D04 bài toán liên quan thiết diện với khối nón muc do 2

Câu 44: [2H2-1.4-2] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón tròn
xoay có chiều cao

, bán kính đáy

. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình

nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là

. Tính diện tích của

thiết diện đó.
A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn A

Theo bài ra ta có

(Hình vẽ).

Lại có

Câu 22: [2H2-1.4-2] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Thiết diện qua trục của
một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền là

bằng
A.

.

B.

.

C.

.

. Thể tích của khối nón này
D.

.

Lời giải
Chọn C

Ta có thể tích khối nón
,

: Trong đó đường sinh
suy ra

.

Câu 14. [2H2-1.4-2] (SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA-2018) Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt

hình nón theo thiết diện là:
A. một hình chữ nhật.
B. một tam giác cân.
C. một đường elip.
D. một đường tròn.
Lời giải
Chọn B


Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác cân.
Câu 25:
[2H2-1.4-2] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 BTN) Cho một khối nón có bán kính đáy là
, góc giữa đường sinh và mặt
đáy là
. Tính diện tích thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng đi qua
hai đường sinh vuông góc với nhau.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

Mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc là
thiết diện là tam giác
.
Góc giữa đường sinh và mặt đáy là
Ta có
Vì

và

cắt khối nón theo

.

.
nên tam giác

Do đó diện tích tam giác

vuông tại
là:

.
.

Câu 4:

[2H2-1.4-2] (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tam giác nhọn
, biết rằng
khi quay tam giác này quanh các cạnh
,
,
ta lần lượt được các hình tròn xoay có thể tích là
,

,

A.

.Tính diện tích tam giác

.

B.

Chọn C
Vì tam giác
Gọi

,

,

.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

nhọn nên các chân đường cao nằm trong tam giác.
lần lượt là đường cao từ đỉnh

là độ dài các cạnh
Khi đó

,

,

,

,

của tam giác

, và

,

,

lần lượt

.

+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh

là

.

+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh

là

.

+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh

là

.

Do đó

.
Câu 22: [2H2-1.4-2] (CỤM 7 TP. HCM) Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta
được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

, diện tích xung quanh của

hình nón đó là:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn

.

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
đường tròn đáy là

, đường sinh là

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

bán kính

.
.

Câu 24: [2H2-1.4-2] (THPT Nguyễn Hữu Quang) Thiết diện chứa trục của hình nón là tam giác đều
cạnh

. Tính thể tích khối nón theo

.


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.
.
Câu 25: [2H2-1.4-2] (THPT TRẦN PHÚ) Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, thiết diện qua
trục là tam giác đều cạnh a, thể tích của khối nón là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Thiết diện qua trục là tam giác đều nên chiều cao của khối nón

đều); Bán kính của đáy

(đường cao tam giác

.

Thể tích khối nón là

.

Câu 46. [2H2-1.4-2] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Thiết diện qua trục của
hình nón

là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng

hình nón

?

A.
C.

. B.
.

. Tính diện tích toàn phần của

.

D.

.
Lời giải

Chọn B

Giả sử
là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ).
Theo giả thiết ta có tam giác
vuông cân tại và
Do đó

và

.

.


Diện tích xung quanh của hình nón:
Diện tích đáy

.

.

Vậy diện tích toàn phần của hình nón
Câu 46:

là:

.

[2H2-1.4-2] (THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Khi cắt khối

nón
bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có
cạnh huyền bằng
A.

. Tính thể tích

.

B.

của khối nón
.

?

C.
Lời giải

.

Chọn C
Thiết diện là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
chiều cao

D.

.

nên bán kính đáy bằng

,

.

Vậy thể tích của khối nón bằng

.

Câu 15: [2H2-1.4-2](THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Cắt hình nón bởi một mặt
phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
. Thể tích của khối
nón bằng
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn D

Ta có:

vuông cân tại
.

và

.

.

D.

.


Vậy thể tích của khối nón là:

.

Câu 296. [2H2-1.4-2] Cho khối nón tròn xoay có đường cao
phẳng

đi qua

đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm

đó diện tích thiết diện của
A.

, bán kính đáy

. Một mặt

của đáy là

cm. Khi

với khối nón bằng:

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A
Gọi S là đỉnh của khối nón. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh bằng
nhau là
nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB.

Gọi

là trung điểm của đoạn

ta có

, ta có

. Từ tâm O của đáy ta kẻ

và do đó theo giả thiết ta có

Mặt khác, xét tam giác vuông

tại

. Xét tam giác vuông

ta có:

ta còn có:

Do đó
Gọi

là diện tích của thiết diện

. Ta có:

Vì

, trong đó

nên

Vậy thiết diện

và

có diện tích là:

.

Câu 18. [2H2-1.4-2] (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2017 - 2018 -BTN) Thiết diện qua
trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng . Tính thể tích hình nón
theo .
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn D

.

D.

.

,


Xét tam giác

vuông cân tại

có

là trung điểm

Thể tích hình nón là

nên

.

.

Câu 24:
[2H2-1.4-2]
(SGD VĨNH PHÚC - 2018 - BTN) Cho hình nón
đỉnh , góc ở đỉnh bằng
, đáy là hình tròn
. Cắt hình nón bởi mặt
phẳng qua
và tạo với đáy góc
. Diện tích thiết diện là
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B

Thiết diện là tam giác

, gọi

là trung điểm
.

Góc ở đỉnh hình nón bằng
Ta có
Vậy

,
,

,
.

.
.