HSG toán 9 tiền hải 2017 2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018
MÔN: TOÁN 9
(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = 4 + 10 + 2 5 + 4 b) B =

( a + bc ) ( b + ca )

+

10 + 2 5

( c + ab ) ( b + ca )

+

( c + ab ) ( a + bc )

c + ab
a + bc
b + ca
(Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1)
Bài 2 (3,0 điểm)
a) Tìm các số a, b sao cho đa thức f(x) = x 4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho đa thức
x2 – 3x + 2.
b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y 2z2 là một số chính
phương với x, y, z là các số nguyên.

Bài 3 (4,0 điểm)
a) Tìm m để phương trình:

2m − 1
= m − 3 vô nghiệm.
x−2

b) Giải phương trình: 4 x + 1 = x 2 − 5x + 14 .
c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

xy yz zx
+
+
= 3.
z
x
y

Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm. Tính BC, AC.
b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE
c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua
C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui.
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (Với a, b, c, d là các số thực)
Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A = f (8) + f (- 4) .
–––––––––––––––Hết––––––––––––––––

Họ và tên thí sinh: .................................................................................
Số báo danh: .................................................Phòng số:.........................

/>

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 9

(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
BÀI

Ý

NỘI DUNG

A = 4 + 10 + 2 5 + 4 -

ĐIỂM

10 + 2 5 > 0

(

Û A = 4 + 10 + 2 5 + 4 -

10 + 2 5 + 2 16 - 10 + 2 5

2

)

0.25

Û A2 = 8 + 2 6 - 2 5
a
2.0

Û A2 = 8 + 2

(

)

5- 1

2

0.25

Û A2 = 8 + 2 5 - 2
Û A2 = 6 + 2 5
Û A2 =

1

(

)

5 +1

0.25
0.25

2

0.25

( do A > 0)

Û A = 5 +1

0.25

Vì a, b, c dương và a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa và 0 < a,b,c < 1. Ta có:
B=

b
2.0

B=

B=

( 1 − b − c + bc ) ( 1 − a − c + ca )

1 − a − b + ab

( 1 − b) ( 1 − c) ( 1 − a ) ( 1 − c)
( 1− a ) ( 1− b)

( 1− c)

2

+

(1− a )

2

+

+

+

( 1 − a − b + ab ) ( 1 − a − c + ca )
1 − b − c + bc

( 1− a ) ( 1 − b) ( 1− a ) ( 1 − c)
( 1 − b) ( 1− c)

(1− b)

+

+

( 1 − a − b + ab ) ( 1 − b − c + bc )
1 − a − c + ca

(1− a ) (1− b) (1− b) (1− c)
( 1 − a ) (1 − c)

2

B =|1 − c | + |1 − a | + |1 − b |
B = 1 − c + 1 − a + 1 − b (vì 0 < a,b,c < 1)

2

0.5

Tính đúng: B = 2
( x - 1)( x - 2)
Ta có: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2). Theo bài ra: f(x)M
f(x) chia hết cho x – 1 Þ f(1) = 0
Þ a + b = 0 Þ b = –a
(1)
f(x) chia hết cho x – 2 Þ f(2) = 0
Þ 8a + 2b = –15
(2)
a
5
5

2.0 Từ (1) và (2) Þ 8a + 2(–a) = –15 Þ a = – Þ b =
2
2
5
5
1
1
Thử lại: (x4 – x3 + x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 + x –
2
2
2
2
5
5
Vậy a = – , b =
2
2
1.0 B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2
B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2
B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

/>
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25


Vì x, y, z là số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz là số nguyên
Þ B là số chính phương
ĐKXĐ: x ≠ 2

a
1.5

2m - 1
= m - 3 ⇒ 2m - 1 = ( x - 2) ( m - 3)
x- 2
Þ 2m - 1 = mx - 2m - 3x + 6 ⇒ ( m - 3) x = 4m - 7

0.25

( *)
+ Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = 5 (vô lí)

Þ m = 3 phương trình đã cho vô nghiệm
+ Xét m ≠ 3 , phương trình (*) có nghiệm x =

4m − 7
m−3

4m - 7
1
=2Þ m=
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì
m- 3
2

Vậy với m = 3, m = ½ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
ĐKXĐ: x ≥ −1
3
B
1.5

0.25

0.25
0.25

0.25

4 x +1 = x 2 - 5x +14 Û x 2 - 5x - 4 x +1 +14 = 0

0.25
0.25

0.25

⇔ x 2 - 6x + 9 + x +1- 4 x +1 + 4 = 0

0.25

2

⇔ ( x - 3) +

(

)

2

x +1 - 2 = 0

0.25

ïì x - 3 = 0
⇔ ïí
ïï x +1 - 2 = 0
î
ïì x = 3
⇔ ïí
⇔ x = 3( tm)
ïïî x = 3

0.25

0.25

Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương ta có:
C
1.0

3=

xy yz zx
xy yz zx
+ +
³ 33
. .
= 3 3 xyz Þ xyz £ 1
z
x
y
z x y

Vì x, y, z là các số nguyên dương nên từ (1) Þ x = y = z = 1
Thử lại : Đúng.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x;y;z) = (1;1;1)

4

0.25
0.25
0.25
0.25

N

A

E

M

D

B

a
2.5

I

H

Đặt BH = x (0 < x < 6) Þ BC = x + 6,4
AB2 = BH.BC Þ 62 = x(x + 6,4)

/>
C

0.25
0.5


b

2.0

c
1.5

d
1.0

5

2.0

Þ x = 3,6
Þ BC = 10cm
Þ AC = 8cm
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật Þ DE = AH
Chứng minh: BH2 = BD.BA, CH2 = CE.CA
AH2 = HB.HC Þ AH4 = HB2.HC2 = BD.BA.CE.CA
Þ AH4 = BD.CE.BC.AH
Þ AH3 = BD.CE.BC
Vậy DE3 = BD.CE.BC
Chứng minh ÐCNH =ÐBHM , HD = AE
Gọi giao điểm của NA với HD là M’.
Ta có:
NE NC NE
AE
cos 2CNH =
.
=
=

NC NH NH M 'H
HD HB HD
AE
cos 2 BHM =
.
=
=
HB HM HM HM
AE
AE
Þ
=
Þ M 'H = MH
M 'H MH
Þ M’ trùng M Þ M, A, N thẳng hàng
Có BM//CN, BD // NE, MD // CE
Þ D BDM ~ D NEC Þ BD/NE = DM/EC
Gọi I là giao của MC với DE Þ DI/EI = DM/EC
Gọi I’ là giao của BN với DE Þ DI’/EI’ = BD/NE
Từ (1), (2), (3) Þ DI/EI = DI’/EI’ Þ I và I’ trùng nhau
Vậy BN, CM, DE đồng qui.
Xét đa thức g(x) = f(x) – 10x Þ bậc của đa thức g(x) bằng 4
Từ giả thiết Þ g(1) = g(2) = g(3) = 0.
Mà g(x) có bậc 4 nên g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với
thực nào đó).
Þ f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) + 10x
ìï f (8) = 7.6.5.(8 - a) + 80
Þ ïí
ïïî f (- 4) = (- 5)(- 6)(- 7)(- 4 - a) - 40
Þ f(8) + f(–4) = 5.6.7.(8 – a + 4 + a) + 40

Vậy f(8) + f(–4) = 2560.

0.75
0.25
0.75
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25

0.25
0.25
0.25

(1)
(2)
(3)

0.5
0.25
0.25
0.25
0.25

a là số

0.25

0.25
0.5
0.25
0.25

*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm.
*) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất.
*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.

/>