45 bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện mức độ 3 vận dụng đề số 1 (có lời giải chi tiết) image marked image marked

45 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG – ĐỀ SỐ 1
CHUN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc
của điểm A' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa
hai đường thẳng AA' và BC bằng
a3 3
.
A. V 
6

a 3
. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
4

a3 3
.
B. V 
12

a3 3
.
C. V 
3

a3 3
.
D. V 
24

Câu 2. Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3, cạnh bên bằng 2 3 tạo với
mặt phẳng đáy một góc 300. Khi đó thể tích khối lăng trụ là:
A.

9
.
4

B.

27 3
.
4

C.

27
.
4

D.

9 3
4

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  đáy là hình thang
ABCD vng tại A và B có AB  a, AD  3a, BC  a. Biết SA  a 3, tính thể tích khối chóp
S.BCD theo a.
A. 2 3a 3

B.

3a 3
.
6

C.

2 3a 3
3

D.

3a 3
4

Câu 4. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng ABCD cạnh 2 3cm với AB là
đường kính của đường trịn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung AB của đường tròn đáy sao
cho 
ABM  600. Thể tích của khối tứ diện ACDM là:
A. V  3  cm3 

B. V  4  cm3 

C. V  6  cm3 

D. V  7  cm3 

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại
B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  bằng 600. Tính

thể tích khối chóp S.ABC theo a.
A.

3a 3
.
8

B.

3a 3
.
12

C.

3a 3
.
6

D.

3a 3
.
4

Câu 6. Xét khối tứ diện ABCD, AV  x, các cạnh còn lại bằng 2 3. Tìm x để thể tích khối
tứ diện ABCD lớn nhất.
A.

6

B. 2 2

C. 14

D. 3 2

Câu 7. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích là V. Gọi I,J lần lượt là trung điểm
hai cạnh AA' và BB'. Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC' bằng.
4
3
5
2
A. V .
B. V .
C. V .
D. V .
5
4
6
3
  CSA
  600 , SA  a, SB  2a, SC  4a. Tính
Câu 8. Cho khối chóp S.ABC có 
ASB  BSC
thể tích khối chóp S.ABC theo a.
1


8a 3 2

2a 3 2
4a 3 2
a3 2
.
.
.
.
B.
C.
D.
3
3
3
3
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA  a và SA vng
góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB,N thuộc cạnh SD sao cho SN  2 ND. Tính thể tích V
của khối tứ diện ACMN.
1
1
1
1
A. V  a 3
B. V  a 3
C. V  a 3
D. V  a 3
12
6
8
36
Câu 10. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A’BC) tạo

với đáy góc 300 và tam giác A’BC có diện tích ằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã
cho.

A.

A. V  64 3

B. V  2 3

C. V  8 3

D. V  16 3

Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối tứ diện
V
ACB'D’ và khối hộp ABCD.AB'CD'. Tỉ số 1 bằng
V2
1
1
1
1
B.
C.
D.
2
3
4
6
Câu 12. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc
của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai

A.

đường thẳng AA’ và BC bằng

a 3
. Thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C’ tính theo a là:
4

2a 3 3
a3 3
a3 3
a3 3
B.
C.
D.
6
3
24
12
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD  2a, AB  a. Gọi H là

A.

trung điểm cạnh AD, biết SH   ABCD  , SA  a 5. Thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a
là:
2a 3 3
4a 3 3
4a 3
2a 3

B.
C.
D.
3
3
3
3
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng
SM
đáy (ABCD) và SA  a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
 k , 0  k  1. Khi đó giá trị của
SA
k để mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích ằng nhau là:

A.

1  5
1 5
1  5
1  2
B. k 
C. k 
D. k 
4
4
2
2
Câu 15. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’,
CC’. Mặt phẳng (A’MN) chia khối lăng trụ thành hai phần, V1 là thể tích của phần đa diện
V

chứa điểm B, V2 là phần đa diện còn lại. Tính tỉ số 1
V2

A. k 

A.

7
2

B. 2.

C. 3.

D.

5
2
2


Câu 16. Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC)
bằng 300. Điểm M nằm trên cạnh AA’. Biết cạnh AB  a 3, thể tích khối đa diện MBCC’B’
bằng
3a 3 3
3a 3 2
3a 3
2a 3
B.
C.

D.
2
4
4
3
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S
  1200 ,
lên mặt phẳng (ABC) là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho 
AHB  1500 , BHC

A.

  900. Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA là
CHA
124
 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
3
9
4
A.
B.
C. 4a 3
D. 4
2
3
Câu 18. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB  a,
AC  a 5. Mặt ên BCC’B’ là hình vng. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho
A. V  2a 3
B. V  3 2a 3
C. V  4a 3

D. V  2a 3
Câu 19. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy và
khoảng cách A đến mặt phẳng  SBC  bằng
a3
A. V 
2

B. V  a

3

a 2
. Tính thể tích V của khối chóp đã cho
2
3a 3
C. V 
9

a3
D. V 
3

Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có  SAB  ,  SAC  cùng vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh
ên SB tạo với đáy một góc 600 , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA  BC  a. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích của khối đa diện ABMNC
3a 3
3a 3
3a 3
3a 3
B.

C.
D.
4
6
24
8
Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BB' và CC'. Mặt
V
phẳng  AEF  chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích V1 và V2 như hình vẽ. Tỉ số 1 là
V2

A.

A. 1.

B.

1
3

C.

1
4

r

1
2

3


Câu 22. Cho hình chóp tứ giác .D S ABC có đáy là hình chữ nhật, AB  a, AD  a 2. Biết

SA   ABCD  và góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng đáy bằng 450. Thể tích khối chóp
S.ABCD bằng
a3 6
A. a 2
B. 3a
C. a 6
D.
3
Câu 23. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh
V
SA, SB, SC , SD. Tỉ số S .MNPQ là
VS . ABCD
3

3

3

1
1
3
1
B.
C.
D.

8
16
8
6
Câu 24. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Tính tỉ số giữa khối đa diện A’B’C’BC và
khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
2
1
5
1
A.
B.
C.
D.
3
2
6
3
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ình hành và có thể tích V. Gọi E là
điểm trên cạnh SC sao cho EC  2 ES . Gọi   là mặt phẳng chứa đường thẳng AE và song

A.

song với đường thẳng BD,   cắt hai cạnh , SB SD lần lượt tại hai điểm M, N. Tính theo V
thể tích khối chóp S.AMEN.
V
V
V
V
A.

B.
C.
D.
6
27
9
12
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB  a, AD  a 3, SA  2a, SA vng góc với đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm SC,  
qua M vng góc với SC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính thể tích khối đa diện
không chứa đỉnh S.
A. V 

46a 3 3
105

B. V 

8a 3 3
35

C. V 

58a 3 3
105

D. V 

46a 3 3
35

Câu 27. Cho lăng trụ ABC.AB'C' có AA  a, góc giữa cạnh ên và mặt phẳng đáy bằng 600.
  600. Hình chiếu vng góc của B' lên mặt phẳng
Tam giác ABC vng tại C và góc BAC

 ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.

9a 3
3a 3
27 a 3
9a 3
B.
C.
D.
208
208
208
104
Câu 28. Cho hình chóp S . ABC , G là trọng tâm tam giác ABC.A'B'C' lần lượt là ảnh của
V
1
A, B, C qua phép vị tự tâm G tỉ số k   . Tính S . ABC 
VS . ABC
2

A.

1
1
1

2
B.
C.
D.
4
8
2
3
Câu 29. Cho hình chóp S.ABC có SA  a, SB  2a, SC  3a. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích
khối chóp S.ABC.

A.

4


4a 3
3
Câu 30. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tỉ số thể tích giữa tứ diện CC’BD và tứ diện
BDA’C’ bằng bao nhiêu ?
1
1
1
A.
B.
C. 1.
D.
2
3
4

Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi O và O’ lần lượt là tâm
các hình vng ABCD và A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh B’C’
và CD. Tính thể tích khối tứ diện OO’MN.

A. 3 2a 3

A.

a3
24

B. 2a 3

B.

a3
8

C. a 3

D.

C. a 3

D.

a3
12

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600 , gọi I

là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung
điểm H của BI. Góc giữa SC và (ABCD) bằng 450. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
A.

a 3 39
12

B.

a 3 39
24

C.

a 3 39
8

D.

a 3 39
48

Câu 33. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3, BD  3a.
Hình chiếu của B trên mặt phẳng (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của A’C’. Biết cosin của
góc tạo bởi (ABCD) và (CDD’C’) bằng
A.

3 3a 3
4

B.

3a 3
4

21
. Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
7

C.

9a 3
4

D.

3a 3
4

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA   ABCD  và SA  2a.
Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính
thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
A.

8a 3
45

B.

12a 3

45

C.

16a 3
45

D.

4a 3
45

Câu 35. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3, BD  3a, hình
chiếu vng góc của B trên mặt phẳng (A’B’C’D) trùng với trung điểm của A’C’. Gọi   là
góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD’C’), cos  

21
. Thể tích của khối hộp
7

ABCD.A’B’C’D bằng
9 3a 3
3 3a 3
3a 3
9a 3
A.
B.
C.
D.
4

4
4
4
Câu 36. Cho một khối tứ diện có thể tích V . Gọi V’ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là
V
trung điểm các cạnh của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số
V
2
1
5
1
A.
B.
C.
D.
3
4
8
2
5


Câu 37. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và AB  BC . Tính thể
tích V của khối lăng trụ đã cho.
a3 6
a3 6
7a3
B. a 3 6
C.
D.

8
4
8
Câu 38. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Gọi G1 , G2 , G3 , G4 là trọng tâm của 4 mặt

A.

của tứ diện ABCD. Thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 là
V
V
V
V
B.
C.
D.
27
18
4
12
Câu 39. Cho hai hình vng ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt
phẳng vng góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE. Thể tích của
khối đa diện ABCDSEF bằng
7
11
2
5
A.
B.
C.
D.

6
12
3
6

A.

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , ABCD là hình chữ nhật. SA  AD  2a.
Góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABCD) là 600. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Thể tích
khối chóp S.AGD là
32a 3 3
27

8a 3 3
27

4a 3 3
9

16a 3
9 3
Câu 41. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác
ABC, ACD, ABD và BCD. Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng
4V
V
V
4V
A.
B.
C.

D.
9
27
9
27
Câu 42. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng
a, AA  AB  AC  a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A.

3a 3
A.
4

B.

a3 2
B.
4

C.

a3 3
C.
4

D.

a3
D.

4

3a 2
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , AC  a 2, S ABCD 
và góc giữa
2
đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên
SC. Tính theo a thể tích khối chóp H.ABCD.
a3 6
a3 6
a3 6
3a 3 6
B.
C.
D.
4
2
8
4
Câu 44. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình ình hành. Hai điểm M, N lần lượt
AB
AD
thuộc các đoạn thẳng AB và AD (M và N không trùng với A) sao cho
2
 4. Kí
AM
AN
hiệu V , V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp SABCD và SMBCDN. Tìm giá trị lớn nhất

A.

của tỉ số

V1
V

6


2
1
3
17
B.
C.
D.
3
6
4
14
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, cạnh ên SA vng góc với đáy. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng (MNCD) chia hình chóp đã cho thành
hai phần. Tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABCD là
3
4
3
A. 1.
B.
C.
D.

5
5
4

A.

7


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1–B

2–C

3–B

4–A

5–B

6–D

7–D

8–B

9–A

10 – C

11 – B

12 – D

13 – C

14 – C

15 – B

16 – A

17 – B

18 – D

19 – D

20 – D

21 – D

22 – D

23 – A

24 – A

25 – A

26 – A

27 – A

28 – A

29 – C

30 – A

31 – A

32 – B

33 – C

34 – C

35 – C

36 – D

37 – C

38 – A

39 – D

40 – B

41 – C

42 – B

43 – C

44 – C

45 – B

Câu 1. Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng tam giác đồng dạng để tính chiều cao lăng trụ.
Xác định đường vng góc chung của hai đường thẳng AA' và BC.
Cách giải:

Gọi G là trọng tâm ABC , M là trung điểm BC thì A, G, M thẳng hàng và AM  BC ,

AG   ABC   BC   AAM 
Vẽ MH  AA tại H thì MH là đường vng góc chung của BC và AA’
AG MH
AGA  AHM  g .g  

AG AH
Có AG 

2
2 a 3 a 3
a 3
AM  .


, MH  d  BC ; AA  
3
3 2
3
4
2

2

a 3 a 3
3a
AG.MH a
AH  AM  MH  
 AG 

  
 
4
AH
3
 2   4 
2

2

a a 2 3 a3 3


Thể tích lăng trụ V  A GS .S ABC  .

3 4
12
Câu 2. Chọn C.
Phương pháp:
Xác định đường cao của lăng trụ. Sử dụng giả thiết để tìm độ dài đường cao của lăng trụ. Sau
đó áp dụng cơng thức thể tích lăng trụ để tìm thể tích.
Cách giải:
8


Hạ đường cao AH xuống  ABC   . Theo giả thiết ta có: 
AAH  300
AAH 
Do AA  2 3 nên ta có sin 

AH
AH
1
 sin 300 
 AH  .2 3  3
AA
2
2 3

Thể tích của lăng trụ là V  AH .S ABC   3.S ABC  1
Do A'B'C' là tam giác đều có cạnh là 3 nên ta có diện tích của tam giác A'B'C' là
S ABC  

1
1

9 3 9 3
AB.BC .sin 
ABC   .3.3.sin 600  .

2
2
2 2
4

Thay (1) vào ta được thể tích V  3.

9 3 27

4
4

Câu 3. Chọn B.
Phương pháp:
Chứng minh SA là đường cao của S.BCD. Tìm diện tích S BCD . Sau đó áp dụng cơng thức thể
tích để tính thể tích VS .BCD
Cách giải:

Theo giả thiết SA vng góc với  ABCD  nên SA vng góc với  BCD  . Do đó SA là
đường cao của S.BCD.
9


1
a 3
S BCD 1

Do đó: VS . ABC  SA.S BCD 
3
3

Ta lại có: S BCD  S ABCD  S ABD  2 
Mặt khác: S ABCD 

1
3a 2
1
a
AB  AD  BC    3a  a   2a 2  3 Và S ABD  AB. AD 
 4
2
2
2
2

Từ (1)(2)(3)(4) ta nhận được VS .BCD 

a 3  2 3a 2 
3a 3
2
a




3 
2 

6

Câu 4. Chọn A.
Phương pháp:
Xác định đường cao hạ từ M của tứ diện ACDM. Tính độ dài đường cao này. Tính diện tích
đáy S ACD . Áp dụng cơng thức tính thể tích tứ diện để tìm thể tích của ACDM.
Cách giải:

Hạ đường cao MH xuống AB.
1
Khi đó VACDM  MH .S ACD 1 .ACD vng tại D
3
1
1
Lại có: AD  DC  2 3  cm   S ACD  AD.DC  .2 3.2 3  6  cm 2   2 
2
2
0
Do 
ABM  60 và ABM vng tại M (AB là đường kính của đáy) nên ta có:
AM  AB.sin 
ABM  2 3.sin 600  3  cm 

Áp dụng định lý Pytago cho AMB ta có: MB  AB 2  AM 2 

2 3

2

 32  3  cm 

Áp dụng hệ thức trong tam giác vng ABM ta có
1
1
1
1
1
4
3


 2
  MH   cm  3
2
2
2
2
MH
AM
MB
3
9
2
3

 

1 3
Thay (2)(3) vào (1) ta nhận được VACDM  . .6  3  cm3 
3 2

Câu 5. Chọn B.

10


Phương pháp: Lấy K là trung điểm của AB. Lấy H là trung điểm của SA. Chứng minh góc
giữa  ABC  và  SAB  bằng .HKC
Từ H kẻ HO  CK . Kéo dài AO và hạ SO  AO. Tính độ dài SO'. Tính thể tích bằng công
1
thức VS . ABC  SO.S SBC
3
Cách giải:

Lấy K là trung điểm của AB.
Do ABC đều nên CK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao CK  AB.
Lấy H là trung điểm của SA.
Khi đó KH là đường trung bình của SAB. Kéo theo HK//SB.
Mặt khác SB  BA  HK  BA
CK  AB  CK   ABC  

Ta có: 
nên góc giữa  ABC  và  SAB  bằng HKC
HK

AB
HK

SAB
 




 AB  KH
Từ H kẻ HO  CK . Ta có: 
 AB   KCH   AB  HO
 AB  KC
Kết hợp với HO  CK  HO   ABC 
Khi đó SO’//HO. Do H là trung điểm AS, SO’//HO nên HO là đường trung bình của
1
SAO  SO  HO.SAC vuông tại C, HS  HA  CH  SA
2
Kết hợp với CH  AB  AB   KCH    CH   SAB   CH  KH
Vậy KHC vuông tại H.
Ta chứng minh được O là trọng tâm ABC
1
1 3
a
1 1
3
3 3
a   VS . ABC  a. a.
a
a
Do đó: HO  tan 600. KC  3. .
3
3 2
2
3 2 2
12
Câu 6. Chọn D.

Phương pháp:
Phương pháp.Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Hạ đường cao CK xuống HD.Vậy CK là
đường cao của tứ diện. Áp dụng định lý Py-ta-go để tính CK. Sử dụng cơng thức tính thể tích
để tính thể tích tứ diện. Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si để tìm giá trị lớn nhất của tứ diện.
11


Cách giải:

Gọi H là trung điểm của cạnh AB, do ABC cân tại C nên CH là đường cao. Tam giác ABD
có AB  DB  2 3 nên là tam giác cân tại D. Do đó HD là đường cao.

CH  AB
Khi đó ta có: 
 AB   CHD 
 HD  AB
Hạ đường cao CK xuống HD khi đó CK  AB. Do đó CK   ABD 
Vậy CK là đường cao của tứ diện.
x
Ta có: HB  . Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác HBC ta có:
2

2 3

HC  BC  HB 
2

2

2

2

48  x 2
x
  
2
2

48  x 2
2

Tương tự: HD 
Đặt y  KD.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác CHK và CKD ta có
CK 2  CH 2  HK 2  CD 2  KD 2  CH 2   HD  y   2 3



 CH 2  HD 2  2 HD. y  y 2  12  y 2  2 HD. y  12  y 

6
12

HD
48  x 2

2



2

 y2

2
2
2
 12
 12  48  x   12  12  36  x 
Vì vậy CK  CD  y  12  



2
48  x 2
48  x 2
 48  x 
2

 CK 

2

2

12  36  x 2 
48  x 2

1
1
48  x 2 x 48  x 2

Diện tích tam giác ABD là S1  AB.HD  x.
2
2
2
4
2
1
1 12  36  x  x 48  x 2 1
Do đó thể tích tứ diện là V  CK .S1 
.

3 x 36  x 2
2
3
3
48  x
4
6

12






Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho x; 36  x 2 ta có:
2
2
3
3 x   36  x 
2
V
x 36  x 
3 3
6
6
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  36  x 2  x  18  3 2
Câu 7. Chọn D.
Phương pháp: Chứng minh VABCIJ  VABC IJ  2VAIJC  , VJICC   2VJAIC
Từ đó suy ra VABCIJC 
Cách giải:

Vì I,J là trung điểm của AA',BB' nên VABCIJ  VABC IJ  2VAIJC 
Vì S ICC   2 S AIC  VJICC   2VJAIC
1
2
Mà VABC . ABC   VABCIJ  VABC IJ  VJICC   VABCIJ  V  VABCIJC   V
3
3
Câu 8. Chọn B.
Phương pháp: Tính VS . ABC 

Sử dụng cơng thức

VS . ABC  SA SB SC  SB SC 

.
.

.
 VS . ABC
VS . ABC
SA SB SC SB SC

Cách giải:

13


Gọi B’ C’ lần lượt là điểm thuộc SB,SC sao cho SB  SC   a
  CSA
  600 , SA  SB  SC  a nên S.A’B’C’ là tứ diện đều cạnh a. Do
Ta có: 
ASB  BSC
đó thể tích tứ diện này là VS . ABC 
Ta có:

a3 2

12

VS . ABC  SB SC  a a 1
a 3 12 2a 3 2


.
 .
  VS . ABC  8VS . ABC   8.

VS . ABC
SB SC 2a 4a 8
12
3

Câu 9. Chọn A.
Phương pháp: Sử dụng thể tích phần bù: Chia thể tích chóp S.ABCD thành nhiều phần và
tính thể tích các phần cịn lại, sau đó lấy thể tích chóp trừ đi.
Cách giải:

1
1
Ta có: VMABC  VSABC  VS . ABCD
2
4
1
1
V NACD  VSACD  VS . ABCD
3
6
VSMAN VSMCN SM SN 1 2 1


.
 . 

VSBAD VSBCD
SB SD 2 3 3
1 1
1
 VSMAN  VSMCN  . VS . ABCD  VS . ABCD
3 2
6
 VACMN  VS . ABCD  VMABC  VNACD  VSMAN  VSMCN

1 1
1
a3
1
2
 VS . ABCD  . SA.S ABCD  a.a 
4 3
12
12
4

Câu 10. Chọn C.
Phương pháp:
+) Góc giữa hai mặt phẳng   và    là góc giữa 2 đường thẳng a, b với a    ; b    
sao cho a  c, b  c , c là giao tuyến của   và   
.
+) Cơng thức tính thể tích lăng trụ: V  S d .h
Cách giải:
14

Gọi M là trung điểm của BC. Đáy ABC là tam giác đều  AM  BC 1 .
ABC. ABC  là lăng trụ đứng nên AA  BC  BC   AAM   AM  BC  2   góc giữa

(ABC) và (A’BC) là góc giữa A’M và AM.
Hay 
AMA  300
Gọi độ dài cạnh đáy là a. Khi đó AM 

a 3
2

a 3
AM
Xét tam giác A’AM vng tại A ta có: AM 
 2 a
0
cos 30
3
2
1
1
Khi đó: S ABC  AM .BC  8  a.a  8  a 2  16  a  4
2
2
 S ABC

a 2 3 42 3


4 3

4
4

Có AA  AM .tan 300 

a 3 1
a 4
.
   2  VABC . ABC   AA.S ABC  2.4 3  8 3
2
3 2 2

Câu 11. Chọn B.
Phương pháp:
Thể tích khối hộp V=Sh với S là diện tích đáy và h là chiều cao.
Sử dụng phương pháp cộng, trừ thể tích các khối đa diện.
Cách giải:

15


Ta có: VACBD  VABCD. ABC D  VA. ABD  VD. ACD  VC .BC D  VB. ABC
1
1 1
1
1
Mà VA. ABD  S ABD .h  . S ABC D .h  S ABC D .h  VABCD. ABC D
3
3 2
6

6
1
 VA. ABD  VD. ACD  VC .BC D  VB. ABC  VABCD. ABC D
6
1
1
 VACBD  VABCD. ABC D  4. VABCD. ABC D  VABCD. ABC D
6
3
VACBD
1


VABCD. ABC D 3

Câu 12. Chọn D.
Phương pháp:
- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng đinh nghĩa: Khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đường vng góc chung của hai đường thẳng.
- Thể tích khối lăng trụ V = Sh.
Cách giải:

Gọi D là trung điểm của BC, H là chân dường cao kẻ từ A’ đến (ABC), và kẻ K là chân
đường cao kẻ từ H đến AA'.
Gọi M là hình chiếu của D lên AA’ thì DM  AA
Mà CB   AHA   BC  DM  d  AA, BC   DM
Lại có: KH / / DM 

HK AH 2



DM AD 3
16


 HK 

2
2 a 3 a 3
DM  .

3
3 4
6

Ta có: AH 

2
2 a 3 a 3
AD  .

3
3 2
3

Xét tam giác vng AHA’ ta có:
 VABC . ABC   S ABC  . AH 

1


AH

1
1
12 3 3
a


 2   AH 
2
2
2
HK
AH
a a
a
3

a 2 3 a a3 3
. 
4 3
12

Câu 13. Chọn C.
1
Phương pháp: Thể tích khối chóp V  Sh
3
Cách giải:

Gọi H là chân đường cao kẻ từ S đến (ABCD)

Ta có: S ABCD  2a 2

SH  SA2  AH 2  2a
1
4
 VS . ABCD  2a 2 .2a  a 3
3
3
Câu 14. Chọn C.
Phương pháp:

Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác(Cơng thức Simson): Cho khối chóp
S.ABC, các điểm A1 , B1 , C1 lần lượt thuộc SA, SB,SC.
17


Khi đó:

VS . A1B1C1
VS . ABC



SA1 SB1 SC1
.
.
SA SB SC

Cách giải:

Giả sử (MBC) cắt SD tại N. Khi đó MN // BC // AD, suy ra
Ta có:

VS .MBC SM
V
SM SN

 k , S .MNC 
.
 k2
VS . ABC
SA
VS . ADC
SA SD

Do đó:

VS .MBC k VS .MNC
k2
 ;

VS . ABCD 2 V S . ABCD 2

Bài toán thỏa mãn khi

SM SN

 k  k  0
SA SD

k k2 1
1  5

  k 2  k 1  0  k 
2 2 2
2

Câu 15. Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính thể tích của khối chóp và tỉ lệ thể tích để làm bài tốn.
Cách giải:
Vì ,MN lần lượt là trung điểm của BB, CC 
 S MNC B 

1
1
1
S A.BCC B  VA.MNC B  VBCC B  VABC . ABC   VA. ABC 
2
2
2

1
1
1
 1
Mà VA. ABC  VABC . ABC   VA.MNC B   VABC . ABC   VABC . ABC    VABC . ABC 
3
2
3

 3
V V
Vậy 1  AMN . ABC 
V2 VA.MNC B

1
VABC . ABC   VABC . ABC 
3
2
1
VABC . ABC 
3

Câu 16. Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng góc giữa hai mặt phẳng để tính AA’
Chứng minh khoảng cách từ M đến (BCC’B’) bằng khoảng cách từ A đến (BCC’B’)
Cách giải:

18


Gọi I là trung điểm BC  AI  BC  BC   AIA 
Góc giữa (A’BC) và (ABC) là góc 
AIA  300
AI 

AB 3 3a
a 3
 , AA  AI .tan 300 

2
2
2

3a 2
2
Vì MA // BB’ nên MA // (BCC’B’) nên chiều cao của hình chóp M.BCC’B’ bằng khoảng
3a
cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’) và bằng h  AI 
2

Hình chóp M.BCC’B’ có diện tích đáy BCC’B’ là S  BC.BB  AB. AA 

1
3a 3
Thể tích hình chóp V  Sh 
3
4
Câu 17. Chọn B.
Phương pháp:
+ Sử dụng định lý sin để tính án kính đường trịn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, CHA
+ Tính SH
+ Tính thể tích hình chóp
Cách giải:

Gọi R1 , R2 , R3 lần lượt là án kính đường tròn ngoại tiếp AHB, BHC , CHA
Theo định lý sin, ta có AB  2 R1 sin AHB  R1 

AB
2

2sin AHB
19


BC
2 3
CA

, R3 
1
2sin BHC
3
2sin CHA
Gọi r1 , r2 , r3 lần lượt là án kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SAHB, SBHC, SCHA

Tương tự: R2 

2

 SH 
Ta chứng minh được r  R  
 và 2 đẳng thức tương tự
 2 
2
1

2
1

3SH 2

4
124
31
  r12  r22  r32 
Theo bài ra: 4  r12  r22  r32  
3
3
 r12  r22  r32  R12  R22  R32 

 SH 2 

4 2 2 2
16
4 3
r1  r2  r3  R12  R22  R32    SH 

3
3
3

1
1 4 3 22 3 4
VS . ABCD  SH .S ABC  .
.

3
3 3
4
3
Câu 18. Chọn D.

Phương pháp:
Thể tích khối lăng trụ V= Sh với S là diện tích đáy và h là chiều cao.
Cách giải:

Trong tam giác vuông ABC có: BC  AC 2  AB 2  2a
1
1
AB.BC  a.2a  a 2
2
2
Đường cao lăng trụ đứng BB  BC  2a (tính chất hình vng)

Khi đó: S ABC 

Vậy thể tích lăng trụ là : V  S ABC .BB  2a 3 (đơn vị thể tích)
Câu 19. Chọn D.
Phương pháp:
- Xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng cách xác định hình chiếu của A lên
mp (SBC).
1
- Thể tích khối chóp được tính theo công thức V  Sh
3
Cách giải:
20


Kẻ đường cao AH của SAB, ta chứng minh được AH   SBC   d  A;  SBC    AH

 AH 

a 2 AB
  450  SA  AB  a

 SBA
2
2

1
a3
2
Vậy VS . ABCD  AB .SA 
3
3
Câu 20. Chọn D.
Phương pháp:
- Xác định chiều cao của hình chóp dựa vào định lý: Hai mặt phẳng phân iệt cùng vng góc
với mặt phẳng thứ a thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng đó.
- Xác định góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy ằng cách xác định góc giữa SB và hình
chiếu của nó trên \left( {ABCD} \right).
- Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.AMN và S.ABC (M,N lần lượt thuộc SB,SC) là
VS . AMN SA SM SN SM SN

.
.

.
VS . ABC SA SB SC SB SC

- Áp dụng phương pháp cộng, trừ thể tích để tính thể tích khối đa diện ABMNC.
Cách giải:

 SAB    ABC 

 SA   ABC   SA   ABC 
Vì  SAC    ABC 

 SAB    SAC   SA
 AB là hình chiếu của SB lên  ABC   SBA  600
21


SA  AB.tan 600  a 3
1
1 1
1
VSABC  S ABC .SA  . AB.BC.SA  a 3 3
3
3 2
6
VSAMN SM SN 1
1
1 3

.
  VSAMN  VSABC 
a 3
VSABC
SB SC 4
4
24

1
1
a3 3
 VABMNC  VSABC  VSAMN  a 3 3  a 3 3 
6
24
8
Câu 21. Chọn D.
Phương pháp:

Tính thể tích các khối đa diện theo thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' rồi tính tỉ số thể tích

V1
V2

Cách giải:

1
1
2
Ta có: VA. ABC   S ABC  .h  VABC . ABC   VA.BCC B  VABC . ABC   VA. ABC   VABC . ABC 
3
3
3
1
1
1 2
1
Mà S BCFE  S BCC B  VA.BCFE  VBCC B  . VABC . ABC   VABC . ABC 
2

2
2 3
3
2
 VAEF . ABC   VABC . ABC   VA.BCFE  VABC . ABC 
3
V
V
1
 1  A.BCFE 
V2 VABC . ABC  2

Câu 22. Chọn D.
Phương pháp:
- Xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy ằng cách tìm hình chiếu của SC trên
mặt đáy, góc của SC với đáy là góc giữa SC và hình chiếu vừa tìm được của nó trên đáy.
1
- Tính thể tích khối chóp theo cơng thức V  Sh với S là diện tích đáy và h là chiều cao.
3
Cách giải:

22


Dễ thấy:  SC ,  ABC    SCA  450



Lại có SCA vng tại A  AC  SA  a 2  a 2



2

a 3

1
6 3
 VS . ABCD  a 3. 2a.a 
a
3
3
Câu 23. Chọn A.
Phương pháp: Áp dụng cơng thức tỉ lệ thể tích trong khối chóp tam giác:

Mặt phẳng  P  cắt ba mặt ên của khối chóp tam giác theo thiết diện là tam giác A'B'C' với

A  SA, B  SB, C   SC. Khi đó

VS . ABC  SA SB SC 

.
.
VS . ABC
SA SB SC

Cách giải:

Theo công thức tỉ lệ tứ diện ta có:
VS .MNP SM SN SP 1


.
.

VS . ABC
SA SB SC 8

VS .MPQ
VS . ACD



SM SP SQ 1
.
.

SA SC SD 8
23


Theo dãy tỉ số bằng nhau:

VS .MNP VS .MPQ VS .MNP  VS .MPQ VS .MNPQ 1




VS . ABC VS . ACD VS . ABC  VS . ACD VS . ABCD 8

Câu 24. Chọn A.

Phương pháp:
Hình chóp và lăng trụ có cùng chiều cao và diện tích đáy thì Vchóp =\frac{1}{3}Vlăng trụ.
Cách giải:
Dễ thấy mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ thành 2 phần là khối đa diện A’B’C’BC và
chóp A’.ABC.
 VABC . ABC   VABC BC  VA. ABC
1
2
Mà VA. ABC  VABC . ABC   VABC BC  VABC . ABC 
3
3
Câu 25. Chọn A.
Phương pháp:
Dùng định lí Thalet và phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp cần tìm
Cách giải:

Gọi O là tâm của hình ình hành ABCD và I  SO  AE. Ba điểm E,A,I thẳng hàng nên áp
SE CA OI
OI
SI 1
dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có:
.
.
1
1

EC AO IS
IS
SO 2
SM SN SI 1



 (định lí Thalet)
Vì MN / / BD 
SB SD SO 2
V
SM SE 1 1 1
V
.
 .   VS . AME 
Do đó S . AME 
VS . ABC
SB SC 2 3 6
12
Tương tự: VS . ANE 

V
V V V
. Vậy VS . AMNE  VS . AME  VS . ANE   
12
12 12 6

Câu 26. Chọn A.
Phương pháp:
Xác định thiết diện của mp(α).

24


Dựa vào định lí Simson tính tỉ lệ thể tích các khối chóp tam giác

VS . A1B1C1
VS . ABC



SA1 SB1 SC1
với
.
.
SA SB SC

A1  SA, B1  SB, C1  SC
Cách giải:

Xét tam giác vng ABC có: AC  a 2  3a 2  2a  SA  SAC vuông cân tại A

 AM  SC  AM   

 BC  AB
Trong mp(SAB) kẻ AE  SB ta có: 
 BC   SAB   BC  AE  AE   SBC 
 BC  SA
 AE  SC  AE   

CD  AD
Trong mp(SAD) kẻ AF  SD ta có: 
 CD   SAD   CD  AF  AF   SCD 
CD  SA
 AF  SC  AF   

Do đó mp   chính là mp(AEMF)
SE SA2
SA2
4a 2
4
 2  2
 2

Xét tam giác vuông SAB:
2
2
SB SB
SA  AB
4a  a
5
SF SA2
SA2
4a 2
4

 2
 2

Xét tam giác vng SAD:
2
2
2
SD SD
SA  AD
4a  3a

7
Ta có:
VS . AEM SE SM 4 1 2
2
2 1
1

.
 .   VS . AEM  VS . ABC  . VS . ABCD  VS . ABCD
VS . ABC SB SC 5 2 5
5
5 2
5
VS . AFM SF SM 4 1 2
2
2 1
1

.
 .   VS . AFM  VS . ABC  . VS . ABCD  VS . ABCD
VS . ACD SD SC 7 2 7
7
7 2
7

 VS . AEMF  VS . AME  VS . AMF 

12
VS . ABCD
35

Gọi thể tích khối đa diện khơng chứa S là V thì V 

23
VS . ABCD
35
25