Các điều kiện tối ưu cấp hai với hiện tượng envelope like cho các bài toán tối ưu vectơ không trơn trong các không gian vô hạn chiều

i
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM
--------------

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG
ENVELOPE-LIKE CHO CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ
KHÔNG TRƠN TRONG CÁC KHÔNG GIAN VÔ HẠN
CHIỀU

Mã số: CS – 2014 - 43
Chủ nhiệm: TS. Nguyễn Đình Tuấn

Tp. Hồ Chí Minh - 2014


▼Ö❈ ▲Ö❈
❈❤÷ì♥❣ ♠ð ✤➛✉✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ♠ët
sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❝→❝ t➟♣ t✐➳♣ ①ó❝ ❝➜♣ ♠ët ✈➔ ❝➜♣ ❤❛✐✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✺
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ✣↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❦✐➸✉ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ♠ët ✈➔ ❝➜♣ ❤❛✐✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✾
❈❤÷ì♥❣ ✸✿ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➛♥ ❝➜♣ ❤❛✐✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶✸
❈❤÷ì♥❣ ✹✿ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✤õ ❝➜♣ ❤❛✐✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✷✼
❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ð rë♥❣ ✤➲ t➔✐✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸✷
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸✸

✶

✷


ữỡ
ỵ ồ t
tố ữ õ trỏ q trồ õ tố
ữ ởt t ỡ ỳ tổ t ú rt tr
r tố ữ ụ ữ ữ r tt t số t
t ừ tổ t ữ s õ ởt ỡ
tố ữ ởt r t ỹ tr t ữợ ừ ủ
ử t r ở ổ tở tr ừ õ ủ tr
t ổ t ữợ õ t tr ừ õ õ
tr r trữớ ủ tố ữ tổ t t õ
t ữợ ừ r ổ
s ữớ t t r r
t t õ ừ õ õ tr ừ r õ t
t ữợ ởt ừ ủ õ tr tr t ừ
ừ õ ồ tữủ tữủ
ự ổ ú ỵ tữủ s t t
t õ õ tr ổ t õ ừ õ t ổ õ
tữủ r õ õ õ q trồ tữủ tú
t q ừ s ữủ rở t tr t q ổ
ữợ tr q ử t tr
q ử t ỳ tử ởt tr
q ỳ q t tr ú tổ
t r t ró r ỡ tữủ r
tữủ ổ r õ ú tổ s ró ỡ ố ợ
ỳ ữợ r tữủ
ỡ ỳ qt t ợ ự ở ổ trỡ ỡ ổ ổ ởt
tỹ t õ tr t ự ú tổ ồ ữủ

t tr ũ s rở tố ữ ũ
ữủ ự tr ợ tt r tt ữủ sỷ ử
t õ t ổ ữủ ũ ự
tố ữ ởt tr t tố ữ tỡ
s rở tở t ủ ờ ổ tử t
ởt õ t õ ổ t tữớ t t
tr tr ró ữợ ữủ
r tữủ ú tổ ừ t ởt
q st tr ỗ ự ử ự ừ ú tổ tr
t ự ử s rở tt
tố ữ ợ ợ tữủ t tố ữ tỡ ổ
trỡ tr ổ ổ tr t ự
t tr tố ữ tr tố ữ ừ
ổ tử t q t rở t q ự



❣➛♥ ✤➙②✳

✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
❈❤ó♥❣ tæ✐ ①❡♠ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈æ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ s❛✉ ✤➙②✳
❈❤♦ X, Z, W ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ Y ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ C ⊂ Y ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐
✤â♥❣✱ ✈➔ K ⊂ Z ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✳ ❈❤♦ f : X → Y ✱ g : X → Z ✱ ✈➔ h : X → W ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕✳
❇➔✐ t♦→♥ ❞÷î✐ sü ①❡♠ ①➨t ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❧➔
✭P✮

♠✐♥C f (x)✱ s❛♦ ❝❤♦ g(x) ∈ −K, h(x) = 0✳

❈❤ó♥❣ tæ✐ ❞ò♥❣ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ①➜♣ ①➾ ✈î✐ ♠ù❝ ✤ë ❦❤æ♥❣ trì♥ ❜➟❝
❝❛♦ ❞÷î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t ✭tr♦♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➛♥✮ ❤❛② ❦❤↔ ✈✐ ✭tr♦♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉

❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✤õ✮✱ tr→♥❤ ❣✐↔ t❤✐➳t ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝✱ ✤➸ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➜♣ ❤❛✐
✈î✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ❡♥✈❡❧♦♣❡✲❧✐❦❡ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭P✮✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❧➔♠ rã ❤ì♥ ✈➜♥
✤➲ ❦❤✐ ♥➔♦ ❤✐➺♥ t÷ñ♥❣ ❡♥✈❡❧♦♣❡✲❧✐❦❡ ①↔② r❛ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❝â tr♦♥❣ ❧➽♥❤
✈ü❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔②✳ ❈ö t❤➸✱ ✤➲ t➔✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ ♠ö❝ t✐➯✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s❛✉ ✤➙②✳
✰ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ t✐➳♣ ①ó❝ ❝➜♣ ♠ët ✈➔ ❝➜♣ ❤❛✐✳
✰ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❦✐➸✉ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ♠ët ✈➔ ❝➜♣ ❤❛✐ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛
❝❤ó♥❣✳
✰ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➛♥ ❝➜♣ ❤❛✐ ✈î✐ ❤✐➺♥ t÷ñ♥❣ ❡♥✈❡❧♦♣❡✲❧✐❦❡ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉
✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✭P✮✳
✰ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✤õ ❝➜♣ ❤❛✐ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✭P✮✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❝â tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈❡❝tì ❦❤æ♥❣ trì♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈æ ❤↕♥
❝❤✐➲✉✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ t→❝ ❣✐↔ ✈➔ ●❙✳❚❙❑❍✳ P❤❛♥ ◗✉è❝ ❑❤→♥❤✱
tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ t➳✱ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❚♣✳ ❍❈▼ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ♠ët ❜➔✐ ❜→♦ tr➯♥
t↕♣ ❝❤➼ ❦❤♦❛ ❤å❝ q✉è❝ t➳ tr♦♥❣ ❤➺ t❤è♥❣ ■❙■ ❬✷✷❪✿
P✳◗✳ ❑❤❛♥❤ ❛♥❞ ◆✳❉✳ ❚✉❛♥✱ ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✇✐t❤ ❡♥✈❡❧♦♣❡✲❧✐❦❡
❡❢❢❡❝t ❢♦r ♥♦♥s♠♦♦t❤ ✈❡❝t♦r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ✐♥❢✐♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧✳
✭✷✵✶✸✮ ✶✸✵✲✶✹✽✳

✼✼

✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

✣➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞ò♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ ❝ö ✈➔ ❦ÿ t❤✉➟t tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❦❤æ♥❣ trì♥✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤
✤❛ trà ✈➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✳

✹✳ ❑➳t ❝➜✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✳

✣➲ t➔✐ ❜❛♦ ❣ç♠ ✺ ❝❤÷ì♥❣✳

• ❈❤÷ì♥❣ ♠ð ✤➛✉✿ ▲þ ❞♦ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐✱ ♠ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✳
• ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ❝ô♥❣
♥❤÷ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❝→❝ t➟♣ t✐➳♣ ①ó❝ ❝➜♣ ♠ët ✈➔ ❝➜♣ ❤❛✐✳
• ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ✣↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❦✐➸✉ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ♠ët ✈➔ ❝➜♣ ❤❛✐✳
• ❈❤÷ì♥❣ ✸✿ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➛♥ ❝➜♣ ❤❛✐✳
• ❈❤÷ì♥❣ ✹✿ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✤õ ❝➜♣ ❤❛✐✳

✹


ữỡ ợ t t ự ởt số
tự t ụ ữ ởt số
t t ú ởt
X, Z, W ổ Y ổ C Y õ
ỗ õ K Z t ỗ f : X Y g : X Z h : X W
ú tổ t t tố ữ tỡ s
P

C f (x) s g(x) K, h(x) = 0

ú tổ ũ ỵ ỡ N = {1, 2, ..., n, ...} R t ủ số
tỹ ợ ổ X X ố t ừ X ., . t ố
. tr ổ t ý d(y, S) tứ
y t S Bn (x, r) = {y Rn : x y < r} Sn = {y Rn : y = 1}
BX (x, r) = {y X : x y < r} SX = {y X : y = 1} ố ợ BX (0, 1) t
t ỡ BX L(X, Y ) ỵ ổ t t tứ
X Y B(X, X, Y ) ổ s t t tứ X ì X
Y tr õ X Y ổ ợ Pn P tr L(X, Y ) t t

Pn

P P = lim Pn Pn ở tử P ỵ tữỡ tỹ ữủ ũ
Mn , M B(X, X, Y ) ợ õ C X ỵ C = {c X : c , c 0, c C}
õ ố ỹ ữỡ ừ C ợ A X ỵ rA tA A A A A
A(x) ữủt tr tữỡ ố tr õ õ ỗ ừ
A õ ừ A + x ợ t > 0 r N o(tr ) ỵ ừ ởt
ử tở t s o(tr )/tr 0 t 0+ C 1,1 ổ
rt s rt st ữỡ
r t t X Y ổ h : X Y
õ h ờ t x0 tỗ t ởt U ừ x0 > 0 s ợ ồ
x U

h(x) h(x0 ) x x0
h ữủ ồ t t x0 X õ õ rt h (x0 ) t x0
limyx0 ,y x0

h(y) h(y ) h (x0 )(y y )
= 0
yy

r h t t x0 t h st x0
t q s ữủ ự ởt tữỡ tỹ ữ ờ ừ

h rt q x

X ợ h ờ t x0
u, w X (tn , rn ) (0 , 0 ) tn /rn 0 wn := (xn x0 tn u)/ 12 tn rn w
t
h(xn ) h(x0 ) tn h (x0 )u
yn :=
h (x0 )w

tn rn /2
+

+

0

+

ợ õ t ú t t ú s



x , u X S X
0

õ tt ừ S t x0

T (S, x0 ) = {v X | tn 0+ , vn v, n N, x0 + tn vn S}
õ t ú tr õ t ú tr r tữỡ ự ừ S t x0

IT (S, x0 ) = {v X | tn 0+ , vn v, n ừ ợ, x0 + tn vn S}
ITC (S, x0 ) = {v X | xn S x0 , tn 0+ , vn v, n ừ ợ, xn + tn vn S}
tt t tữỡ ự ừ S t (x0 , u)

T 2 (S, x0 , u) = {w X | tn 0+ , wn w, n N, x0 + tn u + 21 t2n wn S}
A2 (S, x0 , u) = {w X | tn 0+ , wn w, n N, x0 + tn u + 21 t2n wn S}
õ t ú õ tữỡ ự t ừ S t (x0 , u)

T (S, x0 , u) = {w X | (tn , rn ) (0+ , 0+ ) :

tn
rn

0, wn w

n N, x0 + tn u + 12 tn rn wn S}
A (S, x0 , u) = {w X | (tn , rn ) (0+ , 0+ ) :

tn
rn

0, wn w,

n N, x0 + tn u + 12 tn rn wn S}
t ú tr ừ S t (x0 , u)

IT 2 (S, x0 , u) = {w X | tn 0+ , wn w, n ừ ợ,
x0 + tn u + 21 t2n wn S}
õ t ú tr t ừ S t (x0 , u)
IT (S, x0 , u) = {w X | (tn , rn ) (0+ , 0+ ) :

tn
rn

0, wn w,

n ừ ợ, x0 + tn u + 12 tn rn wn S}
õ T (S, x0 ) IT (S, x0 ) ITC (S, x0 ) t T 2 (S, x0 , u) A2 (S, x0 , u) IT 2 (S, x0 , u)
ữủ t ró õ A (S, x0 , u) T (S, x0 , u) ữủ Pt sỷ ử ú

tổ õ IT (S, x0 , u) ởt tỹ ữ ỵ r x0 clS t tt
t t ú tr rộ t ú tổ ổ t t t ú t ỳ
tở õ ừ t t
ú tổ ữ r ởt số t t ỡ ừ t t ú ởt
tr tr s

S X x , u X õ t t s ữủ t ró
0

IT (S, x0 , u) A (S, x0 , u) T 2 (S, x0 , u) clcone[cone(S x0 ) u]
2

2

IT 2 (S, x0 , u) = IT 2 (intS, x0 , u) u bd[cone(S x0 )] t 0 IT 2 (S, x0 , u)
u T (S, x0 ) t T 2 (S, x0 , u) =

sỷ t ỳ S ỗ tS = u T (S, x0 ) õ s
t(S x0 ) = IT (intS, x0 ) = ITC (intS, x0 õ 0 intcone(S x0 ) ợ
x0 intS
A2 (S, x0 , u) = t



IT 2 (S, x0 , u) = intA2 (S, x0 , u), clIT 2 (S, x0 , u) = A2 (S, x0 , u);
u cone(S x0 ) t
IT 2 (S, x0 , u) = intcone[cone(S x0 ) u]
A2 (S, x0 , u) = clcone[cone(S x0 ) u]

S X x , u X

0

IT (S, x0 , u) A (S, x0 , u) T (S, x0 , u) clcone[cone(S x0 ) u]
IT (S, x0 , u) = IT (intS, x0 , u) u bd[cone(Sx0 )] t 0 IT (S, x0 , u)

u T (S, x0 ) t T (S, x0 , u) =
A (S, x0 , u) + ITC (S, x0 ) IT (S, x0 , u)

õ ITC (S, x0 ) = A (S, x0 , u) = t

IT (S, x0 , u) = intA (S, x0 , u), clIT (S, x0 , u) = A (S, x0 , u).
S ỗ x0 S t

A (S, x0 , u) + T (T (S, x0 ), u) A (S, x0 , u) T (T (S, x0 ), u)
õ A (S, x0 , u) = t A (S, x0 , u) = T (T (S, x0 ), u)

ự ữủ s r tứ ợ

ờ ừ ớ t t w A (S, x0 , u) v ITC (S, x0 )
z := w + v (tn , rn ) (0+ , 0+ ) tn /rn 0 zn z õ tỗ t wn w s
xn := x0 + tn u + 21 tn rn wn S vn := zn wn v t õ z IT (S, x0 , u) ợ
n ợ

x0 + tn u + 21 tn rn zn = xn + 12 tn rn vn S

sỷ r X = R

x0 S X xn S \ {x0 } ở tử x0
t tỗ t u T (S, x0 ) \ {0} õ ởt ởt ỵ xn s

m

ờ (xn x0 )/tn u tr õ tn = xn x0
z T 2 (S, x0 , u) u tỗ t s (xn x0 tn u)/ 12 t2n z z
T (S, x0 , u)u \{0} rn 0+ tỗ t s rtnn 0+ (xn x0 tn u)/ 12 tn rn z
tr õ u ũ trỹ ừ u Rm




✽


ữỡ s rở ởt

t h : X Y



Ah (x0 ) L(X, Y ) ữủ ồ ởt ừ h t x0 ợ x tr
ởt ừ x0 tỗ t r 0+ s r x x0 1 0 x x0

h(x) h(x0 ) Ah (x0 )(x x0 ) + rBY
(Ah (x0 ), Bh (x0 )) ợ Ah (x0 ) L(X, Y ) Bh (x0 ) B(X, X, Y ) ữủ ồ
ừ h t x0 Ah (x0 ) ởt ừ h t x0 ợ x tr
ởt ừ x0 tỗ t r 0+ s r x x0 1 0 x x0

h(x) h(x0 ) Ah (x0 )(x x0 ) + Bh (x0 )(x x0 , x x0 ) + r2 BY .

t h : X Y õ rt h (x ) t (h (x ),

0

ừ h t x0

0

1
h
2

(x0 ))

h : Rn Rm st ữỡ t x0 t r
C h(x0 ) ởt ừ h t x0 t ỳ h tở ợ C 1,1 t x0 t
(h (x0 ), 12 C2 g(x0 )) ừ h t x0 tr õ C2 h(x0 ) ss r
ừ h t x0
h : Rn Rm tử õ tỹ h(.) ỳ
tử tr t x0 t h(x0 ) ởt ừ h t x0 h
tử rt tr ởt ừ x0 õ tỹ ss 2 h(.) ỳ tử
tr t x0 t (h (x0 ), 12 2 h(x0 )) ừ h t x0
õ s rở rt tờ qt ỡ ỳ ộ h
õ ởt t tữớ t t ự t ở ổ L(X, Y )
t ủ ũ ỡ s ợ s rở õ
t tỗ t ổ t tữớ ổ tử ử h : R R
ữủ

x x > 0,
h(x) =
0
x = 0,

1
x
x < 0.
õ h ổ tử t t õ t Ah (0) = (, +) ợ t ý > 0
Bh (0) = {0} ổ tứ R R
t ổ õ t t t t ý t ự
ởt t õ ụ ởt
ử ữợ ự tọ r s rở ởt tr õ t


ử h : R

R
x2 sin(1/x) + |y| x = 0,
h(x, y) =
|y|
x = 0.

2

õ h st ữỡ t t õ tỹ



∂h(0, 0) = Ah (0, 0) = {(0, β) : β ∈ {−1, 1}}✱
❝ô♥❣ ❧➔ tü❛ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❋r➨❝❤❡t ❬✾❪✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳ ❈❤♦ h : R

∂hC (0, 0) = {(α, β) : α, β ∈ [−1, 1]}✳

→ R2 ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ h(x, y) = (|x| − |y|, |y| − |x|)✳ ❑❤✐ ✤â✱
h ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ (0, 0) ✈➔
2

1 −1
,
−1 1

∂h(0, 0) ❂

−1 1
1 −1

❧➔ tü❛ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ❧➔ tü❛ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❋r➨❝❤❡t✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ♠ët ❧➔
1
1
−1 −1
Ah (0, 0) = ∂h(0, 0)
,
−1 −1
1
1
❝ô♥❣ ❧➔ tü❛ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❋r➨❝❤❡t✳ ❚❛ ❝ô♥❣ ❝â ∂C h(0, 0) = ❝♦Ah (0, 0)✳

❱➼ ❞ö ✷✳✸✳ ❈❤♦ h : R

→ R2 ♥❤÷ s❛✉ h(x, y) = (|x|1/2 s✐❣♥(x), y 1/3 + |x|)✳ ❑❤✐ ✤â✱ h ❧➔
❧✐➯♥ tö❝ ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ (0, 0) ✈➔ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ♠ët
2

α 0
β γ

Ah (0, 0) ❂

: α > 0, β = ±1, γ > 0

t❤➻ ❦❤→❝ tü❛ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❋r➨❝❤❡t

∂F h(0, 0) ❂

α 0
β γ

: α ≥ 0, β ∈ [−1, 1], γ ∈ R ✳

❍❛✐ ✈➼ ❞ö s❛✉ ✤➙② ❝❤ù♥❣ tä ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐ ð tr➯♥ ❝ô♥❣ ①↔② r❛ t➻♥❤
❤✉è♥❣ t÷ì♥❣ tü ❬✶✺❪✳

❱➼ ❞ö ✷✳✹✳ ❈❤♦ h : R

h ∈ C 1,1

→ R ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ h(x, y) = 21 x2 s✐❣♥(x) + 12 y 2 s✐❣♥(y)✳ ❑❤✐ ✤â✱
t↕✐ (0, 0)✳ ❚❛ ❝â h (x, y) = (|x|, |y|) ✈➔ ❜❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ❤❛✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✿
2

∂C2 h(0, 0) ❂
1 0

,
0 1

∂ 2 h(0, 0) ❂
Bh (0, 0) ❂

1/2 0
,
0 1/2

❱➼ ❞ö ✷✳✺✳ ⑩♥❤ ①↕ h : R

α 0
0 β

: α, β ∈ [−1, 1] ✱

1 0
,
0 −1

1/2
0
,
0 −1/2

−1 0
,
0 1

−1 0
0 −1

−1/2 0
,
0
1/2

✱

−1/2
0
0
−1/2

✳

→ R ❝❤♦ ❜ð✐ h(x, y) = 32 |x|3/2 + 12 y 2 t❤✉ë❝ ❧î♣ C 1 ♥❤÷♥❣
❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ ❧î♣ C 1,1 ✳ ❉♦ ✤â ∂C2 h ❦❤æ♥❣ tç♥ t↕✐ ✈➔ ❤❛✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ❤❛✐ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
2

∂ 2 h(0, 0) ❂
Bh (0, 0) ❂

α 0
0 1
α 0
0 1/2

:α≥0 ✱

:α>0 ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸ ✭❬✶✺✱ ✶✼❪✮✳ ❚➟♣ A ⊂ L(X, Y ) (B ⊂ B(X, X, Y )) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t

✤✐➸♠ t✐➺♠ ❝➟♥ ✭t❤❡♦ ❞➣②✮ ✭✈✐➳t t➢t ♣✲❝♦♠♣❛❝t✮ ♥➳✉ ❤❛✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙② t❤ä❛✿
✭✐✮ ♠é✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ t❤❡♦ ❝❤✉➞♥ (Mn ) ⊂ A ✭⊂ B ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✮ ✤➲✉ ❝â ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö
✤✐➸♠❀
✶✵


✭✐✐✮ ♥➳✉ (Mn ) ⊂ A ✭⊂ B ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✮ ✈î✐ lim Mn = ∞✱ t❤➻ (Mn / Mn ) ❝â ❞➣② ❝♦♥
❤ë✐ tö ✤✐➸♠ ✤➳♥ ♠ët ❣✐î✐ ❤↕♥ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✳
◆➳✉ ✏❤ë✐ tö ✤✐➸♠✑ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ ✤÷ñ❝ t❤❛② ❜ð✐ ✏❤ë✐ tö✑✱ t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ A
✭❤❛② B ✮ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥ ✭t❤❡♦ ❞➣②✮✳ ▲÷✉ þ r➡♥❣ ♥➳✉ Y = R✱ t❤➻ ❤ë✐ tö ✤✐➸♠ trò♥❣
✈î✐ ❤ë✐ tö s❛♦✲②➳✉✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❝♦♠♣❛❝t t❤❡♦ ❞➣② ♥â✐ tr➯♥ ❦❤→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♣✲❝♦♠♣❛❝t✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ sû ❞ö♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♣✲❝♦♠♣❛❝t t❤❡♦ ❞➣② ✈➔ ❜ä
✤✐ t❤✉➟t ♥❣ú ✏t❤❡♦ ❞➣②✑✳ ▲÷✉ þ r➡♥❣ ♥➳✉ X ✈➔ Y ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✱ t❤➻ ❜➜t ❦ý t➟♣ A ❤❛②
B ♥â✐ tr➯♥ ❧➔ ♣✲❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥✳
❱î✐ A ⊂ L(X, Y ) ✈➔ B ⊂ B(X, X, Y ) t❛ ❞ò♥❣ ❝→❝ ❦þ ❤✐➺✉✿
♣✲❝❧A = {P ∈ L(X, Y ) | ∃(Pn ) ⊂ A, P = ♣✲lim Pn }✱
♣✲❝❧B = {M ∈ B(X, X, Y ) | ∃(Mn ) ⊂ B, M = ♣✲lim Mn }✱

A∞ = {P ∈ L(X, Y ) | ∃(Pn ) ⊂ A, ∃tn → 0+ , P = lim tn Pn }✱
♣✲A∞ = {P ∈ L(X, Y ) | ∃(Pn ) ⊂ A, ∃tn → 0+ , P = ♣✲lim tn Pn }✱
♣✲B∞ = {M ∈ B(X, X, Y ) | ∃(Mn ) ⊂ B, ∃tn → 0+ , M = ♣✲lim tn Mn }✳

✶✶


✶✷

ữỡ tố ữ
ú t ợ tố ữ ừ t P ỵ
G = g 1 (K) H = h1 (0) õ t ữủ ừ P

S = G H = {x X | g(x) K, h(x) = 0}.
x0 S ữủ ồ ữỡ ữỡ tữỡ ự ừ
P tỗ t ởt U ừ x0 s x U S

f (x) f (x0 ) t C
f (x) f (x0 ) (C) \ C tữỡ ự
ủ tt ữỡ ữỡ tữỡ ự ừ P
ữủ ỵ f, S f, S tữỡ ự ợ m N x0 S ữủ ồ
ữỡ m ữủ ỵ x0 m, f, S tỗ t
> 0 ởt U ừ x0 s x U S \ {x0 }

(f (x) + C) BY (f (x0 ), x x0

m

) =

tữỡ ữỡ

d(f (x) f (x0 ), C) x x0

m

ữ ỵ r ợ p m
m, f, S) p, f, S) f, S) f, S
õ ụ ỏ
ừ ụ ừ ỏ
tt tố ữ t P t ũ
ữợ q tr s

x , u X u = 0 T Y

h : X Y õ r h
ữợ q tr t ữợ t (x0 , u) ố ợ T tỗ t à > 0 > 0 s
ợ ồ t (0, ) v BX (u, ) t õ
0

u

d(x0 + tv, h1 (T )) àd(h(x0 + tv), T )

õ r h ữợ q tr t x0 ố ợ T tỗ t à > 0 > 0 s
ợ ồ x BX (x0 , ) t õ


d(x, h1 (T )) àd(h(x), T )

ữ ỵ r ữợ q tr ữủ ự
sỷ ử ữợ tt ỳ h(x0 ) T t trũ
ợ ữợ q tr ừ tr x h(x) T t (x0 , 0) ữủ
tr t ú tổ sỷ ử tt ỳ ữợ q ú t
q st r ợ t ý u = 0 u q ừ r

s ú tổ s ũ ỵ u u = 0 ữ ổ õ ữợ
q tr t ữợ 0 ổ ởt ữợ õ 0 tữỡ ữỡ
ợ ỡ ỳ T ỗ õ h tử t x0



q ừ q srrt


h (x0 )X (T h(x0 )) = Y

rữợ t ú tổ tt tố ữ P tr ổ
ố

ỵ tr ừ C K trố x
õ ợ ồ u X s tọ

0

f, S

(f, g, h) rt t x0 h ữợ q tr t ữợ t
(x0 , u) ố ợ T = {0} u = 0 õ (f, g, h) (x0 )u int[C ì K(g(x0 ))] ì {0}
(f, g, h) t t x0 h ữợ q tr t ữợ t (x0 , u)
ố ợ T = {0} ((f, g, h) (x0 ), B(f,g,h) (x0 )) ừ (f, g, h) t x0 ợ
B(f,g,h) (x0 ) t t (f, g, h) (x0 )u [C ì clK(g(x0 )) \ int(C ì
K(g(x0 )))] ì {0} t
tỗ t (M, N, P ) B(f,g,h) (x0 ) s ợ ồ w X

(f, g, h) (x0 )w + 2(M, N, P )(u, u) intcone[C + f (x0 )u] ì IT 2 (K, g(x0 ), g (x0 )u) ì {0}

tỗ t (M, N, P ) B(f,g,h) (x0 ) \ {0} s

(M, N, P )(u, u) intcone[C + f (x0 )u] ì IT (K, g(x0 ), g (x0 )u) ì {0}
f rt t x0 (f (x0 ), Bf (x0 )) ừ f t x0 ợ
Bf (x0 ) t t f (x0 )u bdC intK ổ rộ t
ợ ồ w T (S, x0 , u) tỗ t M Bf (x0 ) s

f (x0 )w + M (u, u) intcone[C + f (x0 )u]
tỗ t M Bf (x0 ) \ {0} s

M (u, u) intcone[C + f (x0 )u]

ự u = 0 t t q ró r sỷ ự r ợ u X
ổ

(f, g, h) (x0 )u t[C ì K(g(x0 ))] ì {0}
õ ợ ồ tn 0+

h(x0 + tn u)
h (x0 )u = 0
tn
tt ữợ q tr ừ h tỗ t à > 0 > 0 s ợ ồ t (0, )
v BX (u, ) t õ d(x0 + tv, H) à h(x0 + tv) õ ợ n ợ tỗ t yn H
ợ (x0 + tn u yn )/tn 0 õ un := (yn x0 )/tn u x0 + tn un H

f (x0 + tn un ) f (x0 )
g(x0 + tn un ) g(x0 )
f (x0 )u intC,
g (x0 )u intK(g(x0 ))
tn

tn
ợ n ừ ợ t õ

f (x0 + tn un ) f (x0 ) intC
g(x0 + tn un ) intK K
tự t ữủ t



✭✐✐✮ ▲➜② u ∈ X s❛♦ ❝❤♦

(f, g, h) (x0 )u ∈ −[C × clK(g(x0 )) \ int(C × K(g(x0 )))] × {0}✳
❱î✐ tn → 0+ ✱ tç♥ t↕✐ (Mn , Nn , Pn ) ∈ B(f,g,h) (x0 ) s❛♦ ❝❤♦✱ ✈î✐ n ❧î♥✱

(f, g, h)(x0 + tn u) − (f, g, h)(x0 ) = tn (f, g, h) (x0 )u + t2n (Mn , Nn , Pn )(u, u) + o(t2n )✳
♣

✭❛✮ ◆➳✉ {(Mn , Nn , Pn )} ❜à ❝❤➦♥✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû r➡♥❣ (Mn , Nn , Pn ) −
→ (M, N, P ) ∈
♣✲❝❧B(f,g,h) (x0 )✳ ❉♦ ✤â✱

(f, g, h)(x0 + tn u) − (f, g, h)(x0 ) − tn (f, g, h) (x0 )u
→ 2(M, N, P )(u, u)✳
t2n /2
❱î✐ ❜➜t ❦ý w ∈ X ✱ ❜ð✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t ❝õ❛ f ✱ t❛ ❝â

f (x0 + tn u + 21 t2n w) − f (x0 + tn u)
f (x0 + tn u + 21 t2n w) − f (x0 ) − tn f (x0 )u
=
t2n /2

t2n /2
+

f (x0 + tn u) − f (x0 ) − tn f (x0 )u
→ f (x0 )w + 2M (u, u)✳
t2n /2

❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ✤↕t ✤÷ñ❝

g(x0 + tn u + 21 t2n w) − g(x0 ) − tn g (x0 )u
→ g (x0 )w + 2N (u, u)✱
t2n /2
h(x0 + tn u + 21 t2n w) − h(x0 ) − tn h (x0 )u
→ h (x0 )w + 2P (u, u)✳
t2n /2
●✐↔ sû

(f, g, h) (x0 )w + 2(M, N, P )(u, u)
∈ −intcone[C + f (x0 )u] × IT 2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) × {0}✳

✭✶✮

❱➻ h(x0 ) = 0 ✈➔ h (x0 )u = 0✱ ✤✐➲✉ ♥➔② s✉② r❛ r➡♥❣ h(x0 + tn u + 12 t2n w)/ 21 t2n → 0✳ ❇ð✐ t➼♥❤
❞÷î✐ ❝❤➼♥❤ q✉② ♠❡tr✐❝ ❝õ❛ h✱ ✈î✐ n ❧î♥ tç♥ t↕✐ yn ∈ H s❛♦ ❝❤♦ (x0 +tn u+ 12 t2n w−yn )/ 12 t2n →
0✳ ❉♦ ✤â✱ wn := (yn − x0 − tn u)/ 12 t2n → w ✈➔ x0 + tn u + 12 t2n wn ∈ H ✳
▼➦t ❦❤→❝✱ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝õ❛ f ❣➛♥ x0 ✈➔ ✭✶✮ s✉② r❛ r➡♥❣

f (x0 + tn u + 21 t2n wn ) − f (x0 ) − tn f (x0 )u
f (x0 + tn u + 21 t2n wn ) − f (x0 + tn u + 12 t2n w)
=

t2n /2
t2n /2
f (x0 + tn u + 21 t2n w) − f (x0 ) − tn f (x0 )u
+
→ f (x0 )w + 2M (u, u)
t2n /2
∈ −intcone[C+f (x0 )u].

✭✷✮

❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â

g(x0 + tn u + 21 t2n wn ) − g(x0 ) − tn g (x0 )u
→ g (x0 )w + 2N (u, u)
t2n /2
∈ IT 2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u).
✶✺

✭✸✮


❱➻ IT (−✐♥tC, f (x0 )u) = −✐♥t❝♦♥❡(C + f (x0 )u)✱ ✭✷✮ s✉② r❛ r➡♥❣✱ ✈î✐ n ❧î♥✱

1 f (x0 + tn u + 12 t2n wn ) − f (x0 ) − tn f (x0 )u
f (x0 )u + tn
∈ −✐♥tC ✱
2
t2n /2
✈➔ ✈➻ t❤➳

f (x0 +tn u+ 21 t2n wn )−f (x0 ) ∈ −intC ✳
❚÷ì♥❣ tü✱ ❜ð✐ ✭✸✮ ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ IT 2 ✱ t❛ ❝â✱ ✈î✐ n ✤õ ❧î♥✱

✭✹✮

1 g(x0 + tn u + 21 t2n wn ) − g(x0 ) − tn g (x0 )u
g(x0 ) + tn g (x0 )u + t2n
∈ −K ✱
2
t2n /2
✈➔ ✈➻ ✈➟②

g(x0 +tn un + 12 t2n wn ) ∈ −K ✳

✭✺✮

❈→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✹✮ ✈➔ ✭✺✮ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
✭❜✮ ◆➳✉ {(Mn , Nn , Pn )} ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✱ t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ αn := (Mn , Nn , Pn ) → ∞ ✈➔
1
♣
(Mn , Nn , Pn ) −
→ (M, N, P ) ∈ ♣✲B(f,g,h) (x0 )∞ \ {0}✳ ❉♦ ✤â✱
αn
(f, g, h)(x0 + tn u) − (f, g, h)(x0 ) − tn (f, g, h) (x0 )u
→ (M, N, P )(u, u)✳
αn t2n
●✐↔ sû

(M, N, P )(u, u) ∈ −intcone[C + f (x0 )u] × IT (−K, g(x0 ), g (x0 )u) × {0}✳

✭✻✮

❱➻ (f, g) (x0 )u ∈ −[C×❝❧K(g(x0 ))\ ✐♥t(C ×K(g(x0 )))]✱ t❛ ❝â ❤♦➦❝ f (x0 )u ∈ −❜❞C ❤♦➦❝
g (x0 )u ∈ −❜❞K(g(x0 ))✳ ❱➻ t❤➳✱ ❜ð✐ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸ ✭✐✈✮ ✈➔ ✶✳✹ ✭✐✐✮✱ ❤♦➦❝ M (u, u) = 0 ❤♦➦❝
N (u, u) = 0✱ ✈➔ ❞♦ ✤â αn tn → 0+ ✳
❱➻ h(x0 ) = 0 ✈➔ h (x0 )u = 0✱ t❛ ❝â h(x0 + tn u)/αn t2n → 0✳ ❇ð✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❞÷î✐ ❝❤➼♥❤
q✉② ♠❡tr✐❝ ❝õ❛ h✱ ✈î✐ n ❧î♥✱ tç♥ t↕✐ yn ∈ H s❛♦ ❝❤♦ (x0 + tn u − yn )/αn t2n → 0✳
✣➦t un := (yn − x0 )/tn ✱ t❛ ❝â (un − u)/αn tn → 0 ✈➔ x0 + tn un ∈ H ✳
▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ f ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❣➛♥ x0 ✱ ✭✻✮ ❞➝♥ ✤➳♥

f (x0 + tn un ) − f (x0 ) − tn f (x0 )u
f (x0 + tn un ) − f (x0 + tn u)
=
2
αn tn
αn t2n
+

f (x0 + tn u) − f (x0 ) − tn f (x0 )u
→ M (u, u) ∈ −intcone[C+f (x0 )u]✳
αn t2n

✭✼✮

❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â

g(x0 + tn un ) − g(x0 ) − tn g (x0 )u
→ N (u, u) ∈ IT (−K, g(x0 ), g (x0 )u)✳
αn t2n

✭✽✮

❱➻ IT (−✐♥tC, f (x0 )u) = −✐♥t❝♦♥❡(C + f (x0 )u)✱ tø ✭✼✮ t❛ ✤÷ñ❝✱ ✈î✐ n ❧î♥✱

f (x0 )u + αn tn

f (x0 + tn un ) − f (x0 ) − tn f (x0 )u
∈ −✐♥tC ✱
αn t2n

✈➔ ✈➻ t❤➳

f (x0 +tn un )−f (x0 ) ∈ −intC ✳
✶✻

✭✾✮


ữỡ tỹ ừ IT t õ ợ n ợ

g(x0 + tn un ) g(x0 ) tn g (x0 )u
1
g(x0 ) + tn g (x0 )u + tn (2n tn )
K
2
n t2n
õ

g(x0 +tn un ) K

ổ tự t ợ tt x0
t q ữủ s r tứ ỵ ừ
õ ố ừ ỵ t tỷ r t t q s
t

ờ E

G ổ F ổ
(y0 , z0 ) F ì G B t ỗ ừ F ợ tB = : E F : E G
t t tử sỷ r ợ ồ x E

(, )(x) + (y0 , z0 ) intB ì {0}
(E) = G t tỗ t (y , z ) F ì G ợ y = 0 s ợ ồ b B

y + z = 0
y , y0 + z , z0 + y , b 0.
ỳ B õ t t tự tr tr t y B y , y0 + z , z0 0

ự ó r t ủ

A := {(y, z) F ì G | x E : y (x) y0 + tB, z (x) = z0 }
ỗ ổ ự (0, 0) ồ b0 tB r (b0 + y0 , z0 ) tA
t tỗ t ởt U ừ ổ tr F s b0 + U + U tB
tỗ t r > 0 s (x) U ợ ồ x BE (0, r) ởt tỗ
t ởt V ừ ổ tr G s V (BE (0, r)) ự tọ r
(b0 + y0 + U ) ì (z0 + V ) A y U z V õ tỗ t x BE (0, r) s
z = (x) ỡ ỳ t õ b0 + y0 + y (x) b0 + y0 + U + U y0 + tB õ
(b0 + y0 + y, z0 + z) A õ (b0 + y0 , z0 ) tA

ỵ t tổ tữớ tỗ t (y , z ) F ì G \ {(0, 0)} s ợ ồ
(y, z) A

y , y + z , z 0



ợ x E b tB t õ (y, z) := ((x) + b + y0 , (x) + z0 ) A ứ t
s r

y , (x) + z , (x) + y , y0 + z , z0 + y , b 0
õ t t

y + z = 0
y , y0 + z , z0 + y , b 0, b B
y = 0 t tự tr z = 0 ởt t

0

B õ tứ t tự tr t s r y B õ y , y0 + z , z0



❚❛ ❞ò♥❣ ❦þ ❤✐➺✉ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t➟♣ ❝→❝ ♥❤➙♥ tû ❋r✐t③ ❏♦❤♥

Λ(x0 ) := {(c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ X ∗ × Y ∗ × Z ∗ : (c∗ , k ∗ , h∗ ) = (0, 0, 0), c∗ ◦ f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 )
+ h∗ ◦ h (x0 ) = 0, c∗ ∈ C ∗ , k ∗ ∈ N (−K, g(x0 ))}✳

✣à♥❤ ❧þ ✸✳✹✳ ❱î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✭P✮✱ ❝❤♦ ✐♥tC ✈➔ ✐♥tK ❧➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ x

✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ u ∈ X ✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ✤➙② t❤ä❛✳

0

∈ ▲❲❊✭f, S ✮✳ ❑❤✐

✭✐✮ ❈❤♦ f, g, h ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t t↕✐ x0 ✱ ✈➔ h (x0 )(X) = W ✳ ❑❤✐ ✤â✱ tç♥ t↕✐ (c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈
Λ(x0 ) ✈î✐ (c∗ , k ∗ ) = (0, 0)❀
✭✐✐✮ ❈❤♦ f, g, h ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0 ✱ h (x0 )(X) = W ✱ ((f, g, h) (x0 ), B(f,g,h) (x0 )) ❧➔ ①➜♣
①➾ ❝➜♣ ❤❛✐ ❝õ❛ (f, g, h) t↕✐ x0 ✈î✐ B(f,g,h) (x0 ) ❧➔ ♣✲❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥✱ ✈➔ A (−K, g(x0 ), g (x0 )u)
❦❤→❝ ré♥❣✳ ◆➳✉ (f, g, h) (x0 )u ∈ −[C × clK(g(x0 )) \ int(C × K(g(x0 )))] × {0}✱ t❤➻
✭❛✮ ❤♦➦❝ tç♥ t↕✐ (M, N, P ) ∈ ♣✲❝❧B(f,g,h) (x0 ) ✈➔ (c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ Λ(x0 ) ✈î✐ (c∗ , k ∗ ) = (0, 0)
s❛♦ ❝❤♦

c∗ , M (u, u) + k ∗ , N (u, u) + h∗ , P (u, u) ≥ 21 supk∈A2 (−K,g(x0 ),g (x0 )u) k ∗ , k ,
✈➔ c∗ = 0 ♥➳✉✱ t❤➯♠ ♥ú❛✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝➜♣ ❤❛✐ s❛✉ ✤➙② t❤ä❛
✭❚❘u ✮

(g, h) (x0 )X − T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) × {0} = Z × W ❀

✭❜✮ ❤♦➦❝ tç♥ t↕✐ (M, N, P ) ∈ ♣✲B(f,g,h) (x0 )∞ \ {0} ❛♥❞ (c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ C ∗ × K(g(x0 ))∗ ×
W ∗ \ {(0, 0, 0)} ✈î✐ c∗ , f (x0 )u = k ∗ , g (x0 )u = 0 s❛♦ ❝❤♦

c∗ , M (u, u) + k ∗ , N (u, u) + h∗ , P (u, u) ≥ 0✱
✈➔ (c∗ , k ∗ ) = (0, 0) ♥➳✉ h = 0✳
✭✐✐✐✮ ❈❤♦ f ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t t↕✐ x0 ✱ (f (x0 ), Bf (x0 )) ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ❤❛✐ ❝õ❛ f t↕✐ x0
✈î✐ Bf (x0 ) ❧➔ ♣✲❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥✱ ✈➔ f (x0 )u ∈ −bdC ✭✈➔ intK ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ❦❤→❝ ré♥❣✮✳
❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ w ∈ T (S, x0 , u)✱ ❤♦➦❝ tç♥ t↕✐ M ∈ ♣✲Bf (x0 )∞ ✈➔ c∗ ∈ C ∗ \ {0} ✈î✐
c∗ , f (x0 )u = 0 s❛♦ ❝❤♦

c∗ , f (x0 )w + M (u, u) ≥ 0✱
❤♦➦❝ tç♥ t↕✐ M ∈ ♣✲Bf (x0 )∞ \ {0} ✈➔ c∗ ∈ C ∗ \ {0} ✈î✐ c∗ , f (x0 )u = 0 s❛♦ ❝❤♦

c∗ , M (u, u) ≥ 0✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ❇ð✐ ✤à♥❤ ❧þ ✸✳✷ ✭✐✮✱ →♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✸✳✸ ✈î✐ E = X, G = W, F = Y × Z ✱

ϕ = (f (x0 ), g (x0 )), ψ = h (x0 )✱ (y0 , z0 ) = (0, 0)✱ ✈➔ B = C × K(g(x0 ))✱ t❛ ❝â t❤➸ t➻♠
✤÷ñ❝ (c∗ , k ∗ ) ∈ [C × K(g(x0 ))]∗ = C ∗ × N (−K, g(x0 )) ✈î✐ (c∗ , k ∗ ) = (0, 0) ✈➔ h∗ ∈ W ∗
s❛♦ ❝❤♦ c∗ ◦ f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 ) + h∗ ◦ h (x0 ) = 0✳
✭✐✐✮ ✭❛✮ ●✐↔ sû A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) = ∅ ✭♥➳✉ ❦❤æ♥❣✱ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❧➔ t➛♠ t❤÷í♥❣✮✳
❇ð✐ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✷ ✭✐✐✮ ✭❛✮✱ tç♥ t↕✐ (M, N, P ) ∈ ♣✲❝❧B(f,g,h) (x0 ) s❛♦ ❝❤♦✱ ✈î✐ ♠å✐ w ∈ X ✱

(f, g, h) (x0 )w + 2(M, N, P )(u, u) ∈ −intcone[C + f (x0 )u] × IT 2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) × {0}✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✸✳✸ ✈î✐ E = X, G = W, F = Y × Z ✱ ϕ = (f (x0 ), g (x0 )), ψ = h (x0 )✱
y0 = 2(M, N )(u, u), z0 = 2P (u, u)✱ B = ❝♦♥❡[C + f (x0 )u] × [−IT 2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u)]
❝❤♦ (c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ X ∗ ×Y ∗ ×Z ∗ ✈î✐ c∗ ◦f (x0 )+k ∗ ◦g (x0 )+h∗ ◦h (x0 ) = 0 ✈➔ (c∗ , k ∗ ) = (0, 0)
s❛♦ ❝❤♦✱ ✈î✐ ♠å✐ c ∈ ❝♦♥❡[C + f (x0 )u] ✈➔ k ∈ −IT 2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u)]✱

c∗ , 2M (u, u) + k ∗ , 2N (u, u) + h∗ , 2P (u, u) + c∗ , c + k ∗ , k ≥ 0✳

✭✶✷✮

❱➻ ❝♦♥❡[C + f (x0 )u] ❧➔ ♥â♥✱ ✭✶✷✮ ❞➝♥ ✤➳♥ c∗ , c ≥ 0✱ ✈î✐ ♠å✐ c ∈ ❝♦♥❡[C + f (x0 )u] ✈➔ ✈➻
✶✽


t c C c , f (x0 )u = 0 t := c , 2M (u, u) + k , 2N (u, u) + h , 2P (u, u)
tứ t õ k , k ợ ồ k IT 2 (K, g(x0 ), g (x0 )u) tự ợ ồ k
A2 (K, g(x0 ), g (x0 )u) ũ ợ s r r

c , M (u, u) + k , N (u, u) + h , P (u, u) 21 supkA2 (K,g(x0 ),g (x0 )u) k , k
t r (c , k , h ) (x0 ) t q st tr

A2 (K, g(x0 ), g (x0 )u) + T (T (K, g(x0 )), g (x0 )u) A2 (K, g(x0 ), g (x0 )u)
õ ợ ồ k A2 (K, g(x0 ), g (x0 )u) k1 T (T (K, g(x0 )), g (x0 )u)

k , k + k1
T (T (K, g(x0 )), g (x0 )u) õ s r r

k [T (T (K, g(x0 )), g (x0 )u)] = {k N (K, g(x0 )) | k , g (x0 )u = 0}
ớ sỷ u c = 0 t ợ ồ (y, z) Y ì Z tỗ t x X
k T (T (K, g(x0 )), g (x0 )u) s (g, h) (x0 )x (k, 0) = (y, z) õ

(k , h ), (y, z) = k , g (x0 )x + h , h (x0 )x k , k = k , k 0
(c , k , h ) (x0 ) (y, z) tũ ỵ (k , h ) = (0, 0) ởt t
ỵ tỗ t (M, N, P ) B(f,g,h) (x0 ) \ {0} s

(M, N, P )(u, u) intcone[C + f (x0 )u] ì IT (K, g(x0 ), g (x0 )u) ì {0}
õ trữớ ủ s

P (u, u) = 0 t ỵ t tổ tữớ tỗ t (c , k ) Y ìZ \{0, 0}
s ợ ồ w t[C + f (x0 )u] k IT (K, g(x0 ), g (x0 )u)
c , M (u, u) + k , N (u, u) + c , w + k , k 0



t[C + f (x0 )u] IT (K, g(x0 ), g (x0 )u) õ c C
c , f (x0 )u = 0 k , k 0 ợ ồ k IT (K, g(x0 ), g (x0 )u) tự ợ ồ
k T (T (K, g(x0 )), g (x0 )u) t k K(g(x0 ))

k , g (x0 )u = 0 t õ

c , M (u, u) + k , N (u, u) 0
ồ h W tũ ỵ t ữủ t q

P (u, u) = 0 t ró r r tỗ t h W ổ s h , P (u, u)
0 ợ (c , k ) = (0, 0) t õ t
t q ữủ s r tứ ỵ ỵ t tổ tữớ
t q s ởt q trỹ t ừ ỵ

q ợ

t P f, g h rt t x0
h (x0 )(X) = W tC tK rộ x0 LWE(f, S) t
tỗ t (c , k , h ) (x0 ) s (c , k ) = (0, 0)
ợ ồ u X ợ (f, g, h) (x0 )u [C ì clK(g(x0 )) \ int(C ì K(g(x0 )))] ì {0}
tỗ t (c , k , h ) (x0 ) ợ (c , k ) = (0, 0) s

c , f (u, u) + k , g (u, u) + h , h (u, u) supkA2 (K,g(x0 ),g (x0 )u) k , k
t ỳ u tọ t c = 0
f (x0 )u bdC w T (S, x0 , u) intK =



h (x0 )(X) = W õ t ọ t tỗ t c C \ {0} ợ c , f (x0 )u = 0 s
c , f (x0 )w 0
ữ ỵ r q tr tọ t t ừ
u ụ tọ t q rở ỵ ừ tr
õ Y = R K õ q tr ữủ ũ

t t ỵ tt r (g, h)

rt q x0 (f, g) ờ t x0 ữợ q tr t ữợ t
(x0 , u) ố ợ K ì {0} t ừ tr ỡ ữ s g (x0 )w
T (K, g(x0 ), g (x0 )u) h (x0 )w = 0 t tỗ t c C \ {0} ợ c , f (x0 )u = 0
s c , f (x0 )w 0 t ử ữợ ợ (g, h) t
g K ì {0} t K t õ ợ S = (g, h)1 (K ì {0}) = G H

T (S, x0 , u) = {w X | (g, h) (x0 )w T (K ì {0}, (g, h)(x0 ), (g, h) (x0 )u)}
= {w X | g (x0 )w T (K, g(x0 ), g (x0 )u), h (x0 )w = 0}
ũ tự supkA2 (K,g(x0 ),g (x0 )u) k , k ổ ữỡ t ữ r ớ t
ỡ t q trồ ừ õ t õ

A2 (K, g(x0 ), g (x0 )u) (K g(x0 )) g (x0 )u
t ố ừ ự ừ ỵ

k [T (T (K, g(x0 )), g (x0 )u)] = [clcone(cone(K g(x0 )) g (x0 )u)] .
s r r tự õ tr ổ ữỡ t ử
s ổ ố ữ t q ờ ỹ ữủ ồ tữủ
s ữớ t t r tr tự tr trt t
0 A2 (K, g(x0 ), g (x0 )u) t r t t
ữợ u X ợ g (x0 )u (K g(x0 )) = K(g(x0 ))
ữ t r trữớ ủ tữủ
ổ r
ỵ t ữợ u ợ g (x0 )u clK(g(x0 ))
tữủ r u tr ộ ờ ữớ ữ ọ ừ õ
clK(g(x0 )) r tữủ ổ r g (x0 )u
K(g(x0 )) tr t K r
tữủ ụ ổ r K(g(x0 )) õ ữ ỵ r ũ t
õ t tr tt ởt t ữợ

q tữủ ró ỡ t tt ởt ữ ổ
tử tr ỵ
t q s ởt trữ ừ õ t ú t ợ t
ữủ S = g 1 (K)

x , u X g rt q x

0
0 ợ g ờ t x0
ữợ q tr t ữợ t (x0 , u) ố ợ K õ ợ S = g 1 (K)
t õ

T (S, x0 , u) = {w X | g (x0 )w T (K, g(x0 ), g (x0 )u)}

ự w T

(S, x0 , u) õ tỗ t (tn , rn ) (0+ , 0+ ) : tn /rn 0
wn w s xn := x0 + tn u + 21 tn rn wn S t õ



g(xn ) g(x0 ) tn g (x0 )u
g (x0 )w
tn rn /2
g(xn ) K s r r g (x0 )w T (K, g(x0 ), g (x0 )u)
ố ợ sỷ r g (x0 )w T (K, g(x0 ), g (x0 )u) õ tỗ t
(tn , rn ) (0+ , 0+ ) : tn /rn 0 zn g (x0 )w s g(x0 ) + tn g (x0 )u + 21 tn rn zn
K ợ ồ n tt ữợ q tr ợ n ợ t õ tn (0, )
un := u + 21 rn w BX (u, ) s

d(x0 + tn un , S) àd(g(x0 + tn un ), K)
à g(x0 + tn un ) g(x0 ) tn g (x0 )u 21 tn rn zn
à( g(x0 + tn un ) g(x0 ) g (x0 )(tn un ) + 12 tn rn g (x0 )w 21 tn rn zn )
à tn un 2 + 12 àtn rn g (x0 )w zn
1
= àtn rn (2(tn /rn ) un 2 + g (x0 )w zn )
2
t tự s ũ ữủ s r tứ ỵ tr tr tt ờ
ừ g zn g (x0 )w t õ t t ữủ xn S s x0 + tn un xn / 12 tn rn 0
ỡ ỳ
xn x0 tn u
xn x0 tn un
wn :=
=
+ w w.
tn rn /2
tn rn /2
õ w T (S, x0 , u)
t q s q trỹ t ừ ỵ trữớ ủ h = 0 r
trữớ ủ t

1 (x0 ) := {(c , k ) Y ì Z | (c , k ) = (0, 0), c f (x0 ) + k g (x0 ) = 0,
c C , k N (K, g(x0 ))}

q ợ t P h = 0 tC tK rộ x
(f, S) t s tọ

0

f g rt t x0 õ 1 (x0 ) =
(f, g) t t x0 ((f, g) (x0 ), B(f,g) (x0 )) ừ (f, g)
t x0 ợ B(f,g) (x0 ) t t u X ợ A (K, g(x0 ), g (x0 )u) =
(f, g) (x0 )u [C ì clK(g(x0 )) \ int(C ì K(g(x0 )))] t
tỗ t (M, N ) B(f,g) (x0 ) (c , k ) 1 (x0 ) s

c , M (u, u) + k , N (u, u) 21 supkA2 (K,g(x0 ),g (x0 )u) k , k ,
c = 0 t ỳ q s tọ
u

g (x0 )X T (T (K, g(x0 )), g (x0 )u) = Z

tỗ t (M, N ) B(f,g) (x0 ) \ {0} (c , k ) C ì K(g(x0 )) \ {(0, 0)}
ợ c , f (x0 )u = k , g (x0 )u = 0 s

c , M (u, u) + k , N (u, u) 0
f rt t x0 (f (x0 ), Bf (x0 )) ừ f t x0 ợ
Bf (x0 ) t t u X ợ f (x0 )u bdC intK ổ



rộ õ ợ ồ w T (S, x0 , u) tỗ t M Bf (x0 ) c C \ {0}
ợ c , f (x0 )u = 0 s

c , f (x0 )w + M (u, u) 0
tỗ t M Bf (x0 ) \ {0} c C \ {0} ợ c , f (x0 )u = 0 s

c , M (u, u) 0
ử s ởt trữớ ủ tr õ ỵ q ọ

ớ ữỡ tr õ t q ổ ử
ữủ

ử

C = R+ I = [1, 1] C(I) ổ tỹ tử tr
I C+ (I) := {z C(I) | z(t) 0, t I} (x0 , y0 ) = (0, 0) f : R2 R
g : R2 C(I) ữủ

f (x, y) = x|x| + y, (g(x, y))(t) = y + 3x2 2tx + t2 , t I
g ữủ tứ ử tr õ f C 1,1 t (0, 0) f (0, 0) = (0, 1)
1 0
Bf (0, 0) =
, g C 2 t (0, 0) ợ ồ u = (x, y) R2 t I
0 0

(g (0, 0)(u))(t) = 2tx + y (g (0, 0)(u, u))(t) = 6x2
t ((f, g) (0, 0), Bf (0, 0) ì { 21 g (0, 0)}) ừ (f, g) t (0, 0) ợ
B(f,g) (0, 0) := Bf (0, 0) ì { 12 g (0, 0)} õ t t
q tr tọ u u ụ tọ
tỷ rt

1 (0, 0) = {(c , k ) R ì C(I) | c = > 0, k , z = z(0), z C(I)}
ồ u = (1, 0) õ f (0, 0)u = 0 ờ ừ v(ã) clK(g(0, 0)) =
clcone(C+ (I) + (ã)2 ) v(t) 0 ợ ồ t I := {t I|t2 = 0} = {0}
õ (g (0, 0)u)(t) = 2t õ g (0, 0)u K(g(0, 0)) ỡ ỳ t ử
tr

A2 (K, g(0, 0), g (0, 0)u) = {z C(I) | z(0) 2}
õ (f, g) (0, 0)u [C ì clK(g(0, 0)) \ int(C ì K(g(0, 0)))] t r ợ ồ

(M, N ) B(f,g) (0, 0) = B(f,g) (0, 0) (c , k ) 1 (0, 0)

c , M (u, u) + k , N (u, u) 2 < = 12 supkA2 (K,g(0,0),g (0,0)u) k , k
ỵ q (0, 0) (f, S) f ổ rt
t (0, 0) q ỵ ừ ổ ử ữủ
r ỏ t t trữớ ủ ỳ ừ P ự ởt
ỹ tr ỵ t s

ờ ỵ C , C

Rm t ỗ s C1
r õ tỗ t ởt s t C1 C2 r t ổ ự C2
C1 riC2 =
1

2

ỵ ợ t P X, Y, Z W ỳ tC tK
rộ x0 f, S õ s tọ

f, g, h rt t x0 h ữợ q tr t ữợ



t↕✐ (x0 , u) ✤è✐ ✈î✐ T = {0} ❦❤✐ u = 0✳ ❑❤✐ ✤â✱ tç♥ t↕✐ (c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ Λ(x0 ) s❛♦ ❝❤♦
(c∗ , k ∗ ) = (0, 0)✳
✭✐✐✮ ❈❤♦ f, g, h ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0 ✱ ((f, g, h) (x0 ), B(f,g,h) (x0 )) ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ❤❛✐ ❝õ❛
(f, g, h) t↕✐ x0 ✱ ✈➔ u ∈ X ✈î✐ A (−K, g(x0 ), g (x0 )u) = ∅✳ ◆➳✉ h ❧➔ ❞÷î✐ ❝❤➼♥❤ q✉② ♠❡tr✐❝
t❤❡♦ ❤÷î♥❣ t↕✐ (x0 , u) ✤è✐ ✈î✐ T = {0} ✈➔ (f, g, h) (x0 )u ∈ −[C × clK(g(x0 )) \ int(C ×
K(g(x0 )))] × {0}✱ t❤➻

✭❛✮ ❤♦➦❝ tç♥ t↕✐ (M, N, P ) ∈ ❝❧B(f,g,h) (x0 ) ✈➔ (c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ Λ(x0 ) s❛♦ ❝❤♦

c∗ , M (u, u) + k ∗ , N (u, u) + h∗ , P (u, u) ≥ 21 supk∈A2 (−K,g(x0 ),g (x0 )u) k ∗ , k ,
tr♦♥❣ ✤â (c∗ , k ∗ ) = (0, 0) ♥➳✉ h = 0✱ ✈➔ c∗ = 0 ♥➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❚❘u ✮ t❤ä❛❀
✭❜✮ ❤♦➦❝ tç♥ t↕✐ (M, N, P ) ∈ B(f,g,h) (x0 )∞ \ {0} ✈➔ (c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ C ∗ × K(g(x0 ))∗ ×
W ∗ \ {(0, 0, 0)} ✈î✐ c∗ , f (x0 )u = k ∗ , g (x0 )u = 0 s❛♦ ❝❤♦

c∗ , M (u, u) + k ∗ , N (u, u) + h∗ , P (u, u) ≥ 0
✈➔ ♥➳✉✱ t❤➯♠ ♥ú❛ h = 0✱ t❤➻ (c∗ , k ∗ ) = (0, 0)✳
✭✐✐✐✮ ❈❤♦ f ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t t↕✐ x0 ✱ (f (x0 ), Bf (x0 )) ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ❤❛✐ ❝õ❛ f t↕✐
x0 ✱ ✈➔ u ∈ X ✈î✐ f (x0 )u ∈ −bdC ✭✈➔ intK ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ❦❤→❝ ré♥❣✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐
w ∈ T (S, x0 , u)✱ ❤♦➦❝ tç♥ t↕✐ M ∈ Bf (x0 )∞ ✈➔ c∗ ∈ C ∗ \ {0} ✈î✐ c∗ , f (x0 )u = 0 s❛♦
❝❤♦

c∗ , f (x0 )w + M (u, u) ≥ 0✱
❤♦➦❝ tç♥ t↕✐ M ∈ Bf (x0 )∞ \ {0} ✈➔ c∗ ∈ C ∗ \ {0} ✈î✐ c∗ , f (x0 )u = 0 s❛♦ ❝❤♦

c∗ , M (u, u) ≥ 0✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ❇ð✐ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✷ ✭✐✮✱ →♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✸✳✾ ✈î✐ C

= (f, g, h) (x0 )X ✈➔
C2 = −int[C × K(g(x0 ))] × {0}✱ t❛ ❝â ✤÷ñ❝ (c , k , h ) ∈ X × Y × Z ∗ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ✈➔
α ∈ R s❛♦ ❝❤♦✱ ∀(y, z, t) ∈ (f, g, h) (x0 )X ✱ ∀(c, k) ∈ −(C × K(g(x0 )))✱
∗

∗

∗

∗

1
∗

c∗ , y + k ∗ , z + h∗ , t ≥ α✱

✭✶✹✮

c∗ , c + k ∗ , k ≤ α,

✭✶✺✮

✈➔ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣

H := {(y, z, t) ∈ X × Y × Z | c∗ , y + k ∗ , z + h∗ , t = α}
❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ C2 ✳ ❱➻ (f, g, h) (x0 )X ✈➔ C × K(g(x0 )) ❧➔ ❝→❝ ♥â♥✱ α = 0✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✭✶✹✮ s✉②
r❛ r➡♥❣ c∗ ◦ f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 ) + h∗ ◦ h (x0 ) = 0✳ ❈❤♦ k = 0 tr♦♥❣ ✭✶✺✮ t❛ ✤÷ñ❝ c∗ ∈ C ∗ ✳
✣➦t c = 0 tr♦♥❣ ✭✶✺✮ t❛ ❝â k ∗ ∈ K(g(x0 ))∗ = N (−K, g(x0 ))✳ ❱➻ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ H ❦❤æ♥❣
❝❤ù❛ C2 ✱ (c∗ , k ∗ ) = (0, 0)✳
✭✐✐✮ ✭❛✮ ❇ð✐ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✷ ✭✐✐✮ ✭❛✮✱ →♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✸✳✾ ✈î✐ C1 = (f, g, h) (x0 )X +
2(M, N, P )(u, u) ✈➔ C2 = −intcone[C + f (x0 )u] × IT 2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) × {0}✱ t❛ ❝â
✤÷ñ❝ (c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ X ∗ × Y ∗ × Z ∗ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ✈➔ α ∈ R s❛♦ ❝❤♦✱ ✈î✐ ♠å✐ (y, z, t) ∈
(f, g, h) (x0 )X ✱ c ∈ −✐♥t❝♦♥❡[C + f (x0 )u] ✈➔ k ∈ IT 2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u)✱

c∗ , y + k ∗ , z + h∗ , t + 2 c∗ , M (u, u) + 2 k ∗ , N (u, u) + 2 h∗ , P (u, u) ≥ α✱ ✭✶✻✮
c∗ , c + k ∗ , k ≤ α ✱

✭✶✼✮

✈➔ H ❦❤æ♥❣ ❝❤ó❛ C2 ✳ ❱➻ (f, g, h) (x0 )X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✱ tø ✭✶✻✮ t❛ ❝â✱ ✈î✐ ♠å✐ (y, z, t) ∈
✷✸


(f, g, h) (x0 )X
c , y + k , z + h , t = 0
c f (x0 ) + k g (x0 ) + h h (x0 ) = 0
c , M (u, u) +2 k , N (u, u) +2 h , P (u, u)



t[C + f (x0 )u] õ s r r c C c , f (x0 )u = 0 ụ tứ
t õ k , k ợ ồ k IT 2 (K, g(x0 ), g (x0 )u) ứ
tữỡ tỹ ữ tr ự ỵ t õ t
ớ sỷ h = 0 (c , k ) = (0, 0) t = 0 õ H
ự C2 ởt t
ỵ ử ờ ợ C1 = {(M, N, P )(u, u)} C2 =
intcone[C + f (x0 )u] ì IT (K, g(x0 ), g (x0 )u) ì {0} t ữủ (c , k , h ) X ì
Y ì Z ổ R s ợ ồ c t[C + f (x0 )u] k
IT (K, g(x0 ), g (x0 )u)

c , M (u, u) + k , N (u, u) + h , P (u, u)
c , c + k , k
H ổ ự C2 ứ t tự tr tữỡ tỹ ữ tr
ự ỵ t õ t q
ớ ợ h = 0 (c , k ) = (0, 0) t t tự tr = 0 t
õ t tữỡ tỹ H ự C2
t q ữủ s r tứ ỵ ỵ t tổ tữớ
q ữợ ữủ s r trỹ t tứ ỵ ũ ss
s rở r tỹ ss r tữỡ ự

q ợ t P X, Y, Z W

ỳ f, g, h tở ợ
C 1,1 t x0 X tC tK rộ x0 (f, S) õ ỳ
s tọ
h ữợ q tr t ữợ t (x0 , u) ố ợ T = {0} u = 0
õ tỗ t (c , k , h ) (x0 ) s (c , k ) = (0, 0)
u X h ữợ q tr t ữợ t (x0 , u) ố ợ T = {0}
(f, g, h) (x0 )u [C ì clK(g(x0 )) \ int(C ì K(g(x0 )))] ì {0} t tỗ t (M, N, P )
C2 (f, g, h)(x0 ) (c , k , h ) (x0 ) s

c , M (u, u) + k , N (u, u) + h , P (u, u) supkA2 (K,g(x0 ),g (x0 )u) k , k



tr õ (c , k ) = (0, 0) h = 0 c = 0 u tọ
u X ợ f (x0 )u bdC intK ổ rộ õ ợ ồ
w T (S, x0 , u) tỗ t c C \ {0} ợ c , f (x0 )u = 0 s

c , f (x0 )w 0
q t q ừ tr õ h rt t
x0

q ợ t P X, Y, Z W


ỳ f, g, h tở ợ