Tài liệu ôn thi môn toán THPT quốc gia 2019 ( có đáp án) 1

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM
BUỔI 1:
ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa đạo hàm:

Đạo hàm của

f ' ( x0 )

x0

f (x)
tại

, kí hiệu

y ' ( x0 )
hay

f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )
f (x) − f (x 0 )
= lim
∆x →0
x → x0
∆x
x − x0

f ' (x 0 ) = lim

2. Quy tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

u = u ( x) ; v = v ( x) ; C :
*Các quy tắc :

Cho

là hằng số .

( u ± v ) ' = u '± v '
•

( u.v ) ' = u '.v + v '.u

⇒ ( C.u ) ′ = C.u ′

•

•

C.u′
 u  u '.v − v '.u
 C ′
=
,
v
≠
0
⇒
(

)
 ÷
 ÷ =− 2
2
v
u
v
u

y = f ( u) , u = u ( x)
•

⇒ y′x = yu′ .u ′x

Nếu

.

*Các công thức :

( C)′ = 0

;

( x)′ = 1

•

( x ) ′ = n.x
n

•

n −1

( ) ′ = n.u

⇒ un

n −1

.u ′ , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2 )


•

( x )′ = 2 1x

, ( x > 0) ⇒

( u ) ′ = 2u′u

, ( u > 0)

B. KĨ NĂNG CƠ BẢN
* Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa:
+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x o.
Tính ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo).

∆y

x → x o ∆x
lim

+ Bước 2: Tính

suy ra f′(xo)

*Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :

 Dạng : y =

 Dạng : y =

 Dạng : y =

ax 2 + bx + c
a ' x 2 + b' x + c '
ax 2 + bx + c
dx + e
ax + b
cx + d

(ab'−a ' b) x 2 + 2(ac'− a' c) x + (bc'−b' c)
( a ' x 2 + b' x + c ' ) 2
⇒ y’ =

ad .x 2 + 2ae.x + (be − dc)
(dx + e) 2
⇒ y’ =

⇒ y’ =

ad − cb
(cx + d ) 2

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài toán 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Bài tập 1: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau:

x0 = 1
2

a) y = x + x

b) y =

tại

x +1
x −1

x0 = 0
tại
Lời giải

x0 = 1
2

a) y = x + x

Gọi

tại

∆x

x0 = 1
là gia số của x tại


∆y = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 )
Ta có

= f (1 + ∆x) − f (1) = (1 + ∆x) 2 + (1 + ∆x) − 2 = 1 + 2∆x + ∆x 2 + 1 + ∆x − 2 = ∆x 2 + 3∆x

∆y
∆x 2 + 3∆x
∆x (∆x + 3)
= lim
= lim
= lim (∆x + 3) = 3
∆x →0 ∆x
∆x → 0
∆
x
→
0
∆x →0
∆x
∆x

f ' (1) = 3
lim

b) y =

x +1
x −1

x0 = 0
tại

Gọi

∆x

x0 = 0
là gia số của x tại

∆y = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 )
Ta có

= f (0 + ∆x) − f (0) =

( 0 + ∆x ) + 1
∆x + 1
2∆x
− (−1) =
+1 =
(0 + ∆x) − 1
∆x − 1

∆x − 1

∆y
2∆x 1
2 ∆x
2
= lim
.
= lim
= lim
= −2
∆
x
→
0
∆
x
→
0
∆
x
→
0
∆x
∆x − 1 ∆x
∆x(∆x − 1)
∆x − 1
f ' (0) = −2

lim

∆x →0

x0 ∈ (a; b)

f (x)
 Nhận xét: Để tính hàm số y =

∆y = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 )
sau đó lập tỉ số

trên khoảng (a;b) và

∆y
∆x

rồi tìm giới hạn của

∆y
∆x

bằng định nghĩa ta chỉ cần tính

khi

∆x

tiến dần về 0.

Bài toán 2: Tính đạo hàm của hàm số theo quy tắc

Dạng 1: Tính đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương.
Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

y = 2x5 +
a)

1
+3
x

y=

y = x 5 − 5x 3 − 2 x 2 + 1
b)

c)

2x − 3
x+4

Lời giải:

y = (9 − 2 x)(3 x 2 − 3 x + 1)
d)


1
+3
x

y = 2x5 +
a)

'

'

'
1
1


1
 1 
'
y ' =  2 x 5 + + 3  = ( 2 x 5 ) +   + ( 3) = 10 x 4 +  − 2  = 10 x 4 − 2
x
x


 x
 x 

y = x 5 − 5x 3 − 2 x 2 + 1
b)

(

) ( ) ( ) (
'

)

'

y ' = x 5 − 5 x 3 − 2 x 2 + 1 = x 5 '−5 x 3 − 2 x 2 '+ (1) ' = 5 x 4 − 15 x 2 − 4 x

y=
c)

2x − 3
x+4

'

'
'
11
 2 x − 3  ( 2 x − 3) ( x + 4) − ( x + 4) (2 x − 3) 2( x + 4) − ( 2 x − 3) 2 x + 8 − 2 x + 3
y =
=
=
=
 =
2
2
2
( x + 4)
( x + 4)
( x + 4)

( x + 4) 2
 x+4 
'

y = (9 − 2 x)(3 x 2 − 3 x + 1)
d)
'

2


y = (9 − 2 x)(3x − 3x +1) = (9 − 2 x) ' (3x 2 − 3x + 1) + (3x 2 − 3x + 1) ' (9 − 2 x)


'

= −2(3x 2 − 3x + 1) + (6 x − 3)(9 − 2 x)

= −6 x 2 + 6 x − 2 + 54x − 12 x 2 − 27 + 6 x
= −18 x 2 + 66 x − 29
y = f (x)
 Nhận xét: Để tìm đạo hàm của hàm số
ta chỉ cần xác định dạng của hàm số rồi áp dụng các
công thức và phép toán của đạo hạm để tính đạo hàm của hàm số.
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm hợp
Bài tập 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

y = (2 x + 4 x − 3)
4

a)

y=

y = 2 2 x −1

1994

2

;

b)

; c)
Lời giải:

2
x5

(

y = x5 − 2 x 2 − 2
d)

)

3

y = (2 x 4 + 4 x − 3)1994

y = 2 2 x 2 −1

a)

b)

y' = 1994(2x 4 + 4x − 3)1993 (2x 4 + 4x − 3)'
= 1994(2x 4 + 4x − 3)1993 (8x 3 + 4)
y=
c)

(2 x 2 − 1) '

y' = 2

2
x5

2 2 x 2 − 1)

4x

=

2 x 2 − 1)

(

)

(

)

y = x5 − 2 x 2 − 2
d)
'

5

3

3
y ' =  x 5 − 2 x 2 − 2 



4

( x )'
5x
10
 1 
y ' = 2 5  = −2
= −2 10 = − 6
2
5
x

x
x 
(x )

'

) (x − 2 x − 2 )
(
= 3( x − 2 x − 2 ) ( x ) − 2( x − 2 )
( x − 2)
= 15( x − 2 x − 2 ) x − 2
2 x −2
2x
= 15( x − 2 x − 2 ) x −
x −2
2

= 3 x5 − 2 x 2 − 2
5

2

2

5

5

5 '

2

2

'

2

2

2

4

'

'

2

5

2

2

4

2

Bài toán 3: Giải bất phương trình.
 Phương pháp giải: Để giải bất phương trình ta làm các bước sau:

f (x)
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số

g (x)
và

(nếu có)

f ' ( x)
Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình rồi thay

g ' ( x)
và

(nếu có) vào điều kiện tìm nghiệm

x0
Bước 3: Lập bảng xét dấu rồi kết luận tập nghiệm của bất phương trình.
Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau:

f ( x) =

'

f ( x)
a)

<0

,với

g ' ( x) ≤ 0
b)

,với

1 3 5 2
x − x + 6x
3
2

x 2 + 3x − 9
g ( x) =
x−2


'

f ( x)
c)

g ' ( x)
<

,với

1

f ( x) = x 3 + x 2 − ;
2

g ( x) =

2 3 1 2
x + x + 2x
3
2

Lời giải:

f ( x) =

'

f ( x)
a)

< 0, với

⇔ x2 − 5x + 6 < 0
⇔2< x<3

1 3 5 2
x − x + 6x
3
2

f ' ( x) = x 2 − 5 x + 6

Ta có

f ' ( x)
Mà

<0

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(2 ; 3)

g ' ( x) ≤ 0
b)

,với

x 2 + 3x − 9
g ( x) =
x−2

g ' ( x) =

x 2 − 4x + 3
( x − 2) 2

Ta có

g ' ( x) ≤ 0
Mà

 x 2 − 4x + 3 ≤ 0
1 ≤ x ≤ 3

⇔
⇔
⇔ x ∈ [ 1;3] \ { 2}
 x≠2
 x−2≠0

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=[1 ; 3]\2

f ' ( x)
c)

g ' ( x)
<

, với

1
f ( x) = x 3 + x 2 − ;
2

f ' ( x) = 3x 2 + 2 x
Ta có

f ' ( x)
Mà

g ' ( x)
<

g ( x) =

2 3 1 2
x + x + 2x
3
2

g ' ( x) = 2 x 2 + x + 2
,


⇔ 3 x 2 + 2 x < 2 x 2 + x + 2 ⇔ 3x 2 + 2 x − 2 x 2 − x − 2 < 0 ⇔ x 2 + x − 2 < 0 ⇔ −2 < x < 1
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(-2 ; 1)

f (x)

g (x)

 Nhận xét: Tùy thuộc vào đề bài ta tính được đạo hàm của
và
điều kiện có được từ đề bài để tìm nghiệm của bất phương trình.
Luyện tập củng cố:

(nếu có) sau đó đem thế vào

Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

1)

x3 x2
y = − + x− 5

3 2

y = 2x 5 −
2)

y=
3)

y′ = x 2 − x + 1
ĐS:

x
+3
2

y′ = 10 x 4 −
ĐS:

2 4 5
6
− 2+ 3− 4
x x x 7x

y′ = −
ĐS:

2 8 15 24
+ − +
x 2 x3 x 4 7 x5

y′ = 45 x 2 − 10 x

y = 5 x 2 (3 x − 1) = 15 x3 − 5 x 2
4)

1
2

ĐS:

Bài tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1)

y = ( x 2 + 5) 3

y=
9)

2)

y = x 2 + 6x + 7

y = ( x + 1)( 5 − 3x )
2

1
2 x + 3x − 5
2

2

10)

3)

y = x −1 + x + 2
11)

(

4)

2

y =  + 3x÷
x


)

x −1

y = ( x + 1) x 2 + x + 1
12)

y = 2 x3
5)

x 2 − 2x + 3
2x + 1

y=

1+ x
1− x

13)
3

2

6) y = ( 5x + x – 4 )

y = 3x 4 + x 2
7)

y=
5

14)


y=
8)

2 x2 − 5
x+2


D.

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN.
Câu 1: Số gia của hàm số
ứng với:

và

A. 19

B. -7
C. 7

,
là:

Câu 4: Tỉ số

của hàm số

theo x và
D. 0

Câu 2: Số gia của hàm số
theo

và

A.

A. 2
là:

B. 2
C.

D.

−

B.
Câu 5: Đạo hàm của hàm số

C.

tại

D.

ứng với số gia

là:

A. 0

Câu 3: Số gia của hàm số

B. 2
C. 1

D. 3

y=

của đối số tại
Câu 6: Hàm số

2x + 1
x −1

là:

có đạo hàm là:

y/ = −
A. y/ = 2

A.

là:

B.

y/ = −

1
( x − 1) 2

B.

3
( x − 1) 2

C.

y/ =

1
( x − 1) 2

D.

C.

y=
Câu 7: Hàm số

( x − 2)
1− x

2

có đạo hàm là:


− x 2 + 2x
y =
(1 − x ) 2

Câu 10: Đạo hàm của hàm số

x 2 − 2x

y =
(1 − x ) 2

/

/

A.

B.

C.

y/ =
y/ = –2(x – 2)

f (x) =

là:

D.

Câu 8: Cho hàm số f(x) =
của hàm số f(x) là:
/

x 2 + 2x
(1 − x ) 2

1− x 



1 + x 



A.

2

. Đạo hàm
B.

− 2(1 − x )
(1 + x ) 3

A.

f / (x) =

B.

− 2(1 − x )

C.

x (1 + x ) 3
C.

f / (x) =

2(1 − x )
x (1 + x )

f / (x) =

2

2(1 − x )
(1 + x )

D.

D.
Câu 9: Đạo hàm của hàm số

trên khoảng

là:

Câu 11: Đạo hàm của hàm số
là:

A.

B.
A.
C.
D.

B.


C.

A.
B.

D.

C.
Câu 12: Đạo hàm của hàm số
D.
là:
A.

B.
Câu 15: Đạo hàm của hàm số
C.
bằng:
D.
A.

Câu 13: Đạo hàm của hàm số

B.

là:

A.

B.
C.
C.
D.
D.

Câu 14: Cho hàm số

Câu 16: Phương trình
. Giá trị của x để y’ > 0 là:

biết
có tập nghiệm là:


A. S={1}

B. S = {2}

{3}

D.S =

C. S =

y'=

∅

2x2 + 2x + 1
x2 + 1

A.

Câu 17: Đạo hàm của hàm số

y' =

y'=

B.

x2 + 1

;

x2 −1

y ' = 2x +
Câu 20: Hàm số có

y=
A.
C.

D.

2x2 − 2x + 1

A.

B.

x2 + 1

2x2 − 2x − 1

C.

là:

2 x2 − 2 x + 1

y' =

x3 + 1
x

C.

1
x2

y=
B.

x3 + 5x − 1
y=
x

là:

3( x 2 + x)
x3

D.

2x2 + x −1
y=
x

D. Không tồn tại đạo hàm
Câu 18: Đạo hàm của hàm số
tại điểm

Câu 21: Tìm nghiệm của phương trình
biết

là:

A.

B.

C.

.

D.

A.

Câu 19: Đạo hàm của hàm số
là:

và
C.

B.
và 4

D.

và 4
và


Câu 22: Cho hàm số

Câu 25: Cho hàm số
. Tìm m để

. Giá trị biểu thức f(3) – 8f’(3) là:

A. 0

có hai nghiệm trái dấu.

B. 1
C. 2

D. 3
A.

Câu 23: Giả sử

B.
C.

. Tập nghiệm
phương trình

D.

là:

A.

B.

_______________________________
___

C.
D.

Câu 24: Cho hai hàm số

và

.

A. 2

B. 0
C. Không tồn tại D. -2

. Tính


BUỔI 2

lim
x→ 0

- Biết vận dụng

ĐẠO HÀM CỦA
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tiết 4

hạn dạng

A. Kiến thức cơ bản

Giới hạn của

sin x
x

C. Bài tập luyện tập
Bài toán 1: Đạo hàm của hàm số lượng giác.

Đạo hàm của hàm số lượng giác:

( sin x )

= cos x

( sin u )

'

= u cos u (sin u ) = n sin
'

n

'

n −1

y = sin x

u.( sinDạng
u ) 1: Đạo hàm của hàm số
y = cot x
y = cos x y = tan x
'

,

( cos x ) ' = − sin x ( cos u ) ' = −u ' sin u(cos n u )' = n cos n −1 u.(cos u )'

( tan x ) ' =

đơn giản.

- Tính đạo hàm của một số hàm số hợp.

Bảng đạo hàm hàm số lượng giác

'

và

y = sin x + cos x
a)

( cot x ) ' = −

1
(cot u )' = n cot
u
'
2 ( cot ) = −
sin x
sin 2 u
n

n −1

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là
có đạo hàm tại u là

sin x + cos x
sin x − cos x
Lời giải:

và

y = sin x + cos x
y ' = (sin x + cos x )'

thì

y = f ( g ( x ))
hàm hợp

b)
c)

y(' u ( x ))

y = f (u )
hàm số

:

u.(cot uy)'= tan x + cot x

y=

u'x

y ' = (sin x)' + (cos x)'

có đạo hàm tại x là:

y ' = cos x − sin x

'
y(' x ) = y(u(x))
.u(' x )

a)

y = tan x + cot x
y ' = (tan x + cot x)'

B. Kỹ năng cơ bản

b)

,

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số
sau:

1
u ' (tan n u )' = n tan n −1 u.(tan u )'

'
(
tan
u
)
=
cos 2 x
cos 2 u
'

trong một số giới

- Tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác.

sin x
lim
=1
x →0
x

là

0
0

sin x
=1
x

y ' = (tan x)' + (cot x )'

1
1
y' =
− 2
2
cos x sin x


(sin 2 x + cos 2 x = 1)
'

c) y =

'

1   1 
1
2
1

y ' =  sin 2  =  2  cos 2 = − 3 cos 2
x  x 
x
x
x


sin x + cos x
sin x − cos x

y = 3 tan 2 2 x + cot 2 2 x

'

 sin x + cos x 
b)
y' = 
÷
 sin x − cos x 
y ' = (3 tan 2 2 x + cot 2 2 x)' = 6 tan 2 x(tan 2 x)' + 2 cot 2 x(cot
(sin x + cos x )' (sin x − cos x ) − (sin x − cos) ' (sin x + cos x)
=
 (2 x)' 
(2 x)'
(sin x − cos x) 2
= 6 tan 2 x.
+
2
cot
2
x
 − sin 2 2 x 
2
cos
2
x


(cos x − sin x)(sin x − cos x) − (cos x + sin x)(sin x + cos x)
=

2
1
1
12 tan 2 x 4 cot 2
(sin x − cos x)
= 12 tan 2 x.
− 4 cot 2 x. 2
=
−
2
sin 2 x cos 2 2 x sin 2 2
−(cos x − sin x)( − sin x + cos x) − (sin x + cos x)(sin x + cos x) cos 2 x
=
(sin x − cos x) 2
y=

x 2 + 1. cot 2 x

c)

=

−(cos x − sin x) 2 − (sin x + cos x ) 2
(sin x − cos x) 2

) (

(

)

'
'
−(cos 2 x − 2 cos x sin x + sin 2 x) − (sin 2 x + 2sin x cos x' + cos 22x)
'
y = x + 1.cot 2 x = x 2 + 1 ( cot 2 x ) + ( cot 2 x )
2
(sin x − cos x)
( x 2 + 1)'
(2 x) '
−(1 − 2 cos x sin x) − (1 + 2sin x cos x )
=
cot
2
x
−
x2 + 1
(
)
=
2
2
2
sin 2 x
(sin x − cos x)
2 x +1
−2
x cot 2 x 2 x 2 + 1
=
=

−
2
(sin x − cos x) 2
x 2 + 1 sin 2 x

=

(

Dạng 2: Đạo hàm của hàm hợp:
Ví dụ: Tính đạo hàm của các
hàm số sau:

y = sin
a)

y=

1
x2

y = 3 tan 2 2 x + cot 2 2 x
; b)

y = sin
a)

y=
d)

Lời giải:

1
x2

d)

cos x
sin3 x

x2

)

cos x
sin3 x

'
'
3
3
'
 cos x  (cos x) sin x − (sin x) cos x − sin x.sin
y = 3 ÷ =
=
(sin 3 x) 2
 sin x 
− sin 4 x − 3sin 2 x.cos 2 x
=
sin 6 x

'

x 2 + 1. cot 2 x

c)

y=

(

D. Bài tập TNKQ
(Làm tổng hợp cuối)


Tiết 5
VI PHÂN

Ví dụ 2: Tính giá trị của

sin 30030′

A. Kiến thức cơ bản

y = f ( x ) ⇒ dy = f ′ ( x ) dx
Vi phân:
Phép tính gần đúng: f(x0 +
x

∆

x)

≈

f(x0) + f’(x)

∆

Do 30030’=

π
π
+
6 3600

x0 =
f(x)=sinx tại điểm
Áp dụng ct

B. Kỹ năng cơ bản
- Vi phân của một hàm số

f(x0 +

- Giá trị gần đúng của một hàm số tại một điểm.

∆

x)

- Nắm chắc các quy tắc tính đạo hàm, vận dụng
vào trong BT.

π
π
sin  +
0
 6 360

C. Bài tập vận dụng

=
Ta có:

Dạng 1: Phép tính gần đúng

3,99
Ví dụ 1: Xác định giá trị của
thập phân.

với 4 chữ số

Vậy

∆x =
với số gia

f(x0) + f’(x)

∆

π
3600

x

π 
π π

÷ ≈ sin +  cos ÷
6 
6  3600


1
3 π
+
≈ 0,5076
2 2 3600

π 
π
sin 30030′ = sin  +
≈ 0,5076
0 ÷
 6 360 

Ví dụ : Tìm vi phân của các hàm số sau:

x

Đặt f(x) =

, ta có

y=

1
a)

2 x
f’(x) =

.

Lời giải

Theo công thức tính gần đúng, với x0 = 4,
-0,01 ta có f(3,99) =f(4 – 0,01)

3,99
0,01), tức là

+

≈

π
6

Dạng 2: Vi phân

Giải

1
4 2 4

nên ta xét hàm số

=

≈

f(4) +f’(4)(-

4 − 0,01 ≈

(-0,01)=1,9975

∆

x=

1
x2

y=
b)

x+2
x −1

y=
c)

tan x
x

.


dy = −
a)

dy = −

2
dx
x3

y = x 2 sin x
c)
b)

y = (1 − x 2 )cosx

3
dx
( x − 1)2

y = sin 5 xcos2 x =

c)

dy =

(

2 x − sin 2 x
4 x xcos 2 x

d)

) dx

1
( sin 7 x + sin 3x )
2

1
( 7 cos 7 x + 3cos 3x )
2
1
y '' = − ( 49sin 7 x + 9sin 3 x )
2
y′ =

a)

D. Bài tập TNKQ

b)

(Làm tổng hợp cuối)
Tiết 6
ĐẠO HÀM CẤP HAI

y=

x
1 1
1 
1  −1
−
= 
+
⇒ y'= 
+
2

x − 1 2  x + 1 x − 1
2  ( x + 1) ( x
2

 1
1 
y '' = 
+
3
3
 ( x + 1) ( x − 1) 

A. Kiến thức cơ bản

f ( n ) ( x ) = (f ( n ) (x)) '
•

( x n ) ' = n.x n −1

y ' = 2 x.sin x − x 2 .cos x

•

y '' = (2 − x 2 ) sin x + 4 x.cos x

B. Kỹ năng cơ bản

c)

Tính đạo hàm cấp hai của HS

y ' = −2 x.cos x + ( 1 − x 2 ) sin x

Tính đạo hàm cấp cao của HS luọng giác, phân
thức
Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc
biệt là về hàm lượng giác.
C. Bài tập vận dụng

y '' = ( x 2 − 3) cos x + 4 x sin x
d)

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng

Dạng 1: Tính đạo hàm cấp hai

a) y’ – y2 -1 = 0 với y = tanx.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số
sau:

b) y’ + 2y2 + 2 = 0 với y = cot2x.

y=
a) y = sin3xcos2x

b)

x
x −1
2

c) y’2 + 4y2 = 4 với y = sin2x.
Giải


y' =
a) Ta có

1
cos 2 x

Khi đó

1
sin 2 x
1 − sin 2 x − cos 2 x
y − y −1 =
−
−1 =
cos 2 x cos 2 x
cos 2 x
1 − ( sin 2 x + cos 2 x )
1−1
=
=
=0
2
cos x
cos 2 x
'

2

Vậy ta có điều cần chứng minh.

y' = −
b) Ta có

2
sin 2 2 x

Khi đó

−2 + 2 ( sin 2 2 x + cos 2 2 x )
2
2cos 2 2 x
y + 2y + 2 = − 2 +
+2=
=0
sin 2 x sin 2 2 x
sin 2 2 x
'

2

Vậy ta có điều cần chứng minh.
c) Ta có
y’ = 2cos2x
Khi đó

(y)

' 2

+ 4 y 2 = 4cos 2 2 x + 4sin 2 2 x = 4

Vậy ta có điều cần chứng minh.
D. Bài tập TNKQ
(Làm tổng hợp cuối)

D. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1.

(NB) Hàm số y = sinx có đạo

hàm là:
A. y = cosx
/

Câu 6.

(TH) Hàm số y =
đạo hàm là:

y/ =

B. y/ = – cosx

y/ =
/

C. y = – sinx

D.

Câu 2.

1

cos x

cot 2 x
B.

y/ =

− (1 + cot 2 2 x )
cot 2x

(NB) Hàm số y = tanx có đạo

A. y/ = cotx

B. y/ =

1
sin 2 x

Câu 3.

1
cos 2 x

y/ =

cot 2 x

C.

D.

y/ =
D. y/ = 1 – tan2x

1 + tan 2 2 x

− (1 + tan 2 2 x )
cot 2 x

Câu 7.

(VDT)

Cho

(NB)Hàm số y = cotx có đạo hàm

là:

A. y/ = – tanx

C. y/ = –

có

1 + cot 2 2 x

A.

hàm là:

C. y/ =

cot 2 x

1
sin 2 x

Câu 4.

B. y/ = –

Câu 5.

D. y/ = 1 + cot2x

1
2

C. y/
(1+ tanx)2 có

π
 
3
π
 
3

Câu 8.

B. y/

= –1

=–

1
2
(VDT)

π
 
3

D. y/
Cho

số

y

=

bằng:

π
 
3

π
 
3

=1

=

hàm

1
2
số

y = f ( x ) = 2 sin x
. Đạo hàm của
hàm số y là:

D. y/ = 1+tan2x

y = 2 cos x
/

A.

2

(TH) Hàm số y = sin x.cosx có
đạo hàm là:
A. y/ = sinx(2cos2x – 1)

B. y/ = sinx(3cos2x
+ 1)
C. y/ = sinx(cos2x + 1)
1)

cos3x.sin2x. Khi đó y/

A. y/

(TH) Hàm số y =
đạo hàm là:
/
A. y = 1+ tanx
B. y/ = (1+tanx)2
C. y/ = (1+tanx)(1+tanx)2

1
cos 2 x

hàm

D. y/ = sinx(cos2x –

y/ =

B.

1
x

cos x


y / = 2 x cos

A.

1
x

C.

y =

B.

D.

C.

1

/

x cos x

Câu 9.

D.

và

(VDC)Đạo hàm của hàm số
là:

Câu 11.

(VDT)

Cho

hai

hàm

số
và

A.
. Khi đó
B.
bằng
C.
A. 0

B. 2
C. 3

D.

Câu 12.

D. -1

(VDC) Cho hàm số
.

Câu 10.

(VDT)

Cho

các

hàm

số

,
,

Giá trị của x để

là:

A.
B.

. Hàm số

C.
nào có đạo hàm tại

bằng 2.
D.

(k

là

số

nguyên)

Câu 13.

(NB) Cho hàm số y = f(x) = (x –
1)2. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân
của hàm số f(x)?


B. dy = (x–1)2dx
D. dy = (x–1)dx

A. dy = 2(x – 1)dx
C. dy = 2(x–1)

Câu 14.

(TH) Một hàm số y = f(x) =

dy =

df ( x ) =
A.

− sin 4 x
2 1 + cos 2 2 x
− sin 4 x

df ( x ) =

1 + cos 2 2 x

B.

1 + cos 2 2 x

C.

df ( x ) =
D.

C.

dy = −

dx

2 1 + cos 2 x

2

dy = −

dy =

(TH) Cho hàm số y =
phân của hàm số là:

A.

C.

1
dy = − 4 dx
x

Câu 17.

dy =
B.

x 2 − 2x − 2
dx
( x − 1) 2

1
3x 3

2x + 1

dx
( x − 1) 2

C.

x 2 − 2x − 2
dy =
dx
( x − 1) 2
D.

. Vi

Câu 19.
y=

1
dx
x4

(VDC) Vi phân của hàm số

tan x
x
là:

dy = x 4 dx

2 x
4x x cos 2 x

dx

A.

D.

x+2
x −1

2x + 1
dx
( x − 1) 2

dy = −

dy =

(NB) Cho hàm số y =
phân của hàm số là:

.

B.

D. dy = (–3x2 +

Câu 16.

x2 + x +1

x −1

A.

dx

(NB) Cho hàm số y = x3 – 5x + 6.
Vi phân của hàm số là:
A. dy = (3x2 – 5)dx
B. dy = –(3x2 –
5)dx

1
dx
4

dx
( x − 1) 2

(TH) Cho hàm số y =
Vi phân của hàm số là:

Câu 15.

dy =

D.

dx

− sin 2 x

C. dy = (3x2 + 5)dx
5)dx

− 3dx
( x − 1) 2

dy =

dx

3dx
( x − 1) 2

B.

Câu 18.

cos 2 x

df ( x ) =

dy =

A.

1 + cos 2 2 x
. Chọn câu đúng:

dx
( x − 1) 2

dy =
B.
. Vi

sin(2 x )
4x x cos 2 x

dx


dy =

2 x − sin(2 x )
4 x x cos

2

x

Câu 24.

dx

π

cos 2 x − 
3



C.

dy = −

2 x − sin(2 x )
4 x x cos 2 x

(VDT)Xét hàm số y = f(x) =

dx

D.

Câu 20.

(VDT)Hàm số y = xsinx + cosx có
vi phân là:
A. dy = (xcosx – sinx)dx
B. dy = (xcosx)dx
C. dy = (cosx – sinx)dx
D. dy = (xsinx)dx

Câu 21.

(TH) Hàm số
hàm cấp hai là:

y // = −

x
x−2

Câu 25.

có đạo

y // =

1
( x − 2) 2

y // =

4
( x − 2) 2

B.

4
( x − 2) 2

C.

D.

Câu 22.

(NB) Hàm số y = (x2 + 1)3 có đạo

hàm cấp ba là:
///
A. y = 12(x2 + 1)
B. y/// = 24(x2 + 1)
C. y/// = 24(5x2 + 3)
1)

D. y/// = –12(x2 +

Câu 23.

(NB) Đạo hàm cấp 2 của hàm số
y = tanx bằng:

y // = −
A.

y // = −
C.

2 sin x
cos 3 x
1
cos 2 x

A. x =

π
2

C. x = 0 và x =

y=

A. y// = 0

có nghiệm x

y // =

1
cos 2 x

y // =

2 sin x
cos 3 x

B.

D.

. Phương trình f(4)(x) = –8

 π
∈ 0; 
 2

là:

B. x = 0 và x =

π
3

D. x = 0 và x =

π
6
π
2

(VDC) Cho hàm số y = sin2x. Hãy
chọn câu đúng:
A. 4y – y// = 0
B. 4y + y// = 0
/
C. y = y tan2x
D. y2 = (y/)2 = 4


2) Ứng dụng đạo hàm vào giải các bài toán có
nội dung vật lý

BUỔI 3:
Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số

y = f (x)

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

y = f (x)

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo

x0 ∈ ( a;b)
hàm tại điểm
hàm số đó.

. Gọi (C) là đồ thị của

Dạng 1: Cho hàm số

có đồ thị (C),

x0 ; y 0
viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(
 Phương pháp giải:

x0 ; y 0

Định lí: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0
là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm
M0(x0;f(x0)).

Bước1: Xác định tọa độ

f ' ( x)
Bước 2: Tính đạo hàm của

*Phương trình tiếp tuyến

x0
tại

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)) là:

Bước 3: Viết phương trình tiếp

y - y0 = f'(x0)(x - x0) trong đó y0 = f(x0).

x0 ; y 0
tuyến tại điểm M(

2)Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

), có dạng:

y − y 0 = f ' ( x0 )( x − x 0 )

a) Vận tốc tức thời: v(t0) = s'(t0)
b) Cường độ tức thời: I(t0) = Q'(t0)

y=

B. KĨ NĂNG CƠ BẢN

1 3
x + x2 + 2
3

Bài tập 1: Cho hàm số
có đồ
thị (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C):

1) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số

y = f (x)

a) Tại điểm (1 ; -1).
b) Tại điểm có hoành độ bằng -3.
Lời giải:

y = f (x)
Dạng 1: Cho hàm số

)

có đồ thị (C),

x0 ; y 0
viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(

y = f (x)
Dạng 2: Cho hàm số

có đồ thị (C),
viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.

x0 = 1

)
Tại điểm (1;-1). Ta có

y 0 = −1
và

f ( x) = x + 2 x ⇒ f (1) = 3
'

2

'

x
Gọi


Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm

f ' ( x) = x 2 − x
Ta có

(1 ; -1), có dạng

x0

y − y 0 = f ' ( x 0 )( x − x 0 )

Gọi

⇔ y + 1 = 3( x − 1)

là hoành độ tiếp điểm

f ' ( x0 ) = 2 ⇔ x02 − x0 = 2 ⇔ x02 − x0 − 2 = 0

⇔ y = 3x − 4

x =2
⇔ 0
 x0 = −1
y = f (x)

x0 = 2 ⇒ y 0 =

Dạng 2: Cho hàm số
có đồ thị (C), viết
phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.

* Với

5
3

x0

* Với

⇒ f ' (2) = 2

 Phương pháp giải:

x0
Bước 1:Gọi

là hoành độ tiếp điểm,

f ' ( x0 ) = k

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm

khi đó ta có

f ' ( x0 ) = k
Bước 2: Giải

để tìm

⇔ y−
), có dạng:

sau

vào hàm số

⇔ y=

y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 )

y = f (x)

x0
đó thế

(2 ;

x0

5
3

y − y0

5
= 2( x − 2)
3
7
⇔ y = 2x −
3
⇔ y−

để tìm

y0

điểm (-1

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của
(C), có dạng :

y − y 0 = f ' ( x 0 )( x − x 0 )

y=

1 3 1 2
x − x +1
3
2

Bài tập 2: Cho hàm số
có đồ
thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
bằng 2.
Lời giải:
Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại hệ số góc tiếp tuyến bằ

y = 2x −

7
3

y = 2x +
;

13
6


∆ : Ax + By + C = 0
Chú ý: Cho đường thẳng
đó:

− Nếu
góc k = a.

− Nếu

góc

1
k =−
a

, khi

d //∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b

a) Vì phương trình tiếp tuyến song song

y = −3 x + 1

⇒ hệ số

d ⊥ ∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b

với đường thẳng
hệ số góc là -3
Do đó

f ′ ( x ) = 3 x 2 − 10 x = −3 ⇔ 3x 2 − 10 x + 3 = 0
⇒ hệ số

.

1

x=
⇔
3

x = 3

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành
góc

α

α

khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan

sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải
phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp
tuyến tương ứng.

*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax +b một
góc

α

khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả

k −a
= tan α
1 + ka
mãn
hoặc chúng ta dùng tích
vô hướng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số
góc k sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách
giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình
tiếp tuyến tương ứng.
Bài tập 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số

y = x3 − 5x 2 + 2
. Viết pt tiếp tuyến của (C) sao
cho tiếp tuyến đó

x=
Với

1
3

a) Song song với đường thẳng

y=

1
x−4
7

y0 =
thì

y = −3x +

40
27

Vậy pt tt là:

67
40

y0 = −16
Với x=3thì

y = −3 x − 7
Vậy pt ttlà:

b) Gọi k là hệ số góc của pt tt .
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường

1
x−4

7

y=
thẳng

khi

1
k . = −1 ⇒ k = −7
7

Với k=-7 ta có

f ′ ( x ) = 3 x 2 − 10 x = −7 ⇔ 3x 2 − 10 x + 7 = 0
x = 1
⇔
x = 7
3


y = −3 x + 1

b) Vuông góc với đường thẳng
Lời giải

nên nó có

y0 = − 2
Với x=1thì

x=
Với

7
3

y = −7 x + 5
Vậy pt ttlà:

y0 = −
thì

338
27

Vậy pt ttlà: