Ma trận chuẩn tắc Một số điều kiện cần và đủ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN ĐÌNH NGUYÊN

MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
CHO MA TRẬN CHUẨN TẮC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
HỆ CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN

Bình Định, năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN ĐÌNH NGUYÊN

MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO
MA TRẬN CHUẨN TẮC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành:
Người hướng dẫn khoa học:

Bình Định, năm 2016

Đại số - Hình học
TS. Lê Thanh Hiếu

Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1. Giá trị riêng và véc tơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Không gian véc tơ Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3. Một số ma trận đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.1. Ma trận trực giao, ma trận unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Ma trận đối xứng, ma trận Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Một số phân tích ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Phân tích cực của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Phân tích Schur của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Phân tích giá trị suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2. Điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc . . . . .

3
4

5
5
5
6

7

2.1. Một số điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc tổng
quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Một số điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc khả
nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26


i

Lời mở đầu
Một ma trận vuông phức được gọi là chuẩn tắc nếu
A∗ A = AA∗ ,
t

ở đây A∗ = A là ma trận chuyển vị liên hợp của A. Lớp các ma trận chuẩn

tắc chứa các lớp ma trận quen thuộc và quan trọng trong toán học như: lớp
các ma trận unita/trực giao, lớp các ma trận Hermite/phản Hermite, . . . . Các
lớp ma trận này không những có nhiều tính chất toán học đẹp đẽ mà còn được
ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác của toán học và một số bài toán
kỹ thuật như: xử lý tín hiệu, phương trình đạo hàm riêng, một số bài toán
tối ưu, . . . Vì vậy các ma trận chuẩn tắc xuất hiện phổ biến không những
trong đại số mà còn nhiều lĩnh vực khác. Năm 1987, một danh sách 70 điều
kiện tương đương của ma trận chuẩn tắc được công bố trong [1] bởi Grone,
Johnson, Sa, Wolkowicz. Hơn một thập kỷ sau, L. Elsner và Kh. D. Ikramov
đã bổ sung thêm 20 điều kiện trong [2]. Mục đích của Luận văn là tìm hiểu
và trình bày các chứng minh chi tiết hơn các các kết quả trong 2 tài liệu trên.
Luận văn được trình bày thành hai chương.
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các
chứng minh trong chương sau như: giá trị riêng, không gian véc tơ Euclide và
một số kết quả liên quan; bên cạnh đó chúng tôi nhắc lại một số lớp ma trận
quen thuộc như ma trận đối xứng, ma trận Hermite, ma trận nửa xác định
dương, . . .
Chương 2 trình bày các điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc.
Đây là nội dung chính của Luận văn. Trong chương này chúng tôi tìm hiểu và
hệ thống lại các điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc từ [1, 2]. Hơn
nữa, chúng tôi cũng trình bày lại một cách chi tiết hơn các chứng minh trong
hai tài liệu này.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy TS.
Lê Thanh Hiếu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Người đã tận


ii
tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình làm Luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể quý thầy cô giáo
trong khoa Toán, Đại học Quy Nhơn đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt thời

gian học tập tại khoa. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân
thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập và thực hiện Luận văn.
Mặc dù Luận văn này được thực hiện với sự nỗ lực, cố gắng của bản thân,
song do thời gian nghiên cứu không nhiều và kiến thức còn hạn chế nên sẽ
không tránh khỏi những sai sót nhất định. Tôi rất mong nhận được sự góp ý
và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm
ơn!
Quy Nhơn, ngày 24 tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Nguyễn Đình Nguyên


1

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cần
thiết cho việc chứng minh các kết quả chính trong luận văn. Các kết quả trong
chương này có thể tìm thấy trong [3].

1.1.

Giá trị riêng và véc tơ riêng

Định nghĩa 1.1. Cho ma trận A ∈ Cn×n và W là một không gian véc tơ con
của Cn . Ta gọi W là một không gian con ổn định đối với A (hay A-ổn định)
nếu A(W ) ⊆ W , nghĩa là Aw ∈ W với mọi w ∈ W .

Định nghĩa 1.2. Cho ma trận A ∈ Cn×n . Phần tử λ ∈ C được gọi là một
giá trị riêng của A nếu tồn tại một véc tơ x ∈ Cn , x = 0 sao cho
Ax = λx.
Khi đó ta gọi x là một véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ. Tập hợp
{x ∈ Cn |Ax = λx}
là một không gian véc tơ con của Cn . Không gian này được gọi là không gian
con riêng của A ứng với giá trị riêng λ và được ký hiệu là WA,λ .
Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A, ký hiệu là
δ(A).
Định lý 1.3. Phần tử λ ∈ C là một giá trị riêng của A khi và chỉ khi
det(A − λI) = 0.


2
Ta gọi det(A − λI) là đa thức đặc trưng của ma trận A và ký hiệu là
pA (λ) = det(A − λI).
Mệnh đề 1.4. Cho ma trận A ∈ Cn×n . Giả sử λ1 , λ2 , . . . , λm ∈ C là các giá
trị riêng khác nhau từng đôi một của A, và e1 , e2 , . . . , em là các véc tơ riêng
tương ứng với chúng. Khi đó hệ các véc tơ e1 , e2 , . . . , em là độc lập tuyến tính.

1.2.

Không gian véc tơ Euclide

Định nghĩa 1.5. Cho V là không gian véc tơ trên C. Một tích vô hướng trên
V là một ánh xạ
, : V × V →C
(u, v) → u, v
thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi u, v, w ∈ V , k ∈ C,
i) u, v = v, u

ii) u + v, w = u, w + v, w
iii) ku, v = k u, v
iv) u, u ≥ 0 và u, u = 0 khi và chỉ khi u = 0.
Một không gian véc tơ Euclide là một không gian véc tơ trên đó đã cho
một tích vô hướng.
Ví dụ 1.6. Với mọi x, y ∈ Cn , công thức x, y = y ∗ x, trong đó y ∗ = y t , xác
định một tích vô hướng trên Cn . Ta gọi tích vô hướng này là tích vô hướng
chính tắc trên Cn .
Tương tự ta cũng có thể định nghĩa một tích vô hướng chính tắc trên
R-không gian véc tơ Euclide Rn bởi công thức: x, y = y t x, ∀x, y ∈ Rn .
Giả sử E là một không gian véc tơ Euclide. Với x ∈ E, chuẩn (hay độ dài)
của x được định nghĩa là số thực x =
x, x .
Định nghĩa 1.7. Cho E là một không gian véc tơ Euclide. Hai véc tơ x, y ∈ E
được gọi là trực giao nếu x, y = 0.
Ta gọi hệ véc tơ e1 , e2 , . . . , ek ∈ E là
(i) trực giao nếu chúng đôi một trực giao, nghĩa là ei , ej = 0 với mọi i = j.


3
(ii) trực chuẩn nếu nó trực giao và ei = 1 với mọi i = 1, . . . , k.
Mệnh đề 1.8. Cho E là một không gian véc tơ Euclide và e1 , e2 , . . . , ek ∈ E
là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính. Khi đó hệ véc tơ
u1 = e1 ,
u2 = e2 −

e2 , u1
u1

2

u1 ,

···
k−1

uk = ek −

ek , ui

i=1

ui

2

ui

là trực giao (và do đó độc lập tuyến tính) trong E. Hơn nữa, các không gian
véc tơ sinh bởi hai hệ véc tơ e1 , . . . , ek và u1 , . . . , uk là trùng nhau.
Ta gọi quy trình chuyển hệ véc tơ e1 , . . . , ek thành hệ trực giao u1 , . . . , uk
như ở trên là thuật toán trực giao hóa Gram-Schmidt.
Mệnh đề 1.9. Cho E là một không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều và F
là một không gian véc tơ con của E. Ký hiệu
F ⊥ = {x ∈ E| x, y = 0 với mọi y ∈ F }.
Khi đó F ⊥ là một không gian véc tơ con của E và E = F ⊕ F ⊥ .
Ta gọi F ⊥ là phần bù trực giao của không gian véc tơ con F .

1.3.

Một số ma trận đặc biệt

1.3.1.

Ma trận trực giao, ma trận unita

Định nghĩa 1.10. Ma trận U ∈ Cn×n được gọi là unita ( t. ư., trực giao)
nếu U ∗ U = In . (t. ư., U t U = In ).
Định lý 1.11. [3, Theorem 2.1.4] Cho ma trận U ∈ Cn×n . Các mệnh đề sau
là tương đương:
(a) U là ma trận unita.
(b) U ∗ là ma trận unita.
(c) Hệ các véc tơ cột của U là trực chuẩn.
(d) Hệ các véc tơ dòng của U là trực chuẩn.


4
1.3.2.

Ma trận đối xứng, ma trận Hermite

Định nghĩa 1.12. Ma trận thực A được gọi là đối xứng nếu A = At .
t
Ma trận phức A được gọi là Hermite nếu A∗ = A, trong đó A∗ = A .
Định nghĩa 1.13. Ma trận Hermite A ∈ Cn×n được gọi là nửa xác định
dương nếu x∗ Ax ≥ 0 với mọi x ∈ Cn .
Định lý 1.14. [3, Theorem 7.2.1] Cho ma trận A ∈ Cn×n . Khi đó các mệnh
đề sau là tương đương:
(a) A là nửa xác định dương.
(b) Mọi giá trị riêng của A đều không âm.

(c) Tồn tại ma trận unita U và các số thực không âm λ1 , . . . , λn sao cho
A = U diag(λ1 , . . . , λn )U ∗ , trong đó diag(λ1 , . . . , λn ) là ma trận đường
chéo với các phần tử chéo là các λi .
Định lý 1.15. [3, Theorem 7.2.6] Cho ma trận A ∈ Cn×n nửa xác định dương
và số nguyên k > 1. Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận nửa xác định dương
B sao cho B k = A.
Chứng minh. Vì A nửa xác định dương nên tồn tại ma trận unita U và các
số thực không âm λ1 , . . . , λn sao cho A = U diag(λ1 , . . . , λn )U ∗ . Đặt B =
√
√
U diag( k λ1 , . . . , k λn )U ∗ . Khi đó B nửa xác định dương và B k = A.
Giả sử C là một ma trận nửa xác định dương sao cho C k = A. Ta sẽ chứng
minh C = B. Vì C nửa xác định dương nên C = V diag(µ1 , . . . , µn )V ∗ , trong
đó V là ma trận unita và µi ≥ 0 ∀ i = 1, . . . , n. Do đó U diag(λ1 , . . . , λn )U ∗ =
V diag(µk1 , . . . , µkn )V ∗ . Từ đó suy ra
V ∗ U diag(λ1 , . . . , λn ) = diag(µk1 , . . . , µkn )V ∗ U.
Đặt W = V ∗ U = [wij ]. Khi đó W diag(λ1 , . . . , λn ) = diag(µk1 , . . . , µkn )W . Do
√
đó wij λj = µki wij với mọi i, j = 1, . . . , n. Từ đó suy ra wij k λj = µi wij với
√
√
mọi i, j = 1, . . . , n. Do đó W diag( k λ1 , . . . , k λn ) = diag(µ1 , . . . , µn )W . Vì
√
√
vậy U diag( k λ1 , . . . , k λn )U ∗ = V diag(µ1 , . . . , µn )V ∗ , tức là B = C.
Ma trận B thỏa mãn điều kiện B k = A được gọi là căn bậc k của ma trận
1
A và được ký hiệu bởi A /k .

5

1.4.

Một số phân tích ma trận

1.4.1.

Phân tích cực của ma trận

Định lý 1.16. [3, Lemma 7.3.3]Cho A ∈ Cn×n . Khi đó A có thể biểu diễn
được dưới dạng A = P U = U Q, ở đó P, Q ∈ Cn×n là các ma trận nửa xác
định dương và U ∈ Cn×n là ma trận unita.
Phân tích trên đây được gọi là phân tích cực của ma trận A.

1.4.2.

Phân tích Schur của ma trận

Định lý 1.17. [3, Theorem 2.3.1] Cho A ∈ Cn×n có n giá trị riêng là
λ1 , λ2 , . . . , λn . Khi đó tồn tại ma trận unita U ∈ Cn×n sao cho U ∗ AU =
T = [tij ] là ma trận tam giác trên với các phần tử nằm trên đường chéo chính
tii = λi , i = 1, . . . , n.
Chứng minh. Giả sử x1 ∈ Cn là một véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ1
sao cho x1 = 1. Bổ sung thêm n − 1 véc tơ y2 , . . . , yn để hệ x1 , y2 , . . . , yn là
một cơ sở của Cn . Dùng thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Schmidt ta được một
cơ sở trực chuẩn x1 , z2 , . . . , zn của Cn . Đặt U1 = x1 z2 · · · zn ∈ Cn×n .
Khi đó U1 là ma trận unita và ta có
U1∗ AU1 = U1∗ Ax1 Az2 · · · Azn
 ∗

x1
 ∗
 z2 

=
 ..  λ1 x1 Az2 · · · Azn
.
zn∗


λ1 x∗1 x1 x∗1 Az2 · · · x∗1 Azn



 λ1 z2∗ x1


= .

.

 .
A1
λ1 zn∗ x1
=

λ1
0

∗

.
A1

Khi đó ma trận A1 ∈ C(n−1)×(n−1) có các giá trị riêng là λ2 , . . . , λn .
Thật vậy, ta có det (A − λIn ) = det U1∗ .det (A − λIn ).det U1


6
= det U1∗ (A − λIn )U1
= det (U1∗ AU1 − λIn )
= det

λ1 − λ
0

∗
A1 − λIn−1

= (λ1 − λ).det(A1 − λIn−1 ).
Do đó A1 có các giá trị riêng là λ2 , . . . , λn .
Chọn x2 ∈ Cn−1 là một véc tơ riêng của A1 ứng với λ2 sao cho x2 = 1.
Làm tương tự như trên ta thu được ma trận unita U2 ∈ C(n−1)×(n−1) và
U2∗ A1 U2 =

Đặt V2 = [1] ⊕ U2 =

1
0

λ2

0

∗
.
A2

0
∈ Cn×n . Khi đó V2 là ma trận unita và ta có
U2

(U1 V2 )∗ A(U1 V2 ) = V2∗ U1∗ AU1 V2
1 0
λ1 ∗
0 U2∗
0 A1


λ1 ∗
∗


=  0 λ2 ∗  .
0
0 A2
=

1
0

0

U2

Cứ tiếp tục như vậy, ta thu được các ma trận unita Ui ∈ C(n+1−i)×(n+1−i)
và các ma trận unita Vi ∈ Cn×n , i = 1, . . . , n−1. Khi đó U = U1 V2 V3 . . . Vn−1 ∈
Cn×n là ma trận unita và U ∗ AU là ma trận tam giác trên có đường chéo chính
là các giá trị riêng của A.

1.4.3.

Phân tích giá trị suy biến

Định nghĩa 1.18. Cho ma trận A ∈ Cm×n . Số thực không âm σ được gọi là
một giá trị suy biến của A nếu σ 2 là một giá trị riêng của A∗ A.
Định lý 1.19. [3, Theorem 2.6.3] Cho ma trận A ∈ Cm×n với các giá trị suy
biến dương σ1 , . . . , σr . Khi đó tồn tại một ma trận unita U ∈ Cm×m và ma
trận unita V ∈ Cn×n . Sao cho
A = U ΣV ∗ ,
ở đây Σ =

Dr
0

0
∈ Cm×n với Dr = diag(σ1 , . . . , σr ).
0


7

Chương 2

Điều kiện tương đương cho
ma trận chuẩn tắc
Trong chương này chúng tôi hệ thống lại một số điều kiện tương đương để một
ma trận vuông phức là ma trận chuẩn tắc. Các kết quả này được trích từ hai
bài báo [1, 2]. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi trình bày các điều kiện tương đương
cho hai lớp ma trận chuẩn tắc tổng quát (Định lý 2.1) và ma trận chuẩn tắc
khả nghịch (Định lý 2.3).

2.1.

Một số điều kiện tương đương cho ma trận
chuẩn tắc tổng quát

Định lý 2.1. [1, 2] Cho ma trận A ∈ Cn×n . Khi đó các mệnh đề sau là tương
đương
1. A chuẩn tắc.
2. p(A) chuẩn tắc với p là một đa thức bất kỳ.
3. Tồn tại ma trận unita U sao cho U ∗ AU là ma trận chuẩn tắc.
4. Nếu U là ma trận unita sao cho U ∗ AU = B =

B11
0

B12
, với B11
B22

là ma trận vuông, thì B12 = 0.
5. Nếu W ⊆ Cn là một không gian con A-ổn định của Cn thì W ⊥ cũng

vậy.


8
6. Nếu x là một véc tơ riêng của A thì x⊥ là không gian con A-ổn định
của Cn .
7. Tồn tại ma trận unita U sao cho U ∗ AU = D là ma trận đường chéo.
8. Tồn tại đa thức p sao cho A∗ = p(A).
9. Nếu AB = BA thì A∗ B = BA∗ (với B ∈ Cn×n ).
10. Nếu x là một véc tơ riêng của A thì x cũng là một véc tơ riêng của A∗ .
11. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn của Cn bao gồm các véc tơ riêng của A.
12. A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính với nhau và 2 véc tơ riêng ứng
với 2 giá trị riêng phân biệt thì trực giao.
13. Tồn tại λ1 , . . . , λn ∈ C sao cho A có thể biểu diễn dưới dạng
n

A=

λi Ei ,

(2.1)

i=1

trong đó Ei ∈ Cn×n , Ei2 = Ei = Ei∗ ∀i = 1, n, Ei Ej = 0 với i = j và
n

Ei = In .
i=1

14. Tồn tại các số phân biệt λ1 , . . . , λm ∈ C sao cho A có thể biểu diễn
dưới dạng
m

A=

λ i Pi ,

(2.2)

i=1

trong đó Pi ∈ Cn×n , Pi2 = Pi = Pi∗ ∀i = 1, m, Pi Pj = 0 với i = j và
n

Pi = In .
i=1

15. A giao hoán với một ma trận chuẩn tắc B có các giá trị riêng phân
biệt.
16. A giao hoán với một ma trận Hermite C có các giá trị riêng phân biệt.
17. A∗ A − AA∗ là ma trận nửa xác định dương.
Từ đây trở đi, đặt H = 21 (A + A∗ ), K = 21 (A − A∗ ) .
18. HK=KH.


9
19. AH=HA.
20. AH + HA∗ = 2H 2 (= HA + A∗ H).
21. AK=KA.

22. AK − KA∗ = 2K 2 (= KA − A∗ K).
23. H −1 A + A∗ H −1 = 2I (= AH −1 + H −1 A∗ ) (với H khả nghịch).
24. K −1 A − A∗ K −1 = 2I (= AK −1 − K −1 A∗ ) (với K khả nghịch).
25. Mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ riêng của H.
26. Mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ riêng của K.
27. Mọi véc tơ riêng của H đều là véc tơ riêng của K (với điều kiện các
giá trị riêng của H phân biệt).
28. Mọi véc tơ riêng của K đều là véc tơ riêng của H (với điều kiện các
giá trị riêng của K phân biệt).
29. Mọi véc tơ riêng của H đều là véc tơ riêng của A (với điều kiện các
giá trị riêng của H phân biệt).
30. Mọi véc tơ riêng của K đều là véc tơ riêng của A (với điều kiện các
giá trị riêng của K phân biệt).
(Từ đây trở đi, giả sử A = V P là biểu diễn cực của A trong đó V là
ma trận unita, P nửa xác định dương).
31. V P = P V .
32. AV = V A.
33. AP = P A.
34. Mọi véc tơ riêng của V đều là véc tơ riêng của P (với điều kiện các giá
trị riêng của V phân biệt).
35. Mọi véc tơ riêng của P đều là véc tơ riêng của V (với điều kiện các giá
trị riêng của P phân biệt).
36. Mọi véc tơ riêng của V đều là véc tơ riêng của A (với điều kiện các giá
trị riêng của V phân biệt).


10
37. Mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ riêng của V (với điều kiện các giá
trị riêng của A phân biệt).
38. Mọi véc tơ riêng của P đều là véc tơ riêng của A (với điều kiện các giá

trị riêng của P phân biệt).
39. Mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ riêng của P (với điều kiện các giá
trị riêng của A phân biệt).
Từ đây trở đi, đặt δ(A) = {λ1 , λ2 , . . . , λn } là phổ của ma trận A .
n

2

∗

n

|aij |2 .

|λi | = tr(A A) =

40.
i=1
n

41.

i,j=1

(Re λi )2 = tr(H 2 ).

i=1
n

42.

(Im λi )2 = −tr(K 2 ).

i=1

43. δ(A + A∗ ) = {λ1 + λ1 , . . . , λn + λn }.
44. δ(A∗ A) = {|λ1 |2 , . . . , |λn |2 }.
45. Các giá trị suy biến của A là |λ1 |, . . . , |λn |.
46. Nếu σ1 ≥ · · · ≥ σn là các giá trị suy biến của A, λ1 , . . . , λn là các giá
trị riêng của A, và |λ1 | ≥ · · · ≥ |λn |, thì
σ1 . . . σk = |λ1 . . . λk | , với mọi k = 1, . . . , n.
47. Nếu U là một ma trận unita và diag(U ∗ AU ) = (λ1 , . . . , λn ) thì U ∗ AU
là ma trận đường chéo.
48. Ax, Ay = A∗ x, A∗ y , ∀x, y ∈ Cn .
49. Ax, Ax = A∗ x, A∗ x , ∀x ∈ Cn .
50.

Ax = A∗ x , ∀x ∈ Cn .

51. Tồn tại ma trận unita U sao cho A∗ = U A.
1

52. |A|=|A∗ |, với |A|=(A∗ A) /2 .
53. A∗ 2 A2 = (A∗ A)2 .


11
54. tr(A∗ 2 A2 ) = tr (A∗ A)2 .
55. A giao hoán với AA∗ − A∗ A.
56. A giao hoán với A∗ A (hoặc AA∗ ).

57. H 2 − K 2 = A∗ A ( hoặc AA∗ ).
k

Chứng minh. (1) ⇔ (2) Giả sử A là ma trận chuẩn tắc, p(x) =

ai xi ∈

i=0

C[x]k là một đa thức bất kỳ. Khi đó,
k

a i Ai ,

p(A) =
i=0
k

k

k

∗

i ∗

i ∗

p(A) = (
i=0

ai (A∗ )i .

ai (A ) =

ai A ) =

i=0

i=0

Do đó
k
∗

p(A)p(A) =

k

ai A
i=0

j=0

i,j=0
k

∗ j

p(A) p(A) =

k

ai aj (A∗ )j Ai .

i

aj (A )
j=0

ai aj Ai (A∗ )j ,

aj (A ) =

k
∗

k
∗ j

i

ai A =
i=0

i,j=0

Mà AA∗ = A∗ A nên bằng quy nạp ta có thể chứng minh được Ai (A∗ )j =
(A∗ )j Ai , ∀i, j ∈ N. Từ đó suy ra p(A)p(A)∗ = p(A)∗ p(A), tức là p(A) chuẩn
tắc.

Ngược lại, giả sử p(A) là ma trận chuẩn tắc với mọi đa thức p. Đặt P (x) =
x. Khi đó P (A) = A là ma trận chuẩn tắc.
(1) ⇔ (3) Giả sử A chuẩn tắc. Khi đó U ∗ AU chuẩn tắc với U là ma trận
unita bất kỳ. Thật vậy, ta có (U ∗ AU )∗ = U ∗ A∗ (U ∗ )∗ = U ∗ A∗ U . Do đó
(U ∗ AU )∗ (U ∗ AU ) = U ∗ A∗ AU,
(U ∗ AU )(U ∗ AU )∗ = U ∗ AA∗ U.
Vì AA∗ = A∗ A nên (U ∗ AU )∗ (U ∗ AU ) = (U ∗ AU )(U ∗ AU )∗ , tức là U ∗ AU
chuẩn tắc.
Ngược lại, giả sử tồn tại ma trận unita U sao cho U ∗ AU chuẩn tắc. Khi đó
U ∗ cũng là ma trận unita. Do đó, theo chứng minh trên ta có (U ∗ )∗ (U ∗ AU )U ∗ =
A là ma trận chuẩn tắc.


12
(1) ⇒ (4) Giả sử A chuẩn tắc và B = U ∗ AU =

B11
0

B12
, trong đó U
B22

là ma trận unita, B11 là ma trận vuông và B12 = [βij ]. Áp dụng điều kiện (3)
∗
B11
0
ta suy ra B chuẩn tắc. Ta có B ∗ =
. Từ đó suy ra
∗

∗
B12
B22
BB ∗ =

∗
∗
B11 B11
+ B12 B12
∗
B22 B12

∗
B11
B11
B B=
∗
B11
B12
∗

∗
B12 B22
,
∗
B22 B22

∗
B11
B12

.
∗
∗
B12
B12 + B22
B22

∗
∗
∗
∗
∗
Vì BB ∗ = B ∗ B nên B11 B11
+B12 B12
= B11
B11 . Do đó tr(B11 B11
+B12 B12
)=
∗
∗
∗
∗
∗
tr(B11 B11 ). Từ đó suy ra tr(B11 B11 )+tr(B12 B12 ) = tr(B11 B11 ). Vì tr(B11 B11
)=
∗
∗
∗
2
tr(B11 B11 ) nên tr(B12 B12 ) = 0. Mà tr(B12 B12 ) =

|βij | nên ta suy ra
B12 = 0.
(4) ⇒ (5) Giả sử W là một không gian con A-ổn định của Cn và dim W =
m ≤ n. Khi đó, vì W ⊕W ⊥ = Cn nên tồn tại một cơ sở trực chuẩn {u1 , . . . , un }
của Cn mà trong đó {u1 , . . . , um } là cơ sở của W và {um+1 , . . . , un } là cơ sở
của W ⊥ . Đặt U = u1 u2 . . . un ∈ Cn×n . Khi đó U có các véc tơ cột

tạo thành một hệ trực chuẩn nên U là ma
Khi đó ta có
 ∗
u1
 ∗
 u2 

B=
 ..  A u1 u2
 . 
u∗n
 ∗
u1
 ∗
 u2 

=
 ..  Au1 Au2
 . 
u∗n
 ∗
u1 Au1 u∗1 Au2
 ∗

 u2 Au1 u∗2 Au2
=
..
 ..
 .
.
∗
∗
un Au1 un Au2

trận unita. Đặt B = U ∗ AU = [bij ].

. . . un

. . . Aun

...
...
..
.
···


u∗1 Aun

u∗2 Aun 
.. 
.
. 
u∗n Aun

Tức là bij = u∗i Auj với i, j = 1, . . . , n. Vì W là không gian con A-ổn định của
Cn nên Auj ∈ W với mọi j = 1, . . . , m. Do đó ∀ i = m + 1, n, j = 1, m, bij =


13
B11 B12
, trong đó B11 ∈ Cm×m .
0
B22
Khi đó, từ (4) suy ra B12 = 0. Tức là bij = 0, ∀ i = 1, m, j = m + 1, n. Với
mỗi j ∈ {m + 1, m + 2, . . . , n}, ta có u∗i (Auj ) = bij = 0 ∀ i = 1, m. Do đó
Auj ∈ W ⊥ với mọi j = m + 1, . . . , n. Mà hệ véc tơ um+1 , . . . , un là một cơ sở
của W ⊥ cho nên A(W ⊥ ) ⊆ W ⊥ . Vậy W ⊥ cũng là một không gian con A-ổn
định của Cn .
(5) ⇒ (6) Giả sử x là một véc tơ riêng của A. Khi đó W = x là một
không gian con A-ổn định của Cn . Do đó W ⊥ = x⊥ cũng là một không gian
con A-ổn định của Cn .
(6) ⇒ (7) Theo định lý biểu diễn Schur, tồn tại ma trận unita U =
u1 u2 · · · un sao cho
u∗i (Auj ) = 0. Nghĩa là B có dạng B =


λ1

T = U ∗ AU = 

0

∗

..



 = [tij ].


.
λn

Khi đó Au1 = λ1 u1 và tij = u∗i Auj ∀i, j = 1, n. Vì u1 là một véc tơ riêng của
n
A nên u⊥
1 = u2 , . . . , un là không gian con A-ổn định của C . Do đó, ∀j > 1,
t1j = u∗1 (Auj ) = 0. Từ đó suy ra T có dạng


λ1 0 · · · 0


0 λ2 ∗
∗

.
T = U ∗ AU = 
..
..
 ..

. ∗

.
.
0
0 · · · λn
Vì AU = U T nên ta suy ra được Au2 = λ2 u2 . Tức là u2 là một véc tơ riêng
của A ứng với giá trị riêng λ2 . Do đó, u⊥
2 = u1 , u3 , . . . , un là không gian con
A-ổn định của Cn . Vì vậy với mọi j > 2, t2j = u∗2 (Auj ) = 0. Từ đó suy ra T
có dạng


λ1 0
0 ··· 0
0 λ
0 ··· 0 
2




0
0 λ3 ∗
∗ .
T = U ∗ AU = 


..
..
 ..


..
.
. ∗
.
.
0
0
0 · · · λn
Cứ tiếp tục như vậy, ta suy ra u3 , u4 , . . . , un lần lượt là các véc tơ riêng
của A ứng với các giá trị riêng λ3 , λ4 , . . . , λn và T = U ∗ AU là ma trận đường
chéo.


14
(7) ⇒ (8) Giả sử U ∗ AU = D = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ). Khi đó A = U DU ∗ ,
A∗ = U D∗ U ∗ . Theo bài toán nội suy Lagrange thì tồn tại đa thức p có bậc
m

nhỏ hơn n sao cho p(λi ) = λi ∀ i = 1, n. Giả sử p(x) =

ci xi , m ≤ n − 1.

i=0

Khi đó p(D) = diag p(λ1 ), . . . , p(λn ) = diag(λ1 , . . . , λn ) = D∗ . Từ đó suy ra
m

m

ci U D i U ∗

∗ i

∗

ci (U DU ) =

p(A) = p(U DU ) =

i=0

i=0
m

ci Di

=U

U ∗ = U.p(D).U ∗ = U D∗ U ∗ = A∗ .

i=o

(8) ⇒ (9) Giả sử tồn tại đa thức p sao cho p(A) = A∗ và tồn tại B ∈ Cn×n
sao cho AB = BA. Khi đó, bằng quy nạp ta có thể chứng minh được Ai B =
BAi với mọi i ∈ N. Do đó p(A)B = Bp(A). Tức là A∗ B = BA∗ .
(9) ⇒ (1) Chọn B = A. Khi đó AB = A2 = BA. Do đó A∗ B = BA∗ ,
nghĩa là A∗ A = AA∗ . Vậy A chuẩn tắc.
(1) ⇔ (10) Giả sử A chuẩn tắc và x là một véc tơ riêng của A ứng với giá
trị riêng λ. Khi đó ta có (A − λI)x = 0 và A − λI cũng là ma trận chuẩn tắc.
Từ đó suy ra

(A∗ − λI)x

2

2

= (A − λI)∗ x

∗

= (A − λI)∗ x

. (A − λI)∗ x

= x∗ (A − λI)(A − λI)∗ x
= x∗ (A − λI)∗ (A − λI)x
∗

= (A − λI)x
= (A − λI)x

. (A − λI)x
2

= 0.

Vì vậy (A∗ − λI)x = 0, cho nên x là véc tơ riêng của A∗ ứng với giá trị riêng
λ.
Ngược lại, giả sử A có biểu diễn Schur là



t11 t12 · · · t1n


 0 t22 · · · t2n 
∗
T = U AU = 
..
.. 
..
 ..
,
.
 .
.
. 
0
0 · · · tnn
với U là ma trận unita. Khi đó, mọi véc tơ riêng của T cũng là véc tơ riêng
của T ∗ . Thật vậy, giả sử x là một véc tơ riêng của T ứng với giá trị riêng λ.


15
Khi đó T x = λx, nghĩa là U ∗ AU x = λx. Từ đó suy ra A(U x) = λ(U x). Vì
x = 0 nên U x = 0. Do đó U x là một véc tơ riêng của A. Khi đó U x cũng
là véc tơ riêng của A∗ nên tồn tại µ ∈ C sao cho A∗ (U x) = µ(U x). Do đó
(U ∗ A∗ U )x = µx, tức là T ∗ x = µx. Vì vậy x cũng là một véc tơ riêng của T ∗ .
Bây giờ, ta chứng minh T là ma trận đường chéo. Đặt ei = [0, . . . , 1, 0, . . . , 0]t
∈ Cn , (trong đó 1 ở vị trí thứ i), với i = 1, . . . , n. Khi đó
 

t11
 
0

T e1 = 
 ..  = t11 e1 .
 . 
0
Nghĩa là e1 là véc tơ riêng của T . Do đó e1 cũng là véc tơ riêng của T ∗ . Vì
vậy tồn tại µ1 ∈ C sao cho T ∗ e1 = µ1 e1 . Khi đó
 
 
µ1
t11
 
 
0
 t12 
 . .

=
µ
e
=
T ∗ e1 = 
1 1
.
 .. 
.
 . 

o
t1n
Từ đó suy ra t12 = t13 = . . . = t1n = 0.
đó T có dạng

t11 0

 0 t22
T =
..
 ..
 .
.
0
0

Do đó t12 = t13 = . . . = t1n = 0. Khi
···
∗
..
.
···


0

∗ 
.

∗ 

tnn

Từ đó suy ra
   
0
0
1 t 
   22 
   
0  0 
T e2 = T 
  =   = t22 e2 .
 ..   .. 
.  . 
0

0

Nghĩa là e2 là một véc tơ riêng của T. Do đó e2 cũng là véc tơ riêng của T ∗ .


16
Vì vậy tồn tại µ2 ∈ C sao cho T ∗ e2 = µ2 e2 . Từ đó suy ra
 
 
0
0
µ 
t 
 2

 22 
 


t23  = µ2 e2 =  0  .
T ∗ e2 = 
 
 
 .. 
 .. 
.
 . 
0
t2n
Do đó, t23 = t24 = . . . = t2n = 0, nghĩa là
T có dạng

t11 0
0 t
22


∗
0
0
T = U AU = 

..
 ..
 .

.
0
0

t23 = t24 = . . . = t2n = 0. Khi đó
0
0
t33
..
.
0

···
···
∗
..
.

0
0
∗

···

tnn







.


∗ 

Cứ tiếp tục như vậy, ta suy ra e3 , . . . , en lần lượt là các véc tơ riêng của T và
T là ma trận đường chéo. Vì vậy theo (7) thì A là ma trận chuẩn tắc.
(7) ⇔ (11) Giả sử tồn tại ma trận unita U = [u1 · · · un ] (trong đó ui là
cột thứ i của U ) và λ1 , . . . , λn ∈ C sao cho U ∗ AU = diag(λ1 , . . . , λn ). Khi
đó AU = U.diag(λ1 , . . . , λn ). Từ đó suy ra Aui = λi ui , ∀i = 1, . . . , n. Do
đó, ui là véc tơ riêng của A ∀i = 1, n. Mặt khác, vì U là ma trận unita nên
u1 , . . . , un là một hệ véc tơ trực chuẩn. Vì vậy các véc tơ riêng u1 , . . . , un của
A tạo thành một cơ sở trực chuẩn của Cn .
Ngược lại, giả sử ma trận A có n véc tơ riêng u1 , . . . , un tạo thành một cơ
sở trực chuẩn của Cn . Khi đó U = [u1 · · · un ] là ma trận unita và U ∗ AU =
[u∗i Auj ] là ma trận đường chéo.
(12) ⇔ (11) Giả sử A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính với nhau và 2
véc tơ riêng ứng với 2 giá trị riêng phân biệt thì trực giao với nhau. Giả sử n
véc tơ đó là
u11 , . . . , u1k1 , u21 , . . . , u2k2 , . . . , um1 , . . . , umkm

(2.3)

trong đó k1 +. . .+km = n và ui1 , . . . , uiki ∈ WA,λi ∀ i = 1, m; λi = λj với i = j.
Với mỗi i = 1, . . . , n, áp dụng thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Schmidt cho
hệ véc tơ ui1 , . . . , uiki ta thu được ki véc tơ vi1 , . . . , viki ∈ WA,λi . Vì 2 véc tơ
riêng bất kỳ trong hệ (2.3) ứng với 2 giá trị riêng phân biệt thì trực giao nên
hệ n véc tơ
v11 , . . . , v1k1 , v21 , . . . , v2k2 , . . . , vm1 , . . . , vmkm

(2.4)


17
cũng trực giao. Vì vậy hệ (2.4) là hệ các véc tơ riêng của A tạo thành một cơ
sở trực chuẩn của Cn .
Chiều ngược lại là hiển nhiên.
n

(13) ⇒ (1) Giả sử A có thể biểu diễn dưới dạng A =
Khi đó A∗ =

n
i=1

λi Ei∗ =

λi Ei như (2.1).
i=1

n

λi Ei . Từ đó suy ra
i=1
n

∗

n

|λi |2 Ei 2 ,

λi λj Ei Ej =

AA =
i,j=1

i=1

n

n

∗

A A=

|λi |2 Ei 2 .

λi λj Ej Ei =
i,j=1

i=1

Do đó A chuẩn tắc.
(7) ⇒ (13) Giả sử U ∗ AU = diag(λ1 , . . . , λn ), trong đó U = [u1 · · · un ] là
ma trận unita. Khi đó A = U.diag(λ1 , . . . , λn ).U ∗ = λ1 u1 u∗1 + · · · + λn un u∗n .
Đặt
Ei = ui u∗i , i = 1, . . . , n.

Khi đó

Ei2

= Ei =

Ei∗

n

∀i = 1, n, Ei Ej = 0 với i = j và
i=1

Ei = u1 u∗1 + · · · +

un u∗n = U U ∗ = In .
(14) ⇒ (1) Tương tự như (13) ⇒ (1).
(7) ⇒ (14) Giả sử U ∗ AU = diag(λ1 Ik1 , . . . , λm Ikm ), trong đó λ1 , . . . , λm
là các giá trị riêng khác nhau từng đôi một của A và U là ma trận unita. Đặt
Di là ma trận đường chéo nhận được từ ma trận diag(λ1 Ik1 , . . . , λm Ikm ) bằng
cách thay λi = 1 và λj = 0 với j = i. Khi đó các ma trận Pi = U Di U ∗ thỏa
mãn điều kiện (14).
(15) ⇒ (1) Giả sử tồn tại ma trận chuẩn tắc B có các giá trị riêng phân
biệt sao cho AB = BA. Khi đó theo điều kiện (7) thì tồn tại ma trận unita
V sao cho B = V T V ∗ với T = diag(t1 , · · · , tn ) và ti là các giá trị riêng
phân biệt của B, i = 1, . . . , n. Vì AB = BA nên AV T V ∗ = V T V ∗ A. Do đó
V ∗ AV T = T V ∗ AV . Đặt W = V ∗ AV = [wij ]. Khi đó W T = T W . Từ đó
suy ra wij tj = ti wij ∀i, j = 1, n. Do đó wij ti − tj = 0 ∀i, j = 1, n. Mà
ti = tj ∀ i = j nên wij = 0 ∀ i = j. Do đó V ∗ AV = W là ma trận đường chéo.
Vì vậy, theo điều kiện (7) thì A chuẩn tắc.

(1) ⇒ (16) Giả sử A chuẩn tắc. Khi đó tồn tại ma trận unita U sao cho
A = U DU ∗ , D là ma trận đường chéo. Đặt C = U.diag(1, 2, . . . , n).U ∗ . Khi
đó C là ma trận Hermite có các giá trị riêng phân biệt và AC = CA.
(16) ⇒ (15) Hiển nhiên vì ma trận Hermite cũng là ma trận chuẩn tắc.


18
(17) ⇔ (1) Nếu A chuẩn tắc thì A∗ A − AA∗ = 0 là ma trận nửa xác định
dương.
Ngược lại, giả sử A∗ A − AA∗ là ma trận nửa xác định dương. Khi đó
A∗ A − AA∗ có các giá trị riêng µ1 , . . . µn là các số thực không âm. Do đó
tr(A∗ A − AA∗ ) =

n

µi ≥ 0. Vì A∗ A − AA∗ = 0 nên tr(A∗ A − AA∗ ) =

i=1
∗

∗

tr(A A) − tr(AA ) = 0. Từ đó suy ra các giá trị riêng µi = 0 ∀ i = 1, n. Vì
vậy A∗ A − AA∗ = 0, nghĩa là A chuẩn tắc.
(18) ⇔ (1) Ta có
1
(A + A∗ )(A − A∗ )
4
1 2
= (A + A∗ A − AA∗ − A∗ 2 ),

4
1
KH = (A − A∗ )(A + A∗ )
4
1
= (A2 − A∗ A + AA∗ − A∗ 2 ).
4
HK =

Từ đó suy ra HK = KH khi và chỉ khi AA∗ = A∗ A.
(19) ⇔ (1) Ta có
AH =

1
1
A(A + A∗ ) = (A2 + AA∗ ),
2
2

1
1
(A + A∗ )A = (A2 + A∗ A).
2
2
Vì vậy AH = HA khi và chỉ khi AA∗ = A∗ A.
(20) ⇔ (1) Ta có
HA =

1
1

A(A + A∗ ) + (A + A∗ )A∗
2
2
1 2
1
= A + AA∗ + A∗ 2 ,
2
2
1
2H 2 = (A + A∗ )2
2
1
1
1
1
= A2 + AA∗ + A∗ A + A∗ 2 .
2
2
2
2

AH + HA∗ =

Vì vậy AH + HA∗ = 2H 2 khi và chỉ khi AA∗ = A∗ A.
(21) ⇔ (1) Ta có
AK =

1
1
A(A − A∗ ) = (A2 − AA∗ ),

2
2

KA =

1
1
(A − A∗ )A = (A2 − A∗ A).
2
2


19
Vì vậy AK = KA khi và chỉ khi AA∗ = A∗ A.
(22) ⇔ (1) Ta có
1
1
A(A − A∗ ) − (A − A∗ )A∗
2
2
1
1
= A2 − AA∗ + A∗ 2 ,
2
2
1
2K 2 = (A − A∗ )2
2
1
1

1
1
= A2 − AA∗ − A∗ A + A∗ 2 .
2
2
2
2

AK − KA∗ =

Vì vậy AK − KA∗ = 2K 2 khi và chỉ khi AA∗ = A∗ A.
Nếu H khả nghịch thì (23) ⇔ (20). Trong trường hợp K khả nghịch thì
(24) ⇔ (22).
(25) ⇔ (10) Giả sử mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ riêng của H.
Lấy x = 0 là một véc tơ riêng bất kỳ của A. Khi đó tồn tại λ, µ ∈ C sao cho
A + A∗
Ax = λx và Hx = µx. Từ đó suy ra
x = µx. Do đó (A + A∗ )x = 2µx.
2
Vì vậy A∗ x = 2µx − Ax = (2µ − λ)x, nghĩa là x cũng là véc tơ riêng của A∗ .
Ngược lại, giả sử mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ riêng của A∗ . Lấy
x = 0 là một véc tơ riêng bất kỳ của A. Khi đó tồn tại λ, µ ∈ C sao cho Ax =
A + A∗
1
1
λx và A∗ x = µx. Từ đó suy ra Hx =
x = (Ax + A∗ x) = (λ + µ)x.
2
2
2

Nghĩa là x cũng là véc tơ riêng của H.
(26) ⇔ (10) Chứng minh tương tự như trên.
(27) ⇔ (18) Giả sử các giá trị riêng của H phân biệt và HK = KH.
Lấy x = 0 là một véc tơ riêng bất kỳ của H. Khi đó tồn tại λ ∈ C sao cho
Hx = λx. Từ đó suy ra
H(Kx) = K(Hx) = λ(Kx).
Do đó Kx ∈ WH,λ . Mà các giá trị riêng của H phân biệt nên dim WH,λ = 1.
Vì vậy tồn tại µ ∈ C sao cho Kx = µx, tức là x cũng là véc tơ riêng của K.
Ngược lại, giả sử H có n giá trị riêng phân biệt λ1 , . . . , λn và mọi véc
tơ riêng của H đều là véc tơ riêng của K. Lấy các véc tơ riêng p1 , . . . , pn
tương ứng với các giá trị riêng λ1 , . . . , λn của H. Khi đó hệ véc tơ p1 , . . . , pn
là độc lập tuyến tính. Do đó ma trận P = [p1 · · · pn ] khả nghịch. Mặt khác,
p1 , . . . , pn cũng là các véc tơ riêng của K nên tồn tại µ1 , . . . , µn ∈ C sao cho
Kpi = µi pi ∀ i = 1, n. Khi đó ta có
KHP = KHp1 · · · KHpn = K(Hp1 ) · · · K(Hpn )


20
= λ1 Kp1 · · · λn Kpn = λ1 µ1 p1 · · · λn µn pn ,
HKP = HKp1 · · · HKpn = H(Kp1 ) · · · H(Kpn )
= µ1 Hp1 · · · µn Hpn = µ1 λ1 p1 · · · µn λn pn .
Do đó KHP = HKP . Mà P khả nghịch nên KH = HK.
Từ chứng minh trên ta rút ra nhận xét sau.
Nhận xét 2.2. Cho A, B ∈ Cn×n và A có các giá trị riêng phân biệt. Khi
đó, A và B giao hoán nếu và chỉ nếu mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ
riêng của B.
Dùng nhận xét trên, ta có được (28) ⇔ (18); (29) ⇔ (19) và (30) ⇔ (21).
(31) ⇔ (1) Giả sử A có biểu diễn cực là A = V P , trong đó V là ma trận
unita và P là ma trận nửa xác định dương.
Giả sử V P = P V . Khi đó A∗ A = P ∗ V ∗ V P = P ∗ P = P 2 , AA∗ =

V P P ∗ V ∗ = V P 2 V ∗ = P 2 V V ∗ = P 2 . Do đó A∗ A = AA∗ .
Ngược lại, giả sử A∗ A = AA∗ . Khi đó P 2 = V P 2 V ∗ . Từ đó suy ra
(V P V ∗ )2 = V P 2 V ∗ = P 2 . Tức là V P V ∗ và P là các căn bậc 2 của P 2 .
Mặt khác, vì P nửa xác định dương nên P 2 và V P V ∗ cũng nửa xác định
dương. Do đó, theo Định lý 1.15 thì căn bậc 2 của P 2 là duy nhất. Vì vậy
V P V ∗ = P , cho nên V P = P V .
(32) ⇔ (31) Vì V khả nghịch nên V P = P V khi và chỉ khi V V P = V P V ,
tức là V A = AV.
(33) ⇔ (31) Giả sử V P = P V . Khi đó V P P = P V P , tức là AP = P A.
Ngược lại, giả sử AP = P A, tức là V P P = P V P . Nếu P khả nghịch thì
V P = P V. Nếu P không khả nghịch thì ta có thể viết P dưới dạng
P = U∗

D
0

0
U,
0

trong đó U ∈ Cn×n là unita và D ∈ Cr×r (r < n) là ma trận đường chéo xác
định dương. Khi đó, vì V P P = P V P nên
VU

∗

D2
0

0

D
U = U∗
0
0

0
D
UV U∗
0
0

0
U.
0

Từ đó suy ra
UV U

∗

D2
0

0
D
=
0
0

0

D
UV U∗
0
0

0
.
0