ứng dụng số phức trong các bài tóan cực trị hình học

Tabiếtrằngmỗisốphứcđượcbiểudiễnbởimộtđiểmtrongmặtphẳngphức.Dođó
giốngnhưphươngpháptọađộ,khiđồngnhấtmỗiđiểmtrongmặtphẳngbởimộtsốphức
thìbàitoántronghìnhhọcphẳngtrở thànhbàitoánvớisốphứcmàtabiếtrằngcác
côngcụvềkhoảngcáchvàgóccóthểđưacáccôngthứcđơngiảnđốivớisốphức.Do
vậytacóthểsửdụngsốphứcđểgiảicácbàitoánhìnhhọctừđơngiảnđếnphứctạpđặc
biệtlàcácbàitoáncựctrịhìnhhọc.
Đểvậndụngđượcsốphứctrongviệcgiảicácbàitoánhìnhhọctacầnbiếtbiểudiễn
dạngphứcmộtsốyếutốhìnhhọc.
I.BIỂUDIỄNDẠNGPHỨCCỦA MỘTSỐYẾUTỐHÌNHHỌC.
1.1.TíchvôhướngTíchlệchTỉsốđơn,tỉsốkép
1.1.1. Tíchvôhướng
Địnhnghĩa.Cho
1 1
( ; )a x y =
r
,
2 2
( ; )b x y =
r
tương ứngvớihaisốphức
1 1 1
z x iy = + ,
2 2 2
z x iy = + .Theocôngthứctíchvôhướngcủahaivectơ,tacó
1 2 1 2 1 2 1 2
1
. . . ( . . )
2
a b x x y y z z z z = + = +
r r
(1.1)

Takíhiệu
1 2 1 2 1 2
1
, ( . . )
2
z z z z z z = +
1.1.2. Tíchlệch.
Địnhnghĩa.TrênmặtphẳngphứcOxycho
OM
uuuur
,
OP
uuur
lầnlượtcótọavịz, w.Khiđótích
lệchcủahaivectơđólàmộtsốthực(Kíhiệu:
,OM OP
é ù
ë û
uuuur uuur
)xácđịnhbởi
[ ]
1
, , w Im( .w) Im( .wz.w) . .sin( ).
2
OM OP z z z OM OP
y j

é ù
= = = = -
ë û

uuuur uuur uuuur uuur
(1.2)
Nhậnxét:
 BađiểmO,M,Pthẳnghàngkhivàchỉkhi
[ ]
, ,w 0OM OP z
é ù
= =
ë û
uuuur uuur
.(*)
 Từ(*)tathấykhiO,M,Pkhôngthẳnghàng,thìdiệntíchtamgiácOMPlà
[ ]
1 1 1
. .sin( ) , ,w
2 2 2
S OM OP OM OP z
y j

é ù
= - = =
ë û
uuuur uuur uuuur uuur
.
1.1.3. Gócđịnhhướng
TrênmặtphẳngphứcOxychohaiđiểmM,Ncótọavịz
1
,z
2
.Khiđóz

1
+z
2
làtọavị
củađiểmPmà
OP OM ON = +
uuur uuuur uuur
,hiệuz
1
 z
2
làtọavịcủa
OM ON -
uuuur uuur
và
2 1
.d MN z z = = -
uuuur
GọiIlàtrungđiểmcủaMN.Khiđó
( )
1
2
OI OM ON = +
uur uuuur uuur
,tứclàI cótọavị
1 2
1
( )
2
z z +

.Gọi
( , )OM ON
a
=
uuuur uuur
,khiđó
2
2 1
1
arg arg arg( )
z
z z
z

a
= - =
.
GiảsửcóbađiểmA,B,Clầnlượtcótọavịa,b,cvàgócđịnhhướng
( , )AB AC
a
=
uuur uuur
.
Khiđó ,AB AC
uuur uuur
lầnlượtcótọavịba,ca.Suyra
arg( ) arg( ) arg( )
c a
c a b a
b a

a

-
= - - - =
-
(1.3)
www.laisac.page.tl
Ứ
Ứ
Ứ
N
N
N
G
G
G
D
D
D
Ụ
Ụ
Ụ
N
N
N
G
G
G
S

S
S
Ố
Ố
Ố
P
P
P
H
H
H
Ứ
Ứ
Ứ
C
C
C
T
T
T
R
R
R
O
O
O
N
N
N
G

G
G
C
C
C
Á
Á
Á
C
C
C
B
B
B
À
À
À
I
I
I
T
T
T
O
O
O
Á
Á
Á
N

N
N
C
C
C
Ự
Ự
Ự
C
C
C
T
T
T
R
R
R
Ị
Ị
Ị
H
H
H
Ì
Ì
Ì
N
N
N
H

H
H
H
H
H
Ọ
Ọ
Ọ
C
C
C
NguyễnThịThanhTâmKonTum
Cho4điểmA,B,C,Dcótọavịa,b,c,d.Giảsử
( , )AB CD
j
=
uuur uuur
.Rõràng
2 1

j j j
= - ,
trongđó
1 2
arg( ), arg( )b a d c
j j
= - = - .Khiđó
( )( ) ( )( )
cos ;
2

b a d c d c b a
b a d c

j

- - + - -
=
- -
( )( ) ( )( )
sin (1.4)
2
b a d c d c b a
i b a d c

j

- - - + - -
=
- -
Nhậnxét.Từkếtquảtrên,suyra:
1)
( ).( ) ( )( ) 0AB CD b a d c d c b a ^ Û - - + - - =
uuur uuur
.
2)
( ).( ) ( )( )AB CD b a d c d c b a Û - - = - -
uuur uuur
Z[
3)Rõràng
Im( ).( )

sin
.
b a d c
b a d c

j

- -
=
- -
.
4)Từ(1.5),trongtrườnghợpa º cvà ab cd = ,khibiếttọavịbvàgóc
j
 tacóthểxác
địnhtọavịdtheob.Tacómộtsốtrườnghợpđặcbiệtsau:
Nếu
j
=90
0
thìd=ib; nếu
j
=60
0
thì
1 3
;
2 2
d i b
æ ö
= +

ç ÷
è ø
nếu
j
=30
0
thì
3 1
.
2 2
d i b
æ ö
= +
ç ÷
è ø
1.1.4. Tỉsốđơn,tỉsốkép
*Tỉsốđơn.Vớibộ3điểm M
1
,M
2
,M
3
trongmặtphẳngphức,cótọavịtheothứtựlàz
1
,
z
2
,z
3
,tagọisốphức,kíhiệuvàxácđịnhbởi

1 3
1 2 3 1 2 3
2 3
z z
(M ,M ,M )=(z ,z ,z )=
z z
-
-
(1.5)
làtỉsốđơncủabộ3điểm M
1
,M
2
,M
3
(haycủabộ3sốphứcz
1
,z
2
,z
3
).
Mệnhđề1.1. Điềukiệncầnvàđủđể3điểmM
1
,M
2
,M
3
thẳnghànglàtỉsốđơn
1 2 3

(z ,z ,z )
làmộtsốthực.
*Tỉsốkép.Cho4sốphức
1 2 3 4
z ,z ,z , z saochotồntạicáctỉsố
1 3
2 3
z z
z z
-
-
,
1 4
2 4
z z
0.
z z
-
¹
-
Đạilượng
1 2 3 1 3 1 4
1 2 3 4
1 2 4 2 3 2 4
(z ,z ,z ) z z z z
(z ,z ,z , ) :
(z ,z ,z ) z z z z
z
- -
= =

- -
(1.6)đượcgọilàlàtỉsốképcủabộ4sốphức
1 2 3 4
z ,z ,z ,z
Mệnhđề1.2 Cho4điểmM
1
,M
2
,M
3
,M
4
lầnlượtcótọavịlà
1 2 3 4
z ,z ,z , z .
BốnđiểmM
1
,M
2
,M
3
, M
4
cùngthuộcmộtđườngtrònkhivàchỉkhi
1 2 3 4
(z ,z ,z , )z Ρ
1.2.Phươngtrìnhđườngthẳng
1.2.1. Phươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng
Trongmặtphẳngphứcchođườngthẳng(d)điquađiểm M
o

cótọavịz
0
vàcóvectơchỉ
phương
u
r
cótọavịu.Khiđóphươngtrìnhchínhtắccủa(d)là
z= z
l d
+
,với
u
u

l
= ;
0 0
. (1.7)
u
z z
u

d
= -
1.2.2. Phươngtrìnhđườngthẳngquahaiđiểm
Trongmặtphẳngphứcchođườngthẳng(d)điquahaiđiểmphânbiệtM
1
,M
2
lầnlượt

cótọavịz
1
,z
2
.Khiđó(d)cóphươngtrìnhlà
2 1 2 1 2 1 2 1
(z z ). (z z ). (z z z .z ) 0z z - - - + - =
(1.8)
Tađặt
2 1 2 1 2 1
z z , ' z z z .zB C = - = - .Khiđó(1.9)đượcviếtlại
. . ' 0B z B z C - + =
,
0B ¹
(1.9)
(C'làsốphứcthuầnảo).
GiảsửcóhaiđiểmphânbiệtM
1
,M
2
cótọavị z
1
,z
2
.Khiđóđiểm Mthuộcđườngthẳng
M
1
,M
2
saocho

1
2
M M
MM

l
=
,đãchotrước.Khiđó
1
2
z z
z z

l

-
=
-
,từđósuyra
1 2
z + z
1
z

l
l

=
+
(1.10)

Mệnhđề1.3 ChotamgiácABC.TrêncạnhBCvàCAlấycácđiểmA
1
vàB
1
saocho
1
1
1
BA
AC

l
=
và
1
2
1
CB
B A

l
=
.NếuMlàgiaođiểmcủaAA
1
vàBB
1
,thìnócótọavị
A
B
O

x
y
1 1 2
1 1 2
1
b c a
m

l l l
l l l

+ +
=
+ +
.Điều nàycónghĩalàđiểmZvớitọavịznằmtrongđoạnAA
1
.Tương
tựtacũngchứngminhđượcZnằmtrongđoạnBB
1
.VậyZtrùngvớigiaođiểmMcủavà
AA
1
vàBB
1
.
1.2.4.Gócgiữahaiđườngthẳng
Giảsửcóhaiđườngthẳng(d
1
):
1 1 1 1

. . 0, 0A z A z C A - + = ¹
,(d
2
):
2 2 2 2
. . 0, 0A z A z C A - + = ¹
,
Gọilà
j
 làgócgiữa(d
1
)và(d
2
).Khiđótacó
1 2 2 1
1 2
cos
2
A A A A
A A

j

+
=
(1.11)
1.2.5. Khoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộtđườngthẳng
Khoảngcáchdtừmộtđiểm M(z
0
)đếnđườngthẳng(d)cóphươngtrình

. . 0, 0A z A z C A - + = ¹ ,đượctínhbởicôngthức
0 0
( ,( ))
2
Az Az C
d d M d
A
+ +
= =
(1.12)
1.3.Phươngtrìnhđườngtròn
1.3.1. Phươngtrìnhtổngquátcủađườngtròn
Trongmặtphẳngphức,chođiểmIcótọavịz
0
=x
0
+iy
0
,sốthựcR>0.Phương trình
đườngtròntâmI,bánkínhRlà
2
0 0 0 0
0zz z z z z z z R - - + - = .ĐặtA=
0
z - ;
2
0 0
C z z R = - Ρ ,khiđóphươngtrìnhtrênđượcviết
lại
0(1.13)zz Az Az C + + + =

Ngượclại,trongmặtphẳngphứcmỗiphươngtrình
0AA C - >
,với
0zz Az Az C + + + =
sẽlàphươngtrìnhcủamộtđườngtròntâmIcótọavị
0
z A = - ,bánkính R AA C = - .
1.3.2. Mộtsốkếtquảliênquanđếnbàitoánđườngtròn
Trongthựctếcónhiềubàitoánliênquantớiđườngtròn,khitachọnhệtọađộvuông
gócvớigốcchínhlàtâmđườngtrònđóvàcoiđườngtrònlàđườngtrònđơnvị,thìchúng
tasẽcókếtquảđẹpvàdễsửdụngtrongcácbàitoáncụthể.
Mệnhđề1.4. GiảsửAB,CDlàhaidâycungcủađườngtrònđơnvị.Gọia,b,c,dlần
lượtlàcáctọavịcủaA,B,C,D.Khiđó
a)
0AB CD ab cd ^ Û + =
.
b) AB CD ab cd Û = P
Mệnhđề1.5. GiảsửđườngtrònđơnvịcóhaidâycungAB,CDcắtnhautạiF.Gọia,
b,c,d,elầnlượtlàcáctọavịcủaA,B,C,D,E.Khiđó
a)ĐiểmEthuộcđườngthẳngABkhivàchỉkhi
a b e abe + = +
(1.14)
b)GiaođiểmFcủaAB,CDcótọavị
( ) ( )
(1.15)
a b cd c d ab
f
cd ab
+ - +
=

-
Mệnhđề1.6. GiảsửABlàdâycungcủađườngtrònđơnvị,HlàhìnhchiếucủađiểmM
lênđườngthẳngAB.Gọia,b,h,mlầnlượtlàcáctọavịcủaA,B,H,M.Khiđótacó
1
( ) (1.16)
2
h a b m abm = + + -
Mệnhđề1.8. TrongmặtphẳngphứcchotamgiácABCvớicáctọavịa,b,c.GọiG,H
lầnlượtlàtrọngtâm,trựctâmcủatamgiácABCvớicáctọavịg,htươngứng.Khiđó
(i)
1
( )
3
g a b c = + +
(ii)NếutamgiácABCnộitiếpđườngtrònđơnvị,thìh=a+b+c.
1.4.Diệntíchđagiác
1.4.1. Côngthứctínhdiệntích
Trênmặtphẳngphức,chotamgiácOABđịnhhướngdươngvớiA,
Bcótọavịa,b.Khiđódiệntíchcủatamgiác OAB là
1
. .sin( )
2
a b
S R R
b a
= - ,trongđó | |, | |, arg( ), arg( )
a b
R a R b a b
a b
= = = =

SuyradiệntíchcủatamgiácOABlà
1
| Im( ) |.
2
S ba =
Tổngquáthơn,tacókếtquảsau.
Địnhlý1.1.ChođagiáclồiA
1
A
2
A
n
trongmặtphẳngphức,gọiSlàdiệntíchđạisốcủa
đagiác,giảsửA
1
,A
2
, A
n
cótọavịa
1
,a
2
, ,a
n
.Khiđó
1
1
1
Im( )

2
n
k k
k
S a a
+
=
=
å
ởđâytakí
hiệua
n+1
=a
1
.
Đặcbiệt:Vớin=3,tamgiácA
1
A
2
A
3
códiệntíchđạisốlà
2 1 3 2 1 3
1
| Im( ) |.
2
S a a a a a a = + +
1.5.Cácphépbiếnhìnhtrênmặtphẳng
1.5.1. Phéptịnhtiến
Giảsử

v
r
cótọavị z
0
vàz,z’làtọavịcủađiểmMvàM’.Khiđótacóbiểuthứcbiểu
diễnphép
v
T
r
làz’=z+z
0
.
1.5.2.Phépquay
GiảsửI,M,M' cótọavịlàz
0
,z,z'.KhiđótacóbiểuthứcbiểudiễnphépQ(I,
j
)là
0 0
' ( ).
i
z z z e z

j

= - + .
Biểuthứctrêncóthểviếtdướidạng 'z z
a b
= + với| | | | 1
i

e

j
a
= = và
0 0
. .
i
z e z

j
b
= - +
1.5.3. Phépđốixứngtrục
Giảsửđườngthẳng(d)cóphươngtrình
. . 0, 0.A z A z C A - + = ¹
Gọiz,z’ lầnlượtlàtọavị
củaM,M’ .Khiđóbiểuthứcbiểudiễnphépđốixứngtrục(d)là
' ( 0)
Az C
z A
A
+
= - ¹
.
1.5.4.Phépvịtự
Giảsửcácđiểm I,M,M'lần lượtcótọavịlàz
0
,z,z'.Khiđótacóbiểuthứcbiểudiễn
phépvịtựlà z’=k(zz

0
)+z
0
.
1.5.5.Phépnghịchđảo
Địnhnghĩa:Trênmặtphẳngchođườngtròntâm I,bánkínhR.Phépbiếnhìnhbiến
điểm MkhácIthànhM',saocho , ,I M M thẳnghàngvà
2
. 'IM IM R =
đượcgọilàphép
nghịchđảođốivớiđườngtròn(W ).Tagọi(W )làđườngtrònnghịchđảo,I làtâm
nghịchđảo,sốR
2
làphươngtíchcủaphépnghịchđảo.Takíhiệulà
2
( , )N I R .
GiảsửI,M,M' cótọavịz
0
,z,z'.DoI,M,M' thẳnghàngnêntồntại
k Ρ
saocho
'IM k IM =
uuuur uuur
(*).Suyra
2
2 2
2
. '
R
R IM IM kIM k

IM
= = Þ =
uuur uuuur
.Thayvào(*),tađược
2
0
0
'
R
z z
z z
= +
-
II.SỬDỤNGSỐPHỨCGIẢIMỘTSỐBÀITOÁNVỀBẤTĐẲNGTHỨCHÌNH
HỌCVÀCỰCTRỊHÌNH HỌC
2.1Phươngphápdùngđồng nhấtthức
Khithựchiệnphươngphápnàychúngtacầnchúý
Phântíchkỹbàitoán,xemxétyếutốcốđịnhvàdiđộng.
Xáclậpmốiliênhệgiữayếutốcốđịnhvàyếutốdiđộngthôngquamộtđẳngthứchình
học.
Cầnchúýrằngđẳngthứchìnhhọcnàycómộtvếchínhlàmộtvếcủabấtđẳngthứccần
chứngminh.
Xétcáctrườnghợpđặcbiệtmàyếutốdiđộngsẽđạttới.Khiđósẽcóbấtđẳngthứccần
chứngminhvàtừđógiảiquyếtđượcbàitoáncựctrị.
O
H
C
B
A
Vídụ1.1.ChoGlàtrọngtâmtamgiácABC vàMlàđiểmbấtkỳthuộcmặtphẳng.

Chứngminhrằng
2 2 2 2 2 2
MA MB MC GA GB GC + + ³ + + .Từđóxácđịnhvịtríđiểm Msao
cho
2 2 2
MA MB MC + + đạtgiátrịnhỏnhất.
Giải.Tachứngminh
2 2 2 2 2 2 2
3MA MB MC MG GA GB GC + + = + + + .
XétmặtphẳngphứcvớigốcO º G.Gọia,b,c,mlầnlượtlàtọavịcủaA,B,C,M.Khi
đó
2 2
| | ( )( ) .MA a m a m a m aa mm am am = - = - - = + - -
Tươngtựtacó
2 2
| | ( )( ) ;MB b m b m b m bb mm bm bm = - = - - = + - -
2 2
| | ( )( )MC c m c m c m cc mm cm cm = - = - - = + - -
Vớichúý
0a b c a b c + + = + + =
.Tacó
2 2 2 2 2 2 2
3 3MA MB MC mm aa bb cc MG GA GB GC + + = + + + = + + +
Suyra
2 2 2 2 2 2
MA MB MC GA GB GC + + ³ + +
Vậymin(
2 2 2
MA MB MC + + )=
2 2 2

GA GB GC + + khivàchỉkhim=0,haylàM º G.
Vídụ1.2. ChotamgiácABCcótrọngtâm G.Chứngminhrằng
2 2 2 2
9AB BC CA R + + £
vớiRlàbánkínhvòngtrònngoạitiếptamgiác ABC.
Giải.Tachứngminh
2 2 2 2 2 2 2
( 2 ) 3 ,OH MA MB MC MH MO R M + + + - + = " (*)
trongđóHlàtrựctâm,O làtâmvòngtrònngoạitiếptamgiácABC.
ChọnhệtrụctọađộvuônggócOxy.Gọia, b,c,mlầnlượtlàtọavịcủaA,B,C,M.Khi
đóHcótọavịh=a+b+c và
2
aa bb cc R = = =
.Tacó
2 2
| | ;MA a m aa mm am am = - = + - -
2 2
| |MB b m bb mm bm bm = - = + - -
;
2 2
| |MC c m cc mm cm cm = - = + - -
;
2 2
| |MH h m hh mm hm hm = - = + - -
;
2 2
;OM mm OH hh = = Suyra
VT(*)=
3 ( ) ( )hh aa bb cc mm m a b c m a b c + + + + - + + - + + -
2

( ) 3hh mm hm hm mm aa bb cc R - + - - + = + + = .
Vìđẳngthức(*)đúngvớimọiđiểm M,nênvớiM º A,tacó
2 2 2 2 2 2
( 2 ) 3OH AB AC AH AO R + + - + = hay
2 2 2 2 2
5OH R AH AB AC = + - - (**)
Tacó
2 2 2
( )( ) ( )( ) 4AH h a h a b c b c R BC = - + = + + = -
.Thayvào(**),tađược
2 2 2 2 2
9OH R BC AB AC = - - - .Suyra
2 2 2 2
9AB BC CA R + + £
.
Mệnhđề2.1 ChonđiểmcốđịnhA
1
,A
2
, ,A
n
(
1n ³
),nsốthựcdương
1 2
, , ,
n

a a a
 và

điểmMbấtkỳ.Khiđó
i)TồntạiduynhấtmộtđiểmIsaocho
1 1 2 2
0
n n
MA MA MA
a a a
+ + + =
uuuur uuuur uuuur r
.
ii)
2 2 2
1 1 2 2

n n
MA MA MA
a a a
+ + + đạtgiátrịnhỏnhấtkhivàchỉkhiMtrùngI .
Vídụ1.3.TrongmặtphẳngchonđiểmcốđịnhA
1
,A
2
, ,A
n
(
3n ³
),vànsốthực
1 2
, , ,
n

a a a
 thỏa
1
0
n
j
j

a

=
>
å
.Gọi(d)làđườngthẳngdiđộngnhưngluônđiquaA
1
.ứngvới
mỗivịtrícủa(d),tachọnMtrên(d)saochođạilượng
2
1
n
j j
j
MA
a

=
å
đạtgiátrịbénhất.Hãy
tìmtậphợpcácđiểmM.

Giải.Vớigiảthiếtđãcho,tồntạiduynhấtđiểmGsaocho
1
0
n
j j
j
GA
a

=
=
å
uuuur r
(*).
Tachứngminh
2 2 2
1 2
1 1
( )
n n
j j j j n
j j
MA GA GM
a a a a a

= =
= + + + +
å å
.
XétmặtphẳngphứcvớigốctọađộOtrùng G,suyraG cótọavịg=0.Giảsử

A
1
,A
2
, ,A
n
, Mcótọavịa
1
,a
2
, ,a
n
,m. Khiđótừ(*),tacó
1 1 2 2
0.
n n
a a a
a a a
+ + + =
Tacó
2
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
j j j j j j j j j j j j j j j
j j j j j j
MA a a mm a m ma a a mm a m a m
a a a a a a

= = = = = =

= + - - = + - -
å å å å å å
C1
B1
M
A1
C
B
A
2 2
1 2
1
( )
n
j j n
j
GA GM
a a a a

=
= + + + +
å
.Vậy
2 2 2
1 1 1
( )
n n n
j j j j j
j j j
MA GA GM

a a a

= = =
= +
å å å
,
1
0
n
j
j

a

=
>
å
.Suyra
2
1
n
j j
j
MA
a

=
å
đạtgiátrịnhỏnhấtkhichỉkhiMGđạtgiátrịnhỏnhất.MàM Î(d)và(d)điqua
A

1
,dovậy:
 NếuA
1
º G,thìMGđạtgiátrịnhỏnhấtbằng0khiM º Gvàtậpđiểm Mlà
{ }
1
A .
NếuA
1
khôngtrùngG,thìMGđạtgiátrịnhỏnhấtkhiMtrùnghìnhchiếucủaGtrên
(d).Suyratậpđiểm Mlàđường tròn
2
1
1
1
| | | |
2 2
a
m a - =
haytậphợpđiểm Mlàđườngtròn
đườngkínhA
1
G.
2.2.Phươngphápdùng bấtđẳngthứcgiữagiátrịtrungbìnhcộngvàtrungbình
nhân
giữagiátrịtrungbìnhcộngvàtrungbìnhnhân
Phươngphápnàythườngsửdụngtrongcácbàitoánvềbấtđẳngthứchìnhhọc,cực
trịhìnhhọccóliênquanđếntỉsốcủahaiđoạnthẳngvàdiệntíchcủatamgiác.Khithực
hiệnphươngphápnàycầnchúý

Chọnthíchhợpgốctọađộcủamặtphẳngphức.
Chọn(đặt)tỉsốcácđoạnthẳng,tọavịcácđiểm(nếucần).Tínhtọavịcácđiểmcònlại
haydiệntíchtamgiác,tứgiác theocácgiátrịđãchọn.
Tínhcáctỉsốđoạnthẳnghoặctỉsốdiệntíchvàbiếnđổibấtđẳngthứchìnhhọcvềbất
đẳngthứcđạisố.Vậndụngthíchhợpbấtđẳngthứcgiữagiátrịtrungbìnhcộngvàtrung
bìnhnhânđểsuyrađiềuphảichứngminh.
Vídụ2.1.ChotamgiácABCvàđiểm Mởtrongtamgiác,cácđườngthẳng AM,BM,
CMlầnlượtcắtcáccạnhBC,CA,AB tạiA
1
,B
1
,C
1
.Xácđịnhvịtrícủađiểm Msaocho
a)Tổng
1 1 1
AM BM CM
A M B M C M
+ +
đạtgiátrịnhỏnhất.
b)Tích
1 1 1
. .
AM BM CM
A M B M C M
đạtgiátrịnhỏnhất.
Giải. Xétmặtphẳngphứcvớigốctọađộ Otrùng M.GiảsửA,B,C,A
1
,B
1

,C
1
lần
lượtcótọavịa,b,c,a
1
,b
1
,c
1
.Giảsử
1 1 1
1 2 3
1 1 1
; ;
BA CB AC
AC B A C B

l l l
= = = .Từ(1.12)suyra
1 2 3
1 1 1
1 2 3
; ;
1 1 1
b c c a a b
a b c

l l l
l l l

+ + +
= = =
+ + +
với
1 2 3 1 2 3
0, 0, 0, 1
l l l l l l
> > > = .
a)Theomệnhđề1.3,tacó
1 1 2
1 1 2
0
1
b c a
m

l l l
l l l

+ +
= =
+ +
,suyra
1 1 2
.b c a
l l l
+ = -
Tacó
1 3
1

1 1
1
1
(1 )
1
AM AM a a
b c
A M a
MA

l l
l
l

- -
= = = = +
+
+
Tươngtự
2 1 3 2
1 1
1 1
(1 ) ; (1 ) .
BM BM CM CM
B M C M
MB MC

l l l l
= = + = = +
Suyra

1 2 3 1 2 2 3 3 1
1 1 1
AM BM CM
A M B M C M

l l l l l l l l l
+ + = + + + + +
.Do
1 2 3
0, 0, 0
l l l
> > > ,theobất
đẳngthứcgiữatrungbìnhcộngvàtrungvàtrungbìnhnhântacó
C
K
E
D
F
B
A
3 3 3
6
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
6 6.
l l l l l l l l l l l l
+ + + + + ³ =
Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi
1 2 3 1 1 1
1 , ,A B C
l l l

= = = Û làtrungđiểmcáccạnhBC,CA,AB
Û
Mlàtrọngtâmtam
giácABC.Vậymin(
1 1 1
AM BM CM
A M B M C M
+ +
)=6,khiMlàtrọngtâmtamgiácABC.
b)Tươngtự
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1
. . (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
AM BM CM
A M B M C M

l l l l l l l l l
= + + + = + + +
.Mà
1 1 2 2 3 3
1 2 0;1 2 0;1 2 0.
l l l l l l
+ ³ > + ³ > + ³ >
Suyra
1 2 3
1 1 1
. . 8 8;
AM BM CM
A M B M C M

l l l
³ =
dấubằngxảyrakhiMlàtrọngtâmtamgiác ABC.Vậymin
1 1 1
( . . ) 8
AM BM CM
A M B M C M
=
khiMlà
trọngtâmtamgiác ABC.
Vídụ2.2.Chotamgiác ABC.Cácđườngphângiáctrong AD,BE,CF củatamgiáccắt
nhautạiK.Chứngminhrằng
1 8
. . .
4 27
AK BK CK
AD BE CF
< £
Giải.Trongmặtphẳngphức,giảsửcácđiểm A,B,C,D,E,F,Kcótọavịlầnlượtlàa,
b,c, a
1
, b
1
,c
1
,k.Giảsử
1 2 3
; ;
BD CE AF
DC EA FB

l l l
= = =
.Khiđótheo(1.10)tacó
1 2 3
1 1 1
1 2 3
; ;
1 1 1
b c c a a b
a b c

l l l
l l l

+ + +
= = =
+ + +
với
1 2 3
0, 0, 0,
l l l
> > >
1 2 3
1
l l l
= vàtừmệnhđề1.3,điểm Kcótọavị
1 1 2
1 1 2
1

b c a
k

l l l
l l l

+ +
=
+ +
Suyra
1 1 2
11 1 2
1
1 1 1 2
1
11
.
1
1
b c a
a
AK k a
b c
a a
AD
a

l l l
l l l l
l

l l l
l

+ +
-
- + + +
= = =
+
- + +
-
+
Mà
1
1 1 2
1
1
,
1 2
1 .
BD
AC AB
DC
BD BD CE
p
DC DC EA

l
l l l

+

+ +
= =
+ +
+ +
trongđó2p=AC+AB+BC.Suyra
1
1 1 2
1
.
1 2
AK AK AC AB
AD p
AD

l
l l l

+ +
= = =
+ +
Tươngtự
2 3
2 2 3 3 1 3
1 1
; .
1 2 1 2
BK BK BC AB CK CK AC CB
BE p CF p
BE CF

l l
l l l l l l

+ + + +
= = = = = =
+ + + +
Suyra
3 3
( )( )( ) (2 )(2 )(2 )
. . .
(2 ) (2 )
AK BK CK AC AB BC AB AC CB p BC p AC p AB
AD BE CF p p
+ + + - - -
= =
Tacó
3
3
(2 )(2 )(2 ) 1 2 2 2
( )
(2 ) 3 2 2 2
p BC p AC p AB p BC p CA p AB
p p p p
é ù - - - - - -
£ + +
ê ú
ë û
,hay
3
(2 )(2 )(2 ) 8

.
(2 ) 27
p BC p AC p AB
p
- - -
£
Vậybấtđẳngthứcbênphảiđượcchứngminh,dấubằng
xảyrakhivàchỉkhitamgiác ABC đều.
Mặtkhác
3
(2 )(2 )(2 ) 1
(1 )(1 )(1 )(1)
(2 ) 8
p BC p AC p AB p BC p AB p CA
p p p p
- - - - - -
= + + +
Vì
,1 ,1
p BC p AB p CA
p p p
- - -
+ +
dương,nêndễdàngtacó
(1 )(1 )(1 ) 1 1 1 2(2)
p BC p AB p CA p BC p AB p CA
p p p p p p
- - - - - -
+ + + > + + + + + =
Từ(1)và(2)suyra

1
. . .
4
AK BK CK
AD BE CF
>
Vậybấtđẳngthứcbêntráiđượcchứngminh.
Vídụ2.3.Chotamgiác A
1
A
2
A
3
códiệntíchS khôngđổi,điểm Mởtrongtamgiác,các
đườngthẳng A
1
M,A
2
M,A
3
M lầnlượtcắtcáccạnhA
2
A
3
, A
1
A
3
, A
1

A
2
tạicácđiểm B
1
,B
2
B
3
. XácđịnhhìnhdạngcủatamgiácA
1
A
2
A
3
đểdiệntíchtamgiác B
1
B
2
B
3
đạtgiátrịlớn
nhất.
O
y
x
Q
P
D
1
C

1
B
1
A
1
D
C
B
A
M
B
1
B
2
A
3
B
3
A
2
A
1
Giải.XétmặtphẳngphứcsaochogốctọađộOtrùng A
1
.GiảsửA
1
, A
2
, A
3

lầnlượtcó
tọavịa
1
=0,a
2
,a và
2 1 3 2 1 3
1 2 3
1 3 2 1 3 2
; ; .
A B A B A B
B A B A B A

l l l
= = = Khiđótheo(1.10)
tacótọavịcủaB
1
, B
2
,B
3
,M lầnlượtlà
2 1 3 3
1 2
1 2
; ;
1 1
a a a
b b

l
l l

+
= =
+ +
3 2
3
3
1
a
b

l
l

=
+
;
3 3 2 2 3 2 3 1 3
2 3 2 2 3 2
.
1 1
a a a a
m

l l l l l
l l l l l l

+ +

= =
+ + + +
Theo(1.21)tacódiệntíchtamgiácA
1
A
2
A
3
là
2 3
1
Im( ) .
2
S a a =
vàdiệntíchcủatamgiác
B
1
B
2
B
3
là
1 2 1 3 2 1 3
1
Im( )
2
S b b b b b b = + + =
3 2 1 3 3 2 3 2 1 3 3 2 3 3 1 1 3 2
2 3
2 1 3 2 1 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3
2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1 (1 ) (1 )
Im( . . . ) Im( )
2 1 1 1 1 1 1 2 (1 )(1 )(1 )
1 1 1
Im ) .
(1 )(1 )(1 ) 2 (1 )(1 )(1 )
a a a a a a a a
a a
a a S

l l l l l l l l l l
l l l l l l l l l
l l l l l l
l l l l l l

+ + + - + + +
= + + =
+ + + + + + + + +
+ +
= = =
+ + + + + +
Mà
1 2 3
1 2 3
1 1
.
(1 )(1 )(1 ) 4

l l l
l l l

+
£
+ + +
Vì
1 2 3 1 2 3
0, 0, 0, 1
l l l l l l
> > > = ,mặtkháctheokếtquảbài
tập2.1tacó
1 2 3
(1 )(1 )(1 ) 8
l l l
+ + + ³ ,dấubằngxảyrakhivàchỉkhi
1 2 3
1.
l l l
= = =
Suyra
1
1
.
4
S S £ Vậy
1
1
max( ) ,

4
S S =
khivàchỉkhi B
1
,B
2
,B
3
làtrungđiểmcủacáccạnh
A
2
A
3
A
1
A
3
, A
1
A
2
hay MlàtrọngtâmtamgiácA
1
A
2
A
3
.
2.3.Phươngphápsửdụngphépbiếnhình
Đểgiảibàitoánbằngphươngphápnàytathựchiện

Chọntọavịthíchhợp.Sửdụngbiểuthứcbiểudiễncủacácphépbiếnhình,kếthợpvới
cáckếtquảtrướcthựchiện:
+Tìmtọavịnhữngđiểmcònlại,từđótínhdiệntích,khoảngcách, 
+Hoặcchứngminhmộttínhchấthìnhhọc.
Từkếtquảtrên,tachuyểnbàitoánhìnhhọcvềđạisố.
Đểhiểurõhơnvềphươngphápnày,taxétcácbàitoánsau.
Vídụ3.1.Chohìnhvuông ABCD.Phépquaytâmhìnhvuôngmộtgóc
j
biếnnóthành
hìnhvuông
1 1 1 1
A B C D.Xácđịnh
j
 đểdiệntíchphầnchungcủahaihìnhvuông ABCDvà
1 1 1 1
A B C D nhỏnhất.
Giải. ChọnhệtọađộOxy, saochoO làtâmcủahìnhvuông ABCD vàcácđiểm A,B,C,
Dlầnlượtcótọavịa=1i,b=1i,c=1+i,d=1+i.Tacó
1 1 1 1
Q(O, ):A , , ,A B B C C D D
j
® ® ® ®
Với0
j
< <
1
2
ð,suyracácđiểm
1 1 1 1
A ,B ,C ,D lầnlượtcótọavị

1 1 1 1
, , ,
i i i i
a ae b be c ce d de

j j j j

= = = = .
Giảsử
1 1
B C cắtBC,CDlầnlượttạiP,Q.GọiS,S
1
,S
2
lầnlượtlàdiệntíchcủaphầnchungcủahaihình
vuông ABCDvà
1 1 1 1
A B C D diệntíchhìnhvuông
ABCD,diệntíchtamgiác CPQ.Khiđótheotínhchấtđối
xứngcủahình,tacó
1 2
4S S S = - .DovậySnhỏnhấtkhi S
2
lớnnhất.
Tacóphươngtrìnhcủađường
1 1
B Clà
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 0 ( ) . ( ). . 0
(cos sin ). (cos sin ) 2 0.

i i
b c z b c z b c b c b c e z b c e z bc bc
i z i z

j j
j j j j

-
- - - + - = Û - - - + - =
Û - + - - =
.
Đường BCcóphươngtrìnhlà
1z mi = +
,
m Ρ
.
H
K
C'
B'
A'
C
B
A
O
Suyrađiểm P cótọavịthỏahệ
(cos sin ). (cos sin ) 2 0(1)
z=1 , (2)
i z i z
mi m

j j j j

ì
- + - - =
í
+ Î
î
¡
GọiplàtọavịcủaP,từ(2)suyra p=1+im.Thayvào(1)tađược
1 cos
(cos sin ). (cos sin ) 2 0 2cos 2 sin 2 0 .
sin
i z i z m m

j
j j j j j j
j

-
- + - - = Û + - = Û =
Suyrađiểm Pcótọavị
1 cos
1 . 1 tan
sin 2
p i i

j j
j

-
= + = +
.TươngtựQcótọavị
1 tan
1 sin
2
.
cos
1 tan
2
p i i

j
j
j
j

-
-
= + = +
+
Đặt
1
tan 1 , (0 1).
2 1
t
t p it q i t
t

j

-
= Þ = + = + < <
+
Tacó
2
2
1
| Im( ) | .
2 1
t t
S pq c p qc
t
- +
= + + =
+
Xéthàm
2
( ) ,0 1
1
t t
f t t
t
- +
= < <
+
.Tacó
2
2
2 1
'( )

( 1)
t t
f t
t
- - +
=
+
.
Cho
'( ) 0 1 2, 1 2f t t t = Û = - - = - +
.Lậpbảngbiếnthiêntađược
2
max 3 2 2S = - khi
1
1 2
4
t
j
= - + Û = ð.Dođó
1
min 4(3 2) 8( 2 1)S S = - - = -
1
4

j
Û = ð.
Vídụ3.2.Chotamgiác ABCcóbagócnhọn,nộitiếptrongđườngtròn(O,R).GọiA',
B',C'lầnlượtlàgiaođiểmthứhaicủacácđườngcaotamgiáckẻtừA,B,C vớiđường
tròn.Hãyxácđịnhkíchthước3cạnhtamgiác ABCđểdiệntíchcủalụcgiácAB'CA'BC'
lớnnhất.

Giải. Khôngmấttínhtổngquát,tachọnR=1 vàchọnhệtọađộOxy.GiảsửA,B,C có
tọavịa,b,c.GọiH làtrựctâmvàKlàguiaođiểmAHvớiBC,theomệnhđề1.8và1.7
suyraHcótọavịh=a+b+cvàKcótọavịlà
1 1
( ) ( ).
2 2
k b c h bch a b c cba = + + - = + + - Ta
cóA'làđiểmđốixứngvớiHquaBC.Thậtvậy,giảsửA
1
làđiểmđốixứngvớiHquaK.
SuyraKlàtrungđiểmcủaHA
1
,dođó A
1
cótọavị
1
2a k h cba = - = .Suyra
1 1
2 ( )( ) 1a k h cbaa a cba bca = - = = - - = ,dovậy
1
( , )A O R Î .
Tacó
: ( ) ( ) ( ) 0AH a h a h z ah ah - - - + - =
( ) ( ) ( ) 0b c z b c z ab ac ab ac Û - - + + + + - - =
.
Dễdàngkiểmtratọavịcủa A
1
thỏamãnphươngtrìnhAH.
Suyra
1

A AH Î >Vậy
1
( , )A AH O R = I ,dođóA
1
trùngvớiA’
vàtacóđiềuphảichứngminh.
TươngtựB'làđiểmđốixứng H quaACvàC làđiểmđốixứng HquaAB
Gọi
1
,S S lầnlượtlàdiệntíchcủalụcgiácAB'CA'BC'và ABCV từcáckếtquảtrêntacó
1
2 .S S =
Theokếtquảcủavídụ1.2,tacó
2 2 2 2
9AB BC CA R + + £ .(1)
Theokếtquảcủavídụ2.3,tacó
2 2 2
1
4 3
AB BC CA
S
+ +
£ (2)
Từ(1)và(2),suyra
2 2
1
9 3 3
4
4 3
R R

S £ =
,dấu=xảyrakhivàchỉkhixảyradấubằngở(1)
và(2)
xảyra,haykhiAB=BC=CA= 3R .Vậymax(S)=
2
3 3
4
R
khivàchỉkhitamgiácABC
đềucạnh 3R .
x
C
E
RP
M
Q
D
S
B
y
A
Vídụ3.3.ChotamgiácABCđều,Mlàđiểmtùyýnằmbêntrongtamgiác.GọiS,S
1
lần
lượtlàdiệntíchtamgiácABCvàdiệntíchtamgiáccóbacạnhMA,MB,MC.Chứng
minhrằng
1
3
S
S £ .

Giải.Chọnhệtọađộ Bxy,quađiểm Mvẽbađườngthẳngsongsongvớicáccạnhcủa
tamgiácABClàPQ,DE,R.Đặt BP=x,PR=y,RC=t,BC=a.
Suyra x+y+t=a với x,y,t,a dương.Khiđó
B,P,R,Clầnlượtcótọavịz
1
=0,z
2
=x,z
3
=x+y,
z
4
=x+y+t=a.DocáctamgiácMPR,MSD,MQEđềuvà
BPMD làhìnhbìnhhành,nêntacóBD=x,SA=t,DS=x.
SuyraD,Alần lượtcótọavị
0 0
5
1 3
(cos60 sin60 )
2 2
z y i y i y = + = + ;
6
1 3
2 2
z a i a = + .Do BM BD BP = +
uuuur uuur uuur
.SuyraMcótọavị
7
1 3
2 2

z x y i y = + + .Tacó
SA
uur
cótọavị
0
1 3
( ); :
2 2
SA
z t i T M Q = + ®
uur
.SuyraQcótọavị
8 7 0
1 1 3 3
( ) ( )
2 2 2 2
z z z x y t i y t = + = + + + +
.Tacó
2 2 2
2 3
( ) ( )
2 2
BM x y y y = + - + .Suyra
2 2
BM DR x xy y = = + +
.TươngtựDQ=AM,QR=CM.SuyraDQRlàtamgiáccóba
cạnhMA,MB,MC.
TacódiệntíchcủatamgiácABClà
2
6 4

1 1 1 3 3
| Im( ) | | Im( ) |
2 2 2 2 4
S z z a i a a a = = + =
DiệntíchcủatamgiácDQRlà
2
5 8 3 5 8 3
1 3
| Im( ) | ( ).
2 4
S z z z z z z xy yt tx = + + = + +
Dox, y,t dương,nêntacó
2 2 2 2 2
3( ) ( )xy yt tx x y t xy yt tx x y t a + + £ + + Þ + + £ + + = .
2
3 1 3
( ) .
4 3 4
xy yt tx a Þ + + £
Vậy
1
3
S
S £ .Dấubằngxảyrakhix=y=t hayM làtâmcủatamgiácABC.
III.KẾTLUẬN
Chuyênđềđãtrìnhbàysựbiểudiễndạngphứccủamộtsốyếutốhìnhhọc.Từđó
đưaramộtsốphươngphápgiảimộtsốbàitoánvềbấtđẳngthứchìnhhọcvàcựctrị
hìnhhọc.Thôngquacácbàitoánminhhọa,chuyênđềđãnêuđượccácthếmạnhcủa
phươngphápsốphứcsovớicácphươngphápkháckhigiảibàitoánhìnhhọcvàcựctrị
hìnhhọc.Cóthểlờigiảiởmộtsốbàitoánkhôngđượcngắngọnsovớiphươngpháp

thôngthường.Songchúngtôihyvọngchohọcsinhcómộthướngsuyluậnkhác.Quađó
chúngtathấyđượckhảnăngmạnhmẽcủasốphứcnóiriêngvàsựđadạngcũngnhưvẻ
đẹpcủatoánhọcnóichung.
Tuynhiêncũngnhưmọiphươngphápkhác,phươngphápsốphứckhôngthểthích
hợpchomọibàitoánbấtđẳngthứchìnhhọcvàcựctrịhìnhhọc.Chínhvìvậy,chuyên
đềchủyếuđisâuvàocácbàitoánhìnhhọcphẳngcóyếutốvềdiệntích,khoảngcách,tỉ
số, 
IV.TÀILIỆUTHAMKHẢO
[1]NguyễnHữuĐiển(2000), Phươngphápsốphứcvàhìnhhọcphẳng,NXBĐạihọc
quốcgiaHàNội.
[2]NguyễnHữuĐiển(2001),Phươngphápgiảicácbàitoáncựctrịtronghìnhhọc,
NXBKhoahọckỹthuậtHàNội.
[3]NguyễnPhụHy,NguyễnQuốcBảo(1996), ứngdụngsốphứcđểgiảitoánsơcấp,
NXBGiáodục.
[4]ĐoànQuỳnh(1997), Sốphứcvớihìnhhọcphẳng,NXBGiáodục.
[5]NguyễnvănMậu,TrầnNamDũng,ĐinhCôngHướng,TạDuyPhượng, Biếnphức
địnhlývàápdụng,ĐạihọcquốcgiaHàNộiTrườngĐHkhoahọctựnhiên(Tàiliệubồi
dưỡnghè2009).
laisacxinlỗicôTâmvìkhônglàmđúnglờinhắndướiđâycủacô:
EmgởibàinàychoThầyđọcthôi,Thầyđừngđưalênmạngnghen. Emrấtngạiđiềuđólắm,vìchưatự
tinnhiều,chắccónhiềuđiềuthiếusót 
Nhưnglaisacxinđạidiệncácbạnđãđọcbàinày, vớilờicảmơncôTâmrấtnhiềucho
bàiviếthaynàyhehehehe