bài giảng đại số tuyến tính định thức

SLIDES BÀI GIẢNG MÔN ĐẠI SỐ B1

Slides Chương 2:

Đònh thức
Giảng viên: Trònh Thanh Đèo
Khoa Toán - Tin học
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NĂM HỌC 2010-2011

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

1 / 18


NOÄI DUNG
1

Determinants

2

Sarrus' rule

3

Expansion of a determinant in a row or column

4

Determinants and Elementary operations

5

Adjoint of a matrix

6

Using determinants to find inverse of matrices

7

Using determinants to solve systems of linear equations

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

2 / 18


Đònh thức



a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n 

Cho A = 
 . . . . . . . . . . . . . . . .  ∈ Mn (R).
an1 an2 . . . ann
Ta gọi đònh thức của A, ký hiệu bởi |A| hoặc det(A),
a11 a12 . . . a1n
a
a22 . . . a2n
,
hoặc 21
................
an1 an2 . . . ann
là một số thực, được xác đònh bằng quy nạp theo n như sau:
+ Nếu n = 1, nghóa là A = ( a11 ), thì det(A) = a11 .
a11 a12
+ Nếu n = 2, nghóa là A =
, thì
a21 a22
det(A) =

a11 a12
= a11 a22 − a12 a21 .
a21 a22

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

3 / 18


Đònh thức
+ Nếu n > 2, ta đặt cij = (−1)i+j det(A(i|j) ), với A(i|j) là ma trận có được
từ A bằng cách ‘xóa' dòng i và cột j của A.
Khi đó det(A) = a11 c11 + a12 c12 + · · · + a1n c1n ,
Các phần tử cij xác đònh như trên được gọi là đồng thừa, hay phần bù
đại số của hệ số aij .
Ví dụ. Tính ∆ =

2
3 −3
1 −2
2 .
3
1 −4

Giải.
Ta có các đồng thừa của dòng 1 là:
1
2
1 −2
−2
2
= 10; c13 =
= 7.

c11 =
= 6; c12 = −
3 −4
3
1
1 −4
Do đó ∆ = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 = 2.6 + 3.10 + (−3).7 = 21.
Đònh thức của ma trận vuông cấp n còn được gọi là đònh thức cấp n.
Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

4 / 18


Quy tắc Sarrus
Nếu A là ma trận vuông cấp 3 thì ta có thể tính det(A) bằng cách:
Ghi lại cột thứ nhất và thứ hai (theo thứ tự) bên phải cột thứ ba tạo
thành ma trận 3 dòng, 5 cột.
Khi đó det(A) = tổng các tính trên `đường chéo chính' trừ đi tổng các
tích trên `đường chéo phụ' như sơ đồ sau:
cột1

cột2

cột3

cột1

cột2

 ❄ ❄ ❄ ❄ ❄
a❜11 a❜
a❜
a11 ✧
a✧12
❜
❜
❜
12 ✧
13 ✧
❜ ✧
❜
❜✧ ✧
❜
❜✧ ✧
✧
✧
✧
 a21❜
❜
❜
❜
a❜
a✧22 ❜
a✧
✧
✧ ❜

✧
✧ a22  .
❜✧
❜
❜✧
❜
✧
✧ ❜
✧ 23
✧ 21❜
❜a33
❜a31 ❜
❜32
✧
✧ a✧
✧❜
✧❜
❜
❜✧
❜
❜ a❜
❜
✧
✧a31 ✧
✧32 ✧
✧
− − − +
+
+
Quy tắc tính đònh thức như trên được gọi là Quy tắc Sarrus.

Ví dụ.

1 2 3
4 2 1
3 1 5

= 1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1 − 3.2.3 − 1.1.1 − 2.4.5 = −31.

Chú ý. Quy tắc Sarrus chỉ áp dụng được đối với đònh thức cấp ba.
Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

5 / 18


Công thức khai triển đònh thức theo dòng và cột
Đònh lý. Cho A = (aij ) ∈ Mn (R) và đặt cij = (−1)i+j det(A(i|j) ) là đồng thừa
của aij . Khi đó:
(i) det(A) = ai1 ci1 + ai2 ci2 + · · · + ain cin .

(1)

(ii) det(A) = a1j c1j + a2j c2j + · · · + anj cnj .

(2)

Công thức (1) được gọi là công thức khai triển det(A) theo dòng i.

Công thức (2) được gọi là công thức khai triển det(A) theo cột j.
Ví dụ.
1 2 3
4 2 1
3 1 5

dòng 2

=== −4
cột 3

=== 3

2 3
1 3
1 2
= −28 − 8 + 5 = −31.
+2
−
1 5
3 5
3 1

4 2
1 2
1 2
−
+5
= −6 + 5 − 30 = −31.
3 1

3 1
4 2

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

6 / 18


Công thức khai triển đònh thức theo dòng và cột
Nhận xét. Từ công thức khai triển đònh thức theo dòng và cột, ta được:
i) Nếu A có một dòng hoặc một cột bằng 0 thì det(A) = 0;
ii) Nếu A là ma trận tam giác thì det(A) bằng tích các phần tử thuộc
đường chéo của nó.
iii) Nếu aij = 0 thì aij cij = 0 nên, để đơn giản cho quá trình tính toán, ta
có thể khai triển theo dòng hoặc cột nào đó có nhiều hệ số 0 nhất, khi
đó ta chỉ cần xác đònh các đồng thừa tương ứng với các hệ số khác 0.

Ví dụ.

3
5
0
0

1
7

2
1

0
4
0
0

3
3 1 3
6 cột 3
2 1
cột 1
=== −4 0 2 1 === −12
= −12.
1
1 1
0 1 1
1

Đònh lý 1. Cho A ∈ Mn (R). Khi đó det(A ) = det(A);
Đònh lý 2. Cho A, B ∈ Mn (R). Khi đó det(AB) = det(A).det(B).
Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

7 / 18

Đònh thức và các phép biến đổi sơ cấp
Đònh lý. Cho A, A ∈ Mn (R). Khi đó:
di ↔dj

i) Nếu A −−−→ A thì det(A ) = −det(A),
i=j

αd

i
ii) Nếu A −−→
A thì det(A ) = αdet(A),

di +αdj

iii) Nếu A −−−−→ A thì det(A ) = det(A).
i=j

Do det(A ) = det(A) nên bằng cách trang bò thêm khái niệm biến đổi sơ
cấp trên cột đối với đònh thức, ta được kết quả sau:
Hệ quả. Cho A, A ∈ Mn (R). Khi đó:
ci ↔cj

i) Nếu A −−−→ A thì det(A ) = −det(A),
i=j
αci

ii) Nếu A −−→ A thì det(A ) = αdet(A),
ci +αcj

iii) Nếu A −−−−→ A thì det(A ) = det(A).
i=j

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

8 / 18


Đònh thức và các phép biến đổi sơ cấp
Ví dụ 1.
1
1
4
1

1
2
8
1

2
3
1 1
2
3

d4 −d1
0
1 d3 −4d2 0 1 −2 −2
= −8.
=====
4 −4 d2 −d1 0 0
4 −8
2
1
0 0
0 −2

Ví dụ 2.
1
1 −1 2
1
1 −1
2
d2 −d1
1 4 −1
1
2
3 1 d3 −d1 0
1
4 −1 cột 1
−3
1 −1
===
=====
1 −2

0 1 d4 −d1 0 −3
1 −1
−2 2
0
1 −1
1 2
0 −2
2
0
1
4 −1
−4 −3
cột 3
d2 −d1
0 === −
= 14.
===== −4 −3
−2
2
−2
2
0
Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

9 / 18

Đònh thức và các phép biến đổi sơ cấp
Nhận xét. Dựa vào mối liên hệ giữa đònh thức và các phép biến đổi sơ cấp
ta có các nhận xét sau cho quá trình biến đổi đònh thức:
i) Nếu đổi hai dòng hoặc hai cột của ma trận thì phải đổi dấu đònh thức;
ii) Nếu một dòng hoặc một cột nào đó chia hết cho một số α thì ta có
thể đem α ra ngoài dấu đònh thức làm nhân tử chung;
iii) Nếu ta dùng phép biến đổi loại 3 đối với dòng hoặc cột thì không làm
thay đổi giá trò đònh thức.
Ví dụ.
a b c
d e f
f e d
f αe d
αa αb αc
d
e
f = α d e f = −α a b c = α c b a = c αb a .
g h i
g h i
i h g
i αh g
g
h
i

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

10 / 18


Ma trận phó
Cho A = (aij ) ∈ Mn (R). Đặt cij = (−1)i+j det(A(i|j) ), và


c11 c21 . . . cn1
 c12 c22 . . . cn2 

adj(A) = 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c1n c2n . . . cnn
Ta gọi adj(A) là ma trận phó hay ma trận phụ hợp của A.
x y
.
z t
Ta có các đồng thừa của A là:
c11 = t; c12 = −z; c21 = −y;c22 = x.

Ví dụ. Xét A =

t −y
.
−z
a
Như vậy, ma trận phó của ma trận cấp 2 có được từ ma trận gốc bằng
cách đổi chỗ hai phần tử trên đường chéo chính và đổi dấu hai phần

tử trên đường chéo phụ.
Do đó ma trận phó của A là adj(A) =

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

11 / 18


Ma trận phó



1 1
2
Ví dụ. Tìm ma trận phó của A =  1 2 −1  .
2 1 −2
Giải.
Ta có các phần bù đại số của A là:
c11 =

2
1
1
1

c21 = −

c31 =

−1
−2

1
2

2
−2
2
−1

1
2

= −3, c12 = −
= 4, c22 =
= −5, c32 = −

1
2

2
1

= −6, c23 = −

1
2

= 0, c13 =

2
−2
1
1

1
2

−1
−2

2
−1

= 3, c33 =


Do đó ma trận phó của A là adj(A) = 

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

1
1

= −3,

1
1

1
2

= 1,
= 1.



−3
4 −5
0 −6
3 .
−3
1
1
(Algebra B1)

12 / 18


Ứng dụng đònh thức để tìm ma trận nghòch đảo
Đònh lý. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó:
A khả nghòch khi và chỉ khi det(A) = 0.
Nếu A khả nghòch thì nghòch đảo của A là A−1 =

1
adj(A).

det(A)

Phương pháp xác đònh tính khả nghòch và tìm nghòch đảo
Để xét tính khả nghòch và tìm nghòch đảo của ma trận A ∈ Mn (R), ta thực
hiện như sau:
Tính det(A) và suy ra tính khả nghòch của A.
Nếu A khả nghòch thì ta xác đònh tất cả các phần bù đại số của A.
Xây dựng ma trận phó adj(A) của A.
1
Áp dụng công thức A−1 =
adj(A) ta xác đònh được A−1 .
det(A)
Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

13 / 18


Ứng dụng đònh thức để tìm ma trận đảo



1 1
2
Ví dụ. Tìm nghòch đảo của ma trận A =  1 2 −1  .
2 1 −2
Giải.

Ta có |A| = (−4 − 2 + 2) − (8 − 2 − 1) = −9 = 0, nên A khả nghòch.
Các phần bù đại số của A là:
c11 = −3, c12 = 0, c13 = −3,
c21 = 4, c22 = −6, c23 = 1,
c31 = −5, c32 = 3, c33 = 1.


−3
4 −5
3 .
Ma trận phó của A là adj(A) =  0 −6
−3
1
1


−3
4 −5
1
1
3 .
Do đó A−1 =
adj(A) = −  0 −6
det(A)
9
−3
1
1
Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

14 / 18


Ứng dụng đònh thức để giải hệ phương trình tuyến tính
Quy tắc Cramer
Xét hệ PTTT gồm n phương trình và n ẩn có dạng AX = B.
Đặt Aj là ma trận có được từ A bằng cách thay cột j của A bởi cột B.
Khi đó
i) Nếu det(A) = 0 thì hệ có nghiệm duy nhất xác đònh bởi
det(A1 )
det(A2 )
det(An )
x1 =
, x2 =
, . . . , xn =
.
det(A)
det(A)
det(A)
ii) Nếu det(A) = 0 và tồn tại j sao cho det(Aj ) = 0 thì hệ vô nghiệm.
iii) Nếu det(A) = 0 và det(Aj ) = 0, ∀j thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô
nghiệm.
Trong trường hợp này, để giải tìm nghiệm, ta có thể dùng biến đổi sơ
cấp trên dòng.

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

15 / 18


Ứng dụng đònh thức để giải hệ phương trình tuyến tính
Ví
 dụ 1.
x1

−2x1

4x1

Giải hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer:
− 2x2 + 2x3 =
3;
+ 2x2 − x3 =
1;
(1)
+ x2 + 5x3 = −2.
 


3
1 −2
2




1 .
−2
2 −1 ; B =
Giải. (1) ⇔ AX = B, với A =
−2
4
1
5
1 −2
2
3 −2
2
2 −1 = 49;
2 −1 = −21; det(A1 ) = 1
Ta có det(A) = −2
−2
1
5
4
1
5
1
1 −2
3
2
3
1 −1 = 21; det(A3 ) = −2

2
1 = −35.
det(A2 ) = −2
4 −2
5
4
1 −2
Do đó hệ có nghiệm duy nhất
det(A1 ) det(A2 ) det(A3 )
5
7
(x1 , x2 , x3 ) =
,
,
= − , −1, .
det(A) det(A) det(A)
3
3
Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

16 / 18


Ứng dụng đònh thức để giải hệ phương trình tuyến tính
Ví
 dụ 2.

x1

−2x1

mx1

Giải và biện luận hệ phương trình:
+
2x2 +
2x3 =
0;
+ (m − 2)x2 + (m − 5)x3 =
2;
(1)
+
x2 + (m + 1)x3 = −2.
 


0
1
2
2
Giải. (1) ⇔ AX = B, với A =  −2 m − 2 m − 5  ; B =  2 .
−2
m
1
m+1
Ta có det(A) = (m − 1)(m − 3);
0

2
2
det(A1 ) = 2 m − 2 m − 5 = −4(m − 3);
−2
1
m+1
1
0
2
1
2
0
2 m − 5 = 0; det(A3 ) = −2 m − 2
2 = 2(m − 3).
det(A2 ) = −2
m −2 m + 1
m
1
−2

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

17 / 18


Ứng dụng đònh thức để giải hệ phương trình tuyến tính

Do đó:
Nếu |A| = 0 (nghóa là m = 1 và m = 3)
thì hệ có nghiệm duy nhất
det(A1 ) det(A2 ) det(A3 )
−4
2
(x1 , x2 , x3 ) =
,
,
=
, 0,
.
det(A) det(A) det(A)
m−1
m−1
Nếu det(A) = 0 (nghóa là m = 1 hoặc m = 3) thì:
Với m = 1 ta có det(A1 ) = 8 = 0 nên hệ vô nghiệm.
Với m = 3 ta có det(A) = det(A1 ) = det(A2 ) = det(A3 ) = 0.
Khi đó hệ có dạng ma trận hóa 



1 0 65 − 45
1 2
2
0

chuẩn hóa 
2
2 

 −2 1 −2
2 −−−−−→
.
5 
 0 1 5
3 1
4 −2
0 0 0
0
Do đó (1) có vô số nghiệm xác đònh bởi:
4 6t 2 2t
(x1 , x2 , x3 ) = − − ,
− , t , t ∈ R.
5
5 5
5

Trinh Thanh DEO ()

Ch. 2. Determinants

(Algebra B1)

18 / 18