Tài Liệu Sức Bền Vật Liệu Kinh tế UTC2

Chương 5: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA HÌNH PHẲNG
I.
Tọa độ trọng tâm của hình phẳng:
Bước 1: Chọn hệ trục xoOyo
Bước 2: Chia hình phẳng thành các hình đã biết tọa độ trọng tâm
Bước 3: Xác định tọa độ trọng tâm và diện tích từng hình
Bước 4: Tính tọa độ trọng tâm theo công thức:
n

xc 

n

 Fi .xci

yc 

i 1

n

 Fi

i 1



Chú ý:

 Fi . yci

i 1

n

 Fi

i 1

+ Hình đặc thì lấy dấu “+”
+ Hình rỗng lấy dấu “-“

Trong đó

II.



xc, yc – Tọa độ trọng tâm của hình phẳng
xci, yci – Tọa độ trọng tâm hình thứ i
Fi – Diện tích hình thứ i
Tính mô men quán tính đối với trục trung tâm
(Công thức dời trục song song)
Đối với hình ghép bởi nhiều hình cơ bản:



J  �J  � J   x  x  F 
+ Hình đặc thì lấy dấu “+”
J XC  �J xi  � J xci   yc  yci  Fi
2

2



YC

Chú ý:

yi

yci

c

ci

i

+ Hình rỗng lấy dấu “-“
Trong đó

1.

2.

Jxci, Jyci – Mô men quán tính chính trung tâm của hình thứ i
Mô men quán tính chính trung tâm của một số hình cơ bản
Hình chữ nhật
bh3

hb3
b
Jx 
Jy 
12 ;
12
h
Hình tròn

d4
J0 
32 ;

3.

J
d4
Jx  J y  0 
2
64

Hình vành khăn

d


Jo 

4.

 D4
32

Jx  Jy 

Hình tam giác

bh3
Jx 
36

5.

4
� �d �
�
1

� � ��
� �D ��;

hb3
Jy 
36

;
Thép hình: (Tra bảng)

4
J 0  D 4 � �d ��


1

� � ��
2
64 � �D ��


I.


CHƯƠNG 2: KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM THANH THẲNG
Nội lực
Trên mặt cắt ngang thanh chỉ tồn tại một thành phần nội lực duy nhất

Nz # 0

Dấu hiệu nhận biết:
+ Ngoại lực tác dụng dọc trục thanh;
+ Đối với thanh 2 đầu liên kết khớp, lực tác dụng tại kh ớp.

Quy ước dấu:
Nz<0
N <0
z

Nz > 0 : Thanh chịu kéo
Nz < 0 : Thanh chịu nén

Phương pháp mặt cắt tính nội lực

+ Bước 1: Dùng 1 mặt cắt chia kết cấu thành 2 phần;
+ Bước 2: Giữ lại một phần, thay thế tác dụng của ph ần bỏ đi vào ph ần còn
lại bằng nội lực tương ứng ( Với quy ước theo chiều dương – tức là N z hướng
ra ngoài);
+ Bước 3: Viết phương trình cân bằng cho phần gi ữ lại.

Biểu đồ nội lực
Là đồ thị biểu diễn sự thay đổi của nội lực dọc theo trục thanh
Trình tự vẽ biểu đồ:
+ Bước 1: Tính phản lực liên kết (nếu cần thiết);
+ Bước 2: Chia đoạn thanh (Chia tại vị trí có ngoại lực thay đ ổi);
+ Bước 3: Viết biểu thức nội lực cho từng đoạn
Sử dụng phương pháp mặt cắt: Nz = f(z)
+ Bước 4: Vẽ biểu đồ nội lực
 Quan hệ vi phân
II.
Ứng suất

dN z
q
dz

z 

Nz
F

1. Ứng suất trên mặt cắt ngang
Trong đó: z - Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
Nz – Nội lực tại mặt cắt cần tính (Dựa vào biểu đồ nội lực)

F – Diện tích mặt cắt ngang của thanh
2. Ứng suất trên mặt cắt xiên


p: ứng suất toàn phần;
 : ứng suất pháp;
u
 : ứng suất tiếp.
uv
 u   z .cos 2

 uv  z .sin 2
2

III. Biến dạng
1. Biến dạng dọc trục
* Biến dạng dài tuyệt đối l
N
l  � z .dz
E.F
l

* Trường hợp khi Nz và EF là hằng số:
l 

N z .l
E.F

* Tổng quát khi thanh chia làm n đoạn
N zi

l  �� .dz
i 1 l E.Fi
n

* Biến dạng dài tỷ đối:
z 

Nz
E.F

2. Biến dạng ngang
 n   . z

Với Hệ số nở ngang


IV. Điều kiện độ bền và độ cứng
1. Điều kiện độ bền
* Điều kiện bền:
+ Trường hợp vật liệu dẻo có []K = []N = []
 max 

Nz
F

�  
max

+ Trường hợp vật liệu dòn


K
max



N
max




N zK,max
F
N zN,max
F

�   K
�   N

* Ba bài toán về độ bền
a/ Bài toán kiểm tra bền
b/ Bài toán thiết kế mặt cắt ngang
Nz

max

Từ điều kiện bền =>   

�F

=> Kích thước mặt cắt ngang

c/ Bài toán xác định tải trọng cho phép
Từ điều kiện bền =>

Nz

max

�F .  

=> Tải trọng cho phép

2. Điều kiện độ cứng
* Điều kiện cứng


Hoặc

l

max



max

Nz

max

E.F

�  

� l 

* Ba bài toán về độ cứng
a/ Bài toán kiểm tra độ cứng
b/ Bài toán thiết kế mặt cắt ngang
Nz

Từ điều kiện độ cứng =>

max

E.   

�F

c/ Bài toán xác định tải trọng cho phép

=> Kích thước mặt cắt ngang


Từ điều kiện độ cứng =>

Nz

max

�EF .  

=> Tải trọng cho phép


CHƯƠNG 6: XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG
I.
Nội lực
* Trên mặt cắt ngang thanh chỉ tồn tại một thành phần n ội lực duy nh ất M z #
0
* Quy ước dấu:

Mz>0

.

Chú ý : Nhìn từ ngoài mặt cắt ngang vào
* Phương pháp mặt cắt tính nội lực
+ Bước 1: Dùng 1 mặt cắt chia kết cấu thành 2 phần;
+ Bước 2: Giữ lại một phần, thay thế tác dụng của ph ần bỏ đi vào ph ần còn
lại bằng nội lực tương ứng ( Với quy ước theo chiều d ương – t ức là M z quay
cùng chiều kim đồng hồ);

+ Bước 3: Viết phương trình cân bằng cho phần gi ữ lại. � z

Biểu đồ nội lực
Là đồ thị biểu diễn sự thay đổi của nội lực Mz dọc theo trục thanh
Trình tự vẽ biểu đồ:

+ Bước 1: Tính phản lực liên kết (nếu cần thiết);
+ Bước 2: Chia đoạn thanh (Chia tại vị trí có ngoại lực thay đ ổi);
+ Bước 3: Viết biểu thức nội lực cho từng đoạn
Sử dụng phương pháp mặt cắt: Mz = f(z)
+ Bước 4: Vẽ biểu đồ nội lực
M 0

dM z
m
dz

 Quan hệ vi phân
II.
Ứng suất trên mặt cắt ngang
 

Trong đó:

Mz

J0

 - Ứng suất tiếp
Mz – Nội lực tại mặt cắt cần tính (Dựa vào biểu đồ nội lực)
Jo – Mô men quán tính cực (Chương 5)
 Khoảng cách từ điểm cần tính ứng suất đến trọng tâm O

* Ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang

 max 

J
Mz
Wo  o
Wo Với
 max

* Ứng suất tiếp lớn nhất trên thanh:
 max 

Mz

max

Wo

Với |Mz|max - Là mô men xoắn lớn nhất trên thanh (Giá trị
lớn nhất trên biểu đồ mô men xoắn Mz)
* Một số mặt cắt cơ bản:

III. Biến dạng trục tròn chịu xoắn
* Góc xoắn tương đối giữa 2 đầu đoạn
M
  � z dz
G.J o
l

* Trường hợp khi Mz và GJo là hằng số:


M zl
GJ o

* Tổng quát khi thanh chia làm n đoạn
M zi
  �� i dz
GJ 0
li

Trong đó: Mz – Mô men xoắn trên đoạn cần tính (Biểu thức Mz trên từng đoạn
thanh khi vẽ biểu đồ nội lực)
G – Mô đun đàn hồi trượt
Jo – Mô men quán tính cực
l – Chiều dài đoạn thanh
* Góc xoắn tại một mặt cắt
 B   A   AB

Với :

B – Góc xoắn tại mặt cắt B
A – Góc xoắn tại mặt cắt A (Thường lấy tại ngàm có A = 0)
AB – Góc xoắn tương đối giữa A và B (Tính theo công thức ở trên)


IV. Điều kiện độ bền và độ cứng
1. Điều kiện độ bền
* Điều kiện bền:
 max 

Với :

Mz

max

Wo

�  

|Mz|max – Mô men xoắn lớn nhất trên thanh (Lấy giá trị lớn nhất

trên biểu đồ mô men xoắn Mz)
Wo – Mô men chống xoắn
* Ba bài toán về độ bền
a/ Bài toán kiểm tra bền
b/ Bài toán thiết kế mặt cắt ngang: (Xác định đường kính thanh)
Mz

max

Từ điều kiện bền =>   

�Wo

=> Kích thước mặt cắt ngang (Đường

kính)
c/ Bài toán xác định tải trọng cho phép
Từ điều kiện bền =>

Mz

max

�Wo .  

=> Tải trọng cho phép

3. Điều kiện độ cứng
* Điều kiện cứng


Trong đó:

max



Mz

max

GJ o

�  

Chú ý: Đổi đơn vị

|Mz|max – Mô men xoắn lớn nhất trên thanh (Lấy giá trị lớn nhất

trên biểu đồ mô men xoắn đã vẽ)
Jo – Mô men quán tính cực
G – Mô đun đàn hồi trượt
* Ba bài toán về độ cứng
a/ Bài toán kiểm tra độ cứng
b/ Bài toán thiết kế mặt cắt ngang (Xác định đường kính thanh)


Mz

Từ điều kiện bền =>

max

G.  

�J o

=> Kích thước mặt cắt ngang

c/ Bài toán xác định tải trọng cho phép
Từ điều kiện bền =>

Mz

max

�G.J o .  

=> Tải trọng cho phép


CHƯƠNG 7: UỐN PHẲNG THANH THẲNG
I.

Nội lực trên mặt cắt ngang dầm

Xét trong mặt phẳng yoz (mặt phẳng thẳng đứng)
+ Mô men uốn Mx
+ Lực cắt Qy
* Quy ước dấu:
+ Lực cắt Qy:

Qy > 0
(Làm đoạn thanh quay
cùng chiều kim đồng hồ)

Qy < 0
(Làm đoạn thanh quay
ngược chiều kim đồng hồ)

+ Mô men uốn Mx:

Mx > 0
(Làm dầm kéo thớ dưới)

Mx < 0
(Làm dầm kéo thớ trên)

* Biểu đồ nội lực: 4 bước
B1: Tính phản lực liên kết (Nếu cần thiết)
B2: Chia đoạn thanh: (Tại vị trí có ngoại lực thay đổi)
B3: Viết biểu thức nội lực cho từng đoạn:
Xét cân bằng một bên.


�Y  0 � Qy � P ; q ; R ....
i
Y

i
Y

i
Y

1ben

�mom

x

 0 � M x  �momx  M i ; Pi ; qi ; Ri ...
1ben

B4: Vẽ biểu đồ nội lực: (Chú ý: Hàm bậc 2, đạo hàm bậc 1 tính cực trị)
q( z) 

dQy

dz
* Mối quan hệ vi phân:
II.
ứng suất trên mặt cắt ngang
1. Ứng suất pháp



d 2 Mx
dz 2

* Ứng suất pháp tại điểm K
 Kz 

Trong đó:

Mx K
.y
Jx

Mx – Nội lực (mô men uốn) tại mặt cắt

cần tính (Xác định trên biểu đồ mô men uốn Mx);
Jx – Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x (Hình
chữ nhật, tròn, vành khăn, thép hình …. Chương 5);
yK – Tọa độ của điểm K.
* Ứng suất pháp lớn nhất trên mặt cắt ngang

 max 

Mx
Wx

 max 

Mx
Wx

* Ứng suất pháp lớn nhất trên dầm:
Trong đó:

max

|Mx|max – Mô men lớn nhất trên dầm (Lấy giá trị lớn nhất trên

biểu đồ Mx)
Wx – Mô men chống uốn:
+ Hình chữ nhật:
+ Hình tròn:

+ Hình vành khăn:
2. Ứng suất tiếp

Wx 

bh 2
6

Wx 

 .D3
32

Wx 

 .D 3
32

4
� �d �
�
1

� � ��
� �D ��

Wx 

Jx
ymax


 yz   zy 

Qy .S xFc
Jx.b c

Giurapxki
* Hình chữ nhật:

+ Ứng suất tiếp tại điểm K
 K zy 

6Qy �h 2
2�
  yK  �
3 �
bh �4
�

Trong đó:

Qy – Lực cắt tại mặt cắt cần tính (Xác định trên biểu đồ lực cắt)

+ Ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang:
+ Ứng suất tiếp lớn nhất trên toàn bộ dầm:

 max 

 max 

3 Qy
2 b.h

3 Qy max
2 b.h

Với |Qy|max – Lực cắt lớn nhất trên dầm (Lấy giá trị lớn nhất trên biểu đồ Qy)
* Thép chữ I:
+ Ứng suất tiếp tại điểm K

 zy 

Qy �
yK2 �
S

d
.
�x
�
J x .d �
2 �

Với : Jx, Sx, d – tra bảng
+ Ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt

cắt ngang:

 max 

Qy .S x
J x .d

+ Ứng suất tiếp lớn nhất trên toàn bộ dầm:

 max 

Qy

max

.S x

J x .d

Với |Qy|max – Lực cắt lớn nhất trên dầm (Lấy giá trị lớn nhất trên biểu đồ Qy)
III.

Điều kiện bền

1. Điều kiện bền theo ứng suất pháp cho phép (Những điểm xa đường
trung hòa nhất)
* Điều kiện bền:

 max �  



+ Vật liệu dẻo:  

K

     
N

 max 


+ Vật liệu dòn:  

K

�  

Mx

max

Wx

�  

N

 mKax 


N
max



M K x , max
Wx
M N x ,max
Wx

�  

K

�  

N

2. Điều kiện bền theo ứng suất tiếp cho phép (Những điểm nằm trên
đường trung hòa)
* Điều kiện bền:

 max �  

3. Lý thuyết bền (Những điểm còn lại – Trạng thái ứng suất phẳng)
+ Lý thuyết bền 3:

 td 3   2  4 2 �  

+ Lý thuyết bền 4:

 td 4   2  3 2 �  


CHƯƠNG 8: BIẾN DẠNG DẦM UỐN PHẲNG

v – Độ võng (Chuyển vị đường theo
phương đứng;
Góc quay (Chuyển vị góc)

PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU ĐỒ VERESAGHIN
Trình tự tính toán:
+ Vẽ biểu đồ mô men (Mx) do tải trọng gây ra

+ Lâp trạng thái đơn vị K. (Bỏ hết tải trọng, chỉ giữ lại kết cấu ban đầu)
- Để tính độ võng (v): Đặt vào vị trí đó lực đơn vị P k = 1, có chiều tự
chọn.
- Để tính góc quay (): Đặt vào vị trí đó mô men đơn vị M k = 1, có
chiều tự chọn.
+ Vẽ biểu đồ mô men đơn vị (Mk).
+ Độ võng, góc quay đc tính bằng tổng đại số của tích giữa biểu đồ (M x) và
tung độ của biểu đồ (Mk) tại trọng tâm tương ứng của biểu đồ (Mx), theo công thức:

 

v

1
. M x  . M k
E.J x



1
. M x  . M k
E.J x

 

Lưu ý:
- Nếu kết quả ra dương thì độ võng và góc quay cùng chiều với tải đơn vị gây
ra và ngược lại.

- Phương pháp nhân biểu đồ chỉ thực hiện được khi cả Hai biểu đồ là hàm liên
tục. Nếu một trong hai biểu đồ là hàm không liên tục thì ta phảI chia ra thành các
hàm liên tục để nhân.
- Nếu (Mx) và (Mk) cùng là hàm bậc nhất thì ta có thể lấy diện tích của biểu đồ
nào cũng được, sau đó nhân với tung độ của biểu đồ kia ứng với trọng tâm của
biểu đồ đã lấy diện tích.
- Nếu một biểu đồ là đường cong thì diện tích phải là biểu đồ đường cong.
- Nếu hai biểu đồ cùng bên (cùng dấu) thì kết quả ra dương và ngược lại.
Một số hình cơ bản:


CHƯƠNG 9: SỨC CHỊU KẾT HỢP
I.
1.

Uốn xiên
Nội lực
Trên mặt cắt ngang của thanh chứa đồng thời hai thành phần nội lực là các

mô men uốn Mx ,My

M
z

x

O x
M
yy

* Quy ước dấu:
+ Mx dương khi nó làm căng phần dương của trục y, và ngược lại, M x âm khi
nó làm căng phần âm của trục y
+ My dương khi nó làm căng phần dương của trục x, và ngược lại, My âm khi
nó làm căng phần âm của trục x
2.

Ứng suất
* Ứng suất tại một điểm bất kỳ trên MCN
z 

My
Mx
.y 
.x
Jx
Jy

* Ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trên MCN
Đối với mặt cắt đối xứng:
max
My
M
 z min  � x �
wx
wy

Trong đó:

Mx, My – Nội lực tại mặt cắt cần tính

Jx, Jy – Mô men quán tính đối với trục x và trục y
x, y – Tọa độ của điểm cần tính ứng suất
Wx, Wy – Mô men chống uốn đối với trục x và trục y


* Một số hình cơ bản:

+ Hình chữ nhật:

bh 3
hb 3
;Jy 
12
12
2
bh
hb 2
Wx 
; Wy 
6
6

+ Hình tròn:

d4
Jx  Jy 
64
 d3
Wx  Wy 
32

Jx 

+ Hình vành khăn:
+ Thép hình:
3.

 D3
32

4
� �d �
�
1

� � ��
� �D ��

Tra bảng

Đường trung hòa và biểu đồ phân bố ứng suất
* Phương trình đường trung hòa
My
Mx
.y 
.x  0
Jx
Jy

Với Mx , My là nội lực tại mặt cắt cần tính

* Biểu đồ phân bố ứng suất

h

d

4
 D 4 � �d ��
Jx  Jy 
1  � ��
�
64 � �D ��

Wx  Wy 

b


II.
1.

Uốn + Kéo, Nén đồng thời
Nội lực
Trên MCN của thanh chứa các thành phần nội lực là các mô men uốn M x,

My và lực dọc Nz

z
N M
M

z O
x
y
x

y

* Quy ước dấu:
+ Nz dương khi gây kéo (hướng ra) và ngược lại âm khi gây nén (hướng vào)
+ Mx dương khi nó làm căng phần dương của trục y, và ngược lại, M x âm khi
nó làm căng phần âm của trục y
+ My dương khi nó làm căng phần dương của trục x, và ngược lại, My âm khi
nó làm căng phần âm của trục x
2.

Kéo, Nén lệch tâm

z

Điểm đặt lực k có tọa độ (xk, yk)
N z  �P
M x  N z . yk
M y  N z .xk

Chú ý: - Lấy “+P” Khi P gây kéo (hướng ra)
3.

yk
y

P

O

- Lấy “-P” Khi P gây nén (h ướng vào)
Ứng suất
* Ứng suất tại một điểm bất kỳ trên MCN : Tại điểm A (xA; yA)
 zA 

My
Nz M x

.yA 
.x A
F
Jx
Jy

* Ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trên MCN

xk

x


(Đối với mặt cắt đối xứng )
max

 z min 

Trong đó:

My
Nz M x
�
�
F
wx
wy

Nz, Mx, My – Nội lực tại mặt cắt cần tính (Dựa vào biểu đồ nội

lực)
Jx, Jy – Mô men quán tính đối với trục x và trục y
xA, yA – Tọa độ của điểm A cần tính ứng suất
Wx, Wy – Mô men chống uốn đối với trục x và trục y
4.

Đường trung hòa và biểu đồ phân bố ứng suất
* Phương trình đường trung hòa
My
Nz M x

.y 
.x  0
F
Jx
Jy

Với Nz, Mx , My là nội lực tại mặt cắt cần

tính
* Biểu đồ phân bố ứng suất
* DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
- Lực tác dụng vuông góc với trục thanh gây mô men uốn;
+ Lực vuông góc trục x gây mô men uốn Mx;
+ Lực vuông góc trục y gây mô men uốn My.
- Lực cùng phương trục thanh gây kéo (nén) lệch tâm.