung
điểm SA.
Ta có
VS .MBC SM 1
1
1 1
1
a 3 14

 � VS .MBC  VS . ABC  . .SH . a 2 
.
VS . ABC

SA 2
2
2 3
2
12

Ví dụ 6.(ĐHA10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH
vuông góc với (ABCD) và SH= a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính
khoảng cách giữa DM và SC theo a.
Lời giải:
Ta có

Đào Huy Khánh


20


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
a 2 a 2 5a 2


Vậy
8
4
8
1
5a 2 5a 3 3
.

 a 3.

3
8
24

SCDNM  S ABCD  S AMN  S BCM  a 2 
1
VS .CDNM  SH .SCDNM
3

Gọi K là hình chiếu của H lên SC.
Ta có DM  CN
uuuur uuur uuur uuuu
r uuur uuur
(Do DM .CN  DA  AM CD  DN  0 ) nên DM   SCN  � DM  HK hay HK là
đoạn vuông góc chung của DM và SC.







Gọi I là trung điển CD thì BI  CH và ta có HC  2
d  DM , SC   HK 

SH .HC
SH 2  HC 2



CI .CB 2a 2a 5


BI
5
5

2a 3
.
19

Ví dụ 7.(ĐHB09) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC)
bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và
�  600. Hình chiếu vuông góc của B’ lên
BAC
(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính
thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
BG   ABC 
và
�' BG  600 � B ' G  BB '.sin 600  a 3 .
B
2
a
Ta cũng có BG  . Gọi M là trung điểm AC
2
3a

thì BM  .
4
�  600 nên BC  AC 3.
Mặt khác do BAC

Theo định lý pitago trong tam giác BCM thì
BC 2  CM 2  BM 2 � 3 AC 2 

AC 2 9a 2
3a
3 3a

� AC 
� BC 
.
4
16
2 13
2 13

1
1 9 3a 2 9 3a 2
.
S ABC  CA.CB 

2
2 52
104

Suy ra thể tích của

Ví dụ 8: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một
mặt phẳng ( ) qua A, B và trung điểm M của SC .
Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân
chia bởi mặt phẳng đó.

S

N

Lời giải:

Đào Huy Khánh

M D

A
O


21
C

B


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
Kẻ MN // CD (N  SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi
mặt phẳng (ABM).
VSAND SN 1
1

1

  VSANB  VSADB  VSABCD
VSADB SD 2
2
4
VSBMN SM SN 1 1 1
1
1

.
 .   VSBMN  VSBCD  VSABCD Mà VSABMN = VSANB + VSBMN =
VSBCD
SC SD 2 2 4
4
8
3
VSABCD .
8
5
Suy ra VABMN.ABCD = VSABCD
8
VSABMN
3

Do đó :
V ABMN . ABCD 5

+

Bài tập tự luyện.
Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ
Đs: k 

số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD.

1
4

Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm
B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'.
Đs: V = 2 m3
Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho

a
2a
AB  ;AC' . Tính thể tích tứ diên AB'C'D .
2
3

Đs: V 

a3 2
36

Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và
lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đs: V = 1 m 3
Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA =
a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp
Đs: V 

SAHK.

a3 3
40

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho
SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt
tại B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'.
Đs: V = 1 m 3
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M
trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa
diên ABCDMN .
Đs: V = 4m 3
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N
là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M
Đs: V 

và P. Tính thể tích khối chóp SAMNP.

a2h
9

Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của
SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể
tích 2 phần này.

Đào Huy Khánh

Đs: k 

1
2


22


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA

SM
 x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích
SA
51
bằng nhau.
Đs: x 
2
sao cho

4. Thể tích khối lăng trụ
a. Thể tích khối lăng trụ đứng
Lăng trụ này có đường cao chính là cạnh bên của nó. Do vậy việc tính thể tích của
lăng trụ đứng ta cần phải tính được cạnh bên và diện tích đáy.
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại
A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích
khối lăng trụ.
Lời giải:
Ta có
VABC vuông cân tại A nên AB = AC = a

ABC A'B'C' là lăng trụ đứng � AA '  AB

VAA 'B � AA '2  A 'B2  AB2  8a2
� AA '  2a 2
Vậy V = B.h = SABC .AA' = a3 2

Ví dụ 2:(ĐHD08) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
đáy là tam giác vuông cân tại B và AB = a. Biết AA’ =
a 2 , M là trung điểm BC. Tính thể tích khối lăng trụ
khoảng cách giữa AM và B’C.
Lời giải:

và

1 2 a3 2
- VABC.A’B’C’ = BB’.SABC = a 2. a 
2
2

- Gọi K là trung điểm BB’ thì B’C//MK nên
d(AM,B’C) = d(C,mp(AMK))=d(B,(AMK))=h.
Mà VB.AMK =

1
1
a3 2
.
h.S AMK  KB.S ABM 
3
3

12

1
1a 2
a2 2
Lại có AM   BCC ' B '  � AM  MK nên SAMK  AM .MK 
a
.
2

Suy ra h 

3a

3

8

2

.

4
a

2

2



2 2

4

3a
.
2

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a = 4
và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Đào Huy Khánh


23


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC
Gọi I là trung điểm BC .Ta có

AI 

C'

A'

V ABC đều nên

AB 3

 2 3 & AI  BC � A 'I  BC(dl3 )
2

B'

2S
1
SA'BC  BC.A 'I � A 'I  A'BC  4
2
BC
AA '  (ABC) � AA '  AI .

A

C

VA 'AI � AA '  A 'I  AI  2
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3
2

2

I
B

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60 0 .
Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp
. Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và SABCD = 2SABD =

a2 3
2

C'

D'

a 3
a 3
2
VDD'B � DD'  BD'2  BD 2  a 2
a3 6
Vậy V = SABCD.DD' =
2

B'

A'

Theo đề bài BD' = AC = 2

C

D

A

60

B

Ví dụ 5:(ĐHB10). Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có AB = a, biết góc gữa hai
mp(A’BC) và (ABC) là 600. Gọi G là trọng tâm tam giác
A’BC. Tính thể tích lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện GABC.
Lời giải:
- Gọi M là trung điểm BC thì BC   AMA ' , suy ra
a 3
3a
0
�
3
AMA '  600. Do đó AA '  AM .tan 60 
2
2
2
3
3a a 3 3a 3
VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC  .

2
4
8

- Gọi G’ là trọng tâm ABC thì GG’//AA’.
Trong mp(AMA’) gọi O là giao của đường trung trực AG với
GG’.
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC là R = OA và R  OG 

GA2
a.
2GG '

Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A
� = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích
với AC = a , ACB
lăng trụ.
Lời giải:
Đào Huy Khánh


24


TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

VABC � AB  AC.tan60o  a 3 .

Ta có: AB  AC;AB  AA ' � AB  (AA 'C'C)
nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = �
BC'A = 30o

VAC'B � AC' 

A'

AB
 3a

tan30o

C'

B'

V =B.h = SABC.AA'

VAA 'C' � AA '  AC'2 A 'C'2  2a 2
2
VABC là nửa tam giác đều nên SABC  a 3
2
3
Vậy V = a 6

A

o

30

a
o
60

C

B

Bài tập luyện tập

Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng
trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.

a3 3
ĐS: V 
; S = 3a2
4
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng
Đs: V = 2a 3
BD'  a 6 . Tính thể tích của lăng trụ.
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và
8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện
tích các mặt của lăng trụ.
Đs: V = 240cm 3 và S = 248cm2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và
biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ .
Đs: V = 1080 cm3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a .
Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 24a 3
b. Thể tích khối lăng trụ xiên
Đây là lăng trụ chưa biết đường cao. Đối với lăng trụ này thông thường
chúng ta phải xác định được hình chiếu của một đỉnh nào đón lên mặt đáy còn lại
hoặc tính được khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ.
Ví dụ 1(ĐHB11): Cho lăng trụ tứ giác ABCD. A'B'C'D’ có đáy ABCD là hình chữ
nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng
với giao điểm của AC và BD. Góc gữa (ADD’A’) và (ABCD) bằng 60 0. Tính thể tích
lăng trụ và khoảng cách từ B’ đến mp(A’BD).

Đào Huy Khánh


25