Chuyên đề về cực trị thcs (dùng để dạy học hoặc làm sáng kiến kinh nghiệm)

CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x 2 +x

3 +1

Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?
(Bài 82b, sách bài tập toán 9 tập 1, trang 19-Nhà xuất bản Giáo dục năm
2010)
Giải:
Đặt: A = x 2 + x 3 + 1
Ta có: A = ( x 2 + 2 x
= (x +

3 3
3
+ ) +1−
2 4
4

3 2 1 1
) + ≥ ∀x
2
4 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x +
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là:

3
3
=0 ⇔ x=−

2
2

1
3
, đạt được khi và chỉ khi: x = −
4
2

Nhận xét 1.1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ở trên, ta biến
đổi biểu thức A về dạng: ( ax + b ) 2 + p
(1.1)
(Với a, b, p là các hằng số; x là biến số)
Dựa vào biểu thức tổng quát này ta có thể có các bài toán tương tự khi thay
a, b, p những giá trị nào đó với lưu ý a ≠ 0 . Ví dụ: Cho a = 2; b = 5; p = 4, ta
có:

( 2 x + 5) 2 + 4 = 4 x 2 + 20 x + 25 + 4 = 4 x 2 + 20 x + 29
Vậy ta có bài toán:
Bài 1.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B = 4 x 2 + 20 x + 29

Giải:
Ta có: B = 4 x 2 + 20 x + 29 = 4 x 2 + 20 x + 25 + 4 = ( 2 x + 5) 2 + 4 ≥ 4∀x


Vậy minB = 4, đạt được khi và chỉ khi: x = −

5
2

a = 2 ; b = 1; p = 3 ,
( 2 x + 1) + 3 = 2 x + 2 2 x + 1 + 3 = 2 x 2 + 2 2 x + 4

-

Cho

2

ta

2

Vậy ta có bài toán:
Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C = 2x 2 + 2 2x + 4

Giải:
Ta có: C = 2 x 2 + 2 2 x + 4 = 2 x 2 + 2 2 x + 1 + 3 = ( 2 x + 1)2 + 3 ≥ 3∀x
Vậy min C = 3, đạt được khi và chỉ khi: x =

− 2
2

- Cho a = 1; b = - 2 ; p = 3 ta có:

(x − 2)

2

+ 3 = x2 − 2 2x + 2 + 3 = x 2 − 2 2x + 5

Nên ta có bài toán:
Bài 1.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
D = x2 − 2 2x + 5

Giải:

Ta có: D = x 2 − 2 2 x + 5 = x 2 − 2 2 x + 2 + 3 = ( x − 2 ) + 3 ≥ 3∀x
2

Vậy: min D = 3, đạt được khi và chỉ khi: x = 2
- Cho a = 3; b = 5 ; p =

(3 x + 5 )

2

+

1
ta có:
2

1
1
11
= 9x 2 + 6 5x + 5 + = 9x 2 + 6 5x +
2

2
2

Nên ta có bài toán:
Bài 1.4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
E = 9 x 2 + 6 5x +

11
2

Giải:
Ta có: E = 9 x 2 + 6 5 x +

(

11
1
= 9 x 2 + 6 5 x + 5 + = 3x + 5
2
2

)

2

+

1 1
≥ ∀x
2 2

có:


Vậy: min E =

1
− 5
, đạt được khi và chỉ khi: x =
2
3

- Cho a = 1; b = - 3 ; p = -2, ta có:

(x − 3)

2

− 2 = x 2 − 2 3x + 3 − 2 = x 2 − 2 3x + 1

Nên ta có bài toán:
Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F = x 2 − 2 3x + 1

Giải:

Ta có: F = x 2 − 2 3x + 1 = x 2 − 2 3x + 3 − 2 = ( x − 3 ) − 2 ≥ −2∀x
2

Vậy: min F = -2, đạt được khi và chỉ khi: x = 3

Nhận xét 1.2: Ta có ( ax + b ) 2 + p ≥ p ∀x , vì ( ax + b ) 2 ≥ 0 ∀x .
Suy ra: ( ax + b ) 2 n ≥ 0 ∀x , với n ∈ N * . Vậy mở rộng thêm những biểu thức có
dạng:

( ax + b ) 2 n + p (1.2) sẽ có giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ: Cho a = 1, b = 2, n = 2, p = 5 ta có:

( x + 2) 4 + 5 = ( x 2 + 4 x + 4) 2 + 5 = x 4 + 16 x 2 + 16 + 8 x 3 + 32 x + 8 x 2 + 5
= x 4 + 8 x 3 + 24 x 2 + 32 x + 21

Vậy ta có bài toán:
Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
G = x 4 + 8 x 3 + 24 x 2 + 32 x + 21

Giải:
Ta có:
G = x 4 + 8 x 3 + 24 x 2 + 32 x + 21 = x 4 + 16 x 2 + 16 + 8 x3 + 32 x + 8 x 2 + 5 =

(x

2

+ 4 x + 4 ) + 5 = ( x + 2 ) + 5 ≥ 5∀x
2

4

Vậy: min G = 5, đạt được khi và chỉ khi: x = -2
- Cho a = 2, b = 1, n = 2, p = - 2, ta có:

( 2 x + 1) 4 + (−2) = ( 4 x 2 + 4 x + 1) 2 − 2
= 16 x 4 + 16 x 2 + 1 + 32 x 3 + 8 x + 8 x 2 − 2
= 16 x 4 + 32 x 3 + 24 x 2 + 8 x − 1


Từ đó ta có bài toán:
Bài 1.7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
H = 16 x 4 + 32 x 3 + 24 x 2 + 8 x − 1

Giải:
Ta có:
H = 16 x 4 + 32 x 3 + 24 x 2 + 8 x − 1
= 16 x 4 + 16 x 2 + 1 + 32 x 3 + 8 x + 8 x 2 − 2
= ( 4 x 2 + 4 x + 1) − 2 = ( 2 x + 1) + (−2) ≥ −2∀x
2

4

Vậy: min H = -2, đạt được khi và chỉ khi: x =
Nhận

( ax + b )

2n

xét

1.3:

+ p = ( ax + b ) ( ax + b ) + p .

n

Ta

−1
2

nhận

thấy

biểu

thức:

n

Bây giờ ta thay 1 thừa số (ax + b) n bởi (cx + d)n với n là số chẵn xem nó như
thế nào? Khi thay như vậy ta sẽ có biểu thức:

[ ( ax + b ) ( cx + d ) ] n + p
Ví dụ: Cho a = 1, b = 0, c = 1, d = 1, p = 1, n = 2, ta có:

[ x( x + 1) ] 2 + 1 = x 2 ( x 2 + 2 x + 1) + 1
= x4 + 2x3 + x2 + 1

Vậy ta có bài toán:
Bài 1.8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
I = x 4 + 2x3 + x 2 + 1

Giải:
Ta có
I = x 4 + 2 x 3 + x 2 + 1 = x 4 + 2 x3 + x 2 + 1

= x 2 ( x 2 + 2 x + 1) + 1

=  x ( x + 1)  + 1 ≥ 1∀x
2

Vậy: min I = 1, đạt được khi và chỉ khi: x = 0 hoặc x = -1
- Cho a = c = 1, d = 1, b = -1, p = 3, n = 2, ta có:

(1.3)


[ ( x − 1)( x + 1) ] 2 + 3 = ( x 2 − 1) 2 + 3
= x4 − 2x2 + 4

Vậy ta có bài toán:
Bài 1.9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
K = x4 − 2x2 + 4

Giải:
Ta có:

(

)

2

K = x4 − 2x2 + 4 = x2 − 1 + 3
= [ ( x − 1)( x + 1) ] + 3 ≥ 3∀x
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
x −1 = 0
x = 1
⇔
x + 1 = 0
 x = −1

( x − 1)( x + 1) = 0 ⇔ 

Vậy min K = 3, đạt được khi x = 1 hoặc x = -1
- Cho a = 2, b = c = 1, d = 0, n = 2, p = -5, ta có:

[ x( 2 x + 1) ] 2 − 5 = x 2 ( 4 x 2 + 4 x + 1) − 5
= 4x 4 + 4x3 + x 2 − 5

Vậy ta có tiếp bài toán:
Bài 1.10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
L = 4x 4 + 4x3 + x 2 − 5

Giải:
Ta có:

(

)

L = 4x4 + 4x3 + x2 − 5 = x2 4x2 + 4x + 1 − 5
= [ x( 2 x + 1) ] − 5 ≥ −5∀x
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
x = 0
x = 0

−1
2 x + 1 = 0 ⇔ 
x=

2


Vậy min L = -5, đạt được khi x = 0, hoặc x =

−1
2

Nhận xét 1.4: Tiếp tục mở rộng cho biểu thức có chứa 2 biến. Ta có:


( ax + b ) 2 m + p ≥ p∀x; a ≠ 0
( cy + d ) 2 n + q ≥ q∀y; c ≠ 0
⇒ ( ax + b )

2m

+ p + ( cy + d )

2n

+ q ≥ p + q∀x, y

(1.4)

(Trong đó p, q là các số, m ∈ N * , n ∈ N * )
Đẳng thức xảy ra khi: x =

−b
−d
,y =
a
c

Ví dụ: Cho a = b = d= n = 1, c = p = q =2, ta có biểu thức:

( x + 1) 2 + 2 + ( 2 y + 1) 2 + 2
= x 2 + 2x + 1 + 2 + 4 y 2 + 4 y + 1 + 2
= x 2 + 4 y 2 + 2x + 4 y + 6

Vậy ta có bài toán:
Bài 1.11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = x 2 + 4 y 2 + 2x + 4 y + 6

Giải:
Ta có:
= x2 + 4 y2 + 2x + 4 y + 6

= ( x 2 + 2 x + 1) + 2 + (4 y 2 + 4 y + 1) + 2
= ( x + 1) + +( 2 y + 1) + 4 ≥ 4∀x, y
2

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
 x = −1
x + 1 = 0

⇔

−1
2 y + 1 = 0
 y = 2

Vậy min M = 4, đạt được khi và chỉ khi x = -1, y = -1/2
- Cho a = 2, b = -1, n = m = c =1, d = 2, p+q = 1. Ta có:

( 2 x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + 1
= 4x2 − 4x + 1 + y 2 + 4 y + 4 + 1
= 4x2 + y 2 − 4x + 4 y + 6

Vậy ta có bài toán:
Bài 1.12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
N = 4x2 + y 2 − 4x + 4 y + 6


Giải:
Ta có:

N = 4x2 + y 2 − 4x + 4 y + 6
= (4 x 2 − 4 x + 1) + ( y 2 + 4 y + 4) + 1
= ( 2 x − 1) + ( y + 2 ) + 1 ≥ 1∀x, y
2

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
1

2 x − 1 = 0
x =
⇔
2

y + 2 = 0
 y = −2
1

x =
Vậy min N = 1, đạt được khi và chỉ khi:  2
 y = −2

Nhận xét 1.5: Bây giờ ta thay (ax + b) 2m ở biểu thức (1.4) bởi: (ax +
by)2m thì biểu thức: (ax + by)2m +(cy + d)2n + t
(1.5)
cũng có giá trị nhỏ nhất. Và bài toán dạng này mức độ khó đã tăng lên.
Ví dụ: Cho a = c = b = d = m = n = 1, t = 4. Ta có:

( x + y ) 2 + ( y + 1) 2 + 4

= x 2 + 2 xy + y 2 + y 2 + 2 y + 1 + 4
= x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 y + 5

Vậy ta có bài toán:
Bài 1.13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 y + 5
Giải:
Ta có:
P = x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 y + 5
= x 2 + 2 xy + y 2 + y 2 + 2 y + 1 + 4
= ( x + y ) + ( y + 1) + 4 ≥ 4∀x, y
2

2

Vậy min P = 4, đạt được khi và chỉ khi: x = 1, y = -1.
Bài toán sau cũng có dạng trên:
Bài 1.14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:


Q = (x+y)2+(x+1)2+(y-x)2
(Mục: Sai ở đâu sửa cho đúng, Tạp chí Toán Tuổi Thơ 2 số 35, 37)
Giải:
Ta có:
Q = x 2 + 2 xy + y 2 + x 2 + 2 x + 1 + y 2 − 2 xy + x 2
= 3x 2 + 2 x + 2 y 2 + 1
1 1 1
= 3( x 2 + 2 x + ) − + 2 y 2 + 1
3 9 3
1

2 2
= 3( x + ) 2 + 2 y 2 + ≥
3
3 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x =

−1
,y=0
3

2
−1
, đạt được khi và chỉ khi: x = , y = 0
3
3

Vậy min Q =

Nhận xét 1.6: Bây giờ hạ bậc cho các hạng tử chứa biến ở biểu thức
2m
2n
(1.5) ta sẽ có biểu thức: ( ax + by ) + ( cy + d ) + t
(1.5a)
Ta dự đoán xem biểu thức (1.5a) lúc này có giá trị nhỏ nhất không? Rõ ràng
ta thấy biểu thức (1.5a) luôn lớn hơn t nên biểu thức này không có giá trị nhỏ
nhất. Vậy để biểu thức (1.5a) có giá trị nhỏ nhất ta cần thay đổi điều gì? Ta
cần thay đổi như sau thì biểu thức sẽ có giá trị nhỏ nhất:

(

ax − by

)

2m

+

(

cy − d

)

2n

+t

(1.6)

Ví dụ: Cho a = c = t = m = n = 1, b = d = 2, ta có:

(

) (
2

x − 2y +

)

2

y − 2 +1

= x − 2 2 xy + 2 y + y − 2 2 y + 2 + 1
= x + 3 y − 2 2 xy − 2 2 y + 3

Vậy ta có bài toán:
Bài 1.15: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
R = x + 3 y − 2 2 xy − 2 2 y + 3
Giải:
Điều kiện để biểu thức có nghĩa là x ≥ 0, y ≥ 0


Ta có:
R = x + 3 y − 2 2 xy − 2 2 y + 3
= x − 2 2 xy + 2 y + y − 2 2 y + 2 + 1
=

(

x − 2y

) +(
2

y− 2

)

2

+ 1 ≥ 1∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
 x − 2 y = 0
x = 2 y x = 4
⇔
=
(TM)

 y − 2 = 0
y = 2
y = 2

Vậy minR = 1, đạt được khi và chỉ khi: x = 4, y = 2.
- Cho a =

1
2
3
−1
, b = 3, c = , d = , t =
, m = n = 1, ta có:
3
3
2
2

2

2

 x
  2x
3 1

 +
 −
−
3
y
−
 3
  3
 2
2

 

x
2x
= − 2 xy + 3 y +
− 2 x +1
3
3
= x − 2 xy + 3 y − 2 x + 1

Vậy ta có bài toán sau:

Bài 1.16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T = x − 2 xy + 3 y − 2 x + 1
(Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Quỳ Hợp năm học 2007 – 2008, lớp 9)
Giải:
Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: x ≥ 0, y ≥ 0
Ta có:
T = x − 2 xy + 3 y − 2 x + 1
=

x
2x
− 2 xy + 3 y +
− 2 x +1
3
3
2

2

 x
  2x
3
1 −1
 − ≥
= 
− 3 y  + 
−
∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0

2

2
2
 3
  3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:


 x
1
x

− 3y = 0
= 3y
y=



3

3

4
⇔
⇔

 2x − 3 = 0
 2x = 3
x = 9



 3
4
3 2
2

Vậy minT =

(tm)

−1
9
1
, đạt được khi và chỉ khi: x = , y = .
2
4
4

- Cho a =

1
2
3
4009
, b = 3, c = , d = , t =
, m = n = 1, ta có:
3
3
2
2

2

2

 x
  2x
3  4009

 +
 +
−
3
y
−
 3
  3

2
2

 

x
2x
3 4009
= − 2 xy + 3 y +
−2 x + +
3
3
2

2
= x − 2 xy + 3 y − 2 x + 2006

Vậy ta có bài toán sau:
Bài 1.17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với x ≥ 0, y ≥ 0 :
S = x − 2 xy + 3 y − 2 x + 2006
(Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Quỳ Hợp năm học 2005 – 2006, lớp 9,
vòng 2)
Giải:
Ta có:
S = x − 2 xy + 3 y − 2 x + 2006
=

x
2x
− 2 xy + 3 y +
− 2 x + 2006
3
3
2

2

 x
  2x
3  4009 4009
 +
= 
− 3 y  + 
−

≥
∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0

3
3
2
2
2

 


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
 x
1
x

− 3y = 0
= 3y
y=



 3
3

4
⇔
⇔


 2x − 3 = 0
 2x = 3
x = 9


 3
4
3 2
2

Vậy minS =

(tm)

4009
9
1
, đạt được khi và chỉ khi: x = , y = .
2
4
4


Nhận xét 1.7: Như trên ta đã xét những biểu thức có dạng:
( ax + b ) 2 + p
(1.1)
2n
( ax + b ) + p
(1.2)
n

[ ( ax + b ) ( cx + d ) ] + p
(1.3)

( ax + b ) 2 m + p + ( cy + d ) 2 n + q
(ax + by)2m +(cy + d)2n + t

(

ax − by

)

2m

+

(

cy − d

)

2n

+t

(1.4)
(1.5)
(1.6)

đều có giá trị nhỏ nhất, và dạng khai triển của chúng là các đa thức. Khi một
bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giáo viên cần hướng dẫn
học sinh chú ý điều gì? Khi một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
có dạng là đa thức ta cần chú ý:
1) Đa thức đó có một biến thì ta liên tưởng đến dạng tổng quát là
(1.1); (1.2); (1.3) từ đó để có hướng biến đổi thích hợp.
2) Đa thức có 2 biến thì ta liên tưởng đến dạng tổng quát của nó có thể
là: (1.4); (1.5); (1.6)
Ta đã xét đến những biểu thức có giá trị nhỏ nhất. Vậy từ những biểu
thức trên ta suy ra những biểu thức như thế nào thì sẽ có giá trị lớn nhất? Ta
nhận thấy biểu thức A có giá trị nhỏ nhất thì biểu thức – A sẽ có giá trị lớn
nhất. Vậy những biểu thức có dạng tổng quát sau sẽ có giá trị lớn nhất:
-[ ( ax + b ) 2 + p ]
(1.1’)
2n
-[ ( ax + b ) + p ]
(1.2’)
n
-{ [ ( ax + b ) ( cx + d ) ] + p }
(1.3’)
-[ ( ax + b ) 2 m + ( cy + d ) 2 n + t ]
-[(ax + by)2m +(cy + d)2n + t]
2m
2n
-[ ( ax − by ) + ( cy − d ) + t ]

(1.4’)
(1.5’)
(1.6’)

Với việc làm quen và làm thành thạo các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức theo các dạng ở phần trước đã nêu thì việc tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức tạo bởi khi thêm dấu “-“ đằng trước của biểu thức có giá trị
nhỏ nhất cũng thật là đơn giản.
Ví dụ: Ở bài 1.1: Biểu thức A = x 2 + x 3 + 1 có giá trị nhỏ nhất là
đạt được khi và chỉ khi: x = −

1
,
4

3
thì biểu thức A ' = −( x 2 + x 3 + 1) có giá trị
2


1
4

lớn nhất là - , đạt được khi và chỉ khi: x = −

3
. Sau đây là những bài toán
2

tìm giá trị lớn nhất theo các dạng trên.
Bài 1.18: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A1 = - 4x(x+1)
Hướng dẫn giải:
Đây là biểu thức chỉ có 1 biến nên ta liên tưởng đến dạng tổng quát là (1.1’)

và (1.2’). Nhưng hạng tử có bậc cao nhất là 2 nên ta liên tưởng đến dạng
tổng quát (1.1’).
Ta có:

A1 = - 4x(x+1)
= -[(4x2+4x+1)-1]
= - (2x+1)2 + 1 ≤ 1 ∀x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x =

−1
2

Vậy giá trị lớn nhất của A1 là: 1, đạt được khi và chỉ khi: x =

−1
2

Bài 1.19: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A2 = - (x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 4)
Hướng dẫn giải:
Đây là biểu thức cũng có 1 biến nhưng hạng tử có bậc cao nhất bằng 4 nên ta
liên tưởng đến dạng tổng quát là (1.2’) hoặc (1.3’).
Ta có: A2 = - (x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 4)
= - [(x2-2x+1)2+3]
= - [(x-1)4 +3 ]
= -3- (x-1)4 ≤ −3 ∀x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 1.
Vậy max A2 = -3, đạt được khi x = 1.
Bài 1.20: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A3 = - (x4 – 8x2 + 15)
Hướng dẫn giải:


Đây là biểu thức đơn biến với hạng tử cao nhất có bậc bằng 4 nên ta liên
tưởng đến dạng tổng quát là (1.2’) hoặc (1.3’).
Ta có: A3 = - (x4 – 8x2 + 15)
= - [(x4-2x2.4+42)-1]
= -[(x2-4)2 – 1]
= 1 -(x2-4)2 ≤ 1 ∀x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2
Bài 1.21: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A4 = 2009 – x2 – 2x – 4y2 + 4y
Hướng dẫn giải
Đây là biểu thức chứa 2 biến nên ta liên tưởng đến biểu thức tổng quát của
nó có thể là (1.4’) hoặc (1.5’). Nhưng không có hạng tử nào chứa một lúc cả
2 biến x và y nên ta chỉ liên tưởng đến dạng tổng quát là (1.4’) thôi!
Ta có: A4 = 2009 – x2 – 2x – 4y2 + 4y
= - [(x2 + 2x + 1) + (4y2 – 2.2y + 1) – 2011]
= - [(x+1)2 + (2y – 1)2 – 2011]
= 2011 - [(x+1)2 + (2y – 1)2 ] ≤ 2011 ∀x, y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = -1, y =

1
2

Vậy max A4 = 2011, đạt được khi và chỉ khi: x = -1, y =

1
2

Bài 1.22: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A5 = 2011 – 2(x2 + y2 – y + 2 xy )
Hướng dẫn giải
Đây là biểu thức có chứa 2 biến trong đó có hạng tử 2 xy có chứa cả 2 biến,
do đó ta sẽ liên tưởng đến dạng tổng quát của nó là (1.5’).
Ta có: A5 = 2011 – 2(x2 + y2 – y + 2 xy )
= 2011 – [(2x2 + 2 2 xy +y2 )+(y2–2 y +1 )] + 1
= 2012 – [( 2 x + y )2+(y-1 )2] ≤ 2012 ∀x, y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:



− 2
 2x + y = 0
x =
⇔

2
y -1 = 0
y =1


− 2
x =
Vậy: maxA5 = 2012, đạt được khi và chỉ khi: 
2
y =1


Bài 1.23: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau với x, y không âm:
A6 = 3 − (3x + 4 y − 2 3xy − 2 6 y )
Hướng dẫn giải:
Biểu thức A6 có chứa 2 biến với đặc biệt là biểu thức dưới dấu căn có chứa
biến. Như vậy ta sẽ liên tưởng đến biểu thức tổng quát có dạng là (1.6’).
Ta có: A6 = 3 − (3x + 4 y − 2 3xy − 2 6 y )

= 3 − [(3x − 2 3xy + y ) + (3 y − 2 3 y.2 + 2)] + 2
= 5 − ( 3x − y ) + ( 3 y − 2 ) ] ≤ 5 ∀x, y không âm
2

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
2

x=
 3 x − y = 0

3 x = y

9
⇔
⇔

3
y
=
2
 3 y − 2 = 0


y = 2

3
2

 x = 9
Vậy max A6 = 5, đạt được khi và chỉ khi: 
y = 2

3

Bài 1.24: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
f(x) = x + 1 − 2 x − 3x 2
(Mục: Sai ở đâu sửa cho đúng số 16,18 tạp chí Toán Tuổi Thơ 2)
Giải:
Điều kiện để f(x) có nghĩa là: 1 − 2 x − 3x 2 ≥ 0 ⇔ ( x + 1)(1 − 3x) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤
Ta có: - 2f(x) = - 2x -2 ( x + 1)(1 − 3x)

1
3


= (x-1) - 2 ( x + 1)(1 − 3x) + (1-3x) -2
=

(

)

2

x + 1 − 1 − 3 x − 2 ≥ −2

Suy ra: f(x) ≤ 1
Vậy: max f(x) = 1, đạt được khi và chỉ khi:
x + 1 = 1 − 3x ⇔ x + 1 = 1 − 3x
⇔ 4x = 0
⇔ x=0

(thỏa mãn điều kiện)

Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=

x2
y2
+
1 + 16 x 4 1 + 16 y 2

(Đề thi học sinh giỏi cấp THCS năm học 2008-2009 vòng 2, huyện Quỳ
Hợp)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số không âm 1 và 16x4, ta có:
1 + 16 x 4 ≥ 2 16 x 4 = 8 x 2

Tương tự ta có:

1 + 16 y 4 ≥ 8 y 2

Suy ra:
P=

x2
y2
x2
y2 1 1 1
+
≤
+
= + =
1 + 16 x 4 1 + 16 y 2 8 x 2 8 y 2 8 8 4

Vậy max P =

1
1
1
, đạt được khi và chỉ khi: x = ± ,y = ±
4
2
2

Nhận xét 2.1: Để giải bài toán này ta đã áp dụng bất đẳng thức Côsy
cho mẫu thức của 1 biểu thức. Sau khi dùng bất đẳng thức Côsy ở mẫu, mẫu
thức thu được vẫn còn chứa biến. Để triệt tiêu biến đó thì tử cần có thừa số
chứa biến ấy với số mũ tương ứng. Ta có biểu thức tổng quát sau:
ax 2 m
dy 2 n
+

b + cx 4 m e + fy 4 n

(a, b, c, d, e, f, là các số dương; m, n là các số tự nhiên khác 0)


Ta thay a, b, c, d, e, f, m, n, các số cụ thể ta sẽ có những bài toán với cách
giải tương tự. Chẳng hạn cho a = b = c = d = e = f = m = n = 1, ta có bài toán
sau:
Bài 2.1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Q=

x2
y2
+
1+ x4 1+ y4

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số không âm 1 và x4, ta có:
1 + x 4 ≥ 2 x 4 = 2x 2

Tương tự ta có:

1+ y4 ≥ 2y2

Suy ra:
Q=

x2
y2
x2

y2
1 1
+
≤
+
= + =1
4
2
2
2
2 2
1+ x 1+ y
2x
2y

Vậy max P = 1, đạt được khi và chỉ khi: x = ± 1 ,y = ± 1
- Cho a = 1, b = 4, c = 1, d = 2, e = f = m = n = 1, ta có bài toán sau:
Bài 2.2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x2
2y2
M=
+
4 + x4 1+ y4

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số không âm 4 và x4, ta có:
4 + x 4 ≥ 2 4x4 = 4x2

Tương tự ta có:

1+ y4 ≥ 2y2

Suy ra:
M=

x2
2y2
x2 2 y2 1
5
+
≤
+ 2 = +1 =
4
2
2
4
4
4 + x 1+ y
4x
2y

Vậy max M =

5
, đạt được khi và chỉ khi: x = ± 2 ,y = ± 1
4

Bài toán 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=

4x + 3
x2 +1


(Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2010 – 2011 bảng B,
Nghệ An)
Giải:
Ta có:
A=
=

4 x + 3 x 2 + 4 x + 4 − ( x 2 + 1)
=
x2 + 1
x2 +1

( x + 2) 2 − ( x 2 + 1)
x2 +1

2
(
x + 2)
=
− 1 ≥ −1∀x

x2 +1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = -2
Vậy min A = -1, đạt được khi và chỉ khi: x = -2.
Nhận xét 3.1: Tổng quát lên ta có biểu thức:

( ax + b ) 2
c2 x2 + d 2

+e

Trong đó a, b, c, d, e là các hằng số, x là biến và a ≠ 0 , c 2 + d 2 ≠ 0 . Để có bài
toán tương tự ta thay các hằng số bởi các số tùy ý với điều kiện trên.
Ví dụ: Cho a=c=d=1, b=-1,e=2, ta có bài toán sau:
Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A3.1 =

3x 2 − 2 x + 3
x2 +1

Giải:
Ta có: A3.1 =

3x 2 − 2 x + 3
x2 +1

x2 − 2x + 1 + 2x2 + 2
=
x2 + 1
( x − 1) 2 + 2 x 2 + 1
=
x2 +1
( x − 1) 2 + 2 ≥ 2∀x
= 2
x +1

(

)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 1.
Vậy min A3.1= 2, đạt được khi và chỉ khi: x = 1.


- Cho a = 2, c = 2 , b = d = 1, e = -2, ta có bài toán:
Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A3.2 =

4x − 1
2x2 + 1

Giải:
Ta có: A3.2 =

4x − 1
2x2 + 1

4x2 + 4x + 1 − 4x2 − 2
2x2 + 1
(2 x + 1) 2 − 2( x 2 + 1)
=
2x2 + 1
(2 x + 1) 2
=
− 2 ≥ −2∀x

2x2 + 1
=

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x =

−1
2

Vậy min A3.2 = -2, đạt được khi và chỉ khi: x =

−1
2

- Cho a = c = 3 , b = 2, d = 1, e = -1, ta có bài toán sau:
Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A3.3 =

4 3x + 3
3x 2 + 1

Giải:
Ta có: A3.3 =

4 3x + 3
3x 2 + 1

3x 2 + 4 3 x + 4 − 3x 2 − 1
3x 2 + 1
( 3 x + 2) 2 − (3x 2 + 1)
=

3x 2 + 1
( 3 x + 2) 2
=
− 1 ≥ −1∀x
3x 2 + 1
=

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=

−2 3
3


Vậy min A3.3 = -1, đạt được khi và chỉ khi: x=

−2 3
3

Bài toán 4: Cho x>0, y>0, z>0 thỏa mãn:
x2011+y2011+z2011=3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = x 2 + y2 + z2
(Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An lớp 9 THCS năm học 2010 - 2011,
bảng A)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho 2 số x2011 và 2009 số 1 ta có:
2 2011
2011
x 2011 + x 2011 + 1 +1+ ...
= 2011x 2

+
 1 ≥ 2011 . ( x )
2009 sô '1

⇒ 2 x 2011 + 2009 ≥ 2011x 2
⇒ x2 ≤

2 x 2011 + 2009
2011

Tương tự ta có:

(1)

y2 ≤

2 y 2011 + 2009
2011

(2)

z2 ≤

2 z 2011 + 2009
2011

(3)

2

2

2

Từ (1), (2), (3) suy ra: x + y + z ≤
x2 + y2 + z2 ≤

2( x 2011 + y 2011 + z 2011 ) + 3.2009
2011

2.3 + 3.2009
=3
2011

Đẳng thức xảy khi và chỉ khi: x = y = z = 1
Vậy max M = 3, đạt được khi và chỉ khi: x = y = z = 1
Nhận xét 4.1: Với bài toán trên tổng quát hóa ta có bài toán sau:
Bài 4.1: Cho x m + y m + z m = a , với a là hằng số, x>0, y>0, z>0, m>n.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M1= x n + y n + z n
Giải:


Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho n số xm và m - n số
a a
a
a
+ + ... + ≥ m.m ( x n ) m .( ) m−n
3 3
3

3

x m + x m + ... + x m +
n số

m-n số

⇒ nx m + ( m − n)

⇒ xn ≤

a
ta có:
3

a
a
≥ mx n m ( ) m−n
3
3

nx m + (m − n)

a
3

(1)

a
m.m ( ) m−n

3
yn ≤

Tương tự ta có:

ny m + (m − n)

a
3

(2)

a
m. ( ) m−n
3
m

zn ≤

nz m +( m −n)

a
3

(3)

a
m.m ( ) m−n
3

Từ (1), (2), (3) ta có:
xn + yn + z n

≤

n( x m + y m + z m ) + ( m − n) a
a
m.m ( ) m−n
3
n

na + ma − na
a
=
=
= a m .3
m− n
m− n
a m
a m
m.( )
( )
3
3
n

Vậy max M1 = a m .3

m− n
m

m −n
m

, đạt được khi và chỉ khi: x=y=z= m

a
.
3

Nhận xét 4.2: Từ bài toán tổng quát trên ta thay các chữ: m, n, a bằng
các số cụ thể ta sẽ có những bài toán mới. chẳng hạn khi cho: m = 3, n=2,
a=3, ta có bài toán sau:
Bài 4.2: Cho x 3 + y 3 + z 3 = 3 , x>0, y>0, z>0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:


M2 = x 2 + y 2 + z 2
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho 2 số x3 và 1 số

3
= 1 , ta có:
3

x3 + x3 + 1 ≥ 3.3 ( x 2 )3 = 3x 2
⇒ 2x3+1 ≥ 3x 2
⇒ x2 ≤

2x3 + 1

3

(1)

Tương tự ta có:
y2 ≤

2 y3 + 1
3

z2 ≤

2z3 +1
3

Từ (1), (2), (3) ta có:

(2)
(3)

x2 + y 2 + z 2 ≤

2( x 3 + y 3 + z 3 ) + 3 2.3 + 3
=
=3
3
3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1.
Vậy max M2 = 3, đạt được khi và chỉ khi x = y = z = 1.

- Cho m = 4, n = 2, a = 3, ta có bài toán:
Bài 4.3: Cho x 4 + y 4 + z 4 = 3 , x>0, y>0, z>0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M3 = x 2 + y 2 + z 2
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho 2 số x4 và 2 số
x4 + x4 + 1+1 ≥ 4.4 ( x 2 ) 4 = 4 x 2
⇒ 2x4+2 ≥ 4x 2
⇒ x2 ≤

2x4 + 2 x4 + 1
=
4
2

(1)

Tương tự ta có:
y2 ≤

y4 +1
2

(2)

3
= 1 , ta có:
3


z2 ≤

z4 +1
2

(3)
(x4 + y4 + z 4 ) + 3 3 + 3
x +y +z ≤
=
=3
2
2

Từ (1), (2), (3) ta có:

2

2

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1.
Vậy max M3 = 3, đạt được khi và chỉ khi x = y = z = 1.
- Cho m = 12, n = 3, a = 39, ta có bài toán sau:
Bài 4.4: Cho x12 + y12 + z12 = 39 , x>0, y>0, z>0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M4 = x 3 + y 3 + z 3
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho 3 số x12 và 9 số

39
= 38 , ta có:

3

x12 + x12 +x12+ 38 + 38 +...+ 38 ≥ 12.12 (38 )9 ( x 3 )12 = 12.36 x 3
⇒ 3x12+9. 38 ≥ 12.36 x 3
⇒ x3 ≤

3x12 + 9.38 x12 + 39
=
12.36
4.36

(1)

Tương tự ta có:
y3 ≤

y12 + 39
4.36

(2)

z3 ≤

z12 + 39
4.36

(3)

Từ

(1),

x3 + y 3 + z 3 ≤

( x + y + z ) + 3.3
3 + 3.3
4.3
=
=
= 33 = 27
6
6
4.3
4.3
4.36
12

(2),
12

12

(3)
9

9

ta

9

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z =

9

12

38 = 3 9

Vậy max M4 = 27, đạt được khi và chỉ khi x = y = z = 3 9 .
- Cho m = 2012, n = 4, a = 3504 , ta có bài toán sau:
Bài 4.5: Cho x 2012 + y 2012 + z 2012 = 3504 , x>0, y>0, z>0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M4 = x 4 + y 4 + z 4

có:


Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho 4 số x2012 và 2008 số
x2012

x2012

+

3504
= 3503 , ta có:
3

+x2012+x2012+

3503 + 3503 +...+ 3503

4
≥ 2012.2012 (3503 ) 2008 ( x 4 ) 2012 = 2012.2008
3502 xsố

⇒ 4x2012+2008. 3503 ≥ 2012.3502 x 4

x2012+502. 3503 ≥ 503.3502 x 4
⇒ x4 ≤

x 2012 + 502.3503
503.3502

(1)

Tương tự ta có:
y4 ≤

y 2012 + 502.3503
503.3502

(2)

z4 ≤

z 2012 + 502.3503
503.3502

(3)

Từ (1), (2), (3) ta có:
x4 + y 4 + z 4 ≤

( x 2012 + y 2012 + z 2012 ) + 3.502.3503 3504 + 502.3504 503.3504
=
=
= 32 = 9
502
502
502
503.3
503.3
503.3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z =

2012

3503 = 4 3

Vậy max M5 = 9, đạt được khi và chỉ khi x = y = z = 4 3 .