Tích vô hướng và các ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.23 MB, 35 trang )
HÌNH HỌC
10
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
GV: PHAN NHẬT NAM
TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800
CƠ SỞ LỶ THUYẾT
1. Định nghĩa
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vò tâm O. Xét góc nhọn = xOM . Giả sử M ( x0 ; y0 ) .
sin = y0 (tung độ)
cos = x0 (hoành độ)
tan =
cot =
1
y0 tung độ
x0 hoành độ
(x 0)
x0 hoành độ
y0 tung độ
(y 0)
1
-1
0
– Nếu tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0.
Chú ý:
– tan chỉ xác định khi 900, cot chỉ xác định khi 00 và 1800.
2. Tính chất
Góc phụ nhau
Góc bù nhau
sin(900 ) cos
cos(900 ) sin
tan(900 ) cot
cot(90 0 ) tan
sin(1800 ) sin
cos(1800 ) cos
tan(1800 ) tan
cot(1800 ) cot
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
00
300
450
600
900
1800
sin
0
1
2
2
2
cos
1
3
2
2
2
3
2
1
2
1
0
0
–1
tan
0
3
3
1
3
0
cot
3
1
3
3
0
4. Các hệ thức cơ bản
sin2 cos2 1
1
1 tan2
(cos 0)
cos2
1
1 cot 2
(sin 0)
sin2
tan .cot 1 (sin .cos 0)
sin
tan
(cos 0)
cos
cos
cot
(sin 0)
sin
Chú ý:
0 sin 1 ;
1 cos 1 .
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
2
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
Dạng 1: Biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lương giác còn lại
Từ giả thuyết ta xác định khoảng giá trị của góc thuộc (00 , 900 ) hoặc (900 , 1800 ) cụ thể:
(00 , 900 )
sin 0 , cos 0 , tan 0 , cot 0
(90 ,180 ) sin 0 , cos 0 , tan 0 , cot 0
0
0
Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác tương ứng để tìm các giá trị lượng giác còn lại:
sin
cos
Nếu gt cho sin a thì : cos2 1 sin 2 1 a 2 , tan
, cot
cos
sin
sin
cos
Nếu gt cho cos a thì : sin 1 cos 2 1 a 2 , tan
, cot
cos
sin
1
1
1 tan 2 cos 2
Nếu gt cho tan a thì :
, sin tan .cos
2
cos
1 a2
1
1
Nếu gt cho cot a thì :
, cos cot .sin
1 cot 2 sin
2
sin
1 a2
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho biết cos
1
. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc
10
Giải:
Ta có cos
1
0 (900 , 1800 ) sin 0 , tan 0 , cot 0
10
3
(vì sin 0 )
10
Lại có: sin 2 cos 2 1 sin 1 cos 2
tan
sin
cos 1
3 và cot
cos
sin 3
Vậy các giá trị lượng giác còn lại của là: sin
Ví dụ 2: Cho biết sin
1
3
, tan 3 và cot
3
10
1
. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc
3
Giải:
Ta có (00 , 1800 ) sin 0
TH1: (00 , 900 ) cos 0 khi đó ta có:
sin 2 cos 2 1 cos 1 sin 2
tan
2 2
3
cos
sin
1
2
2 2.
và cot
sin
cos 2 2
4
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
3
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
TH2: (900 , 1800 ) cos 0 khi đó ta có:
sin 2 cos 2 1 cos 1 sin 2
tan
2 2
3
cos
sin
1
2
2 2 .
và cot
sin
cos
4
2 2
Ví dụ 3: Cho biết tan 2 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc
Giải:
Ta có tan 2 0 (00 , 900 ) sin 0 , cos 0 , cot 0
Lại có:
1
1
5
tan 2 1 22 1 5 cos 2 cos
2
cos
5
5
tan
sin
2 5
sin tan .cos
cos
5
cot
1
1
tan 2
1
5
2 5
, sin
và cot
2
5
5
Vậy các giá trị lượng giác còn lại của góc là: cos
Ví dụ 4: Cho biết tan x 2 . Tính giá trị của biểu thức: A
(vì cos 0 )
cos3 x sin x cos x
sin 3 x 3cos x
Giải:
cos3 x sin x cos x
sin x
1
1
1
. 2
cos3 x sin x cos x cos3 x cos3 x cos3 x
cos x cos x cos 2 x
A
1
sin 3 x cos x
sin 3 x cos x
1
3
3
cos 2 x
cos x cos x
1 tan x(tan 2 x 1) (tan 2 x 1) tan 3 x tan 2 x tan x 23 2 2 2
1
1 (tan 2 x 1)
tan 2 x 2
22 2
Ví dụ 5: Cho biết sin cos 2
a. Tính các giá trị lượng giác : sin , cos , tan , cot
b. Tính giá trị của biểu thức: A sin 6 cos6
Giải:
a. sin cos 2 cos sin 2
Lại có: sin 2 cos 2 1 sin 2 sin 2
2
2 sin 1 0 sin
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
4
2
1 2sin 2 2 2 sin 1 0
1
2
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
1
1
2
2
2
sin
cos
tan
1 và cot
1
cos
sin
Do đó: cos sin 2
Vậy các giá trị lượng giác cần tìm là: sin
b. A sin 6 cos 6 sin 2 cos 2
3
2
2
, cos
, tan 1 , cot 1
2
2
3
3
1 1 1
sin 2 cos 2 3sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 1 3sin 2 cos 2 1 3. .
2 2 4
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho M(- 4; 3). Hãy tìm các giá trị sin x, cos x, tan x, cot x với x xOM
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho các giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
a. sin
1
(biết là góc nhọn)
4
d. cos
b. tan 2 2
4
c. sin
5
1
3
e. cot 2
3
f. cos
5
Bài 2: Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của biểu thức:
a. Cho biết: sin x
1
, 900 x 1800 . Tính
3
A
tan x 3cot x 1
tan x cot x
b. Cho biết: tan x 2
Tính
B
sin x cos x
3sin x cos x
, C
3
sin x 3cos x 2sin x
sin x cos x
c. Cho biết: sin x 2
Tính
C
cot x tan x
cot x tan x
d. Cho biết: cot x 3
Tính
E
sin 2 x 2sin x cos x 2 cos 2 x 1
2sin 2 x 3sin x cos x 4 cos 2 x
2
Bài 3: Cho biết 450 900
a. Chứng minh rằng: sin cos 1
b. Đặt: a sin cos . Hãy tính giá trị của các biểu thức :
A sin cos
B sin cos
C sin 4 cos 4
D sin 4 cos4
E sin 6 cos6
F sin 6 cos6
Bài 4: Biết sin150
6 2
. Tinh cos150 , tan150 , cot150 .
4
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
5
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Bài 5 : Cho sin cos
4
. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
3
A sin cos
B sin cos
C sin 4 cos 4
D sin 4 cos4
E sin 6 cos6
F sin 6 cos6
G sin8 cos8
H
cos 2 cot 2
sin 2 tan 2
Bài 6: Tính giá trị các biểu thức sau:
a. a sin 00 b cos00 c sin 900
e. a cos900 b sin 900 c sin1800
b. a2 sin 900 b2 cos900 c2 cos1800
f. 3 sin2 900 2 cos2 600 3tan2 450
c. 4a2 sin2 450 3(a tan 450 )2 (2a cos 450 )2
g. sin2 30 sin2 150 sin2 750 sin2 870
d. cos2 120 cos2 780 cos2 10 cos2 890
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; 4) và xOM 1200 . Hãy tìm x
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y) và xOM . Hãy cho biết dấu của x, y trong các
trường hợp : nhọn , tù
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác :
Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác :
sin
(cos 0)
cos
cos
cot
(sin 0)
sin
tan .cot 1 (sin .cos 0)
tan
sin2 cos2 1
1
1 tan2
(cos 0)
cos2
1
1 cot 2
(sin 0)
sin2
sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x cos 2 x 1 2sin 2 x cos 2 x
2
2
2
sin 6 x cos6 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 3sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 1 3sin 2 x cos 2 x
3
3
3
sin 8 x cos8 x sin 4 x cos 4 x sin 4 x cos 4 x 2sin 4 x cos 4 x 1 2sin 2 x cos 2 x 2sin 4 x cos 4 x
2
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
2
2
6
2
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức:
1
1
1
sin x
sin x
;
2
2 2 cos x 2 2 cos x
1 tan x
với 00 x 1800
Giải:
x (00 ,1800 ) sin x 0
1 cos x 1 cos x
1 cos x
1 cos x
VT sin x
sin x sin x
sin
x
2 1 cos 2 x
2(1 cos x)(1 cos x) 2(1 cos x)(1 cos x)
1
1
1
sin x
sin
x
sin
x
sin
x
sin x 1 sin 2 x cos 2 x
sin x
2
sin x
sin x
sin x
VP
1
1 tan 2 x
1
cos 2 x
1
cos 2 x
Do đó ta có: VT VP cos2 x (đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức: tan2 x sin2 x tan2 x.sin2 x
Giải:
VT tan 2 x sin 2 x
sin 2 x
1
sin 2 x sin 2 x
1
2
2
cos x
cos
sin 2 x tan 2 x 1 1 sin 2 x tan 2 x VP (đpcm)
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A sin 2 30 sin 2 150 sin 2 750 sin 2 870
Giải:
Theo công thức phụ ta có:
sin 30 sin 900 87 0 cos87 0
sin150 sin 900 750 cos 750
Do đó ta có:
A cos 2 870 cos 2 750 sin 2 750 sin 2 87 0 cos 2 87 0 sin 2 87 0 cos 2 750 sin 2 750 1 1 2
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
7
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Ví dụ 4: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
A sin 4 x 4cos 2 x cos 4 x 4sin 2 x
Giải:
Nhận xét: x ta đều có: 1 sin x, cos x 1 0 sin x , cos x 1 0 sin 2 x, cos 2 x 1
A sin 4 x 4 1 sin 2 x cos4 x 4 1 cos2 x
sin 2 x 2 cos 2 x 2 2 sin 2 x 2 cos 2 x
sin
2
x 2
2
cos
2
x 2
2
(vì sin 2 x 2 0 và cos2 x 2 0 )
4 sin 2 x cos 2 x 4 1 3 (đpcm)
Bài tập áp dụng:
Baøi 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (sin x cos x )2 1 2sin x.cos x
b) sin4 x cos4 x 1 2sin2 x.cos2 x
c) tan2 x sin2 x tan2 x.sin2 x
d) sin6 x cos6 x 1 3sin2 x.cos2 x
sin 2 x
sin x cos x
sin x cos x
e)
sin x cos x
tan 2 x 1
cos 2 x cot 2 x
cot 2 x
f)
2
2
sin x tan x
g) sin x.cos x(1 tan x)(1 cot x) 1 2sin x.cos x
h)
1 sin x
cos x
cos x
1 sin x
Baøi 2. Đơn giản các biểu thức sau:
a) A cos y sin y.tan y
b) B 1 cos b . 1 cos b
c) C sin a 1 tan2 a
d) D
e) E
1 4sin2 x.cos2 x
1 sin2 x
tan x.cot x
f) F sin(900 x ) cos(1800 x ) sin2 x(1 tan2 x ) tan2 x
2
(sin x cos x )
cos 360 sin 540
.cos 540
g) G
0
0
sin144 cos126
i) I
1 cos2 x
1 sin x
1 sin x
1 sin x
1 sin x
h) H sin x cot 2 x cos 2 x
j) J cos2 120 cos2 780 cos2 10 cos2 890
k) K cos100 cos 200 cos300 cos 400 ... cos1600 cos1700 cos1800
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
8
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Baøi 3. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến (độc lập với biến số):
a. A 2cos4 x sin 4 x sin 2 x cos2 x 3sin 2 x
b. B cos6 x 2sin 4 x cos2 x 3sin 2 x cos 4 x sin 4 x
c. C cot x tan x (cot x tan x) 2
2
d. D cos 600 x cos 450 x sin x 300 cos x 1350
e. E sin 4 x 4cos 2 x cos 4 x 4sin 2 x
f.
F
g. G
2
cot x 1
tan x 1 cot x 1
cot 2 x cos 2 x sin x cos x
cot 2 x
cot x
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức liên quan đến các góc của tam giác
Cho tam giác ABC khi đó ta có A B C 1800 hoặc
A B C
900
2 2 2
Vì lý do này nên khi xét bài toán có biến là ba góc của một tam giác ta luôn liên tương đến
công thức bù hoặc công thức phụ , cụ thể như:
sin A B sin 1800 C sin C
cos A B cos 1800 C cos C
sin
A B
C
C
sin 900 cos
2
2
2
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
a. tan
B C 2A
3A
cot
2
2
b. cos A B C cos 2 B
Giải:
B C 1800 A
A, B, C là ba góc của tam giác nên ta có: A B C 180
0
A C 180 B
0
a. tan
B C 2A
1800 3 A
3A
3A
tan
tan 90 0
cot
2
2
2
2
(đpcm)
b. cos A B C cos A C B cos 1800 2 B cos 2 B (đpcm)
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
9
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Bài tập áp dụng: Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1.
sin( B C ) sin A
5.
2.
cos( A B) cos C
6.
A B
C
cos
2
2
A B C
cot C
4. tan
2
3.
sin
7.
A B C
cos C
2
A B 2C
3C
sin
cos
2
2
A B 2C
3C
cot
tan
2
2
sin
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
CƠ SỞ LỶ THUYẾT
1. Góc giữa hai vectơ
Cho a, b 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA a, OB b .
Khi đó a, b AOB với 00 AOB 1800.
Chú ý:
+ a, b = 900 a b
A
O
+ a, b = 00 a , b cùng hướng
B
+ a, b = 1800 a , b ngược hướng
+ a, b b , a
2. Tích vô hướng của hai vectơ
a.b a . b .cos a, b .
Định nghĩa:
2
a.a a 2 a .
Đặc biệt:
Tính chất:
Với a , b , c bất kì và kR, ta có:
a.b b .a ;
a b c a.b a.c ;
ka .b k a.b a. kb ;
a2 0 ;
a b 2 a 2 2a.b b 2 ;
a b 2 a2 2a.b b 2 ;
a2 0 a 0 .
a 2 b 2 a b a b .
a.b > 0 a, b nhọn
a.b < 0 a, b tù
a.b 0 a b
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
10
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2).
Khi đó: a.b a1b1 a2b2 .
a a12 a22 ;
a1b1 a2 b2
cos(a, b )
a12 a22 . b12 b22
; a b a1b1 a2 b2 0
AB ( x B x A )2 ( yB y A )2 .
Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) . Khi đó:
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
Dạng 1:Tính tích vô hương - Tính góc
Phương pháp chung:
1. Nếu để toán cho biết góc của hai vector a, b thì ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng
a.b a . b cos a, b a . b cos
(1)
2. Nếu đề toán không cho góc của hai vector thì ta cần chọn vector c a b hoặc c a b
2
a b
c ab c
2
2
a.b
2
c a b
a b
c a b c
2
a.b
(2)
2
2
2
2
2
a b c
2
2
3. Nếu bài toán yêu cầu xác định góc của a, b ta có thể thực hiện hai bài toán trên
2
Thay (1) vào (2) ta có: cos a, b
2
c a b
2
2
2
cos a, b
2
c a b
2
2 a.b
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a và trọng tâm G.
a. Tính các tích vô hương sau theo a : AB. AC và BA.CA .
b. Gọi I là điểm được xác định theo đẳng thức : IA 2 IB 4 IC 0 .
b1 . Chứng minh BCIG là hình bình hành .
b2 . Tính theo a các tích vô hướng sau: IA AB AC , IB.IC và IA.IB
Giải:
a. Ta có :
AB, AC BAC 60
AB, CA 180 BAC 180
0
0
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
0
600 1200
11
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:
AB. AC AB . AC .cos AB, AC AB. AC.cos 600
AB.CA AB . CA .cos AB, CA AB. AC.cos1200
Hoặc AB.CA AB. AC AB.AC
a2
2
a2
2
A
a2
2
b. G là trọng tâm của ABC IA IB IC 3IG
G
I
b1 . IA 2 IB 4 IC 0 IA IB IC 3 IB IC 0
IG CB BCIG là hình bình hành
b2 . Tính : IA AB AC
C
B
Cách 1: G là trọng tâm của ABC GA GB GC 0 AB AC 3 AG
Ta có: ABC đều AG BC AG IG IG. AG 0
IA AB AC 3 IG GA AG 3IG AG 3 GA
IA IG GA BC
Cách 2:
2 a 3
2
3
a
3
2
1
1
2
AB AC AC AB AB AC AC 2 AB
3
3
3
23 AC 2 AB AB AC 23 AC
2
2
IA AB AC
2
2
2
1
ABAC 2 AB a 2 a 2 2a 2 a 2
3
2
Cách 3: Gọi M là trung điểm BC
Khi đó ta có: AB AC 2 AM , AM BC CB AM 0 và AG
2
AM
3
2
2
4
4a 3
2
IA AB AC 2 IG GA AM 2CB AM 2 AM AM 0 AM 2
a
3
3
3 2
Tính : IB.IC
2
IB.IC IA AB IA AC IA IA AB AC AB.AC
2
a 3
a 2 5a 2
2
2
AG BC IA AB AC AB. AC
a
a
3
2
6
Tính : IA.IB
2
2
IA.IB IG GA IG IC IG 2 IG.IC IG.GA GA.IC IG 2 IG.IC GA.GB
2
a 3
a 3 3 a 3 a 3 1 17 a 2
IG IG.IC.cos 30 GA.GB.cos120
a
3
2
2
2
2
24
2
2
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
0
0
12
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh AB = a, AD = b. Tính theo a, b các tích vô hướng
a. AB. AC , BD. AC ,
AC AB . AC AD
b. MA.MC MB.MD . Với M là điểm tùy ý thuộc đường tròn ngoại tiếp của ABCD.
Giải:
a. AC AB AD {theo quy tắc hình bình hành}
BD AD AB {theo quy tắc ba điểm}
ABCD là hình bình hành AB AD AB. AD 0
Do đó ta có:
AB.AD AB a
BD. AC AD AB AD AB AD AB AD AB a b
AC AB . AC AD AB AD AB . AB AD AD AD AB 2.AD
AD. AB 2 AD 2 AD 2b
AB. AC AB. AB AD AB
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Bình luận: Ở ví dụ trên ta phân tích tất cả các vectơ trong tích vô hướng về hai vectơ AB và AD
vì ta xác định được góc tạo bởi hai vectơ này , cụ thể : AB, AD 900 AB. AD 0
b. Cách 1:
I là tâm của hình chữ nhât nên ta có: IA IC 0 IC IA , IB ID 0 IB ID
Ta có IM IA R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABCD
1
1 2
a b 2 (theo Pitago)
nên IM AC
2
2
MA.MC MI IA MI IC MI
2
IA
MI IC IA IC .IA MI
2
2
R2 R2 0
Tương tự ta cũng có: MB.MD 0
Do đó: MA.MC MB.MD 0
Cách 2:
Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ABCD.
Khi đó ta có (C) có hai đường kính là AC và BD
AMC 900
(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
0
BMD
90
MA MC
MA.MC 0
MA.MC MB.MD 0
MB MD MB.MD 0
M
A
B
I
D
C
Bình luận: Thông qua ví dụ trên ta rút được kinh nghiệm để tính tích vô hướng của hai vectơ thì
trước tiên ta phải xác định được góc tạo bởi hai vectơ đó
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
13
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3
a. Tính AB. AC từ đó suy ra cos BAC
b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG.BC
c. AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính độ dài đoạn AM.
d. Tính GA.GB GB.GC GC.GA
e. Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A. Tính độ dài AD.
Giải:
a. Theo quy tắc 3 điểm ta có: BC AC AB
2
BC AC AB
2
BC 2 AC 2 2 AC . AB AB 2
AC 2 AB 2 BC 2 32 22 42
3
2
2
2
Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:
AC. AB
3
1
AB. AC AB . AC cos AB, AC AB. AC cos BAC 2.3cos BAC cos BAC
2
4
2
1
b. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó ta có: AG AM AB AC
3
3
1
1
5
Do đó: AG.BC AC AB AC AB AC 2 AB 2
3
3
3
c.
M là trung điểm BC 2AM AB AC
4 AM 2 AB2 AC 2 2 ABAC AB2 AC 2 ( AC 2 AB2 BC 2 ) 2 AC 2 2 AB2 BC 2 (theo câu a)
AM 2
2 AC 2 2 AB 2 BC 2 10
10
AM
4
4
2
d. Theo câu c ta có: AG
2
2 2 AC 2 2 AB 2 BC 2
2 AC 2 2 AB 2 BC 2
10
AM
3
3
4
3
3
Tương tự ta cúng có:
BG
2 2 BA2 2 BC 2 AC 2
31
;
3
2
3
CG
2 2CA2 2CB 2 AB 2
46
3
2
3
G là trọng tâm ABC GA GB GC 0
GA GB GC
2
0 GA2 GB 2 GC 2 2GA.GB 2GB.GC 2GC.GA 0
GA2 GB 2 GC 2
10 31 46
29
2
18
6
DB AB
DB 2
2
DB DC
e. D là chân đường phân giác trong của góc A nên ta có
DC AC
DC 3
3
2
DB DC (vì DB , DC ngược chiều)
3
GA.GB GB.GC GC.GA
3 AB AD 2 AC AD 5 AD 3 AB 2 AC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
14
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
5 AD
3 AB 2 AC
AD
2
2
25. AD 2 9 AB 2 4 AC 2 12 AB. AC 54 (theo câu a: AC. AB
3
)
2
3 6
5
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a. MA.BC MB.CA MC. AB 0 với mọi điểm M, A, B, C {hệ thức Euler}
1
b. AB. AC AB 2 AC 2 BC 2 với mọi điểm A, B, C
2
1
c. MN .PQ MQ 2 NP 2 MP 2 NQ 2 với mọi điểm M, N, P, Q
2
Giải:
a. MA.BC MB.CA MC. AB MA. MC MB MB. MA MC MC . MB MA
MA.MC MA.MB MB.MA MB.MC MC.MB MC.MA
MA.MC MC.MA MB.MA MA.MB MC.MB MB.MC 0 (đpcm)
Bình luận: Trong ví dụ này giả thuyết cho các điểm tùy ý nên ta không thể xác định được góc của
các cặp vectơ vì vậy ta không thể dung định nghĩa để tính các tích vô hương. Từ đó ta phải nghĩ
đến việc phân tích thành từng cặp tích vô hướng đối nhau để có thể khử nhau.
b. Cách 1:
Theo quy tắc 3 điểm ta có:
AC AB
BC AC AB BC
2
2
BC 2 AC 2 2 AC. AB AB 2
AC. AB
Cách 2:
1
AC 2 AB 2 BC 2 (đpcm)
2
2
2
2
2
1
1
1
AB 2 AC 2 BC 2 AB AC BC AB AC BC
2
2
2
AC BC
1
1
AB AB AC BC AB 2 AC AB. AC (đpcm)
2
2
Bình luận: Đẳng thức trên thể hiện mối quan hệ của tích vô hướng và bình phương độ dài nên
ta liên tương ngay đến phép bình phương vô hướng để có thể thiết lập được mối quan hệ trên qua
ba vectơ BC; AC và AB từ một đẳng thức đúng BC AC AB
1
1
MQ MP MI và
NQ NP NI
2
2
2
2
2
2
1
1
1
MQ 2 NP 2 MP 2 NQ 2 MQ MP NQ NP
2
2
2
1
1
MQ MP MQ MP NQ NP NQ NP
2
2
PQ.MI PQ.NI PQ. MI NI MN .PQ (đpcm)
c. Gọi I là trung điểm PQ ta có:
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
15
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Dạng 2: Các dạng toán sử dụng biểu thức tọa độ
Nếu bài toán cho ở dạng tọa độ a a1; a2 và b b1; b2 thì ta sử dụng các công thức
a.b a1b1 a2b2
cos a, b
;
a.b
a1b1 a2b2
a a22 b12 b22
2
1
a.b
a b a.b 0 a1b1 a2b2 0
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai vectơ a 1;1 và b 2;1
a b .c 1
a. Tính các giá trị lượng giác của góc a, b
b. Xác định tọa độ của c , biết
và a 2b .c 1
Giải:
a. Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:
a.b
a.b a . b cos a, b cos a, b
a.b
1.2 1.1
1 1
2
2
1 2
2
2
cos a, b
Ta có: sin 2 a, b cos 2 a, b 1 sin a, b 1 cos 2 a, b
tan a, b
1
cos a, b 3
sin a, b
; cot a, b
3
sin a, b
1
10
3
10
{vì sin a, b 0 }
cos a, b
b. Gọi c ( x ; y)
a b 1 2 ;1 1 (3 ; 2)
và
a 2c 1 2 x ;1 2 y
a b .c 1
3x 2 y 1
3x 2 y 1 x 1
ycbt
c (1;1)
2(1
2
x
)
1(1
2
y
)
1
2
x
y
1
y
1
a
2
c
.
b
1
Ví dụ 2: Cho ba điểm A(7; 4), B(0; 3) và C(4; 0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên
đường thẳng BC, từ đó suy ra tọa độ điểm A’ đối xứng A qua BC.
Giải:
Gọi H(x; y) , khi đó ta có:
BH x ; y 3 , AH x 7 ; y 4 và BC 4 ; 3
AH BC
H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC
H BC
( x 7).4 ( y 4).(3) 0
AH .BC 0
4 x 3 y 16
x 4
x y 3
H (4 ; 0)
3
x
4
y
12
y
0
BH
BC
3
4
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
16
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Gọi A’(a ; b) là điểm đối xứng của A qua BC H là trung điểm của AA’
xA xA '
xH
x 2.xH xA
a 2.4 7 1
2
A'
A(1; 4)
b 2.0 4 4
y A ' 2. yH y A
yA yA' y
H
2
Dạng 3: Sử dụng tích vô hướng để chứng minh quan hệ vuông góc:
Phương pháp chung: Cần chứng minh AB CD
Chọn hai vec tơ a, b sao cho xác định được góc a, b và tỷ số môđun của chung
Phân tích : AB m1 a n1 b và CD m2 a n2 b
Tính : AB.CD m1 a n1 b m2 a n2 b 0 AB CD (đpcm)
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: (Trích A – 2014) cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm
thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Chứng minh DN MN
Giải:
Đăt a là độ dài cạnh của hình vuông AB AD a
A
Ta có: AB AD AB. AD 0
DN AN AD
M
.
3
3
3
1
AC AD AD AB AD AB AD
4
4
4
4
MN AN AM
3
1
1
3
AD AB AB AB AD
4
2
4
4
N
D
Bình luận: Xen điểm A vào các vec tơ DN và MN
để phân tích chúng qua hai vec tơ ta đã chọn là AB và AD
Khi đó ta có:
1
3
3
3
3
3
1
3
DN .MN AB AD AB AD AB 2 AD 2 a 2 a 2 0
4
4
16
16
16
4
4
16
DN MN (đpcm)
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
17
B
www.toanhocdanang.com
E
C
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC cạnh 3a. Lấy M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh BC, CA, AB sao
cho BM = a, CN = 2a, AP = x . Tìm x để AM vuông góc PN.
Giải:
Theo giả thuyết ta có:
BC 3BM AC AB 3 AM AB AM
NP AP AN
2
1
AB AC
3
3
x
1
AB AC
3a
3
A
x
P
a2
AB. AC AB. AC.cos AB, AC a 2 cos 600
2
N
.
AM PN AM .NP 0
1
1
2
x
AB AC . AB AC 0
3
3
3
3a
2x
1
x 2
AB 2 AB. AC AC 2 0
9a
9
9a 9
2 xa x 2 a 2 1 2
5x
4a
a 0
2a 0 x
9 9a 9 2 9
2
5
Vậy x
. a
M
B
C
4a
thì AM PN
5
Ví dụ 3: Cho ABC có góc A nhọn. Gọi I là trung điểm BC .Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam
giác ABD và ACE vuông cân tại A. Chứng minh AI DE
Giải:
E
Ta có : AE , AB EAB EAC CAB 900 CAB DAC AD, AC
cos AD, AC cos AE , AB
DE AE AD và
AI
và AE AC AE. AC 0
AD AB AD. AB 0
1
AB AC
2
Ta có: DE. AI 1 AE. AB 1 AE. AC 1 AD. AB 1 AD. AC
2
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
A
D
2
2
18
B
I
2
www.toanhocdanang.com
C
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
1
1
AE. AB cos AE , AB AD. AC cos AD, AC 0
2
2
(vì AB = AD , AC = AE và cos AD, AC cos AE , AB )
DE AI
(đpcm)
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M là trung điểm đoạn AC.Gọi
N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN. Chứng minh: BM AN
Giải:
M là trung điểm AC BM 1 BC BA .
2
Lại có : BC = 4BN BC 4 BN BN 1 BC (Vì BC và BN cùng chiều)
4
Do đó ta có: AN BN BA
1
BC BA
4
1
1
1
1
2
BM . AN BC 2 BA2 2 BA BA2 0 BM AN (đpcm)
8
2
8
2
Dạng 4: Sử dụng tích vô hướng để giải bài toán quỹ tích
Các dấu hiệu cần nhớ: (tìm quỹ tích điểm M, với các điểm A, B, C, cố định)
Dấu hiệu 1: AM .BC 0 AM BC quỹ tích M là đường thẳng qua A và vuông góc BC
Dấu hiệu 2: AM 2 a 0 quỹ tích M là đường tròn tâm A bán kính R a
Dấu hiệu 3: MA.MB 0 MA MB AMB 900 quỹ tích M là đường tròn đường kính AB.
Dấu hiệu 4: MA.MB a (với a là số không đổi)
Gọi I là trung điểm AB IB IA (I cố định)
MA.MB a MI IA MI IB a MI 2 MI IA IB IAIB a
AB 2
MI IA a IM a IA a
4
2
2
2
Nếu
a
AB 2
0 thì không có điểm M thỏa đề
4
Nếu
a
AB 2
0 thì M I
4
Nếu
a
AB 2
AB 2
0 thì quỹ tích M là đường tròn tâm I bán kính R a
4
4
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
19
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Dấu hiệu 5: MA.BC a
Gọi M0, A0 lần lượt là hình chiếu của M và A lên BC khi đó ta có:
a
M 0 A0
BC
a MA.BC M 0 A0 .BC
M 0 cố định
M A
a.BC
0 0
Do đó quỹ tích M là đường thẳng qua M 0 và vuông góc BC
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện;
a. MA.MC MC.MB
b. MB.MC MA2
c. MA2 MAMB MAMC 0
a2
2
d. MAMB MAMC MBMC
5a 2
2
Giải:
a.
MA.MC MC.MB MC MA MB 0 MC.BA 0
Tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB (vì A, B, C cố định)
b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC GA GB GC 0 MA MB MC 3MG
MA2 MAMB MAMC 0 MA MA MB MC 0 3MA.MG 0 MA.MG 0
AMG 900 tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AG (vì A, G là hai điểm cố định)
c. Gọi I là trung điểm BC, ta có
MB.MC MI IB MI IC IM 2 MI IB IC IB.IC IM 2
MB.MC MA2
AI .MH
a2
4
3a 2
(với H là trung điểm IA MI MA 2 MH )
8
2
1
1
1 a 3 3a 2
Nhân thấy: AI . AH AI . AI AI 2
2
2
2 2
8
Do đó: AI .MH
2
2
a2
a2
a2
3a 2
3a 2
MI 2
MA2
MI MA
MI MA MI MA
2
4
2
4
4
3a 2
AI .MH AI . AH AI MH AH 0 AI .MA 0
8
Tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với AI
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
20
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
5a 2
d. MAMB MAMC MBMC
2
Gọi G là trọng tâm của ABC GA.GB GA.GC GB.GC
2
a 3 a 3
a2
.
.cos1200
3
3
6
2
Ta có: MAMB MG GA MG GB MG MG GA GB GAGB MG MG GA GB
a2
6
Tương tự ta cúng có:
2
MAMC MG MG GA GC
2
a2
a2
và MBMC MG MG GB GC
6
6
Do đó : MAMB MAMC MBMC 3MG 2 2MG GA GB GC
MAMB MAMC MBMC
a2
a2
3MG 2
2
2
5a 2
a 2 5a 2
3MG 2
MG a
2
2
2
Ví G là điểm cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính R = a.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, góc A là góc nhọn. Trung tuyến AI. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn
điều kiện: AB. AH AC. AK AI 2 . Với H, K lần lượt là hình chiếu của M lên AB và AC.
Giải:
H, K lần lượt thuộc cạnh AB và AC nên ta có:
AB. AH AC. AK AB. AH AC. AK AB. AM AC . AM (theo định lý hình chiếu vuông góc)
AM AB AC 2 AM AI
2
Gọi E là trung điểm AI ta có: AI 2 AI AI .AI 2 AE.AI
Do đó ta có: AB. AH AC. AK AI 2 2 AM AI 2 AE AI AI AM AE 0 AI .EM 0
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng qua E và vuông góc với AI (vì E, A, I cố định)
Dạng 5: Sử dụng tích vô hướng để giải bài toán cực trị hình học:
Phương pháp chung:
Sử dụng tích vô hướng để biến đổi biểu thức cần tìm cực trị và biểu thức độ dài, chẳng hạn như :
S MI 2 c (với c là một hẳng số , điểm I cố định)
Min S c khi MI = 0 (tức là M I)
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
21
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Chú ý :
Nếu M nằm trên đường thẳng d cho trược thì Min(S) đạt được khi M là hình chiếu của I lên d.
Nếu M nằm trên đường tròn C(O,R)thì Min(S) , Max(S) đạt được khi M là một giao điểm
của đường thẳng IO và đường tròn (C)
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (C) tâm O. Tìm vị trí của điểm M thuộc đường
tròn (C) để S MA2 MB 2 2MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất , đạt giá trị lớn nhất .
Giải:
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.
M
Gọi R là bán kính của (C)
C
Khi đó ta có : CA CB CD và OA OB OC R
2
2
S MA MB 2MC
2
O.
2
MO OA MO OB
2
2 MO OC
A
MO OA OB 2OC OA OB 2OC
2
2
2
B
M
2
2 MO CA CB R 2 R 2 2 R 2
2 MO.CD 2.MO.CD.cos MO, CD 2.R.CD.cos MO, CD
D
Ta có: 1 cos MO, CD 1 2.R.CD S 2.R.CD
Min(S ) 2R.CD khi cos MO, CD 1 (tức là M thuộc (C) sao cho MO và CD ngược chiều)
Max(S ) 2R.CD khi cos MO, CD 1 (tức là M thuộc (C) sao cho MO và CD cùng chiều)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định . M là điểm tùy ý trên d.
a. Dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: IA 3IB 2 IC 0
b. Xác định vị trí của điểm M sao cho S MA2 3MB2 2MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
22
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Giải:
A
a. Gọi H là trung điểm AB khi đó ta có: IA IB 2IH
IA 3IB 2 IC 0 IA IB 2 IC IB
HI CB I là đỉnh thứ tư của HCBI
2
2
b. S MI IA 3 MI IB 2 MI IC
2
2
H
I
2
2
2MI 2MI IA 3IB 2 IC IA 3IB 2IC
2
M
2MI 2 IA2 3IB 2 2IC 2
C
d
B
Vì A, B, C và I là các điểm cố định nên IA2 3IB2 2 IC 2 là một hằng số
Do đó S MA2 3MB2 2MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất IM đạt giá trị nhỏ nhất
M là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng d.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
a) AB. AC
b) AC.CB
c) AB.BC
Baøi 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng :
a) AB. AC
b) AC.CB
c) AB.BC
Baøi 3. Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng:
a) AB. AC
b) AH .CB
c) AB.BC
Baøi 4. Cho tam giác ABC có : AB.CB 4 và AC.BC 9
a. Tính các cạnh của tam giác ABC.
b. Gọi I, J là hai điểm thỏa mãn đẳng thức IA 2 IB 0 và 2 JB JC 0 tính độ dài đoạn thẳng IJ.
Baøi 5. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
a) Chứng minh:
DA.BC DB.CA DC.AB 0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Baøi 6. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
BC.AD CA.BE AB.CF 0 .
Baøi 7. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng
AM và BN.
a) Chứng minh: AM . AI AB. AI , BN .BI BA.BI .
b) Tính AM.AI BN .BI theo R.
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
23
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Baøi 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC =
3 , M là trung điểm của BC. Biết rằng AM .BC
1
2
Tính độ dài AB và AC.
Baøi 9. Cho tam giác đều ABC cạnh a và AM là trung tuyến của tam giác ABC. Tính các tich vô hướng:
a. AC 2 AB 3 AC
d. AC AC AB
e. AB AC
b. AM . AB
c.
CA BC CA CB
AB AC
f. AB.BC BC.CA CA. AB
Baøi 10. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính AB. AC , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính CA.CB .
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB .
Baøi 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) AB. AC
b) ( AB AD )(BD BC )
d) AB.BD
e) ( AB AC AD)(DA DB DC )
HD: a) a2
b) a2
c) 2a2
c) ( AC AB)(2 AD AB)
d) a2
e) 0
Baøi 12. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính AB. AC , rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính AG.BC .
c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB GB.GC GC.GA .
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra AD.
HD: a) AB. AC
1
3
, cos A
4
2
b) AG.BC
d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB
5
3
c) S
29
6
54
AB
3
2
.DC AD AB AC , AD
5
AC
5
5
Baøi 13. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2IA IB 0, JB 2 JC .
HD: a) BC =
19 , AM =
7
2
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
b) IJ =
24
2
133
3
www.toanhocdanang.com
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG
Baøi 14. Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh AB2 BC2 CD2 DA2 2 AC.DB .
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
AB2 CD2 BC2 DA2 .
Baøi 15. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
MH .MA
1
BC 2 .
4
Baøi 16. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a) MA2 MC 2 MB2 MD2
b) MA.MC MB.MD
c) MA2 MB.MD 2MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật).
Baøi 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a 1; 3 , b 6 ; 2 và a x ;1
a. Chứng minh a b .
b. Tìm giá trị của x để a c
c. Tìm giá trị của x để a và c cùng phương nhau.
d. Tìm tọa độ vectơ d để a d và b.d 20
Baøi 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 3), B(9; 4), C(5; y) và D(x; -2).
a. Tìm giá trị của y sao cho tam giác ABC vuông tại C
b. Tìm x để A, B, D thẳng hàng.
Baøi 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(-3; 3), B(4; 4).
a. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho AMB 900
b. Tìm điểm N thuộc Ox để A, B, N thẳng hàng.
Baøi 20. Tính góc giữa hai vec tơ trong các trường hợp sau:
a. a 4; 3 , b 1; 7
c. a 2; 5 , b 3; 7
b. a 6; 8 , b 12; 9
d. a 2; 6 , b 3; 9
Baøi 21. Cho tam giác ABC với A(1 ; 6) , B(2 ; 6), C(1 ; 1)
a. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
b. Tìm hình chiếu vuông góc K của đỉnh A lên đường thẳng BC. Từ đó suy ra A’ đối xứng của
điểm A qua đường thẳng BC.
Baøi 22. Cho tam giác ABC có A(1 ; -1) , B(5 ; -3) , C(2 ; 0).
a. Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b. Tìm tọa độ điểm M biết CM 2 AB 3 AC
c. Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
25
www.toanhocdanang.com
