DE THI VAO 10 TINH HY (CO DA)

Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
--------------------------
Đề chính thứC .
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
năm học 2007 - 2008
Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 18 tháng 7 năm 2007
----------------------------------------------
Phần I: Trắc nghiệm (3,0 điểm)
Trong các câu sau đây, hãy chọn phơng án đúng và viết chữ cái đứng trớc phơng án đó vào
bài làm.
Câu 1. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình 6x
2
- 5x

+ 1 = 0, phơng trình bậc hai có các nghiệm
x
1
+ x
2
và x
1
x
2
là:

A. 36t
2
36t + 5 =0 B. t
2
t + 6 =0
C. 5t
2
36t + 36 = 0 D. 36t
2
+ 36t + 5 =0
Câu 2. Cho biểu thức P = 2x
2
- 2x +
2
1
. Với x thoả mãn
11

x
thì tập hợp tất cả các giá trị của
biểu thức là:
A. R B.
2
9
P0

C.
0P

D.

2
9
P
2
1

Câu 3. Với mọi m, phơng trình x
2
-(m-1)x-m
2
+m-2 = 0
A. có hai nghiệm trái dấu B. có hai nghiệm âm
C. có hai nghiệm dơng D. vô nghiệm
Câu 4. Phơng trình
01)23(23
2
=
xx
có nghiệm là
A. 3 và
2
B.
2
1
và
3
1

C. 1 và
3

1

D. -1 và
23
1
Câu 5. Phơng trình
0
4
1
5
3
2
1
2
=+
xx
A. vô nghiệm B. có hai nghiệm phân biệt âm
C. có nghiệm kép D. có hai nghiệm phân biệt dơng
Câu 6. Giá trị của biểu thức
22
)31()13(
+
là:
A.
32
B. 2
C.
32
- 2 D. -2
Câu 7. Có

729216
22
=+++
xxxx
Giá trị của H =
22
29216 xxxx
++
là
A. H = 4 B. H =
7
1
1
C. H = 7 D. H = 1
Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx+m
2
-5.
Đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ khi:
A. m =
5
B. m = 0
C. m = 2 D. m =
5
; m = -
5

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Khi đó:
A. AH
2
= BH . BC B.

AHB đồng dạng với

CAB
C. AB
2
=BH . HC D.
222
CH
1
BH
1
AH
1
+=
Câu 10. Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC<BC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC; R , R
1
, R
2
, R
3
lần lợt là
bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác

ABC,

ABH,

ACH,

BCH. Khi đó:
A. R > R
1
> R
2
> R
3
B. R
1
< R
2
< R
3
< R
C. R = R
1
= R
2
= R
3
D. R = R
1
+ R
2
+ R
3
Câu 11. Cho góc xOy, điểm A trên Ox, điểm B, C trên Oy (A, B, C phân biệt và khác O) thoả mãn OA
2
= OB.OC thì:
A. Ox là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua A, B, C

B. Oy là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua A, B, C
C.

OAB đồng dạng với

ABC
D. 2.OA = OB + OC
Câu 12. Cho tam giác ABC có đờng cao AH, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC và AB. Khi
đó:
A. diện tích

HEF bằng
4
1
diện tích

ABC
B.

HEF đồng dạng với

ABC
C.

HEF vuông
D. Tứ giác ABHE nội tiếp một đờng tròn
Phần II: Tự luận (7,0 điểm)
Bài 1: (2,0 điểm) Cho phơng trình x
2
- 2mx + m - 1 = 0 (1)

a. Chứng minh rằng với m > 1 thì phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt.
b. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này hơn nghiệm kia 3 đơn vị.
Bài 2: (2,0 điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
2
+ 2xy + y
2
- 3x - 3y + 2007
b. Tìm số nguyên tố p để 4p
2
+ 1 và 6p
2
+ 1 là các số nguyên tố.
2
Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không phải là tam giác cân (có

A = 60
0
) nội tiếp đờng tròn tâm
O, ngoại tiếp đờng tròn tâm I. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đờng thẳng OH cắt cạnh AB tại M và cắt
cạnh AC tại N.
a. Chứng minh năm điểm B, H, I, O, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minh BM + CN = MN.
c. Gọi D và E lần lợt là các tiếp điểm của đờng tròn I với cạnh AB, BC. AI cắt DE tại G. Chứng minh
góc AGC bằng 90
0
.
---------------Hết---------------
Họ tên thí sinh:..
Số báo danh:..Phòng thi số:

Chữ ký của cán bộ coi thi số 1
Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
--------------------------
Đề chính thứC .
Hớng dẫn chấm thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
năm học 2007 - 2008
Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin)
----------------------------------------------
I. Các chú ý khi chấm thi
1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài, thí
sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh giải đúng với cách giải khác với cách giải trong đáp án thì giám khảo chấm cho điểm
theo số điểm qui định dành cho bài hay phần đó.
3) Cặp chấm thảo luận chi tiết thống nhất việc vận dụng HDCT này.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn
Phần I . Trắc nghiệm (3 điểm)
Mỗi câu cho 0,25 điểm
3
Đáp án
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Đ/án A B A B A B D D B C A A
Phần 2. Tự luận (7 điểm).
Bài 1 (2 điểm)
Bài 2 (2 điểm)
a) Ta có A= x
2
+ 2xy + y
2
-3x -3y + 2007

a) Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có a = 1; b = -m; c = m - 1

4
3
)
2
1
m(1mmacb
222''
+=+==
> 0
m

Nên PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của (1), áp dụng định lý Vi-ét ta đợc
x
1
x
2
=
a
c
= m-1 > 0 với

m>1
x

1
x
2
=
a
b

= 2m > 0 với

m>1
Do đó (1) luôn có hai nghiệm dơng phân biệt với mọi m>1
0,5 đ
0,5 đ
b) Không mất tính tông quát, giả sử x
1
< x
2
Ta có





=+
=
=
)3(m2xx
)2(1mxx
)1(3xx
12

21
12
Từ (1) và (3) ta có

2
3m2
x
1

=
,
2
3m2
x
2
+
=
Thay vào (2) ta đợc

2
3m2

.
2
3m2
+
=m-1


4m

2
-4m+1=6

(2m-1)
2
=6







=
=
61m2
61m2










=
+
=

2
61
m
2
61
m
Vậy với
2
61
m

=
thì (1) có 2 nghiệm thoả mãn nghiệm này hơn nghiệm
kia 3 đơn vị.
0,5 đ
0,5 đ
4
= (x+y)
2
3(x+y) + 2007
= (x+ y -
2
3
)
2
+
4
8019

4

8019
với mọi x, y

Mặt khác ta có:
A =
4
8019

x + y -
2
3
= 0


x + y =
2
3
Vậy min A =
4
8019


x + y =
2
3
0,5 đ
0,5 đ
b) Nhận xét: p là số nguyên tố => 4p
2
+ 1 > 5 , 6p

2
+ 1> 5
Đặt x = 4p
2
+ 1 = 5p
2
- (p -1)(p + 1)
y = 6p
2
+ 1 => 4y = 25p
2
- (p -2)(p +2)
Khi đó:
- Nếu p chia 5 d 4 hoặc d 1 thì (p 1)(p+1)

5
=> x

5 mà x > 5 suy ra x không là số nguyên tố.
- Nếu p chia 5 d 3 hoặc d 2 thì (p - 2)(p + 2)

5
=> 4y

5 mà (4,5) = 1 => y

5 mà y > 5 => y không là số nguyên
tố.
Do vậy p

5, mà p là số nguyên tố => p =5.
Thử với p = 5 thì x = 101, y = 151 là các số nguyên tố.
Đáp số p = 5.
* Cách khác : Nhận xét: 4a
2
+ 1> 5 và 6a
2
+ 1> 5 vì p là một số nguyên tố.
Gọi r là số d của phép chia p cho 5 => r

{0,1,2,3,4}
Ta có p = 5k + r với k là số tự nhiên.
- Lần lợt thay p = 5k + 1, p = 5k + 4 vào 4p
2
+ 1 thì suy ra 4p
2
+ 1 chia hết
cho 5 => 4p
2
+ 1 không là số nguyên tố
- Lần lợt thay p = 5k + 2, p = 5k + 3 vào 4p
2
+ 1 thì suy ra 6p
2
+ 1 chia hết
cho 5 => 6p
2
+ 1 không là số nguyên tố.
- Do vậy p chia hết cho 5 , mà p nguyên tố nên p =5.
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Bài 3: (1,5 điểm)
5
O
I
H
M
C'
B'
N
C
B
A
Gọi BB và CC là các đờng cao của tam giác ABC.
Tam giác ABC nhọn nên H và O nằm trong tam giác ABC => H, O, I cùng
một nửa mặt phẳng bờ BC (1)
0,25 đ
- Tứ giác ABHC nội tiếp =>

CHB = 180
0
CAB = 120
0
=>

BHC = 120
0
(2)
0,25 đ

BOC = 2

BAC = 120
0
(3)


BIC = 180
0
-

IBC -

ICB = 180
0
-
2
1
(

ABC +

ACB) = 120
0

(4) 0,25 đ
Từ (2), (3) , (4) =>

BHC =

BIC =

BOC = 120
0
(6)
Từ (1) và (6) => năm điểm B,C,O,H,I cùng thuộc một đờng tròn. 0,25 đ
b) Từ BHOC nội tiếp =>

OHC =

OBC =
0
0
30
2
BOC180
=

Tam giác ACC có

C = 90
0
=>

OHC = 90

0
-

CAC = 30
0
.
Do vậy

NHC =

NCH => tam giác NHC cân tại N => NC = NH
Tơng tự MB = MH . Từ đó có BM + CN = MN

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
c)
6
I
G
E
D
C
B
A
Hình 2
Hình 1
G
I

E
D
C
B
A
Trờng hợp 1: G nằm ngoài DE ( hình 1)
Ta có

GEC =

BED (đ.đ)
Tam giác BDE cân tại B =>

BED =
2
B180
0

(7)
Tam giác AIC có

AIC = 180
0
-

IAC -

ICA = 180
0
-

2
1
(

BAC
+BCA)
= 180
0
-
2
B180
0

mà

CIG = 180 -

AIC =
2
B180
0


nên

CIG =

CEG => tứ giác IEGC nội tiếp đợc. =>

IGC =

IEC =
90
0
hay AGC = 90
0
.
Trờng hợp 2: G thuộc đoạn DE
Chứng minh tơng tự ta có

CIG =
2
B180
0

và

GEB =
2
B180
0

=> tứ giác IGEC nội tiếp đợc =>

IGC =

IEC = 90
0
(L u ý: Nếu chứng minh đúng 1 trờng hợp hình cho 0,75đ)
1,0đ

Sở GD và đào tạo Hng Yên Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Năm học 2001 2002
Môn thi: Toán Ngày thứ hai
Thời gian: 150 phút
Đề chẵn: ( dành cho thí sinh có số báo danh chẵn )
Bài 1: ( 2 điểm )
Cho A =
1
1 1 :
1 1 1
x x x x x
x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+ +


a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
52 14 3+
7
Bài 2( 2 điểm) GiảI các phơng trình sau:
a)
2 2
5 7 4 2 5x x x x+ = + +
b) x
3

3x
2
+ 4x 4 = 0
c)
2 2
1 2
3
5 7 5 5x x x x
=
+ +
Bài 3 ( 2 điểm )
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau 4 giờ 20phút, một cano chạy từ A đuổi theo và
gặp thuyền cách bến A là 38 km. Tìm vận tốc của thuyền, biết cano chạy nhanh hơn thuyền là 13
km/h.
Bài 4: ( 4 điểm)
Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R. Kẻ đờng kính AD. Gọi
giao điểm của AB và CD là M, Gọi giao điểm của AC và BD là N; giao điểm của AD kéo dài và
MN là H.
a) CM các tứ giác BCNM; HDCN nội tiếp đờng tròn.
b) CM: CH =
1
2
MN
c) CM: CH là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O
d) Tính độ dài CH biết HD = 2cm; R = 3cm

đề thi vào lớp 10 tỉnh hng yên
Năm học 2002-2003
(Thi 31/7/2002 Thời gian 150 phút)
Đề Chẵn

Bài 1: (1,5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức sau: A =
2x
9x


với x = -7
b) Rút gọn: B =
4
y)(14y
+
c) Tìm giá trị lớn nhất của: C =
2
)yx(
+
với x, y > 0; x + y 1.
Bài 2: (1,5 điểm)
8