Dao ham toan cap cap

CHƯƠNG 3:

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN




Đạo hàm
Bài toán mở đầu 1: Tìm tiếp tuyến của đường cong
Xét đường cong y=f(x).
Một điểm P(a,f(a)) cố định trên đường cong
Cho điểm Q(x,f(x)) chạy trên đường cong tới điểm P.
Nếu cát tuyến PQ dần
đến vị trí giới hạn Pt thì
đường thẳng Pt được
gọi là tiếp tuyến của
đường cong tại P
Tiếp tuyến có hệ số góc:
f ( x )  f (a )
m  lim
x a
xa
và đi qua P. Tìm được m, ta tìm được tiếp tuyến


Đạo hàm
Bài toán mở đầu 2: Tìm vận tốc thực của chuyển động
Xét một vật chuyển động trên đường thẳng.
Tại thời điểm t0 nó ở vị trí M0 với hoành độ s0 = s(t0)
Tại thời điểm t nó ở vị trí M với hoành độ s= s(t)
Ta tính được quãng

đường Δs = s – s0 trong
khoảng thời gian
Δt = t – t0.

M0

M

t0

t

Vận tốc trung bình là tỉ số Δs/ Δt. Vận tốc này sẽ càng
gần với vận tốc thực nếu khoảng thời gian càng nhỏ

s(t )  s(t0 )
s
v  lim
 lim
t 0 t
t t0
t  t0


Đạo hàm
Cả hai bài toán trên đều dẫn ta đến việc tính giới hạn
của tỉ số Δf/ Δx khi Δx→0. Tức là dẫn đến việc lập
hàm f(x) và tính đạo hàm của nó

Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định trong lân cận

của x0, đạo hàm tại x0 của hàm f(x) là
f ( x)  f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0 )  lim
 lim
x  x0
x 0
x  x0
x
Nếu giới hạn trên là hữu hạn
Các quy tắc tính đạo hàm
 f  g   f   g 

 f .g  

  g f
fg

  g f
 f  f g
g 
2
g
 


Đạo hàm
Bảng đạo hàm các hàm cơ bản
1
x 

x
x 
x

1/ a  a ln a  e  e
9 /  arccos x  
2
1

x
a 
2 / x  a.x a 1
1

1
1 10 /  arctan x  


3 /  log a x  
  ln x  
1  x2
x ln a
x
1

11 /  arccot x  
4 /  sin x   cos x
1  x2
5 /  cos x    sin x
12 /  shx   chx

1
2

  shx
6 /  tan x  

1

tan
x
13
/
chx


cos 2 x
1

1
14 /  thx   2
2

7 /  cot x    2  (1  cot x)
ch x
sin x
1

15 /  cthx    2
1
sh x

8 /  arcsin x  
1  x2

 
 

 


Đạo hàm

Đạo hàm 1 phía:
Đạo hàm trái:

f (x  x0 )  f ( x0 )
f  ( x0 )  lim 
x 0
x

Đạo hàm phải:

f (x  x0 )  f ( x0 )
f  ( x0 )  lim 
x 0
x

Định lý: Hàm f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó
có đạo hàm trái, đạo hàm phải tại x0 và 2 đạo hàm
đó bằng nhau

Đạo hàm vô cùng: Nếu

f (x  x0 )  f ( x0 )
lim

x 0
x

Thì ta nói hàm f có đạo hàm ở vô cực


Đạo hàm
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm f ( x)  3 x  1
Áp dụng các quy tắc và bảng đạo hàm ta có
1
f ( x) 
3 3 ( x  1) 2
Suy ra, tại x=1 không thể thay x=1 vào f ’ để tính
mà phải dùng định nghĩa
3
f (x  1)  f (1)
x

f (1)  lim
 lim
 
x 0
x 0 x
x

Vậy:

1

,x 1
 3
f ( x)   3 ( x  1) 2
 , x  1



Đạo hàm

Tại x=1:
f (1)  

Nên tiếp tuyến là
đường thẳng x=1


Đạo hàm
Ví dụ: Tính đạo hàm của

 sin x
,x  0

f ( x)   x
1, x  0

Khi x≠0, ta tính bình thường. Khi x=0, ta dùng đ/n

1  sin x 
f (x  0)  f (0)
 lim
 1  0
f (0)  lim

x 0 x  x
x 0
x

Vậy:

 x cos x  sin x
,x  0

2
f ( x)  
x
0, x  0


Đạo hàm
Đạo hàm hàm hợp

h  f g  h  f .g 
Tức là y  g ( x), h( x)  f ( y )  h( x)  f ( g ( x)).g ( x)
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm : a. f(x) = tan (x3+x)
b. g(x) = esinx
2


( x  x)
3x  1
f ( x) 

2 3
cos ( x  x) cos 2 ( x3  x)
3

g ( x)  esin x .(sin x)  cos x.esin x


Đạo hàm

Đạo hàm của các hàm hợp cơ bản



 e


. f ( x)
1

2 /  ln f ( x)  
. f ( x)
f ( x)

1/ e



f ( x)

3 / f ( x)

a

f ( x)

  a. f ( x)


a 1

9 /  arccos f ( x)  

. f ( x)

4 /  sin f ( x)   cos f ( x). f ( x)

5 /  cos f ( x)    sin f ( x). f ( x)

6 /  tan f ( x)  

8 /  arcsin f ( x)  

f ( x)
cos 2 ( f ( x))

 f ( x)

7 /  cot f ( x)  
sin 2 f ( x)

10 /  arctan f ( x)  

f ( x)
1  f 2 ( x)
 f ( x)
1  f 2 ( x)

f ( x)
1  f 2 ( x)

 f ( x)

11 /  arccot f ( x)  
1  f 2 ( x)


Đạo hàm
2

x
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm y  cos  sin 
3

x
x 1

x 1


x
x

y  2cos  sin  .sin  sin  . cos  .cos .sin(2sin )
3
3 3
3 3
3
3


Ví dụ: Tính đạo hàm của y  3 shx  1
Đặt: u  shx
Suy ra:

Thì: y  3 u  1

( shx)
.
y( x)  y(u ).u( x) 
3 3 (u  1) 2 2 shx
chx

6 3 ( shx  1) 2 shx
1

Đạo hàm
Đạo hàm hàm ngược
Giả sử hàm 1-1: y = f(x) có hàm ngược là x = g(y).
Tại x = x0 hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn khác 0 thì
hàm g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và

1
g ( y0 ) 
Hay
ta
còn
viết

f ( x0 )

1
x( y ) 
y( x)


Đạo hàm
Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm y  2 x  1
3

2

Do y  2 x  1  y  6 x  0x  0
3

Nên theo CT tính đạo hàm hàm ngược ta được

1
1
x( y ) 
 2 , x  0
y( x) 6 x

1
x( y ) 
y 1 2
3
6 (
)
2

Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm y = chx

1
1
1
y  shx  x  

y shx
ch 2 x  1



1
y2 1

Đạo hàm

Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số

 x  x(t )
Cho hàm y=f(x) được cho bởi pt tham số 
 y  y (t )
Đạo hàm của hàm y được tính bởi

y(t )
y( x) 
x(t )

Ví dụ: Tính y’(x) biết y(t) = etcost, x(t) = etsint

y(t ) (et cos t ) et (cos t  sin t )
y( x) 
 t
 t
x(t ) (e sin t ) e (sin t  cos t )

cos t  sin t
y( x) 
sin t  cos t


Đạo hàm

Đạo hàm dạng u(x)v(x):

Ta viết lại dạng uv thành u ( x)v ( x )  ev ( x )ln u ( x )



Suy ra : u ( x)

e

v( x)

  e

v ( x ) ln u ( x )

 u ( x)   u ( x)
v( x)





v ( x ) ln u ( x )






u( x) 
. v( x)ln u ( x)  v( x)


u ( x) 


u( x) 
 v( x)ln u ( x)  v( x) u ( x) 



v( x) 


Đạo hàm
Ví dụ: Tính đạo hàm

y

x
2 ln x

x
x

 x 
x 
ln x  1

ln
x
ln

x
ln
x

y   2   2 .ln 2. 
 2 .ln 2. 2



ln x 

ln x


x
(ln x)
Ví dụ: Tính đạo hàm y  ln x
x

y

(ln x ) x

y  e

x

ln x



e

x ln  ln x 

e

ln x.ln x

x.ln  ln x   ln 2 x

e

x.ln  ln x   ln 2 x

 x.ln ln x   ln x 
2



(ln x ) x 
1 
1
 ln x  ln(ln x )  x.
  2ln x 
x ln x 
x
x


Đạo hàm cấp cao
Cho hàm y = f(x) có đạo hàm z = f ’(x). Lấy đạo
hàm của hàm z, ta được đạo hàm cấp 2 của hàm
f(x) – kí hiệu là f ( x)
Tiếp tục quá trình đó, ta gọi đạo hàm của đạo hàm
cấp (n-1) là đạo hàm cấp n

f

( n)

( x)  ( f

( n 1)

( x))

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp 1, 2 của hàm y = tan(x2+1)
2
2
2x
2cos( x  1)  2.2 x.2 x.sin( x  1)

y 
 y 
2 2
cos ( x  1)
cos3 ( x 2  1)

Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao của hàm cho bởi pt tham số
Cho hàm y = y(x) xác định bởi x = x(t), y = y(t)
y(t )
Đạo hàm cấp 1: y( x) 
x(t )
Tức là đạo hàm cấp 1 cũng là hàm cho bởi pt tham số
y(t )
x  x(t ), y 
 g (t )
x(t )
g (t ) y(t ) x(t )  y(t ) x(t )

Đạo hàm cấp 2: y( x) 
x(t )
( x(t ))3
Tương tự, đạo hàm cấp (n-1)
vẫn là hàm cho bởi pt tham
số nên đạo hàm cấp n được
tính theo cách trên

y

(n)

y

( x) 

( n 1)

( x)

x(t )




t


Đạo hàm cấp cao
Ví dụ: Tính y’, y’’ biết x = e2t sht, y = e2tcht
2t

y (t ) e (2cht  sht ) 2cht  sht
y( x) 
 2t

x(t ) e (2sht  cht ) 2sht  cht
2
2

(2
sht

cht
)


(2
cht

sht
)
 2cht  sht 
2


(2
sht

cht
)
2
sht

cht

 
y( x) 
2t
e
(2 sht  cht )

x (t )

3( sh t  ch t )
 2t
e (2sht  cht )3

2

2


Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao của hàm hợp – CT Leibnitz
Cho hàm hợp h = f o g  h( x )  f (u), u  g ( x ) 
Đh cấp 1: h( x )  f (u). g ( x )
Suy ra đh cấp 2: h( x )   f (u )  . g ( x )  f (u ).  g ( x ) 

 ( f (u). g ( x )). g ( x )  f (u). g ( x )
Đạo hàm của tích
Bằng QUY NẠP, ta chứng minh được
n

( n)
k ( k ) ( nk )
(
f
.
g
)

C
 n . f .g
CT Leibnitz:
k 0

Trong đó, ta quy ước f(0) = f (đh hàm cấp 0 bằng

chính nó)


Đạo hàm cấp cao
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm y = sinx.ln(x+1)
3

y (3)   C3k (sin x)( k ) (ln( x  1))(3k )
k 0

y (3)  C30 (sin x)(0) (ln( x  1))(3)  ...  C33 (sin x)(3) (ln( x  1))(0)

y

(3)

2
1
1
 sin x
 3cos x
 3sin x
 cos x.ln( x  1)
3
2
x 1
( x  1)
( x  1)

Đạo hàm cấp cao
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm y = (x+1) a. Từ
đó suy ra đạo hàm cấp n của hàm ln(1+x)

Đạo hàm của (x+1)a
a 1
a 2


y  a.( x  1)
, y  a.(a  1). x

,..., y

(n)

 a (a  1)...(a  n  1).  x  1

a n

1
Khi a = -1, ta được đạo hàm của hàm y 
x 1
(n)
1 n
 1 

   1 1  2  ...( 1  n  1).  x  1
 x  1
n

 1 .n !

n 1
x

1

