024 đề HSG toán 9 lâm thao 2017 2018

PHÒNG GD& ĐT LÂM THAO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 02 trang)

I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng
Câu 1.Giá trị x thỏa mãn : 2 x  1  5  2 là :
1
A. x  25
B. x 

1
x4
2
2
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  2 x  3 với x  3 là :

A.-3

B. 3

C.

C.-4

D.

1
 x  25
2

D.4

Câu 3. Cho x  5  2 6  5  2 6 thì giá trị biểu thức N  x  3x  2008 là
A.2017
B.2018
C.2019
D. 2020
3

3

3

2
3

1
và trục Ox là:
2
A. 146019/
B. 330 42/
C. 146030/
D. 33069/
Câu 5 . Trên mặt phẳng tọa độ Cho ba điểm A 1;3; B 3; 1; C  4; 2  thì diện tích tam giác ABC là:

Câu 4 . Góc tạo bởi đường thẳng y   x 

A. 20
B. 18
C. 17
D. 15
Câu 6. Điều kiện của m để 2 đường thẳng y  m(m  3) x  5m  2 và đường thẳng
y  (m  8) x  m(m  4) song song là :
A. m  4
B. m  2; m  1
C. m  2 hoặc m  4
D. m  2; m  1
mx  2 y  m  1
có nghiệm duy nhất là
2 x  my  2m  1

Câu 7 . Giá trị m để hệ phương trình : 
B. m  2

A. m  2

C. m  2

D. Giá trị khác

 x  y  4m  1
2 x  y  5(m  1)
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x  3 y  13
A. m  2
B. m  2
C. m  4

Câu 8. Cho hệ phương trình : 

D. m  4

 x  y  2(m  1)
2 x  y  m  8

Câu 9. Cho hệ phương trình 

Hệ có nghiệm duy nhất  x; y  thì giá trị nhỏ nhất của x 2  y 2 là:
A.-2
B. 20
C.16
D.18
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH kẻ HD  AB, HE  AC
(H  BC, D  AB,E  AC) thì AD.BD+AE.EC bằng:
A. DE 2
B. BC2
C. AH 2
D. 2AH2
Câu 11. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng

4
thì tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh
9

góc vuông đó trên cạnh huyền là:
A.

2

3

B.

16
81

C.

4
9

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 21cm, cosC =
A.

3
4

B.

4
3

C.

21
35

D.

9
4

3
. Khi đó tanB là :
5
35
D.
21


Câu 13.. Cho tam giác đều có độ dài cạnh là a thì độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
đó là:
A.

a
3

B.

a 3
6

C.

a 3
2

D.

a 3
3

Câu 14. Cho đường tròn tâm O bán kính R=4cm dây AB=5cm trên dây AB lấy điểm C sao cho
AC=2cm kẻ CD vuông góc với đường kính AE tại D .Tính độ dài AD :
5
7
5
D. 1,5cm
A.
B.
C.
cm
cm
cm
3

4

4

Câu 15. Cho đường tròn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm. Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O
kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt Ax tại C thì độ dài OC là:
A. 20cm
B. 25cm
C. 30cm
D. 35cm
Câu 16. Nêú bạn An đi lên môt thang cuốn tốc độ là 1 bước trên giây thì bạn An sẽ đến đỉnh thang
trong 10 bước nêú bạn An tăng vận tốc lên 2 bước trên giây thì sẽ lên tới đỉnh thang trong 16 bước .
Hỏi thang cuốn có bao nhiêu bước.

A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
II. PHẦN TỰ LUÂN( 12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh :

1  x  x 2  x3  y 3
b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x 2  x  6 là một số chính phương

Câu 2 (3,5 điểm)
a)Giải phương trình: 2 x2  5x  5  5x  1

 x 2 y 2  1  10 y 2
b) Giải hệ phương trình : 
 xy  x  1  7 y
Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường tr n t m bán ính đường ính AB. T hai điểm A và B ẻ hai tia tiếp tuyến
A và By với nửa đường tròn , điểm thuộc nửa đường tr n (sao cho tia Ax, By và nửa đường tròn
chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm
ẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp
tuyến A và By l n lư t ở C và D, ọi giao điểm của AD và BC là K, K và AB là .
a Chứng minh K vuông góc với AB và K K .
b ẽ tam giác vuông c n B đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tr n ( (B và BD c ng nửa
mặt phẳng bờ AB . Chứng minh rằng hi
i chuyển trên nửa đường tr n đường ính AB thì đường
thẳng đi ua và ong ong với B luôn đi ua một điểm cố định.
2.Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BC a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, AC,

(a  b  c) 2
4
BC là ha, hb,,hc .Chứng minh rằng: 2
ha  hb2  hc2
Câu 4 (1,5 điểm).
Cho 3 số thực ương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1 1 1
P  21 a 2  b2  c 2   12  a  b  c   2017    
a b c

------HẾT------

2


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TO N LỚP 9
I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)
Mỗi lựa chọn đúng 0,5 điểm Câu có 2 trở lên phải chọn đủ mới cho điểm
1.D

2.C

3.B

4.A

5.D

6.A

7.C

8.B

9.D

10.A,C

11.B

12.A

13.D

14.C

15.B

16.B

II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm )
Câu 1 (3,0 điểm)
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh :1  x  x 2  x3  y 3
b) Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức x 2  x  6 là một số chính
phương.
Đ P N

ĐIỂM

b) (1,5 điểm)Ta có
2

2

1 3
11  19


x  x  1   x     0;5 x 2  11x  7  5  x   
0
2 4
10  20



0,5

 x3  1  x  x 2  x3   x  2 

0,5

2

x3   x 2  x  1  1  x  x 2  x3   8  12 x  6 x 2  x3    5 x 2  11x  7 
3

vì x, y  Z mà y3  1  x  x 2  x3
Suy ra

x  0
 1  x  x 2  x3  x  x  1  0  
 x  1
Voi x  0  y  1

 x  1

3

0,5

Voi x  1  y  0
Vay

 x; y   0;1 ;  1;0 

b) (1,5 điểm)

x 2  x  6  n2 ;(n, x  Z )  4 x 2  4 x  24  4n 2  4 x 2  4 x  1  4n 2  23

 2 x  1  2n  2 x  1  2n   23;2 x  1  2n  2 x  1  2n
2 x  1  2n
2 x  1  2n
4x  2
x
Vậy số nguyên x c n tìm là 5 hoặc –6

-1
23
22
5

-23
1
-22
-6

0,75

0,75

3


Câu 2 (3,5 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x2  5x  5  5x  1

 x 2 y 2  1  10 y 2
b) Giải hệ phương trình : 
(I)
 xy  x  1  7 y
Đ P N

1
5
2
2 x  5 x  5  5 x  1  2  x 2  3x  2   x  1  5 x  1  0

ĐIỂM

a)( 1,5 điểm) ĐKXĐ x 

 2  x 2  3x  2  

 x  1

2





5x  1

x  1  5x  1



0,5

2

0

x 2  3x  2
1



 2  x  3x  2  
 0   x 2  3x  2   2 
0
x  1  5x  1
x  1  5x  1 

2

0,5

1
1
do x   2 
0
5
x  1  5x  1
x 1
x 2  3x  2  0   x  1 x  2   0  
x  2

0,5

S  1;2
b)( 2 điểm)
ta thấy y=0 không thoả mãn hệ (I) với y  0
2

 2 1


1
x
 x    2  10
 x  y 2  10


y
y
(I )  
 
x 1
x  x  1  7

x  7


y y
y y


0,5

đặt
1

S

x



y


P  x

y
0,5
 S 2  2 P  10
P  7  S
 S  6  S  4
thay vào (II ta đư c 
 2


 P  13  P  3
S  P  7
S  2S  24  0
t  1
1
S  4
Với 
=> x và
là 2 nghiệm của phương trình t 2  4t  3  0   t  1 t  3  0  
y
P  3
t  3

4

x  1
x  1


* 1

1
 y  3  y  3

x  3
x  3

* 1

 y 1 y 1


0,5

 S  6
1
suy ra x và
là 2 nghiệm của phương trình

y
 P  13

t 2  6t  13  0   t  3  4  0 Vo nghiem
2

0,5




1
 ;  3;1 
 3 


 x; y   1;

Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường tr n t m bán ính đường ính AB. T hai điểm A và B ẻ hai tia tiếp
tuyến A và By với nửa đường tròn , điểm
thuộc nửa đường tr n ( ao cho tia A , By và nửa
đường tròn chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB . Qua điểm
ẻ tiếp tuyến thứ ba,
cắt các tia tiếp tuyến A và By l n lư t ở C và D, ọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là
H.
a Chứng minh K vuông góc với AB và K K
b ẽ tam giác vuông c n B đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tr n ( (B và BD c ng
nửa mặt phẳng bờ AB . Chứng minh rằng hi
i chuyển trên nửa đường tr n đường ính AB thì
đường thẳng đi ua và ong ong với B luôn đi ua một điểm cố định.
2.Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BC a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC,
AC, BC là ha, hb,,hc chứng minh rằng.

(a  b  c) 2
4

ha2  hb2  hc2

.

F

D

E

M
C
K
A

H

O

B

N

5


Đ P N
a)( 2 điểm) Th o tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AC = CM, BD = DM.
ì A và By c ng vuông góc với AB nên A

By, th o định lí Ta-l t ta
có:

ĐIỂM

KD BD
KD MD

 MK // AC mà AC  AB  MK  AB


KA MC
KA AC

Ta có

1,0

KH BK
KM DK
KD BK

(1);

(2);

(3);Tu (1)(2)(3) ta có :
AC BC
AC DA
AD BC

KH MK

 MK  KH
AC AC

1,0

b)( 1 điểm ọi là giao điểm của tia By và đường thẳng đi ua
B. Ta có BEF = 90 0 .
Chứng minh tam giác A B và tam giác B bằng nhau ( g-c-g)
 AB = BF=2R  B hông đ i,
thuộc tia By cố định  cố định.

và ong ong với
0,5

ậy hi
i chuyển trên nửa đường tr n đường ính AB thì đường thẳng đi ua
ong ong với B luôn đi ua điểm cố định .

và

0,5

c) ( 1 điểm)
D

c

ha

A

d

b
ha

c
ha
H

B

C
a

Qua A kẻ đường thẳng d//BC gọi D là đối xứng của B qua d thì BD  2ha , AD  c
Trong tam giác ACD ta có DC  AD  AC  c  b  DC 2   b  c 

2

dấu “ : ảy ra khi ABC A  600
mà trong tam giác vuông DBC

DC 2  BD2  BC 2  4ha2  a 2  4ha2   b  c   a 2   b  c  a  b  c  a  ,(1)
2

0,5

Tương tự 4hb2   a  c  b  b  c  a  ,(2);4hc2   a  b  c b  c  a  ,(3)
T (1);(2);(3) ta có:

6


4ha2  4hb2  4hc2   a  b  c  b  c  a  a  c  b  a  b  c    a  b  c 

a  b  c


2

2

ha2  hb2  hc2

4

0,5

Dấu "=" xảy ra hi tam giác ABC đều
Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho 3 số thực ương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
2
1 1 1
P  21 a 2  b2  c 2   12  a  b  c   2017    
a b c

Đ P N

ĐIỂM

Ta có Theo BĐT Bunhiacôpky ta có 3 a 2  b2  c 2    a  b  c  ;
2

1 1 1
9
 1 1 1
Mặt khác  a  b  c       9    
a b c abc
a b c
Nên

P  19  a  b  c  
2

18153
8
8
2

 17849
 19  a  b  c  


Q
abc
a  b  c a  b  c  a  b  c



0,5

0,5

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số ương ta có

P  Q  19.3 3  a  b  c  .
2

8
8
17849
17849 18305
.

 228 

abc abc
2
2
2


a  b  c  0

18305
2
Min(P) 

 a  b  c  2
abc
2
3

8
2
 a  b  c  
abc


0,5

...................................... HẾT .................................
Chú ý : - Điểm toàn bài làm tr n đến 0,25
- Nếu cách giải hác đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với t ng ph n trong hướng dẫn chấm

7