MỞ RỘNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC; VẬN DỤNG CAO
Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; THPT Quảng Xương 1; Lần thứ 3; 2018.
Tp.Thái Bình; 23.04.2018
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu hỏi gốc.
Cho số phức z thỏa mãn
A. 20
Lời giải.
z i
1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z i 2 z 4 7i .
z 3i
2
B. 10
C. 2 5
D. 4 5
z i
1
2 a bi i a bi 3i
z 3i
2
2
2
2
2
2 a 2 b 1 a 2 b 3 a 2 b 3 20
Tập hợp biểu diễn các số phức z là đường tròn (C) tâm I (2;3), bán kính R 2 5 .
2
P z i 2 z 4 7i a bi i 2 a bi 4 7i a 2 b 1 2
a 4
2
2
b 7 .
Chọn M a; b C ; A 0; 1 , B 4;7 P MA 2 MB .
Mặt khác AB 4 5 2 R nên AB là đường kính của (C), tam giác AMB vuông tại M.
Theo định lý Pythagores thì MA2 MB 2 AB 2 80 . Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có
2
P 2 MA 2 MB 12 22 MA2 MB 2 5.80 P 20 .
Nhận xét.
Mấu chốt của bài toán đó là xây dựng các yếu tố
AB 4 5 2 R nên AB là đường kính của (C), tam giác AMB vuông tại M.
MA2 MB 2 AB 2 80 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovksy.
Hình vẽ minh họa như sau
Về vấn đề xây dựng bài toán, các bạn có thể thực hiện theo các bước sau
Chọn đại khái một đường tròn có tâm I với tọa độ nguyên (điểm nguyên).
Lựa chọn một đường kính với hai đầu mút A, B có tọa độ nguyên.
Sử dụng điểm M có tọa độ tham số (x;y) và thiết lập công thức khoảng cách P MA MB ,
trong đó , là các hằng số.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để tìm giá trị lớn nhất của P MA MB .
Chúc các bạn thành công!
1
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của Q z 4 3 z 4i .
A. 20
B. 15
C. 2 5
D. 8 5
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn z 4 3i 10 . Tìm giá trị lớn nhất của K 2 z 3 3 z 5 6i .
A. 3 26
B. 2 130
C. 8 5
D. 4 5
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn z 4 3i 10 . Tìm giá trị lớn nhất của S z 3 3 z 5 6i .
B. 6 13
A. 20
C. 6 5
D. 8
Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i 17 . Tìm giá trị lớn nhất của T 4 z i z 2 7i .
B. 5 17
A. 20
C. 2 5
D. 34
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của F z 4 z 4i .
A. 8
B. 10
C. 2 5
D. 4 5
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn z 1 4i 13 . Tìm giá trị lớn nhất của L 3 z 3 i 2 z 1 7i .
B. 6 13
A. 26
D. 6 26
C. 30
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 17 . Tìm giá trị lớn nhất của E 2 z 3 7i 3 z 1 i .
A. 2 221
B. 6 13
C. 6 26
D. 7 13
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 5 . Tìm giá trị lớn nhất của M 2 z 3 2i 3 z 1 4i .
B. 7 13
A. 26
C. 12 13
D. 4 13
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 13 . Tìm giá trị lớn nhất của H 2 z 4 3i 3 z 2 i .
A. 13
B. 26
C. 4 13
D. 6 26
Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 26 . Tìm giá trị lớn nhất của W z 2 6i z 4i .
A. 13
B. 26
C. 4 13
D. 6 26
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 . Tìm giá trị lớn nhất của G z 2 2i z 4 6i .
A. 4 5
B. 15
C. 2 5
D. 2 10
Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 5 . Tìm giá trị lớn nhất của P z 1 2 z 5 8i .
A. 20
B. 5
D. 6 5
C. 20
4
4
Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn z 3 i 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S z 3i z 6 5i .
A. 2000
B. 400
C. 5000
D. 6000
4
4
Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S z z 4 4i .
A. 690
B. 16
C. 512
D. 400
4
4
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn z 1 4i 13 . Tìm giá trị nhỏ nhất của L 4 z 3 i 9 z 1 7i .
A. 2600
B. 6900
C. 9669
D. 7488
4
4
Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 4 z 1 4i z 7 .
A. 5120
B. 960
C. 3508
D. 4350
4
4
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 2 . Giá trị nhỏ nhất của S 4 z 1 4i 25 z 5 gần
nhất giá trị nào sau đây ?
A. 5540
B. 3531
C. 3508
D. 4366
CHÚC CÁC EM HỌC SINH THẾ HỆ 2000 MỘT MÙA THI NHƯ Ý
__________________________________________________________
2