Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Phạm Nguyễn Tuân
1
1 Kiến thức cơ bản
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C
1
) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C
2
). Khi đó, nếu
M(x, y) là giao điểm của (C
1
) và (C
2
) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

y = f(x)
y = g(x)
⇔

f(x) = g(x)
y = g(x)
⇔ f(x) = g(x). (∗)
Phương trình (∗) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C
1
) và (C
2
). Và
nếu giao điểm M của (C
1

) và (C
2
) có mang những đặc tính nào đó thì phương trình (∗) cũng
sẽ tồn tại những đặc điểm tương ứng với các đặc tính đó. Từ đây suy ra, để giải một bài toán
về tính chất giao điểm của hai đồ thị (C
1
) và (C
2
), ta có thể tiến hành theo các bước sau:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C
1
) và (C
2
) (tức phương trình (∗)).
• Biến đổi phương trình này về dạng đơn giản hơn (thường thì, sau khi biến đổi ta sẽ thu
được phương trình bậc hai, bậc ba hoặc phương trình trùng phương, . . . ).
• Dựa vào điều kiện giải tích của bài toán ban đầu, ta đưa về điều kiện đại số cho phương
trình vừa biến đổi.
Các kiến thức quan trọng cần nhớ khi giải toán:
• Về các phương trình:
◦ Đối với phương trình bậc hai f (x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a = 0), ta có một số lưu ý
quan trọng sau:
 Định lý Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thì ta có






S = x
1
+ x
2
= −
b
a
P = x
1
x
2
=
c
a
1
Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõ
nguồn của khi đăng tải trên các trang web khác.
1

2 Phạm Nguyễn Tuân
 Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0.
 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi






∆ > 0
S > 0
P > 0
.
 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi





∆ > 0
S < 0
P > 0
.
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác x
0
khi và chỉ khi

∆ > 0
f(x
0
) = 0
.
◦ Đối phương trình bậc ba ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a = 0): Nếu đã dự đoán được
phương trình có một nghiệm x = x

0
, ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ
Horner để phân tích thành nhân tử đưa về dạng bậc thấp hơn rồi tìm cách xử lý.
◦ Đối với phương trình trùng phương ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a = 0), ta có thể quy về
phương trình bậc hai để giải (và biện luận).
• Các công thức cần nhớ :
◦ Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với 2 điểm A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
) tùy ý, ta có
AB =

(x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y

1
)
2
.
◦ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước: Khoảng cách
từ điểm M(x
0
, y
0
) đến đường thẳng ∆ : Ax + By +C = 0 được tính theo công thức
d
(M, ∆)
=
|Ax
0
+ By
0
+ C|
√
A
2
+ B
2
.
◦ Diện tích tam giác: Trong một tam giác bất kỳ, ta có
S =
1
2
ah
a

=
1
2
bh
b
=
1
2
ch
c
=
abc
4R
= pr.
Trong đó:
 a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và p =
a+b+c
2
là nửa chu vi;
 h
a
, h
b
, h
c
là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c;
 R, r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.
◦ Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(a, b) và có hệ số góc k cho trước có dạng
y −b = k(x −a).
2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x
3
− 3x
2
+ 2 có đồ thị (C). Tìm tọa độ các giao điểm của (C) với
đường thẳng d : y = 2 − 2x.
Phân tích. Đây là dạng toán tìm giao điểm quen thuộc. Đối với các bài toán loại này, ta chỉ
cần lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị và giải nó là tìm được các giao điểm.

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 3
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
x
3
− 3x
2
+ 2 = 2 −2x ⇔ x(x
2
− 3x + 2) = 0 ⇔

x = 0
x
2
− 3x + 2 = 0
⇔



x = 0 (⇒ y = 2)
x = 1 (⇒ y = 0)
x = 2 (⇒ y = −2)

Vậy (C) cắt d tại ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(0, 2), B(1, 0) và C(2, −2).
Ví dụ 2. Xác định tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = x+m cắt đồ thị (H) : y =
x+1
x−1
tại hai điểm phân biệt.
Phân tích. Bài toán này là một kiểu bài toán ngược với ví dụ 1 vì lúc này ta cần xác định
các giá trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt. Vậy ta sẽ đi lập phương trình hoành độ
giao điểm và biến đổi phương trình này, sau đó ta chuyển bài toán từ điều kiện giải tích là “có
hai giao điểm” về điều kiện đại số là “có hai nghiệm phân biệt”. Cụ thể, ở đây ta sẽ biến đổi về
phương trình bậc hai và điều kiện để phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì quá cơ bản!
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d:
x + 1
x −1
= m + x ⇔

x + 1 = (x −1)(x + m)
x = 1
⇔

f(x) = x
2
− (2 − m)x −(m + 1) = 0
x = 1
Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
khác 1. Điều đó tương thích với điều kiện:

∆ > 0
f(1) = 0
⇔


(2 −m)
2
+ 4(m + 1) > 0
1 −(2 − m) − (m + 1) = 0
⇔

m
2
+ 8 > 0
− 2 = 0
Hệ trên luôn đúng với mọi giá trị thực của m. Do vậy, với mọi m ∈ R thì điều kiện của bài
toán luôn được thỏa mãn.
Ví dụ 3. Tìm m để đường thẳng d : y = −x+3 cắt đồ thị (C
m
) : y = x
3
−3(m +1)x
2
+mx +3
tại ba điểm phân biệt.
Phân tích. Yêu cầu bài toán là d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt nên rõ ràng ta cần phải
tìm điều kiện sao cho phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị này có ba nghiệm phân
biệt. Ở đây ta có chú ý là hệ số tự do 3 xuất hiện ở trong cả hai phương trình hàm số, điều đó
cho phép ta khử hết hệ số và việc bắt được nhân tử chung x = 0 là hiển nhiên. Vậy lúc này
ta chỉ cần tìm điều kiện để có thêm hai giao điểm nữa là. Để ý rằng phương trình thu được là
phương trình bậc ba nên sau khi rút nhân tử chung nên ta sẽ chỉ còn một phương trình bậc
hai và bài toán bây giờ chỉ là tìm điều kiện để phương trình bậc hai này có hai nghiệm phân
biệt khác 0. Một công việc khá đơn giản!

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C
m
):
x
3
− 3(m + 1)x
2
+ mx + 3 = 3 − x ⇔ x

x
2
− 3(m + 1)x + m + 1

= 0
⇔

x = 0
f(x) = x
2
− 3(m + 1)x + m + 1 = 0

4 Phạm Nguyễn Tuân
Để d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
khác 0. Điều này tương thích với điều kiện:

∆ = 9(m + 1)
2
− 4(m + 1) > 0

f(0) = m + 1 = 0
⇔

(m + 1)(9m + 5) > 0
m = −1
⇔









m < −1
m > −
5
9
m = −1
⇔


m < −1
m > −
5
9
Vậy, tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T = (−∞, −1) ∪

−

5
9
, +∞

.
Ví dụ 4. Cho hàm số y =
x−2
x−3
có đồ thị (H) và một điểm A(0, m) (m là tham số). Tìm m để
đường thẳng d đi qua A có hệ số góc bằng 2 cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Phân tích. Ở bài toán này có một điều đáng lưu ý đó chính là phương trình đường thẳng
d chưa biết nên trước tiên ta cần xác định phương trình đường thẳng d. Sau đó ta thiết lập
phương trình hoành độ giao điểm rồi đưa điều kiện giải tích về điều kiện đại số. Cụ thể là ta
sẽ đưa điều kiện “có hai giao điểm phân biệt có hoành độ dương” về điều kiện “phương trình
có hai nghiệm phân biệt dương.”
Lời giải. Do d là đường thẳng đi qua A(0, m) và có hệ số góc bằng 2 nên d có phương trình
y −m = 2(x − 0).
Từ đây, ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (H) là
x −2
x −3
= 2x + m ⇔

x −2 = (2x + m)(x −3)
x = 3
⇔

f(x) = 2x
2
− (7 − m)x −(3m − 2) = 0
x = 3

Để d cắt (H) cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình f(x) = 0 phải có
hai nghiệm dương phân biệt khác 3. Điều này tương thích với điều kiện:









∆ > 0
S > 0
P > 0
f(3) = 0
⇔
















(7 −m)
2
+ 8(3m − 2) > 0
7 −m
2
> 0
2 −3m
2
> 0
18 −3(7 − m) − 3m + 2 = 0
⇔









m
2
+ 10m + 33 > 0
7 −m > 0
2 −3m > 0
− 1 = 0
⇔








(m + 5)
2
+ 8 > 0
m < 7
m <
2
3
⇔ m <
2
3
.
Vậy, điều kiện để yêu cầu bài toán được thỏa mãn là m <
2
3
.
Ví dụ 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị (C
m
) : y = mx
3
− x
2
− 2x + 8m cắt
trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm.
Phân tích. Như đã biết, trục hoành có phương trình y = 0. Vậy điều kiện bài toán tương
ứng với tìm m để phương trình mx

3
− x
2
− 2x + 8m = 0 có ba nghiệm âm phân biệt. Nhưng
điều đáng lưu ý là lúc này ta không bắt được nhân tử chung dễ dàng như các ví dụ trước mà
chúng ta cần khéo léo một chút. Việc gặp phương trình bậc ba có chứa tham số thì tham vọng

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 5
bắt được nhân tử chung chỉ lóe sáng khi ta khử được hết tham số. Ở đây ta thấy mx
3
và 8m
chỉ khử được cho nhau khi x = −2. Do đó, kết hợp với mong muốn hạ bậc phương trình đưa
về dạng bậc thấp dễ xét bằng việc phân tích nhân tử, ta thấy rằng rất có thể một trong các
nhân tử khi phân tích ra của phương trình là x + 2, hay nói cách khác, x = −2 là một nghiệm
của phương trình. Vậy còn chờ gì nữa, ta thử ngay xem nào?
Quả thật, đúng như dự đoán, x = −2 thực sự là nghiệm của phương trình. Do đó, bằng cách sử
dụng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner, ta sẽ được (x + 2) ·h(x, m) = 0, trong đó h(x, m)
là một tam thức bậc hai. Đặc biệt, do x = −2 là một nghiệm âm nên rõ ràng bài toán sẽ hoàn
toàn được giải quyết khi phương trình h(x, m) = 0 có thêm 2 nghiệm âm phân biệt khác −2.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và trục hoành:
mx
3
− x
2
− 2x + 8m = 0 ⇔ (x + 2) [mx
2
− (2m + 1)x + 4m] = 0
⇔


x = −2
f(x) = mx
2
− (2m + 1)x + 4m = 0
Để (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình f(x) = 0 phải
có hai nghiệm phân biệt có hoành độ âm khác −2. Điều đó tương thích với điều kiện:















m = 0
∆ > 0
S < 0
P > 0
f(−2) = 0
⇔


















m = 0
(2m + 1)
2
− 16m
2
> 0
2m −1
m
< 0
4 > 0
4m + 2(2m + 1) + 4m = 0
⇔










m = 0
(2m + 1 − 4m)(2m + 1 + 4m) > 0
(2m −1)m < 0
6m + 1 = 0
⇔


















m = 0
−
1
6
< m <
1
2
0 < m <
1
2
m = −
1
6
⇔ 0 < m <
1
2
.
Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T =

0,
1
2

.
Ví dụ 6. Tìm m để đường thẳng d : y = mx + 1 cắt đồ thị (H) : y =
x+1
x−1
tại hai điểm thuộc
hai nhánh của đồ thị (H).
Phân tích. Bài toán buộc các giao điểm của hai đồ thị phải thuộc hai nhánh của đồ thị (H)

nên ta tự hỏi có gì đặc biệt lúc này? Câu trả lời nằm ở chỗ dáng điệu của đồ thị (H). Thật
vậy, nếu đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt A có x
A
= a và B có x
B
= b bất kỳ
thuộc hai nhánh của đồ thị thì ta có một điều đặc biệt đó là a < 1 < b. Số 1 này ở đâu ra? Đó
chính là hoành độ của tiệm cận đứng.
Và như vậy, ta chỉ cần tìm điều kiện tương thích sao cho phương trình hoành độ giao điểm có
hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
< 1 < x
2
là được.
Nhưng đến đây một vấn đề đặt ra là làm sao tìm điều kiện để phương trình bậc hai mà phương
trình hoành độ giao điểm cho có nghiệm thỏa điều kiện x
1
< 1 < x
2
? Thật ra, để giải quyết
điều này cũng khá đơn giản, các bạn hãy để ý rằng điều kiện trên có thể được viết dưới dạng
x
1
− 1 < 0 < x
2
− 1.

6 Phạm Nguyễn Tuân
Do vậy, ta có thể xử lý nó bằng một trong hai cách sau:
• Cách 1. Đặt ẩn mới t = x −1 và chuyển bài toán về dạng tìm điều kiện để phương trình
bậc hai có hai nghiệm t
1
< 0 < t
2
, một dạng toán cơ bản.
• Cách 2. Ta có thể viết điều kiện trên dưới dạng tương đương (x
1
− 1)(x
2
− 1) < 0, rồi
sau đó sử dụng định lý Viette suy ra để điều kiện thích hợp cho tham số.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H):
x + 1
x −1
= mx + 1 ⇔

x + 1 = (mx + 1)(x − 1)
x = 1
⇔

f(x) = mx
2
− mx − 2 = 0
x = 1
Gọi A(x
1

, y
1
), B(x
2
, y
2
) lần lượt là hai giao điểm của d và (H) thì ta có x
1
, x
2
là các nghiệm
của phương trình f(x) = 0. Đồng thời, do A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị (H) nên ta phải có
x
1
< 1 < x
2
. (1)
Cách 1. Đặt t = x − 1, ta có (1) tương đương với t
1
< 0 < t
2
. Phương trình f(x) = 0 được
biến đổi thành
m(t + 1)
2
− m(t + 1) −2 = 0 ⇔ mt
2
+ mt − 2 = 0. (2)
Vậy, yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm t
1

, t
2
thỏa mãn t
1
< 0 < t
2
. Điều này tương thích với điều kiện:

m = 0
P < 0
⇔

m = 0
− 2m < 0
⇔ m > 0.
Cách 2. Ta có (1) tương đương với
(x
1
− 1)(x
2
− 1) < 0.
Do vậy, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn (x
1
− 1)(x
2

− 1) < 0. Điều đó tương thích với điều kiện:





m = 0
∆ > 0
(x
1
− 1)(x
2
− 1) < 0
⇔





m = 0
m
2
+ 8m > 0
x
1
x
2
− (x
1
+ x

2
) + 1 < 0
⇔













m = 0

m > 0
m < −8
−
2
m
− 1 + 1 = −
2
m
< 0
⇔












m = 0

m > 0
m < −8
m > 0
⇔ m > 0.
Vậy, tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T = (0, +∞).
Ví dụ 7. Tìm m để đường thẳng d : y = x + m + 2 cắt đồ thị (C
m
) : y = x
3
+ 3x
2
+ mx − 1
tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho BC = 4, biết rằng x
A
= 1.

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 7
Phân tích. Qua các bài toán trên, ta đã biết để giải bài toán này ta cũng sẽ lập phương trình
hoành độ giao điểm. Nhưng ở đây lại có một điểm đặc biệt là từ điều kiện giả thiết cho, ta có

x = 1 là một nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Vậy ta cũng tách được phương
trình hoành độ giao điểm thành (x − 1) · h(x, m) = 0, trong đó h(x, m) là một tam thức bậc
hai. Do đó, để hoàn thành ý câu hỏi “cắt tại ba điểm phân biệt”, ta chỉ cần tìm m để phương
trình h(x, m) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 là được.
Bây giờ, ta sẽ khai thác ý thứ hai của bài toán, đó là độ dài BC = 4. Ở đây ta sử dụng kiến
thức đã nhắc ở phần 1. Cùng với định lý Viette, kết hợp lại, ta sẽ tìm được m. Kiểm tra giá
trị m này với điều kiện thu được từ ý thứ nhất, ta sẽ có kết luận cho bài toán.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C
m
):
x
3
+ 3x
2
+ mx − 1 = x + m + 2 ⇔ x
3
+ 3x
2
+ (m − 1)x −3 − m = 0
⇔ (x −1)(x
2
+ 4x + m + 3) = 0 ⇔

x = 1
f(x) = x
2
+ 4x + m + 3 = 0
Để d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(1, y

A
), B, C thì phương trình f(x) = 0 phải có hai
nghiệm phân biệt khác 1. Điều đó tương thích với điều kiện:

∆

> 0
f(1) = 0
⇔

4 −(m + 3) > 0
1 + 4 + m + 3 = 0
⇔

m < 1
m = −8
⇔ m ∈ (−∞, −8) ∪(−8, 1). (1)
Với điều kiện này, gọi B(x
1
, y
1
), C(x
2
, y
2
) là hai giao điểm còn lại của d và (C
m
). Lúc đó ta
có x
1

, x
2
là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đồng thời, do B, C thuộc d nên
y
1
= x
1
+ m + 2, y
2
= x
2
+ m + 2.
Từ đây, ta tính được
BC
2
= (x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
= 2(x
2
− x

1
)
2
= 2(x
1
+ x
2
)
2
− 8x
1
x
2
.
Mặt khác, theo định lý Viette thì

x
1
+ x
2
= −4
x
1
x
2
= m + 3
. Do vậy, ta có
BC
2
= 2(−4)

2
− 8(m + 3) = 8(1 − m).
Theo giả thiết, ta có BC = 4 nên suy ra
8(1 −m) = 16 ⇔ m = −1 (thỏa (1)).
Vậy, có duy nhất một giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = −1.
Ví dụ 8. Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt đồ thị hàm số (H) : y =
x+2
x−2
tại hai
điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là ngắn nhất.
Phân tích. Bài toán này lại hướng điều kiện của giao điểm của hai đồ thị về khoảng cách
nhỏ nhất. Để giải nó, ta tiến hành theo hai bước. Trước hết, chúng ta sẽ tìm điều kiện của m
để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Sau bước này, ta sẽ tìm được một miền
giá trị cụ thể cho m, tạm gọi là miền ().
Tiếp theo, bằng cách gọi tọa độ của A, B, sử dụng công thức khoảng cách kết hợp với định
lý Viette, ta sẽ biểu diễn được AB dưới dạng một biểu thức theo m. Bài toán được giải quyết
xong khi ta khảo sát tìm cực trị của biểu thức này trên miền ().

8 Phạm Nguyễn Tuân
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (H):
x + 2
x −2
= 2x + 3m ⇔

x + 2 = (2x + 3m)(x − 2)
x = 2
⇔

f(x) = 2x
2

+ (3m − 5)x −(6m + 2) = 0
x = 2
Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
2. Điều đó tương thích với điều kiện:

∆ > 0
f(2) = 0
⇔

(3m −5)
2
+ 8(6m + 2) > 0
8 + 2(3m − 5) − (6m + 2) = 0
⇔

9(m + 1)
2
+ 32 > 0
− 4 = 0
Vì hệ này được thỏa mãn với mọi giá trị của m nên d và (H) luôn cắt nhau tại hai điểm phân
biệt A, B. Lúc này, giả sử A, B có tọa độ lần lượt là A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
) thì ta có x
1

, x
2
là
hai nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đồng thời, do A, B thuộc d nên
y
1
= 2x
1
+ 3m, y
2
= 2x
2
+ 3m.
Và như thế, ta tính được
AB
2
= (x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
= (x
2

− x
1
)
2
+ 4(x
2
− x
1
)
2
= 5(x
1
− x
2
)
2
= 5

(x
1
+ x
2
)
2
− 4x
1
x
2

.

Theo định lý Viette, ta có



x
1
+ x
2
=
5 −3m
2
x
1
x
2
= −(3m + 1)
Do đó,
AB
2
= 5


5 −3m
2

2
+ 4(3m + 1)

=
5

4
(9m
2
+ 18m + 41)
=
5
4

9(m + 1)
2
+ 32


5
4
· 32 = 20.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (m + 1)
2
= 0, tức m = −1. Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 9. Cho hàm số y =
x
3
3
− x + m có đồ thị (C
m
) (m là tham số). Tìm m để đồ thị (C
m
)
cắt trục hoành tại:
(a) Ba điểm phân biệt.

(b) Một điểm duy nhất.
Phân tích. Đây là dạng toán về sự tương giao giữa đồ thị (C
m
) và trục hoành với đòi hỏi
quen thuộc. Nhưng cái không quen thuộc khác biệt với các ví dụ cùng dạng mà ta đã từng đề
cập đó chính là ở phương trình hoành độ giao điểm, ta không dự đoán được nghiệm để phân
tích nhân tử và làm đơn giản hóa vấn đề. Vậy chúng ta sẽ giải quyết nó như thế nào?
Ở đây, hãy để ý rằng hàm số được cho là hàm bậc ba. Vậy những hiểu biết về dáng điệu đồ
thị hàm bậc ba liệu có giúp ích gì cho ta chăng? Câu trả lời là có đó các bạn ạ!

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 9
Chúng ta có một kết quả rất thú vị như sau:
“Xét hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a = 0) có đồ thị (C). Giả sử hàm số đạt cực tại
x
1
và đạt cực tiểu tại x
2
. Khi đó, ta có các kết luận quan trọng sau (căn cứ vào dáng điệu của
đồ thị):
• (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi y(x
1
) ·y(x
2
) < 0.
• (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi y(x
1

) ·y(x
2
) > 0.”
Và như thế, bài toán có thể được giải quyết hoàn toàn bằng cách sử dụng kết quả này.
Ngoài ra, chúng ta cũng có thể giải quyết bài toán theo cách khác là viết lại phương trình
hoành độ giao điểm dưới dạng
f(x) = g(m).
Sau đó, ta tiến hành khảo sát hàm số y = f(x), lập bảng biến thiên của nó rồi từ đó suy ra
kết luận cho bài toán (cơ sở của cách này chính là biện luận số nghiệm bằng đồ thị).
Lời giải. Ta có hai cách giải cho bài toán này như sau:
Cách 1. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:
x
3
3
− x + m = 0 ⇔ −
x
3
3
+ x = m. (1)
Xét hàm số y = f (x) = −
x
3
3
+ x với mọi x thuộc R. Ta có y

= 1 − x
2
và
y


= 0 ⇔ 1 − x
2
= 0 ⇔




x = 1

⇒ y =
2
3

x = −1

⇒ y = −
2
3

Do đó, bảng biến thiên của f(x) trên R có dạng như sau
dxd −∞ −1 1 +∞
y

− 0 + 0 −
d
y
+∞
−
2
3


2
3
−∞
Từ đây, ta thấy:
(a) (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có ba nghiệm
phân biệt. Điều này tương thích với điều kiện là đường thẳng (d) : y = m (chạy vuông
góc Oy) cắt đồ thị hàm số y = −
x
3
3
+ x tại ba điểm phân biệt. Từ bảng biến thiên, ta có
T =

−
2
3
,
2
3

là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu.
(b) (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi chỉ khi phương trình (1) có nghiệm
duy nhất. Điều này tương thích với điều kiện là đường thẳng (d) : y = m cắt đồ thị
hàm số y = −
x
3
3
+ x tại một điểm duy nhất. Và kết quả từ bảng biến thiên cho thấy
T =


−∞, −
2
3

∪

2
3
, +∞

là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu.

10 Phạm Nguyễn Tuân
Cách 2. Xét hàm số y =
x
3
3
− x + m với mọi x thuộc R. Ta có y

= x
2
− 1 và
y

= 0 ⇔ x
2
− 1 = 0 ⇔





x = 1

⇒ y = m −
2
3

x = −1

⇒ y = m +
2
3

Rõ ràng hàm số đạt cực trị lần lượt tại x = 1 và x = −1. Từ đây, ta thấy:
(a) (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
y(−1)y(1) < 0 ⇔

m −
2
3

m +
2
3

< 0 ⇔ −
2
3
< m <

2
3
.
Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn ý (a) là T =

−
2
3
,
2
3

.
(b) (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi
y(−1)y(1) > 0 ⇔

m −
2
3

m +
2
3

> 0 ⇔



m < −
2

3
m >
2
3
Như thế, tập hợp các giá trị m thỏa mãn ý này là T =

−∞, −
2
3

∪

2
3
, +∞

.
Ví dụ 10. Cho hàm số y =
x+3
x−1
có đồ thị (H). Gọi A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
) là hai điểm nằm
trên (H) sao cho 2x

1
− y
1
− 3 = 2x
2
− y
2
− 3 = −m. Tìm m để hai điểm A, B đối xứng với
qua đường thẳng ∆ : x + 2y − 6 = 0.
Phân tích. Đọc đề bài toán ta thấy sự tương giao giữa hai đồ thị hình như không hiện trên
đề. Nhưng nếu để ý kỹ chúng ta sẽ thấy có một điều lạ mắt xuất hiện ở đề toán. Đó chính là:
2x
1
− y
1
− 3 = 2x
2
− y
2
− 3 = −m ⇔

2x
1
− y
1
− 3 = −m
2x
2
− y
2

− 3 = −m
⇔

y
1
= 2x
1
+ m − 3
y
2
= 2x
2
+ m − 3
Điều này chứng tỏ A, B cùng nằm trên đường thẳng d : y = 2x + m − 3. Vậy rõ ràng để tồn
tại hai điểm A, B thì phải có điều kiện của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt. Đến đấy
thì bài toán tương giao đã hiện rõ.
Tiếp theo, để A, B đối xứng qua ∆ thì ta cần có AB ⊥ ∆ và trung điểm I của AB phải thuộc
∆. Nhưng để ý một chút, ta thấy d ⊥ ∆ nên ở đây chỉ cần có thêm điều kiện I ∈ ∆ nữa là bài
toán được giải quyết.
Lời giải. Ta có
2x
1
− y
1
− 3 = 2x
2
− y
2
− 3 = −m ⇔


2x
1
− y
1
− 3 = −m
2x
2
− y
2
− 3 = −m
⇔

y
1
= 2x
1
+ m − 3
y
2
= 2x
2
+ m − 3
Suy ra A, B cùng thuộc đường thẳng d : y = 2x + m − 3. Mà theo giả thiết, A, B cũng thuộc
(H) nên để tồn tại A, B thì d và (H) phải cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 11
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (H) như sau
x + 3
x −1
= 2x + m − 3 ⇔


x + 3 = (2x + m − 3)(x −1)
x = 1
⇔

f(x) = 2x
2
+ (m − 6)x −m = 0
x = 1
Từ đây, ta thấy d và (H) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f (x) = 0
có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương thích với điều kiện:

∆ > 0
f(1) = 0
⇔

(m −6)
2
+ 8m > 0
2 + m − 6 − m = 0
⇔

(m −2)
2
+ 34 > 0
− 4 = 0
Hệ trên luôn thỏa mãn với mọi m ∈ R nên ta luôn có d cắt (H) tại hai điểm phân biệt. Mặt
khác, lại thấy k
d
·k

∆
= 2 ·

−
1
2

= −1 (với k là hệ số góc) nên ta có d ⊥ ∆. Và do đó, nếu gọi
I là trung điểm của AB thì để A, B đối xứng nhau qua ∆, ta chỉ cần I thuộc ∆ là đủ. Lại có
tọa độ điểm I thỏa mãn hệ



x
I
=
x
1
+ x
2
2
y
I
= 2x
I
+ m − 3
⇔






x
I
=
6 −m
4
y
I
=
m
2
Do đó I ∈ ∆ khi và chỉ khi
x
I
+ 2y
I
− 6 = 0 ⇔
6 −m
4
+ 2 ·
m
2
− 6 = 0 ⇔ 3m −18 = 0 ⇔ m = 6.
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 11. Cho hàm số y = x
4
− (3m + 2)x
2
+ 3m (m là tham số) có đồ thị (C

m
). Tìm m để
đường thẳng d : y = −1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Phân tích. Đầu tiên, hãy lưu ý đến yêu cầu bài toán là hoành độ của 4 giao điểm phải thỏa
điều kiện nhỏ hơn 2. Bây giờ, ta hãy để ý tới phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
mà bài toán cho. Quan sát các hệ số 1, −3m −2, 3m + 1 một chút, ta dễ thấy tổng của chúng
bằng 0 và như thế, ta có thể dễ dàng suy ra nghiệm của phương trình. Việc này sẽ giúp chúng
ta hạn chế được khá nhiều tính toán (do không phải tính biệt thức).
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và đường thẳng d:
x
4
− (3m + 2)x
2
+ 3m = −1 ⇔ x
4
− (3m + 2)x
2
+ 3m + 1 = 0 ⇔

x
2
= 1
x
2
= 3m + 1
Từ đây, ta thấy d cắt (C
m
) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi


0 < 3m + 1 < 4
3m + 1 = 1
⇔



−
1
3
< m < 1
m = 0
Vậy T =

−
1
3
, 1

\ {0} là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

12 Phạm Nguyễn Tuân
Ví dụ 12. Cho hàm số y = x
3
−3x
2
−9x + m có đồ thị (C
m
) (m là tham số). Tìm m để (C
m

)
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Phân tích. Đây là bài toán về giao điểm có liên quan đến cấp số cộng nên trước hết ta cần
nhớ lại một số kiến thức về cấp số cộng. Ta có ba số a, b, c cho trước theo thứ tự đó lập thành
một cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b. Do đó, để các nghiệm x
1
, x
2
, x
3
của phương trình
hoành độ giao điểm theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thì ta cần có
x
1
+ x
3
= 2x
2
.
Đến đây, hãy lưu ý thêm tính chất sau: Nếu phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a = 0) có
ba nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3

thì ta phân tích được
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = a(x − x
1
)(x −x
2
)(x −x
3
)
= ax
3
− a(x
1
+ x
2
+ x
3
)x
2
+ a(x
1
x
2
+ x
2
x
3

+ x
2
x
3
)x −ax
1
x
2
x
3
.
Sự phân tích này kết hợp với tính chất ở trên sẽ giúp chúng ta tìm được giá trị đích thực của
một trong ba nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, rồi từ đó suy ra lời giải cho bài
toán. Lưu ý rằng các lập luận ở đây mới chỉ là “điều kiện cần” nên sau khi ra được m, các bạn
cần thử lại kết quả xem có thỏa hay không. Nếu thỏa thì ta mới được phép kết luận đáp số.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và trục hoành:
x
3
− 3x
2
− 9x + m = 0. (1)
(a) Điều kiện cần. Giả sử (1) có ba nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
, khi đó ta phân tích được

x
3
− 3x
2
− 9x + m = (x − x
1
)(x −x
2
)(x −x
3
)
= x
3
− (x
1
+ x
2
+ x
3
)x
2
+ (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x

1
x
3
)x −x
1
x
2
x
3
. (2)
Đồng nhất hệ số của x
2
ở hai vế phương trình (2), ta được
x
1
+ x
2
+ x
3
= 3. (3)
Mặt khác, do x
1
, x
2
, x
3
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên ta có
x
1
+ x

3
= 2x
2
. (4)
Từ (3) và (4), ta suy ra x
2
= 1. Thay x
2
= 1 vào phương trình (1), ta được m = 11.
(b) Điều kiện đủ. Với m = 11, ta có phương trình (1) trở thành
x
3
− 3x
2
− 9x + 11 = 0 ⇔ (x − 1)(x
2
− 2x − 11) = 0 ⇔



x = 1
x = 1 + 2
√
3
x = 1 − 2
√
3
Dễ thấy 3 nghiệm vừa tìm được lập thành một cấp số cộng. Vậy m = 11 là giá trị cần tìm.
Chú ý. Bài toán này còn có thể được phát biểu dưới dạng khác như sau: “Tìm m để đồ thị
hàm số y = f (x) chắn trên trục hoành hai đoạn bằng nhau.”

Ví dụ 13. Tìm m để đồ thị (C
m
) của hàm số y = x
4
− 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 (m là tham số)
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 13
Phân tích. Yêu cầu của bài toán này cũng giống như ở ví dụ trên nhưng hàm số ta đang xét
là hàm trùng phương nên ở đây ta sẽ đưa về phương trình bậc hai để giải. Chú ý rằng khi biến
đổi phương trình như vậy thì việc có bốn giao điểm mà đề bài yêu cầu sẽ ứng với việc phương
trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và trục hoành:
x
4
− 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 = 0. (1)
Cách 1. Đặt t = x
2
, t  0. Khi đó, phương trình (1) trở thành
t
2
− 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0. (2)
Để (C
m

) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm dương
phân biệt. Điều này tương thích với điều kiện:





∆

> 0
S > 0
P > 0
⇔





(m + 1)
2
− (2m + 1) > 0
2(m + 1) > 0
2m + 1 > 0
⇔ −
1
2
< m = 0. (3)
Với điều kiện này, ta tìm được hai nghiệm của phương trình (2) là
t
1

= m + 1 −
√
∆

, t
2
= m + 1 +
√
∆

.
Và như thế, ta có tọa độ của bốn giao điểm lần lượt là A

−
√
t
2
, 0

, B

−
√
t
1
, 0

, C

√

t
1
, 0

và D

√
t
2
, 0

. Để bốn giao điểm này có hoành độ lập thành một cấp số cộng thì chúng phải
chắn trên trục hoành thành ba đoạn bằng nhau, tức là ta phải có
AB = BC = CD ⇔

√
t
2
−
√
t
1
= 2
√
t
2
−
√
t
2

+
√
t
1
= −2
√
t
1
⇔
√
t
2
= 3
√
t
1
.
Điều này tương đương với
t
2
= 9t
1
⇔ m + 1 +
√
∆

= 9

m + 1 −
√

∆


⇔ 5
√
∆

= 4(m + 1)
⇔ 25m
2
= 16(m + 1)
2
⇔


m = 4
m = −
4
9
Cả hai số này đều thỏa mãn (3) nên ta đi đến kết luận: Có hai giá trị của m thỏa mãn yêu
cầu đề bài là m = 4 và m = −
4
9
.
Cách 2. Cách giải này xuất phát từ sự tinh ý trong giải toán, ta quan sát và nhận thấy các
hệ số của phương trình thỏa mãn a + b + c = 0. Do đó,
(1) ⇔

t = 1
t = 2m + 1

Để (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì điều kiện thích hợp là:

2m + 1 > 0
2m + 1 = 1
⇔ −
1
2
< m = 0.
Lúc này, ta tìm được hoành độ của bốn giao điểm lần lượt là −
√
2m + 1,
√
2m + 1, −1, 1.
Quan sát một chút, ta thấy có hai trường hợp:

14 Phạm Nguyễn Tuân
• Với m > 0: Trong trường hợp này, hoành độ của bốn giao điểm có thể được sắp xếp theo
thứ tự tăng dần như sau −
√
2m + 1, −1, 1,
√
2m + 1. Và điều kiện để chúng lập thành
một cấp số cộng là




−

√
2m + 1

+ 1 = 2 ·(−1)
(−1) +
√
2m + 1 = 2 · 1
⇔
√
2m + 1 = 3 ⇔ m = 4.
• Với −
1
2
< m < 0: Trong trường hợp này, hoành độ của các giao điểm được sắp xếp theo
thứ tự tăng dần theo hướng −1, −
√
2m + 1,
√
2m + 1, 1. Điều kiện cần và đủ để chúng
lập thành một cấp số cộng là




−
√
2m + 1

+ 1 = 2 ·
√

2m + 1
(−1) +
√
2m + 1 = 2 ·

−
√
2m + 1

⇔ 3
√
2m + 1 = 1 ⇔ m = −
4
9
.
Vậy có hai giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = 4 và m = −
4
9
.
Chú ý. Qua bài toán này, chúng ta có một số lưu ý quan trọng sau đây:
• Bài toàn này còn có thể được phát biểu dưới dạng khác là: “Tìm m để đồ thị hàm số
y = f(x) chắn trên trục hoành ba đoạn thẳng bằng nhau.”
• Điều kiện t
2
= 9t
1
trong cách 1 là hết sức quan trọng.
• Cách 1 có thể sử dụng để giải cho mọi bài toán cùng dạng, cách 2 được ứng dụng cho
trường hợp bài toán có dạng phương trình “đẹp” như trên.
Ví dụ 14. Tìm m, n để đường thẳng d : y = mx + 3n −9 cắt đồ thị (H) của hàm số y =

3x+1
x−1
tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua gốc tọa độ O.
Phân tích. Điều kiện của hai giao điểm là phải đối xứng qua O nên rõ ràng đường thẳng đi
qua chúng, tức d, phải đi qua O. Từ đây ta tìm được n. Mặt khác vì hai giao điểm đối xứng
qua O nên tổng hoành độ của hai điểm phải bằng 0. Với chú ý này, ta sẽ tìm m và bài toán
được giải quyết.
Lời giải. Do A, B đối xứng qua O nên đường thẳng d phải đi qua O, tức 3n − 9 = 0. Lúc
này, ta viết được phương trình đường thẳng d dưới dạng
y = mx.
Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d:
3x + 1
x −1
= mx ⇔

3x + 1 = mx(x − 1)
x = 1
⇔

f(x) = mx
2
− (m + 3)x −1 = 0
x = 1
Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
khác 1. Điều này tương thích với điều kiện:






m = 0
∆ > 0
f(1) = 0
⇔





m = 0
m
2
+ 10m + 9 > 0
− 4 = 0
⇔






m < −9
m > −1
m = 0
(1)

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 15
Mặt khác, do A, B đối xứng qua O nên ta có
x
1
+ x
2
= 0 ⇔
m + 3
m
= 0 ⇔ m = −3.
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy không có giá trị m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 15. Tìm m để đường thẳng d : y = x −m cắt đồ thị (C
m
) : y = x
3
+ 3x
2
+ mx −3 (m là
tham số) tại ba điểm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
sao cho biểu thức T = 2(x
2
1
+ x
2
2

+ x
2
3
) + 3x
2
1
x
2
2
x
2
3
−5
đạt giá trị nhỏ nhất.
Phân tích. Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến các hoành độ
giao điểm nhưng có một điều bất lợi lúc này là có tới ba hoành độ mà ta chưa biết nên ta cần
tìm xem bài toán có cho ta một hoành độ giao điểm trước không? Muốn vậy ta cần xét đến
phương trình:
x
3
+ 3x
2
+ mx − 3 = x − m ⇔ x
3
+ 3x
2
+ (m − 1)x + m − 3 = 0.
Nhận thấy rằng x = −1 nghiệm đúng phương trình này nên ta đã tìm được lối thoát về nghiệm.
Còn lại hai hoành độ, ta có thể sử dụng thuật toán chia đa thức Horner để tìm phương trình
bậc hai nhận chúng làm nghiệm rồi sau đó sử dụng định lý Viette để xử lý các bước còn lại.

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C
m
):
x
3
+ 3x
2
+ mx − 3 = x − m ⇔ x
3
+ 3x
2
+ (m − 1)x + m − 3 = 0
⇔ (x + 1)(x
2
+ 2x + m −3) = 0 ⇔

x = −1
f(x) = x
2
+ 2x + m −3 = 0
Từ đây, ta thấy rằng để d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 có hai
nghiệm phân biệt x
2
, x
3
khác −1 (ở đây, ta đặt x
1
= −1). Điều này tương thích với điều kiện:


∆

> 0
f(−1) = 0
⇔

4 −m > 0
m = 4
⇔ m < 4. (1)
Lúc này, sử dụng định lý Viette, ta có

x
2
+ x
3
= −2
x
2
x
3
= m − 3
Do đó,
T = 2(x
2
1
+ x
2
2
+ x

2
3
) + 3x
2
1
x
2
2
x
2
3
− 5 = 2(1 + x
2
2
+ x
2
3
) + 3x
2
2
x
2
3
− 5
= 2 + 2

(x
2
+ x
3

)
2
− 2x
2
x
3

+ 3x
2
2
x
2
3
− 5 = 2 + 2

4 −2(m − 3)

+ 3(m − 3)
2
− 5
= 3m
2
− 22m + 44 = 3

m −
11
3

2
+

11
3

11
3
.
Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m =
11
3
(thỏa (1)). Vậy ta có min T =
11
3
và m =
11
3
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 16. Cho hàm số y =
x
2
−1
x
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ
thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2 < AB < 2
√
3.

16 Phạm Nguyễn Tuân
Phân tích. Bài toán này đòi hỏi khoảng cách giữa hai giao điểm phải thỏa một khoảng giá
trị cho trước. Vậy sau khi tìm được điều kiện của m để tồn tại hai giao điểm, ta sẽ dùng công
thức tính khoảng cách giữa hai điểm kết hợp với định lý Viette để giải quyết bài toán.

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
x
2
− 1
x
= −x + m ⇔

x
2
− 1 = x(−x + m)
x = 0
⇔

f(x) = 2x
2
− mx − 1 = 0
x = 0
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
khác 0. Điều này tương thích với điều kiện:

∆ > 0
f(0) = 0
⇔

m
2

+ 8 > 0
− 1 = 0
Vì hệ trên luôn được thỏa mãn với mọi m nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x
1
, y
1
)
và B(x
2
, y
2
). Lúc này, sử dụng định lý Viette, ta có





x
1
+ x
2
=
m
2
x
1
x
2
= −
1

2
Và do A, B ∈ d nên ta cũng có y
1
= −x
1
+ m, y
2
= −x
2
+ m. Từ đây, ta tính được
AB
2
= (x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
= 2(x
2
− x
1
)
2

= 2

(x
1
+ x
2
)
2
− 4x
1
x
2

=
m
2
2
+ 4.
Mặt khác, theo giả thiết thì 2 < AB < 2
√
3. Do vậy, ta phải có
4 < AB
2
< 12 ⇔ 4 <
m
2
2
+ 4 < 12 ⇔








m
2
− 16
2
< 0
m
2
2
> 0
⇔

− 4 < m < 4
m = 0
Vậy, tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T = (−4, 4) \ {0}.
Ví dụ 17. Tìm m để đường thẳng d : y = x + 3 cắt đồ thị hàm số (H
m
) : y =
2x+m
x−2
tại hai
điểm phân biệt A, B sao tích khoảng cách từ A, B đến đường thẳng ∆ : x + 2y −1 = 0 bằng 2.
Phân tích. Bài toán yêu cầu tích khoảng cách từ hai giao điểm đến một đường thẳng cho
trước bằng một số cho trước. Do đó, ngoài việc tìm điều kiện của m để tồn tại A, B, ta còn
phải sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Ngoài ra, để các tính
toán được dễ dàng, ít mắc lỗi, nên chú ý kết hợp với định lý Viette khi giải.

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (H
m
):
2x + m
x −2
= x + 3 ⇔

2x + m = (x − 2)(x + 3)
x = 2
⇔

f(x) = x
2
− x − (6 + m) = 0
x = 2
Để tồn tại hai điểm A, B thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác
2. Điều đó tương thích với điều kiện:

∆ > 0
f(2) = 0
⇔

1 + 4(6 + m) > 0
− 4 − m = 0
⇔




m > −
25
4
m = −4
⇔ −
25
4
< m = −4. (1)

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 17
Khi m thỏa (1), ta dễ thấy A, B có tọa độ lần lượt là A(x
1
, x
1
+ 3) và B(x
2
, x
2
+ 3). Và như
thế, ta tính được
d
1
= d
(A, ∆)
=


x

1
+ 2(x
1
+ 3) − 1


√
1
2
+ 2
2
=
|3x
1
+ 5|
√
5
,
d
2
= d
(B, ∆)
=


x
2
+ 2(x
2
+ 3) − 1



√
1
2
+ 2
2
=
|3x
2
+ 5|
√
5
.
Suy ra
d
1
d
2
=


(3x
1
+ 5)(3x
2
+ 5)


5

=


9x
1
x
2
+ 15(x
1
+ x
2
) + 25


5
.
Mặt khác, theo định lý Viette thì

x
1
+ x
2
= 1
x
1
x
2
= −(6 + m)
Như vậy, ta có
d

1
d
2
=


− 9(m + 6) + 15 · 1 + 25


5
=
|9m + 14|
5
.
Do d
1
d
2
= 2 (theo giả thiết) nên từ đây ta được
|9m + 14| = 10 ⇔

9m + 14 = 10
9m + 14 = −10
⇔



m = −
4
9

m = −
8
3
Đối chiếu với điều kiện (1), ta có các giá trị cần tìm của m là m = −
4
9
và m = −
8
3
.
Ví dụ 18. Tìm m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị (C) của hàm số y =
x
2
−x−2
x+2
tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho ∠AOB tù (O là gốc tọa độ).
Phân tích. Bài toán yêu cầu hai giao điểm và gốc tọa độ O lập thành một góc tù. Như vậy,
muốn được giải bài toán này, trước hết ta cần nhớ lại các kiến thức về góc (có như vậy thì mới
có thể sử dụng được giả thiết đề bài cho). Ta có tính chất cơ bản sau về ứng dụng của vector
trong tam giác: Với một tam giác ABC bất kỳ cho trước, ta có
• Góc A nhọn (tức cos A > 0) khi và chỉ khi
−→
AB ·
−→
AC > 0.
• Góc A tù (tức cos A < 0) khi và chỉ khi
−→
AB ·
−→

AC < 0.
(Nguồn gốc của tính chất này xuất phát từ công thức quen thuộc: cos

BAC =
−→
AB·
−→
AC
AB·AC
.)
Dựa vào tính chất trên, ta có thể tìm được hướng giải cho bài toán này như sau: Đầu tiên, ta sẽ
tìm điều kiện để d và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt (một dạng toán đã quá quen thuộc).
Tiếp theo, ta sẽ hoàn tất lời giải bằng cách tìm điều kiện để tích vô hướng
−→
OA ·
−−→
OB < 0.
Tích vô hướng này có thể tính được khá dễ dàng thông qua công thức: Nếu
−→
AB = (x
1
, y
1
) và
−→
AC = (x
2
, y
2
) thì ta có

−→
AB ·
−→
AC = x
1
x
2
+ y
1
y
2
.
Ở đây, để cho việc tính toán được thuận tiện và hạn chế được các sai sót, chúng ta nên phối
hợp với định lý Viette khi giải.

18 Phạm Nguyễn Tuân
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
x
2
− x − 2
x + 2
= m ⇔

x
2
− x − 2 = m(x + 2)
x = −2
⇔

f(x) = x

2
− (m + 1)x −2(m + 1) = 0
x = −2
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân
biệt khác −2. Điều đó tương thích với điều kiện:

∆ > 0
f(−2) = 0
⇔

(m + 1)
2
+ 8(m + 1) = (m + 1)(m + 9) > 0
4 + 2(m + 1) − 2(m + 1) = 4 = 0
⇔

m < −9
m > −1
(1)
Lúc này, giả sử A, B có tọa độ là A(x
1
, y
1
), B(x
2
, y
2
) thì ta có x
1
, x

2
là hai nghiệm của phương
trình f(x) = 0. Đồng thời, do A, B thuộc d nên y
1
= y
2
= m. Từ đây, ta tính được

−→
OA = (x
1
, m)
−−→
OB = (x
2
, m)
Suy ra
−→
OA ·
−−→
OB = x
1
x
2
+ m
2
.
Mặt khác, theo định lý Viette thì x
1
x

2
= −2(m + 1). Vậy ta có
−→
OA ·
−−→
OB = m
2
− 2m − 2.
Vì góc AOB tù (theo giả thiết) nên ta phải có
−→
OA ·
−−→
OB < 0. Điều này tương đương với
m
2
− 2m − 2 < 0 ⇔ 1 −
√
3 < m < 1 +
√
3. (2)
Kết hợp (1) và (2), ta được T =

1 −
√
3, 1 +
√
3

là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ 19. Tìm m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị (C) của hàm số y =

x
2
−2x+2
1−x
tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
√
5
2
(đvdt) (O là gốc tọa độ).
Phân tích. Bài toán này yêu cầu các giao điểm cùng với một điểm có sẵn tạo thành một tam
giác có diện tích cho trước. Vậy ta cần tìm giá trị m để tồn tại hai điểm A, B và sau đó là
khai thác công thức tính diện tích. Chú ý rằng, nếu kẻ OH ⊥ AB (H ∈ AB) thì ta có
S
OAB
=
1
2
· OH ·AB
và OH = d
(O, d)
chính là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
x
2
− 2x + 2
1 −x
= m ⇔


x
2
− 2x + 2 = m(1 − x)
x = 1
⇔

f(x) = x
2
+ (m − 2)x −(m − 2) = 0
x = 1
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
khác 1. Điều đó tương thích với điều kiện:

∆ > 0
f(1) = 0
⇔

(m −2)
2
+ 4(m − 2) = (m − 2)(m + 2) > 0
1 + (m − 2) − (m −2) = 1 = 0
⇔

m < −2
m > 2
(1)

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 19
Bây giờ, giả sử A, B có tọa độ là A(x
1
, y
1
), B(x
2
, y
2
) thì do A, B ∈ d nên ta có y
1
= y
2
= m.
Từ đó, ta tính được
AB =

(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2

=

(x
1
+ x
2
)
2
− 4x
1
x
2
.
Mặt khác, theo định lý Viette thì

x
1
+ x
2
= −(m − 2)
x
1
x
2
= −(m − 2)
Như vậy, ta có
AB =

(m −2)
2

+ 4(m − 2) =
√
m
2
− 4.
Tiếp theo, kẻ O H vuông góc với AB (H ∈ AB) thì ta có
OH = d
(O, d)
=
|0 −m|
√
1
= |m|.
Kết hợp với trên, ta suy ra
S
OAB
=
1
2
· OH ·AB =
1
2
|m|
√
m
2
− 4.
Mà theo giả thiết thì S
OAB
=

3
√
5
2
, do vậy ta có
1
2
|m|
√
m
2
− 4 =
3
√
5
2
⇔ m
2
(m
2
− 4) = 45 ⇔ m
4
− 4m
2
− 45 = 0 ⇔ m
2
= 9 ⇔ m = ±3.
Đối chiếu với điều kiện (1), ta có các giá trị m cần tìm là m = 3 và m = −3.
Ví dụ 20. Cho hàm số y =
2x

x−1
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y =
1
2
x + m cắt (C)
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm I của AB:
(a) Thuộc đường thẳng ∆ : 3x + 4y − 5 = 0.
(b) Nằm trong đường tròn (C

) :

x −
5
2

2
+

y −
5
4

2
=
5
8
.
(c) Hãy tìm quỹ tích của trung điểm I.
Phân tích. Bài toán này có yêu cầu liên quan đến tính chất của điểm thuộc đường thẳng và
vị trí tương đối của điểm và đường tròn nên tất nhiên ta cần nhớ đến những kiến thức về các

tính chất này. Chúng ta có các điều kiện sau:
Cho đường thẳng ∆ có phương trình Ax+By+C = 0 và đường tròn (C) : (x−a)
2
+(y−b)
2
= R
2
.
Xét một điểm M(x
0
, y
0
) tùy ý trên mặt phẳng, ta có
• M nằm trên ∆ khi và chỉ khi Ax
0
+ By
0
+ C = 0.
• M nằm trên (C) khi và chỉ khi (x
0
− a)
2
+ (y
0
− b)
2
= R
2
.
• M nằm trong (C) khi và chỉ khi (x

0
− a)
2
+ (y
0
− b)
2
< R
2
.
• M nằm ngoài (C) khi và chỉ khi (x
0
− a)
2
+ (y
0
− b)
2
> R
2
.

20 Phạm Nguyễn Tuân
Sử dụng các điều kiện này, ta sẽ giải quyết được câu (a) và câu (b) của bài toán. Tiếp theo, ta
sẽ xét đến câu (c), một câu hỏi về quỹ tích. Khi tìm quỹ tích của một điểm, ta thường chọn
cách thay tham số từ phương trình hoành độ của điểm vào phương trình tung độ của nó rồi
suy ra quỹ tích. Chẳng hạn, ở bài toán này, sau một vài bước tính toán, ta sẽ tìm được hệ
phương trình tọa độ của điểm I:

x = f(m)

y = g(m)
Khi đó, từ phương trình thứ nhất, ta có thể rút được m = h(x), rồi thay kết quả vào phương
trình thứ hai để biến đổi thành
y = g

h(x)

.
Một phương trình mới hoàn toàn không chứa tham số (chỉ chứa hai đối số x, y mà thôi) và
đây chính là quỹ tích cần tìm. Lưu ý rằng nếu tham số m có bất cứ điều kiện nào liên quan
thì ta cũng phải cho h(x) có các điều kiện tương ứng để giới hạn lại quỹ tích (cụ thể hơn, nếu
m nằm trên miền nào thì h(x) phải nằm trên miền đó).
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
2x
x −1
=
1
2
x + m ⇔

4x = (x + 2m)(x −1)
x = 1
⇔

f(x) = x
2
+ (2m − 5)x −2m = 0
x = 1
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
x

1
, x
2
khác 1. Điều này tương thích với điều kiện:

∆ > 0
f(1) = 0
⇔

(2m −5)
2
+ 8m = (2m − 3)
2
+ 16 > 0
1 + (2m + 5) − 2m = −4 = 0
Vì hệ này luôn được thỏa mãn nên ta luôn có d và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x
1
, y
1
)
và B(x
2
, y
2
). Và do A, B thuộc d nên ta có
y
1
=
x
1

2
+ m, y
2
=
x
2
2
+ m.
Từ đây, ta tìm được tọa độ trung điểm I của AB như sau





x
I
=
x
1
+ x
2
2
y
I
=
y
1
+ y
2
2

=
x
1
+ x
2
4
+ m
Mặt khác, theo định lý Viette thì x
1
+ x
2
= 5 − 2m. Như vậy, ta có





x
I
=
5 −2m
2
y
I
=
5 −2m
4
+ m =
5 + 2m
4

(1)
Bây giờ, ta sẽ đi giải quyết các yêu cầu của bài toán:
(a) Ta có I ∈ ∆ khi và chỉ khi
3x
I
+ 4y
I
− 5 = 0 ⇔ 3

5 −2m
2

+ 4

5 + 2m
4

− 5 = 0 ⇔ m =
15
2
.

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 21
(b) Ta có I nằm trong (C

) khi và chỉ khi

x
I
−

5
2

2
+

y
I
−
5
4

2
<
5
8
⇔ m
2
+
m
2
4
<
5
8
⇔ 2m
2
− 1 < 0 ⇔ −
√
2

2
< m <
√
2
2
.
(c) Từ phương trình thứ nhất của (1), ta có m =
5−2x
I
2
. Thay kết quả này vào phương trình
thứ hai, ta được
y
I
=
5 + 2

5−2x
I
2

4
= −
1
2
x
I
+
5
2

.
Vậy quỹ tích trung điểm I của AB là đường thẳng y = −
1
2
x +
5
2
.
Chú ý. Ở bài toán này, ta không tìm cần tìm giới hạn của quỹ tích vì d luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt với mọi m.
Ví dụ 21. Tìm m để đường thẳng d : y = mx − 1 cắt đồ thị (C
m
) : y = 2x
3
− 3x + m tại ba
điểm phân biệt A(1, y
A
), B, C sao cho M(2, 2m − 1) nằm trong đoạn BC và MB = 2M C.
Phân tích. Bài toán cho một giả thiết về độ dài MB = 2MC và thứ tự của ba điểm M, B, C
gợi cho ta liên tưởng đến việc chuyển hướng từ biểu thức độ dài sang biểu thức vector để tìm
được mối liên hệ giữa hai hoành độ của hai giao điểm B, C. Từ đây, kết hợp với định lý Viette,
ta sẽ tìm được kết quả của bài toán. Chú ý rằng giả thiết cho x
A
= 1 có nghĩa là ta luôn có
x = 1 là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C
m
):
2x
3

− 3x + m = mx − 1 ⇔ 2x
3
− (3 + m)x + m + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(2x
2
+ 2x − 1 −m) = 0
⇔

x = 1
f(x) = 2x
2
+ 2x − (1 + m) = 0
Để d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A, B, C thì phương trình f (x) = 0 phải có hai nghiệm
phân biệt khác 1. Điều này tương thích với điều kiện:

∆

> 0
f(1) = 0
⇔

1 + 2(1 + m) > 0
2 + 2 − 1 − m = 0
⇔ −
3
2
< m = 3. (1)
Bây giờ, giả sử B, C có tọa độ là B(x
1

, y
1
), C(x
2
, y
2
) thì ta có x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương
trình f(x) = 0. Từ đó, sử dụng định lý Viette, ta có

x
1
+ x
2
= −1
x
1
x
2
= −1 − m
(2)
Mặt khác, do MB = 2MC và M nằm trong đoạn BC (theo giả thiết) nên
−−→
MB = −2
−−→
MC ⇒ x
B

− x
M
= −2(x
C
− x
M
) ⇒ x
1
+ 2x
2
= 3x
M
= 6. (3)
Kết hợp (2) và (3), ta được hệ phương trình





x
1
+ x
2
= −1
x
1
x
2
= −1 − m
x

1
+ 2x
2
= 6
⇔





x
1
= −8
x
2
= 7
(−8) ·7 = −1 − m
⇔





x
1
= −8
x
2
= 7
m = 55

Đối chiếu với điều kiện (1), ta có m = 55 là giá trị cần tìm.

22 Phạm Nguyễn Tuân
Ví dụ 22. Cho hàm số y =
2x−m
mx+1
có đồ thị (H
m
). Tìm m = 0 để đường thẳng d : y = 2x −2m
cắt (H
m
) tại hai điểm phân biệt A, B và cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt lại hai điểm phân
biệt M, N sao cho diện tích tam giác OAB bằng ba lần diện tích tam giác OM N.
Phân tích. Bài toán này có một điểm đặc biệt đó chính là đường thẳng không những cắt đồ
thị mà còn cắt cả hai trục tọa độ để tạo thành hai tam giác thỏa mãn một đẳng thức điều
kiện liên quan đến diện tích. Như vậy, để giải quyết bài toán này, ta cần phải tìm cách tính
diện tích của hai tam giác tạo thành (để có thể thế vào đẳng thức điều kiện mà suy ra giá trị
của m). Khi đó, ta có các lưu ý sau:
• Tam giác OMN vuông. (Chú ý này sẽ giúp ta tính S
OM N
được dễ dàng hơn.)
• Nếu OH ⊥ AB (H ∈ d) thì độ dài OH chính là khoảng cách từ O đến đường thẳng d.
(Từ đây kết hợp với một số kiến thức cơ bản, ta sẽ tính được S
OAB
.)
• Các công thức cần sử dụng khi giải là công thức khoảng cách giữa hai điểm và công thức
diện tích tam giác. Ngoài ra, để việc tính toán được thuận lợi, ta nên kết hợp với định
lý Viette.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d với (H
m

):
2x −m
mx + 1
= 2x − 2m ⇔



2x −m = (mx + 1)(2x − 2m)
x = −
1
m
⇔



2mx
2
− 2m
2
x −m = 0
x = −
1
m
(1)
Do m = 0 nên
(1) ⇔



f(x) = 2x

2
− 2mx − 1 = 0
x = −
1
m
Để d cắt (H
m
) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
khác −
1
m
. Tuy nhiên, điều này là hiển nhiên vì tam thức bậc hai f (x) có hai
hệ số a, c trái dấu, đồng thời f

−
1
m

=
2
m
2
+ 1 > 0.
Bây giờ, gọi tọa độ của hai giao điểm A, B lần lượt là A(x
1
, y

1
) và B(x
2
, y
2
) thì ta có x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đồng thời, do A, B thuộc d nên
y
1
= 2x
1
− 2m, y
2
= 2x
2
− 2m.
Từ đây, ta tính được
AB =

(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1

− y
2
)
2
=

5(x
1
− x
2
)
2
=

5 [(x
1
+ x
2
)
2
− 4x
1
x
2
].
Mà theo định lý Viette thì



x

1
+ x
2
= m
x
1
x
2
= −
1
2
. Như vậy, ta có
AB =

5

m
2
− 4 ·

−
1
2

=
√
5m
2
+ 10.
Tới đây, kẻ O H ⊥ AB (H ∈ d) thì ta có

OH = d
(O, d)
=
|2 ·0 − 0 − 2m|

2
2
+ (−1)
2
=
|2m|
√
5
.

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 23
Từ đó suy ra
S
OAB
=
1
2
· OH ·AB =
1
2
· d
(O, d)
· AB =
1
2

·
|2m|
√
5
·
√
5m
2
+ 10 = |m|
√
m
2
+ 2.
Tiếp theo, ta sẽ tính diện tích tam giác OMN. Theo giả thiết thì M = d ∩Ox, N = d ∩ Oy.
Từ đây, ta dễ dàng tìm được tọa độ của hai điểm M, N là M(m, 0), N(0, 2m). Và do tam
giác OMN vuông tại O nên ta có
S
OM N
=
1
2
· OM · ON =
1
2
· |x
M
| ·|y
N
| =
1

2
· |m|· |2m| = m
2
.
Đến đây, sử dụng giả thiết S
OAB
= 3S
OM N
, ta thu được
|m|
√
m
2
+ 2 = 3m
2
⇔ m
2
+ 2 = 9m
2
⇔ m
2
=
1
2
⇔ m = ±
1
2
.
Vậy, có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là m =
1

2
và m = −
1
2
.
Ví dụ 23. Tìm m để đường thẳng d : 2mx − 2y + m + 1 = 0 cắt đồ thị (H) của hàm số
y =
x+1
2x+1
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho biểu thức OA
2
+ OB
2
đạt giá trị nhỏ nhất (ở
đây O là gốc tọa độ).
Phân tích. Bài toán yêu cầu tìm điều kiện để các giao điểm thỏa mãn “tổng bình phương độ
dài các đoạn thẳng (liên quan đến các giao điểm) là nhỏ nhất”. Do đó, sau khi tìm được các
giá trị của m để tồn tại hai điểm A, B (sau bước này, ta sẽ có m thuộc một miền () nào đó),
ta sẽ áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm để biểu diễn tổng OA
2
+ OB
2
theo
m, rồi đưa bài toán về khảo sát hàm số theo ẩn m ∈ () để tìm giá trị nhỏ nhất.
Lời giải. Phương trình của d có thể được viết lại dưới dạng
y = mx +
m + 1
2
.
Từ đây, ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (H) như sau

x + 1
2x + 1
= mx +
m + 1
2
⇔







x + 1 = (2x + 1)

mx +
m + 1
2

x = −
1
2
⇔





2mx
2

+ 2mx +
m −1
2
= 0
x = −
1
2
⇔





2mx
2
+ 2mx +
m
2
=
1
2
x = −
1
2
⇔








2m

x
2
+ x +
1
4

=
1
2
x = −
1
2
⇔







2m

x +
1
2


2
=
1
2
x = −
1
2
Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình
2m

x +
1
2

2
=
1
2
(1)
phải có hai nghiệm phân biệt khác −
1
2
. Điều đó tương thích với điều kiện:





m > 0
2m


−
1
2
+
1
2

2
=
1
2
⇔ m > 0.

24 Phạm Nguyễn Tuân
Với điều kiện này, phương trình (1) có thể được viết lại thành

x +
1
2

2
=
1
4m
⇔





x =
√
m
2m
−
1
2

⇒ y =
1
2
+
√
m

x = −
√
m
2m
−
1
2

⇒ y =
1
2
−
√
m


Vậy ta có tọa độ của các điểm A, B như sau
A

√
m
2m
−
1
2
,
1
2
+
√
m

, B

−
√
m
2m
−
1
2
,
1
2
−
√

m

.
Từ đây, ta tính được
OA
2
+ OB
2
=

√
m
2m
−
1
2

2
+

1
2
+
√
m

2
+

−

√
m
2m
−
1
2

2
+

1
2
−
√
m

2
=
4m
2
+ 2m + 1
2m
.
Xét hàm số g(m) =
4m
2
+2m+1
2m
với m > 0. Ta có g


(m) =
4m
2
−1
2m
2
và
g

(m) = 0 ⇔ 4m
2
− 1 = 0 ⇔ m =
1
2
(do m > 0).
Bảng biến thiên của g(m) trên miền (0, +∞) có dạng như sau
m 0
1
2
+∞
g

(m) − 0 +
g(m)
+∞
 3 
+∞
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ngay OA
2
+ OB

2
(tức g(m)) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi
m =
1
2
. Vậy m =
1
2
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 24. Cho hàm số y =
x−2
x+1
có đồ thị (H). Biết rằng đường thẳng d : y = x − 2 cắt (H)
tại hai điểm A, B, tìm m để đường thẳng (d
1
) : y = x + 3m cắt (H) tại hai điểm C, D sao cho
tứ giác ABCD là hình bình hành.
Phân tích. Bài toán yêu cầu các giao điểm lập thành một hình bình hành.Vậy ta cần nhớ lại
một tính chất quen thuộc sau: “Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
−→
AB =
−−→
DC.”
Dựa vào tính chất này, có thể thấy rằng ta chỉ cần tìm cách tính
−→
AB,
−−→
DC rồi tìm điều kiện
để
−→

AB =
−−→
DC là được. Đây là một công việc khá đơn giản, tuy nhiên, cần lưu ý rằng sau khi
tìm ra m xong, ta phải so sánh lại với điều kiện tồn tại các điểm C, D để loại đi những giá trị
không thỏa. Có như vậy thì bài toán mới được giải quyết trọn vẹn.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (H):
x −2
x + 1
= x − 2 ⇔

(x −2)x = 0
x = −1
⇔

x = 0 (⇒ y = −2)
x = 2 (⇒ y = 0)

Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị 25
Do đó, ta có tọa độ của các điểm A, B lần lượt là A(0, −2) và B(2, 0). Từ đây, ta tính được
−→
AB = (2, 2).
Tiếp theo, ta sẽ tìm điều kiện để tồn tại các điểm C, D cũng như tìm cách biểu diễn vector
−−→
DC. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của d
1
và (H) như sau
x −2
x + 1
= x + 3m ⇔


x −2 = (x + 1)(x + 3m)
x = −1
⇔

f(x) = x
2
+ 3mx + 3m + 2 = 0
x = −1
Để d
1
cắt (H) tại hai điểm C, D thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác
−1. Điều này tương thích với điều kiện:

∆ > 0
f(−1) = 0
⇔

9m
2
− 12m − 8 > 0
1 −3m + 3m + 2 = 0
⇔




m <
2 −2
√
3

3
m >
2 + 2
√
3
3
(1)
Khi m thỏa (1) thì C, D tồn tại và tọa độ của chúng có dạng C(x
1
, y
1
), D(x
2
, y
2
) với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0. Do C, D thuộc d
1
nên ta có
y
1
= x
1
+ 3m, y
2
= x
2

+ 3m.
Từ đây suy ra
−−→
DC = (x
2
− x
1
, x
2
− x
1
).
Theo giả thiết, tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có
−→
AB =
−−→
DC. Do đó,
x
2
− x
1
= 2 ⇒ (x
2
− x
1
)
2
= 4 ⇔ (x
1
+ x

2
)
2
− 4x
1
x
2
= 4.
Mặt khác, theo định lý Viette thì

x
1
+ x
2
= −3m
x
1
x
2
= 3m + 2
Thay vào đẳng thức ở trên, ta được
(−3m)
2
− 4(3m + 2) = 4 ⇔ 9m
2
− 12m − 12 = 0 ⇔


m = 2
m = −

2
3
Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1), tuy nhiên, với m = −
2
3
thì ta có C, D trùng với hai điểm
A, B nên giá trị này không phù hợp yêu cầu bài toán. Vậy ta có m = 2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 25. Cho hàm số y = x
3
− 3x
2
+ 3(1 − m)x + 3m + 1 có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
)
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn x
1
< 1 < x
2
< x
3
.
Phân tích. Giống như các ví dụ trước, khi giải bài này, ta phân vân liệu có tìm được một

“nghiệm đẹp” nào đó của phương trình hoành độ giao điểm không? Nếu mà dự đoán được một
nghiệm như thế thì ta có thể tiến hành tách nhân tử đưa về dạng đơn giản hơn mà xử lý. Lúc
này, để ý đến số 1 được cho trong giả thiết, ta chợt có ý nghĩ rằng liệu đó có phải là cái ta
đang tìm hay không? Thử ngay xem nào.