Luận văn thạc sĩ: về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân

Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC
TRONG HỆ VI PHÂN TẬP
i

i

i

i

i

i

i

i

i

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

1


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

MỤC LỤC
i

Lời icảm iơn
Một isố ikí ihiệu
Tổng iquan ivấn iđề
Chương iI iHỆ iVI iPHÂN iTẬP
§1.1 iCác ikhái iniệm icơ ibản
1.1.1 Tập iaffine, itập ilồi
1.1.2 Giới ihạn icủa idãy itập
1.1.3 Không igian imêtríc iHausdorff
§1.2 iĐạo ihàm ivà itích iphân iHukuhara icủa iánh ixạ itập
1.2.1 Đạo ihàm iHukuhara icủa iánh ixạ itập
1.2.2 Tích iphân iHukuhara icủa iánh ixạ itập
§1.3 iHệ ivi iphân itập
1.3.1 Định inghĩa ihệ ivi iphân itập
1.3.2 Định ilý ivề iso isánh inghiệm
Chương iII iBÀI iTOÁN iĐIỀU iKHIỂN iTRONG iHỆ iVI iPHÂN iTẬP
§2.1 iBài itoán iđiều ikhiển itập
2.1.1Bài itoán iđiều ikhiển itập
2.1.2Ổn iđịnh inghiệm
§2.2 iPhân iloại iđiều ikhiển itập
2.2.1Phân iloại icác ibài itoán iđiều ikhiển itập
2.2.2Một ivài idạng itoán iđiều ikhiển itập itối iưu
2.2.3 Hệ ivi iphân itập imờ

03
04
05
06
06
08

08
12
12
13
15
15
15
19
19
20
24
24
25
26

Chương iIII. iBÀI iTOÁN iĐIỀU iKHIỂN iNGƯỢC iTRONG
HỆ iVI iPHÂN iTẬP
§3.1 iHệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển
3.1.1Sự itồn itại inghiệm icủa ihệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển
3.1.2Xấp ixỉ inghiệm icủa ihệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển
3.1.3Sự isai ilệch inghiệm icủa ihệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển
§3.2 iĐiều ikhiển ingược iđối ivới ihệ ivi iphân itập
3.2.1Bài itoán iđiều ikhiển ingược
3.2.2Điều ikhiển ingược ivới ibài itoán iđiều ikhiển iđược ihoàn itoàn
3.2.3Điều ikhiển ingược ivới ibài itoán inghiệm ibị ichặn

29
29
33
36

37
37
37
46

Kết iluận
Tài iliệu itham ikhảo

54
55

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

2


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

LỜI CẢM ƠN
i

i

Trong iquá itrình ihọc icao ihọc ivà iviết iluận ivăn itốt inghiệp, itác igiả iđã inhận iđược
nhiều iđiều ikiện ithuận ilợi icủa iSở iGiáo iDụ ic ivà iĐào iTạo iTỉnh iĐồng iTháp, ilãnh iđạo ivà
icác iđồng inghiệp icủa iTrường iTHPT iHồng iNgự iI, isự igiúp iđỡ iquý ibáu icủa iTrường iĐại
iHọc iCần iThơ, itất icả icác ithầy icô iđang itrực itiếp igiảng idạy itại iKhoa iToán icủa iTrường
iĐại iHọc iCần iThơ ivà iKhoa iToán i– iTin icủ ia iTrường iĐại iHọc iKhoa iHọc iTự iNhiên i– iĐại
iHọc iQuốc iGia iThành iPhố iH iồ iChí iMinh. iTác igiả icòn inhận iđược isự iđộng iviên, ichia isẻ
ivà igiúp iđỡ icủa icác ibạn iđồng inghiệp, ibạn ibè ivà ingười ithân.

Trong iquá itrình ithực ihiện iluận ivăn ithạc isĩ itoán ihọc, itác igiả iđã inhận iđược isự
ihướng idẫn itrực itiếp icủa iPGS.TS iNGUYỄN iĐÌNH iPHƯ ivề ichuyên imôn, ingười ithầy
iluôn inhiệt itình ivà itận itâm ichỉ ibảo, itruyền iđạt icho itác igiả inhiều ikiến ithứ ic ivà icung icấp
inhiều itài iliệu. iThầy iđã ichỉ idẫn icho itác igiả itrình ibày inhững ikiến ithức ithu iđược iqua ihọc
itập ivà inghiên icứu imột icách icó ihệ ithống itrong iluận ivăn inày.
Luận ivăn inày icòn iđược icác iGiáo isư iphản ibiện, icác ithầy iđã iđọc ivà icho inhững iý
ikiến iđóng igóp iquý ibáu.
Tác igiả ixin ichân ithành icảm iơn itất icả imọi ingười ivề isự igiúp iđỡ ivà iđộng iviên iquý
igiá inày.
i

TP. iHồ iChí iMinh, itháng i10 inăm
i2009
Tác igiả
Nguyễn iDuy iTrương

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

3


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

MỘT SỐ KÝ HIỆU
i

i

i

1.

R i- iTập ihợp icác isố ithực

2.

Rn i- iKhông igian iEuclide ithực in i– ichiều

3.
5.
6.

K ic i(R in i) i- iKhông igian icác itập icompact ikhác irỗng
K(R in i) i- iTập itất icả icác itập icompact ikhác irỗng
d iH i(A, iB) i- iKhoảng icách itừ itập iA iđến itập iB
D(A,B) i- iKhoảng icách igiữa ihai itập ikhông irỗng iA ivà iB

7.

D iH i(X, it0 i)- iĐạo ihàm iHukuhara icủa iX itại it0

8.

∫t F ( s ) ds - Tích phân Hukuhara của ánh xạ tập F

4.

i

i

i

i

i

i i

i

i

i

i

i

i

i

t0

9.
10.

i

A i- iChuẩn icủa itập iA

( i) i- iKết ithúc ichứng iminh.

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

4


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ
i

i

i

Lý ithuyết iđiều ikhiển itoán ihọc ilà imột itrong inhững ilĩnh ivực itoán ihọc icó inhiều
iứng idụng itrong ikinh itế ivà ikĩ ithuật. iCó inhiều iloại ibài itoán iđiều ikhiển inhư iđiều ikhiển
iđược ihoàn itoàn, iđiều ikhiển itối iưu ivà iổn iđịnh ihóa iđiều ikhiển itối iưu. iGần inửa ithế ikỉ iqua,
ilý ithuy iết iđ iiều ikhiển itoán ihọc ikhông ingừng iđược iphát itriển ivì inó icó inhiều iứng idụng.
iTồn itại ihai ixu ihướng igiải ibài itoán itối iư iu: iđ iiều ikiện icần ivà iđiều ikiện iđủ. iNguyên ilý
icực iđại iPontriagin itrở ithành icông icụ irất itốt iđối ivới icác ihệ ivi iphân.
Gần iđây, iviệc inghiên icứ iu iphương itrình ivi iphân itập itrong ikhông igian imêtric iđã
iđược inhiều isự iquan itâm ichú iý. iMột isố ikết iquả ichính itheo ihướng inày iđạt iđược ido igiáo
isư iV. iLakshmikantham ivà icác itác igiả ikhác ixem itrong i[6]-[13].
Luận iv iăn inày ichọn iđề itài: i“Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân
itập”. iTrên icơ isở ikhảo isát ilý ithuyết icác inguyên ilý ivề iđ iiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi
iphân itập, itác igiả iđưa ira imột isố ibài itoán ingược icùng ivới icác iứng idụng icủa ichúng.

Nội idung iluận ivăn inày iđược ichia ira ilàm i3 ichương:
Chương iI HỆ iVI iPHÂN iTẬP
Giới ithiệu imột isố ikhái iniệm icơ ibản ivề itập, idãy itập, igiới ihạn icủa idãy itập, imêtríc
iHausdorff, iđạo ihàm ivà itích iphân iHukuhara icủa iánh ixạ itập, iđưa ira ikhái iniệm ihệ ivi iphân
itập, icác iđịnh ilý ivề iso isánh inghiệm,….
Chương iII BÀI iTOÁN iĐIỀU iKHIỂN iTRONG iHỆ iVI iPHÂN iTẬP
Giớ ii ithiệu inhững ikhái iniệm ivề ibài itoán iđiều ikhiển, ibài itoán iđiều ikhiển iđược,
iđiều ikhiển itrong ihệ ivi iphân itập, iđiều ikhiển itối iưu ihệ ivi iphân, iổn iđịnh inghiệm, ihệ ivi
iphân itập imờ,.… iTrong ichương inày, inhững ivấn iđề icơ ibản iđã itrình ibày imột icách icô
iđọng inhưng iđầy iđủ.
Chương iIII iBÀI iTOÁN iĐIỀU iKHIỂN iNGƯỢC iTRONG iHỆ iVI iPHÂN iTẬP
iĐây ilà inội idung ichính icủa iluận ivăn. iGiới ithiệu imột isố ikhái iniệm ivề ihệ ivi iphân
tập icó iđiều ikhiển inhư: isự itồn itại inghiệm, ixấp ixỉ inghiệm, isự isai ilệch inghiệm icủa ihệ ivi
iphân itập icó iđiều ikhiển. iTừ iđó iđưa ira imột isố iứng idụng icủa iđiều ikhiển ingược ivào imột
isố ibài itoán icó iliên iquan inhư: iđiều ikhiển ingược ivới ibài itoán iđiều ikhiển iđược ihoàn itoàn,
iđiều ikhiển ingược ivới ibài itoán inghiệm ibị ichặn.
Cuối icùng ilà iphần ikết iluận.

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

5


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

Chương I HỆ VI PHÂN TẬP
i

i

i

i

i

Nội idung icủa ichương inày ilà inh iắc ilại imột isố ikhái iniệm icơ ib iản icó iliên iquan itrực
itiếp iđến iviệc igiới ithiệu iđịnh inghĩa iđạo ihàm ivà itích iphân iHukuhara icủa iánh ixạ itập, icuối
icùng itác igiả idựa ivào icác ikhái iniệm iđó iđể ixây idựng ikhái iniệm ihệ ivi iphân itập i(xem
itrong i[16 i– i20]).

§ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
i

i

i

i

i

i

Để iđịnh inghĩa iđược ihệ ivi iphân itập, ita icần inắm iđược imột isố ikhái iniệm icơ ibản ivề
tập iaffine, itập ilồi, igiới ihạn icủa idãy itập, ikhông igian imêtríc iHausdorff....
1.1.1 iTập iaffine, itập ilồi
1.1.1.1 iTập iaffine
Trong ikhông igian iRn i, iđường ithẳng iđi iqua ihai iđiểm ix, iy i∈ iRn i ilà ihọ icác iđiểm:
(1− iλ)x i+ iλ iy i= ix i+ iλ( iy i− ix) i; iλ i∈ iR.

Tập iM i⊂ iRn i iđược igọi ilà itập iaffine inếu i∀x, iy i∈ iM i, iλ i∈ iR ithỏa imãn:
(1 i− iλ)x i+ iλ iy i∈ iM i.
Tập iM i+ ia iđược igọi ilà ichuyển idịch iaffine i(tịnh itiến iaffine) icủa itập iM itrên ivectơ
n
ia i∈ iR i:

{

}

M i+ ia i= i x i+ ia ix i∈ iM i, ia i∈ iRn i .
Tập iaffine iM iđược igọi ilà isong isong iaffine ivới itập iaffine iL i⇔ iM i= iL i+ ia i, ihay iM
n
ilà itịnh itiến iaffine icủa iL itrên ivectơ ia i∈ iR i.
Định ilí i1.1.1 iTập irỗng i∅ ivà ikhông igian iRn i ilà icác itập iaffine.
Định ilí i1.1.2 iCác ikhông igian icon icủa iRn iđều ilà icác itập iaffine iqua igốc itọa iđộ.
n
iChứng iminh: iThật ivậy, imỗi ikhông igian icon icủa iR iđều ichứa igốc itọa iđộ i0,
đồng ithời iđóng iđối ivới iphép icộng ivà iphép inhân ihai ingôi, inên ita icó:
λ x i= i(1 i− iλ i)0 i+ iλx i∈ iM i, i∀x i∈ iM i, iy i= i0 i∈ iRn i, inên iy i∈ iRn i.
1
1
1
1
Ngoài ira:

(x i+ iy) i=

x i+ i1

−

y i∈ iM

do

x i+ iy i= i2

(x i+ iy) ∈ iM

( i)

2
2
2
2
Định ilí i1.1.3 iMỗi itập iaffine ikhác irỗng isong isong ivới imột ikhông igian icon ituyến
itính iduy inhất, iđó ilà ikhông igian:
L i= iM i− iM i= i{x i− iy ix i∈ iM i, iy i∈ iM i} i.
Ví idụ i1.1.1
Tập iaffine irỗng iđược iquy iước icó idim i∅ i= i-1
Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

6


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

Một iđiểm iđược iquy iước icó idimM i= i0
Một iđường itrong iRn i icó idimM i= i1

Một imặt itrong iRn i icó idimM i= i2
Một isiêu iphẳng itrong iRn icó idimM i= in i-1.
Chúng ita ibiết isiêu iphẳng ivà icác itập iaffine iđều icó ithể inhận iđược itừ icác ihệ
iphương itrình iđại isố ituyến itính, icác ihàm ituyến itính,… ichúng ita icó iđịnh ilí isau:
1.1.1.2 iTập ilồi
Tập iC itrong iRn iđược igọi ilà ilồi inếu ivới imọi iđiểm ix, iy i∈C ivà isố ithực iλ i, i0
i≤ iλ i≤ i1 ithỏa imãn:
(1 i− iλ) ix i+ iλ iy i∈C.
Chú iý: iNếu itập iaffine ichứa inguyên iđường ithẳng ithì itập ilồi ichỉ ichứa imột iđoạn
icủa iđường ithẳng inối ihai iđiểm ix ivà iy i.
Tổng ivectơ i iλ1 ix1 i+ iλ2 ix2 i+ i... i+ iλm ixm i i iđược igọi ilà itổ ihợp ilồi icủa i ix1 i, ix2 i,..., ixm
m

nếu iλ i≥ i0 ivà i∑λi i= i1.
i=1

Cho itập iS ilà ilồi, ikhi iđó igiao icủa itất icả icác itập ilồi ichứa iS iđược igọi ilà ibao ilồi icủa
S và ikí ihiệu ilà iconvS i. iNhư ivậy, ibao ilồi iconvS ilà itập ilồi ivà ilà itập ilồi inhỏ inhất ichứa itập
iS.
Bao ilồi icủa ihữu ihạn icác iđiểm itrong ikhông igian iRn i iđược igọi ilà iđa idiện ilồi.
Định ilí i1.1.4 iGiao ihữu ihạn icủa icác itập ilồi itrong iRn i ilà imột itập ilồi.
Định ilí iđược ichứng iminh ilà idễ idàng ibằng iquy inạp.
Hệ iquả i1.1.4 iCho ibi i∈ iRn i, iβi i∈ iR ivới ii i∈ iI itập icác ichỉ isố, ikhi iđó itập:

{

}

C i= i x i∈ iR in i( ix i, ibi i) i≤ iβi i,∀i i∈ iI i.
là imột itập ilồi.

{

}

Chứng iminh: iMỗi itập: iCi i= i x i∈ iR in i(x i,bi i) i≤ iβi i
là ikhông igian icon iđóng i(cũng icó ithể ilà irỗng ihoặc itoàn ibộ iR in i). iCác ikhông igian icon
iđóng iCi inày ilà ilồi inên iC i= i∩Ci ilà igiao ihữu ihạn icác itập ilồi, ido iđó iC ilà itập ilồi.
i∈I

Định ilí i1.1.5 iTập icon itrong iRn ilà ilồi inếu ivà ichỉ inếu inó ichứa itất icả icác itổ ihợp
ilồi icác iphần itử icủa inó.
Chứng iminh:
Điều ikiện icầ in: iGiả isử iC ilà imột itập icon ilồi itrong iRn i, ichúng ita icần ichỉ ira irằng iC
ichứa itổ ihợp ilồi icác iphần itử ix1 i, ix2 i,..., ixm i∈ iC. iThật ivậy, iđối ivới ihai iphần itử ita iluôn icó:
ix, iy i∈C ithì iy i− ix i∈C ivà i(1 i− iλ) ix i+ iλ iy i= ix i+ iλ( iy i− ix i) i∈C
Bằng iquy inạp icho im iphần itử ix1 i, ix2 i,..., ixm i ita icũng icó iλ1 ix1 i+ iλ2 ix2 i+ i... i+ iλm ixm i∈C.
Điều ikiện iđủ: iGiả isử itập iC i⊂ iRn i ichứa icác itổ ihợp ilồi, ichúng ita icần ichứng iminh
C là itập ilồi. iThật ivậy, iđặt:
Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

7


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

y i= iλ1 ix1 i+ iλ2 ix2 i+ i... i+ iλm ixm
λ' i= λi , iλ i≥ i0
i

i

1 − i λi
'
'
'
Khi iđó: iλ i1 + iλ 2i' + i... i+ iλm = i1, iλ ii≥ i0 và iy ilà itổ ihợp ilồi ithuộc iC. iTa icó y i∈C inên isuy ira:
x i= i(1 i− iλ1 i) iy i+ iλ1x i∈C i. iHay iC ilà itập ilồi.
1.1.2 iGiới ihạn icủa idãy itập
Giả isử iX ilà ikhông igian imêtric, iK in i⊂ iX i, in i=1,2,. i. i. ilà idãy itập icon icủa iX.
1.1.2.1 iGiới ihạn itrên icủa idãy itập
Giới ihạn itrên icủa
idãy
itập iKn→∞
n ilà itập:
n
{
(

n

i)

lim isup iK := x i∈ iX i: ilim iinf id x i, iK

( i)

}

= i0

n→∞

lim isupKn

chính ilà itập imọi iđiểm itụ icủa icác idãy ixn i∈ iKn i ibất ikỳ icó

lim isupKn

còn iđược iđịnh inghĩa ilà itập imọi iđiểm itụ icủa icác idãy i“ ixấp

n→∞

thể ilập iđược;
n→∞

xỉ i” i, itức ilà icác idãy i{xn} ithỏa:

(

{

})

∀ε i> i0, i∃N i(ε i) i: i∀n i> iN i(ε i), ix in i∈ iB i( iKn i, iε i) i ôû iñaây iB i( iK in i,ε i) i= i x i: id i( ix i, iKn i) i< iε ;
lim isupKn

= i∩ ∪ iK in = i∩ i∩ i∪ iB i( iKn i,ε i).
N > 0

n→∞

i i i in i≥N

ε i> i0 iN i> i0 in
i≥N

1.1.2.2 iGiới ihạn idưới icủa idãy itập
Giới ihạn idưới icủa idãy itập iKn ilà itập:
lim iinf iK := x i∈ iX i: ilim id i( ix i, iK

{

) i= i0 i.
}
lim iinfKnchính ilà itập icác igiới ihạn icủa imọi idãyxn∈Kn.
n i→∞

n

n→∞

n

n→∞

lim iinfKn
n→∞

= i∩ i∪ i∩ iB i( iKn i, iε i).

ε i> i0 iN i> i0 in i≥N

Chú iý: iNếu ilim iinf iK in i= ilim isup iKn i, ita inói itập inày ilà igiới ihạn icủa idãy iKn ivà ikí
n→∞

n→∞

hiệu ilà ilim iKn i.
n→∞

1.1.3 iKhông igian imetric iHausdorff
Cho ix i∈ iRn i, iA∈ iRn i, iA i≠ i∅ i. iKhoảng icách itừ ix itới iA iđược iđịnh
inghĩa inhư isau:
d x i, iA = iinf x i− ia , ia i∈ iA
Đặt:
(

)

{

}

S iε i( iA i) i= i{x i∈ iR in i: id i(x i, iA) i< iε};
S ε i( iA i) i= i{x i∈ iR in i: id i(x i, iA) i≤ iε}.

Luận ivăn iThạc iSĩ - iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

8

Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

Đặc ibiệt, ita ikí ihiệu: iS1n i= iS1 i(θ i) i.Từ iđó iS iε i( iA i) i= iA i+ iε iS1n i.

là:

Với imọi iε i> i0 i, iA∈ iRn i, iA i≠ i∅ i.
Cho iA, iB ilà ihai itập icon ikhác irỗng icủa iRn i. iTa iđịnh inghĩa ikhoảng icách itừ iA itới iB
dH i(B, iA) i= isup{d i(b, iA) i: ib i∈ iA}.
Tương iđương ivới:

{

}

dH i( iB, iA) i= iinf i ε i> i0 i: iB i⊆ iA i+ iε iS1n .
Ta icó imột isố itính ichất:
(a) d iH i(B i, iA) i≥ i0 ivới id iH i(B i, iA)= i0 i⇔ iB i⊆ iA;
(b) d iH i(B i, iA i) i≤ id iH i(B i, iC i) i+ id iH i(C i, iA) i;
(c) d iH i(B i, iA i) i≠ id iH i( iA, iB) i;
Với iA, iB,C ikhác irỗng icon iRn i.
Bây igiờ, ita iđịnh inghĩa ikhoảng icách igiữa ihai itập icon ikhông irỗng iA, iB ilà:
D i( iA, iB i) i= imax i{d iH i( iA, iB i), id iH i(B i, iA)}.
Ta icũng icó imột isố itính ichất:
(a) D i(B i, iA) i≥ i0 ivới iD i(B i, iA)= i0 i⇔ iA i= iB i;
(b) D i(B i, iA i) i≤ iD i(B i, iC i) i+ iD i(C i, iA) i;
(c) D i(B i, iA i) i= iD i( iA, iB) i;
Với iA, iB,C ikhác irỗng icon iRn i.
Định ilí i1.1.8 iNếu iA, iB i∈ iK iC i( iRn i) ivà iC i∈ iK i( iRn i) ithì iD i( iA i+ iC i, iB i+ iC i) i= iD i( iA,

iB).

Chứng iminh: iTa icần ichứng iminh ibổ iđề isau:
Bổ iđề i1.1.8 iCho iA, iB i∈ iK iC i( iRn i) i, iC i∈ iK i( iRn i) ivà iA i+ iC i⊆ iB i+ iC ithì iA i⊆ iB i.
Chứng iminh ibổ iđề: iCho ia i∈ iA ibất ikì. iTa icần ichỉ ira irằng ia i∈ iB i. iCho ib iất ikì ic1
i∈C i, ita icó ia i+ ic1 i∈ iB i+ iC i, iđiều iđó icó inghĩa ilà itồn itại ib1 i∈ iB ivà ic2 i∈C isao icho ia i+ ic1
i= ib1 i+ ic2 i. iMột icách itương itự, itồn itại ib2 i∈ iB ivà ic3 i∈C isao icho ia i+ ic2 i= ib2 i+ ic3 i.
Lặp ilại iquá itrình itrên ivà ilấy itổng icủa in iđẳng ithức ita iđược:
n

n

n+1

i i=1

i i=1

i=2

na i+ i∑ci i= i∑ ibi i+ i∑ci i;
tương iđương ivới:

n

na i+ ic1 i= i∑bi i+ icn+1;
i =1

thì:

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

9


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

a i=

1 in

∑b i i +

n ii=1
1 in
Đặt: ixn i=
∑bi i, ithì ia i= ixn i+
n ii=1

c
n+1

n

−

c
1

c

−

n+1

n

c
1

.

n

.

c

n

n+

− c1 → i0 i.
n
n i i in
Do iđó ixn hội itụ ivề ia. iVì iB icompact ido iđó ia i∈ iB i. iBổ iđề iđược ichứng iminh.
( i)
Bây igiờ ita ichứng iminh iđịnh ilí i1.1.8. iCho iλ i≥ i0 ivà iS ilà ihình icầu iđơn ivị iđóng
trong ikhông igian. iTa ixét icác ibao ihàm:
(1) A i+ iλS i⊃ iB;

(2) B i+ iλS i⊃ iA;
(3) A i+ iC i+ iλS i⊃ iB i+ iC;
(4) iB i+ iC i+ iλS i⊃ iA i+ iC.
Đặt: id1 i= iD i( iA, iB) ivà id1 i= iD i( iA i+ iC i, iB i+ iC i).Thì id1 ilà iinfimum icủa inhững isố iλ
idương ithỏa i(1) ivà i(2). iT iương itự, id2 ilà iinfimum icủa inhững isố iλ idương ithỏa i(3) ivà i(4). iVì
i(1) ivà i(2) isuy ira i(3) ivà i(4) ibằng icách icộng ithêm iC inên id1 i≥ id2 ivà i(3) ivà i(4) ibằng
cách ixóa iC isuy ira i(1) ivà i(2) inên id1 i≤ id2 i.Vậy id1 i= id2 i.
( i)
n
Định ilí i1.1.9 iNếu iA, iB i∈ iK i(R i) ithì iD( icoA, icoB i) i≤ iD i( iA, iB)
(1)
n
Nếu iA, iA’, iB, iB’∈ iK iC i( iR i) thì:
D(tA, itB i) i= itD i( iA, iB) ivới imọi it i≥ i0;
(2)
D( iA i+ iA i', iB i+ iB i') i≤ iD i( iA, iB i) i+ iD i( iA i', iB i')
(3)
hơn inữa:
D( iA i− iA i', iB i− iB i') i≤ iD i( iA, iB i) i+ iD i( iA i', iB i')
(4)
Ta ithấy irằng ix i∈ iB ivới imọi in, ivì iB ilồi ivà iC ilà icompact inên

trong iđó:

1

A i− iA i', iB i− iB i' ilà itồn itại, ivà với iβ i= imax i{λ i, iμ}

D i( iλ iA, iμ iB i) i≤ iβ iD i( iA, iB i) i+ λ i− iμ [D i( iA, iθ i) i+ iD i( iB, iθ i)]
(5)

và:
D i( iλ iA, iλ iB i) i≤ iλ iD i( iA i− iB, iθ i) inếu A i− iB ilà itồn itại.
(6)
Chứng iminh: iChứng iminh i(1), i(2) ilà ihiển inhiên, ibây igiờ ita ichứng iminh i(3).
Với imọi ia i∈ iA ivà iu i∈ iA' i. iDo B ivà iB’ ilà icompact inên itồn itại ib i( ia i) i∈ iB ivà iv i(u i) i∈ iB i'
sao icho:
inf a i− ib =a i− ib i( ia) ; iinf u i− iv =u i− iv i(u) .
b∈B

v∈B i'

a i+ iu i− ib i( ia i) i− iv i(u i) ≤ a i− ib i( ia i) + u i− iv i(u)
sup inf a i+ iu i− ib i− iv ≤ isup iinf a i− ib + isup iinf u i− iv

Ta ilại icó:
Do iđó:

b∈B , v∈B

a∈ iA i, iu∈ iA i' i
i

'

i i

a∈ iA ib∈B

u∈A i' iv∈B i'

Từ iđó isuy ira i(3).
Chứng iminh i(4), ita ithấy:
D( iA i− iA i', iB i− iB i') i≤ iD i( iA i− iA i'+ iA i'+ iB i', iB i− iB i'+ iB i'+ iA')


Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

10


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

= D( iA i+ iB i', iB i+ iA') i≤ iD( iA, iB i) i+ iD i( iA i', iB i')
Chứng iminh i(5), icho iλ i− iμ i≥ i0 i, ithì:
D i( iλ iA, iμ iB i) i≤ iμ iD i( iA, iB i) i+ i( iλ i− iμ i) iD i( iA, iθ i),
và inếu iλ i− iμ i≤ i0 i, ithì:
D i( iλ iA, iμ iB i) i≤ iμ iD i( iA, iB i) i+ i( iμ i− iλ i) iD i( iB, iθ i),
từ iđó isuy ira i(5).
Chứng iminh i(6) isuy ira itừ i(4).

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

( i)

11


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

§1.2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN HUKUHARA

CỦA ÁNH XẠ TẬP
i

i

i

i

i

i

i

i

i

Tiếp itheo, itrong ikhông igian inày ita isẽ ixét itính iliên itục, iđạo ihàm ivà itích iphân
iHukuhara icủa iánh ixạ itập icó iliên iquan itrực itiếp iđến ikhái iniệm ihệ ivi iphân itập.
1.2.1 iĐạo ihàm iHukuhara icủa iánh ixạ itập
Định inghĩa i1.2.1
là imột ikhoảng itrong itập iR ivà imột itập iánh ixạ iX i: iI i→ iK iC i( iRn i) i. iX iđược
Cho iI
gọi ilà icó iđạo ihàm iHukuhara itại it ∈ iI nếu itồn itại iD iX i(t ) i∈ iK ( iRn i) isao icho igiới ihạn:
0

H

0

C

lim X i(t i0 i+ t i) i− iX i(t0 i)
+
t
t i→0
lim X i(t i0 i) i− iX i(t i0 i− i it)

và

t i→0

+

(1)
(2)

t

tồn itại ivà ibằng iDH iX i(t0 i).
Trong iđịnh inghĩa itrên i(2) ikhông ithể ithay ithế ibởi igiới ihạn:
lim X i(t i0 i+ t i) i− iX i(t0 i) .
−
t i→0
t
Bởi ivì X i(t i0 i) i− iX i(t i0 i− t) itồn itại ikhông ikéo itheo X i(t i0 i+ t i) i− iX i(t0 i) ilà itồn itại.
Định ilí i1.2.3 iNếu itập iánh ixạ iX i: iI i→ iKC i(Rn i) icó iđạo ihàm iHukuhara itrên iI ithì
hàm ithực it i→ idiam( iX i(t)) i, it i∈ iI là ikhông igiảm itrên iI.

là icó iđạo ihàm iHukuhara itại it0 i∈ iI i, ithì icó iδ i(t0 i) i> i0 isao
Chứng iminh: iNếu iX
cho i iX i(t0 i+ t i) i− iX i(t0 i) và i iX i(t0 i) i− iX i(t0 i− i it) i ilà xác định với 0 i< i it i< iδ i(t0 i) i. iBởi
vì iA i− iB i, iA, iB i∈ iK iC i( iRn i) là ixác iđịnh ikhi ivà ichỉ ikhi B i⊂ iA, ido iđó A i− iB itồn itại ikhi ivà
chỉ ikhi idiam( iA) i≥ idiam(B).Cho ilà icố iđịnh ivới it1 i< it2 i. iThì ivới imỗi iτ i∈[ it1 i,t2 i]
δ i(τ i) i> i0

sao

cho

có imột

diam( iX i(s)) i≤ idiam( iX i(τ i)) ivới is i∈ i[τ i− iδ i(τ i),τ i],

và

diam( iX i(s)) i≥ idiam(X i(τ i)) với is i∈ i[τ i,τ i+ iδ i(τ i)]. iTa icó ihọ:
= i(τ i− iδ i(τ i),τ i+ iδ i(τ i)} ilà imột iphủ imở icủa i[t1 i,t2 i]. iChọn imột iphủ icon
hữu ihạn iI ir ,..., iIr với iτi < iτi+1 ithì idiam( iX i(t1 i)) i≤ idiam(X i(τ1 i)) ivà

{ I τ : τ ∈ [ t 1 , t 2 ], I τ
i i i

i i

i i i i

1

i

N

diam( iX i(τ iN i)) i≤ idiam(X i(t2 i)) i. iKhông imất itính itổng iquát igiả isử iI iri i i∩ iIri i+1 i i≠ i∅ i,
i = i1,..., iN i−1. iDo iđó ivới imỗi ii i= i1,..., iN i−1, itồn itại isi i∈ iI iri i i∩ iIri i+1 i ivới iτi i< isi i< iτi+1 i ivà itừ

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

12


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

đây: idiam i( iX i(τi i)) i≤ idiam i( iX i(si i)) i≤ idiam i( iX i(τi+1 i)) i. iDo iđó, ita icó:
diam i( iX i(t1 i)) i≤ idiam i(X i(t2 i)) i.
( i)
Chú iý: iSự itồn itại icủa igiới ihạn itrong i(1) ivà i(2) ikhông ilà ikhông isử idụng itrong
chứng iminh iđịnh ilí itrên. iThực ivậy, ithay icho iviệc isử idụng igiả ithiết
X i(t) ita icó ithể isử
dụng igiả ithiết ivới imỗi it i∈ iI i ihiệu iX i( it i+ i it i) i− iX i(t) ivà iX i( it i) i− iX i(t i−
t) ilà itồn itại ivới
t i> i0 iđủ inhỏ.
Ví idụ i1.2.5 iCho iX i(t i) i= i(2 i+ isin it i)S1n i( iS1n ilà iquả icầu iđóng iđơn ivị itrong iR in i). iX
ikhông icó iđạo ihàm iHukuhara itrên i(0, i2π i). iBởi ivì idiam i( iX i(t i)) i= i2(2 i+ isin it) ikhông igiảm
trên i(0,2π i).

[

]

H

[ ]

Ví i idụ i i1.2.6 i iNếu
X i(t i) i= t i,2t , 0 i< it i< i1, i ithì D (t) i= i1,2 , i0 < it i< i1 và
X i(t1 i) i⊄ iX i(t2 i) i, iX i(t i2 i) i⊄ iX i(t1 i) ivới ibất ikì it1 i,t2 i, i0 i< it1 i< it i2 i< i1.
Định ilí i1.2.4 Ánh ixạ iX ilà iánh ixạ ihằng ikhi ivà ichỉ ikhi iDH iX i= i0 ixác iđịnh itrên iT.
Chứng iminh: iNếu iX ilà iánh ixạ ihằng ihiển inhiên iDH iX i= i0 i, ingược ilại igiả isử ita
có iDH iX i= i0 i. iCố iđịnh it0 i∈ i(0,1) i, inếu it i> it0 ta icó:
D[ iX i(t), iX i(t0 i)] i= iD[X i(t) i− iX i(t0 i),θ i]
suy ira:

lim D[X i(t), iX i(t0 i)]
+
t i− it0
t i→t0

Tương itự, inếu it i< it0 ta icó:
lim D[X i(t), iX i(t0 i)]
−
t i− it0
t i→t0
và ido iđó:

lim D[X i(t), iX i(t0 i)] .
t i→t0

t i− it0

Cố iđịnh it1 i∈ i(0,1) i, itừ ibất iđẳng ithức:
D[ iX i(t1 i), iX i(t)]− iD[X i(t1 i), iX i(t0 i)]

≤ iD[X i(t), iX i(t0 i)]

Chia i2 ivế icho t i− it0 . iThì ihàm igiá itrị ithực: it i→ iD[ X i(t1 i), iX i(t)] là ihằng isố.
Mà itại it1 i ihàm iđạt igiá itri ikhông. iDo iđó iX i(t) i= i0 i.
()
1.2.3 iTích iphân iHukuhara icủa iánh ixạ itập
Do iKC i(Rn i) ilà ikhông igian imetric inửa ituyến itính inên icó ithể ixem inhư imột inón
được inhúng ivào ikhông igian iBanach itương iứng ita isẽ icó inhững ikết iquả itương itự itích
iphân iBochner.
Ta ithấy inếu:

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

13


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

F i(t i) i= iX i0 i+ i∫t iΦ( is i)ds i, iX0 i∈ iK iC i(Rn i)
t0

n

ở iđây i iΦ i: iI i→ iK

C

( iR i) là ikhả itích

theo inghĩa iBochner, ithì i iD iF i(t)
i itồn itại ivà
H

DH iF i(t i) i= iΦ(t) trên iI.
Từ iđó ita icó itích iphân iHukuhara icủa ihàm iF ilà:
t

t

∫ iF i(s i)ds i= i i∫ if i(s i)ds i: if i∈ iF i, if i∈ iL1
t

t

i0

0

Cho ibất ikì itập icompact icon iR+ i.
Ta icó imột isố itính ichất icủa itích iphân iHukuhara:
Cho iF,G i: i[ it i0 i,T i] i→ iK iC i(Rn i) ilà ikhả itích iBochner:
t i2

t1

t2

(i) i i∫ iF i( is i) ids i= i∫ iF i( is i) ids i+ i∫ iF i( is
i

)ds i,

t i0 i≤ it1 i≤ it i2 i≤ iT i;

t i0

(ii)

t1

t i0

∫t λ F ( s ) ds =λ∫t F ( s )ds , λ ∈ R , t 0 ≤ t ≤ T;
i

t i0

i

i i

i i

i

t

t

i

i i

i

i i

i

i

i i i i

i i

0

t

t

(iii) iD i∫ iF i(s i)ds i, i∫ iG i(s i)ds ≤ i∫ iD i[ iF i(s i),G i(s i)]ds.
t

t

0

t

0

0

i

(I i) i.


Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

14


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

§1.3 HỆ VI PHÂN TẬP
i

i

i

i

Sau iđây ita iđịnh inghĩa ithế inào ilà ihệ ivi iphân itập, imột số itính ichất ivề inghiệm icủa

ihệ ivi iphân itập icũng itrình ibày itrong imục inày inhư iđịnh ilý ivề iso isánh inghiệm.
1.3.1 i iĐịnh inghĩa ihệ ivi iphân itập
Chúng ita ixét ihệ ivi iphân itập ivới igiá itrị iban iđầu:
) i=
D iX i= iF i(t i, iX i) i, iX i(t iX
∈ iK (R in i),t ≥ i0
(SDE)
H

0

0

C

0

Ở iđây F i∈ iC i iR × iK ( iR in i), iK ( iRn i) và iD iX ilà iđạo ihàm iHukuhara icủa iX.
C

+

C

H

, + , ia i>
1
n
Ánh ixạ i iX i∈C i i i iJ i, iK (R i) với J i= t t ia ] i0

được igọi ilà inghiệm icủa
C
[0
(SDE) itrên iJ nếu inó ithỏa i(SDE) itrên iJ.
Bởi ivì X i(t) ilà ikhả ivi iliên itục, ita icó:
X i(t) i= iX0 i+
0

i

∫t

DH iX i(s)ds i, it i∈ iJ i;
t0

hay:

X i(t) i= iX0 i+ i∫t F i(s, iX i(s))ds i, it i∈ iJ.
t0

Ở đây, itích iphân ilà itích iphân iHukuhara ivà iX i(t) ilà imột inghiệm icủa i(SDE) ikhi ivà
chỉ ikhi inó icó idạng itrên.
1.3.2 i iĐịnh ilý ivề iso isánh inghiệm
Định ilí i1.3.1 i iGiả isử iF i∈ iC J i× iK ( iR in i), iK ( iRn i) và it i∈ iJ i, iX i,Y i∈ iK (Rn i) i,
D[ iF i(t, iX i), iF i(t,Y i)] i≤ ig i(t, iD[ iX i,Y i])

C

C

C

(1)
Ở đây ig i∈C i[ iJ i× iR+ i, iR+ i] ilà iđơn iđiệu ităng itheo iw, ivới imỗi it i∈ iJ i. iGiả isử ithêm
irằng inghiệm imax ir(t,t0 i, iw0 i) icủa iphương itrình ivi iphân ivô ihướng:
w' i= ig(t, iw), iw(t0 i) i= iw0 i≥ i0 itồn itại itrên iJ. iThì inếu iX i(t) i,Y i(t) ilà ihai inghiệm icó igiá itrị
iban iđầu itương iứng i(t i0 i, iX0 i),(t0 i,Y0 i) i, ita icó:
D[ iX i( it i), iY i(t i) i] i≤ ir i(t i, it i0 i, iw0 i), it i∈ iJ i,với iD[ iX i0 i, iY0 i] i≤ iw0 i.
Chứng iminh: iĐặt im(t) i= iD[ iX i(t),Y i(t)] isao icho im(t0 i) i= iD[ iX i0 i,Y0 i]
i≤ iw0 i.Do itính ichất icủa imetric iD ita icó:
m(t) i= iD i
iX

t

0

t

+ i∫ iF i(s, iX i(s))ds,Y0 i+ i∫ iF i(s,Y i(s))ds
t i0

t0


Luận ivăn iThạc iSĩ - iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

15

Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

t

t

≤ iD i iX 0 + i∫ iF i(s i, iX i(s i))ds i, iX i0 i+ i∫ iF i(s i, iY i(s i))ds
t i0

t0

t

t

t i0

t0

+ iD i iX 0 + i∫ iF i(s i, iY i(s i))ds i, iX i0 i+ i∫ iF i(s i, iY i(s i))ds
t

t

= iD i∫ iF i(s i, iX i(s i))ds i, i∫ iF i(s i, iY i(s i))ds + iD[ iX i0 i, iY0 i].
t

t

i0

0

Do itính ichất icủa itích iphân ivà iđiều ikiện i(1), ita icó:
m i(t i) i≤ im i(t0 i) i+ i∫t iD[ iF i(s i, iX i(s i)), iF i(s i, iY i(s i))]ds
t

0

t

≤ im i(t ) i+ ∫ g ( s i, iD [X i(s i),Y i(s i)
0

t0
t

0

∫

(

ds

])

)

= im i(t ) i+ g s i, im i(s i) ids i, i it i∈ iJ

t0

Từ iđó i: im i(t i) i≤ ir i(t i,t i0 i, iw0 i) i, it i∈ iJ.
( i)
Định ilí i1.3.2 iGiả isử igiả ithiết itrong iđịnh ilí i1.3.1 ithỏa imãn ingoại itrừ itính ichất
hàm ig i(t i, iw) ilà ihàm ikhông ităng itheo iw. iThì ikết iluận ivẫn iđúng.
Chứng iminh: iCho ih i> i0 iđủ inhỏ ithì ikhoảng icách iHukuhara iX i(t i+ ih i) i− iX i( it) i,
Y i( it i+ ih i) i− iY i(t i) itồn itại ivà ivới it i∈ iJ ta icó:
m i(t i+ ih i) i− im i( it) i= iD[ iX i(t i+ ih),Y i(t i+ ih)] i−D[ iX i(t),Y i(t)].
Do itính ichất icủ ia imetric iD ita icó:
D[ iX i(t i+ ih),Y i(t i+ ih)] i≤ iD[ iX i(t i+ ih), iX i(t) i+ ihF i(t, iX
i

và:

(t))] i+ iD[ iX i(t i) i+ ihF i(t i, iX i(t i)), iY i(t i+ ih)]

D[ iX i(t) i+ ihF i(t, iX i(t)) i+ iY i(t i+ ih)] i≤ iD[Y i(t) i+ ihF i(t,Y i(t)) i+ iY i(t i+ ih)]
+ iD[ iX i(t i) i+ ihF i(t i, iX i(t i)), iY i(t i) i+ ihF i(t i,
i

Y i(t))] iD[ iX i(t) i+ ihF i(t, iX i(t)),Y i(t) i+ ihF i(t,Y i(t))]
≤ iD[ iX i(t) i+ ihF i(t, iX i(t)), iX i(t) i+ ihF i(t,Y i(t))]
+ iD[U i( it i) i+ ihF i(t i, iY i(t i)), iY i(t i) i+ ihF i(t i, iY i(t))]

=
i

D[hF i(t, iX i(t)), ihF i(t,Y i(t))]+ iD[ iX
(t),Y i(t)]

Do iđó:
m(t i+ ih) i− im(t) 1
≤ D[ iX i(t i+ ih), iX i(t) i+ ihF i(t, iX i(t))]
m(t)
h

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

16


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

1

+ h D[Y (t ) + hF (t ,Y (t )),Y (t + h)]
i

i

i i

i

i

i

i

i

i

i

i

1

+ h D[ hF (t , X (t )), hF (t ,Y (t))]
i

Suy ira:

1

D+ im i(t) i≤ ilimsup i
h→0

≤ limsup iD i i
+

h→0

i

i i

i

i

i

i

i

i

[ m (t + h ) − m (t)]

i i

h

+

i

i

i

i

i i

i

i

X (t + h ) − X (t)
i

i

i

i i

i

i

, F i(t i, iX i(t))

i i

h

+ ilimsup iD F i(t i,Y i(t)), Y i(t i+ ih i) i− iY i(t)
h→
h
i0
+

+ iD[ iF i(t i, iX i(t i)), iF i(t i,Y i(t))].

ở iđây ichúng ita iđã isử idụng:
D[ iX i(t i+ ih i), iX i(t i) i+ ihF i(t i, iX i(t))]= iD[X i(t i) i+ iZ i(t i, ih i), iX i(t i) i+ ihF i(t i,
iX i(t))] i= iD[Z i(t i, ih i) i+ iX i(t i), iX i(t i) i+ ihF
i

(t i, iX i(t))] i= iD[Z i(t i, ih i), ihF i( it i, iX i(t i))]

= iD[X i(t i+ ih i) i− iX i(t i), ihF i(t i, iX i(t))]
Từ iđó: i im i(t i) i≤ ir i(t i,t i0 i, iw0 i) i, it i∈ iJ.
Định ilí i1.3.3 iGiả isử irằng iF i∈ iC i iJ i× iK ( iR in i), iK ( iRn i) và
C

C

[X ,Y ], t ∈ J.

limsup 1 D[ iX i+ ihF i(t, iX i),Y i+ iF i(t,Y i(t))] i− iD[ X i,Y i] i≤ ig(t, iD
+

h→0

( i)

i

i

i i

i

h

Ở iđây i iX i, iY i∈ iK iC i( iRn i) i, i ig i∈C i[J i× iR+ i,
R]và
r(t,t0 i, iw0 i) i ilà inghiệm imax icủa
phương itrình ivi iphân ivô ihướng iw' i= ig(t, iw), iw(t0 i) i= iw0 i≥ i0 itồn itại itrên iJ.
Thì ikết iluận itrong iđịnh ilí i1.3.1 ivẫn iđúng.
Chứng iminh: iCách ichứng iminh itương itự iđịnh ilí i1.3.2, ita icó:
m(t i+ ih) i− im(t) i= iD[ iX i(t i+ ih i), iY i(t i+ ih)] i−D[X i(t i), iY i(t)]
i

≤ D[ X (t + h), X (t) + hF (t, X (t)]
+
D[Y (t) + hF (t,Y (t),Y (t + h)]
+
D[ X (t ) + hF (t , X (t ), Y (t ) + hF (t , Y (t)] −D[ X (t ), Y
(t)]
1
D+ m(t) = limsup [ m(t + h) − m(t)]
i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i i

i

i

i

i

i

i

i i

i

i

i

i

i

i

i

i

i i

i

i

i

i

i

i

i

h

+

h→0

1

≤ limsup i

[

i

i

i

i

i

i

]

[

]

i iD iX i(t) i+ ihF i(t, iX i(t)),Y i(t) i+ ihF i(t,Y i(t)) i− iD iX i(t),Y i(t)

hh→0

+

i i

i

i

i

i

i

i


Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

17

Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

+ ilimsup iD X i(t i+ ih i) i− iX i(t) , iF i(t i, iX i(t)) + ilimsup iD F i(t i,Y i(t)), Y i(t i+ ih i) i− iY i(t)
h
h
h→0
h→0
+

+

≤ g i(t i, iD i[X i(t i),Y i(t i)]) i= ig i(t i, im i(t)) i, it i∈ iJ.
Suy ira iđiều iphải ichứng iminh.
Hệ iquả i1.3.1 i iGiả isử iF i∈ iC i iJ i× iK
kiện isau:

n

(R i), iK
C

C

a) i iD[ iF i(t, iX i),θ i] i≤ ig i(t, iD[X i,θ i]);
[

( i)
(R i) và ithỏa imột itrong ihai iđiều

n

]

[

1
b) ilimsup D X i+ ihF i(t, iX i),θ − iD X i,θ
h
h→0
+

]

])

( t, [
≤ ig iD

X i,θ

,

ở iđây ig i∈ iC i[ iJ i× iR+ i, iR], ithì inếu iD[X0 i,θ i] i≤ iw0 i, ita icó iD[X i(t),θ i] i≤ ir(t,t0 i, iw0 i) i, it i∈ iJ.
Với ir(t,t0 i, iw0 i) ilà inghiệm imax icủa iphương itrình ivi iphân ivô ihướng:
w' i= ig(t, iw), w(t0 i) i= iw0 ≥ i0 trên J.

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

18

Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

Chương II BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TRONG
HỆ VI PHÂN TẬP
i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

Nội idung ichính icủa ichương inày ilà itrình ibày imột isố ibài itoán iđiều ikhiển itrong ihệ
vi phân itập, iphân iloại imột isố ibài itoán iđiều ikhiển itập inhư: iđiều ikhiển itập itối iưu, iổn iđịnh
inghiệm, igiới ithiệu ikhái iniệm iđiều ikhiển itập imờ,….(xem itrong i[17-20]).

§2.1 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TẬP

i

i

i

i

i

Các ihệ ithống iluôn iluôn icó imục iđích iđể itồn itại. iCác itrạng ithái icủa ihệ
ithống ikhông ingừng ibiến iđổi ivà iluôn iđặc itrưng icho ihệ ithống. iMột ih iệ ithống
imuốn ihoạt iđộng itốt iphải icó iđủ iđộ itin icậy ivà imang itính iổn iđịnh. iCần iph iải
iduy itrì imột ich iế iđộ ikiểm isoát isự idiễn ibiến itrạng ithái icủa ihệ ithống imà itiến
ihành icông iviệc iđó icần iphải icó iđiều ikhiển.
2.1.1 iBài itoán iđiều ikhiển itập
Hệ ivi iphân itập icó idạng: iDH iX i= iF i(t i, iX i(t i),U i(t)) i, iX i(t i0 i) i= iX0
(SCDE)
n
p
n
Trong i iđó i i iF i∈ iC i iI i× iK ( iR i i) i× iK ( iR i i), iK ( iR i) , t i∈ iI i⊂ iR i, trạng i ithái
C

C

C

+

X (t i) i∈ iK iC i(R i) i, iđiều ikhiển iU i(t i) i∈ iK iC i(R i i).
Giả isử V i∈ iC i iR × iK ( iR in i) i×U i, iR là ihàm itựa iLyapunov icủa iSCDE. iTừ
n

p

+

+

C

nghiệm icủa iphương itrình ivi iphân itập i(SDE) ita icó imột ikết iquả icho inghiệm
icủa iphương itrình iSCDE idưới iđây:
Định ilí i2.1.1 Giả isử: iV i∈ iC i iR × iK (Rn i) i×U i, iR
(i) V i∈ iC i iR × iK ( iR in i) i×U i, iR
+

+

và

+

C

+

C

V (t, iX i(t),U i(t)) i− iV i(t, iX i(t),U i(t)) i≤ iLD i iX i(t), iX i(t) i,
với iL ilà ihằng isố iLipschitz iđịa iphương ivới iX i(t), iX i(t) i∈ iKC i(Rn i) i, iU i(t i), iU i(t i) i∈U ivà it
i∈ iR+ i.
(ii) D+V i(t, iX i(t),U i(t)) i≡
limsup i
i(t))]
+

h→0

1

i

[V (t + h, X (t) + hF (t, X (t),U (t)),U (t)) −V (t, X (t),U
i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

h

≤ g(t,V i(t, iX i(t),U i(t)) i.
Ở iđây ig i∈C i iR2 , iR và icho it i∈ iR i, iX i(t) i∈ iK (Rn i) i, iU i(t) i∈U i. iThì:
+

+

C

i

i

i


Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

19


Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập

nếu i iX i(t i) i= iX i(t i, it0 i, iX0 i, iU0 i) ilà inghiệm ibất ikì icủa i(SCDE) ixác iđịnh itrên i[t i0 i.T i) ivới
X(t0 i) i= iX0 i, iU i( it i) i∈U isao icho iV i(t0 i, iX i0 i, iU0 i) i≤ iw0 i, ita icó:

V

(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i≤ ir(t i, it0 i, iw0 i) i, it i∈[t i0 i.T i)

trong iđó ir(t i, it0 i, iw0 i) ilà inghiệm imax ixác iđịnh itrên i[t0 i.T i) icủa iphương itrình ivi iphân:
w' i= ig(t i, iw), iw(t0 i) i= iw0 i≥ i0.

Chứng iminh: iCho iX i(t) i= iX i(t,t0 i, iX0 i,U0 i) ilà inghiệm ibất ikì icủa i(SCDE) ixác iđịnh
trên i[t0 i.T i) i. iĐặt im i(t i) i= iV i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) isao icho im(t0 i) i= iV i(t0 i, iX0 i,U0 i) i≤ iw0 i. iCho ih
i> i0 iđủ inhỏ, ido i(i) ita icó:
m i(t i+ ih i) i− im i( it i) i= iV i(t i+ ih i, iX i(t i+ ih i), iU i( it i+ ih i)) i−V i(t i, iX i(t i), iU i(t i))
i

=V i(t i+ ih i, iX i( it i+ ih i), iU i( it i+ ih i)) i− iV i( it i+ ih, iX i( it i) i+ ihF i( it i, iX i( it i), iU i( it i)), iU i(t i+ ih))

+V i(t i+ ih i, iX i( it i) i+ ihF i(t i, iX i(t i), iU i(t i)), iU i(t i+ ih))
V i(t i, iX i(t i), iU i(t))
≤ LD[ iX i(t i+ ih), iX i(t) i+ ihF i(t, iX i(t),U i(t))]
+V i(t i+ ih i, iX i( it i) i+ ihF i(t i, iX i(t i), iU i(t i)), iU i(t i+ ih)) i−V i(t i, iX i( it i), iU i(t))
Do iđó:
D+ im(t) i= ilimsup 1
+

h
h→0
+ iL ilimsup 1 D
+

h→0

Vì:

[ m(t + h) − m(t)] ≤ D+V (t, X (t),U (t))
i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

[ X (t + h), X (t) + hF (t, X (t),U (t))]
i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

h

1 D[ iX i(t i+ ih), iX i(t) i+ ihF i(t, iX i(t),U i(t))]= iD i i

X (t + h) − X (t)
i

i

i

i

i

i

, hF i(t, iX i(t),U i(t))

i i

hh
Ta icó:

limsup 1 D[ iX i(t i+ ih), iX i(t) + ihF i(t, iX i(t),U i(t))]
+
h
h→0
= ilimsup iD X i(t i+ ih) i− iX i(t) , ihF i(t, iX i(t),U i(t))
h
h→0
+

= iD[ iDH iX i(t i), ihF i(t i, iX i(t i), iU i(t i))] i= i0 i.
Do iđó ita icó ibất iphương itrình ivi iphân ivô ihướng: iD+ im(t) i≤ ig(t, im(t)) i, im(t

0

) i≤ iw i;
0

Suy ira: im(t) i≤ ir(t,t0 i, iw0 i) i, it i∈[t i0 i.T i).
( i)
Hệ iquả i2.1.1 iNếu ihàm ig(t, iw) i= i0 ithì iV i(t, iX i(t),U i(t)) i≤ iV i(t0 i, iX0 i,U0 i) i.
2.1.2 iỔn iđịnh inghiệm
Trong imục inày isẽ itrình ibày icác ikết iquả ivề iổn iđịnh inghiệm iSCDE. iTa icó ithể
igiả isử iF i(t,θ i) i= iθ i, ikhi iđó inghiệm itầm ithường itồn itại ivới imọi it i≥ it0 i.
Định inghĩa i2.1.1 iNghiệm itầm ithường icủa iSCDE iđược igọi ilà:

Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01

20