cac bài toán về hình học không gian

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 1
PHÁT HUY TÍNH SÁNG TẠO QUA VIỆC GIẢI TOÁN
Thầy: Cao Minh Quân
Trong quá trình học toán chúng ta đôi khi phải biết sáng tạo, phải có những tìm tòi, những lời giải
ngắn gọn để đi đến kết quả nhanh nhất và chính xác nhất.
Sau đây là một số bài toán hình không gian giải bằng công cụ giải tích hoăc các bài hình giải tích
tiêu biểu dành cho các em học sinh chuẩn bị thi vào đại học.

Bài toán 1:
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết




(3;2;4); 1;2;3 ; 3;0;3
S B D
1) Lập phương trình đường vuông góc chung

của hai đường thẳng AC và SD.
2) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Lập phương trình mặt phẳng qua BI và song
song với AC.
3) Gọi H là trung điểm của BD, G là trực tâm của tam giác SCD.Tính độ dài doạn HG.
Nhận xét:
Bài toán ra giả thiết rất hạn chế, chỉ cho ba điểm S, B, D.Vấn đề là chỉ với ba điểm cho trước đó, ta
phải giải quyết bài toán.
Hướng giải:
Câu 1: Không cần tìm tọa độ của A và C, gọi




là mặt phẳng qua trung điểm H của đoạn BD và
vuông góc với SD thì

chính là giao của



với mặt phẳng (SBD).
Câu 2:
- Gọi



là mặt phẳng trung trực của đọan SB thì I = SH




.
- Ta có:


AC SBD
 , gọi
n

là vectơ pháp tuyến của (SBD) thì
AC


cùng phương với
n

.
- Mặt phẳng cần tìm qua B và có cặp vectơ chỉ phương là
n

và
BI

.
Câu 3:
- Bài toán chỉ yêu cầu tính độ dài HG, với nhận xét HSCD là tứ diện vuông tại H , sử dụng tính chất
của tứ diện vuông, ta được HG = d(H, (SCD)).
Bài giải chi tiết:
Câu 1: Ta có:






2;0; 1 ; 0; 2; 1 , 2;2; 4
SB SD SD SB
 
        
 
   
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011-2012

TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 2
-Tọa độ H(2;1;3). gọi
 

là mặt phẳng qua H và vuông góc với SD
- Mặt phẳng
 

qua H và có một vectơ pháp tuyến
 
0;2;1n



nên:
 
: 2 5 0y z

  
- Mặt phẳng (SBD) qua B và có một vectơ pháp tuyến
 
1;1; 2n  

nên
 
: 2 3 0SBD x y z   
- Từ H kẻ HK SD , vì:
AC BD
AC SH






nên AC
HK
thì HK
 
Và  là giao tuyến của
 

với (SBD)   có vectơ chỉ phương
 
, 5; 1;2n n

 
 
 
 
và qua H nên:
Câu 2: Ta có
 
1;1;1HS 

. SH là đường thẳng qua H và có vectơ chỉ
phương HS

nên
2 1 3
:

1 1 1
x y z
SH
  
 
- Gọi J là trung điểm cạnh SD thì:
7
2;2;
2
J


 


.
- Gọi
 

là mặt phẳng trung trực của SB thì
 

qua J và có vectơ pháp tuyến
 
2;0;1n



nên
 

15
: 2 0
2
x z

  
.
- Tọa độ tâm I của mặt cầu thỏa hệ :
13
6
15
2 0
7
2
6
2 1 3
19
6
x
x z
y
x y z
z





  
 

 
 
 
    





 Tâm I
13 7 19
; ;
6 6 6


 


- Ta có
7 5 1
; ;
6 6 6
BI


 
 




.
 
9 15 12 1
, ; ; 3;5;4
6 6 6 2
n BI


 
     
 
 


 
- Gọi
 

là mặt phẳng qua I và song song AC thì
 

có cặp vectơ chỉ phương là ,BI n
 
nên có
vectơ pháp tuyến
 
3;5;4n





 
2 5
: 1
3 2
x t
y t t
z t
 


   


 




:3 5 4 25 0
x y z

   
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 3
Câu 3:
Vì HSCD là tứ diện vuông tại H, G là trực tâm  SCD nên
 
HG SCD và

2 2 2 2
1 1 1 1
HG HS HC HD
   với HC = HD =
1
2
2
BD  , HS = 3
Suy ra:

Bài toán 2:
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với C(3;2;3), đường cao AH nằm trên đường thẳng
1
2 3 3
:
1 1 2
x y z
d
  
 

và đường phân giác trong của góc B nằm trên đường thẳng
2
1 4 3
:
1 2 1
x y z
d
  
 


. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Nhận xét:
Theo cách suy nghỉ bình thường, ta sẽ đi tìm tọa độ của B và C, từ đó sẽ tính được độ dài của các
cạnh của ABC, hướng giải quyết này làm bài toán sẽ dài, vấn đề ở đây là ta sẽ dựa vào tính chất đặc
biệt của ABC để tính độ dài các cạnh của ABC
Hướng giải:
- Tìm phương trình mặt phẳng
 

qua C và vuông góc với d
1
.
- Lấy giao điểm B của
 

với d
2
- Tìm giao điểm H của
 

với d
1
 H là trung điểm cạnh BC ABC cân tại A
- Gọi I
1 2
d d 
, tính



IBH ABC .
Bài giải chi tiết:
- Gọi
 

là mặt phẳng qua C và vuông góc với d
1
thì
 
1;1; 2n

 

nên
 
: 2 1 0x y z

   
- Gọi B =
 
2
d

 thì tọa độ B thỏa hệ:
2 1 0
1 4 2
1 2 1
x y z
x y z
   




  
 

 
HG =
3
2
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 4
1
4
3
x
y
z



 




(1;4;3)
B


- Gọi H =


1
d


thì tọa độ H thỏa hệ:
2 1 0
2 3 3
1 1 2
x y z
x y z
   



  
 



 
2
3 2;3;3
3
x
y H
z




  




- Nhận xét: H là trung điểm đoạn BC và AH
BC

nên ABC cân tại A. (1)
-


2; 2;0
BC  

- Gọi I
1 2
d d


ta được BIH vuông tại H và

 
2
2
2
.
3

cos cos ,
2
.
BC u
IBH BC u
BC u
  
 
 
 


30 60
o o
IBH ABC
   
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ABC là tam giác đều nên:

Bài toán 3:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD mà cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Mặt cầu tâm I đi qua A và
tiếp xúc với các cạnh SB , SD tại trung điểm mỗi đường.
a) Xác định tâm I và tính bán kính của mặt cầu.
b) Tính thể tích tứ diện SBID.
Nhận xét: Bài nầy nếu giải bằng phương pháp tiên đề sẽ gặp nhiều khó khăn , ta giải bài tóan bằng
phương pháp tọa độ.
Hướng giải:
- Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian.
- Tâm I của mặt cầu thỏa:
IA IM

IM SB
IN SD










 
 
 
- R = IA
AB = AC = BC =
2 2
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 5
Bài giải chi tiết:
Câu 1:
- Chọn hệ tục tọa độ như hình vẽ, ta có:
     
2
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ; ;
2 2 2
a a a
B A a C a S







Suy ra:
 
; ;0D a a
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh SB, SD thì:
2 3 3 2
; ; , ; ;
4 4 4 4 4 4
a a a a a a
M N
 
 
 
 
 
 
, I
 
; ;x y z
Tâm I của mặt cầu thỏa:
IA IM
IM SB
IN SD











 
 
 
 
2
2 2
2
2 2
2
4 4 4
2 2
. . 0
2 4 2 4 2 4
3 3 2 2
. . 0
2 4 2 4 2 4
a a a
x y z x a y z
a a a a a a
x y z
a a a a a a
x y z




 
 

        


   
 
 






 
 
      


   
 
 







 
 

     


   

 
 



2
2
5
8
3
. 2
2 4 8
0
0
a
x
x y a
a a a
a ax a y
z

z


 




 
       
 
 


 



. Vậy và
Câu 2: Gọi H là trung điểm của BD thì ; ;0
2 2
a a
H


 


2
; ;0

8 8 8
a a a
IH IH



   
 



-
3
.
1 . 2
. .
6 48
S IBD
a
V IH SH BD 
. Vậy :
5 3
; ;0
8 8
a a
I


 



R = IA =
3 2
8
a
3
.
. 2
48
S IBD
a
V 
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 6

Bài toán 4:
Cho mặt cầu (S):
2 2 2 2
x y z a
  
và hai đường thẳng d, d’ với:
d là giao tuyến của hai mặt phẳng:
0; 0
x a y z
   
; d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:
0; 0
x a y a
   

. M là một điểm trên d với
2
M
y t

; M’ là một điểm trên d’ với
'
2 '
M
y t

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MM’. Tìm điều kiện giữa t và t’ để MM’ tiếp xúc với
mặt cầu (S).
b) Giả sử t.t’ > 0 . Tìm tập hợp các tiếp điểm T của MM’ và mặt cầu (S).
Bài giải chi tiết:
a) M là điểm trên d và do giả thiết nên:


;2 ; 2
M a t t

M’ là điểm trên d’ và do giả thiết nên:


' ;2 ';2 '
M a t t









' 2 ;2 ' ; 2 '
M M a t t t t
   

Phương trình tham số của đường thẳng MM’ qua M và có vectơ chỉ phương


; ' ; '
u a t t t t
   

là :
 
 
 
2 '
2 '
x a a
y t t t
z t t t

 


 


   


   


Thay vào phương trình của (S):
   


 


2 2
2
2
2 ' 2 '
a a t t t t t t a
  
        




2 2 2 2 2 2 2
2 ' 2 4 8 0 1
a t t a t t
 
 
 

      
 
 
MM’ tiếp xúc với mặt cầu (S)



2 2 2 2 2 2 2
2 ' 2 4 8 0
a t t a t t
 
 
 
     
 
 




2
2 2 2 2 2 2 2
4 2 ' 8 0 4 . '
a t a t t t t t a
 
        
 
Vậy điều kiện là:
b) Với điều kiện 4t.t’ = a
2

(2), (1) có nghiệm là
 
2 2
2 2 2
4
2 '
a t
a t t



 
, lúc này ta được tiếp điểm:


 
 


 
 


 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ' ' 4 . ' ' 4 . '
; ;
2 ' 2 ' 2 '
a t t t t a t t t t a t t

T
a t t a t t a t t


    


 
     


2
4 . '
t t a
 
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 7
Ta có:
 
   
 
2
2 2
2 2 2 2
'
2 ' 2 ' 4 ' 2 ' ; ;0
' '
a t t
a

a t t a t t tt t t T
t t t t


        


 


(vì do (2) nên
0
T
z 
)
và ta có
 
 
 
 
 
2
2 2
2
2 4
2 2 2
2 2
' 4 '
'
' '

T T
a t t tt a
a t t a
x y a
t t t t
  
 
   
 
do đó: Tập hợp các điểm T là đường
tròn giao của mặt cầu:
2 2 2
x y a  và mặt phẳng Oxy: z = 0

Bài toán 5:
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a , Vẽ hai tia Aa, Bb cùng chiều và cùng vuông góc với (ABC) .Gọi
A
1
, B
1
là hai điểm di động trên Aa, Bb sao cho AA
1
+ BB
1
= l (l là độ dài cho sẵn) . Xác định vị trí
của điểm A
1
,B
1
sao cho tam giác A

1
B
1
C có diện tích nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Nhận xét : Bài nầy nếu giải bằng phương pháp tiên đề sẽ gặp nhiều khó khăn , ta giải bài tóan bằng
phương pháp tọa độ.
Bài giải chi tiết:
Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz sao cho:
A(0; 0; 0) O ; B(0; a; 0);
3
; ;0
2 2
a a
C






Đặt AA
1
= x, BB
1
= y (x, y > 0) thì A
1
(0; 0; x); B
1
(0; a; y) và x + y = l
Gọi


là góc hợp bởi (A’B’C) và (ABC), ta có
1 1
2
3
cos 4.cos
ABC
A B C
S
a
S
 
  (*)
Ta có:
     
2
1 1 1 1 1 1
3 3 3
; ; ; 0; ; , ; ;
2 2 2 2 2
a a a a a
AC x A B a y x AC A B x y x y
 
 
 
       
 
 
 
 

 
   
(A
1
B
1
C) có vectơ pháp tuyến
 
 
; 3 ; 3n x y x y a  

(ABC) có vectơ pháp tuyến
 
0;0;1k 

Vậy: cos


   
2 2
2
.
3
.
3 3
n k
a
n k
x y x y a


   
 
 
Ta có:
   
 
2 2
2 2 2 2
3 3 4 4 3x y x y a x y xy a       
 
2
2
4 12 3x y xy a   
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 8
 
2
2
2 2 2 2 2 2
4 12 3 4 3 3 3
2
x y
x y a l l a l a



        
 



Từ (*),
1 1
A B C
S
có giá trị nhỏ nhất

cos

có giá trị lớn nhất

x = y =
2
l

1 1
2
l
AA BB
 
Vậy min
1 1
A B C
S
=
2 2
3
4
a l a


Bài tập:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao có độ dài h, điểm M
thuộc AB’ của mặt phẳng (ABB’A’) sao cho:
5
' 4
AM
MB

.



là mặt phẳng qua M, song song với A’C
và BC’.
a) Tính khỏang cách và cosin của góc giữa AC và BC’.
b) Xác định thiết diện do



cắt lăng trụ.
c) Mặt phẳng



chia đọan CC’ theo tỉ số nào?
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước AB = a, AD = b, AA’ = c với:
0 < a < b < c. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và C’D’, và các điểm M, N thỏa điều
kiện:
. ; . '
AM k AD BN k BB

 
   
với
0 1
k
 
(1)
a) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (A’BD).
b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của k thỏa mãn điều kiện (1), bốn điểm I, M, J, N thuộc một mặt
phẳng. Tìm các giá trị của k để MN
IJ

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Các nửa đường thẳng Bm, Dn
( )
ABCD

và ở về cùng một
phía đối với mặt phẳng ấy. Lấy điểm M  Bm, N  Dn. Đặt BM = x, DN = y.
a) Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
b) Tìm hệ thức giữa x, y để




ACM ACN

.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 9

c) x, y thỏa mãn điều kiện câu b). HK là đường vuông góc chung của AC và MN (H  AC). Chứng
minh H cố định và HK không đổi.
Bài 4: Trong không gian Oxyz, lấy điểm S thuộc trục Oz có cao độ bằng 1, hai điểm M, N chuyển
động trên hai nửa trục dương Ox, Oy sao cho OM + ON = 1.
a) Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SOMN.
b) Tìm tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN.
c) Chứng minh rằng tổng các góc ở đỉnh của tam diện SOMN luôn bằng
2

.
d) Chứng minh mặt phẳng (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hai điểm M, N chuyển động trên hai
đoạn thẳng BD và B’A tương ứng sao cho BM = B’N = t. Gọi
,
 
lần lượt là các góc tạo bởi đường
thẳng MN với các đường thẳng BD và B’A.
a) Tính độ dài đọan MN theo a và t.Tìm t để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tình
,
 
khi độ dài đoạn MN đạt đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Trong trường hợp tổng quát, chứng minh hệ thức:
2 2
1
cos cos
2
 
 
Bài 6: Cho hình chóp OABC có góc tam diện đỉnh O là tam diện vuông, M là một điểm thuộc mặt

đáy (ABC). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
AM BM CM
AO BO CO
 
Bài 7: Tứ diện đều ABCD có tâm là S và độ dài các cạnh bằng 2. Một đường thẳng  quay quanh S,
gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của các đỉnh A, B, C, D trên . Tìm tất cả vị trí của  sao cho
tổng:
4 4 4 4
' ' ' '
SA SB SC SD
  
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và mặt cầu (S) nội tiếp hình lập phương đó. Mặt phẳng
(P) quay quanh A tiếp xúc với (S) và cắt hai cạnh A’B’, A’D’ lần lượt tại M, N. Tìm tập hợp tâm I của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’MN.
Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các
khoảng cách từ đó đến các mặt của tứ diện bằng m
2
cho trước.
Bài 10: Cho tứ diện SABC với SA = SB = SC = 1. Mặt phẳng



thay đổi luôn đi qua trọng tâm G
của tứ diện cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 1
. . .
P

SD SE SE SF SF SD
  