D01 xác định toạ độ tiếp điểm, giao điểm muc do 4

Câu 2241. [1D5-2.1-4] Cho hàm số
có đồ thị là
. Tìm những điểm trên trục
hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Xét điểm
Cách 1: Đường thẳng

.
đi qua

là tiếp tuyến của
Thế

, hệ số góc

có phương trình:

hệ

.

có nghiệm

vào phương trình thứ nhất, ta được:

hoặc
Để từ

kẻ được ba tiếp tuyến thì

phải có nghiệm

, đồng thời phải có

khác nhau, khi đó
phải có hai nghiệm phân biệt khác
khác nhau và khác
phải có hai nghiệm phân biệt khác
khi và chỉ khi:

Với điều kiện

, gọi

là hai nghiệm của

giá trị

, đồng thời phải có

, khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là

.
Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau

và

Mặt khác theo Định lí Viet

.

Do đó
Vậy,

thỏa điều kiện

. Tiếp tuyến
.

đi qua

, kiểm tra lại ta thấy

là điểm cần tìm.

Cách 2: Gọi

của

giá trị

tại

có phương trình :


Từ
giá trị

vẽ được đến

ba tiếp tuyến

khác nhau và khác

có hai nghiệm phân biệt khác

, và có hai

điều đó xảy ra khi và chỉ khi:
.

Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
(trong đó

có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán
là hai nghiệm của phương trình
)

. Vậy

.