Lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn – lư sĩ pháp

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

TOAÙN 11

GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC



LỜI NÓI ĐẦU

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
NỘI DUNG
1. Tóm tắt lý thuyết cần nắm ở mỗi bài học
2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện
3. Phần bài tập trắc nghiệm đủ dạng và có đáp án.

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập
hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899
Email:
Chân thành cảm ơn.

Lư Sĩ Pháp
GV_ Trường THPT Tuy Phong


MỤC LỤC
PHẦN I. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

01 - 14

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

15 – 31

§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

32 – 40

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

41 – 49
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

50 – 54

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

55 – 59

HÀM SỐ LIÊN TỤC

60 – 62

ÔN TẬP CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

63 – 72

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

73 – 74


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
PHẦN I. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CẤN NẮM
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
lim un = 0 khi và chỉ khi un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở
n →+∞

đi.
lim vn = a ⇔ lim (vn − a) = 0
n →+∞

n →+∞

( )

Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số un có giới hạn 0
2. Giới hạn vô cực
lim un = +∞ khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó
n →+∞

trở đi. Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞
Dãy số ( un ) được gọi là có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu lim(−un ) = +∞
Nhận xét: lim un = +∞ ⇔ lim (−un ) = −∞ ; lim un = −∞ ⇔ lim (−un ) = +∞
n →+∞

n →+∞

n →+∞

n →+∞

Lưu ý: Thay cho viết lim un = L , lim un = ±∞ , ta viết lim un = a, lim un = ±∞
n →+∞

n →+∞

3. Các giới hạn đặc biệt
1
1
a)
lim = 0 ;

lim k = 0 ;
n
n
n
b)
lim q = 0 , nếu q < 1 ;
c)

lim c = c ;

lim

lim nk = +∞ , với k nguyên dương.
lim qn = +∞ nếu q > 1

c
= 0,
nk

lim(c un) = climun, với c là hằng số, k ∈ ℕ*

n
= 0 nếu q > 1
qn
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1. Nếu lim un = L và lim vn = M , thì:

d)

lim

lim(un + vn ) = lim un + lim vn = L + M
lim(un − vn ) = lim un − lim vn = L − M
lim un .vn = lim un .lim vn = L .M
lim(c.un ) = c.L ( với c là hằng số)

lim

un L
=
(nếu M ≠ 0 )
vn M

Định lí 2. Giả sử lim un = L
Nếu un ≥ 0 với mọi n thì L ≥ 0 và lim un = L
lim un = L và lim 3 un = 3 L

Nếu lim un = +∞ thì lim

1
=0
un

5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
BT. ĐS> 11

1

Chương IV. Giới hạn

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

a) Quy tắc 1. Nếu lim un = ±∞ và lim vn = ±∞ thì lim ( un vn ) được cho trong bảng:
lim un

lim ( un vn )

lim vn

+∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
+∞
−∞
−∞
−∞
+∞
b) Quy tắc 2. Nếu lim un = ±∞ và lim vn = L ≠ 0 thì lim ( un vn ) được cho trong bảng:
lim un

Dấu của L

lim ( un vn )

+∞
+∞
−∞
−∞

+
−
+
−

+∞
−∞
−∞
+∞

u 
c) Quy tắc 3. . Nếu lim un = L ≠ 0 và lim vn = 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 thì lim  n  được cho trong
 vn 
bảng:
Dấu của L
Dấu của vn
u 
lim  n 
 vn 

+
+∞
−
−∞

+
−∞
−
+∞
u
Chú ý . Nếu lim un = L > 0, lim vn = ±∞ thì lim n = 0
vn
6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q < 1
+
+
−
−

Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un)
u
u
S = u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = 1 ; q < 1 hay S = u1 + u1q + u1q2 + ... + u1qn −1 + ... = 1 ; q < 1
1− q
1− q
7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số
Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) và số thực L. Nếu un ≤ vn ≤ wn với mọi n và lim un = lim wn = L thì dãy
số (vn) có giới hạn và lim vn = L.
8. Lưu ý
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
c) Nếu limun = a thì limun + 1 = a
n

 1

d) Số e: e = lim  1 + 
n →+∞
 n
9. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số
- Vận dụng nội dung định nghĩa
- Tìm giới hạn của một dãy số ta thường đưa về các giới hạn dạng đặc biệt và áp dụng các định lí về
giới hạn hoặc các định lí về giới hạn vô cực:
+ Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa các lũy thừa của n, thì chia tử và mẫu
cho nk, với k là số mũ cao nhất.
+ Nếu biểu thức có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức
liên hợp.
10. Phương pháp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

BT. ĐS> 11

2

Chương IV. Giới hạn


Toán 11
-

GV. Lư Sĩ Pháp

Nhận dạng xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn không. Sau đó áp dụng công thức
tính tổng đã biết.
Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm công bội
và số hạng đầu
Cách viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số đã cho dưới

dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này.

B. BÀI TẬP
n +1
với mọi n. Chứng minh rằng lim un = 0.
n2
HD Giải
1 1
+ 2
n +1
n +1
n
n = 0 . Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy
Đặt vn = 2 . Ta có lim vn = lim 2 = lim
n
1
n
n
ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác, theo giả thiết ta có un ≤ vn ≤ vn (2)

Bài 1.1. Biết dãy số (un) thỏa mãn un ≤

Từ (1) và (2) suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là
lim un = 0.
Bài 1.2. Bằng định nghĩa tính giới hạn lim

3n + 1 − sin

π

n

3
HD Giải

π
π
n
3n + 1 − sin
sin

n = lim  1 +  1  −
n 
Ta có lim
 
3n
3n 
  3 



sin

n

π

n

n ≤ 1 = 1 và lim 1 = lim  1  = 0 nên 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé

 
n
3
3n 3n
3n
3n
3

Mặt khác, ta lại có

tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
sin

Từ đó suy ra

3

π

n

π

n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.


π
n
sin 




1
n = lim  1 +
n
Nghĩa là lim n n = 0 . Vậy lim
  − n  =1
n
3
3
3 
  3 



Bài 1.3. Cho biết dãy số (un) thỏa mãn un > n2 với mọi n. Chứng minh rằng lim un = +∞

sin

3n + 1 − sin

π

HD Giải
Vì lim n = +∞ (giới hạn đặt biệt), nên n có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào
đó trở đi.
Mặt khác, theo giả thiết un > n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng
nào đó trở đi.
Vậy lim un = +∞
2

BT. ĐS> 11

2

3

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 1.4. Biết dãy số (un) thỏa mãn un − 1 <

Ta có lim

1
với mọi n. Chứng minh rằng lim un = 1
n3
HD Giải

1
1
= 0 nên 3 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi . Mặt
3
n
n

khác, ta có un − 1 <

1
1
= 3 với mọi n
3
n
n

Từ đó suy ra un − 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩ là lim(un
– 1) = 0. Do đó limun = 1
Bài 1.5. Cho dãy số (un) xác định bởi un =

2n + 1
n+2

1
100
b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy số (un) đều nằm trong khoảng (1,998;
2,001)
HD Giải
2n + 1
−3
3
1
3
1
a) Ta có un − 2 =
−2 =
=

. Khi đó un − 2 <
⇔
<
⇔ n > 298
100
n+2
n+2 n+2
n + 2 100

a) Tìm số n sao cho un − 2 <

3
3
<
n + 2 2009
3
3
3
⇔ un − 2 <
⇔ 2−
< un < 2 +
⇔ 1,998 < un < 2, 001
2009
2009
2009
Bài 1.6. Tính các giới hạn sau
6n − 1
4n2 − n − 1
3n 2 + n − 5
2n3 − 2n + 3

a) lim
b) lim
c)
lim
d)
lim
3n + 2
3 + 2n 2
2n 2 + 1
1 − 4 n3
HD Giải

1
1 1
1
n6 − 
4− − 2
6
−
2
n
6n − 1
4n − n − 1
n n =2
n =2
a) lim
= lim 
= lim
b) lim
= lim

2
2
3
3n + 2

2
3 + 2n
3+
+2
n3+ 
n
n2
n


b) Khi n > 2007 ⇔ n + 2 > 2009 ⇔

3n2 + n − 5 3
c) lim
=
2
2n 2 + 1

2n3 − 2n + 3
d) lim
= lim
1 − 4n3

Bài 1.7. Tính các giới hạn sau:
 n + 1 cos n 

3n + 5.4 n
(−2)n + 3n
a) lim n
b) lim
c) lim 
+ n 
n
n +1
n +1
4 +2
(−2) + 3
3 
 n
HD Giải
n
 3 

n
3
4 n    + 5
  +5
 4 

3n + 5.4 n


4
a) lim n
= lim
=

lim
=5
n
n
  2 n 
4 +2


1
1+  
4n  1 +   
 4 
2


BT. ĐS> 11

4

2 3
+
n 2 n3 = − 1
1
2
−4
3
n

2−


(−1)n 
d) lim  3 + n 
2 


Chương IV. Giới hạn


Toán 11
b) lim

GV. Lư Sĩ Pháp

(−2)n + 3n
1
=
n +1
n +1
3
(−2) + 3

 n + 1 cos n 
n +1
cos n
c) lim 
+ n  = lim
+ lim n = 1
n
3 

3
 n
n


 1
(−1)n 
d) lim  3 + n  = lim 3 + lim  −  = 3
2 
 2

Bài 1.8. Tính các giới hạn
3n2 + 1 + n
1 − 2n 2

a) lim

b) lim

(n + 1)(3 − 2n)2
9n 2 − n + 1
c)
lim
4n − 2
n3 + 1
HD Giải

d) lim

4n 2 + 1 + n

2n + 1

1
1
1 1
+n
3+ 2 +
2
n
n
n
n
= lim
=0
2
1
1 − 2n
−2
n2
8 3 9
4− − 2 + 3
(n + 1)(3 − 2n)2
4n3 − 8n2 − 3n + 9
n n n =4
b) lim
= lim
= lim
3
3
1

n +1
n +1
1+ 3
n
3n2 + 1 + n
a) lim
= lim
1 − 2n 2

n 3+

1
1
+ 2
9n − n + 1
3
9n 9n
c) lim
= lim
=
4n − 2
4n − 2
4
1
4 + 2 +1
2
4n + 1 + n
3
n
d) lim

= lim
=
1
2n + 1
2
2+
n
Bài 1.9. Tính các giới hạn sau
3n 1 −

2

(
c) lim (
a) lim

a) lim

(

= lim

b) lim

(

)
n + n +1 − n )

n 2 + n − n2 − 1

4

n2 + n −

2

2

n 2 + n + n2 − 1

= lim

(
n − n − n ) = lim
2

BT. ĐS> 11


n



(

d) lim n

2

(

n − 1 ) = lim

n +1

b) lim

n2 − n − n

(

n2 − 1 − n 2 + 2

HD Giải

n + n − n −1
2

2

)(

)

n2 + n + n2 − 1

)

)

n2 + n + n2 − 1

 1
n 1 + 
1
 n
=
1
1  2
1+ + 1− 2 
n
n 

n2 − n − n

)(

n2 − n + n

n2 − n + n

) = lim

5

−n



1
n  1 − + 1



n



=−

1
2

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

c) lim

GV. Lư Sĩ Pháp

)

(

n + n +1− n
4

n 4 + n 2 + 1 − n 2 = lim

d ) lim n

(

)

2

= lim

n

(

2

(


n



Bài 1.10. Tính các giới hạn sau:
a) lim

4

n + n +1 + n
4

n − 1 − n + 2 = lim

2

2

n2 + n + 2 − n + 1

2

a) +∞

)

1
3n + 2 − 2n + 1
1
n 2 + 2n − n

HD Giải
1
c)
3

n2 + 3n − n + 2

(

)

d) lim

2
+1
n
=1
2

1+

n 2 + 2n + n
d) lim
= lim 2
= lim
n + 2n − n 2
n 2 + 2n − n
Bài 1.11. Tính các giới hạn sau

c) lim n

)(

b) lim

1

(

n 2 − 1 + n2 + 2

1 1
+

+1
n2 n 4

n2 − 1 + n2 + 2
−3n
3
=−
2
1
2 
1− 2 + 1+ 2 
n
n 

b) 0

a) lim

1
2

1+

n2 − 1 − n2 + 2

1
n2

=

= lim

n2 + 1 − n + 1
3n + 2

c) lim

1+

n −1 − n

)

b) lim

)

(

3

)(

(

)

4n 2 + 1 − 2n + 1

d) lim

HD Giải

n 3 − 2n 2 − n

n2 + 2n − n

)

 n2 + 3n − n

n2 + 3n + n


a) lim n 2 + 3n − n + 2 = lim 
+ 2
n 2 + 3n + n















3n
3
7

= lim 
+ 2  = lim
+ 2 =

 2
3
 n  1 + 3 + 1

1+ +1




 

n
n 


 

2


3 3
n − 2n 2 − n  3 n3 − 2n 2 + n 3 n3 − 2n 2 + n 2 



b) lim 3 n3 − 2n2 − n = lim
2
3
n3 − 2n 2 + n 3 n3 − 2n 2 + n 2

)

(

)

(

= lim

)

(

(

−2 n 2
3

n 6 − 4n 5 + 4n 2 + n 3 n3 − 2n 2 + n 2

BT. ĐS> 11

(

)

)

−2

= lim
3

1−

6

4 4 3
2
+ 4 + 1− +1
n n
n

=−

2
3

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

c) lim n

(

4n 2 + 1 − 2n + 1

d ) lim

n (n −1− n)

)

n − 1 − n = lim

n 2 + 2n − n

n −1 + n

(
= lim

4n2 + 1 − (2n − 1)

(

n

= − lim

n 2 + 2n − n

)(



1
n  1 − + 1


n



)(

=−

4n2 + 1 + (2n − 1)

n 2 + 2n + n

)(

1
2

)(

n2 + 2n + n

4n 2 + 1 − (2n − 1)

)

)



2
2  1 + + 1
4n n + 2n + n

n 
4

= lim
= lim
= =1
1 
1 4
2n 4n2 + 1 + (2n − 1)
4+ 2 +2− 
n
n 

(

(

)

2

)

Bài 1.12. Tính các giới hạn sau:

d)

)

b) lim 2.3n − 5.4 n

c) lim

d) lim 2.3n − n + 2

a) +∞ ;
c) lim

(

a) lim 3n 4 − 10n + 12

(

n2 − n + n

)

HD Giải

b) −∞


1
n 2 − n + n = lim n  1 − + 1  = +∞


n



)

(

2.3n − n + 2 =

lim 2 −

( )
3

n

2−

n
2
n 2
+ n với mọi n. Vì lim n = 0; lim n = 0 nên
n
3 3
3
3

n 2
+
= 2 > 0 . Ngoài ra lim
3n 3n

( )
3

n

= +∞

Do đó lim 2.3n − n + 2 = +∞
Bài 1.13. Tính các giới hạn sau:

2 
a) lim  n2 −

n +1


b) lim(− n2 + n n + 1)

 1
2
3
n −1 
d) lim  2
+ 2
+ 2
+ ... + 2

n +1
 n +1 n +1 n +1
HD Giải
1 2
1+ − 2
 2
2 
n3 + n 2 − 2
n n = +∞
a) lim  n −
= lim
 = lim
1 1
n +1
n +1

+
n 2 n3


1 1 
b) lim(− n2 + n n + 1) = lim(−n 2 )  1 −
+  = −∞

n n2 

c) lim

n 1 + 2 + 3 + ... + n
n2 + n + 1

n(n + 1)
n 1 + 2 + 3 + ... + n
= lim 2 2
= lim
c) lim
2
n + n +1
n + n +1

1+

n

BT. ĐS> 11

1
n

 1 1 
2 1 + + 2 
 n n 

7

=

2
2

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

 1
2
3
n −1 
1 + 2 + 3 + ... + (n − 1)
n(n − 1) 1
d) lim  2
+ 2
+ 2
+ ... + 2
= lim 2
=

 = lim
2
n +1
n +1
2n + 2 2
 n +1 n +1 n +1
Bài 1.14. Tìm các giới hạn sau
2 n +1 − 3.5n + 3
2 n +1 − 3n + 11
a) lim 3.2 n − 5n +1 + 10
b) lim
c)
lim
3.2 n + 7.4 n
3n + 2 + 2 n + 3 − 4

(

)

3n + 2n +1
f) lim 3.4 n − n + 2
n +1
5+3
HD Giải
n
 2
1
a) lim 3.2 n − 5n +1 + 10 = lim 5n  3.   − 5 + 10. n 
  5

5 


n
 2
1
Ta có lim 5n = +∞ , lim  3.   − 5 + 10. n  = −5 < 0 . Do vậy lim 3.2 n − 5n +1 + 10 = −∞
 5
5 


d) lim

13.3n − 5n
3.2n + 5.4 n

(

e) lim

)

(

)

n

2
3

2.   − 3 + n
n +1
n
2 − 3.5 + 3
5
5
b) lim
= lim
n
n
n
n
3.2 + 7.4
2
4
3.   + 7.2.  
 5
 5
n
n
n
  2 n
  2 n
4 
2
4
3
Ta có lim  2.   − 3 + n  = −3 < 0 ; lim 3.   + 7.2.    = 0 và 3.   + 7.2.   > 0, ∀n
 5
5 

  5 
 5  
 5
5


2 n +1 − 3.5n + 3
Vậy lim
= −∞
3.2 n + 7.4 n
2 n +1 − 3n + 11
1
c) Chia tử và mẫu cho 3n, ta được lim n + 2
=−
n +3
9
3 +2 −4
n
13.3n − 5n 0
n
d) Chia tử và mẫu cho 4 , và lưu ý lim n = 0 nếu q < 1 . Vậy lim
= =0
q
3.2n + 5.4 n 5

3n + 2 n +1
3n + 2 n +1 1
n
e) Xét un =
, chia tử và mẫu cho 3 , khi đó lim

=
5 + 3n +1
5 + 3n +1 3

Vậy lim

3n + 2n +1
3
=
n +1
3
5+3


n 2 
f) lim 3.4 n − n + 2 = lim 2 n  3 − n + n 

4 4 


Ta có lim 2 n = +∞ , lim 3 −

n 2
+ n = 3 > 0 . Do vậy lim 3.4 n − n + 2 = +∞
n
4 4

Bài 1.15. Tính các giới hạn
 1
1

1
1 
a) lim 
+
+
+ ... +

n(n + 1) 
 1.2 2.3 3.4

 1

1
1
1
b) lim 
+
+
+ ... +

(2n − 1)(2n + 1) 
 1.3 3.5 5.7
 1
2.12 + 3.2 2 + ... + (n + 1)n2
1
1 
c) lim
d)
lim
+

+
...
+


 3
n4
n3 + 2
n3 + n 
 n +1
HD Giải
 1

1
1
1 
n
1 
a) lim 
+
+
+ ... +
= lim  1 −
 = lim
 =1
n(n + 1) 
n +1
 1.2 2.3 3.4
 n +1

BT. ĐS> 11

8

Chương IV. Giới hạn


Toán 11
b) Ta có

GV. Lư Sĩ Pháp
1
1
1
1
1 1 1 1
1
1  1
1 
+
+
+ ... +
= 1 − + − + ... +
−
= 1 −

1.3 3.5 5.7
(2n − 1)(2n + 1) 2  3 3 5
2n − 1 2n + 1  2  2n + 1 

 1
 1
1
1
1
Nên lim 
+
+
+ ... +
=
(2n − 1)(2n + 1)  2
 1.3 3.5 5.7
2.12 + 3.22 + ... + (n + 1)n2
13 + 23 + 33 + ... + n3 + 12 + 22 + 32 + ...n 2
c) lim
=
lim
n4
n4
2

2

 n(n + 1)  n(n + 1)(2 n + 1)
 1
2 3 1
1+ 
+ 2+ 3

 2  +

6
n



n
n n =1
= lim
= lim
+
4
4
6
4
n
1
1
d) Vì
≤
với mọi k ∈ ℕ*
3
3
n +k
n +1
1
1
1
n
1
+

+ ... +
≤
<
Do đó 0 <
3
3
3
3
n
n +1
n +2
n +n
n +1
 1
1
1
1 
Mà lim
= 0 nên suy ra lim 
+
+ ... +
 = 0
 3
3
3
n
n
+
1
n

+
2
n
+
n


Bài 1.16. Tìm các giới hạn của dãy số (un) sau, biết
1
1
1
1
1
1
a) un =
+
+ ... +
b) un =
+
+ ... +
2
2
2
1
2
n
n +1
n +2
n +n
1

1
1
3sin n + 4 cos n
c) un =
+
+ ... +
d) un =
n +1
n+ 1 n+ 2
n+ n

HD Giải
1
1
1
1
1
1
a) Ta có
+
+ ... +
≤ un ≤
+
+ ... +
, ∀n ∈ ℕ*
2
2
2
2
2

2
n +n
n +n
n +n
n +1
n +1
n +1
n
n
n
n
Do đó:
≤ un ≤
. Mà lim
= 1 = lim
n2 + n
n2 + 1
n2 + n
n2 + 1
 1
1
1 
Vậy lim un = lim 
+
+ ... +
 = 1
 2
n2 + 2
n2 + n 
 n +1

1
1
1
n
b) Ta có un ≥
+
+ ... +
=
= n , ∀n ∈ ℕ*
n
n
n
n
 1
1
1 
Mà lim n = +∞ . Vậy lim un = lim 
+
+ ... +
 = +∞
1
2
n


1
1
1
1
1

1
c) Ta có
+
+ ... +
≤ un ≤
+
+ ... +
, ∀n ∈ ℕ*
n+ n n+ n
n+ n
n+ 1 n+ 1
n+ 1
n
n
n
n
Do đó
≤ un ≤
. Mà lim
= 1 = lim
n +1
n +1
n+ n
n+ n

 1
1
1 
Vậy lim un = lim 
+

+ ... +
 =1
n+ n 
n+ 1 n+ 2
5
3sin n + 4 cos n
5
d) Ta có
≤
, ∀n ∈ ℕ* . Mà lim
= 0.
n +1
n +1
n +1
Vậy lim un = lim

BT. ĐS> 11

3sin n + 4 cos n
=0
n +1

9

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 1.17. Tính tổng S = 2 − 2 + 1 −

1
2

+

1
− ...
2

HD Giải
Dãy số vô hạn 2, − 2,1, −
Vì q = −

1
2

=

1
2

1 1
2
1
, ,... là một cấp số nhân với công bội q = −
=−
2

2 2
2

< 1 nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Do đó S = 2 − 2 + 1 −

1
2

+

1
− ... =
2

Bài 1.18. Tính tổng S = −1 +

2
1+

=

1
2

2 2
2 +1

1

1
(−1)n
− 2 + ... + n −1 + ...
10 10
10
HD Giải

1
1
(−1)n
1
, − 2 ,..., n −1 ,... là một cấp số nhân với công bội q = −
10 10
10
10
1
1
Vì q = −
=
< 1 nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn.
10 10

Dãy số −1,

Do đó S = −1 +

1
1
(−1)n
− 2 + ... + n −1 + ... =

10 10
10

Bài 1.19. Tìm tổng cấp số nhân

−1
10
=−
11
 1 
1−  − 
 10 

1 1 1
1
, 2 , 3 ,..., n ,...
2 2 2
2
HD Giải

1 1 1
1
1
1
, 2 , 3 ,..., n ,... là một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = , q =
2 2 2
2
2
2
1

1 1 1
1
Do đó S = + 2 + 3 + ... + n + ... = 2 = 1
1
2 2 2
2
1−
2
Bài 1.20. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777…dưới dạng một phân số.
HD Giải
7
7
7
Ta có 0, 777... = + 2 + 3 + ...
10 10 10
7
1
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = , q =
10
10
7
7
7
7
7
Do đo 0,777... = + 2 + 3 + ... = 10 =
7 9
10 10 10
1−
10

Bài 1.21. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số.
HD Giải

Dãy số

2

31 31 1
31  1 
31
0,313131... =
+
.
+
.
.
 + ... =
100 100 100 100  100 
100

1

=

31
99

1
100
Bài 1.22. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202… (chu kì là 02), b = 2,131313 …(chu kì 13)

BT. ĐS> 11

10

1−

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

và c = 2,131131131…( chu kì 131). Hãy viết a, b, c dưới dạng một phân số.
HD Giải
2
2
2
2
2 101
Ta có a = 1,020202... = 1 +
+
+ ... +
+ ... = 1 + 100 = 1 +
=
2
n
1
100 100
99 99

100
1−
100
2
2
2
1
(vì
,
,...
,... là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q =
)
2
n
100 100
100
100
13
13
13
13
13 211
Ta có b = 2,131313... = 2 +
+
+ ... +
+ ... = 2 + 100 = 2 +
=
2
n
1

100 100
99 99
100
1−
100
131
131
131
131
131 2129
Ta có c = 2,131131131... = 2 +
+
+ ... +
+ ... = 2 + 1000 = 2 +
=
2
n
1
1000 1000
999 999
1000
1−
1000
Bài 1.23.
5
39
a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là
.
3
25

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
2
b) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q =
3
HD Giải
a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có
 u1
5
=
(1)

1 − q 3

3
39
 u1 1 − q
 1 − q = 25 (2)


(

Thay (1) vào (2), ta được

)

5
39
2
1 − q3 =
⇔ q = thay vào (1), ta được u1 = 1

3
25
5

(

)

n −1

2
b) un =  
3
Bài 1.24. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là
3
12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là
và số hạng đầu là một số dương.
4
HD Giải
Gọi u1 là số hạng đầu, q là công bội và S là tổng của cấp số nhân đã cho.
 u1
= 12
(1)

1 − q

u
3
Khi đó S = 1 . Theo giả thiết, ta có
(2) .

u1 (1 − q ) =
1− q
4

u1 > 0


2
3
3
u = 9
⇔ u1 = 3 ⇒ q = . Vậy u1 = 3; q =
Nhân (1) với (2), ta có  1
4
4
u1 > 0

BT. ĐS> 11

11

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 1.25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là

12
và
5

tổng cấp số nhân này là 15.
HD Giải
Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có

12


4
1
u1q = 5
q =

q =
⇔
5
5 hoặc 

 u1 = 15 u = 12
u = 3
 1
 1
1 − q
Bài 1.26.
a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là

155

.
16

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
1
b) Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + ... + n −3 + ...
3
HD Giải
a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có
 u1
= 10
(1)

1
−
q


5
155
 u1 1 − q
(2)
 1 − q = 16


(

)

155

1
⇔ q = thay vào (1), ta được u1 = 5
16
2
1
1
b) Vì 9,3,1,..., n −3 ,... là cấp số nhân lùi vô hạn, có q = và u1 = 9 nên :
3
3
1
9
27
S = 9 + 3 + 1 + ... + n −3 + ... =
=
1 2
3
1−
3
1
7
Bài 1.27. Giải phương trình + x + x 2 + ... + x n + ... = , trong đó x < 1 .
x
2
HD Giải
u
x
Vì x < 1 , nên với u1 = 1, q = x . Ta có S = 1 = x + x 2 + ... + x n + ... =
1− q
1− x


1
x=
2

1
1
1
x
7
x − x +1 7
3
Do đó: + x + x 2 + ... + x n + ... = + S ⇔ +
= ⇔
= ⇒
x
x
x 1− x 2
x (1 − x ) 2
x = 2

3
u = 2
Bài 1.28. Cho dãy số (un) xác định bởi  1
. Biết (un) có giới hạn khi n → +∞ , hãy tìm
un +1 = 2 + un ; n ≥ 1
giới hạn đó.
HD Giải
 a = −1
Đặt limun = a. Ta có un +1 = 2 + un ⇒ lim un+1 = lim 2 + un ⇒ a = 2 + a ⇒ a2 − a − 2 = 0 ⇒ 
a = 2

Vì un > 0 nên lim un = a ≥ 0 . Vậy limun = 2.

Thay (1) vào (2), ta được 10(1 − q5 ) =

BT. ĐS> 11

12

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp


1
u1 = 2

Bài 1.29. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi 
un +1 = 1 ; n ≥ 1
2 − un

Dãy số (un) có giới hạn hay không khi n → +∞ ? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.
HD Giải
1
2
3
4
n

Ta có u1 = ; u2 = ; u3 = ; u4 = . Từ đó ta dự đoán un =
(1)
2
3
4
5
n +1
Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp:
1
1
- n = 1, ta có u1 =
= (đúng)
1+1 2
k
- Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ( k ≥ 1 ), nghĩa là uk =
. Khi đó ta có
k +1
1
1
k +1
uk +1 =
=
=
, nghĩa là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.
k
2 − uk
k+2
2−
k +1
n

n
1
, ∀n ∈ ℕ* . Từ đó ta có lim un = lim
= lim
=1
- Vậy un =
1
n +1
n +1
1+
n
u1 = 2

Bài 1.30. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi 
un + 1
;n ≥ 1
un +1 =

2
Chứng minh rằng (un) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ . Tìm giới hạn đó.
HD Giải
3
5
9
17
2 n −1 + 1
Ta có u1 = 2; u2 = ; u3 = ; u4 = ; u5 = . Từ đó dự đoán un = n −1 ;∀n ∈ ℕ*
2
4
8

16
2
Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp (tự chứng minh)
n
  1 n −1 

1 
2 n −1 + 1
Từ đó, lim un = lim un = n −1 = lim 1 +    = lim 1 + 2.    = 1
2
  2  

 2  
u1 = 1

Bài 1.31. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi 
2un + 3
un +1 = u + 2 ; n ≥ 1

n
a) Chứng minh rằng un > 0 với mọi n
b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
HD Giải
a) Chứng minh bằng quy nạp: un > 0 với mọi n.
(1)
- Với n =1, ta có u1 = 1 > 0
- Giả sử (1) đúng với n = k ( k ≥ 1 ), nghĩa là uk > 0, ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1. Ta
2u + 3
2u + 3
có uk +1 = k

. Vì uk > 0 nên uk +1 = k
>0
uk + 2
uk + 2
Vậy: un > 0 với mọi n.
2u + 3
2u + 3
2a + 3
Đặt limun = a. Ta có un +1 = n
⇒ lim un +1 = lim n
⇒a=
⇒a=± 3
un + 2
un + 2
a+2

Vì un > 0 với mọi n, nên lim un = a ≥ 0 . Từ đó suy ra lim un = 3

BT. ĐS> 11

13

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

u1 = −5


Bài 1.32. Cho dãy số (un) xác định bởi 
2un
−6
un +1 =
3

Gọi (vn) là một dãy số xác định bởi vn = un + 18
a) Chứng minh rằng (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn
b) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (vn) và tìm lim un
HD Giải
2
2
a) Ta có vn +1 = un +1 + 18 = un − 6 + 18 = un + 12
3
3
Thay un = vn – 18 vào đẳng thức trên, ta được:
2
2
vn +1 = ( vn − 18) + 12 = vn .
3
3

Điều này chứng tỏ, dãy số (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q =
b) Gọi S là tổng CSN lùi vô hạn (vn). Khi đó S =

2
3

v1

13
=
= 39
2
1− q
1−
3

Vì lim vn = 0 nên lim un = −18

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.33. Tính các giới hạn sau

 sin 3n 
(−1)n 
a) lim  2 +
b) lim 
− 1

n+2 
 4n


Bài 1.34. Tìm limun với
n2 − 3n + 5
−2 n 2 + n + 2
a) un =
b) un =
2n 2 − 1
3n 4 + 5

Bài 1.35. Tính các giới hạn sau:

a) lim

n4 − 40n3 + 15n − 7
n 4 + n + 100

3.2 n − 8.7n
lim
4.3n + 5.7n

b) lim
e) lim

 n −1 
c) lim 

 n 

n+2
d) lim 

 n +1 

2n 2 − n
c) un =
1 − 3n2

4n
d) un =

2.3n + 4 n

2n3 + 35n2 − 10n + 3
5n5 − n3 + 2n

(
3 (2

2 n +1 3.2 n − 3n −2
n

n −1

+4

)

c) lim

)

f) lim

6n 4 + n + 1
2n + 1

(

2 n 3n −1 − 5.2 n
3

n −1

(2

n

+4

Bài 1.36. Tính các giới hạn sau
(−3)n + 2.5n
1 + 2 + 3 + ... + n
a) lim
b) lim
c) lim n 2 + 2n + 1 − n2 + n − 1
n
2
1− 5
n + n +1
2 n +3
1
8
− 33n + 2
26 n +3 − 33n + 5
d) lim
e) lim 3n + 4 2 n +3
f) lim 3n + 4
4
+5
4

+ 72 n + 3
n + 2 − n +1
Bài 1.37. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số
a) 0,444…
b) 0,212121…
c) 0,32111111…
d) 0,51111…
e) 0,393939…
f) 0,27323232…
Bài 1.38.

(

 1
1 1 1
a) Tìm tổng cấp số nhân 1, − , , − ,...,  − 
2 4 8
 2

)

d)

)

)

n −1

,...

b) Tính tổng S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + ... + (0,9)n −1 + ...

BT. ĐS> 11

14

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Giới hạn hữu hạn
−
Cho khoảng K, x0 ∈ K và hàm số f ( x ) xác định trên K (hoặc K \ { x0 } ). lim f ( x ) = L khi và chỉ khi
với dãy số ( xn ) bất kì, xn ∈ K \ { x0 } và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = L

x → x0

n →+∞

−

Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( x0 ; b ) . lim+ f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì,
x → x0

x0 < x n < b và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = L
n →+∞

−

Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( a; x0 ) . lim− f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì,
x → x0

a < xn < x0 và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = L
n →+∞

−

Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( a; +∞ ) . lim f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì,
x →+∞

xn > a và xn → +∞ thì lim f ( xn ) = L .
n →+∞

−

Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( −∞; a ) . lim f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì,
x →−∞

xn < a và xn → −∞ thì lim f ( xn ) = L .
n →+∞

2. Giới hạn vô cực
−
Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( −∞; a ) . lim f ( x ) = −∞ khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất

x →+∞

kì, xn > a và xn → +∞ thì lim f ( xn ) = −∞ .
n →+∞

−

Cho khoảng K, x0 ∈ K và hàm số f ( x ) xác định trên K (hoặc K \ { x0 } ). lim f ( x ) = +∞ khi và chỉ
khi với dãy số ( xn ) bất kì, xn ∈ K \ { x0 } và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = +∞

x → x0

n →+∞

−

lim f ( x ) = +∞ ⇔ lim  − f ( x ) = −∞
x →+∞

x →+∞

3. Định lí vể giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
Giả sử lim f ( x ) = L và lim g( x ) = M . Khi đó
x → x0

x → x0

a) lim  f ( x ) ± g( x ) = L ± M
x → x0

b) lim  k . f ( x ) = k. lim f ( x ) = k .L;(k ∈ ℝ)
x → x0
x → x0
c) lim  f ( x ).g( x ) = L.M
x → x0
d) lim

x → x0

lim f ( x )
f ( x ) x → x0
L
=
= (nếu M ≠ 0, lim g( x ) ≠ 0 )
x → x0
g( x ) lim g( x ) M
x → x0

e) Nếu f ( x ) ≥ 0 và lim f ( x ) = L thì L ≥ 0 và lim
x → x0

x → x0

f (x) = L

Các tính chất trên vẫn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞
Định lí 2. (Định lí giới hạn một bên)
lim f ( x ) = L khi và chỉ khi lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L
x → x0

x → x0

x → x0

4. Các giới hạn đặc biệt
a) lim x = x0
x → x0

BT. ĐS> 11

15

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp
lim

x →±∞

x → x0

c)

c
= 0 (c là hằng số).
x →±∞ x

lim c = c ;

b) lim c = c ;

lim x = +∞ , với k nguyên dương
k

x →+∞

d) lim x k = −∞ , nếu k là số lẻ;

lim x k = +∞ , nếu k là số chẵn

x →−∞

x →−∞

sin x
sin u( x )
= 1 ; lim u( x ) = 0 ⇒ lim
=1
x →0
x →0
x →0
x
u( x )

e) lim

tan x

π
= 1 ; lim tan x = ;
x →0
x →+∞
x
2
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tíchƒ(x).g(x)

f) lim

lim tan x = −

x →−∞

π
2

Nếu lim f ( x ) = L ≠ 0 và lim g( x ) = +∞ hoặc  lim g( x ) = −∞  thì lim f ( x ).g( x ) được tính:
x → x0
x → x0
x → x0
 x → x0

lim f ( x )
lim g( x )
lim f ( x ).g( x )
x → x0

x → x0

+∞
−∞
+∞
−∞

L>0
L<0
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
lim f ( x )

x → x0

x → x0

f (x)
g( x )

+∞
−∞
−∞
+∞

lim g( x )

Dấu của g(x)

±∞

Tùy ý

+
−
+
−

x → x0

L
L>0

0

f (x)
x → x0 g( x )
0
+∞
−∞
−∞
+∞
lim

L<0
4. Khử các dạng vô định
Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp định lí về giới hạn, ta phải biến đổi biểu thức xác định
hàm số về dạng áp dụng được các định lí này.
f (x)
0
Dạng 1. Tính lim
khi lim f ( x ) = lim g( x ) = 0 (hay dạng )
x → x0 g( x )

x → x0
x → x0
0
- Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể ta biến đổi như sau:
( x − x0 ) A( x )
f (x)
A( x )
A( x )
lim
= lim
= lim
và tính lim
x → x0 g( x )
x → x0 ( x − x ) B ( x )
x → x 0 B( x )
x → x0 B ( x )
0
- Nếu f ( x ) hay g( x ) có chứa biến dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, trước
khi phân tích chúng thành tích để giản ước.
f (x)
∞
Dạng 2. Tính lim
khi lim f ( x ) = ±∞ và lim g( x ) = ±∞ (hay dạng )
x → x0 g( x )
x → x0
x → x0
∞
Ta chia tử và mẫu cho x n với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử và mẫu thành
tích chứa nhân tử x n rồi giản ước).
- Nếu f ( x ) hay g( x ) có chứa biến x trong dấu căn thức, thì đưa x k ra ngoài dấu căn (k là số mũ bậc

cao nhất của x trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa của x .
Dạng 3. Tính lim  f ( x ) − g( x ) khi lim f ( x ) = lim g( x ) = +∞ (hay dạng ∞ − ∞ ) hoặc
-

x → x0

x → x0

x → x0

Tính lim f ( x ).g( x ) khi lim f ( x ) = 0 và lim g( x ) = ±∞ (hay dạng 0.∞ )
x → x0

BT. ĐS> 11

x → x0

x → x0

16

Chương IV. Giới hạn


Toán 11
-

GV. Lư Sĩ Pháp

Nhân chia với biểu thức liên hợp( nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn thức) hoặc quy đồng mẫu

để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức)

B. BÀI TẬP
Bài 2.1. Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
x2 − 4
2x2 + x − 3
a) lim
b) lim
x →−2 x + 2
x →1
x −1

x +1
c) lim
x →4 3 x − 2
HD Giải

2 − 5x 2
d) lim 2
x →+∞ x + 3

x2 − 4
x2 − 4
. Xét hàm số f ( x ) =
x →−2 x + 2
x+2
Hàm số xác định trên ℝ \ {−2}

a) lim

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ −2 và xn → −2 khi n → +∞ ( hay lim xn = −2 )

xn2 − 4
( x + 2)( xn − 2)
Ta có lim f ( xn ) = lim
= lim n
= lim( xn − 2) = −4
xn + 2
xn + 2
x2 − 4
= −4
x →−2 x + 2
2x2 + x − 3
2x2 + x − 3
b) lim
. Xét hàm số f ( x ) =
x →1
x −1
x −1
Hàm số xác định trên ℝ \ {1}

Vậy lim

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ 1 và xn → 1 khi n → +∞ ( hay lim xn = 1)

3
2( xn − 1)  x n + 
2 x + xn − 3
2


3

Ta có lim f ( xn ) = lim
= lim
= lim 2  xn +  = 5
xn − 1
xn − 1
2

2
n

2x2 + x − 3
=5
x →1
x −1
x +1
x +1
c) lim
. Xét hàm số f ( x ) =
x →4 3 x − 2
3x − 2


2

2 2
Hàm số xác định trên  −∞;  ∪  ; +∞  và x = 4 ∈  ; +∞ 
3 3



3

2

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈  ; +∞  và xn → 4 khi n → +∞
3


Vậy lim

Ta có lim f ( xn ) = lim

xn + 1
4 +1
1
x +1 1
=
= . Vậy lim
=
x →4 3 x − 2
3 xn − 2 3.4 − 2 2
2

2 − 5x 2
2 − 5x 2
.
Xét
hàm
số

f
(
x
)
=
x →+∞ x 2 + 3
x2 + 3
Hàm số xác định trên ℝ
Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì và xn → +∞ khi n → +∞

d) lim

2
−5
2 − 5x
xn2
2 − 5x 2
Ta có lim f ( xn ) = lim 2
= lim
= −5 . Vậy lim 2
= −5
x →+∞ x + 3
3
xn + 3
1+ 2
xn
2
n

Bài 2.2. Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

BT. ĐS> 11

17

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

x +3
x →5 3 − x
1
d) lim
x →1
5− x

x3 + 1
x →+∞ x 2 + 1

a) lim

x 2 − 3x − 4
x →−1
x +1

1
e) lim  x.cos 

x →0
x


b) lim

c) lim

HD Giải
x +3
x+3
. Xét hàm số f ( x ) =
3− x
3− x
Hàm số xác định trên ( −∞;3 ) ∪ ( 3; +∞ ) và x = 5 ∈ ( 3; +∞ )

a) lim
x →5

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ( 3; +∞ ) và xn → 5 khi n → +∞
Ta có lim f ( xn ) = lim

xn + 3 5 + 3
x +3
=
= −4 . Vậy lim
= −4
x →5 3 − x
3 − xn 3 − 5

x3 + 1
x3 + 1
.
Xét
hàm
số
f
(
x
)
=
. Hàm số xác định trên ℝ
x →+∞ x 2 + 1
x2 + 1
Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì và xn → +∞ khi n → +∞

b) lim

1
x +1
xn3
x3 + 1
Ta có lim f ( xn ) = lim
= lim
= +∞ . Vậy lim 2
= +∞
x →+∞ x + 1
1
x +1
1+ 2

xn
xn +

3
n
2
n

x 2 − 3x − 4
x 2 − 3x − 4
. Xét hàm số f ( x ) =
x →−1
x +1
x +1
Hàm số xác định trên ℝ \ {−1}

c) lim

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ −2 và xn → −1 khi n → +∞
( xn + 1) ( xn − 4 )
xn2 − 3 xn − 4
Ta có lim f ( xn ) = lim
= lim
= lim ( xn − 4 ) = −5
xn + 1
xn − 1
x 2 − 3x − 4
= −5
x →−1
x +1

1
1
d) lim
. Xét hàm số f ( x ) =
x →1
5− x
5− x
Hàm số xác định trên ( −∞;5 ) và x = 1 ∈ ( −∞;5 )

Vậy lim

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ( −∞;5 ) và xn → 1 khi n → +∞
Ta có lim f ( xn ) = lim

1
5 − xn

=

1
5 −1

=

1
1
1
. Vậy lim
=
x →1

2
5− x 2


1
1
e) lim  x.cos  . Xét hàm số f ( x ) = x.cos .
x →0
x
x

Với mọi dãy ( xn ) mà xn ≠ 0 với mọi n và lim xn = 0
Ta có f ( xn ) = xn .cos

1
1
. Vì f ( x n ) = xn cos
≤ xn và lim xn = 0
xn
xn


1
Nên lim f ( xn ) = 0. Do đó lim  x.cos  = 0
x →0
x

Bài 2.3. Tính các giới hạn sau:

BT. ĐS> 11

18

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

a) lim
x →3

a) lim
x →3

x2 +1
2 x

x2 + 1
2 x

= lim
x →3

x2 + x − 2
x −1

b) lim
x →1

x2 +1
2 x

=

(

) = lim x

lim x 2 + 1
x →3

x →3

2

x →3

( )

lim 2 x

x2 − x − 2
x →−1 x 3 + x 2
HD Giải

2x2 − x + 1
x →−1 x 2 + 2 x

c) lim

+ lim
x →3

=

lim 2.lim x
x →3

d) lim

lim x.lim x + lim1
x →3

x →3

x →3

x →3

lim 2. lim x
x →3

x →3

=

5
3

x2 + x − 2
x2 + x − 2
( x − 1)( x + 2)
b) lim
= lim
= lim
= lim( x + 2) = 3
1
1
x →1
x
→
x
→
x →1
x −1
x −1
x −1
x2 − x − 2
( x + 1)( x − 2)
x −2
c) lim 3
= lim
= lim 2 = −3
2
2
x →−1 x + x
x →−1
x →−1 x

x ( x + 1)
2x2 − x + 1 4
=
= −4
x →−1 x 2 + 2 x
−1
Bài 2.4. Tính các giới hạn sau:

d) lim

x2 − 1
a) lim
x →−3 x + 1

4 − x2
b) lim
x →−2 x + 2

c) lim
x →6

x +3 −3
x −6

d) lim

x →−2

(

)

x2 + 5 −1

HD Giải
x −1
x −1 9 −1
= lim
=
= −4
3
x
→−
x +1
x + 1 −3 + 1
4 − x2
(2 − x )(2 + x )
= lim
= lim (2 − x ) = 4
b) lim
x →−2 x + 2
x →−2
x →−2
x+2
2

a) lim

2

x →−3

x +3 −3
= lim
x →6
x−6

c) lim
x →6

= lim
x →6

(

( x − 6)

x−6

( x − 6)

d) lim

x →−2

(

(

x +3 +3

)

x +3 −3

)

= lim
x →6

(

)(

x+3+3

1

(

x +3 +3

x →2

x + 2x − 3
( x − 1)( x + 3)
= lim
2
x
→

1

2x − x −1
1
2( x − 1)  x + 
2


x + 7 −3

= lim
x →2

(

x →3

(2 − x )

(

x + 7 −3

(

HD Giải
( x + 3)
4
= lim
=

x →1

1 3
2 x + 
2


x +7 +3

)(

)

x +7 +3

)

)

= lim
x →2

(2 − x )

c) lim

x2 − 2x − 3
x −1

f) lim

x2 + 5 − 3
x+2

x →3

(1 + x )3 − 1
x →0
x

2

2− x

x +7 −3

e) lim

= lim  −

x →2 

c) lim

1
6

2− x

x →2

2 x 3 + 15
x →−2 ( x + 2)2

b) lim

=

b) lim

d) lim

x →1

)

)

)

x2 + 5 − 1 = 4 + 5 − 1 = 2

Bài 2.5. Tính các giới hạn sau:
x2 + 2x − 3
a) lim 2
x →1 2 x − x − 1

a) lim

x +3 +3

x →−2

(

x+7 +3

x−2

)

x + 7 + 3  = −6


x2 − 2x − 3 9 − 6 − 3
=
=0
x −1
3 −1

BT. ĐS> 11

19

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

2 x 3 + 15
. Ta có lim (2 x 3 + 15) = −1 < 0 và lim ( x + 2)2 = 0 .
x →−2 ( x + 2)2
x →−2
x →−2

d) lim

2 x 3 + 15
= −∞
x →−2 ( x + 2)2

Nên lim

(1 + x − 1) (1 + x )2 + (1 + x ) + 1
x (1 + x )2 + (1 + x ) + 1
(1 + x )3 − 1
e) lim
= lim
= lim
x →0
x →0
x →0
x
x
x
2
= lim (1 + x ) + (1 + x ) + 1 = 3
x →0

x2 + 5 − 3
x2 + 5 − 9
x −2
2
= lim
= lim
=−
x →−2
x →−2
x+2
3
x2 + 5 + 3
( x + 2) x 2 + 5 + 3

f) lim

)

(

x →−2

Bài 2.6. Tính các giới hạn sau:
x − x3
x →1 (2 x − 1)( x 4 − 3)

a) lim

x −3

x →9 9 x − x 2

c) lim

b) lim

x →2

x 4 + 3x − 1
2x2 −1

 1
d) lim x  1 − 
x →0
 x

HD Giải
a) lim
x →1

x−x
1−1
=
=0
4
(2 x − 1)( x − 3) (2.1 − 1)(14 − 3)
3

3

(

x −3
x −3
=
lim
x →9 9 x − x 2
x →9
9x − x2

b) lim

(

)(
)(

) = lim x − 9 = − lim
x + 3)
x ( 9 − x ) ( x + 3)
x(

x +3

x →9

x →9

1
x +3

)

=−

1
54

x 4 + 3x − 1
24 + 3.2 − 1
=
= 3
x →2
2x2 −1
2.22 − 1
 1
 1
d) lim x  1 −  . Với mọi x ≠ 0 , ta có x  1 −  = ( x − 1) .
x →0
 x
 x

c) lim

 1
Nên lim x  1 −  = lim( x − 1) = −1
x →0
 x  x →0
Bài 2.7. Tính các giới hạn sau:
a) lim x 2 − 4

x→ 3

d) lim x − 8
2

x→ 3

b) lim

x →−1

d) lim x 2 − 8 = 5
x→ 3

1 − x 3 − 3x
e) lim
=3
x →−2 2 x 2 + x − 3
Bài 2.8. Tính các giới hạn sau:

(

f) lim

2 x +1 − 5 x2 − 3
2x + 3

x →−2

)

a) lim − x 3 + x 2 − x + 1

BT. ĐS> 11

2 x ( x + 1)
x2 − 6

x3
2
=
2
2
x −3

x →−1

2 x ( x + 1)
=2
x2 − 6

x →−∞

x →3

b) lim

x→ 3

x →3

c) lim 3

2 x +1 − 5 x2 − 3
1 − x 3 − 3x
e) lim
f) lim
x →−2 2 x 2 + x − 3
x →−2
2x + 3
HD Giải

a) lim x 2 − 4 = 3 − 4 = 1
c) lim 3

x3
x2 − 3

=3

2 x 3 + 3x − 4
x →+∞ − x 3 − x 2 + 1

b) lim
20

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

c) lim

x →−∞

x2 − x − 4x2 + 1
2x + 3

d) lim

x →−∞

(

4x2 − x + 2x

)

HD Giải

1 1 1 
a) lim − x 3 + x 2 − x + 1 = lim x 3  −1 + − 2 + 3  = +∞
x →−∞
x →−∞
x x
x 


(

)

2 x 3 + 3x − 4
b) lim
= lim
x →+∞ − x 3 − x 2 + 1
x →+∞

3 4
−
x 2 x 3 = −2
1 1
−1 − + 3
x x
2+

1
1
1
1
− x 4+ 2
−x 1− + x 4 + 2
x − x − 4x + 1
x
x
x = lim
x
= lim

c) lim
x →−∞
x →−∞
x →−∞
2x + 3
2x + 3
2x + 3
1
1
− 1− + 4 + 2
x
x =1
= lim
x →−∞
3
2
2+
x
2
2
4x − x − 4x
−x
d ) lim 4 x 2 − x + 2 x = lim
= lim
x →−∞
x →−∞
x
→−∞
1
4x2 − x − 2x

x 4 − − 2x
x
−x
1
= lim
=
x →−∞
4
1
−x 4 − − 2x
x
Bài 2.9. Tính các giới hạn sau:
2x − 6
17
−2 x 2 + x − 1
a) lim
b) lim 2
c) lim
x →+∞ 4 − x
x →+∞ x + 1
x →+∞
3+ x
2

x 1−

2

)

(

)

(

3x 2 − 2 x
x →+∞
x2 + 1

d) lim

e) lim

x →+∞

x2 +1 + x
5 − 2x
HD Giải

6
2x − 6
x = −2
a) lim
= lim
x →+∞ 4 − x
x →+∞ 4
−1
x
2−

c) lim

−2 x + x − 1
= lim
x →+∞
3+ x

e) lim

x2 +1 + x
= lim
x →+∞
5 − 2x

x →+∞

x →+∞

f ) lim

x →−∞

2

x →−∞

b) lim

x →+∞

1 1
−
x x 2 = −∞
3 1
+
x2 x

x2 − 2x + 4 − x
3x − 1

f) lim

17
=0
x2 +1

2
3x − 2 x
x =3
d) lim
= lim
2
x →+∞
x
→+∞
1
x +1
1+ 2
x

−2 +

3−

2

1
1
1
+x
x 1+ 2 + x
1+ 2 +1
2
x
x
x
= lim
= lim
= −1
x
→+∞
x
→+∞
5
5 − 2x
5 − 2x
−2
x
2 4

1− + 2 +1
2
x − 2x + 4 − x
2
x x
= − lim
=−
x
→−∞
1
3x − 1
3
3−
x

BT. ĐS> 11

x 1+

21

Chương IV. Giới hạn