Nghiên cứu giải thuật lai mờ nơ ron và ứng dụng trong xấp xỉ mô hình mờ

1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN
THÔNG

BÙI TRUNG MINH

NGHIÊN CỨU GIẢI THUẬT LAI MỜ - NƠ RON
VÀ ỨNG DỤNG TRONG XẤP XỈ MÔ HÌNH MỜ

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số

: 60 48 01

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Phạm Thanh Hà

Thái Nguyên, năm 2014


2

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thanh Hà, thầy đã
định hướng, hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để em có thể hoàn thành luận văn
này. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo ở trường Đại học Công nghệ
thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy giáo ở Viện
Công nghệ thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã

nhiệt tình truyền thụ kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn cơ quan nơi tôi công tác, bạn bè đồng
nghiệp, gia đình và những người thân đã cùng chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo
mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể học tập và hoàn thành cuốn luận văn
này.
Tuy đã có những cố gắng nhất định nhưng do thời gian và trình độ có
hạn nên chắc chắn luận văn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Rất mong nhận
được sự góp ý của Quý thầy cô và các bạn./.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 6 năm 2014

HỌC VIÊN

Bùi Trung Minh


3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả đạt được trong luận văn là sản phẩm nghiên
cứu, tìm hiểu của riêng cá nhân tôi. Trong toàn bộ nội dung luận văn, những
điều được trình bày hoặc là của cá nhân tôi hoặc là được tổng hợp từ nhiều
nguồn tài liệu. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có xuất xứ rõ ràng và được
trích dẫn hợp pháp.
Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm và chịu mọi hình thức kỷ luật theo
quy định cho lời cam đoan của mình./.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 6 năm 2014

HỌC VIÊN

Bùi Trung Minh


4

MỤC LỤC
DANH MỤC BẢNG ........................................................................................ 7
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT.......................................................................... 8
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 9
1. Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài..................................................................... 9
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu........................................................... 10
3. Hướng nghiên cứu của đề tài .................................................................. 10
4. Phương pháp nghiên cứu......................................................................... 11
5. Ý nghĩa khoa học của đề tài .................................................................... 11
Chương 1: TẬP MỜ VÀ LOGIC MỜ ........................................................ 12
1.1. Tập mờ ................................................................................................ 12
1.2. Một số khái niệm cơ bản liên quan ..................................................... 14
1.3. Các phép toán trên tập mờ ................................................................... 15
1.3.1. Các phép toán chuẩn trên tập mờ .................................................. 15
1.3.2. Các phép toán khác trên tập mờ .................................................... 17
1.3. Quan hệ mờ ......................................................................................... 21
1.3.1 Quan hệ mờ .................................................................................... 21
1.3.2. Hợp thành của các quan hệ mờ ..................................................... 22
1.4. Logic mờ ............................................................................................. 24
1.4.1. Biến ngôn ngữ ............................................................................... 24
1.4.2. Mệnh đề mờ .................................................................................. 25
1.4.3. Các mệnh đề hợp thành ................................................................. 27
1.4.4. Kéo theo mờ - Luật if - then mờ ................................................... 28
1.5. Luật Modus - Ponens tổng quát ........................................................... 31
1.6. Vấn đề mờ hoá .................................................................................... 34

1.7. Vấn đề khử mờ ..................................................................................... 35
Chương 2: MẠNG NƠ RON NHÂN TẠO ................................................. 36
2.1. Cấu trúc và mô hình của mạng nơ ron ................................................. 36
2.2. Phân loại theo cấu trúc mạng nơ ron.................................................... 40
2.2.1. Mạng nơ ron 1 lớp:........................................................................ 40
2.2.2. Mạng nơ ron truyền thẳng nhiều lớp: ........................................... 41


5

2.2.3 Mạng nơ ron hồi quy:..................................................................... 42
2.3. Các luật học:......................................................................................... 42
2.4. Mạng nơ ron truyền thẳng .................................................................... 45
2.4.1. Mạng Perceptron một lớp đơn ...................................................... 45
2.4.2. Thuật toán huấn luyện lan truyền ngược sai số ............................ 46
2.5. Mạng nơ ron RBF (Radial Basis Function) ......................................... 48
Chương 3: ỨNG DỤNG MẠNG NƠ RON XẤP XỈ MÔ HÌNH MỜ ...... 53
3.1. Phương pháp xấp xỉ mô hình mờ ........................................................ 53
3.2. Ứng dụng mạng nơ ron RBF giải bài toán xấp xỉ mô hình mờ ........... 58
3.3. Ứng dụng trên bài toán xấp xỉ mô hình mờ của Cao - Kandel ............ 59
3.3.1. Bài toán xấp xỉ mô hình mờ EX1 ................................................. 59
3.3.2. Ứng dụng mạng nơ ron RBF giải bài toán xấp xỉ mô hình EX1 .. 62
3.4. Ứng dụng mạng nơ ron RBF xấp xỉ mô hình mờ hình chuông ........... 69
3.4.1. Bài toán xấp xỉ mô hình mờ hình chuông .................................... 69
3.4.2. Ứng dụng mạng nơ ron xấp xỉ mô hình mờ hình chuông............. 71
KẾT LUẬN .................................................................................................... 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................78


6

DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1. Các tập mờ "tốc độ chậm", "tốc độ trung bình", "tốc độ nhanh"................

12

Hình 1.2. Giá đỡ, nhân và biên của tập mờ ................................................................

13

Hình 1.3. Các tập mờ biểu diễn giá trị ngôn ngữ "chậm", "nhanh", "trung bình".......

24

Hình 1.4. Tập mờ "tuổi trẻ".........................................................................................

26

Hình 1.5. Phương pháp cực đại ..................................................................................

34

Hình 1.6. Phương pháp điểm trọng tâm .....................................................................

34

Hình 2.1. Một mạng nơ ron đơn giản gồm hai nơ ron ...............................................

35

Hình 2.2. Mô hình của một nơ ron .............................................................................

36

Hình 2.3. Cấu trúc của một nơ ron .............................................................................

37

Hình 2.4. Các hàm kích hoạt: (a) hàm bước nhẩy; (b) hàm dấu; (c) hàm dốc;
(d) hàm sigmoid đơn cực; (e) hàm sigmoid lưỡng ....................................................

39

Hình 2.5. Một số liên kết đặc thù của mạng nơ ron ...................................................

40

Hình 2.5.1. Mạng nơ ron 1 lớp ...................................................................................

40

Hình 2.5.2. Mạng nơ ron hồi quy ...............................................................................

40

Hình 2.5.3. Mạng nơ ron nhiều lớp ............................................................................

40

Hình 2.6. Học có giám sát ..........................................................................................

42

Hình 2.7. Học không giám sát ....................................................................................

42

Hình 2.8. Cấu trúc chung của 2 quá trình học ............................................................

43

Hình 2.9. Mạng Perceptron đơn .................................................................................

44

Hình 2.10. Cấu trúc mạng RBF ..................................................................................

47

Hình 3.1. Đường cong thực nghiệm của mô hình EX1 ..............................................

60

Hình 3.2. Các giá trị đầu vào và các tập mờ tương ứng .............................................

62

Hình 3.3. Mô hình EX1 xấp xỉ được ..........................................................................

62

Hình 3.4. Bề mặt của hàm gốc hình chuông ...............................................................

68

Hình 3.5. Các tập mờ của biến đầu vào x, y ...............................................................

69

Hình 3.6. Hàm thuộc của biến đầu ra z ......................................................................

69

Hình 3.7. Bề mặt hàm hình chuông xấp xỉ bằng hệ mờ .............................................

70

Hình 3.8. Đầu vào x, y được rời rạc và tập mờ tương ứng .........................................

72

Hình 3.9. Kết quả xấp xỉ mô hình mờ hình chuông ...................................................

73


7

DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.1. Hàm thuộc của các tập mờ A, B, C ...............................................

11

Bảng 3.1. Mô hình mờ EX1 của Cao - Kandel …………………………….

58

Bảng 3.2. Hàm thuộc của các tập mờ của biến I …………………………...

59

Bảng 3.3. Hàm thuộc của các tập mờ của biến ngôn ngữ N ……………….

59

Bảng 3.4. Các kết quả xấp xỉ mô hình EX1 tốt nhất của Cao - Kandel ........

61

Bảng 3.5. Mô hình FAM xấp xỉ hình chuông ……………………………...

69


8

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt

Ý nghĩa

BP

Back Propagation

RBF

Radial Basis Function

BPN

Back Propagation Network


9

ơ

MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài
Bài toán xấp xỉ mô hình mờ là một bài toán quan trọng và được ứng
dụng nhiều trong thực tiễn, bài toán được phát biểu như sau:
Cho trước mô hình mờ
If X1 = A11 and ... and Xn = A1n then Y = B1
.......
If X1 = Am1 and ... and Xn = Amn then Y = Bm
Trong đó Aij và Bi, i = 1,.., m, j = 1,.., n là những từ ngôn ngữ mô tả các
đại lượng của biến ngôn ngữ Xj và Y.
Ứng với các giá trị (hoặc giá trị mờ, hoặc giá trị thực) của các biến đầu
vào đã cho, hãy tính giá trị đầu ra của biến Y.

Dựa trên cách tiếp cận của lý thuyết tập mờ, các phương pháp xấp xỉ mô
hình mờ được dựa trên ý tưởng sau:
- Ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ của các biến ngôn ngữ trong mô
hình mờ được biểu thị bằng các tập mờ.
- Khi đó mỗi mô hình mờ sẽ được mô phỏng bằng một quan hệ mờ hai
ngôi R.
- Ứng với vectơ đầu vào A0, giá trị của biến đầu ra được tính theo công
thức B0 = A0 o R, trong đó o là một phép tích hợp.
Hiệu quả của phương xấp xỉ mô hình mờ nói chung phụ thuộc nhiều yếu
tố rất căn bản chẳng hạn như lựa chọn tập mờ (bài toán xây dựng các hàm
thuộc), xây dựng quan hệ mờ mô phỏng tốt nhất mô hình mờ (tri thức) và bài
toán lựa chọn phép kết nhập, … Đây là một khó khăn không nhỏ khi xây
dựng phương pháp xấp xỉ mô hình mờ.

[1,3]


10

Mạng nơ ron nhân tạo có những khả năng tiềm tàng, một trong những
khả năng đó là nó có thể được huấn luyện để xấp xỉ một hàm phi tuyến từ một
tập mẫu cho trước với độ chính xác tùy ý.
Như vậy, nếu có thể đưa mỗi luật trong mô hình mờ về 1 điểm trong
không gian, ta sẽ có một tập mẫu cho trước và ta có thể khai thác khả năng
xấp xỉ hàm của mạng nơ ron để xấp xỉ mô hình mờ.

[2]

Ý tưởng trên là động lực để học viên nghiên cứu sâu về phương pháp lập
luận mờ truyền thống, ứng dụng mạng nơ ron để xấp xỉ mô hình mờ và đó

chính là lý do để học viên chọn đề tài “Nghiên cứu giải thuật lai mờ - nơ ron
và ứng dụng trong xấp xỉ mô hình mờ” dưới sự định hướng, hướng dẫn của
thầy giáo TS. Phạm Thanh Hà.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: tập mờ, logic mờ và mạng nơ ron.
- Nghiên cứu về lý thuyết tập mờ và logic mờ và đặc biệt là phương
pháp lập luận mờ.
- Nghiên cứu về mạng nơ ron nhân tạo và các phương pháp huấn luyện
mạng nơ ron, trong đó đề cập sâu tới mạng nơ ron truyền thẳng.
- Phạm vi nghiên cứu tập trung vào việc sử dụng mạng nơ ron trong
phương pháp lập luận mờ, thay thế cho các bước kết nhập đầu vào, phép kéo
theo.
- Cài đặt giải thuật mờ - nơ ron và ứng dụng trong xấp xỉ mô hình mờ.
Phân tích, đánh giá kết quả đạt được.
3. Hướng nghiên cứu của đề tài
- Nghiên cứu lý thuyết về tập mờ, logic mờ.
- Nghiên cứu lý thuyết về mạng nơ ron.
- Sử dụng các công cụ để mô phỏng bài toán.


11

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với cài đặt thực nghiệm.
5. Ý nghĩa khoa học của đề tài
Nghiên cứu về hệ mờ, logic mờ, mạng nơ ron, các lĩnh vựng ứng dụng
và cài đặt mô phỏng giải thuật lai mờ - nơ ron và ứng dụng trong xấp xỉ mô
hình mờ.

12

Chương 1
TẬP MỜ VÀ LOGIC MỜ
1.1. Tập mờ
Một tập mờ A trong vũ trụ U được xác định là một hàm A: U  [0, 1].
Hàm A được gọi là hàm thuộc (hàm đặc trưng) của tập mờ A còn A(x)
được gọi là mức độ thuộc của x vào tập mờ A.
Tập mờ A trong vũ trụ U được biểu diễn bằng tập tất cả các cặp phần tử
và mức độ thuộc của nó: A = { (x, A(x)) | x  U}
Ví dụ: Giả sử các điểm thi được cho từ 0 đến 10, U = {0,1,…,10}. Ta
xác định ba tập mờ A = “điểm khá”, B = “điểm trung bình”, C = “điểm kém”
bằng cách cho mức độ thuộc của các điểm vào mỗi tập mờ như sau:
Bảng 1.1. Hàm thuộc của các tập mờ A, B, C
Điểm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

A
0
0

0
0
0
0,1
0,5
0,8
1
1
1

B
0
0
0
0,2
0,8
1
0,8
0,3
0
0
0

C
1
1
1
0,9
0,7
0,5

0,1
0
0
0
0

Sau đây là các ký hiệu biểu diễn tập mờ:
- Nếu vũ trụ U là rời rạc và hữu hạn thì tập mờ A trong vũ trụ U được
biểu diễn như sau: A 



 A ( x)
xU

x

Ví dụ: Giả sử U={a, b, c, d, e}, ta có thể xác định một tập mờ A như sau:


A

0,7 0 0,3 1 0,5
 
 
a b
c
d
e

- Khi vũ trụ U là liên tục, ta sử dụng cách viết sau để biểu diễn tập mờ A:
A



U

 A ( x) / x , trong đó, dấu tích phân không có nghĩa là tích phân mà

để chỉ tập hợp tất cả các phần tử x được gắn với mức độ thuộc của nó.
Ví dụ: Tập mờ A = “số gần 2” có thể được xác định bởi hàm thuộc như
 ( x 2)

e A ( x) 

2



, chúng ta viết A 

sau:

e



2

( x 2)

/x

Các tập mờ được sử dụng rộng rãi nhất trong các ứng dụng là các tập mờ
n

trên đường thẳng thực R và các tập mờ trong không gian R (n  2).
Ví dụ: Giả sử tốc độ của một chuyển động có thể lấy giá trị từ 0 với max
= 150 (km/h). Chúng ta có thể xác định 3 tập mờ “tốc độ chậm”, “tốc độ trung
bình”, “tốc độ nhanh” như trong hình 1.1. Các tập mờ này được gọi là các tập
mờ hình thang, vì hàm thuộc của chúng có dạng hình thang.
chậm

trung bình

nhanh

1

150
Hình 1.1. Các tập mờ “tốc độ chậm”, “tốc độ trung bình”, “tốc độ nhanh”
Nhận xét:
- Các tập mờ được đưa để biểu diễn các tính chất không chính xác,
không rõ ràng, mờ, chẳng hạn các tính chất “người già”, “số gần 2”, “nhiệt độ
thấp”, “áp suất cao”, “tốc độ nhanh”,..
- Khái niệm tập mờ là một khái niệm toán học hoàn toàn chính xác: một


tập mờ trong vũ trụ U là một hàm xác định trên U và nhận giá trị trong đoạn
[0, 1]. Các tập rõ là tập mờ, hàm thuộc của tập rõ chỉ nhận giá trị 1, 0. Khái

niệm tập mờ là sự tổng quát hoá khái niệm tập rõ.
- Một tính chất mờ có thể mô tả các tập mờ khác nhau, trong các ứng
dụng ta cần xác định các tập mờ biểu diễn các tính chất mờ sao cho phù hợp
với thực tế, với các số liệu thực nghiệm. [1,3,5]
1.2. Một số khái niệm cơ bản liên quan
Giả sử A là một tập mờ trên vũ trụ U. Giá đỡ của tập mờ A, ký hiệu là
supp(A) là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x  U có mức độ thuộc
vào tập mờ A lớn hơn không, tức là supp(A) = { x  A | A(x)  0}
Nhân của tập mờ A là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x  U
sao cho A(x) = 1. Còn biên của tập mờ A sẽ gồm tất cả các x  U sao
cho 0 
A(x)  1. Hình 1.2 minh hoạ giá đỡ, nhân và biên của một tập
mờ

(x)
1
Biên

Nhân

Biên

Giá đỡ

x

Hình 1.2. Giá đỡ, nhân và biên của tập mờ
Độ cao của một tập mờ A, ký hiệu là height(A), được xác định là cận trên
đúng của các A(x) với x chạy trên vũ trụ U, tức là:
height( A) 

sup  A ( x)
x
U

Các tập mờ có độ cao bằng 1 được gọi là các tập mờ chuẩn tắc (normal
fuzzy set). Chẳng hạn, các tập mờ A, B, C trong các ví dụ trên đều là tập mờ
chuẩn tắc. [1,3]


Lát cắt  (- cut) của tập mờ A, ký hiệu A là một tập rõ bao gồm tất cả
các phần tử của vũ trụ U có mức độ thuộc vào A lớn hơn hoặc bằng . Tức là:
A = {x  U | A(x)  }
Ví dụ : Giả sử U = {a, b, c, d, e, m, n} và A là tập mờ được xác định:
A

0,1 0,7 0,5 0 1 0,8 0


  

a
b
c d e m n

Khi đó ta có
A0,1 = {a, b, c, e, m}, A0,3 = {b, c, e, m}, A0,8 = {e, m}
1.3. Các phép toán trên tập mờ
1.3.1. Các phép toán chuẩn trên tập mờ
Giả sử A và B là các tập mờ trên vũ trụ U. Ta nói tập mờ A bằng tập mờ

B, A = B nếu với mọi x  U A(x) = B(x)
Tập mờ A được gọi là tập con của tập mờ B, A  B nếu với mọi x 
U:
A(x)  B(x)
Phần bù của tập mờ A là tập mờ A với hàm thuộc: A (x)  1   A (1.1)
(x)

Hợp của hai tập mờ A và B là tập mờ A  B với hàm thuộc được xác
định như sau: A  B(x) = max (A(x), B(x))

(1.2)

Giao của hai tập mờ A và B là tập mờ A  B với hàm thuộc được xác
định như sau: A  B(x) = min (A(x), B(x))
(1.3)
Ví dụ: Giả sử U = {a, b, c, d, e} và A, B là các tập mờ như sau:
A

0,3
a



0,7
c



0
c



1
d



0,5
e

, A  0,1  0,9  0,6  1  0,5
a

c

c

d

e

Khi đó chúng ta có các tập mờ như sau:
A

0,7
a

A B



0,3 1 0 0,5
, A  B  0,3  0,9  0,6  1  0,5
  
c c d
e
a
c
c
d
e

0,3 0,7 0 1 0,5

  
a
c
c d
e


Giả sử A1, A2, …, An là các tập mờ trên các vũ trụ U1, U2, …, Un tương
ứng. Tích đề các của A1, A2, …, An là tập mờ A = A1 A2 … An trên không
gian U = U1 U2 … Un với hàm thuộc được xác định như sau:
 A ( x1 ,..., x n )  min( 

A1

( x1 ), 

A2

( x 2 ),..., 

An

( x1  U 1 ,..., x n  U n

x n ))

Giả sử A là tập mờ trong không gian tích U1  U2. Hình chiếu của A trên
U1 là tập mờ A1 với hàm thuộc  A1 ( x1 )  max  A ( x1 ,
x )

2
x2 U
2

Định nghĩa này có thể mở rộng cho trường hợp A là tập mờ trên không
gian U i U i  ...
. Ta có thể tham chiếu A lên không gian tích
1

2

U

ik

U i U i  ... U , trong
i

đó
1

2

(i1 ,..., i k ) là

các dãy con của dãy (1, 2, …, n), để nhận

k

được tập mờ trên không gian U i U i  ... Ui
1

2

k

Giả sử A1 là tập mờ trên vũ trụ U1. Mở rộng hình trụ của A1 trên không
gian tích U1  U2 là tập mờ A trên vũ trụ U1  U2 với hàm thuộc được xác định
bởi: A(x1, x2) = A1(x1)
Đương nhiên ta có thể mở rộng một tập mờ trong không gian
U 1i U 2i  ... U i thành một tập mờ hình trụ trong không gian U1 U2 …
k

Un
trong đó (i1 ,..., ik ) là các dãy con của dãy (1,2,…, n) [1,3,5].

Ví dụ: Giả sử U1 = {a, b, c} và U2 = {d, e}. Giả sử A1, A2 là các tập mờ
trên U1, U2 tương ứng:
A1 

1 0 0,5
0,3 0,7
 

, A2 
a b c
d
e

Khi đó ta có: A1 
A2

0,3
0,7
0
0
0,3
0,5
 (a, d  (a, e)  (b, d  (b, e) (c, d  (c, e)
)
)
)

Nếu chiếu tập mờ này lên U1, ta nhận được tập mờ sau:

0,7 0 0,5

 
a b c


Mở rộng hình trụ của tập mờ A1 trên không gian U1 U2 là tập mờ sau:


1
1
0
0
0,5
0,5





(a, d ) (a, e) (b, d (b, e) (c, d
(c, e)
)
)

1.3.2. Các phép toán khác trên tập mờ
Các phép toán chuẩn: Phần bù, hợp, giao được xác định bởi các công
thức (1.1), (1.2), (1.3) không phải là sự tổng quát hoá duy nhất của các phép
toán phần bù, hợp, giao trên tập rõ. Có thể thấy rằng, tập mờ A  B được xác
định bởi (1.2) là tập mờ nhỏ nhất chứa cả A và B, còn tập mờ A  B được xác
định bởi (1.3) là tập mờ nhỏ nhất nằm trong cả A và B.
Còn có những cách khác để xác định các phép toán phần bù, hợp, giao

trên các tập mờ. Chẳng hạn, ta có thể xác định hợp của A và B là tập bất kỳ
chứa cả A và B. Sau đây chúng ta sẽ đưa vào các phép toán mà chúng là tổng
quát hoá của các phép toán chuẩn được xác định bởi (1.1), (1.2) và (1.3).
Giả sử chúng ta xác định hàm C: [0, 1]  [0, 1] bởi công thức:
C(a) = 1 - a, a  [0, 1]. Khi đó từ công thức (1.1) xác định phần
bù
chuẩn, ta có:

A (x)  C

A

(1.4)

(x)

Điều này gợi ý rằng, nếu chúng ta có một hàm C thoả mãn một số điều
kiện nào đó thì chúng ta có thể xác định phần bù A của tập mờ A bởi công
thức (1.4). Tổng quát hoá các tính chất của hàm C, C(a) = 1- a, chúng ta đưa
ra định nghĩa sau:
Phần bù của tập mờ A là tập mờ A với hàm thuộc được xác định trong
(1.4), trong đó C là hàm thoả mãn các điều kiện sau:
- Tiên đề C1 (điều kiện biên). C(0) = 1, C(1) = 0
- Tiên đề C2 (đơn điệu không tăng). Nếu a  b thì C(a)  C(b) với mọi a,
b  [0, 1].
Hàm C thoả mãn các điều kiện C1, C2 sẽ được gọi là hàm phần bù.
Chẳng hạn, hàm C(a) = 1- a thoả mãn cả 2 điều kiện trên.


Sau đây là một số lớp phần bù mờ quan trọng

Ví dụ: Các phần bù mờ lớp Sugeno được xác định bởi hàm C:
1a

C(a) 

, trong đó,  là tham số,   1, ứng với mỗi giá trị của

 chúng
1  a
ta nhận được một phần bù. Khi  = 0 phần bù Sugeno trở thành phần
bù chuẩn (1.1).
1
w

Ví dụ: Các phần bù lớp Yager được xác định bởi hàm C: C(a)  (1  a )
w

,

trong đó w là tham số, w  0, ứng với mối giá trị của tham số w chúng ta sẽ có
một phần bù và với w = 1 phần bù Yager trở thành phần bù chuẩn (1.1).
Phép toán hợp chuẩn được xác định bởi (1.2), tức là nó được xác định
nhờ hàm max(a, b): [0, 1]  [0, 1]  [0, 1]. Từ các tính chất của hàm
max này, chúng ta đưa ra một lớp các hàm được gọi là S - norm.
Một hàm S: [0, 1]  [0, 1]  [0, 1] được gọi là S - norm nếu nó
thỏa mãn các tính chất sau:
- Tiên đề S1 (điều kiện biên): S(1, 1) = 1; S(0, a) = S(a, 0) = a
- Tiên đề S2 (tính giao hoán): S(a, b) = S(b, a)
- Tiên đề S3 (tính kết hợp): S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c))
- Tiên đề S4 (đơn điệu tăng): Nếu a  a’, b  b’ thì S(a, b)  S(a’, b’)

Ứng với mỗi S - norm, chúng ta xác định một phép hợp mờ như sau:
Hợp của A và B là tập mờ A  B với hàm thuộc được xác định bởi:
 AB (x)  S ( A (x),  B
(x))

(1.5)

Các phép hợp được xác định bởi (1.5) được gọi là các phép toán S norm. Chẳng hạn, hàm max(a, b) thoả mãn các điều kiện (S1) đến (S4), do đó
hợp chuẩn (1.2) là phép toán S - norm.
Người ta thường ký hiệu max(a, b) = a  b.
Một số phép toán S - norm quan trọng:


b0
a0

a if

Tổng Drastic: a  b  b if

1 if

a  0, b 
0

Tổng chặn: a  b  min(1, a  b)
Tổng đại số: a ˆ b  a  b  ab

1
w

w w
Các phép hợp Yager: S w  min 1, (a  b ) 


trong đó w là tham số, w  0, ứng với mỗi giá trị của w chúng ta có một
S - norm cụ thể, khi w = 1, hợp Yager trở thành tổng chặn. Có thể thấy rằng:
lim S w (a, b)  max( a,
b) ,

lim S w (a, b)  a  b
w0

w

Như vậy khi w   , giao Yager trở thành hợp chuẩn.
Chúng ta đã xác định giao chuẩn bởi hàm min(a, b): [0,1][0,1][0,1].
Tổng quát hoá từ các tính chất của hàm min này, chúng ta đưa ra một lớp các
hàm được gọi là T - norm.
Một hàm T: [0, 1]  [0, 1]  [0, 1] được gọi là T - norm nếu nó thỏa
mãn các tính chất sau:
- Tiên đề T1 (điều kiện biên): T(0, 0) = 0; S(1, a) = S(a, 1) = a
- Tiên đề T2 (tính giao hoán): T(a, b) = T(b, a)
- Tiên đề T3 (tính kết hợp): T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c))
- Tiên đề T4 (đơn điệu tăng): Nếu a  a’, b  b’ thì T(a, b)  T(a’, b’)
Ứng với mỗi T - norm, chúng ta xác định một phép giao mờ như sau:
Giao của A và B là tập mờ A  B với hàm thuộc được xác định bởi biểu thức
 AB (x)  T ( A (x),  B
(1.6)
(x))
trong đó T là một T - norm. Các phép giao mờ được xác định bởi (1.6)

được gọi là các phép toán T - norm. Chẳng hạn, hàm min(a, b) là T - norm.
Chúng ta sẽ ký hiệu min(a, b) = a  b


Một số T - norm quan trọng:
Tích đại số: a . b = ab
Tích Drastic:

if a  b 


 a
if

b
0 if

b 1
a 1
a, b  1

Tích chặn: a  b  max(0, a  b 1)

w
w
Các phép giao Yager: Tw  1  min 1, ((1  a )  (1  b ) w 


1



Trong đó w là tham số, w  0. Khi w = 1, giao Yager trở thành tích chặn.
Có thể chỉ ra rằng: limTw (a, b)  min(a, b) limTw (a, b)  a  b
w0
,
w

Khi w  , giao Yager trở thành giao chuẩn
Mối quan hệ giữa các S - norm và T - norm được phát biểu trong định lý:
Định lý: Giả sử T là một T - norm và S là một S - norm. Khi đó chúng ta
có các bất đẳng thức : a  b  T(a, b)  min(a, b); max(a, b)  S(a, b)  a  b,
trong đó a  b là tổng Drastic còn a  b là tích Drastic.
Từ định lý trên chúng ta thấy rằng, các phép toán min và max là cận trên
và cận dưới của các phép toán T - norm và S - norm tương ứng. Như vậy các
phép toán hợp và giao không thể nhận giá trị trong khoảng giữa min và max.
Người ta đưa vào các phép toán V(a, b): [0, 1]  [0, 1]  [0, 1], mà
các
giá trị của nó nằm giữa min và max: min(a, b)  V(a, b)  max(a, b). Các
phép toán này được gọi là phép toán lấy trung bình (averaging operators).
Một số phép toán lấy trung bình:
1

Trung bình tổng quát:

 a   b 

V (a, b)  
 trong


0.
2


đó,  là tham số và

Trung bình max - min: V (a, b)   max( a, b)  (1 
tham số   [0, 1].

 ) min(a, b)

trong đó,


Tích đề các của các tập mờ A1, …, An trên các vũ trụ U1, …, Un tương
ứng là các tập mờ A = A1 … An trên U = U1 … Un với hàm thuộc
được
xác định như sau:  A (x1 ,..., xn )   A (x1 )  ...  
(xn )

1

A

trong đó  là phép toán

n

T- norm. [1,3]
1.3. Quan hệ mờ

1.3.1 Quan hệ mờ
Quan hệ mờ đóng vai trò quan trọng trong logic mờ và lập luận xấp xỉ.
Khái niệm quan hệ mờ là sự tổng quát hoá trực tiếp của khái niệm quan hệ
(quan hệ rõ). Trước hết, học viên nhắc lại khái niệm quan hệ:
Giả sử U và V là 2 tập. Một quan hệ R từ U đến V (sẽ được gọi là quan
hệ 2 ngôi) là một tập con của tích đề các U  V. Trong trường hợp U = V, ta
nói rằng R là quan hệ trên U. Chẳng hạn, tập R bao gồm tất cả các cặp người
(a, b) trong đó a là chồng của b, xác định quan hệ “vợ - chồng” trên một tập
người nào đó.
Tổng quát, chúng ta xác định một quan hệ n - ngôi R trên các tập U1,
…,Un là một tập con của tích đề các U1 …
Un
Khi U và V là các tập hữu hạn, chúng ta sẽ biểu diễn quan hệ R từ U đến
V bởi ma trận, trong đó các dòng được đánh dấu bởi các phần tử x  U và
các cột đợc đánh dấu bởi phần tử y  V. Phần tử của ma trận nằm ở dòng x
cột y là R(x, y)
 ( Rx, y) 


1 if ( x, y)  R
if ( x, y)  R
0

Ví dụ: Giả sử U = {x, y, z} và V = {a, b, c, d}. Giả sử quan hệ R từ U đến
V như sau: R = {(x, a), (x, d), (y, a), (y, b), (z, c), (z, d)}
Chúng ta có thể biểu diễn quan hệ R bởi ma trận:





x
R 
y


z

a b c d

1 0 0 1
0
1 1 0 
0 0 1 

1

Bây giờ chúng ta xét quan hệ “anh em họ gần” trên một tập người U nào
đó. Quan hệ này không thể đặc trưng bởi một tập con rõ của tích đề các U 
U. Một cách hợp lý nhất là xác định quan hệ này bởi một tập mờ R trên U 
U. Chẳng hạn R(a, b) = 1 nếu a là anh em ruột của b, R(a, b) = 0,9 nếu a là
anh em con chú con bác của b, R(a, b) = 0,75 nếu a là anh em cháu cô cháu
cậu của b,..
Một quan hệ mờ từ U đến V là một tập mờ trên tích đề các U  V, tổng
quát, một quan hệ mờ giữa các tập U1, …, Un là một tập mờ trên tích đề các
U1
Un

…
Tương tự như trong trường hợp quan hệ rõ, khi cả U và V là các tập hữu

hạn, chúng ta sẽ biểu diễn quan hệ mờ R bởi ma trận, trong đó phần tử nằm ở
dòng x  U cột y  V là mức độ thuộc của (x, y) vào tập mờ R, tức là

R(x, y).
Ví dụ: Giả sử U = {x, y, z}, V = {a, b, c} và R là quan hệ mờ từ U đến V
như sau:
0,5
1
0
0,3
0,75
0,8
0,9







(x, a) (x, b) (x, c) ( y,
( y,
( y,
(z, a)
a)
b)
c)




x
Quan hệ mờ được biểu diễn bằng ma trận: R  
y

z
R

0
0,42

(z, b) (z, c)
c 

0 
0,5
1

0,3 0,75 0,8 
0,42 
0,9 0

a

b

1.3.2. Hợp thành của các quan hệ mờ
Đối với quan hệ rõ, hợp thành của quan hệ R từ U đến V với quan hệ S từ


V đến W là quan hệ R S từ U đến W bao gồm tất cả các cặp (u,w)  U 

W
sao cho có ít nhất một v  V mà (u,v)  R và (v,w)  S.


Từ định nghĩa trên chúng ta suy ra rằng, nếu xác định R, S và R



S bởi

các hàm đặc trưng R, S và RS tương ứng thì hàm đặc trưng
RS được xác định bởi công thức:
 RS (u, w)  max min[R (u, v), S
vV
(v, w)]

hoặc

(1.7)
(1.8)

[R (u, v)S


R S (u, w) 
max (v, w)]

vV

Ví dụ: Giả sử U = {u1, u2}, V = {v1, v2, v3}, W = {w1, w2, w3} và



 v1

w w w
2
3
1

0 0
1

v1
v3 


v
2
R   u1 0 1 1  S  
0

v 2 1
u 2 1 0
,

v 3 0 1
0 

0


0

w1 w2 w3 



Khi đó R   u1 1 1 0 

0
1
u 2 0

Bây giờ, giả sử rằng R là quan hệ mờ từ U đến V và S là quan hệ mờ từ V
đến W. Tổng quát hoá các biểu thức (1.7) và (1.8) cho các quan hệ mờ ta có
định nghĩa sau:
Hợp thành của quan hệ mờ R và quan hệ mờ S là quan hệ mờ R  S từ U
đến W với hàm thuộc được xác định như sau:
 R S (u, w) 
min[  R (u, v),  S (v,
max

w)]

vV

hoặc 

R S

max

(1.9)

(u, w) 
vV

[  R (u, v) S (v,

(1.10)

w)]

Hợp thành được xác định bởi (1.9) được gọi là hợp thành max - min.
Hợp thành được xác định bởi (1.10) được gọi là hợp thành max - product.
Ngoài hai hợp thành dạng trên, chúng ta còn có thể sử dụng một toán tử
T - norm bất kỳ để xác định hợp thành của hai quan hệ mờ. Cụ thể là:




R S

max

(u, w) 
vV

T[  R (u, v),  S (v,
w)]

(1.11)