NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1: [2H1-1-4] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình thoi cạnh a , BAD  60 và SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD 
. Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  bằng 45 . Gọi M là điểm đối xứng
của C qua B và N là trung điểm của SC . Mặt phẳng  MND  chia khối chóp

S.ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1 ,
khối đa diện còn lại có thể tích V2 (tham khảo hình vẽ bên).

Tính tỉ số

A.

V1
.
V2

V1 12
 .
V2 7

B.

V1 5
 .
V2 3

C.

V1 1
 .

V2 5

D.

V1 7
 .
V2 5

Lời giải
Chọn D
Goi O  AC  BD .
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  bằng 45  SOA  45 .
BAD đều  AO 

a 3
a 3 2 a 6
.
 SA  AO.tan 45 
.

2
2
2
4

1
2 a 6 a 2 3 a3 2
Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: V  SA.2 S ABD  .
.
.


3
3 4
4
8

Thể tích khối chóp N.MCD bằng thể tích khối chóp N.ABCD bằng:

1
a3 2
.
V  V 
2
16

1 1
1 a 6 a 2 3 a3 2
Thể tích khối chóp KMIB bằng: V   . SA.S  MBI  .
.
.

3 3
9 4
8
96


Khi

V1  V  V2 

Vậy

V2  V   V  

đó:

a3 2 a3 2 5 2a3
;


16
96
96

a3 2 5 2a3 7a3 2
.


8
96
96

V1 7
 .
V2 5

Câu 2: [2H1-1-4] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho khối
hộp chữ nhật ABCD.ABCD có thể tích bằng 2110 . Biết AM  MA ; DN  3ND
; CP  2PC . Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể
tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A.

7385
.
18

B.

5275
.
12

C.

8440
.
9

D.

5275
.
6

Lời giải
Chọn D

Ta có:

VMNPQ. ABCD
VABCD. ABCD

1  AM CP  1  1 1  5
 

    .
2  AA CC  2  2 3  12

5
5
5275
VABCD . ABC D   2110 
. [2H1-1-4] (Chuyên
Hùng
12
12
6
Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hình thập nhị diện đều (tham khảo hình vẽ
bên). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng có chung một cạnh của thập nhị diện đều
bằng

Câu 3: Vnho  VMNPQ. ABC D 


A.

5 1
.
2

B.

5 1
.
4

C.

1
.
5

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn C

Bước 1: Lập mối quan hệ giữa bán kính mặt cầu và cạnh khối 12 mặt đều:
Gọi O là tâm khối 12 mặt đều, xét 3 mặt phẳng chung đỉnh A là ABEFC , ACGHD, ABJID
.
Khi đó A.BCD là chóp tam giác đều và OA vuông góc với  BCD  .
 3  1  5
a.
Ta có BC  CD  DB  a 2  a 2  2a 2 cos   
2

 5 

AH  AB 2 

BC 2
5 1

a.
3
2 3

AB 2
a 3
.

2 AH
5 1
Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm một mặt đến cạnh của nó:
Ta có AH .AO  AB.AM  R  AO 


A

a

M

B

T

C

E

F

3
a
. AM  .
10
2
3
Suy ra MT  AM .tan
.
10
Bước 3: Tính góc:
Gọi tâm của các mặt ABEFC và ABJID là T , V .
Có OT , OV vuông góc với hai mặt này nên góc giữa hai mặt bằng góc giữa OT và OV .
Lại có O, T , M , V cùng thuộc một mặt phẳng (trung trực của AB ).

Ta có BAT 

O

V

T

M

Có OT  TM và OV  VM .





2
5 1 a
 a 3  a2
3

; MT  AM .tan
.
OM  OA  AM  
 
10
4
2 5 1
 5 1 
2

Suy ra sin TOM 

2

TM

OM







5  1 tan 54





5 1

Vậy cos TOV  1  2sin 2 TOM 

.

5 1 1
.

5 5
5

