108 bài toán tổ hợp – phương pháp

❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▲ñ✐ ✭❝❤õ ❜✐➯♥✮✲ ◆❣æ ❚❤à ◆❤➣


/>
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙


/>


ỳ ớ tự
ớ õ ú tổ ồ ữủ ợ t
P ừ ởt số t ỹ ồ tứ q

t t tờ ủ tt ồ ữớ t tt



ổ ởt số ợ P t t
ọ ữủ tr ớ ú s ữớ t ữủ tổ
số


ớ ọ
t ọ số tứ tứ t ọ t ọ
số

x 1

ỵ tt tr tr

tr ớ t ồ số tứ
ỡ số ữ t õ số

0, 1, 10, 11, 100, . . . ., 1111

ữ

ú t ổ ứ ừ t số tứ tỹ
t

0000, 0001, 0010, 0011, . . . ., 1110, 1111

tỹ tr tự ọ ữ ợ

t ọ

i = 1, 2, 3, 4

tr ớ õ t ỳ số t ữủ số t
s ọ tổ tữớ
số t õ rỗ t ọ ố t õ tr õ
t ữủ tổ t t õ ự số t t
õ t tử ọ trữợ
ụ r số ọ tt ổ t t ỡ
ộ tr ởt ọ




/>

ớ õ t tờ qt õ õ t t

2k1 < n 2k

t

ọ
ụ ởt tt t ỡ tr ồ t

ổ số ỳ ọ ọ

ú s õ t t số tổ
ớ ọ

ỷ ử t q ừ tr t t õ số
25 < 45 < 26 ọ

C10 2 = 45



ú ợ ữ tờ ủ tr ỹ ớ ỳ ổ tữ
ứ ữ ổ ũ r rố ộ tr t ồ ỡ
ỗ t ổ ỏ õ õ tt t ỡ

r

ớ 8 ì 8 õ ỳ t

ớ C92 ã C92 = 36 ã 36 = 1296
õ tú õ t t t số t
C9 2 số t ồ C9 2 ụ õ t ồ ớ
t số ồ ữớ t số ồ ữớ
t ồ

ú t s ự t tú ỡ t t ỳ t
ổ r ớ 8 ì 8 õ ổ
ổ ớ t ũ ở ợ
t ũ ở ữ ồ s õ ổ tự õ t rở
ớ tữợ

n ì n
S = 12 + 22 + ã ã ã + 82 .

r õ q s õ ố q

s ổ õ q ự

ớ õ C83 ồ ũ t tữỡ ố õ
t ợ s ớ tr t
ở ữủ q tr ố q s t ổ
t s t s

r õ q s õ



/>

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✤➸ ✤➦t t❤➯♠ ✸ q✉②➸♥ s→❝❤ s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ q✉②➸♥ ♠î✐ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝â ❤❛✐ q✉②➸♥ ♥➔♦
✤ù♥❣ ❝↕♥❤ ♥❤❛✉❄
❚ø ✤➙② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ trð ♥➯♥ r➜t ✤ì♥ ❣✐↔♥✳ ●✐ú❛ ❝→❝ q✉②➸♥ s→❝❤ tr➯♥ ❣✐→
❝â tê♥❣ ❝ë♥❣ ✽ ✈à tr➼ trè♥❣ ✭tr÷î❝ ✈➔ s❛✉ ❤➔♥❣ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ✤➦t✮✳ ❈❤➾ ✈✐➺❝ ❝❤å♥
3
r❛ ✸ ✈à tr➼ ✤➸ ✤➦t s→❝❤ ♠î✐ ✈➔♦✳ ❑➳t q✉↔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ❧➔ C8 = 56✳

❈→❝❤ s✉② ♥❣❤➽ ✤✐ ♥❣÷ñ❝ ❝❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❤÷ ❜➔✐ tr➯♥ ❣ñ✐ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ♠ët ♣❤♦♥❣
❝→❝❤✿ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❘❯❨ ❍➬■✳
❇➔✐ t♦→♥ s❛✉ t❤➸ ❤✐➺♥ r➜t rã t→❝ ❞ö♥❣ ❦❤â t❤✐➳✉ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔②✳

❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ✤✐ ❧➯♥ ♠ët ❝➛✉ t❤❛♥❣ ✽ ❜➟❝ s❛♦ ❝❤♦ ♠é✐ ❧➛♥
❝❤➾ ✤÷ñ❝ ❜÷î❝ ✶ ❤♦➦❝ ✷ ❜➟❝❄
❇➔✐ ✶✷✭◗✶✮✳

▲í✐ ❣✐↔✐✳
❚❛ ❜➢t ✤➛✉ tø ❜➟❝ t❤ù ✽ ✭t❤ù ♥✮✳ ✣➸ ❜÷î❝ ✤÷ñ❝ ❜✉î❝ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ✤➳♥ ❜➟❝ ✽ ✭❜➟❝

n − 1✮ ❤♦➦❝ ❜÷î❝ ✷ ❜➟❝
❧✐➲♥ tø ❜➟❝ ✻ ✭tø ❜➟❝ n − 2✮✳ ❱➟② sè ❝→❝❤ ✤➳♥ ❜➟❝ ♥ ✭✈î✐ F (n) ❜➡♥❣ tê♥❣ sè ❝→❝❤
tø ❜➟❝ (n − 1) ✈➔ tø (n − 2)✮✳ ◆➳✉ ð ❜➟❝ ✵ ❧➔ ♠ët ❝→❝❤✱ t❤➻ tø ✵ ✤➳♥ ❜➟❝ ✶ ❝â ✶

♥✮ ❝â ❤❛✐ ❝→❝❤✿ ❤♦➦❝ ❜÷î❝ ♠ët ❜÷î❝ tø ❜➟❝ ✼ ✭❜➟❝ t❤ù

❝→❝❤✳ ❚ø ✵ ❧➯♥ ❜➟❝ ✷ ❝â ✶✰✶❂ ✷ ❝→❝❤ ✈➔ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr✉② ❤ç✐✿

F (n) = F (n − 1) + F (n − 2)
✣➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❋✐❜♦♥❛❝✐ ♥ê✐ t✐➳♥❣✳

Ð ❝→❝ ♥÷î❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ❜➢t ✤➛✉ tø ❝✉è✐ t❤➳ ❦➾ ❳❳ ✤➛✉ t❤➳ ❦➾ ❳❳■ ♠ët tr➔♦ ❧÷✉
❝❤↕② ✤✉❛ ♥❣➛♠ ♥❤÷♥❣ ✈æ ❝ò♥❣ s✐♥❤ ✤ë♥❣ ✤❛♥❣ ❞✐➵♥ r❛ ❣✐ú❛ ❝→❝ q✉è❝ ❣✐❛✿

✣÷❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤ ✈➔♦ tr÷í♥❣ ♣❤ê t❤æ♥❣✳
✣➙② ♠î✐ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✏♠➺♥❤ ❧➺♥❤ tè✐ ♠➟t✑ ❝õ❛ ❝✉ë❝ ❝↔✐ ❝→❝❤ ❣✐→♦ ❞ö❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ✤❛♥❣
❞✐➵♥ r❛ ✈æ ❝ò♥❣ ❣➜♣ rót t↕✐ ❝→❝ ❝÷í♥❣ q✉è❝✳ ◆÷î❝ ♥➔♦ töt ❤➟✉ tr♦♥❣ ❝✉ë❝ ❝❤↕②
✤✉❛ ♥➔②✱ q✉è❝ ❣✐❛ ✤â ✈➽♥❤ ✈✐➵♥ ❜à ①➳♣ ✈➔♦ ✏❤↕♥❣ s❛✉✑ ♠➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✈è♥ ✤➣
①❛ ❝→❝❤ ♥❛② ❝➔♥❣ ♥î✐ rë♥❣ ✳✳✳✳
◆÷î❝ t❛ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥÷î❝ ♥❣❤➧♦ tr✐ t❤ù❝✱ ✤➣ ✤➳♥ ❧ó❝ ❝♦♥ ❝❤→✉ ♠➻♥❤ ❝➛♥ ♣❤↔✐
t✐➳♣ ❝➟♥ ✈î✐ ❦❤♦❛ ❤å❝ t❤➳ ❣✐î✐ ♠➔ ❝ö t❤➸ ✤â ❧➔ tr➔♦ ❧÷✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✱ ♥➳✉
❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤æ♥❣ ♠✉è♥ t❤ü❝ sü ❧➔ ❧ü❝ ❧÷ñ♥❣ ❤↕♥❣ ❤❛✐✦

✸


▼Ö❈ ▲Ö❈

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

▼ö❝ ❧ö❝
✶ ❇✐➸✉ ✤ç ❱❡♥♥ ✕ ▲♦❣✐❝

✺

✷ ◆❣✉②➯♥ ❧þ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✭❝❤✉ç♥❣ ✈➔ t❤ä✮ ■✳

✻

✸ ◆❣✉②➯♥ ❧þ ❞✐r✐❝❤❧❡t ■■

✽

✹ ❈→❝ ❜➔✐ ❚♦→♥ tr➯♥ ❜➔♥ ❝í✳

✶✷

✺ ❍➻♥❤ ❤å❝ tê ❤ñ♣

✶✸

✻ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ sè ❤å❝✳

✶✺

✼ ❚rá ❝❤ì✐ ✕ ●❛♠❡s

✶✻

✽ ◗✉② ♥↕♣

✶✽

✾ ❚ê♥❣ ❤ñ♣

✶✾

✶✵ ❚❤➯♠ t❤➯♠

✷✷

✶✶ ◆❤ú♥❣ ✈✐➯♥ ♥❣å❝ ❝õ❛ ①ù sð ❦✐♠ ❝÷ì♥❣

✷✺

✹


/>




ỗ

ỳ số tỹ tứ 1000 õ số t
t t ởt số

ú ởt số

t t số

ú số

tứ số

2, 3, 5

õ số tố ũ ợ ổ q
õ số õ

ỳ số

ố ỳ số

t r ỳ số ừ õ

ỳ số

1, 2, 3 ữ tt õ t t t ởt

õ số õ ỳ số tr ỳ số ừ õ ỳ số
t t õ ởt số t



ữớ t số tỹ tứ

10000

õ ữớ t õ

số õ ự ỳ số ọ số õ số ỏ õ
ỡ

ổ ú ỵ ỗ ử ừ r õ t tờ
t
2

1m2

ộ t
30dm s 20dm2 ọ õ tỗ t ổ
2
ừ t t 3dm

õ ọ tữ s ổ
õ õ ú ừ tữ ỷ
2
3
4
0
số 5! 5.4! + C 5 .3! C 5 .2! + C 5 .1! C 5 .0!



/>




ủ ỗ ỗ q ởt trỏ ọ õ

s ổ ỗ ỗ s
ữủ tứ q ổ t
5
4
3
2
số 9! 5.2.8! + C 5 .22.7! C 5 .23.6! + C 5 .24.5! C 5 .25.4!

ởt t ồ tr tr
ọ ổ ừ ỳ ộ ổ t ờ tự tỹ
s ổ ổ õ t ổ q trữợ õ
t t õ t ỳ ọ õ s
ổ ổ ố ổ
5
4
3
2
số 7! 6.6! + C 6 .5! C 6 .4! + C 6 .3! C 6 .2!

+ C 6 6 .1!



ỵ rt ỗ tọ



t õ t số tố s ỳ

ú ự t số õ tờ ởt số tố

õ t ổ ừ 5 ì 5 số s tờ
số ộ ộ ởt

sỷ r ỳ ởt số ỗ t õ
tr ú tỗ t ỗ t
s
số õ ớ tr r

/>



ứ số t ổ t ữủ số õ tờ t
ứ số t ổ t ữủ số õ tờ t
ứ số t ổ t ữủ số õ tờ t

r ữợ ổ ổ õ ổ ọ ữủ tổ ọ tứ
ổ ữủ tổ õ ổ t ữủ ổ s ổ
õ ổ

ữợ t ữợ t ỳ ớ 2 ì 2
tr tữỡ ố t số
ứ số ữỡ t õ t ồ ữủ số s ừ
ú t






tr ừ số

õ ở số t ở số

t ỏ ũ

ữợ ố ở ỳ số ỳ số s ừ số ổ
õ số ữỡ ọ ỡ tr t
ừ số õ ỳ số tr õ t t số



õ số tỹ õ tờ ự r õ số õ

tờ tố t



õ số ữỡ ọ ỡ tr t

ừ số õ ỳ số tr õ t t số



õ ọ ộ ữủ ởt số tứ

ố t r ố s tờ số
tờ số ừ ử

(1) + (7) = (3) + (5)

ữ rt t tt ọ ợ ỏ ổ
ỏ tỹ ữủ ổ

ỡ tr t ọ tỗ t
ũ õ




/>
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✷✷✳ ❙ì♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜➡♥❣ ✸ ♠➔✉✳ ❈❤➾ r❛ r➡♥❣ ❝â ♠ët ♠➔✉ ♥➔♦ ✤â
❝â ✈æ sè ✤✐➸♠ ✤÷ñ❝ sì♥✳

✷✸✳ ❙ì♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜➡♥❣ ✷ ♠➛✉✳ ❈▼❘ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ ♥ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱
tç♥ t↕✐ ✤❛ ❣✐→❝ ❧ç✐ ❝â ♥ ✤➾♥❤ ❝ò♥❣ ♠➔✉✳

✷✹✳

❛✮ ❙ì♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➡♥❣ ❤❛✐ ♠➛✉✳ ❈▼❘ tç♥ t↕✐ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝â ❝→❝

✤➾♥❤ ✤ç♥❣ ♠➛✉✳
❜✮ ●✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈î✐ ♥ ♠➛✉❄
❝✮ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ❛✮ ✈➔ ❜✮ ♥â✐ tr➯♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ✈î✐ ♠ët sè ❦
❝è ✤à♥❤ ✭♥❤✐➲✉ ❤ú✉ ❤↕♥✮ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✤÷ñ❝ sì♥ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣✱ ❝ò♥❣ ✤➲✉ ❝â ❤➻♥❤
❝❤ú ♥❤➟t ❝â ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝ò♥❣ ♠➛✉✳ ❍➣② ❝❤➾ r❛ sè ❦ tr♦♥❣ tø♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣✳
✣→♣ sè✿ ❛✮ ▲÷î✐ æ ✈✉æ♥❣

3×7

❚▼✣❑ ♥➔②✳

❜✮ ▲÷î✐ æ ✈✉æ♥❣ ❦➼❝❤ t❤÷î❝

✷✺✳

(n + 1)(n.C 2 n+1 + 1)✳

❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤æ✐ ♠ët ❝õ❛ t➟♣ ♥❤✐➲✉ ✈æ ❝ò♥❣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ô♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉ ✈æ

❝ò♥❣ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳

✷✻✳

❛✮ ❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❧÷î✐ æ ✈✉æ♥❣ ❝â t❤➸ ❝❤♦ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✤✐➸♠

♥ót ❧÷î✐ ✤➸ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♥ót
❧÷î✐✳
❜✮ ❈ô♥❣ ❝➙✉ ❤ä✐ ✤â ✈î✐ ❤➺ ❧÷î✐ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣✳

✷✼✳ ❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ ✸✵✵ ✤ì♥ ✈à ❝❤♦ ✶✵ ✤✐➸♠✳ ❈▼❘ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣ t➻♠ ✤÷ñ❝
✷ ✤✐➸♠ ❝â ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ♥❤ä ❤ì♥ ✶✹✷ ✤ì♥ ✈à✳

✷✽✳

❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ ✼✵ ❝♠ ❝â ✈➳t ❝õ❛ ✺✵ ♣❤→t ✤↕♥✳ ❍➣② ❝❤➾

r❛ r➡♥❣ ❝â ❤❛✐ ✈➳t ✤↕♥ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ❦❤æ♥❣ q✉→ ✶✺ ❝♠✳

✷✾✳ Ð ❣✐↔✐ ❜â♥❣ ✤→ ❱✲▲❛♥❞✐ s➙♥ ❜â♥❣ ❝â ❝❤✐➲✉ rë♥❣ ✸✾♠✱ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ✾✶♠✳ ❈▼❘
tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤✐ ✤➜✉ ❧✉æ♥ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ ❝➛✉ t❤õ ❝â ✈à tr➼ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ❦❤æ♥❣ q✉→
❛✮ ✶✾ ♠

✸✵✳

❜✮ ✶✺ ♠✳

❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ ✤ì♥ ✈à ❝❤♦ ✺✶ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦➻✳ ❈▼❘ tç♥ t↕✐ ✸ ✤✐➸♠

♥➡♠ tr♦♥❣ ♠ët ✈á♥❣ trá♥ ❜→♥ ❦➼♥❤

1
✳
7

✽


/>




ỵ rt



r ổ ổ

100 ì 100

ữớ t ởt tr số

1, 2, 3



ổ ổ ọ s õ t tờ số ừ tứ tứ ởt ữớ
rỗ r t t q ổ t ữủ số

ứ ừ ởt õ t ồ ữủ ổ
s t tr õ
ổ

õ ởt ởt t t ởt t q
ữớ t ố t õ ố ữủ tứ
ũ số ữủ q t t ồ ỳ q õ ố ữủ
ữ t t t q

é ủ trớ ứ t

ữớ t tữớ ởt

t t ởt t ổ q q ố trồ ữủ
tứ từ ủ ũ ỳ q ữ t
t t q
số q

é ủ trớ ữớ t tữớ sỷ ử

ổ q q t t ữớ t tữớ t ởt
q ởt t õ t t t ởt q
ố trồ ữủ tứ từ ủ ũ
ỳ q ữ t ố t q
số q




/>


số tỷ



(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

ữủ t tờ

ừ số tỷ tr ộ õ ỳ số õ t

(0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0) tờ ữủ tỹ tr tứ tỷ
(0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0) + (1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1) = (1, 2, 2, 0, 1, 3, 3, 0, 1) ọ t t

ử

ũ số tọ tr
số t t t ủ

ởt ỳ t õ ữớ t t ỳ
t ọ õ ở số ự r õ õ
t tr ỳ t

r t ổ õ t
t ố ữủ sỡ ọ ự r tr
tr ổ ồ ữủ t t tứ õ số t ọ t
t

tr ởt õ ữớ ổ ổ ồ ữủ ữớ ũ q
ũ ổ q

õ ồ tr ờ ợ tự t P t
ữớ tr ờ ởt tự t ổ ồ ữủ ữớ
tr ờ ợ ũ ởt tự t



õ t ữớ ũ ởt t

t ỗ t õ ổ t t r ộ ữớ
ởt t ự r õ
ợ ũ t

r ởt t ụ õ ỏ ừ ọ ỗ

tr ờ ổ õ ỏ ũ ở tờ
ũ ổ t ổ t ữủ ỏ ũ ổ ũ ở tờ
ũ ởt

r ởt t t ữớ ữớ ụ q ữớ r
r ự ữớ t ý õ t t ởt ữớ q




/>




t õ tr t q

(1, X, 2)

ỡ t t

tr ỡ õ t t ởt ởt õ t t t q ú



ự r tr ởt ỗ t ổ tỗ t

ởt ữớ ổ s s ợ t ừ

ữợ ộ õ ổ q ữớ s s ợ õ



ởt ớ

12 ì 12

õ ởt số ổ ữủ sỡ tr

ừ ộ ổ õ t ữủ t ờ s ữủ tr ộ ữủt ữớ
t ờ ởt ởt ởt ọ tr ồ trữớ ủ ổ õ t
ờ s ớ ố ũ ỏ t
số õ ổ t tỹ ữủ

r ổ ừ ớ ữủ số ộ ữủt ữớ t t
tr ừ ởt

3ì3



4ì4

ộ ổ ởt ỡ ọ ử tt

ổ õ tr t õ ổ ổ t ữủ ổ

3 ì 3 4 ì 4 ộ õ
1036 + 25 = 1061 õ t t ữủ

ữợ ổ t õ
ờ õ õ õ t t t
ứ ổ õ õ



r ởt trữớ ồ ữớ t ồ s ở

ữớ ởt ồ s õ t t ở ổ t t ự ở
ố ở õ t ồ s ỏ s
tr ỏ ộ ở õ ữớ ừ
số õ t




/>
✹

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

❈→❝ ❜➔✐ ❚♦→♥ tr➯♥ ❜➔♥ ❝í✳

✹✾✳ ❚r➯♥ ❜➔♥ ❝í ✈✉❛ ❝â t❤➸ ✤✐ q✉➙♥ ♠➣ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ✈➔♦ ♠é✐ æ ♠ët ❧➛♥ rç✐ q✉❛② ❧↕✐
✈à tr➼ ❜❛♥ ✤➛✉❄ ❈→✐ ❣➻ ①↔② r❛ ✈î✐ ❝→❝ ❜➔♥ ❝í

✺✵✳

❚r➯♥ ❜➔♥ ❝í

5×5

4 × 4, 5 × 5, 8 × 8✳

♠é✐ æ ❝â ♠ët ❝♦♥ ❝→♥❤ ❝❛♠✳ ❙❛✉ ❤✐➺✉ ❝á✐ ❝→❝ ❝♦♥ ❝→♥❤

❝❛♠ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ♠ët æ ❝â ❝❤✉♥❣ ❝↕♥❤ ✈î✐ æ ✈ø❛ ✤ù♥❣✳ ▲✐➺✉ s❛✉ ❦❤✐ ✤✐ ♠é✐ æ
❝õ❛ ❜➔♥ ❝í ✈➝♥ ❝â ♠ët ❝♦♥ ❦❤æ♥❣❄

✺✶✳ ▼ët ❜➔♥ ❝í 8 × 8 ð ❤❛✐ ❣â❝ ✤è✐ ❞✐➺♥ ♠é✐ ❣â❝ ♠ët q✉➙♥ ❝í✳ ❍ä✐ ❝â t❤➳ ♣❤õ
❦➼♥ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❜➔♥ ❝í ❜➡♥❣ ♥❤ú♥❣ q✉➙♥ ✤♦♠✐♥♦ ❦➼❝❤ t❤÷î❝

1 × 2❄

✺✷✳ ▼ët ❜➔♥ ❝í ð ♠ët ❣â❝ ❝â ♠ët q✉➙♥ ❝í✳ ❍ä✐ ❝â t❤➳ ♣❤õ ❦➼♥ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛
❜➔♥ ❝í ❜➡♥❣ ♥❤ú♥❣ q✉➙♥ ❞♦♠✐♥♦ ❦➼❝❤ t❤÷î❝

✺✸✳

1 × 3❄

❈â t❤➸ ✤➦t ♠ët q✉➙♥ ❝í ✈➔♦ ❜➔♥ ❝í ✤➸ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝â t❤➸ ♣❤õ ❦➼♥ ❜➡♥❣

♥❤ú♥❣ q✉➙♥ ❞♦♠✐♥♦ ❦➼❝❤ t❤÷î❝

1 × 3❄

✺✹✳ ❈â t❤➸ ♣❤õ ❜➔♥ ❝í 10 × 10 ❜➡♥❣ ❝→❝ q✉➙♥ ❞♦♠✐♥♦ 1 × 4❄
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✿ P♦❧✐♠✐♥♦ ❧➔ ❤➻♥❤ ✤÷ñ❝ ❣❤➨♣ ❧✐➲♥ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ✤ì♥ ✈à✳

✺✺✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ q✉➙♥ ♣♦❧✐♠✐♥♦ ❝â ❜➲ ♠➦t ✹ ✤ì♥ ✈à ✭❣❤➨♣ ❝↕♥❤ ✈î✐ ❝↕♥❤ ❜➡♥❣
✹ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣✮✳
✣→♣ sè✿ ✺ ❤➻♥❤✳

✶✷


/>


t q ỡ ộ q sỷ ử ởt õ t
ữủ ởt ỳ t ổ
số ổ ữủ ú ỵ P ỳ tổ ớ

õ q ỡ
số q

ứ tt q ỡ ộ q sỷ ử ởt õ t
ữủ ởt ỳ t ồ ỳ t õ
tữợ số ữủ



10 ì 6



5 ì 12

ồ tờ ủ

r t ổ õ t
ỗ t ởt ữớ t r t tứ ỏ
ỗ t ữớ trỏ ự ú tr

tờ qt tr t ổ õ t
tỗ t ởt ỏ trỏ q t t ổ ự
tr



tờ qt tr t ổ ũ tr ởt ữớ

trỏ õ t ồ r s ữớ trỏ q ỏ
õ tr ởt tr ởt




/>




tờ qt tr t ố tt

ỳ t õ t sỡ t s tứ ộ
ổ õ t t ổ

tờ qt tr t õ t sỡ s

ố ũ t õ t
t ổ t

r t tờ qt ọ õ t t
ữớ t tứ



ữớ t q tr t ữủ

s tr õ t t

ữớ t t ữớ ừ ữớ t ọ
ữớ õ t õ t
số



40 + 60 + 10 = 110



t ởt ỗ sỷ ổ õ ữớ ỗ q ọ

ữớ t t
4
số C 10 .

tr t ữớ trỏ sỡ ỳ t ợ
trỏ s ỳ t õ
trỏ t õ sỡ



ởt tổ ở ỳ t ởt t t

ởt t t Ptr ữủ t ởt t t ởt ữớ
t t ữủ tt ọ t õ
t ữủ

ữớ t t t t




/>
✻

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

❈❤✉②➯♥ ✤➲ sè ❤å❝✳

✼✶✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 10 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣
❝→❝ sè ♥➔② ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sè ✤➲✉ ❝❤♦ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ♥❤❛✉❄

✼✷✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 10 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣
❝→❝ sè ♥➔② tê♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sè ✤➲✉ ❝❤♦ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ♥❤❛✉❄

✼✸✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣
❝→❝ sè ♥➔② tê♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sè ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ✤➣ ❝❤å♥❄

✼✹✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣
❝→❝ sè ♥➔② ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sè ❦❤æ♥❣ ❧➔ ✼❄

✼✺✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣
❝â sè ♥➔♦ ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝→❝ sè ❝á♥ ❧↕✐❄

✼✻✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣
❝â ✷ sè ♥➔♦ ♠➔ ♠ët sè ❧➔ ÷î❝ ❝õ❛ sè ❦✐❛❄

✼✼✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣
❝â ✷ sè ♥➔♦ ♠➔ ♠ët sè ❣➜♣ ✷ ❧➛♥ sè ❦✐❛❄

✶✺


/>


ứ số

1, 2, 3, ã ã ã , 20



õ t ồ t số s t

ừ ú ổ t

ọ ởt số tr số 1, 2, 3, ã ã ã , 10 s tứ số ỏ õ t
t õ t số tr ộ õ ố số

ọ ởt số tr số 1, 2, 3, ã ã ã , 16 s tứ số ỏ õ t
t õ t số tr ộ õ ố số






rỏ ỡ s

ởt ỗ ữớ ỡ ồ t ố ữớ

s ỳ ữớ ợ ố ổ t ữớ õ
tr ừ ữớ t ữớ ổ t t tử t ọ ữớ
õ tt ổ t tr s
ữỡ ũ ố ự



õ ởt t sổổ ớ

8ì8

ổ tr tr

ở ữớ ỡ ữủt ữớ õ ồ ởt ổ rỗ t sổ ổ
tứ ổ õ s ố ữợ ữớ t ở ữớ ồ ổ
ở r tt t ổ ữớ t t tr




/>
✽✸✳

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❝â ♠ët ♠➛✉ ✤❡♥ ❤♦➦❝ ✤ä✱ ❤å t❤❛② ♥❤❛✉ tæ ♠é✐

❧➛♥ ✸ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët ❦❤è✐ ❤ë♣ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ❜➡♥❣ ♠➔✉ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ◆❣÷í✐ t❤➢♥❣ tr➟♥
❧➔ ♥❣÷í✐ sì♥ ✤÷ñ❝ ❝↔ ✹ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët ♠➦t ♥➔♦ ✤â ❜➡♥❣ ♠➔✉ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❍ä✐ ❛✐
❝â ❦❤↔ ♥➠♥❣ t❤➢♥❣ tr➟♥❄
✣→♣ sè✿ ◆❣÷í✐ ✤✐ t❤ù ✷ ❝â t❤➸ ❝ù✉ ✈➣♥ t➻♥❤ t❤➳ ❜➡♥❣ t❤õ ❤á❛✳

✽✹✳ ❚r➯♥ ❜➔♥ ❝í ❧÷î✐ æ ✈✉æ♥❣ 8 × 9✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ▼é✐ ❧➛♥ ✤➳♥ ❧÷ñt ♥❣÷í✐ ♥➔♦
✤✐✱ ♥❣÷í✐ ✤â ♣❤↔✐ ❝❤å♥ r❛ ✸ ✤✐➸♠ ❧÷î✐ ✭♥ót ❧÷î✐ æ ✈✉æ♥❣✮ ✤➸ ❝â t❤➸ ✈➩ ✤÷ñ❝ ♠ët
t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈î✐ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➣ ✈➩✳ ◆❣÷í✐ t❤➢♥❣ ❧➔ ♥❣÷í✐ ✤✐
s❛✉ ❝ò♥❣✳ ❆✐ ❝â t❤➸ t❤➢♥❣ tr➟♥❄

✽✺✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, . . . , 101 ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❧➜② ✾ sè✳ ❙❛✉ ✶✶ ❧➛♥ ✤✐
❝á♥ ❧↕✐ ✷ sè✳ ◆❣÷í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ t❤➢♥❣ ♥➳✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥➔② ❧➔ ✺✺✳ ▲✐➺✉ ♥❣÷í✐
✤➛✉ t✐➯♥ ❧✉æ♥ ❧✉æ♥ t❤➢♥❣ tr➟♥❄
✣→♣ sè✿ ❈â t❤➸✳

✽✻✳ ❚r➯♥ ❜➔♥ ❝â ✷✹ ✈✐➯♥ sä✐✳ ❈â t❤➸ ❧➜② ❦ ✈✐➯♥ (k > 0) ♥➳✉ ❦ ✈➔ sè sä✐ tr➯♥ ❜➔♥

♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ◆❣÷í✐ ❧➜② ✈✐➯♥ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔ ♥❣÷í✐ t❤➢♥❣
tr➟♥✳ ❆✐ ❝â t❤➸ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ◆➳✉ sè sä✐ t❤❛② ✤ê✐ ❝→❝ ❣✐→ trà ♥ ❦❤→❝ t❤➻ s❛♦❄

✽✼✳ P❡t❡r ✈➔ P❛❧ ❝ò♥❣ ❝❤ì✐✿ ❚r÷î❝ t✐➯♥ P❡t❡r ♥â✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❝â ♠ët ❝❤ú sè
❧î♥ ❤ì♥ ✶✱ s❛✉ ✤â P❛❧ ♥❤➙♥ sè ♥➔② ✈î✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❝â ♠ët ❝❤ú sè ❧î♥ ❤ì♥ ✶✳
❙❛✉ ✤â P❡t❡r ❝ô♥❣ ❧↕✐ ❧➔♠ ♥❤÷ ✈➟② ❧➜② ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ P❛❧ ♥❤➙♥ ✈î✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥
❝â ♠ët ❝❤ú sè ❧î♥ ❤ì♥ ✶✳ ❈✉ë❝ ❝❤ì✐ ❝ù t✐➳♣ tö❝ ♥❤÷ ✈➟② ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ ❝â ♠ët
♥❣÷í✐ ♥➔♦ ✤â ✤↕t ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔ ❧➔ ♠ët sè ❧î♥ ❤ì♥ ✷✵✵✵✳ ❍ä✐ P❡t❡r ♣❤↔✐ ❜➢t ✤➛✉
❜➡♥❣ sè ♥➔♦ ✤➸ ❧✉æ♥ t❤➢♥❣ tr➟♥❄

✽✽✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ▼é✐ ♥❣÷í✐ ❧➛♥ ❧÷ñt ❝❤✐➳♠ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥✳ ◆❣÷í✐ t❤➢♥❣ ❝✉ë❝
❧➔ ♥❣÷í✐ ❝❤✐➳♠ ✤÷ñ❝ tr÷î❝ ♠ët ❜ë ❝â ❜❛ ❝❤ú sè ❧✐➲♥ ♥❤❛✉✳ ❆✐ ❝â ❦❤↔ ♥➠♥❣ t❤➢♥❣
tr➟♥❄

✽✾✳

❈â ❤❛✐ ♥➢♠ sä✐ tr➯♥ ❜➔♥✳ ▼ët ♥➢♠ ✽ ✈✐➯♥ ✈➔ ♥➢♠ ❦✐❛ ✶✷ ✈✐➯♥✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐

❝❤ì✐✳ ▼é✐ ❧➛♥ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❝❤➾ ✤÷ñ❝ ❧➜② tø ♠ët ✤è♥❣ ♥➔♦ ✤â ✈➔✐ ✈✐➯♥ ✭➼t ♥❤➜t ✶
✈✐➯♥✮✳ ❍ä✐ ❛✐ ❝â ❦❤↔ ♥➠♥❣ t❤➢♥❣ tr➟♥❄

✶✼


/>


õ sọ tr ử õ 4, 6, 11, 15, 17, 18 ữớ
ỡ ộ ộ ữớ ữủ tứ ởt số ộ
ữớ t tr

t số ữỡ t tr t t ởt ỏ trỏ
số ỏ trỏ ọ số ữớ ỡ ộ ữớ ồ ởt
tr ỏ t ờ ộ s ổ t số ỡ trữợ õ
số õ ỏ ổ ợ ỡ số õ ỏ ọ ữớ t ữớ s
õ ọ số số ữớ t ở







õ t ổ t ủ ừ ởt t ủ tỷ ởt

ữớ trỏ s t õ ổ q ởt tỷ






H = {2, 3, . . . , n}

t tt ỳ t ủ ổ rộ ừ

tr ộ t ủ tt tỷ ợ rỗ tờ
ừ tr õ ọ t q ữủ ử t

1 1 1 1 1

1
1
3
+ + + + +
+
=
2 3 4 6 8 12 24 2

ữớ t ố ởt r ỷ sờ tt
t ữớ t t r rỗ ổ t
ỳ ự t tử ữ t ữớ t ỳ ừ t t ọ
õ ữỡ tỹ ữủ




/>
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✾✺✳ ❈❤✐❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ t❤➔♥❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤ä ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝❤✉♥❣ s❛♦
❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❝â ❜❛ ✤➾♥❤ ♥➔♦ t❤➥♥❣ ❤➔♥❣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ sè t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤ä ❝❤➾
❝â t❤➸ ❧➔ sè ❧➫✳

✾✻✳

❈â ❜è♥ ❜➔✱ ♠é✐ ❜➔ ❜✐➳t ♠ët ❝❤✉②➺♥ ♥❤÷♥❣ ❝❤➾ ❝â t❤➸ ♥â✐ ❝❤✉②➺♥ ✤÷ñ❝ ✈î✐

♥❤❛✉ q✉❛ ✤✐➺♥ t❤♦↕✐ ✤➸ tr❛♦ ✤ê✐ ✈î✐ ❜↕♥ ❝➙✉ ❝❤✉②➺♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ✭❤❛✐ ❝❤✐➲✉✮✳ ❍ä✐
❝➛♥ ➼t ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝ó ✤✐➺♥ t❤♦↕✐ ✤➸ t➜t ❝↔ ♠å✐ ♥❣÷í✐ ❜✐➳t ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❝➙✉ ❝❤✉②➺♥
❝õ❛ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ✭♠é✐ ❜➔ ❦➸ ❝❤✉②➺♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ❝❤✉②➺♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤❡ tø

❜➔ ❦❤→❝ tr÷î❝ ✤â✮❄

✾✼✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ tø ❝→❝ sè 1, 2, . . . , 3k ❧✉æ♥ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ 2k ❝→❝ sè ❦❤→❝ ♥❤❛✉
s❛♦ ❝❤♦ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝ë♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sè ✤÷ñ❝ ❝❤å♥ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ sè
✤➣ ❝❤å♥✳

✾✽✳

❛✮ ◆❤ú♥❣ sè ❝❤➤♥ ♥➔♦ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ✤÷ñ❝ t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ❝❤➤♥ ❞÷ì♥❣

✈➔ ❝→❝ sè ♥➔② ❧➔ ❤ñ♣ sè✳
❜✮ ❙è ❝❤➤♥ ♥➔♦ ❝â t❤➸ ✈✐➳t t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❜❛ sè ❞÷ì♥❣ ❧➫ ♠➔ ❝→❝ sè ♥➔② ✤➲✉ ❧➔
❤ñ♣ sè❄

✾

❚ê♥❣ ❤ñ♣

✾✾✳ ❛✮ ❍➣② ✤➦t ✶✺ ✤✐➸♠ ✤ä ❧➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët ❧ö❝ ❣✐→❝ s❛♦ ❝❤♦ ♠é✐ ❝↕♥❤ ❝â
sè ✤✐➸♠ ✤ä ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳
❜✮ ●✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✶✻ ✤✐➸♠✳
❝✮ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷✵✵✸ ✤✐➸♠✳
❞✮ ✶✺ ✤✐➸♠ ✤è✐ ✈î✐ ♠ët t❤➜t ❣✐→❝ ✭✼ ✤➾♥❤✮✳

✶✵✵✳

✣➦t ✶✵ ✤✐➸♠ ✤ä ✈➔ ✶✹ ✤✐➸♠ ①❛♥❤ ❧➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët ❤➻♥❤ ❧ö❝ ❣✐→❝ s❛♦

❝❤♦ tr➯♥ ♠é✐ ❝↕♥❤ sè ✤✐➸♠ ✤ä ❜➡♥❣ sè ✤✐➸♠ ①❛♥❤✳
✶✾

/>
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✶✵✶✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ t❤❛② ✤ê✐ ♥❤❛✉ ❤å ❣❤✐ ❝→❝ ❞➜✉ (−), (+) ✈➔♦ ❞➣② s❛✉ ✭❦➸ ❝↔
tr÷î❝ sè ✶✮✿

1 2 3 4 5 6 7 8 9
❛✮ ◆❣÷í✐ ❜➢t ✤➛✉ ❝❤ì✐ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ❧➔ ❦➳t t❤ó❝ ❜➡♥❣ tê♥❣ ✤↕✐ sè ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❝õ❛ ❞➣②
❦❤æ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ t❤➻ ❝è ❣➢♥❣ ✤➸ tê♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✳ ❍ä✐
♣❤↔✐ ❝❤ì✐ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦❄ ❆✐ ❝â ❧ñ✐ t❤➳ ❤ì♥❄
❜✮ ❚➻♥❤ tr↕♥❣ s➩ t❤➳ ♥➔♦ ♥➳✉ t❤❛② ✤ê✐ ✈❛✐ trá ♥❣÷í✐ ✤✐ ✤➛✉ t❤➢♥❣ ♥➳✉ tê♥❣
❦❤æ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✳

✶✵✷✳ ❑➳t t❤ó❝ ♠ët ❝✉ë❝ ❝❤ì✐ t➜t ❝↔ ♠å✐ ♥❣÷í✐ ❜➢t t❛② ♥❤❛✉ r❛ ✈➲✳ ●✐ú❛ ❝❤ø♥❣
❝â ♠ët ♥❣÷í✐ q✉❡♥ ❝õ❛ ♠ët ✈à ❦❤→❝❤ ✤➳♥ ✤â♥ ❜↕♥ ♥❣÷í✐ ✤â ❜➢t t❛② ✈î✐ ♥❤ú♥❣
♥❣÷í✐ ♠➔ ❛♥❤ t❛ q✉❡♥ ❜✐➳t✳ ❱➻ t❤➳ ❝â tê♥❣ ❝ë♥❣ ✻✽ ❝→✐ ❜➢t t❛②✳ ❍ä✐ ♥❣÷í✐ ♠î✐
✤➳♥ q✉❡♥ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ ❝✉ë❝ ❝❤ì✐❄

✶✵✸✳

❙→✉ ✤ë✐ ❜â♥❣ t❤❛♠ ❣✐❛ ♠ët ❣✐↔✐ ❜â♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤ë✐ ✤➲✉ ❣➦♣ ♥❤❛✉ ♠ët

❧➛♥✳ ❑➳t t❤ó❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ✤ë✐ ✤↕t ✤÷ñ❝

12, 10, 9, 8, 7

✈➔ ✻ ✤✐➸♠✳ ❍ä✐ ❜➯♥ t❤➢♥❣ tr➟♥

✤÷ñ❝ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✤✐➸♠ ♥➳✉ ❤á❛ ✤÷ñ❝ ✶ ✤✐➸♠✱ t❤✉❛ ✤÷ñ❝ ✵ ✤✐➸♠❄

✶✵✹✳
✤➲✉

❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✱ ♥❣÷í✐ t❛ t❤❛② ♥❤❛✉ ✈➩ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝õ❛ ♠ët ✤❛ ❣✐→❝

2000

✤➾♥❤✳ ❈➜♠ ❦❤æ♥❣ ✤÷ñ❝ ✈➩ ♥❤ú♥❣ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝➢t ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ✤➣

✈➩ tr÷î❝ ✤â✳ ◆❣÷í✐ t❤✉❛ ❧➔ ♥❣÷í✐ s❛✉ ❜÷î❝ ✤✐ ❝õ❛ ❛♥❤ t❛ t❤➻ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♠ët tù
❣✐→❝ ♠➔ ❝❤÷❛ ❝â ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ♥➔♦ ✤÷ñ❝ ✈➩✳ ❆✐ ❝â ❝❤✐➳♥ t❤✉➟t ✤➸ t❤➢♥❣ tr➟♥❄

✶✵✺✳

❈â ❤❛② ❦❤æ♥❣ ♠ët ❜✉ê✐ ❣➦♣ ♠➦t ♠➔ ❜➜t ❝ù ♥❣÷í✐ ♥➔♦ ❝ô♥❣ ❝â ✤ó♥❣ ✻

♥❣÷í✐ ❜↕♥ ✈➔ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ♥➔♦ ✤➲✉ ❝â ✤ó♥❣ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❜↕♥ ❝❤✉♥❣❄

✶✵✻✳

❛✮ ▲♦tt♦ ð ✈÷ì♥❣ q✉è❝ ◆❣å❝ ❆♥❤ tø ✼ sè ♥❣÷í✐ t❛ ❧➜② r❛ ✸ sè ❧➔♠ ❣✐↔✐

t❤÷ð♥❣✳ ❍ä✐ ♣❤↔✐ ♠✉❛ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈➨ ✤➸ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ✈➨ ❝â ✷ sè
tró♥❣ t❤÷ð♥❣ ✭♠é✐ ✈➨ ✤÷ñ❝ ✤→♥❤ ✸ sè tò② þ✮❄
❜✮ ❈ô♥❣ ð ✈÷ì♥❣ q✉è❝ ♥➔② ❝â ♠ët trá ❝❤ì✐ ❦❤→❝ tø ❜➞② sè ♥❣÷í✐ t❛ ❝❤➾ rót r❛
❤❛✐ sè ❧➔♠ ❣✐↔✐ t❤÷ð♥❣ ♥❤÷♥❣ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ tr➯♥ ♠é✐ ✈➨ ✤÷ñ❝ ✤→♥❤ ✸ sè✳ ❍ä✐ ❝➛♥
♠✉❛ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈➨ ✤➸ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ tró♥❣ ❣✐↔✐ ✭tró♥❣ ❝↔ ❤❛✐ sè✮❄

✷✵


/>




ồ ữủ ũ ợ t ổ ổ ỗ

ổ từ t ổ ổ t õ ỹ ởt sự r ố
ởt ự t r ởt ự ở
ộ ởt ổ t õ
ổ õ r ở tr t õ

é ữỡ qố ồ ữớ t tờ ự út r số tứ số
1, 2, 3, . . . ., 45
ữớ t t r ộ ổ ởt ởt
õ t r trữớ ủ ổ trú ở ọ ữỡ qố
õ t ổ
é ữỡ qố õ tt số số ọ õ
trú tữ t t số
ớ ự ồ t ờ ỡ tt tứ số rút r số
ọ ỡ ữủ t ữủ tt số
õ số số




/>

✶✵

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

❚❤➯♠ t❤➯♠

✶✵✽✳✶✳

❇↔♥ ✤ç ❞÷î✐ ✤➙② ❧➔ t❤❛♥❤ ♣❤è ❍❡♥r② P♦t❡r ✤❛♥❣ s✐♥❤ sè♥❣✳ ❍➺ t❤è♥❣

✤÷í♥❣ ❣✐❛♦ t❤æ♥❣ ❧➔ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝õ❛ ❧÷î✐ æ ✈✉æ♥❣✳ ▼é✐ ❦❤è✐ ♥❤➔ ❝â ❜➲ ♠➦t
✶✵✵♠✳ ❈→❝ ❜↕♥ ❝õ❛ P♦t❡r ð ❝→❝ ✈à tr➼ ❆✱ ❇✱ ❈✱ ❉ ✭tr➯♥ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❍ä✐ ❤å t➟♣
tr✉♥❣ ❤ë✐ ❤å♣ ❝❤é ♥➔♦ ✤➸ tê♥❣ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ♣❤↔✐ ✤✐ ❧➔ ➼t
♥❤➜t❄

✷✷


/>




ỗ ự ổ ổ õ t ố trỏ tr

ỗ ữớ tổ ữớ ố t ố t ố
õ õ ự ợ ú s ồ
ởt số t ố õ ỹ tr ự ọ s ổ õ t
ố tr ự ọ t q
ọ õ t t tr ự ọ ự ỹ

r ỗ ừ ỏ r õ t ố

ữớ tứ t ố s t ố ữủ tr sỡ ỗ
r ở ỡ t t tứ ởt t q t
ố rỗ q ỡ t t tr õ ọ t tt
t