Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyen nam 2013 2014 thpt chuyen nguyen trai so gd dt hai duong 5564

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm : 01 trang

Câu I (2,0 điểm)
1) Phân tích đa thức P ( x)  (3x  2)3  (1  2 x)3  (1  x)3 thành nhân tử.
2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc  4 .
Tính giá trị của biểu thức:
A  a (4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a )  c(4  a )(4  b)  abc

Câu II ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình

4  x2  6  2 2  x  3 2  x .

 x 2  y 2  5
2) Giải hệ phương trình 
.
2
2
 xy ( x  y )  6
Câu III (2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện x 2  4 xy  5 y 2  2( x  y ) .

2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 1 p  p 2  p 3  p 4 là số hữu tỷ.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay
đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD,
BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
2) Chứng minh AO  EF .
3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S

x 2  xy  y 2

x  y  2z

y 2  yz  z 2

y  z  2x

z 2  zx  x 2
z  x  2y

----------------------------Hết----------------------------

Họ và tên thí sinh................................................Số báo danh........................................
Chữ kí của giám thị 1: ....................................Chữ kí của giám thị 2: ...........................


ĐÁP ÁN

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Câu Ý
I
1

Nội dung
Phân tích P ( x)  (3 x  2)  (1  2 x)3  (1  x)3 thành nhân tử
3

Đặt a  3x  2, b  1  2 x, c  1  x  a  b  c  0  P  a 3  b3  c 3

P  (a  b)3  c 3  3ab(a  b)

 (a  b  c) (a  b) 2  (a  b)c  c 2   3ab(a  b)

 3ab(c)  3abc  3(3x  2)(1  2 x)(1  x)
I

A  a (4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a )  c(4  a )(4  b)  abc

2

a  b  c  abc  4  4a  4b  4c  4 abc  16
 a (4  b)(4  c)  a (16  4b  4c  bc)
 a (4a  4b  4c  4 abc  4b  4c  bc)  a (4a  4 abc  bc)
 a (2 a  bc ) 2  a (2 a  bc )  2a  abc
b(4  c)(4  a )  2b  abc , c(4  a )(4  b)  2c  abc

Tương tự

 A  2(a  b  c)  3 abc  abc  2(a  b  c  abc )  8
II

Giải phương trình

1

4  x2  6  2 2  x  3 2  x





ĐK: 2  x  2 . Pt  (2  x)(2  x)  3 2  x  2 3  2  x  0

 2 x


II

2





 



2 x 3 2

2 x 3



2 x 3  0

 2 x 3 0
2 x 2  0  
 2  x  2  0



Giải pt

2  x  3  0  x  7 (Loại)

Giải pt

2  x  2  0  x  2 (TM). Vậy x = -2

 x 2  y 2  5
Giải hệ phương trình 
2
2
 xy ( x  y )  6
( x 2  xy )  ( y 2  xy )  5

 x2  y 2  5
Hệ  
 2
2
 xy ( x  y )( x  y )  6
( x  xy )( y  xy )  6
a  b  5
Đặt a  x 2  xy, b  y 2  xy ta được hệ 
ab  6


2
2
 a  2, b  3  x  xy  2, y  xy  3
Giải hệ pt này ta được 
 2
2
 a  3, b  2  x  xy  3, y  xy  2

 x 2  xy  2
TH 1.  2
 3 x 2  3 xy  2 y 2  2 xy  3x 2  5 xy  2 y 2  0
 y  xy  3

 x  2 y  y 2  1  y  1, x  2

 y  3 x  x 2  1  x   1 , y   3

2
2

2
 x 2  xy  3
TH 2.  2
 2 x 2  2 xy  3 y 2  3xy  2 x 2  5 xy  3 y 2  0
 y  xy  2

1
1
3

2
x  3y  y  2  y   2 , x   2

 y  2 x  x 2  1  x  1, y  2
Vậy hệ pt có tám nghiệm là
 1 3   1 3 
 3 1   3 1 
(2;1), (2; 1), 
;
;
;
;
, 
 , (1; 2), (1; 2), 
, 

 2 2  2 2
 2 2  2 2

III

Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x 2  4 xy  5 y 2  2( x  y )

1

Pt  x 2  2(1  2 y ) x  5 y 2  2 y  0
Tồn tại x   '  (1  2 y ) 2  (5 y 2  2 y )  0

 y 2  2 y  1  0  ( y  1) 2  2  y  1  2  1  2  y  1  2
Do y là số nguyên nên y  0, y  1, y  2

y  0  x 2  2 x  0  x  0, x  2
y  1  x2  6x  7  x  3  2
y  2  x 2  10 x  24  0  x  4, x  6
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (0;0), (2;0), (4;2), (6;2)
III

Tìm các số nguyên tố p sao cho 1 p  p 2  p 3  p 4 là số hữu tỷ

2

1 p  p 2  p 3  p 4 là số hữu tỷ  1  p  p 2  p 3  p 4  n 2 , n  
 4  4 p  4 p 2  4 p 3  4 p 4  4n 2
2

3

4

2

(1)
2

 p  4 p  4 p  4n  4  4 p  4 p  4 p 3  4 p 4  5 p 2
 (2 p 2  p ) 2  (2n) 2  (2 p 2  p  2) 2  2 p 2  p  2n  2 p 2  p  2
 2n  2 p 2  p  1 . Thế vào (1) ta được


4  4 p  4 p 2  4 p 3  4 p 4  (2 p 2  p  1) 2  p 2  2 p  3  0
Giải pt tìm được p  1 (loại) và p  3
Với p  3  1  p  p 2  p 3  p 4  11 . Vậy p  3
IV

Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

1

  HCE

Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra  HDE
  HBF

Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra  HDF
  HBF
  HDE
  HDF

Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra  HCE


Suy ra DH là tia phân giác của góc EDF
 . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp
Tương tự EH là tia phân giác của góc DEF
tam giác DEF.
IV

Chứng minh AO  EF

2

Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A

  AHE

Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra  AFE
  DCE

Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra  AHE
  xAB
 (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một
DCE
cung)

  xAB
  Ax // EF
Suy ra AFE
AO  xAy  AO  EF
IV

Chứng minh AO  EF

3
AO  EF  SAEOF =

1
AO.EF
2

Tương tự

BO  DF  SBDOF 

1
1
BO.DF, CO  DE  SCDOE  CO.DE
2
2

1
 SABC = SAEOF + SBDOF  SCDOE  (AO.EF  BO.DF + CO.DE)
2
1
= R(EF  DF + DE)
2
Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất  SABC lớn nhất  khoảng cách từ A đến
BC lớn nhất  A là điểm chính giữa của cung lớn BC.


Tìm GTNN của S 

V
Ta có

x 2  xy  y 2 

Tương tự suy ra 2 S 

x 2  xy  y 2

x  y  2z

y 2  yz  z 2

y  z  2x

z 2  zx  x 2
z  x  2y

1
3
1
1
( x  y )2  ( x  y )2 
( x  y )2  ( x  y )
4
4
4
2

x y
yz
zx


x  y  2z y  z  2x z  x  2 y

a  x  y  2 z , b  y  z  2 x, a  z  x  2 y
bca
c a b
abc
, yz 
, zx
2
2
2
bca c a b a bc
 2S 


2a
2b
2c

Đặt  x  y 

b a c a c b
 4S              3  2  2  2  3  3
a b a c b c
Do đó S 

3
3
. Đẳng thức xảy ra x  y  z . Vậy GTNN của S là
4
4
Y

A

A

E

E

X
F
H

B

F

O

H

C

D

Hình vẽ câu a

B

O

C

D

Hình vẽ câu b


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào
lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những
năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh
giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 1