MAX MIN MODUL

Câu 1: [2D4-4-4]

(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Tìm giá trị lớn nhất của
P  z  z  z 2  z  1 với z là số phức thỏa mãn z  1 .
2

A.

3.

B. 3 .

C.

13
.
4

D. 5 .

Lời giải
Chọn C
Đặt z  a  bi  a, b 

 . Do

z  1 nên a 2  b 2  1 .

Sử dụng công thức: u.v  u v ta có: z 2  z  z z  1  z  1 

z 2  z  1   a  bi   a  bi  1  a 2  b2  a  1   2ab  b  i 

2

 a  1

a

2

2

 b 2  2  2a .

 b 2  a  1   2ab  b 
2

 a 2 (2a  1) 2  b 2  2a  1  2a  1 (vì a 2  b 2  1 ).
2

Vậy P  2a  1  2  2a .
1
TH1: a   .
2

Suy ra P  2a  1  2  2a   2  2a   2  2a  3  4  2  3  3 (vì 0  2  2a  2 ).
1
TH2: a   .
2
2

1

1 13

Suy ra P  2a  1  2  2a    2  2a   2  2a  3    2  2a    3   .
2
4 4

Xảy ra khi a 

7
.
16

Câu 2: [2D4-4-4]
(TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Trong các
số phức z thỏa mãn z 2  1  2 z gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun
nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức w  z1  z2 là
B. w  2 .

A. w  2 2 .

C. w  2 .

w  1 2 .

Lời giải
Chọn A
Đặt z  a  bi  a, b 



thì z 2  1  2 z   a  bi   1  2 a  bi
2

 a 2  b2  1  2abi  2 a  bi   a 2  b2  1  4a2b2  4  a2  b2 
2

D.

2






2

 a 4  b 4  1  2a 2  6b 2  2a 2b 2  0  a 2  b2  1  4b2  0

  a 2  b2  1  2b  a 2  b2  1  2b   0
 a 2  b 2  1  2b  0
 2
2
 a  b  1  2b  0

TH1: a 2  b 2  1  2b  0  a 2   b  1  2 .
2

Khi đó tập hợp điểm M  a; b  biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I1  0;1 ,





bán kính R  2 , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là M1 0; 2  1 và



M 2 0;1  2
w




 



2  1 i  1  2 i  w  2i  w  2

TH2: a 2  b 2  1  2b  0  a 2   b  1  2 .
2

Khi đó tập hợp điểm M  a; b  biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I 2  0; 1 ,





bán kính R  2 , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là M 3 0; 2  1 và





M 4 0;  2  1
w



 



2  1 i  1  2 i  w  2i  w  2 .

Với đáp án của trường ĐH Vinh đưa ra là A thì ta chọn số phức M 1 và M 3 có

w  2 2i  w  2 2 nên đề bài chưa chuẩn, có thể chọn phương án B.
Câu 3: [2D4-4-4] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
số phức z và w thỏa mãn z  w  3  4i và z  w  9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức T  z  w .
B. max T  14 .

A. max T  176 .

C. max T  4 .

max T  106 .

Lời giải
Chọn D
Đặt z  x  yi  x, y 

 . Do

z  w  3  4i nên w   3  x    4  y  i .

Mặt khác z  w  9 nên

zw 

 2 x  3   2 y  4 
2

2

 4 x 2  4 y 2  12 x  16 y  25  9

D.


 2 x 2  2 y 2  6 x  8 y  28 1 . Suy ra
T  z  w  x2  y 2 

3  x    4  y 
2

2

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có T 2  2  2 x 2  2 y 2  6 x  8 y  25  2  .

x2  y 2 

Dấu "  " xảy ra khi

3  x    4  y 
2

2

.

Từ 1 và  2  ta có T 2  2.  28  25    106  T  106 . Vậy MaxT  106 .
Câu 4:

[2D4-4-4] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn
1  i  z  2  1  i  z  2  4 2 . Gọi m  max z , n  min z và số phức
w  m  ni . Tính w

2018

A. 41009 .

B. 51009 .

C. 61009 .

D. 21009 .

Lời giải
Chọn C
Ta có 1  i  z  2  1  i  z  2  4 2  z  1  i  z  1  i  4 .
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , F1  1;1 là điểm biểu diễn của số phức
z1  1  i và F2 1;  1 là điểm biểu diễn của số phức z2  1  i . Khi đó ta có
MF1  MF2  4 . Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip nhận F1 và F2
làm hai tiêu điểm.

Ta có F1F2  2c  2c  2 2  c  2 .
Mặt khác 2a  4  a  2 suy ra b  a 2  c 2  4  2  2 .
Do đó Elip có độ dài trục lớn là A1 A2  2a  4 , độ dài trục bé là B1B2  2b  2 2 .
Mặt khác O là trung điểm của AB nên m  max z  maxOM  OA1  a  2 và

n  min z  minOM  OB1  b  2 .
Do đó w  2  2i suy ra w  6  w

2018

 61009 .

Câu 5: [2D4-4-4]
(THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Cho số phức z thỏa
mãn 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất M của z  2  3i ?
A. M 

10
3

B. M  1  13

Chọn C
Lời giải

C. M  4 5

D. M  9


Gọi A  0;1 , B  1;3 , C 1; 1 . Ta thấy A là trung điểm của BC

MB 2  MC 2 BC 2
BC 2
2
2
2
 MB  MC  2MA 
 MA 
 2MA2  10 .

2
2
4
2

Ta lại có : 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i
 5MA  MB  3MC  10. MB 2  MC 2





 25MA2  10 2MA2  10  MC  2 5
Mà z  2  3i   z  i    2  4i   z  i  2  4i  z  i  2 5  4 5 .

 z i  2 5

Dấu "  " xảy ra khi  a b  1 , với z  a  bi ; a, b 
 
2
4

.

 z  2  3i  loai 
.

 z  2  5i

Câu 6: [2D4-4-4] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Gọi M và m
z i
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P 
, với z là số phức khác 0 và
z
M
thỏa mãn z  2 . Tính tỷ số
.
m
A.

M
5
m

B.

M
3
m

C.
Lời giải

Chọn B

Gọi T 

z i
 T  1 z  i .
z

M 3

m 4

D.

M 1


m 3


Nếu T  1  Không có số phức nào thoả mãn yêu cầu bài toán.
Nếu T  1  z 

i
i
1
 z 
 2  T 1  .
T 1
T 1
2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T là hình tròn tâm I 1;0  có bán kính R 

1
.
2

3

 M  OB  OI  R  2
M

 3.

m
1

m  OA  OI  R 

2
Câu 7: [2D4-4-4]
(THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho số phức z thỏa
mãn z  1  i  1 , số phức w thỏa mãn w  2  3i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

zw .
A. 13  3

B. 17  3

C. 17  3

D. 13  3

Lời giải
Chọn B
Gọi M  x; y  biểu diễn số phức z  x  iy thì M thuộc đường tròn  C1  có tâm

I1 1;1 , bán kính R1  1 .
N  x; y  biểu diễn số phức w  x  iy  thì N thuộc đường tròn  C2  có tâm
I 2  2; 3 , bán kính R2  2 . Giá trị nhỏ nhất của z  w chính là giá trị nhỏ nhất của
đoạn MN .
Ta có I1 I 2  1; 4   I1I 2  17  R1  R2   C1  và  C2  ở ngoài nhau.
 MN min  I1 I 2  R1  R2  17  3

Câu 8: [2D4-4-4] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Cho số phức z thỏa z  1 .
Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
P  z 5  z 3  6 z  2 z 4  1 . Tính M  m .

B. m  4 , n  3

A. m  4 , n  3 .
n  4 .

C. m  4 , n  4 .
Lời giải

Chọn A
Vì z  1 và z.z  z nên ta có z 
2

1
.
z

D. m  4 ,


P  z5  z 3  6z  2 z 4  1  z z 4  z 4  6  2 z 4  1

đó,

Từ

 z4  z 4  6  2 z4 1 .
. Do z  1 nên z 4  x 2  y 2  1 và 1  x, y  1 .

Đặt z 4  x  iy , với x, y 

Khi đó P  x  iy  x  iy  6  2 x  iy  1  2 x  6  2
 2x  6  2 2x  2 





 x  1

2

 y2

2

2x  2 1  3 .

Do đó P  3 . Lại có 1  x  1  0  2 x  2  2  1  2 x  2  1  1  P  4 .

1
3
Vậy M  4 khi z 4  1 và m  3 khi z 4   
i . Suy ra M  m  1 .
2 2
----------HẾT---------Câu 9: [2D4-4-4]



(SGD Hà Nam - Năm 2018) Xét các số phức z  a  bi ,  a, b 





 thỏa



2
1
mãn 4 z  z  15i  i z  z  1 . Tính F  a  4b khi z   3i đạt giá trị nhỏ
2
nhất

B. F  6 .

A. F  7 .

C. F  5 .

D. F  4 .

Lời giải
Chọn A
Ta có









4 z  z  15i  i z  z  1  4  a  bi  a  bi   15i  i  a  bi  a  bi  1
2

 8b  15   2a  1 suy ra b 
2

1
1
z   3i 
2
2

15
.
8

 2a  1   2b  6
2

2



1
1
8b  15  4b2  24b  36 

4b 2  32b  21
2
2

Xét hàm số f  x   4 x 2  32 x  21 với x 
f   x   8 x  32  0, x 

2

15
8

15
15

suy ra f  x  là hàm số đồng biến trên  ;   nên
8
8


 15  4353
.
f  x  f   
 8  16
15
1
1 4353
1
Do đó z   3i đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi b  ; a  .

8
2
2 16
2


Khi đó F  a  4b  7 .
Câu 10: [2D4-4-4] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Cho số phức z
thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P  z  1  z 2  z  1 . Giá trị của M .m bằng
A.

13 3
.
4

B.

13 3
.
8

C.

3
.
3

D.

3 3
.
8

Lời giải
Chọn A
Đặt t  z  1  z  1  2 nên t   0; 2 .
Do z  1 nên z.z  1  P  z  1  z 2  z  z.z  z  1  z  z  1 .
Ta có t 2  z  1   z  1 z  1  z.z   z  z   1  2   z  z  nên z  z  t 2  2 .
2

Vậy P  f  t   t  t 2  3 , với t   0; 2 .
2

t  t  3
Khi đó, f  t   
2

t  t  3

f  t   0  t 

1
.
2

 1  13
f  0  3 ; f    ; f
2 4
Vậy M 

2t  1 khi 3  t  2
nên f   t   
.
khi 0  t  3
2t  1 khi 0  t  3

khi 3  t  2

 3 

3 ; f  2  3 .

13
13 3
; m  3 nên M .m 
.
4
4

Câu 11: [2D4-4-4] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho hai số phức
z1 , z 2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức

z1  z2 ?
B. m  2 2 .

A. m  2  1 .
D. m  2 2  2 .
Lời giải
Chọn D

Đặt z1  a  bi; a, b 

 z2  b  ai

 z1  z2   a  b    b  a  i .

C. m  2 .


 a  b  b  a 

Nên z1  z2 

2

2

 2. z1

Ta lại có 2  z1  1  i  z1  1  i  z1  2
 z1  2  2 . Suy ra z1  z2  2. z1  2 2  2 .

Dấu "  " xảy ra khi

a b

 0.
1 1

Vậy m  min z1  z2  2 2  2 .

Câu 12: [2D4-4-4] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Giá trị
lớn nhất của biểu thức P  1  z  2 1  z bằng
B. 6 5 .

5.

A.

D. 4 5 .

C. 2 5 .

Lời giải
Chọn B
Gọi số phức z  x  yi , với x, y 

.

Theo giả thiết, ta có z  1  x 2  y 2  1 . Suy ra 1  x  1 .
Khi đó, P  1  z  2 1  z 
Suy ra P 

1

2

 x  1

2

 y2  2

 x  1

2

 y2  2x  2  2 2  2x .

 22   2 x  2    2  2 x   hay P  2 5 , với mọi 1  x  1 .

4
3
Vậy Pmax  2 5 khi 2 2 x  2  2  2 x  x   , y   .
5
5

Câu 13: [2D4-4-4] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5
và biểu thức P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z bằng
2

2

B. 5 2 .

A. 10 .

D. 10 .

C. 13 .

Lời giải

Chọn B
và gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của z trên

Đặt z  x  yi với x, y 
Oxy , ta có

z  3  4i  5   x  3   y  4   5
2

2

Và P  z  2  z  i   x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  2 y  3 .
2

2

2

2


Như
 42  22 .

P  4 x  2 y  3  4  x  3  2  y  4   23

vậy

 x  3   y  4 
2

2

 23  33

x  5
x 3 y 4

t


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  4
2
 y  5 .
4  x  3  2  y  4   10
t  0,5


Vậy P đạt giá trị lớn nhất khi z  5  5i  z  5 2 .
Câu 14: [2D4-4-4] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Xét số phức z và số phức liên
hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M  . Số phức z  4  3i  và số phức liên hợp của
nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N  . Biết rằng M , M  , N , N  là bốn đỉnh của
hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 .
A.

1
.
2

B.

4
.
13

C.

5
.
34

D.

2
.
5

Lời giải
Chọn A
Gọi z  a  bi  M  a; b  , M   a; b  .
Ta có: z  4  3i    a  bi  4  3i   4a  3b   3a  4b  i

 N  4a  3b;3a  4b  , N   4a  3b; 3a  4b  .
Vì MM  và NN  cùng vuông góc với trục Ox nên M , M  , N , N  là bốn đỉnh

 2b 2   6a  8b 2

 MM   NN 

  3a  3b  .0   3a  3b  .  2b   0
của hình chữ nhật khi 
 MN  MM 
b  0,3a  4b  0

a  b  0

.
b  0,3a  4b  0
Khi đó: z  4i  5   a  5   b  4  i 

 a  5   b  4 
2

2



2

9 1
1

 2a  18a  41  2  a    
.
2 2
2

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 là

1
9
9
khi a   b   .
2
2
2

 a  5   4  a 
2

2


Câu 15: [2D4-4-4](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho các số phức w , z thỏa mãn

3 5
và 5w   2  i  z  4  . Giá trị lớn nhất của biểu thức
5
P  z  1  2i  z  5  2i bằng
w i 

B. 4  2 13 .

A. 6 7 .

C. 2 53 .

D. 4 13 .

Lời giải
Chọn C
Gọi z  x  yi , với x, y 

. Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z .

Theo giả thiết, 5w   2  i  z  4   5  w  i    2  i  z  4   5i

  2  i  w  i   z  3  2i
 z  3  2i  3 . Suy ra M  x; y  thuộc đường tròn  C  :  x  3   y  2   9 .
2

2

Ta có P  z  1  2i  z  5  2i  MA  MB , với A 1; 2  và B  5; 2  .

Gọi H là trung điểm của AB , ta có H  3; 2  và khi đó:
P  MA  MB  2  MA2  MB 2  hay P  4MH 2  AB2 .

Mặt khác, MH  KH với mọi M   C  nên P  4KH 2  AB2
 4  IH  R   AB 2  2 53 .
2

M  K
3 11
Vậy Pmax  2 53 khi 
hay z  3  5i và w   i .
5 5

 MA  MB
Câu 16:

[2D4-4-4] [CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU-2017] Cho số phức z thỏa mãn
z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là

A. 13  2 .

B. 4 .

C. 6 .
Lời giải

D. 13  1 .


Chọn D
Gọi z  x  yi ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3 i .
Theo giả thiết  x  2    y  3  1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên
2

2

đường tròn tâm I  2;3 bán kính R  1 .

Ta có z  1  i  x  yi  1  i  x  1  1  y  i 
Gọi M  x; y  và H  1;1 thì HM 

 x  1   y  1
2

 x  1   y  1
2

2

.

2

.

Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI
với đường tròn.
 x  2  3t
Phương trình HI : 
, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:
 y  3  2t

1

nên M  2 
13

Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 
Câu 17: [2D4-4-4] [THTT – 477-2017]
9t 2  4t 2  1  t  

3
2  

3
2 
;3 
;3 
, M  2 
.
13
13  
13
13 
13  1 .
Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa mãn

z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
A. z13  z23  z33  z13  z23  z33 .

B. z13  z23  z33  z13  z23  z33 .

C. z13  z23  z33  z13  z23  z33 .

D. z13  z23  z33  z13  z23  z33 .
Lời giải

Chọn D
Cách 1: Ta có: z1  z2  z3  0  z2  z3   z1

 z1  z2  z3 

3

 z13  z23  z33  3  z1 z2  z1 z3  z1  z2  z3   3z2 z3  z2  z3 

 z13  z23  z33  3z1 z2 z3  z13  z23  z33  3z1 z2 z3 .
 z13  z23  z33  3z1 z2 z3  3 z1 z2 z3  3

Mặt khác z1  z2  z3  1 nên z1  z2  z3  3 . Vậy phương án D sai.
3

3

3

Cách 2: thay thử z1  z2  z3  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai
Câu 18: [2D4-4-4] [THTT – 477-2017] Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa z1  z2  z3  1.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .


D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1

C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Kí hiệu Re : là phần thực của số phức.

Ta có z1  z2  z3  z1  z2  z3  2 Re  z1 z2  z2 z3  z3 z1 
2

2

2

2

 3  2 Re  z1 z2  z2 z3  z3 z1  (1).
z1 z2  z2 z3  z3 z1  z1 z2  z2 z3  z3 z1  2 Re  z1 z2 z2 z3  z2 z3 z3 z1  z3 z1z1z2 
2

2

2

2



 z1 . z2  z2 . z3  z3 . z1  2 Re z1 z2 z3  z2 z3 z1  z3 z1 z2
2

2

2

2

2

2

2

2

2



 3  2 Re  z1 z3  z2 z1  z3 z2   3  2 Re  z1 z2  z3 z3  z3 z1  (2).
Từ 1 và  2  suy ra z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .
Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C.
Chọn z1  z2  z3  A đúng và D sai
Cách 2: thay thử z1  z2  z3  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai
Câu 19: [2D4-4-4] [2017] Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của
số phức z  2i.
A.

26  6 17 .

B.

26  6 17 .

C.

26  8 17 .

D.

26  4 17 .

Lời giải
Chọn A
Gọi z  x  yi;  x  ; y 

  z  2i  x   y  2  i . Ta có:
z  1  2i  9   x  1   y  2   9 .
2

2

Đặt x  1  3sin t; y  2  3cos t; t  0; 2  .
 z  2i  1  3sin t    4  3cos t   26  6  sin t  4 cos t   26  6 17 sin  t    ;  
2

2

2

 26  6 17  z  2i  26  6 17  z  2i max  26  6 17 .

Câu 20: [2D4-4-4] [2017] Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z2  z  1 . Tính giá trị của
M.m .

A.

13 3

.
4

B.

39
.
4

C. 3 3 .
Lời giải

D.

13
.
4




Chọn A
Gọi z  x  yi;  x  ; y 

 . Ta có:

z  1  z.z  1

Đặt t  z  1 , ta có 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2 .
Ta có t 2   1  z  1  z   1  z.z  z  z  2  2 x  x 

Suy ra z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z 

t2  2
.
2

 2 x  1

2

 2x  1  t 2  3 .

Xét hàm số f  t   t  t 2  3 , t  0; 2 . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra

max f  t  

13
13 3
; min f  t   3  M.n 
.
4
4
Câu 21: [2D4-4-4] [2017] Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z và
1 i
z 
z;  z  0  trên mặt phẳng tọa độ ( A, B, C và A, B, C đều không
2
thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác OAB đều.
B. Tam giác OAB vuông cân tại O .

C. Tam giác OAB vuông cân tại B .
D. Tam giác OAB vuông cân tại A .
Lời giải
Chọn C
Ta có: OA  z ; OB  z 

1 i
1 i
2
.z 
.z 
z
2
2
2

Ta có: BA  OA  OB  BA  z  z  z 

1 i
1 i
2
z
.z 
z
2
2
2

Suy ra: OA2  OB2  AB2 và AB  OB  OAB là tam giác vuông cân tại B .
Câu 22: [2D4-4-4] [2017] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2  4  2 z . Khẳng định nào

sau đây là đúng?
A.

3 1
3 1
 z
.
6
6

B. 5  1  z  5  1 .

C. 6  1  z  6  1 .

D.
Lời giải

Chọn B
Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta được

2 1
2 1
z
.
3
3


2

2

2 z  4  z 2  4  4  z  z  2 z  4  0  z  5  1
2

2

2 z  z  z 2  4  z 2  4  z  2 z  4  0  z  5  1
5  1, khi z  i  i 5 và z lớn nhất là

Vậy, z nhỏ nhất là
z  i  i 5.

Câu 23: [2D4-4-4] [2017] Gọi z  x  yi  x , y 
2

2

z  2  z  2  26 và z 

A. xy 

9
.
4

3



2

3
2



là số phức thỏa mãn hai điều kiện

i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.

13
.
2

B. xy 

5  1, khi

C. xy 

16
.
9

D. xy 

9
.
2

Lời giải
Chọn D
Đặt z  x  iy  x, y 

 . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2  y2  36.

Đặt x  3cos t , y  3sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

P   z 

3
2

 
i  18  18 sin  t    6.
2
 4

3



 
3
3 2 3 2
z

i.
Dấu bằng xảy ra khi sin  t    1  t  

4
2
2
 4
Câu 24: [2D4-4-4] [2017] Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  3  4i  5
2

2

và biểu thức M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i.
A. z  i  2 41

B. z  i  3 5.

C. z  i  5 2

D. z  i  41.
Lời giải

Chọn D
Gọi z  x  yi;  x  ; y 
z  3  4i 

Mặt khác:

 . Ta có:
5  C  :  x  3    y  4 
2

2

 

 5 : tâm I  3; 4  và R  5.

2
2
2
2
M  z  2  z  i   x  2   y 2   x 2   y  1   4 x  2 y  3  d : 4 x  2 y  3  M  0.


Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C  có điểm chung


 d  I; d  R 

23  M
2 5

 5  23  M  10  13  M  33


x  5
4 x  2 y  30  0
 Mmax  33  

 z  i  5  4i  z  i  41.
2
2

 y  5

 x  3    y  4   5

Câu 25: [2D4-4-4] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Biết rằng hai số phức z1 , z2 thỏa
1
. Số phức z có phần thực là a và phần ảo là
2
b thỏa mãn 3a  2b  12 . Giá trị nhỏ nhất của P  z  z1  z  2 z2  2 bằng:

mãn z1  3  4i  1 và z2  3  4i 

A. Pmin 

9945
.
11

B. Pmin  5  2 3 .

C. Pmin 

9945
.
13

D.

Pmin  5  2 5 .
Hướng dẫn giải

Chọn C
Gọi M 1 , M 2 , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1 , 2z 2 , z trên hệ trục
tọa độ Oxy . Khi đó quỹ tích của điểm M 1 là đường tròn  C1  tâm I  3; 4  , bán
kính R  1 ;
quỹ tích của điểm M 2 là đường  C2  tròn tâm I  6;8 , bán kính R  1 ;
quỹ tích của điểm M là đường thẳng d : 3 x  2 y  12  0 .
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM 1  MM 2  2 .
y

I2

8

B
4

O

I1

3

A

I3

M

6

x

 138 64 
Gọi  C3  có tâm I 3 
;  , R  1 là đường tròn đối xứng với  C2  qua d . Khi
 13 13 
đó min  MM1  MM 2  2   min  MM1  MM 3  2  với M 3   C3  .


Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I1 I 3 với  C1  ,  C3  . Khi đó với
mọi điểm M1   C1  , M 3   C3  , M  d ta có MM 1  MM 3  2  AB  2 , dấu "="

9945
.
13
Câu 26: [2D4-4-4] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  12 và z2  3  4i  5 . Giá trị nhỏ nhất của
xảy ra khi M 1  A, M 3  B . Do đó Pmin  AB  2  I1 I 3  2  2  I1I 3 

z1  z2 là:
A. 0 .

B. 2

C. 7

D. 17

Lời giải
Chọn B

Gọi z1  x1  y1i và z2  x2  y2i , trong đó x1 , y1 , x2 , y 2 

; đồng thời M1  x1; y1 

và M 2  x2 ; y2  lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 .
2
2

 x1  y1  144
Theo giả thiết, ta có: 
.
2
2
x

3

y

4

25





2
 2

Do đó M 1 thuộc đường tròn  C1  có tâm O  0;0  và bán kính R1  12 , M 2 thuộc
đường tròn  C2  có tâm I  3; 4  và bán kính R2  5 .

O   C2 
Mặt khác, ta có 
nên  C2  chứa trong  C1  .
OI

5

7

R

R


1
2

M2

(C2)

M1

I
O

(C1)

Khi đó z1  z2  M 1M 2 . Suy ra z1  z2 min   M1M 2 min  M 1M 2  R1  2 R2  2 .
Câu 27: [2D4-4-4] (THPT Ninh Giang - Hải Dương - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Cho các
số phức z thỏa mãn z  4  3i  2 . Giả sử biểu thức P  z đạt giá trị lớn nhất, giá


trị nhỏ nhất khi z lần lượt bằng z1  a1  b1i  a1 , b1 

 a2 , b2   . Tính



và z2  a2  b2i

S  a1  a2

B. S  6 .

A. S  4 .

D. S  10 .

C. S  8 .
Lời giải

Chọn C
Gọi z  a  bi ,  a, b 



z  4  3i  2  a  ib  4  3i  2  a  4   b  3 i  2

  a  4    b  3  4
2

2

Khi đó tập hợp các điểm M  a; b  biểu diễn số phức z  a  bi thuộc vào đường
tròn  C  có tâm I  4; 3 , R  2 . Ta có OI  32  42  5 .
Suy ra z max  OI  R  5  2  7 , z min  OI  R  5  2  3 .
Gọi  là đường thẳng qua hai điểm OI ta có
phương trình của    : 3x  4 y  0 . Gọi M và N lần lượt là hai giao điểm của



và  C 

sao cho OM  3 và ON  7 khi đó

3
 12 9 
28 21

z1 
 i
OM  5 OI  M  5 ;  5 

28 12





5 5

S
  8.

5
5
ON  7 OI  N  28 ;  21 
 z  12  9 i
2




5 5
5
5
 5
Câu 28: [2D4-4-4] (THPT Ninh Giang - Hải Dương - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Cho các
số phức z thỏa mãn z 2  4   z  2i  z  1  2i  . Tìm giá trị nhỏ nhất của

P  z  3  2i .
A. Pmin  4 .

B. Pmin  2 .

C. Pmin 

7
.
2

D. Pmin  3

.
Lời giải
Chọn D
Ta có z 2  4   z  2i  z  1  2i   z  2i  z  2i  z  1  2i   0

 z  2i  0

.
 z  2i  z  1  2i
Do đó tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy là
điểm A  0; 2  và đường trung trực của đoạn thẳng BC với B  0; 2  , C 1; 2  .

1 
Ta có BC  1;0  , M  ;0  là trung điểm BC nên phương trình đường trung trực
2 
của BC là  : 2x 1  0 .


Đặt D  3;2  , DA  3 , d  D,   

7
.
2
Khi đó P  z  3  2i  DN , với N là điểm biểu diễn cho z .

Suy ra min P  min DA, d  D,    3 .
Câu 29: [2D4-4-4] (THPT Ninh Giang - Hải Dương - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Cho các
số phức z thỏa mãn z  1  i  z  8  3i  53 . Tìm giá trị lớn nhất của

P  z  1  2i .
A. Pmax  53 .

B. Pmax 

185
.
2

C. Pmax  106 .

D.

Pmax  53 .
Lời giải
Chọn C
Xét A 1;1 , B 8;3 ta có AB  53

 các điểm biểu diễn z là đoạn thẳng AB
P  z  1  2i  MM  với M là điểm biểu diễn số phức z , M  là điểm biểu diễn
số phức z  1  2i
Phương trình đường thẳng AB : 2 x  7 y  5  0

 87 13 
Hình chiếu vuông góc của M  lên AB là M1    ; 

 53 53 
Ta có A nằm giữa M 1 và B nên P  MM  lớn nhất  MM 1 lớn nhất

 M  B  z  8  3i
 Pmax  106 .
Câu 30: [2D4-4-4] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho số phức z thỏa
mãn z  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i bằng:
A. 4  2 3 .
2

B. 2  3 .

C. 4 

14
.
15

7
.
15

Lời giải
Chọn A
Gọi z  x  yi,  x, y 
Suy ra 2  x, y  2 .

 . Theo giả thiết, ta có

z  2  x2  y 2  4 .

D.


Khi

2

P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i

đó,



 x  1

P2



2

 y2 

 x  1

2

 x  1

2

 y2  y  2

1  x 

 y2 

2



 y2  y  2

  22 1 y  2  y .
2

Dấu “  ” xảy ra khi x  0 .
Xét hàm số f  y   2 1  y 2  2  y trên đoạn  2; 2 , ta có:

f  y 

2y
1 y2

1 

2 y  1 y2
1 y2

; f  y  0  y 

1
.
3

 1 
Ta có f 
  2  3 ; f  2   4  2 5 ; f  2   2 5 .
 3
1
.
3

Suy ra min f  y   2  3 khi y 
 2; 2





Do đó P  2 2  3  4  2 3 . Vậy Pmin  4  2 3 khi z 

1
i.
3

----------HẾT----------

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1

2

3

4

D C A B

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

A D C C B

C A D C D A C B

C D B

B

A D D C

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A A C C A B

A

B

D D C

B

C A D C B

B

B

D D B

A C A

Câu 31: [2D4-4-4] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Nếu z là số phức thỏa

z  z  2i thì giá trị nhỏ nhất của z  i  z  4 là
A. 2 .

B.

3.

Chọn D
Đặt z  x  yi với x , y 

C. 4 .
Lời giải

D. 5 .

theo giả thiết z  z  2i  y  1 .  d 

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  d  .


Gọi A  0;1 , B  4;0  suy ra z  i  z  4  P là tổng khoảng cách từ điểm

M  x;  1 đến hai điểm A , B .
Thấy ngay A  0;1 và B  4;0  nằm cùng phía với  d  . Lấy điểm đối xứng
với A  0;1 qua đường thẳng  d  ta được điểm A  0;  3 .
Do đó khoảng cách ngắn nhất là AB  32  42  5 .
Câu 32: [2D4-4-4] (THPT Vũng Tàu - BRVT - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Cho số phức z
1
thỏa mãn z  1  i  z  3i và số phức w  . Tìm giá trị lớn nhất của w .
z

4 5
.
7
7 5
.


10

A. w max 

w max

B. w max 

2 5
.
7

C. w max 

9 5
.
10

D.

Lời giải
Chọn B.
Đặt z  a  bi  a, b 

.

z  1  i  z  3i   a  1   b  1  a 2   b  3  a  2b 
2

2

2

7
.
2
2

2

49
7  49
7
7


z  a 2  b 2   2b    b 2  5b 2  14b 

 5 b   
4
5  20 2 5
2



w

63
7
1 2 5

1

. Đẳng thức xảy ra khi b  và a  .

10
5
z
z
7

Vậy w max 

2 5
.
7

Câu 33: [2D4-4-4] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Cho số phức z  a  bi
 a, b   . Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn

C 

có tâm I  4;3 và bán kính R  3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ

nhất của F  4a  3b 1. Tính giá trị M  m .
A. M  m  63 .
M  m  41.

B. M  m  48 .

C. M  m  50 .

Lời giải
Chọn B.
Cách 1. Ta có phương trình đường tròn  C  :  x  4    y  3  9 .
2

2

D.


Do điểm A nằm trên đường tròn  C  nên ta có  a  4    b  3  9 .
2

2

Mặt khác F  4a  3b  1  4  a  4   3  b  3  24  F  24  4  a  4   3  b  3 .
2
2
2
Ta có  4  a  4   3  b  3    42  32   a  4    b  3   25.9  255 .



 15  4  a  4   3  b  3  15  15  F  24  15  9  F  39 .
Khi đó M  39 , m  9 .
Vậy M  m  48 .
Cách 2. Ta có F  4a  3b  1  a 

F  1  3b

4

F  1  3b

 4   b 2  6b  9  9
 a  4    b  3  9  
4


2
2
 25b  2  3F  3 b  F  225  0
2

2

2

   3F  3  25F 2  5625
2

  0  16 F 2  18F  5625  0  9  F  39.
Câu 34: [2D4-4-4] (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Cho số phức
z thoả mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P  z  2  z  i . Tính môđun của số phức w  M  mi.
2

A. w  2315 .

2

B. w  1258 .

C. w  3 137 .

w  2 309 .

Lời giải
Chọn B
2
2
Đặt z  x  yi . Ta có P   x  2   y 2   x 2   y  1   4 x  2 y  3 .



Mặt khác z  3  4i  5   x  3   y  4   5 .
2

2

Đặt x  3  5 sin t , y  4  5 cos t
Suy ra P  4 5 sin t  2 5 cos t  23 .
Ta có 10  4 5 sin t  2 5 cos t  10 .
Do đó 13  P  33  M  33 , m  13  w  332  132  1258 .

D.