Đề thi thử đại học 2009 (có đáp án)

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
------------------------
Dành cho ban Khoa học tự nhiên
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I: (2,0 điểm)
Cho hàm số
mxxxy
+−−=
93
23
, trong đó
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
0
=
m
.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
sin
2
1
3

cos
4
1
22
xx
=+
.
2. Giải phương trình:
)4(log3)1(log
4
1
)3(log
2
1
8
8
4
2
xxx
=−++
.
Câu III: (1,0 điểm)
Tính tích phân:
∫
+
=
4
6
2
cos1cos

tan
π
π
dx
xx
x
I
.
Câu IV: (1,0 điểm)
Tính thể tích của khối hộp
''''. DCBAABCD
theo
a
. Biết rằng
''' DBAA
là khối tứ
diện đều cạnh
a
.
Câu V: ( 1,0 điểm)
Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình sau có nghiệm duy nhất thuộc đoạn






−

1;
2
1
:
mxxx
=++−−
12213
232
(
Rm
∈
).
Câu VI: (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
)(d
có phương trình:
052
=−−
yx
và hai
điểm
)2;1(A
;
)1;4(B
. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
)(d

và đi qua hai điểm

A
,
B
.
2. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hai điểm
)2;1;1(A
,
)2;0;2(B
.
a. Tìm quỹ tích các điểm
M
sao cho
5
22
=−
MBMA
.
b. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng
)(OAB
và
)(Oxy
.
Câu VII: (1,0 điểm)
Với
n
là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:
113210
2).2().1(.....4.3.2

−−
+=+++++++
nn
n
n
nnnnn
nCnCnCCCC
.
……………………. Hết……………………...
Lời giải tóm tắt
Câu I:
1.
Khảo sát hàm số chắc là không có gì khó khăn.
Đồ thị:
10
-10
-20
-30
-10 -5 5 10
2.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
⇔
Phương trình
3 2
3 9 0− − + =x x x m
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
⇔
Phương trình
3 2
3 9x x x m− − = −

có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
⇔
Đường thẳng
y m= −
đi qua điểm uốn của đồ thị
.11 11m m
⇔ − = − ⇔ =
Câu II:
1.
( ) ( )
( )
cos sin
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
2 2
2 3
2 3
2
1 1
4 3 2 2
2
1
1 1
3
4 2 4

2
1 2 2 1
3
2 2 2 3
3
2 2 2 1 4 3
2 4 2 4 3 0
4 4 3 0
x x
x
x
x
x
x
a a a
a a a
a a a
a a a
+ =
+
−
⇔ + =
⇔ + + = −
 
⇔ + = − =
 ÷
 
⇔ + − = − −
⇔ + − + − =
⇔ + − =

( )
cos
cos
cos
.
cos cos
cos
0
3
0
3
1
3 3 2
2
2
6
2
3
3 3 3 3
loaïi
2
a
x x
k
x k
a
x x
x k
k
a

π
π
π
π
π π
π π
π


=
 
= = +


 
= +


⇔ = ⇔ ⇔ ⇔
 


 
= ± +
= = ± +


 
 


= −

2.
)4(log3)1(log
4
1
)3(log
2
1
8
8
4
2
xxx
=−++
.
Điều kiện:
.
3
1 0 1
0
x
x x
x
> −


≠ ⇔ < ≠



>

Biến đổi theo logarit cơ số 2 thành phương trình
( ) ( ) ( )
( )
log log
.
2 2
2
3 1 4
2 3 0
1 loaïi
3
3
x x x
x x
x
x
x
+ − =
 
 
⇔ − − =
= −

⇔ ⇔ =

=

Câu III:

∫
+
=
4
6
2
cos1cos
tan
π
π
dx
xx
x
I
tan tan
cos tan
cos
cos
4 4
2 2
2
2
6 6
1
2
1
x x
dx dx
x x
x

x
π π
π π
= =
+
+
∫ ∫
.
Đặt
tan .
cos
2
1
u x du dx
x
= ⇒ =
.
1
6
3
1
4
x u
x u
π
π
= => =
= ⇒ =
.
1

2
1
3
2
u
I dx
u
=> =
+
∫
Đặt
2
2
2
2
u
t u dt du
u
= + ⇒ =
+
.
1 7
3
3
u t= ⇒ =
.1 3u t= ⇒ =
.
3
3
7

7
3
3
7 3 7
3
3 3
I dt t
−
⇒ = = = − =
∫
Câu IV:
ñaùy
V S h= ×
.
2
ñaùy
3
2
a
S =
,
6
3
a
h =
.
3
3
2
a

V=> =
Câu V:
mxxx
=++−−
12213
232
(
Rm
∈
).
Đặt
( )
2 3 2
3 1 2 2 1f x x x x= − − + +
, suy ra
( )
f x
xác định và liên tục trên đoạn
;
1
1
2
 
−
 
 
.
( )
'
2

2 3 2 2 3 2
3 3 4 3 3 4
1 2 1 1 2 1
x x x x
f x x
x x x x x x
 
+ +
= − − = − +
 ÷
− + + − + +
 
.
;
1
1
2
x
 
∀ ∈ −
 
 
ta có
2 3 2
4 3 3 4
3 4 0 0
3
1 2 1
x
x x

x x x
+
> − ⇒ + > ⇒ + >
− + +
.
Vậy:
( )
' 0 0f x x= ⇔ =
.
Bảng biến thiên:
( )
( )
' || ||
1
0 1
2
0
1
CÑ
3 3 22
2
4
x
f x
f x
−
+ −
−
−
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc
;
1
1
2
 
−
 
 
3 3 22
4
2
m
−
⇔ − ≤ <
hoặc
1m
=
.
Câu VI:
1.
Phương trình đường trung trực của AB là
3 6 0x y− − =
.
Tọa độ tâm I của đường tròn là nghiệm của hệ:
( )
; .
2 5 1
1 3
3 6 3

x y x
I
x y y
− = =
 
⇔ ⇒ −
 
− = = −
 
5R IA= =
.
Phương trình đường tròn là
( ) ( )
2 2
1 3 25x y− + + =
.
2.
a.
( )
, ,M x y z∀
sao cho
2 2
5MA MB− =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
2 2 2 2 2
2
1 1 2 2 2 5
2 2 7 0
x y z x y z

x y
⇔ − + − + − − − − − − =
⇔ − − =
Vậy quỹ tích các điểm M là mặt phẳng có phương trình
2 2 7 0x y− − =
.
b.
( ) ( )
, ; ; ; ;2 2 2 2 1 1 1OA OB
 
= − = −
 
uuur uuur
( )
: 0OAB x y z⇒ + − =
.
( )
: 0Oxy z =
.
( )
; ;N x y z
cách đều
( )
OAB
và
( )
Oxy

( )
( )

( )
( )
, ,d N OAB d N Oxy⇔ =
1
3
x y z z+ −
⇔ =
( )
( )
.
3 1 0
3
3 1 0
x y z
x y z z
x y z

+ − + =

⇔ + − = ± ⇔

+ + − =


Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình
( )
3 1 0x y z+ − + =
và
( )
3 1 0x y z+ + − =

.
Câu VII:
Khai triển
( )
1
n
x+
ta có:
( )
... .
0 1 2 2 3 3 1 1
1
n
n n n n
n n n n n n
x C C x C x C x C x C x
− −
+ = + + + + + +
Nhân vào hai vế với
x∈ ¡
, ta có:
( )
... .
0 1 2 2 3 3 4 1 1
1
n
n n n n
n n n n n n
x x C x C x C x C x C x C x
− +

+ = + + + + + +
Lấy đạo hàm hai vế ta có:
( ) ( ) ( )
...
1
0 1 2 2 3 3 1 1
2 3 4 1 1 1
n n
n n n n
n n n n n n
C C x C x C x nC x n C x n x x x
−
− −
+ + + + + + + = + + +
( ) ( )
.
1
1 1
n
x nx x
−
= + + +
Thay
1x =
, ta có
( )
. . . ... . ( ). . .
0 1 2 3 1 1
2 3 4 1 2 2
n n n

n n n n n n
C C C C n C n C n
− −
+ + + + + + + = +
------------------------Hết------------------------