sử dụng phương pháp chặn để giải các bài toán số học thi học sinh giỏi. sáng kiến kinh nghiệm đoạt giải của cô phạm thị thủy, tp hải dương.

www.VNMATH.com
UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DNG

sử dụng "phơng pháp chặn"
để giải một số bài toán sè häc
trong c¸c kú thi häc sinh giái
MƠN: To¸n
KHỐI LỚP: 6, 7, 8, 9
NHẬN XÉT CHUNG

......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
ĐIỂM THỐNG NHẤT

Bằng số: .......................................................
Bằng chữ: .....................................................

Giám khảo số 1: .......................................................................
Giám khảo số 2: .......................................................................
NĂM HỌC: 2010-2011

1


www.VNMATH.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THCS Thạch khôi
S phỏch
(Do CT hi ng chm
SKKN TP ghi)

sử dụng "phơng pháp chặn"
để giải một số bài toán số học
trong các kỳ thi học sinh giỏi
Mụn: Toán
Tờn tỏc gi:

Phạm ThÞ Thủ

Xác nhận của nhà trường, ký,đóng dấu

2


www.VNMATH.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HẢI DƯƠNG
Số phách
Hội đồng cấp tỉnh ghi

sử dụng "phơng pháp chặn"
để giải một số bài toán sè häc
trong c¸c kú thi häc sinh giái

MƠN: To¸n
KHỐI LỚP: 6, 7, 8, 9

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP THÀNH PHỐ
(Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu)

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
Tên tác giả:..........................................................................
Đơn vị công tác...................................................................
(Do Hội đồng cấpTP ghi sau khi đã tổ chức chấm và xét duyệt)

3


www.VNMATH.com

A. ĐẶT VẤN ĐỀ .
1. Lí do chọn đề tài :
Tốn học là mơn học có ứng dụng trong hầu hết trong tất cả các ngành
khoa học tự nhiên cũng như trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hi.
Hiện nay trong các nhà trờng chất lợng đại trà và việc bồi dỡng học sinh
giỏi đà đặt lên hàng đầu. Đây cũng là việc nâng cao trình độ nhận thức cho học
sinh phát triển mũi nhọn. Trong đó chất lợng đại trà và bồi dỡng học sinh giỏi
môn Toán giữ vị trí thiết yếu và đợc tất cả mọi ngời quan tâm đến.Là một giáo

viên dạy toán ở trờng THCS trùc tiÕp båi dìng ®éi tun häc sinh giái nhiều năm
tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chơng trình THCS không chỉ đơn giản là
đảm bảo kiến thức trong SGK, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhng cha đủ.
Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa
dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp số
của chúng. Muốn vậy ngời thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều
tình huống khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều
cách giải, mỗi bài toán thờng nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải
biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực nhiều mặt một cách sáng tạo vì vậy
học sinh phải biết sử dụng phơng pháp nào cho phù hỵp.
Trong việc dạy học tốn thì việc tìm ra phương pháp dạy học và giải bài
tập tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phương
pháp dạy học góp phần hình thành và và phát triển tư duy của học sinh. Đồng
thời thông qua việc học toán học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện về phẩm chất
đạo đức, các thao tác tư duy để giải bài tập toán.
Qua thùc tÕ dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh rất lúng
túng trong việc xác định phương pháp để giải một số bài tốn phần số học nói
chung và dạng tốn tìm số nói riêng. Khi gặp các bài tốn dạng tìm số thường thì
4


www.VNMATH.com
các em häc sinh hay bÕ t¾c, lóng tóng vỊ cách xác định dạng toán, khụng xỏc nh
c phng phỏp làm, không xác định được phải bắt đầu từ đâu v lm nh th
no. Nếu có làm đợc thì rất dài dòng, rắc rối, cách giải cha ngắn gọn, cha hay
Chính vì vậy để xây dựng cho học sinh được phương pháp làm dạng tốn
này, tơi đã nghiên cứu và đưa ra đề tài: "Sử dụng phương pháp chặn để giải
một số bài tốn số học "trong c¸c kú thi HSG . Đó có thể là cơng cụ để giải
quyết một số bài tốn trong dạng này góp phần nâng cao cht lng hc mụn
toỏn đặc biệt là chất lợng mịi nhän của học sinh ở trường THCS.

2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
- Trang bị cho học sinh một số kiến thức về phương pháp chặn nhằm nâng cao
năng lực học mơn tốn, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là
công cụ giải quyết những bài tập có liên quan.
-

Gây được hứng thú , say mª cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách

tham khảo giúp học sinh giải được một số bài tập .
- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm hay gặp khi giải
bài tốn tìm số.
- Hướng dẫn học sinh cách nhận biết dạng tốn và lựa chọn cách trình bày bài
cho phự hp, khả năng suy luận khi giải toán.
- Khắc phục những khó khăn trớc mắt cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và
giải các bài toán số häc trong c¸c kú thi häc sinh giái

3. Phạm vi nghiên cứu- Đối tượng nghiên cứu :
Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS có thể triển khai trong các buổi
ngoại khố, đặc biệt là trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi.
Đây là một phương pháp tương đối mới lạ và khó với học sinh, các em chưa
được trang bị các phương pháp giải, nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi
5


www.VNMATH.com
khơng có lối thốt dẫn đến kết quả rất thấp.
- Trước khi triển khai đề tài tơi có kiểm tra 30 học sinh giỏi của trường
Đề bài
(thời gian làm bài 30')

Câu 1: (5 đ) Cho a + c = 9. Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abc + cba
là một số có ba chữ số.
Câu 2: (5đ) Tìm các số tự nhiên x , y sao cho: 2x + 5y = 21
*) Nhận xét:
Sau khi kiểm tra tơi thấy học sinh cịn tồn tại như sau:
- Học sinh chưa biết cách làm một số bài tốn đơn giản, lời giải cịn trình
bày dài dịng, rắc rối.
- Học sinh chưa biết vận dụng những kiến thức đã học để giải các bài toán
cụ thể.
- Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tịi
kiến thức mới.

6


www.VNMATH.com

B.giải quyết vấn đề.
* Phơng pháp nghiên cứu:
- Phân tích tổng hợp tài liệu
- Phơng pháp nêu vấn đề
- Thu thập thông tin: Dự giờ, thăm lớp, trao đổi với đồng nghiệp
- Điều tra khảo sát qua kiểm tra đối chứng với kết quả học tập của học sinh
- Phơng ph¸p thư nghiƯm
I. Một số kiến thức cơ bản cần nh:
1. Vi a, m ẻ N; a ạ 0 thì a m ³ 1
2. a ³ 0 víi " a
3. abc = 100a + 10b + c
4. Phương pháp giải bất phương trình
5. Phương pháp giải phương trình bậc hai

II. Các bµi tËp hình thành phương pháp
Bµi tËp 1 : Tìm các số tự nhiên x , y sao cho
a. 2x + 5y = 21
b. 7x + 12y = 50
Giải :
- Giáo viên có thể gợi mở để hình thành hướng suy nghĩ cho học sinh
- Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý cho các em cách suy nghĩ tương tự
cho những bài sau:
? So sánh 2x với 1 từ đó có kết luận gì về giá trị của 5y
- Giáo viên hướng dẫn học sinh cách xây dựng bảng lựa chọn
a. Vì 2x ≥ 1 nên 5y ≤ 20 vậy y ≤ 4 . Ta có bảng lựa chọn sau :
y

0

1

2

3

5y

0

5

10

15

2x

21

16

11

6

7


www.VNMATH.com
x

khơng có

4

khơng có

khơng có

Đáp số : x = 4; y = 1 ; x = 0; y = 4
Bằng cách tương tự ta có thể làm được phần b
b. Nếu y ≥ 2 thì 12y ≥ 122 > 50 => y < 2 ⇒ y = 0 hoặc y = 1
- Nếu y = 0 thì 120 = 1 nên 7x = 49 ⇔ x = 2
- Nếu y = 1 thì 121 = 12 nên 7x = 38 (loại)

Đáp số x = 2 và y = 0
Nhận xét : Với bài trên ngoài việc chặn theo các giá trị của y, ta cũng có thể
chặn theo các giá trị của x như sau :
a) Vì 25 = 32 > 21 nên x ≤ 4 ⇒ x Ỵ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } và lập bảng lựa chọn để
giải tiếp
b) ta có 73 > 50 => x ≤ 2 sau đó cũng xét các trường hợp tương tự
Bµi tËp 2 :: Tìm các số tự nhiên x, y, z

biết x5. 3 yz = 7850

Giải :
Khi đưa ra bài tốn trên tơi thấy đa số học sinh lúng túng không biết cách giải và
thường không biết bắt đầu từ đâu. Sau đó tơi đưa ra gợi ý:
? 3yz có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (HS 300 ≤ 3 yz ≤ 399 )
? Vậy x có thể có giá trị trong khoảng nào?
Sau khi có gợi ý trên hầu hết các em đều có thể làm được bài tốn trên. Tuy
nhiên đa số các em chỉ tìm được cận trên của x mà khơng tìm cận dưới nên bài
tốn trình bày dài hơn. Do đó tơi đưa ra lời giải sau:
Ta thấy nếu x ≥ 3 thì x5. 3 yz ≥ 35.300 = 10500 > 7850 . Vậy x < 3
Ta cũng thấy x > 1 vì nếu x = 1 thì x5.3 yz ≤ 15. 399 = 5985 < 7850 .
Như vậy 1 < x < 3 nên x = 2 . thay vào đề bài ta có 25. = 7850 nên

3yz = 7850 : 25 = 314 ⇒ = 14 . Vậy x = 2; y = 1; z = 4
* Nhận xét:
Bài toán trên ta đã chặn theo các giá trị của x . Ta cũng có thể chặn như sau:
7850

7850

x5.3 yz = 7850 ⇔ x5 = 3 yz ≤ 300 ≈ 25 => Vậy x = 2 hoặc x = 1. Đến đây việc

giải tiếp dễ dàng . Tuy nhiên không nên chặn theo các giá trị của y hoặc của z
vì nếu như có làm được thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn
* Qua hai bµi tËp trên ta có thể thấy nếu chọn đúng được ẩn để chặn thì bài
tốn trở lên đơn giản và lời giải cũng gọn hơn. Từ hai bµi tËp này học sinh đã
hình thành được phương pháp chặn, đồng thời thấy được việc chọn đúng ẩn
để chặn là việc làm rất quan trọng
8


www.VNMATH.com
Bµi tËp 3 : Tìm các số ngun x, y biết | 5x – 2 |

13

Khi đưa ra bµi tËp trên với học sinh lớp 8 và lớp 9 thì một số học sinh khá giỏi
có thể làm được theo cách giải bất phương trình. Tuy nhiên lời giải khá dài và
phức tạp dễ dẫn đến việc nhầm lẫn. Vì vậy tôi hướng học sinh đến việc sử dụng
phương pháp chặn để làm và có khá nhiều học sinh có thể làm được
Giải :
- Nếu x ≥ 4 thì | 5x – 2 | ≥ | 5.4 – 2 | = | 18 | = 18 > 13 => x

3

- Nếu x ≤ - 3 thì | 5x – 2 | ≥ | 5.( - 3) – 2 | = | – 17 | = 17 > 13 . ⇒ x ≥ - 2
Vậy : - 2 ≤ x ≤ 3 ⇒ x Ỵ { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }. Thử lại, ta có bảng sau :
x
-2
-1
0
1

2
3
12
7
2
3
8
13
| 5x – 2 |
Cả 6 giá trị trên của x đều thỏa mãn . Vậy x Ỵ { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }.
* Nhận xét: Với phương pháp trên thì học sinh trung bình trở lên của lớp 6, lớp 7
cũng có thể hiểu và giải được bài tốn trên.
Bµi tËp 4 : Tìm ba số tự nhiên a , b , c biết a + b + c = abc và a > b > c > 0
Ví dụ trên là bài tốn khá quen thuộc, nó đã được sử dụng trong rất nhiều đề thi
học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên với nhiều cách phát biểu khác nhau. Để
làm được bài trên thì học sinh phải có cái nhìn tồn diện để có thể chọn ẩn nào
cho thÝch hỵp
Giải :
Vì a > b > c nên a + b + c < a + a + a = 3a , mà a + b + c = abc ⇒ abc < 3a
hay bc < 3 . Vậy bc Ỵ { 1 ; 2 } do abc ≠ 0 . Mặt khác vì b > c nên b = 2 và c = 1.
Thay vào bài ta có a + 2+ 1 = 2a ⇔ a = 3 .
Đáp số : a = 3 ; b = 2 ; c = 1
Nhận xét : ở bµi tËp này ta khơng thể chặn a trực tiếp bằng một số cụ thể nào
mà chỉ sử dụng tính chất : " là số lớn nhất" trong ba sè a, b, c . Tại sao không
nên chặn theo b hoặc theo c ? Để biết thêm thế mạnh của cách chặn này ta
xét bµi tËp 5 sau đây:
Bµi tËp 5: Tìm

biết ( xx) y = xyyx
Giải :

Ta thấy y > 1 vì nếu y = 1 thì =

vô lý . Vậy y ≥ 2 .

Ta lại thấy y < 4 vì nếu y ≥ 4 thì ≥ 104 = 10000 > ⇒ 2 ≤ y p 4
Vậy y Ỵ { 2 ; 3 }
- Nếu y = 2 ta có =
⇔ x2.121 = x.1001 + 220
9


www.VNMATH.com
⇔ x2.121 = 11(x.91 + 20)
⇔ x2.11 = x.91 + 20
⇔ x2.11 – 91x - 20 = 0
Phương trình trên khơng có nghiệm ngun
- Nếu y = 3 ta có = . Nếu x ≥ 2 thì ≥ 22³ = 10648 cú 5 ch s ( Không
thoả mÃn ). Vy x = 1 .
Thử vào bài 11³ = 1331 hợp lý. Đáp số =13
Ta cũng có thể giải như sau : ta có

=

⇔ x3.113 = x.1001 + 330

⇔ x3.113 = 11( x.91 + 30 )
Vậy x3. 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 – 30x) ⇒ (30 – 30x) M
121
⇔ 30(1 – x) M121

mà ( 30 ; 121 ) = 1 nên 1 – x M
121,
do x là số có một chữ số nên 1 – x = 0 hay x = 1.
Thử vào bài ta có 113 = 1331 hợp lý . Vậy x = 1 và y =3 . Đáp số

=13

Nhận xét : Ta cũng có thể chặn như sau : Vì ≤ 9999 < 10000 = 104.
Vậy < 104 < nên y < 4 . Mặt khác ( xx) y > 991 vì = có 4 chữ số Vậy y ≥ 2 .
Vậy y Î { 2 ; 3 }. Phần còn lại giải như trên .
* Đây là bµi tËp khó nên hầu hết học sinh đều lúng túng không xác định được
phương pháp, cho dù đã biết phương pháp giải nhưng không có kĩ năng nhất
định thì cũng sẽ rất khó để giải bài tốn trên
Bµi tËp 6: Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì
bằng 249
* Đây là bài tốn đã nhiều lần xuất hiện trong các bài thi học sinh giỏi. Sau khi
đã được trang bị phương pháp thì đa số học sinh đều nhận ra được cách làm
Giải :
- Gọi số phải tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có n + s(n) = 249
Ta thấy n phải là số có 3 chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì
n + s(n) ≤ 99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số.
Đặt n = thì ta có : abc + a + b + c = 249
Vì a + b + c ≤ 27 nên 200 < < 249 ⇒ a = 2 , Thay vào bài ta được :
+ 2 + b + c = 249 ⇔ 200 + bc + 2 + b + c = 249
⇔ + b + c = 249 – 202
⇔ bc + b + c = 47 . Vậy b ≤ 4 . Lại vì b + c lớn nhất là 18 nên
10

nhỏ

www.VNMATH.com
nhất là 47 – 18 = 29 vậy b ≥ 2 . Ta có 2 ≤ b ≤ 4 ⇒ b Ỵ { 2 ; 3 ; 4 }
- Nếu b = 2 ta có + 2 + c = 47 ⇔ 22 + 2c = 47 ⇔ 2c = 25 ( loại )
- Nếu b = 3 ta có 3c + 3 + c = 47 ⇔ 33 + 2c = 47 ⇔ 2c = 14 ⇔ c = 7
- Nếu b = 4 ta có 4c + 4 + c = 47 ⇔ 44 + 2c = 47 ⇔ 2c = 3 ( loại )
Đáp số : số phải tìm là 237
Bµi tËp 7: Tìm các số ngun x và y biết : 2|x| + 3|y| = 5
Giải :
Nếu y = 0 , ta có 2|x| = 5 ⇔ |x| = 2,5 vơ lý vì x Ỵ Z
Xét y ≠ 0 thì 3|y| ≥ 3 nên 2|x| ≤ 2 ⇔ |x| ≤ 1. Vậy |x| Ỵ { 0 ;1 }
- Với |x| = 0 thì 3|y| = 5 ⇔ |y| = 5/3 vơ lý vì y Ỵ Z
- Với |x| = 1 ⇒ x Ỵ { -1; 1 } khi đó |y| = 1 và y Ỵ { -1; 1 } . Thử vào đề bài ta
được
các đáp s l :

;

;

;

* Qua cỏc bài tập trên ta thy phương pháp chặn có vai trị rất quan trọng
trong các bài tốn tìm số. Nó khơng chỉ làm cho bài tốn trở nên đơn giản, dễ
hiểu hơn mà cịn làm cho lời giải ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều.
Qua bµi tËp sau ta có thể khẳng định lại một lần nữa vai trị của phương pháp
chặn
Bµi tËp 8: Tìm số tự nhiên biết = 4321
Giải :
abcd + abc + ab + a = 4321 ⇔ = 4321

Ta thấy a < 4 , vì nếu a ≥ 4 thì ≥ 4444 + > 4321
và a > 2 vì nếu a ≤ 2 thì ≤ 2222 + 999 + 99 + 9 = 3329 < 4321 ⇒ 2 < a < 4
Vậy a = 3 khi đó ta có bbb + cc + d = 4321 – 3333 = 988 .
Ta thấy b < 9 vì nếu b = 9 thì = 999 > 988 chưa kể

.

Lại thấy b > 7 vì nếu b ≤ 7 thì ≤ 777 + 99 + 9 = 885 < 988
⇒ 7 < b < 9 .Vậy b = 8 .
Khi đó

= 100 điều này chỉ có thể ở trường hợp 100 = 99 + 1 ,

=> vậy c = 9 và d = 1
Đáp số = 3891
Bµi tËp 9: Tìm các số ngun dương x , y thỏa mãn
11

1 1 1
+ = và x ≥ y
x y 3


www.VNMATH.com
Giải :
Vì x ≥ y > 0 khi đó

≤

1 1 1 1 2

và x + y ≤ y + y = y . Vậy

≥

=

⇒ y≤

6
Lại vì

> 0 nên

vậy y > 3 , hay y ≥ 4 . Vậy ta có 4 ≤ y ≤ 6

<

- Nếu y = 4 ta có

+

= +

=

- Nếu y = 5 ta có

+ = +

=

⇔

=

- Nếu y = 6 ta có

+ = + =

⇔

=

⇔

=

⇔ x = 12

- =

loại vì x ∉ Z

⇔x=6

Bài tốn có 2 đáp số là ( x ; y) = ( 12 ; 4 ) và ( x; y ) = ( 6 ; 6 )
Bµi tËp 10: Tìm số biết

1 1 1
+ + = d với a > b > c

a b c

Giải :
Vì a > b > c > 0 nên c ≥ 1 ; b ≥ 2 ; a ≥ 3 khi đó ta có

1 1 1 1 1 1 11
1 1 1
+ + < + + = < 2 mà + + = d nên d < 2 ,Vậy d = 1 .
a b c
a b c 3 2 1 6
1 1 1
Ta có: + + = 1 với a > b > c .
a b c
1 1 1 1 1 1 3
1 1 1
+ + < + + =
Lại vì a > b > c > 0 ⇒ < < khi đó ta có
a b c
a b c c c c c
1 1 1
3
+ + = 1 nên > 1
a b c
c
Vậy c = 1 hoặc c = 2
1 1 1
+ + = 1 vô lý
Với c = 1 thì
a b 1
1 1 1

1 1 1
1 1 1 1 2
+ + = 1 ⇒ + = , mà + < + = nên
Với c = 2 thì
a b 2
a b 2
a b b b b
mà

12


www.VNMATH.com

2 1 2
> =
b 2 4
do đó b < 4 mà b > c = 2 nên b = 3 . ta có

1 1 1 1 1 1 1
+ = ⇒ = − = , vậy a =
a 3 2 a 2 3 6

6
Vậy a = 6 , b = 3 , c = 2 , d = 1 và : = 6321
Bµi tËp 11: Tìm các số ngun tố a , b , c ( có thể bằng nhau ) thỏa mãn
abc < ab + bc + ca và a ≥ b ≥ c
Giải :
Vì a ≥ b ≥ c . Ta có :
ab + bc + ca ≤ ab + ab + ab = 3ab . Mà ab + bc + ca > abc nên ta có abc <

3ab
⇔ c < 3 mà c nguyên tố nên c = 2 .
Thay vào bài ta được 2ab < ab +2( a + b) ⇔ ab < 2(a + b) ≤ 2( a + a) = 4a .
Vậy ab < 4a nên b < 4 ⇒ b Ỵ { 2 ; 3 } .
 Nếu b = 2, thay vào đề bài ta được 2.2.a < 2a + 2.2 + 2.a , hay 4a < 4a + 4
đúng với mọi số nguyên tố a
 Nếu b = 3, thay vào bài ta được 2.3.a < 3a + 6 + 2a, hay 6a < 6 + 5a ⇔ a <
6 , do a nguyên tố không nhỏ hơn b = 3 nên a = 3 hoặc 5
Đáp số : b = c = 2 và a là số nguyên tố tùy ý
c = 2 , b = 3 và a = 3 hoặc a = 5
Bµi tËp 12: Cho 4 số nguyên dương có tổng bằng 9. Chứng minh rằng trong 4 số
đó có ít nhất hai số bằng nhau
Giải :
Giả sử trong 4 số đã cho khơng có 2 số nào bằng nhau. Gọi 4 số đã cho là
a, b, c, d với a > b > c > d . Ta có : d ≥ 1 ; c ≥ 2 ; b ≥ 3 ; a ≥ 4 .
Như vậy a + b + c + d ≥ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 . Theo bài ra ta có a + b + c + d = 9
nên sẽ có 9 ≥ 10 vơ lý . Vậy giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng
nhau là khơng đúng nên phải có ít nhất 2 số trong các số đã cho là bằng nhau .
( đpcm)
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1 : Tìm biết = 1037
Bài 2 : Tìm xyz biết 4 yz.x5 = 17395
Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó cộng với hai lần tổng
các chữ số của nó thì bằng 405
Bài 4 : Tìm số abcd biết ab.cb = ddd
13


www.VNMATH.com
Bài 5 : Tìm hai số tự nhiên x , y biết

Bài 6 : Cho hai số nguyên dương khác nhau là a và b .
Chứng minh > 2
Bài 7 : Cho a, b, c là các số nguyên dương . Chứng minh rằng
1<

a
b
c
+
+
< 2
b+c c+a a +b

Bài 8 : Tìm các số nguyên x và y biết | 5x + 2 | 13

IV) Kết quả - bài HC KINH NGHIM:
- Khi cha thực nghiệm đề tài này các em học sinh thờng tỏ ra chán lản và lúng
14


www.VNMATH.com
túng khi gặp dạng toán tìm số nâng cao.Sau một thời gian áp dụng những biện
pháp trên vào thực tế giảng dạy tôi thấy. Hứng thú học tập của học sinh đợc nâng
lên rõ rệt ở các đối tợng học sinh nhất là các em trong đội tuyển. Các em trở lên
tin tởng hơn ,vững vàng hơn ,say mê hăng hái học môn toán . Điều đó chứng tỏ
nếu có cách giải phù hợp cho một bài toán ,với từng đối tợng học sinh thì chắc
chắn kết quả thu đợc của giáo viên rất tốt hiệu quả giáo dục đợc nâng lên.
- Khi áp dụng chuyên đề này vào thực tiễn các em tỏ ra phấn khởi, tự tin, yêu
thích bộ môn toán hơn
Sau khi trin khai ti, tụi lại cho 30 học sinh giỏi của trường làm bài kiểm tra

với mức độ đề khó hơn tơi thu được kết quả như sau:
Đề bài:
(Thời gian làm bài 30')
Câu 1: Tìm abc biết 4bc.a5 = 17395
Câu 2: Tìm số bị chia và thương trong phép chia sau:
9 * * : 17 = * * (Biết rằng thương là một số nguyên tố)
Câu 3: Tìm số tự nhiên biết tổng của số đó và các chữ số của nó bằng 2020
*) Kết quả:
a, Khi cha ¸p dơng s¸ng kiÕn:
5 £ điểm < 8

điểm < 5

8 £ điểm £ 10

SL

%

SL

%

SL

%

9

30 HS

30

18

60

3

10

b, Sau khi ¸p dơng s¸ng kiÕn:
5 £ điểm < 8

điểm < 5

8 £ điểm £ 10

SL

%

SL

%

SL

%

1

30 HS

3

20

67

9

30

*) Nhận xét:
Sau khi triển khai đề tài trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi của trường tôi
thấy so với trước khi triển khai đề tài học sinh có một số tiến bộ sau:
15


www.VNMATH.com
- Học sinh đã biết sử dụng phương pháp chặn trong một số bài tốn số học
nói chung và dạng tốn tìm số nói riêng.
- Học sinh giải các bài tốn tìm số nhanh hơn, xác định ngay được hướng
làm và lựa chọn cách trình bày đơn giản nhất.
- Học sinh tiếp tục phát triển tư duy sáng tạo, tăng cường học hỏi bạn khác,
tự tìm tịi kiến thức mới.
Sau khi triển khai kinh nghiệm “Sử dụng phương pháp chặn để giải tốn số
học” tại nhà trường tơi đã rút ra mt s bi hc sau:
* Đối với giáo viên:

- Nghiên cứu kỹ về việc đổi mới phơng pháp dạy môn toán, nghiên cứu chơng trình của bộ môn toán mà mình phụ trách nói chung và từng dạng bài nói
riêng. Xác định rõ mục tiêu từng bài và từng dạng cho các đối tợng học sinh.
- Thờng xuyên kiểm tra học sinh để bổ sung kiến thức hợp lý và kịp thời.
- Nghiên cứu kĩ tài liệu tham khảo, sách giáo khoa để học hỏi phơng pháp
giải mới, phơng pháp hay.
- Nhiệt tình hớng dẫn học sinh phơng pháp học, linh hoạt, sáng tạo tìm
cách giải hay, chính xác.
- Để dạy học sinh giỏi có hiệu quả cần phải dạy cho häc sinh cách học,
cách tìm tịi kiến thức mới, tự xây dựng cho mình phương pháp mới khơng có
trong sách giáo khoa, phát triển các kiến thức đã học vào chứng minh các tính
chất hay cơng thức Tốn học khác. Từ đó có biện pháp vận dụng và khai thác các
tính chất hay cơng thức vào giải các bài tập cụ thể.
- Cần tăng cường giáo dục học sinh tinh thần tự học, tự nghiên cứu kiến
thức vì đây là con đường làm chủ và chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu quả nhất.
* §èi víi häc sinh:
- Tự giác, tích cực học tập, ôn luyện lý thuyết và bài tập có liên quan đến
dạng toán tìm số.
- Báo cáo kết quả học tập của mình qua việc giải các bài tập
- Suy nghĩ các bài tập tơng tự, mạnh dạn đề xuất bài toán mới.
16


www.VNMATH.com

V. những kiến nghị, đề xuất
Để thực hiện đề tài này ngày càng có hiệu quả hơn tôi xin mạnh dạn nêu
một số đề xuất, kiến nghị sau:
* Đối với nhà trờng:
- Tiếp tục đẩy mạnh phong trào tự học, tự bồi dỡng của giáo viên
- Tiếp tục chỉ đạo kiểm tra,đánh giá việc thực hiện các chuyên đề của tổ.

- Mạnh dạn mở các cuộc giao lu liên trờng để giáo viên có điều kiện trao
đổi, học hỏi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp.
* Đối với ngành (Sở và Phòng):
Khi tổ chức bồi dỡng chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên nên tăng c ờng
tính thực tiễn hơn n÷a

C- KẾT LUẬN :
Trên đây là kinh nghiệm “Sử dụng phương pháp chặn để giải tốn số học…”
mà tơi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường THCS trong q
trình ơn luyện, bồi dưỡng học sinh gii. Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi
chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm
ra hớng t duy ,hớng giải và phát triển bài toán .Sau đó ra bài tập tổng hợp để
17


www.VNMATH.com
học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn
học sinh sẽ nắm vững vấn đề . Và tôi tin chắc rằng toán học sẽ là niềm say mê
với tất cả học sinh .Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đà mang lại
nhiều hiệu quả trong việc giải các bài toán có liên quan và giải các bài toán
thuộc dạng này. Phần đông các em đều có hứng thú làm bài tập nếu nh bài tập
có phơng pháp giải hoặc vận dụng các phơng pháp giải của một loại toán khác
Đối với khối lợng đại trà thì việc học của các em chỉ là những vấn đề
xung quanh SGK nếu nhận đợc sự dìu dắt tận tình cụ thể thì việc học của các
em đỡ vất vả hơn có hứng thú hơn. Đây là dạng toán chúng ta cần quan tâm nó
đa dạng và phong phú đề cập đến kiến thức trong trờng phổ thông nó có tính
tổng hợp, cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức cùng một lúc và giải quyết
vấn đề.
Với cách học và cách hớng dẫn học sinh làm bài nh vậy không những nâng
cao kiến thức cho các em mà còn là hình thức củng cố, khắc sâu kiến thức cho

các em.
Tụi cựng cỏc ng nghip đã thu được kết quả sau :
+

Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập và

u thích bộ mơn tốn .
+

Học sinh tránh được những sai sót cơ bản, biết lựa chọn lời giải ngắn gọn và

có kĩ năng vận dụng thành thạo cũng như phát huy được tính tích cực của học
sinh .
+

Học sinh có được cái nhìn tổng qt hơn về dạng tốn đã được học và tự hình

thành cho mình một phương pháp mới
Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viên
cần xây dựng cho học sinh từ kiến thức cũ đến kiến thức mới từ cụ thể đến tổng
quát, từ dễ đến khó và phức tạp, tạo cho học sinh cách tiếp cận một bài tốn phù
hợp với trình độ nhận thức của học sinh .
Người thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động tích cực và sáng tạo của
18


www.VNMATH.com
học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao qt, tồn diện và định hướng giải tốn
đúng đắn. Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo
dục trong nhà trường.

Trong đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định.Vậy
tôi rất mong được sự giúp đỡ cũng như những góp ý của các thầy, cô trong ban
giám khảo, các bạn đồng nghiệp để tơi rút kinh nghiệm trong q trình giảng dạy
những năm học sau.Để hoàn thành kinh nghiệm này ngoài việc tự nghiên cứu tài
liệu, qua thực tế giảng dạy tơi cịn nhận được sự giúp đỡ của các đồng chí trong
Ban giám hiệu nhà trường, các thầy cơ giỏo trong t toỏn ca trng.
Thông qua nghiên cứu đề tài này, bản than tôi thực sự rút ra đợc nhiều kiến
thức quý báu, giúp tôi hoàn tành tốt hơn cho công việc giảng dạy sau nay.
Tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến quý báu của thày, cô và bạn bè
đồng nghiệp để vốn kiến thức của tôi ngày càng hoàn thiện và phong phú hơn.
Với kinh nghiệm nho nhỏ nh vậy tôi xin đợc trao đổi cùng các đồng
nghiệp.Tôi rất mong đợc sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và các thầy cô
đà có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy .
Tôi xin chân thành cảm ơn !

19


www.VNMATH.com

20


www.VNMATH.com

21


www.VNMATH.com

22